2022年强化训练北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试试题

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2022年北师大版九年级数学下册第三章圆综合测评试题(含答案及详细解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在半径为6cm的圆中，120︒的圆心角所对弧的弧长是（）A．12πcm B．3πcm C．4πcm D．6πcm2、如图，FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB 于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（）B．2 C．D．3A3、如图，小王将一长为4，宽为3的长方形木板放在桌面上按顺时针方向做无滑动的翻滚，当第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，此时木板与桌面成30°角，则点A运动到A2时的路径长为（）A．10 B．4πC．72πD．524、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则下列角中可确定大小的是（）A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA5、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，38C∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AED∠的大小是（）A．19°B．38°C．52°D．76°6、如图，直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）A ．7(,0)3-B ．17(,0)3- C ．7(,0)3-或17(,0)3- D ．（﹣2，0）或（﹣5，0）7、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（）A ．50°B ．25°C ．100°D ．30°8、如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，若O 的半径为4，则正方形ABCD 的边长为（）A ．4B ．8C ．D ．9、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（）A ．1B ．12CD 10、已知O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为4cm ，则点P 和圆的位置关系（）A ．点在圆内B ．点在圆外C ．点在圆上D ．无法判断第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系中，点N 是直线5y x =-+上动点，M 是C 上动点，若点C 的坐标为()2,0-，且C 与y 轴相切，则MN 长度的最小值为____________．2、一块直角三角板的30°角的顶点A 落在O 上，两边分别交O 于B 、C 两点，若弦BC 长为4，则O 的半径为______．3、如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，8CD =，5OA =，则AH 的长为________．4、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA和OC的夹角为120°，OA的长为25cm，贴纸部分的宽AB为20cm，则一面贴纸的面积为______2cm．（结果保留π）5、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．（1）当t＝0时，求点C的坐标；（2）当t＝4时，求OD的长及∠BAO的大小；（3）求从t ＝0到t ＝4这一时段点D 运动路线的长；（4）当以点C 为圆心，CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．2、如图，AB 为O 的直径，弦,DA BC 的延长线相交于点P ，且BC PC =求证：2BAD P ∠=∠．3、如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A ，B ，C 三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）画出该圆的圆心O ，并画出劣弧AB 的中点D ；（2）画出格点E ，使EA 为⊙O 的一条切线，并画出过点E 的另一条切线EF ，切点为F ．4、如图，已知等边ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD 的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB的长为6，求CE的长．5、如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，PC＝AB的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．【详解】解：由题意得：120︒的圆心角所对弧的弧长是12064180180n r πππ⨯==；故选C ．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．2、C【分析】根据切线长定理可得，BE EC =、CD AD =、AF BF =，再根据∠F ＝60°，可知ABF 为等边三角形，120AOB ∠=︒，再△FDE 的周长为12，可得12BF AF +=，求得6AB =，再作OH AB ⊥，即可求解．【详解】解：FA 、FB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，过点C 的切线分别交FA 、FB 于D 、E 两点，则：BE EC =、CD AD =、AF BF =，90OBF OAF ∠=∠=︒，∵∠F ＝60°，∴ABF 为等边三角形，360120AOB F OBF OAF ∠=︒-∠-∠-∠=︒，∵△FDE 的周长为12，即12CD EC EF DF +++=，∴12BF AF +=，即6AB AF ==，作OH AB ⊥，如下图：则1602BOH AOB ∠=∠=︒，132BH AB ==， ∴30OBH ∠=︒，设OH x =，则2OB x =，由勾股定理可得：2223(2)x x +=，解得x =OB =故选C【点睛】此题考查了圆的有关性质，切线的性质、切线长定理，垂径定理以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．3、C【分析】根据题意可得：第一次转动的路径是以点B 为圆心，AB 长为半径的弧长，此时圆心角190ABA ∠=︒ ，第二次转动的路径是以点C 为圆心，A 1C 长为半径的弧长，此时圆心角21903060A CA ∠=︒-︒=︒ ，再由弧长公式，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：15AB A B === ，123AC A C == ，第一次转动的路径是以点B 为圆心，AB 长为半径的弧长，此时圆心角190ABA ∠=︒ ， ∴190551802AA l ππ⨯== ，第二次转动的路径是以点C 为圆心，A 1C 长为半径的弧长，此时圆心角21903060A CA ∠=︒-︒=︒ ， ∴21603180A A l ππ⨯== ， ∴点A 运动到A 2时的路径长为1215722AA A A l l πππ+=+= ．