二次函数图像与性质完整归纳

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数的图像与性质

二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

二次函数图象的平移

二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。具体方法有两种：一种是将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确定顶点坐标（h，k），然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离；另一种是保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到新的位置，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。

二次函数图像的平移规律是在原有函数的基础上，“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。根据这个规律，可以得到新的顶点坐标和对称轴的方程，从而得到新的二次函数图像。

成两根式。

左加右减，上加下减是二次函数图像平移的基本方法。对于二次函数y=ax^2+bx+c，可以通过以下方法进行平移。

1.沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，y=ax^2+bx+c变成y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m）；

2.沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax^2+bx+c变成y=a(x+m)^2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)^2+b(x-m)+c）；

绘制二次函数图像时，可以采用五点绘图法，将二次函数化为顶点式y=a(x-h)^2+k，确定开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。需要注意的是，开口方向、对称轴、顶点、与x轴、y轴的交点都是绘制图像时需要把握的关键点。

二次函数的解析式可以表示为一般式y=ax^2+bx+c、顶点式y=a(x-h)^2+k或两根式y=a(x-x1)(x-x2)。其中，一般式和顶点式是常用的表示方法，而两根式只适用于二次函数有两个实根的情况。

性质与系数关系

二次函数的解析式可以表示成交点式、顶点式和一般式三种形式，它们之间可以互相转换。其中，交点式只有当$b^2-4ac\geq0$时才能使用。接下来，我们来探讨二次函数的图象与各项系数之间的关系。

1.二次项系数$a$

在二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a$作为二次项系数，显然$a\neq0$。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。$a$的值越大，开口越小；$a$的值越小，开口越大。因此，$a$决定了抛物线开口的大小和方向，$a$的正负决定开口方向，$a$的大小决定开口的大小。

2.一次项系数$b$

在二次项系数$a$确定的前提下，$b$决定了抛物线的对称轴位置。当$a>0$时，$b$的正负决定对称轴在$y$轴的左侧或右侧，$b$的值越大，对称轴越靠右；$b$的值越小，对称轴越靠左。当$a<0$时，$b$的正负决定对称轴在$y$轴的右侧或左侧，$b$的值越大，对称轴越靠左；$b$的值越小，对称轴越靠右。

3.常数项$c$

c$决定了抛物线与$y$轴交点的位置。当$c>0$时，抛物线与$y$轴交点在$x$轴上方；当$c=0$时，抛物线与$y$轴交点为坐标原点；当$c<0$时，抛物线与$y$轴交点在$x$轴下方。

综上所述，只要$a$、$b$、$c$都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。

确定二次函数解析式的方法：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。使用待定系数法求解析式时，需要根据题目的特点选择适当的形式，才能使解题更简便。一般来说，有以下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与$x$轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

最后，二次函数的图象具有对称性质，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。当对称轴与$y$轴平行时，抛物线关于$y$轴对称；当对称轴与$x$轴平行时，抛物线关于对称轴对称。

二次函数的对称性可以分为五种情况，分别是关于x轴、y轴、原点、顶点和某一点对称。对于一般式或顶点式的二次函数，进行对称变换后，其解析式也会发生相应的变化。例如，对于关于x轴对称的二次函数，其解析式会变为y=-ax^2-bx-c或y=-a(x-h)-k；对于关于y轴对称的二次函数，其解析式会变为y=ax^2-bx+c或y=a(x+h)+k；对于关于顶点对称的二次函数，其解析式会变为y=-ax^2-bx+c-或y=-a(x-h)+k；对于关于某一点对称的二次函数，其解析式会变为y=-a(x+h-2m)+2n-k。

根据对称性的特点，无论进行何种对称变换，二次函数的形状都不会发生变化，因此其系数a始终保持不变。在求解对称抛物线的表达式时，可以根据题目要求或运算方便性选择合适的形式，先确定原抛物线的顶点坐标和开口方向，再确定对称抛物线的顶点坐标和开口方向，最后写出对称抛物线的解析式。

