常微分方程

２００７Ｖｏ１．１３，Ｎｏ．５　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ａｂｓｔｒａｃｔｓ（Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　ｌ５　

中］，陈吕萍（厦门大学数学科学学院数学　

与应用数学系，厦门３６１００５）／／数学学　

报．一２０ｏ６，４９（５）．一１１１３～１１２０　讨论了Ｃ　空间中具有逐块光滑边界的　

有界域上和强拟凸域上具有拓广的Ｂ．Ｍ　

核的（０，曰）形式的带权因子的积分表示　

式，得到了带权因子拓广的Ｋｏｐｐｅｌｍａｎ—　Ｌｅｒａｙ．Ｎｏｒｇｕｅｔ公式．由此得到了有界域　

上ａ一方程带权因子的连续解，由于权因　

子的引入，使得积分公式在应用上（如在　

函数插值问题的应用）具有更大的灵活　

性．参ｌ１　关键词：积分表示；权因子；有界域；　

拓广式　

０７０５０１２０　１１０・４１　Ｂａｚｉｌｅｖｉｃ函数相邻两系数模之差的估计　

＝Ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　

ｍｏｄｕｌｉ　ｏｆ　ａｄｊａｃｅｎｔ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｏｆ　Ｂａ－　ｚｉｌｅｖｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［刊，中］，邓琴（杭州电子　

科技大学理学院，杭州３１００１８）／／数学学　

报．一２０ｏ６，４９（５）．一１　ｌ９５～１２００　

研究单叶函数相邻系数模之差的增长问　

ｆ７１　题，设　∈　，　＝［　］　＝１＋　＝　

１ｐ　（九）　，０＜九＜１．当＿厂为Ｂａｚｉｌｅｖｉｃ　

函数时，得到ｌｌ　Ｄ　＋１『＿ＩＤ．１ｌ的准确的阶　

的估计．参７　

关键词：相邻系数；Ｂａｚｉｌｅｖｉｃ函数；模　

０７０５０１２１　１１０・４１　

一类多线性积分算子的端点有界性＝　

Ｅｎｄｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ　ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　ｍｕｌｔｉｌｉｎ—　ｅａｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［刊，中］，支Ｕ岚　（长　

沙理工大学数学系，长沙４１００７７），陆善　

镇，，数学学报．一２Ｏｏ６，４９（５）．－９６１￣９７２　

对一类相关于非卷积型算子的多线性算　

1

常微分方程期末论文 2 一个不亲自检查桥梁每一个部分的坚固性就不过桥的旅行者，是不可能走远的；甚至在数学中，有些事情亦须冒险。

-----Horace Lamb

------题记

概述：

数学家谋求用微积分解决越来越多的问题，他们很快发现不得不对付一类新的问题，他们做的比他们有意识去探求的还多。比较简单的问题引导到可以用初等函数计算的积分，而某些比较困难的问题则引起不能如此表达的积分，如椭圆积分就是实例。这两类问题属于微积分范围，然而没解决更为复杂的问题，就需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应时兴起了。如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

下面就对常微分方程加以介绍

常微分方程基本的概念

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。

一个常微分方程(ODE)是未知函数的微分方程(亦称因变量)是一个唯一独立变量的作用。 以简单形式，未知函数是一个真正或复杂明度函数，但更加一般，它也许传染媒介被重视或矩阵被重视： 这对应于考虑常微分方程系统为一个唯一作用。 常微分方程根据因变量的最高的衍生物的命令进一步被分类关于出现于等式的独立变量。 最重要的论点为应用是优先处理和第二级次的微分方程。

常微分方程解法

常微分方程是数学中的一门重要分支，研究描述自然界和社会现象中变化规律的方程。解常微分方程的方法多种多样，下面将介绍常见的几种解法。

一、分离变量法

分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶常微分方程。解题步骤如下：

1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式，将变量分离。

2. 对两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。

3. 左边的积分可以通过换元或者使用常见函数的积分公式进行计算。

4. 右边的积分可以通过与左边的积分结果进行比较来判断是否需要使用特殊的积分技巧。

5. 对左右两边同时积分后，解出方程中的积分常数。

6. 将积分常数代回原方程中，得到完整的解。

二、常数变易法

常数变易法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程。解题步骤如下：

1. 先求出对应的齐次方程dy/dx+p(x)y=0的通解。 2. 假设原方程的特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)是一个待定的函数，v(x)是齐次方程的通解。

3. 将y=u(x)v(x)代入原方程中，整理后得到关于u(x)和v(x)的方程。

4. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的值。

5. 将u(x)的值代入v(x)中，得到特解。

6. 特解与齐次方程的通解相加，即得到原方程的完整解。

三、二阶齐次线性方程解法

二阶齐次线性方程的一般形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0。解题步骤如下：

1. 求解对应的齐次方程d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0，其中r为未知数。

2. 求解特征方程得到两个不同的根r1和r2。

3. 根据r1和r2的值，得到齐次方程的通解y=c1e^r1x+c2e^r2x，其中c1、c2为任意常数。

四、变量替换法

变量替换法适用于形如dy/dx=f(y/x)的一阶常微分方程。解题步骤如下：

微分方程的分类

微分方程是数学领域中最重要的基础理论之一，它在不同学科领域中都有着广泛的应用，如物理、化学、天文学等。微分方程就是研究函数与其导数之间的关系的方程，它可以用于预测各种自然现象，如生物发展、大气环境等。根据方程中的变量和函数的属性，微分方程可以分为几种类型。

1. 常微分方程

常微分方程是微积分中一个最基本的分支。它只包括某一自变量的导数，比如dy/dx=f(x),这是一种典型的一阶常微分方程。常微分方程可以分为齐次与非齐次方程。齐次常微分方程有形如y′=F(y/x)、y′=F(y/x,y/x′)的等式，异次方程是指其不是齐次方程，係数和方程的项都是常数。

2. 偏微分方程

偏微分方程是包含多个自变量的方程，它的未知函数是多个变量的函数，而且方程中包含这个函数的偏导数。偏微分方程的求解往往需要一些特殊的技巧和数学工具。偏微分方程可以分为线性与非线性方程，线性偏微分方程中函数的次数是1，而非线性偏微分方程中函数的次数是2或更高。

3. 非线性微分方程

非线性微分方程中，被看作自变量的函数被放在一个非线性函数中，这会使得方程变得更加复杂、难以求解。非线性微分方程通常具有难以求解解析解的特性，需要借助计算机算法或者寻求各种近似解来解决。

4. 常微分方程组

常微分方程组由两个或多个常微分方程联立而成。 常微分方程组具有许多应用，例如在计算机模拟和控制理论中。常微分方程组可以分为线性与非线性方程组，与线性微分方程类似，线性微分方程组的求解相对简单，但是非线性微分方程组的求解难度更高，需要依靠数值计算和近似法。

总之，微分方程是一门非常重要的数学分支，用来描述自然界中的各种现象。基于不同的模型，可以将微分方程分为几种类型。对于研究者来说，选择适合自己的微分方程类型是很关键的，它将决定研究者的求解方法和技巧。