故选：C【点睛】本题主要考查了求弧长，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．4、C【分析】由题意根据正方形的性质得到BC 弧所对的圆心角为90°，则∠BOC =90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵正方形ABCD 内接于⊙O ，∴BC 所对的圆心角为90°，∴∠BOC =90°，∴∠BPC =12∠BOC =45°．故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC 弧所对的圆心角为90°是解题的关键．5、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案. 【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C∠=︒903852,CBD∴∠=︒-︒=︒CB为O的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.6、C【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD ⊥AB ，PD =1，∵∠ADP =∠AOB =90°，∠PAD =∠BAO ，∴△APD ∽△ABO ， ∴PD AP OB AB =， ∴135AP =， ∴AP = 53，∴OP = 73或OP = 173， ∴P 7(,0)3-或P 17(,0)3-，故选：C ．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．7、B【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵1,502ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ， ∴25ACB ∠=︒ ．故选：B【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．8、D【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE =BE ，由垂径定理可知BC =2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，∴OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE =45°，45BOE ∠=︒∴OE =BE ，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴BE =∴BC =2BE =ABCD 的边长是故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．9、C【分析】根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长【详解】解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒30A ∴∠=︒BC BC =∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，90BCD ∴∠=︒在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12BC BD ==1DC ∴故选C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．10、A【分析】直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．【详解】解：∵⊙O 的半径为5cm ，点P 与圆心O 的距离为4cm ，5cm ＞4cm ，∴点P 在圆内．故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．二、填空题1-2 【分析】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小，利用勾股定理求出CN 的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小∵直线AB 的解析式为5y x =-+当x =0时，y =5，当y =0时，x =5∴B （0，5），A （5，0）∴AO =BO ，△AOB 是等腰直角三角形∴∠BAO =90°当CN ⊥AB 时，则△ACN 是等腰直角三角形∴CN =AN∵C ()2,0-∴AC =7∵AC 2=CN 2+AN 2=2CN 2∴CN当C、M、N三点共线时，MN长度最小即MN=CN-CM-2-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．2、4【分析】连接OB、OC，由题意易得∠BOC=60°，则有△BOC是等边三角形，然后问题可求解．【详解】连接OB、OC，如图所示：∵∠A=30°，∴∠BOC =60°，∵OB =OC ，∴△BOC 是等边三角形，∵4BC =，∴4OB BC ==，即⊙O 的半径为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3、8【分析】如图所示，连接OC ，由垂径定理可得1=42CH DH CD ==，再由勾股定理求出OH ，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，CD =8， ∴1=42CH DH CD ==，∠OHC =90°， ∵OC =OA =5，∴OH ，∴AH =OA +OH =8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．4、200π【分析】根据题意先求出BO，进而分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案．【详解】解：∵OA长为25cm，贴纸部分的宽AB为20cm，∴BO=5cm，∴贴纸的面积为S=S扇形AOC-S扇形BOD=22120251205360360ππ⨯⨯-=200π（cm2）.故答案为：200π．【点睛】本题考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．5、2π【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH，BH=1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH AC分的面积【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°， ∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中， AH =22AB BH - =22231-=，∴AC =23 ，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴()260?232360CAE S ππ==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．