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高中数学 选修1-2 1.线性回归模型

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1.线性回归模型

教学目标 班级_____姓名________

1.了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

2.掌握建立线性回归模型的方法.

3.理解线性回归模型与函数模型的差异.

教学过程

一、回归分析的方法.

1.变量与变量的关系：（1）函数关系：一种确定关系；（2）相关关系：一种非确定关系.

2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.

3.回归分析的步骤：（1）确定研究对象；（2）采集数据；（3）画散点图；（4）求回归直线方程；（5）预测结果；（6）建线性回归模型，求残差，画残差图；（7）求2R，刻画拟合效果.

二、例题分析.

例1：研究某大学女大学生身高与体重的关系. （例见教科书2P）

1.确定研究对象：某大学女大学生身高与体重的关系.

2.采集数据： （表见教科书2P）

3.画散点图：（以身高为自变量x，体重为因变量y） （图见教科书2P）

样本点呈带状分布，说明身高和体重有较好的线性相关关系.

4.求回归直线方程：（1）求身高平均值25.165x、体重平均值5.54y，),(yx称为样本点的中心，回归直线必过该点.

（2）求回归直线axbyˆˆˆ的参数bˆ、aˆ；解得

849.0)(...)()())((...))(())(()())((ˆ282221882211211xxxxxxyyxxyyxxyyxxxxyyxxbiniiini

712.85ˆˆxbya， （3）得回归直线方程712.85849.0ˆxy.

5.预测结果：将身高x代入回归直线axbyˆˆˆ，可预测体重.

身高为172cm的女大学生，体重为316.60712.85172849.0ˆy.

6.建立线性回归模型，求残差，画残差图：

（1）身高与体重不是确定关系；

（2）函数是一种确定关系；

（3）不能用函数来描述身高与体重的关系； （4）建立线性回归模型eaxbyˆˆ.（e称为随机误差）；

（5）表示体重真实值与预测值之间的误差（真实值：真实体重，如表格中样本点的体重数据；预测值：根据身高用回归直线求出的体重数值）；

（6）y是由x和e共同确定，x只能解释部分y的变化.x称为解释变量，y称为预报变量.

（7）由eaxbyˆˆ（表示真实值），axbyˆˆˆ（表示预测值）可得axbyyyeˆˆˆ；（8）对于每个样本点),(11yx，都有axbyeiiiˆˆˆ；

（9）ieˆ称为相应于点),(iiyx的残差；

（10）残差图：（纵坐标为残差，横坐标可选为样本编号或身高数据等）（图见教科书5P）；（11）残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适；带状区域的宽度越窄，说明模型精度越高，预报越准；残差较大，可能是数据采集有错误，或其他原因造成.

7.求2R，刻画拟合效果：

（1）21212)()ˆ(1yyyyRiniiini（21)ˆ(iiniyy表示残差平方和，iy表示样本真实值，iyˆ表示样本预测值，y表示样本平均值）

（2）2R表示x对于y变化的贡献率；2R越接近1，表示回归效果越好；

（3）2R是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应尽量选择2R大的回归模型.

（4）可得64.0)(...)()()ˆ(...)ˆ()ˆ()()ˆ(12822212882222112812812yyyyyyyyyyyyyyyyRiiiii，

表明“女大学生的体重差异有0064是由身高引起的”.

作业：某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：

次数（x） 30 33 35 37 39 44 46 50

成绩（y） 30 34 37 39 42 46 48 51

（1）作出散点图；（2）求出回归方程；（3）作出残差图；（4）计算相关指数2R；

（5）试预测该运动员训练47次及55次的成绩.

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人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答

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高中数学选修1-2课后题答案

第一章 统计案例

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用

回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。

第二章 推理证明

2.1 合情推理与演绎推理

合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。

2.2 直接证明与间接证明

直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充与复数的概念

数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。

3.2 复数的代数形式的四则运算

复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。

第四章 框图

4.1 流程图

流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。

4.2 结构图

结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。结构图可以帮助人们更好地理解程序的结构，从而提高程序的可读性和可维护性。

高中数学人教版选修1-2全套教案

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第一章统计案例

第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）

教学目标

1、知识与技能目标

认识随机误差；

2、过程与方法目标

（1）会使用函数计算器求回归方程； （2）能正确理解回归方程的预报结果.

3、情感、态度、价值观

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.

教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.

教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报.

二、讲授新课：

1. 教学例题：

① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编

号

1 2 3 4 5 6 7 8

身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170

体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路教师演示学生整理）

第一步：作散点图 第二步：求回归方程 第三步：代值计算 010203040506070150155160165170175180身高/cm体重/kg

人教版高中数学(理科)选修线性回归(一)

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线性回归（一）

教学目的：

1 了解相关关系、回归分析、散点图的概念

2．明确事物间是相互联系的，了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握回归直线方程的求解方法

3．会求回归直线方程

教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法

教学难点：回归直线方程的求解方法

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系——相关关系

二、讲解新课：

1．相关关系的概念

当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系

相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系（有因果关系，也有伴随关系）.因此，相关关系与函数关系的异同点如下：

相同点：均是指两个变量的关系

不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．

2．回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性

3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度粗略地看，散点分布具有一定的规律

选 修1-2第一章

选 修1-2第一章

第 一 章 统 计 案 例

1．1 回归分析的基本思想及其初步应用

第1课时 回归分析的基本思想及其初步应用(1)

知能要点提炼 课标考题表现 对应题号关注

1. 能正确判断两变量相关关系. 2011·江西(文) 1,2,3,7,11,22

2. 了解回归模型的意义. 2011·安徽(文) 4,5,6,8,9,10,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,23

飞跃，这里是最好的起点„„

1. 下列两个变量之间的关系中，是函数关系的是( )．

A. 学生的性别与他的数学成绩

B. 人的工作环境与健康状况

C. 女儿的身高与父亲的身高

D. 正三角形的边长与面积

2. 给出下列变量间的关系：

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；

②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；

③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；

④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．

其中是相关关系的是( )．

A. ①② B. ①③

C. ①④ D. ②③

3. 下面两个变量间的关系不是函数关系的是( )．

A. 正方体的棱长与体积

B. 角的度数与它的正弦值

C. 单产为常数时，土地面积与粮食总产量

D. 日照时间与水稻亩产量

4. 关于变量y与x之间的回归直线方程叙述正确的是( )．

A. 表示y与x之间的一种确定性关系

B. 表示y与x之间的相关关系

C. 表示y与x之间的最真实的关系

D. 表示y与x之间真实关系的一种效果最好的拟合

5. 已知变量x与y间的一组数据如下：

x 5 4 3 2 1

y 2 1.5 1 1 0.5

由表可计算出变量x，y的线性回归方程为________．

6. 将形如y＝axb＋c(b≠0)的函数转化成线性函数的方法：令________，则得到方程________，其函数的图象是一条直线．

7. 有下列关系：①名师出高徒；②球的体积与该球的半径之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与他(她)的学号之间的关系；⑥乌鸦叫，没好兆．其中，具有相关关系的是________．