高中数学选修系列2选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案

41 / 15 )(

)( )())(()())(())((xxxxfxxfdttfdxd

)()()()(abadxxfagdxxgxfbdxxgbf

)()(§3 微积分基本定理与定积分计算

一、目标预览

1.理解并能熟练运用微积分基本定理.

2.掌握定积分的常用计算方法.

3.了解定积分与不等式的常用证明方法.

4.了解定积分相关知识的综合应用.

二、概念入门

设],[baRf，称函数xadttfx

)()(]),[(bax为函数)(xf在],[ba上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：bxdttfx

)()(.

注（i）由)(R积分的性质，)(x的定义有意义.

（ii）由)(R积分的性质易证],[)(baCx.

三、主要事实

1.微积分基本定理

若],[baCf，则)()(xfx]),[(bax，即

xaxfdttfdxd

)()(，],[bax.

注（i）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得.

（ii）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：

若],[baCf，而且)()(xfxF]),[(bax，则

xaaFxFdttf

)()()(]),[(bax.

(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积

分、微分与积分的内在联系.

（iv）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限积分求导公式：

若],[baCf，)(x、)(x在],[dc上可微而且]),([dc、],[]),([badc，则

2.第二积分中值定理

（1）（旁内（Bonnet，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若],[baRf，而且)(xg是],[ba上非负递减（相应地递增）函数，则存在],[ba使得

（相应地）

（2）（Werierstrass型第二积分中值定理）若],[baRf，

)(xg是],[ba上的单调函数，则存在],[ba使得

babadxxfbgdxxfagdxxgxf

)()()()()()(.

证（1）令xadttfxF

)()(]),[(bax，利用g的可积性得 42 / 15 iixxiniTbadxxfxgdxxgxf

110||||

1)()(lim)()(

))()()((lim1110||||iiiniTxFxFxg

再由 ))()()((111iiinixFxFxg

)()()]()()[(1111niiinixgbFxgxgxF

及g的单调减小性，可得

)()()()(max

minagFdxxgxfagFba

再由连续函数的介值性即得.

（2）当g为单调递减（增）时，对)()()(bgxgxh)((xg

))(ag应用（1）即得.

3.定积分的计算

（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若],[baRf，],[baCF而且除有限个点外有)()(xfxF，那么有

baaFbFdxxf

)()()(.

注（i）牛顿——莱布屁兹公式简称LN—公式，它是微积

分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.

（ii）证明可由)(R积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在F上）可推得.

（2）（定积分换元积分法）如果)(t在],[上有连续导数，a)(，b)(，],[]),([ba，],[baCf，那么

有badtttfdxxf

)())(()(

注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及LN公式

可得，而且],[)(baCt可减弱为],[R.进一步，定积分换元积分公式中的],[baCf可减弱为],[baRf，但的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：

若],[baRf，],[],[:ba是一一映射而且还满足a)(，b)(，],[)(Rt，那么有

badtttfdxxf

)())(()(.

（ii）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的

直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.

（iii）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.

（3）（分部积分法）如果u、v具有连续的导数，那么有

babaxdvxudxxvxu

)()()()(

babaxduxvxvxu

)()(|)()(. 43 / 15 注（i）分部积分可由乘积微分法则及LN公式直接证之.

（ii）分部积分公式可连续使用n次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：

若u、v具有1n阶连续导数，那么有

bandxxvxu

)1()()(

bannnnxvxuxvxuxvxu|)]()()1()()()()([)()1()(

banndxxvxu

)1(1)()()1(),3,2,1(n.

4.定积分计算中常用的几个公式

（1）若],[baCf，则

babadxxbafdxxf

)()(

badxxbafxf

)]()([21.

（2）若],[aaCf，则

aaadxxfxfdxxf

0

))()(()(

为奇函数为偶函数f，fdxxfa 0 ,)(2

0

（3）若)(xf是以T为周期的周期函数，则1Ra有

T/2

2/

0

)()()(TTTaadxxfdxxfdxxf

（4）若]1,0[Cf，则

2

0 2

0 )(cos)(sindxxfdxxf.

（5）若]1,1[Cf，则

2

0

0

0 )(sin)(sin2)(sindxxfdxxxfdxxxf.

证（1）令tbax可得.

（2）令tx得aadttfdxxf

0 0

)()(.

（3）令Ttx得aaTaTdttfdtTtfdxxf

0

0

)()()(，

于是有

TTaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf

0

)()()()(，

再令2Ta得Tππ/dxxfdxxf

0 2/

2- )()(.

（4）令tx2/可得.

（5）令tx可得



0

0

0 )(sin)(sin)(sindtttfdttfdxxxf

及 2

0

2 )(sin)(sindttfdxxf. 44 / 15 5.带积分余项的泰勒公式

若)(xf在],[ba上具有1n阶连续导数，那么],[,0baxx有

xxnnkknkdttxtfnxxkxfxf

)1(00)(00))((!1)(!)()(，

即xxnnndttxtfnxR

)1(0))((!1)(，称此为泰勒公式的积分余

项.

注（i）令nknktxktfxftF)(!)()()()(0（常数变易法），

对)(tF分别应用LN公式及分部积分公式即获得积分余项公式

的证明.

（ii）对积分余项应用第一积分中值定理（ntxtg)()(在积分区间],[0xx（或],[0xx上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：

10)1())(()!1(1)(nnnxxfnxR

（其中10),(00xxx）.

（iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：

)())((!1)(0)1(xxxfnxRnnn

)10()()1))(((!11000)1(nnnxxxxxfn

四、例题选讲

1.定积分计算例题选.

例1 求下列定积分

（1）2

0 24dxxx （2）2

0 2cossintdtt （3）1

0 21dxx

（4）1

0 21)1ln(dxxx （5）exdxx

0 2ln （6）ln2

0 21dxex

（7）4

2 )3ln()9ln()9ln(dxxxx （8）4

4- 21sindxexx

（9）2

21 111dxexxxx

解（1）2

0 202322238|)4(31)4(421xxdx.

（2）2

0 203231|cos31coscostttd.

（3）令txsin，（3）4|)2sin21(21cos202

0 2tttdt

（4）令txtan，（4）4

0 tant)ln(1dt

4

0 4

0 cos))4/(sin(2lncossincoslndxxxdxxxx.

令tx4得4

0 4

0 cosln)4sin(lntdtdxx，于是有