三、解答题1、（1）（3，4）；（2）OD ＝4，∠BAO ＝60°；（3）23π；（4）245或325 【分析】（1）先由BC AC =，CD 为AB 边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质得出D 为AB 的中点，则142AD AB ==，然后在Rt ΔCAD 中运用勾股定理求出3CD =，进而得到点C 的坐标；（2）如图2，当4t =时即4AO =，先由D 为AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出142OD AB ==，则4OA OD AD ===，判定AOD ∆为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出60BAO ∠=︒；（3）从0=t 到4t =这一时段点D 运动路线是弧1DD ，由130D OD ∠=︒，4OD =，根据弧长的计算公式求解；（4）分两种情况：①C 与x 轴相切，根据两角对应相等的两三角形相似证明ΔΔCAD ABO ∽，得出AB AO CA CD=，求出AO 的值；②C 与y 轴相切，同理，可求出AO 的值．【详解】解：（1）如图1，∵BC ＝AC ，CD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝4．在Rt△CAD 中，CD 3，∴点C 的坐标为（3，4）；（2）如图2，当t ＝4时，AO ＝4，在Rt△ABO 中，D 为AB 的中点，OD ＝12AB ＝4，∴OA ＝OD ＝AD ＝4，∴△AOD 为等边三角形，∴∠BAO ＝60°；（3）如图3，从t ＝0到t ＝4这一时段点D 运动路线是弧DD 1，其中，OD ＝OD 1＝4，又∵∠D 1OD ＝90°﹣60°＝30°，∴13042 1803DDππ⨯⨯==；（4）分两种情况：①设AO＝t1时，⊙C与x轴相切，A为切点，如图4．∴CA⊥OA，∴CA∥y轴，∴∠CAD＝∠ABO．又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴Rt△CAD∽Rt△ABO，∴AB AOCA CD=，即1853t=，解得124 5t=；②设AO＝t2时，⊙C与y轴相切，B为切点，如图5．同理可得，232 5t=．综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的计算，直线与圆相切，切线的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，其中第（4）问进行分类讨论是解题的关键．2、见解析【分析】如图：连接AC，根据AB为O的直径可得∠ACB=90°，即AC⊥BP.再根据BC=PC可知AC为BP的垂直平分线可得AB=AP，根据等腰三角形的性质得到∠P=∠B，最后由三角形外角的性质即可证明．【详解】证明：如图：连接AC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BP.∵BC=PC，∴AC为BP的垂直平分线，∴AB=AP，∴∠P=∠B，∴∠BAD=∠P+∠B=2∠P．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂直平分线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，根据题意作出辅助线、构造出圆周角是成为解答本题的关键．3、（1）作图见详解；（2）作图见详解【分析】（1）四边形ABCG为矩形，连接AC，BG交点即为圆心O；观察图发现在线段AB中间的一个小正方形方格内，连接其对角线，交于点H，然后连接OH交圆O于点D，即为所求；（2）在方格中利用全等三角形可得RRRRRR≅RRRRRR，由其性质得出DAE+∠RRR=90°，且点E恰好在格点上，即为所求；连接OU，EU,JT，MT,RM,SA，利用全等三角形的性质及平行线的性质可得RR⊥RR，根据垂直于弦的直径同时平分弦，得出点F即为点A关于OE的对称点，即为所求．【详解】解：（1）如图所示：四边形ABCG为矩形，连接AC，BG交点即为圆心O；观察图发现在线段AB中间的一个小正方形方格内，连接其对角线，交于点H，然后连接OH交圆O于点D，即为所求；（2）如图所示：在RRRRRR与RRRRRR中，{RR=RR=4∠RRR=∠RRRRR=RR=3，RRRRRR≅RRRRRR，∴∠RRR=∠RRR，∵∠RRR+∠RRR=90°，∴DAE+∠RRR=90°，∴RR⊥RR，∴点E恰好在格点上，即为所求；如图所示：连接OU，EU,JT，MT,RM,SA，由图可得：RRRRRR与RRRRRR中，{RR=RR∠RRR=∠RRRRR=RR，RRRRRR≅RRRRRR，∴∠RRR=∠RRR，∴RR∥RR，同理可得：∠RRR=∠RRR=∠RRR，∴RR∥RR，∵∠RRR+∠RRR=90°，∴∠RRR+∠RRR=90°，∴RR⊥RR，∴RR⊥RR，∴RR⊥RR，∴SA与圆O的交点F即为所求（点F即为点A关于OE的对称点）．【点睛】题目主要考查直线与圆的作图能力，全等三角形的应用，平行线的性质等，在方格中找出全等的三角形是解题关键．4、（1）见解析；（2）3【分析】（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；BC＝3．（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=12【详解】解：（1）证明：如图连接OC、OB．∵ABC∆是等边三角形∴ 60∠=∠=A ABCAB CE∵//∴ 60BCE ABC︒∠=∠==又∵OB OC∴30OBC OCB ︒∠=∠=∴90OCE OCB BCE ︒∠=∠+∠=∴OC CE ⊥∴CE 与⊙O 相切；（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180A BCD ︒∠+∠=∴120BDC ︒∠=∵D 为BC 的中点，∴30DBC BCD ∠=∠=︒∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒∵//AB CE∴90E ∠=︒ ∴11322CE BC AB === 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．5、（1）见解析；（2）3AB =．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA ＝∠BAP 、∠OAC ＝∠OCA ．再运用等量代换说明∠OAB ＝90°，即可证明结论；（2）先由勾股定理可得OP =2, 设AB ＝x ，则OB ＝x ＋2．在Rt △AOB 中运用勾股定理列方程解答即可．【详解】解：（1）证明：∵BA ＝BP ，∴∠BPA ＝∠BAP ．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ．∵OP ⊥OC ，∴∠COP ＝90°．∴∠OPC ＋∠OCP ＝90°．∵∠APB ＝∠OPC ，∴∠BAP ＋∠OAC ＝90°．即∠OAB ＝90°，∴OA ⊥AB ．∵OA 为半径，∴AB 为⊙O 的切线；（2）在Rt △OPC 中，OC ＝4，PC ＝∴OP =2．设AB ＝x ，则OB ＝x ＋2．在Rt △AOB 中，2224(2)x x +=+，∴x ＝3,即AB ＝3．【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键．。

