空间基本图形的公理

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班级:高一年级 科目:数学

周次 教学时间 2011年11月 日 月教案序号

课题 1-5-2 空间图形的公理 课型 新授

教学目标

(识记、理解应用、分析、创见) 知识目标：在掌握五类位置关系的分类及其有关概念的基础上, 继续学习和掌握平面的基本性质,即公理1,2,3. 提高学生的归纳、类比能力.

能力目标：通过对长方体的观察，直观的了解点线面的位置关系，感受数学来源与生活，培养和发展空间想象能力.

情感目标：结合三种语言的相互转换，体会数学图形的直观美和数学语言的简洁美.

教学重点

及难点 教学重点: 4个公理和等角定理的应用.

教学难点: 空间图形的位置关系和公理的归纳.

教学方法 学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

教法：“问题探究式”教学法。

教学反馈

板

书

设

计 1-5-2 空间图形的公理

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).

公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 常常将平面α与平面β的公共直线即交线a记作α∩β=a.

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.

定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

一、情境导入

1、导入

大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.

2、复习：

①为了直观地了解点、线、面的位置关系,我们先观察一个长方体. 如图2.

该长方体中有几个顶点?几条棱?几个面?

图2

②观察图2所示的长方体,归纳空间点与直线的位置关系?

③归纳空间点与平面的位置关系?

④归纳空间两条直线的位置关系?

⑤归纳空间直线与平面的位置关系?

⑥归纳空间平面与平面的位置关系?

二、学习新课

1、提出问题

①把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上,可以看到直尺边缘与桌面重合,这是显而易见的事实,用公理的形式把它表示出来.

②在日常生活中,照相机的脚架,施工用的撑脚架,天文望远镜的脚架等都制成三个脚,这样,可以使这些物体放置得很平稳.我们知道,两点确定一条直线.那么怎样确定一个平面呢?归纳出公理.

③ 经过一条直线和这条直线外一点,可以确定一个平面吗?

经过两条相交直线,可以确定一个平面吗?

经过两条平行直线,可以确定一个平面吗?

④长方体表面中的任意两个面,要么平行,要么交于一条直线.其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质.那么,两个平面在什么情况下相交?并归纳出公理.

⑤在平面内,平行于同一条直线的两条直线平行,那么在空间中呢?

⑥在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.(如图3,AO∥A′O′,BC∥B′O′,∠AOB和∠A′O′B′相等,∠AOC和∠A′O′B′互补.)在空间中呢?

图3

讨论结果:

①公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).

如图4,直线AB在平面α内,记作直线ABα.

图4

②公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).

如图5,经过不在同一条直线上的三点A,B,C的平面α,又可记作“平面ABC”.

图5

③上边三种情况都可以确定一个平面,把这三个结论通常看成平面的性质.

④公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 常常将平面α与平面β的公共直线即交线a记作α∩β=a.

⑤公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.

在图6的长方体中,a∥b,b∥c,不难看出a∥c.

图6

⑥在空间亦有:

定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

2、应用示例

例1 在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.

活动:只需证明FG∥EH,且FG=EH即可.

证明:如图7,连接BD.

图7

因为FG是△CBD的中位线,

所以FG∥BD,FG=21BD.

又因为EH是△ABD的中位线,

所以EH∥BD,EH=21BD.

根据公理4,FG∥EH,且FG=EH.

所以四边形EFGH是平行四边形.

变式训练

如图7,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD.

求证:四边形EFGH是菱形.

证明:连接EH,因为EH是△ABD的中位线,所以EH∥BD,且EH=21BD.

同理,FG∥BD,EF∥AC,且FG=21BD,EF=21AC.

所以EH∥FG,且EH=FG.

所以四边形EFGH为平行四边形.

因为AC=BD,

所以EF=EH.

所以四边形EFGH为菱形.

例2 如图8(1),将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是…( )

A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60°

解:如图8(2),将上面的展开图还原成正方体,点B与点D重合.容易知道AB=BC=CA,

从而△ABC是等边三角形,所以选D.

图8

变式训练

图9表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有______________对.

图9

三、巩固训练

1、画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.

图15

2、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.

3、O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.

图17

4、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.

图18

5、拓展提升

下列命题中正确的个数是( )

① 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

② 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④ 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

A.0 B.1 C.2

D.3

图19

四、课堂小结

本节课学习了五种类型的位置关系,以及4个公理和等角定理,学习了两直线平行的判定方法.

五、作业

习题1—4 A组4、5.

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