小学奥数之牛吃草问题(含答案)

小学奥数之牛吃草问题(含答案)

英国著名数学家XXX曾经提出了一个著名的数学问题，即“牛吃草问题”，也可以称之为追及问题或者工程问题。它的具体形式是：在一个牧场上，有一片青草，每天都以相同的速度生长。这片青草可以供给10头牛吃22天，或者供给16头牛吃10天。那么，如果供给25头牛吃，它可以维持多少天呢？

解决这个问题的关键在于找到一些不变的量。首先，我们需要计算出每天新长出的草的数量，然后再计算出牧场上原有的草的数量。接着，我们可以计算出每天实际消耗的草量，最后就可以得出可以供25头牛吃的天数。

具体而言，通过比较10头牛22天吃的总量和16头牛10天吃的总量，我们可以得到每天新长出的草的数量。然后，我们可以将25头牛分成两部分，一部分吃新长出的草，另一部分吃原有的草，从而计算出可以供25头牛吃的天数。

除了这个经典的牛吃草问题，还有一些类似的问题，比如在一个牧场上，一堆草可以供10头牛吃3天，那么这堆草可以供6头牛吃几天呢？这个问题相对简单，我们可以通过简单的计算得到答案为5天。但是，如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就变得更加复杂了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这种工作总量不固定的问题就是牛吃草问题。

小军家有一片牧场，上面长满了草。这片牧场可供10头牛吃20天，也可供12头牛吃15天。如果小军家养了24头牛，那么这些牛可以吃多少天呢？我们可以通过已知的两种情况来计算出每天新长出的草量，即每天5头牛的草量。这样，我们就可以算出原有的草量是100份，每天新长出的草量是5份。当有25头牛时，其中有5头牛专吃新长出来的草，剩下的20头牛吃原有的草。这些牛吃完草需要5天。因此，这片草地可供25头牛吃5天。

在这个例子中，我们需要注意以下三点：1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的；2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量；3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。

另一个例子是一个牧场，可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。如果草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，这片牧场可以供多少头牛吃6天呢？通过计算，我们可以得出每天新长出的草量是22份。这样，我们就可以算出原有的草量是252份。当有56头牛时，其中有6头牛专吃新长出来的草，剩下的50头牛吃原有的草。这些牛吃完草需要6天。因此，这片草地可供56头牛吃6天。

求牛速问题

要求牛速就是要求出路程差除以追及时间再加上草速。根据公式252÷6＋22=64(头)，可以得出需要64头牛。

草地上的草可供多少头牛吃10天？

由于天气越来越冷，牧场上的草不仅不长，反而在以固定速度减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。根据例1的方法，可以求出每天减少的草量和原有的草量。假设1头牛1天吃1份草，20头牛5天吃100份草，15头牛6天吃90份草，100-90=10（份），说明寒冷使牧场每天减少10份青草，相当于10头牛在吃草。因此，牧场原有草（20＋10）×5＝150（份）。由此可知，牧场原有草可供15头牛吃10天，因为寒冷相当于占去了10头牛，所以可供5头牛吃10天。

出水管和进水管问题

一个水池有一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后再打开出水管。如果同时打开2个出水管，8分钟后水池会被排空；如果同时打开3个出水管，5分钟后水池会被排空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？

进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，因此可以将其视为牛吃草问题。出水管排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16份，3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15份，这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3分钟内所放进的水量，因此每分钟的进水量是(16-15)/3=1/3份。假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水，两相抵消，其余的出水管排原有的水，可以求出原有水的水量为(2-1/3)×8=40/3份或(3-1/3)×5=40/3份。因此，出水管比进水管晚开了40/3分钟。

1/5 - 2/15 = 1/15

因此，每个进水管和排水管的效率都是1/15.

要在2小时内将水池注满，相当于进水管和排水管的效率之和为1/2，设需要x个进水管，则有：

x/15 + 1/15 = 1/2

化XXX：x = 8.5

因此，至少要打开9个进水管才能在2小时内将水池注满。

反思：这道题既可以用代数解法，也可以用牛吃草问题的思路来解决。不同的解法可以帮助学生更好地理解问题，提高解决问题的能力。

4×1/15 - 1/5 = 1/15 或者 2×1/15 - 1/15 = 1/15，这是一个简单的数学问题。现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？通过计算（1/2 + 1/15）÷ 1/15 = 8.5（个），我们可以得出答案。

例6中，自动扶梯以均匀速度由下往上行驶。两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？我们可以将这个问题看作牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5 = 100（级），女孩6分钟走了15×6 = 90（级），女孩比男孩少走了100-90 = 10（级），多用了6-5 = 1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5 = 150（级）。

例7中，某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？我们可以将这个问题看作牛吃草问题。旅客总数由两部分组成：一部分是前已经在排队的原有旅客，另一部分是后新来的旅客。设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。

有三块草地，分别为5、6和8公顷。这些草地上的草一样厚，生长速度一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。现在问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

为了解决这个问题，我们需要将三块草地的面积统一起来。将三块草地的面积相乘，得到120公顷。因为5公顷草地可供11头牛吃10天，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天；同样地，因为6公顷草地可供12头牛吃14天，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。最后，我们可以通过120÷8＝15来计算第三块草地可供多少头牛吃多少天。因为草地面积相同，所以我们可以将原问题转化为：“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天”。这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝840（份）。可供285头牛吃840÷（285—180）＝8（天）。所以，第三块草地可供19头牛吃8天。

接下来看例9.牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完。假设草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？

为了解决这个问题，我们需要找出牧场原有的草量和每周新长的草量。我们可以通过画线段图来找到这两个量。通过比较18头牛吃10周的草量和24头牛吃6周的草量，我们发现前者比后者多出4周新生长的草量。这样，我们就可以求出草的生长速度。有了每周新长的草量，我们就可以用24头牛吃6周的草量减去6周新长的草量，或用18头牛吃10周的草量减去10周新长的草量，得到牧场原有的草量。有了原有的草量和新长的草量，问题就能很顺利求解了。

设1头牛吃一周的草量为一份。24头牛吃6周的草量为24×6=144（份），18头牛吃10周的草量为18×10=180（份）。10周新长的草量为180-144=36（份），每周新长的草量为36÷（10-6）=9（份）。因此，19头牛需要的时间为（144-19×9）÷9＝9（周）。

例1020匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草。假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同，求出多少匹马36天可吃完40公顷的牧草。

解题思路：

要求出每公顷每天新长的草量和每公顷原有草量，才能解决问题。设一匹马吃一天的草量为一份。20匹马72天吃32公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，可供20×72÷32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份。同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54÷24=36份。这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决。

解题步骤：

1）每公顷每天新长的草量：

20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54）=0.5（份）

2）每公顷原有草量：

20×72÷32-0.5×72=9（份）

或

16×54÷24-0.5×54=9（份）

3）40公顷原有草量：

9×40=360（份）