2022年最新北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试试题(精选)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，将Rt△ABC延直线l由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（）AB C D．（π2、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．102°C．112°D．128°3、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）4、如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A ．2πB ．4πC ．2π+12D ．4π+125、如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，OA ，OB ．若∠AOB =140°，则∠ACB 为（）A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°6、到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A ．三条角平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条高的交点D ．三边中垂线的交点7、在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定8、已知⊙O 的半径为4，点P 在⊙O 外部，则OP 需要满足的条件是（）A ．OP >4B ．0≤OP <4C ．OP >2D ．0≤OP <29、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（）A ．32 B C D 10、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝30°，BC ＝6，则⊙O 的直径等于（）A ．10B ．C ．D ．12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为 ___．2、圆形角是270°的扇形的半径为4cm ，则这个扇形的面积是______2cm ．3、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．4、在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长等于_____．5、如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长为8π，则正六边形的边长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、尝试：如图①，ABC 中，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，直接写出图中的一对相似三角形_______；拓展：如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，若8BB '=，求CC '的长；应用：如图③，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AB =，30ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B 的对应点B ′恰好落在Rt ABC △的边所在的直线上时，直接写出此时点C 的运动路径长．2、如图，AB BC =，ABC BCE α∠=∠=，点D 是BC 上一点，AD 与BE 相交于点F ，且BFD α∠=．（1）求证：BFD ABD ∽△△；（2）求证：AD BE =；（3）若点D 是BC 中点，连接FC ，求证：FC 平分DFE ∠．3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点坐标分别为O （0，0），A （5，0）， B （4，－3），将△OAB 绕点O 顺时针旋转90°得到△OA ′B ′，点A 旋转后的对应点为A ´．（1）画出旋转后的图形△OA ′B ′，并写出点A ′ 的坐标；（2）求点B 经过的路径'BB 的长（结果保留π）.4、如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 与抛物线交于A ，D 两点，点D 的坐标为()4,5，与y 轴交于点E ．（1）求A ，B 两点的坐标及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线l 下方抛物线上，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，直线PM 与直线l 交于点N ，当点M 是PN 的三等分点时，求点P 的坐标；（3）若点H 是抛物线223y x x =--对称轴上的一点，且45AHD ∠=︒，请直接写出点H 的坐标．5、已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，D 为弧BC 的中点．（1）如图①，连接AC ，AD ，OD ，求证：OD ∥AC ；（2）如图②，过点D 作DE ⊥AB 交⊙O 于点E ，直径EF 交AC 于点G ，若G 为AC 的中点，⊙O 的半径为2，求AC 的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据题意，画出示意图，确定出点A 的运动路径，再根据弧长公式即可求解．【详解】解：根据题意可得，Rt △ABC 的运动示意图，如下：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴60ACB ∠=︒，2BC =，AB =由图形可得，点A 的运动路线为，先以C 为中心，顺时针旋转120︒，到达点1A ，经过的路径长为120121803ππ⨯=，再以1B 为中心，顺时针旋转150︒，到达点2A ，顶点A 所经过的路径的长为23π=故选：C【点睛】此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A 的运动路线．2、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A ＝56°，∠A 与∠BOC 所对的弧相同，∴∠BOC ＝2∠A ＝112°，故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．3、A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A【点睛】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．4、D【分析】l，即可求得阴影部分的周长．根据正多边形的外角求得内角FAB的度数，进而根据弧长公式求得FB【详解】解：正六边形ABCDEF的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．5、C【分析】根据圆周角的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB =140°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB =70°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半．6、D【分析】由题意根据线段的垂直平分线上的性质，则有三角形三边中垂线的交点到三角形的三个顶点距离相等．【详解】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边中垂线的交点．故选：D．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是注意掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．7、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．8、A【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．