3.2.3立体几何中的向量方法——空间角、法向量

所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.

3.2.3立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
再次演示课件
法向量法
n1，n2
n2
n1，n2 n2
n1
n1
l
l
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
结论：cos cos n1, n2
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量
夹角的补角；
关键：观察二面角的范围
一进一出，二面角等于法 向量夹角
四3 、实教践学操过作程的设计与实施
问题1：
二面角的平面角AOB 能否转化成向量的夹角？
B
O l
A
AOB OA,OB
二面角 OA,OB
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
二面角 n1, n2
要点梳理
②方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在 二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.
设二面角α-l-β的大小为θ，其中
z
S
O
Cy
B
sin cos OS, n OS n 2 6
OS n 1 6 3
C（0，1，0）； O（0，0，0）；
S（0，0，1）， 于是我们有
SA =（2，0，-1）；AB =（-1，1，0）；
OB =（1，1，0）；OS =（0，0，1）；

uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时， 即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向 量夹角的补角．
z
（1）求证： 直线B1O 面MAC;
（2）求二面角
uuur
Bu1uur
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
uuur B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角 时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角 等于这个夹角减去90°.
①向量法
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，

立体几何中的向量方法教案第一章：向量基础知识回顾1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（箭头表示法和平面向量表示法）。

通过实例讲解向量的长度和方向。

1.2 向量的运算向量的加法、减法和数乘运算规则。

利用图形和实例演示向量加法、减法和数乘的运算过程。

1.3 向量的坐标表示二维和三维空间中的向量坐标表示方法。

利用坐标轴上的点表示向量的起点和终点，推导向量的坐标表示。

第二章：向量在立体几何中的应用2.1 向量在空间解析几何中的应用利用向量表示空间中的点、直线和平面。

讲解如何利用向量求解空间中的距离、角度和夹角。

2.2 向量与空间几何图形的关系向量与线段、射线、直线的关系。

利用向量研究空间中点、线、面的位置关系和相互转化。

2.3 向量与空间角的计算利用向量计算空间中的角度和夹角。

讲解向量点积和向量叉积的概念，并应用于空间角的计算。

第三章：向量在立体几何中的线性方程组3.1 向量线性方程组的定义和性质介绍向量线性方程组的概念和基本性质。

讲解向量线性方程组的解的存在性和唯一性。

3.2 向量线性方程组的求解方法利用高斯消元法求解向量线性方程组。

利用矩阵和行列式的方法求解向量线性方程组。

3.3 向量线性方程组在立体几何中的应用利用向量线性方程组求解空间中的点、直线和平面的位置关系。

讲解向量线性方程组在立体几何问题中的应用实例。

第四章：向量在立体几何中的几何意义4.1 向量的模和长度向量的模和长度的定义及性质。

利用向量的模和长度研究立体几何图形的大小和形状。

4.2 向量的方向和角度向量的方向和角度的定义及性质。

利用向量的方向和角度研究立体几何图形的位置关系和角度大小。

4.3 向量的夹角和向量积向量的夹角的定义及性质。

利用向量积研究立体几何图形之间的相互关系和角度大小。

第五章：向量在立体几何中的综合应用5.1 向量在立体几何中的举例应用利用向量解决立体几何中的距离和角度问题。

利用向量求解空间中的点、直线和平面的位置关系。