对于二次函数的图像，可以根据其解析式画出其对应的图像。例如，对于函数y=2x^2，y=x^2，y=2(x-4)^2，y=3(x+4)^2，y=3x^2和y=3(x-2)^2等，它们的图像分别为抛物线开口向上或向下的不同形状。在画图时，可以选取一些x的值，计算出对应的y值，然后将这些点连成平滑的曲线，即可得到二次函数的图像。

举例来说，对于函数y=x^2+4x+6，可以先将其化为完全平方的形式，即y=(x^2+8x+12)-(x^2+4)。然后，以x=-4为中间值，取一些x的值，计算出对应的y值，得到的结果如表格所示。最后，将这些点连成平滑的曲线，就可以画出函数y=x^2+4x+6的图像。

x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 …

y 2 -2 2 6 10 14 18 …

又如，对于函数y=-x^2-4x+3，可以先将其化为完全平方的形式，即y=-(x+2)^2+7.然后，选取一些x的值，计算出对应的y值，得到的结果如表格所示。最后，将这些点连成平滑的曲线，就可以画出函数y=-x^2-4x+3的图像。

解题步骤：

1.根据题意确定二次函数的性质和条件；

2.利用配方法或公式法求出解析式；

3.根据需要求出图象的顶点、对称轴、最值和单调区间等性质。

例1：如果函数y=(m-3)x^2-2mx+1是二次函数，那么m的值为多少？

解：根据题意，y=(m-3)x^2-2mx+1是一个二次函数，因此a=m-3不等于0.根据二次函数的性质，顶点坐标为(-b/2a。f(-b/2a))，其中b=-2m，a=m-3.因此顶点坐标为((-(-2m))/(2(m-3))。f(((-2m)/(2(m-3))))，即(2m/(m-3)。(m-2)^2/(m-3)+1)。由于a不等于0，因此开口方向为上，即a>0.根据顶点的坐标和开口方向，可以确定对称轴为x=2m/(m-3)。根据二次函数的单调性，可以求出函数在区间(-∞。2m/(m-3)]上是单调递减的，在区间[2m/(m-3)。+∞)上是单调递增的。因此，要使函数为二次函数，m的取值范围应该为(m-3)>0，即m>3.

最终答案：m>3.

例2：抛物线y=x^2+2x-4的开口方向是什么？对称轴是什么？顶点坐标是什么？

解：由于二次项系数为正，因此抛物线的开口方向为上。根据配方法，可以将函数表示为y=(x+1)^2-5.因此，顶点坐标为(-1.-5)，对称轴为x=-1.

最终答案：开口方向为上，对称轴为x=-1，顶点坐标为(-1.-5)。

例3：求函数y=x+6x+9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。

解：根据配方法，可以将函数表示为y=(x+3)-7.因此，顶点坐标为(-3.-7)，对称轴为x=-3.当x=-3时，函数取得最小值y=-7.根据二次函数的单调性，可以求出函数在区间(-∞。-3]上是单调递减的，在区间[-3.+∞)上是单调递增的。

最终答案：最小值为-7，对称轴为x=-3，顶点坐标为(-3.-7)，单调区间为(-∞。-3]和[-3.+∞)。

例4：已知a-b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax^2+bx+c的图像的顶点可能在哪个象限？

解：根据题意，可以求出a=1/6b和c=5/6b。将这两个式子代入原方程，可以得到y=(1/6b)x^2+(5/6b)x。因此，顶点坐标为(-5/12.-5/16)。由于a>0，因此开口方向为上，顶点在第二象限。

最终答案：顶点可能在第二象限。

例5已知函数$y=ax^2+bx+c$的图像如下图所示：

image.png](/upload/image_hosting/edp4vz8s.png)

那么函数的解析式为（）

A）$y=-x^2+2x+3$ （B）$y=x^2-2x-3$ （C）$y=-x^2-2x+3$ （D）$y=-x^2-2x-3$

例6已知一次函数$y=ax+c$和二次函数$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$，它们在同一坐标系中的大致图像如（。）。

例7如图：$\triangle ABC$是边长为4的等边三角形，$AB$在$x$轴上，点$C$在第一象限，$AC$与$y$轴交于点$D$，点$A$的坐标为$(-1,0)$。（1）求$B$、$C$、$D$三点