【详解】解：∵⊙O 的半径为4，点P 在⊙O 外部，∴OP 需要满足的条件是OP >4，故选：A ．【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．9、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．10、D【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由OB =OC 判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =60°．∵OB =OC ，BC =6，∴△OBC 是等边三角形，∴OB =BC =6．∴⊙O 的直径等于12．故选：D ．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．二、填空题1、256π 【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【详解】如图，连接BO ，OC ，OA ，由题意得：△BOC ，△AOB 都是等边三角形，∴∠AOB ＝∠OBC ＝60°，∴OA∥BC，∴OBC ABC S S =，2605253606BOC S S ππ⨯⨯∴===阴扇．故答案为：256π．【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出BOC S S =阴扇． 2、12π【分析】根据扇形的面积公式计算即可．【详解】 ∵222704=360360n r S ππ⨯⨯=扇形 =12π，故答案为：12π．【点睛】本题考查了扇形的面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．3、六【分析】设这个正多边形的边数为n ，根据题意可知OA =OB =AB ，则△OAB 是等边三角形，得到∠AOB =60°，则60360n ︒⋅=︒，由此即可得到答案．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，∵正多边形的半径与边长相等，∴OA =OB =AB ，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴60360n︒⋅=︒，∴6n=，∴正多边形的边数是六，故答案为：六．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．4、π【分析】弧长公式为l＝n180rπ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．【详解】解：半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长＝603180π⨯＝π，故答案为：π．【点睛】本题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．5、4【分析】由周长公式可得⊙O 半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF 中心角为60︒，即可知正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF 边长．【详解】∵⊙O 的周长为8π∴⊙O 半径为4∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O∴正六边形ABCDEF 中心角为360606︒=︒ ∴正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF 边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n 边形的每个中心角都等于360n︒，由中心角为60︒得出正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．三、解答题1、尝试：''ABB ACC △△；拓展：'CC =；应用：点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π．【分析】尝试：根据AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，可得到=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，即可推出=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''，则ABB ACC ''△∽△；拓展：由AC =BC ，∠ACB =90°，可得AB =，同（1）可证ABB ACC ''△∽△，得到AB BB AC CC =''，由此求解即可；应用：分点'B 在AC 延长线上时，点'B 在CA 的延长线上时，当点'B 落在边BC 所在直线上时，当点'B 落在边AB 所在直线上时，当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周时，五种情况讨论求解即可得到答案．【详解】解：尝试：ABB ACC ''△∽△，理由如下：∵AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，∴=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，∴=BAC CAB B AC CAB ''''++∠∠∠∠，即=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''， ∴ABB ACC ''△∽△；故答案为：ABB ACC ''△∽△；拓展：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴AB ，同（1）原理可证ABB ACC ''△∽△， ∴AB BB AC CC =''，∴AC BB CC AB '⋅'== 应用：∵在Rt ABC 中，2AB =，30ABC ∠=︒， ∴112AC AB ==，60BAC ∠=︒，当点'B 落在AC 所在直线上时，有两种情况：①若点'B 在AC 延长线上时，如图①所示：由旋转的旋转可得：'60CAC BAC ∠=∠=︒，∴点C 运动的路径即为CC '，∴6011803CC ππ⨯'==； ②若点'B 在CA 的延长线上时，如图②所示，此时点B ，'C ，'B 三点共线，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'180120CAC B AC ''∠=︒-=︒∠∴旋转角360240CAC '=︒-=︒∠， ∴弧240141803'CC ππ⨯==；当点'B 落在边BC 所在直线上时，如图③所示，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'18060CAB B AC BAC ''∠=︒--=︒∠∠，∴120CAC CAB B AC =''''∠=∠+∠︒ ∴弧120121803CC'ππ⨯==；当点'B 落在边AB 所在直线上时，如图④所示，此时点C ，A ，'C 三点共线，旋转角为180︒， ∴弧1801180CC'ππ⨯==．当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周，∴弧'22CC AC ππ=⨯=．∴当点B 的对应点'B 恰好落在Rt ABC 的边所在直线上时，点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，以及弧长公式．2、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）在BDF 和ABD 中，=BFD ABD α∠=∠，BDF ADB ∠=∠，故可证明三角形相似．