2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln2。
证：考虑到由两种一价离子组成的一维晶格的内能（相互作用能）仅与库仑势有关，可写作：
220000(1)44(1)1112(1)2ln2234nnnnqqUnrrn
注：234111ln(1)234xxxxx。2是考虑左右离子对称。
2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）。
解：（1）晶格常数
电荷加倍前： 206()()4nnebABUNNrrrr
由平衡条件：0()0rrUrr，可得 110()nnBrA 。
电荷加倍后： 2'0464()()4nnebABUNNrrrr
同样由平衡条件：'0'()0rrUrr，可得 1'10()4nnBrA
所以 0011'04rrrn，即1>>n时，晶格常数可认为不变。
（2）结合能
电荷加倍前： 20001()(1)4NeWUrrn
电荷加倍后： 22'''101'00100414()(1)4444nnnNeNeWUrWrnr
当1>>n时，有W'W4=，结合能增加为原来的4倍。
2.3若一晶体两个离子间的相互作用能可表示为 ，晶体体积为3NArV(A为常数，N为原胞数目），试求：（1）平衡间距；（2）结合能W（单个离子的）；（3）体弹性模量的表达式；（4）若取02,10,3mnrÅ,4WeV,求,值。
解： （1）平衡间距 ()=-+mnαβUrrr由平衡条件
0()0rrUrr，可得 10()nmnrm
（2）单个离子的结合能
mnmmnmnmnnmrrrrrUW1212212000m00
2020年硕士研究生招生考试自命题科目考试大纲 考试科目代码及名称 815固体物理
一、考试范围及要点
的基础上，注重考查考生灵活运用这些基础知识解决实际问题的能力。基础知识和基
本理论的主要内容包括：
1.晶体结构：晶体结构，典型晶格，晶面和晶向的指数表示，倒格子，晶体的宏观对称性，
晶体结构测定，几何结构因子和消光现象。
2.固体结合：化学键，固体结合分类、特点和规律，晶体结合能，马德隆常数。
3.晶格振动与晶体的热学性质：简谐近似和简正坐标，一维单（双）原子振动，色散关系，
离子晶体振动，晶体热容的量子理论，态密度，晶格状态方程，晶格热导等。
4.固体能带理论：布洛赫定理，近自由电子近似和紧束缚法，能态密度和费米面。
5.晶体中电子在外场中的运动：准经典运动，导体、半导体和绝缘体的能带论解释，恒定电
场和磁场下电子的运动，回旋共振，德·哈斯-范·阿尔芬效应。 6.金属电子论：自由电子气模型，电子热容和费米统计，功函数和接触电势。
二、考试形式与试卷结构
（一）答卷方式：闭卷，笔试。 （二）答题时间：180分钟。 （三）题型：问答题、证明题、计算题 （四）各部分内容的考查比例 试卷满分为150分。其中：晶体结构和对称性约20%; 晶格振动与晶体的热学性质内容约20%; 固体能带理论内容约30%; 晶体中电子在外场中的运动内容约15%;金属电子论内容约15%。
参考书目名称 作者 出版社 版次 年份
固体物理学 黄昆原著，韩汝琦改编 高等教育出版社 第一版 1988
固体物理基础 阎守胜编著 北京大学出版社 第二版 2003
作业二
1. 对于简单立方晶格，证明密勒指数为（h，k，l）的晶面，面间距d满足，22222()adhkl，其中a为立方边长。
证明：设晶格基矢为123,,aaa，对于简单立方晶格，三个基矢可以写成
123aaiaajaak 倒格子基矢 23112313212312312322()22()22()aabiaaaaaabjaaaaaabkaaaa
倒格子矢量123222Ghbkblbhikjlkaaa
晶面族（h k l）的面间距222222222()()()adhklGhklaaa
即 22222()adhkl
2. 写出体心立方和面心立方晶体结构的中，最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为a，写出最近邻与次近邻的原子间距
体心立方 面心立方
最近邻原子数 8 12
最近邻原子间距 32a 22a
次近邻原子数 6 6
次近邻原子间距 a a
3．画出体心立方和面心立方晶格结构在金属（1 0 0），（1 1 0），（1 1 1）原子排列
解 体心立方 面心立方
（1 0 0）
（1 1 0）
（1 1 1）
1.1如果将等体积球分别排列下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明
结构x
简单立方17/6是0.52体心立方.J3Jr 18,., 0.68 面心立方,fiJr!6 '
六万宿排J2Æf6 "" 074 金刚石.JiT116也034
1.2证明理想的六角密堆积结构(hcp)的轴比cla=(8/3)1Il二l633.
1.3证明:体心立方晶格的倒格子是面心立方;面心立方晶格的倒格
子是体心立方1.4证明倒格子原胞体积为1:=豆豆其中Vc为正格子原胞的体积.
1.5证明倒格于矢量G= hJ.\ + 11/;1 + 11/);垂直于密勒指数为(lIj'112，"))的
晶面系幽幽】刨矶-，
州一蜘民步电「司=fL时才-~)ZG工主(-~'+户均司z主(i才叫jClH扣jtA爷在地献t
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千钊制草草工百=fc4fjrkJ可!K，.，t，，~，古学敖柯必均很忡铮陆纺手在kJ 1. 将半径为R的刚性球分别排成简单立方（sc）、体心立方（bcc）和面心立方（fcc）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为rp、rb和rf的小刚球，试分别求出rp/R、rb/R和rf/R的最大值。提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，要比较不同间隙位置的填充情况。
补充题1( 1 )对简单立方a=2R., 小球填入4万体体心且与八个顶角原f相切时"最大，*
+rp)=.J3a = 2.J3R r，=(.J3-1如则(r~L