（2）由ABD BCE ≌得出AD BE =．（3）法一：由题意知BD CD =，由BFD ABD ∽得BD FD AD BD=，有22BD DF DA CD =⋅=，所以可得CD DF AD CD=，又因为ADC CDF ∠=∠可得CDF ADC ∽，DFC DCA ∠=∠；由于1802BAC BCA DCA DFC α︒-∠=∠==∠=∠，180180EFC 18022ααα︒-︒-∠=︒--=，进而说明DFC EFC ∠=∠，得出FC 平分DFE ∠．法二：通过BFD BCE α∠=∠=得出F 、D 、C 、E 四点共圆，由CD BD CE ==得DFC EFC ∠=∠，从而得出FC 平分DFE ∠．【详解】解：（1）证明在BDF 和ABD 中BFD ABD BDF ADB DBF DAB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ BDF ABD ∽．（2）证明：在ABD 和BCE 中DAB EBC AB BCABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD BCE ∴≌ ()ASAAD BE ∴=．（3）证明：BFD ABD ∽2BD DF DA ∴=⋅又D 是BC 中点BD CD ∴=2CD DF DA ∴=⋅CDF ADC ∴∠=∠CDF ADC ∴∽DFC DCA ∴∠=∠AB AC =，ABC α∠=1802BAC BCA α︒-∴∠=∠= 1802DFC DCA BCA α︒-∴∠=∠=∠= 180180EFC 18022ααα︒-︒-∴∠=︒--= DFC EFC ∴∠=∠FC ∴平分DFE ∠．法二：BFD BCE α∠=∠=∴F 、D 、C 、E 四点共圆又D 是BC 点，CD BD CE ∴==DFC EFC ∴∠=∠FC ∴平分DFE ∠．【点睛】本题考察了相似三角形的判定，全等三角形，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．3、（1）见解析，'A 的坐标为(0,5)-；（2）'52BB l π=【分析】（1）将点A 、B 分别绕点O 顺时针旋转90°得到其对应点，再与点O 首尾顺次连接即可；（2）根据弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图，△OA ´B ´即为所求．点'A 的坐标为(0,5)-（2）由题意可求OB =5 ∴'90551802BB l ππ⨯== 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及弧长公式．4、（1）A （－1，0），B （3，0），1y x =+；（2）点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，51，－4）.【分析】（1）先令y ＝0时，2230x x --=，x 1＝3，x 2＝－1. ，即可得到A 、B 的坐标，然后设直线l 解析式为y kx b =+，代入A 、D 坐标求解即可；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），然后分PM ＝1233PN PN 或，且P 只能在x 轴的下方，这两种情况讨论求解即可；（3）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，可得AG =BG =5，∠AGD =90°，再由∠AHD =45°，则点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），则5G H '==，即可求出H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．【详解】（1）当y ＝0时，2230x x --=，解得x 1＝3，x 2＝－1.∴ A （－1，0），B （3，0）.设直线l 解析式为y kx b =+，∵ l 经过D （4，5），A （－1，0），∴ 045k b k b -+=⎧⎨+=⎩， ∴11k b =⎧⎨=⎩， ∴ 直线l 解析式为1y x =+；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），∵ 点M 是PN 的三等分点，点P 在直线l 下方抛物线上，∴ PM ＝1233PN PN 或,且P 只能在x 轴的下方， ∴ PM ＝22(23)23m m m m -=-+--+,PN ＝221(23)34m m m m m +--=-++-，当PM ＝13PN 时，则()22123343m m m m -++=-++，解得m 1＝2.5，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（2.5，－1.75）；当PM ＝23PN 时，则()22223343m m m m -++=-++，解得m 1＝1，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（1，－4），综上所述，点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）如图所示，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，∴G 点坐标为（4，0），∴AG =BG =5，∠AGD =90°，∵∠AHD =45°，∴点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），∴5G H '=，∴4n =-或4n =（舍去），∴H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，设H 的坐标为（1，t ），∴5G H '==，∴5t =+5t =，∴H 的坐标为（1，5；∴综上所述，点H 的坐标为（1，51，－4）．【点睛】本题主要考查了求二次函数与x 轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接BD ，由D 为AC 的中点，得BD CD =，则BAD CAD ∠=∠，由等腰三角形的性质得∠=∠DAB ADO ，推出CAD ADO ∠=∠，即可得出结论；（2）由垂径定理得OF AC ⊥，由平行线的性质得DO EF ⊥，则DOE △是等腰直角三角形，45OED ∠=︒，易证OGA △是等腰直角三角形，得BG ，再由2BC BG =，即可得出结果．【详解】（1）证明：D 为BC 的中点，∴BD CD =，∠=∠，∴DAB CAD=，OD OBDAB ADO，∴∠=∠∠=∠，∴CAD ADO∴；//OD AC（2）解：G为AC中点，OF AC∴⊥，2=AC AG由（1）得：//OD AC，DO EF∴⊥，∴△是等腰直角三角形，DOE∴∠=︒，45OED∵⊥，DE AB∴∠=∠=︒，EOB AOG45∴是等腰直角三角形，OGA2∴==AG∴==．2AC AG【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．。

2022年最新北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试试卷(精选)

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角45∠=︒，ACB则这个人工湖的直径AD为（）m．A．502B．1002C．503D．200∠=（）2、如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若130BOC∠=︒，则ADCA．15°B．20°C．25°D．30°AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后3、如图，在ABC中，90∠=，8BAC︒∠=，30ABC︒△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．4、如图，O是正方形ABCD的外接圆，若O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4 B．8 C．D．5、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定=，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置6、在△ABC中，CA CB关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定7、下列说法正确的是（） A ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧C ．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等D ．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径8、如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中点C ，D ，E 在AB 上，点F ，N 在半圆上．若10AB =，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是（）A ．25B ．50C ．30π-D ．502π-9、如图，在半径为5的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB =CD =8，则OP 的长为（）A ．3B ．4C ．D ．10、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角50C ∠=︒，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A ，B 的张角ASB ∠应满足的条件是（）A ．sin sin 25ASB ∠>︒B ．sin sin50ASB ∠>︒C ．sin sin55ASB ∠>︒D ．cos cos50ASB ∠>︒第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知某扇形的半径为5cm ，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm ．2、如图，点D 为边长是ABC 边AB 左侧一动点，不与点A ，B 重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB ＝120°不变，则四边形ADBC 的面积S 的最大值是 ____．3、如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，作OF ⊥BC 交⊙O 于点F ，连接FA ，则∠OFA ＝_____°．4、已知正六边形的周长是24，则这个正六边形的半径为_____ ．5、用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP ＝∠BCD（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF 的长2、（1）请画出ABC绕点B逆时针旋转90°后的A 1BC1．（2）求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留根号和π）．3、如图，AB 是O 的直径，弦AC BC =，E 是OB 的中点，连接CE 并延长到点F ，使EF CE =，连接AF 交O 于点D ，连接BD ，BF ．（1）求证：直线BF 是O 的切线；（2）若AF 长为O 的半径及BD 的长．4、已知矩形ABCD ，6AB =，8AD =，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0360a a ︒<<︒，得到矩形AEFG ．（1）当点E在BD上时，求证：AF BD∥；=时，求a值；（2）当GC GB（3）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90︒的过程中，求CD绕过的面积．5、如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B．（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠P的度数．（2）如图2，若M是劣弧AB上一点，∠AMB＝∠AOB，BC＝2，求AP的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】连接BD，利用同弧所对圆周角相等以及直径所对的角为直角，求证ADB∆为等腰直角三角形，最后利用勾股定理，求出AD 即可．【详解】解：连接BD ，如下图所示：ACB ∠与ADB ∠所对的弧都是AB ．45ADB ACB ∴∠=∠=︒．ABD ∠所对的弦为直径AD ，90ABD ∴∠=︒．又45ADB ∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形，在ADB ∆中，100AB DB ==，∴由勾股定理可得：AD ===故选：B ．【点睛】本题主要是考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角和勾股定理，熟练运用圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角，得到对应的直角三角形，再用勾股定理求解边长，是解决本题的主要思路．2、C【分析】根据圆周角定理得到∠BDC 的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．【详解】解：∵∠BOC =130°，∴∠BDC =12∠BOC =65°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°-65°=25°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．4、D【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE =BE ，由垂径定理可知BC =2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，∴OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE =45°，45BOE ∠=︒∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE=∴BC=2BE=ABCD的边长是故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．5、B【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．6、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．7、C【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D进行判断．【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；C、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；D、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．8、A【分析】连接ON，OF，根据题意可得：ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，然后①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，从而得到y-DO=x，再代入②，即可求解．【详解】解：如图，连接ON，OF，AB ，∵直径10∴ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，因为x+y＞0，所以x+DO-y=0，即y-DO=x，代入②，得x2+y2=25，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是25．故选：A【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理等知识是解题的关键．9、D【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据垂径定理、勾股定理得：OM=ON=4，再根据四边形MONP是正方形，故可求解．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，∵OB=5，BM= 142AB=，∴OM3=∵AB=CD=8，∴ON=OM=4，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．10、D【分析】本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．所以，两个灯塔的张角∠ASB 应满足的条件是∠ASB ＜50°．∴cos∠ASB ＞cos50°，故选：D ．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题1、103π 【分析】根据弧长公式代入求解即可．【详解】解：∵扇形的半径为5cm ，圆心角为120°， ∴扇形的弧长＝120510=1803ππ︒⨯⨯︒．故答案为：103π．【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：180n r π，其中n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径．2、【分析】根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．【详解】解：根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，D 在运动过程中始终保持∠ADB ＝120°不变，D ∴在圆上运动，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，过点D 作AB 的垂线交于点E ，如图：4120AB ADB =∠=︒，30,DBE BE ∴∠=︒=12DE BD ∴=，在Rt BDE 中，222BD DE BE =+，解得：2DE =，12ABDS AB DE ∴=⋅=过点A 作BC 的垂线交于F ，12BF BC ∴==6AF ∴=， 162ABC S ∴=⨯⨯==4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．3、36【分析】连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB ＝72°，∠BOF ＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．∵五边形ABCDE 是正五边形，OF ⊥BC ，∴1122BF CF BC AB ===， ∴∠AOB ＝3605︒=72°，∠BOF =12∠AOB ＝36°， ∴∠AOF ＝∠AOB +∠BOF =108°，∵OA ＝OF ，∴∠OAF ＝∠OFA ＝()()11118018010872222AOF ︒-∠=︒-︒=⨯︒＝36°故答案为：36．【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n 边形的每个中心角都等于360n︒． 4、4【分析】由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解．【详解】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，又∵正六边形的周长为24，∴正六边形边长为24÷6=4，∴正六边形的半径等于4．故答案为4．【点睛】此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5、1【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：12222ππ⨯⨯=，∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r，则：22rππ=，解得：1r=，故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）6GC =，2511OF =【分析】（1）连接OC ，由已知可得∠OCB ＋∠BCD ＝90°，进而根据∠BCP ＝∠BCD ，等量代换可得∠OCB ＋∠BCP ＝90°，即可证明CP 是⊙O 的切线；（2）证明OE 为△DCG 的中位线，由AO GC ∥，证明△GCF ∽△OAF ，进而列出比例式代入数值进行计算即可．【详解】（1）证明：连接OC∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB∵AB ⊥CD 于点E ，∴∠CEB ＝90°∴∠OBC ＋∠BCD ＝90°∴∠OCB ＋∠BCD ＝90°∵∠BCP ＝∠BCD ，∴∠OCB ＋∠BCP ＝90°∴OC ⊥CP∴CP 是⊙O 的切线（2）∵AB⊥CD于点E，∴E为CD中点∵O为GD中点，∴OE为△DCG的中位线∴GC＝2OE＝6，OE GC∥∵AO GC∥∴△GCF∽△OAF∴GC GF OA OF=即65GFOF =∵GF＋OF＝5，∴OF＝25 11【点睛】本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．2、（1）见解析；（2【分析】（1）由题意分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°后得到的对应点，再与点B首尾顺次连接即可；（2）由题意可知C点旋转到C1点所经过的路径为圆弧，进而根据弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求．（2）∵BC CBC 1＝90°，∴C 点旋转到C 1．【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换和旋转变换，解题的关键是根据轴对称变换和旋转变换得到变换后的对应点及弧长公式．3、（1）见解析；（2）O BD =【分析】（1）如图：连OC ，根据AC BC =、OA OB =得CO ⊥AB ，进而证明OCE BFE △△≌即可得到∠FBE =∠COE =90°，即可证明直线BF 是⊙O 的切线；（2）由设O 的半径为r ，则2AB r =，BF OC r ==，在Rt ∆ABF 运用勾股定理即可得半径r ，然后再求得AB ,最后运用等面积法求解即可．【详解】（1）如图：连接OC∵AC BC =、OA OB =∴OC AB ⊥∵OE BE =，OEC BEF ∠=∠，CE EF =，∴OCE BFE △△≌∴90OBF COE ∠=∠=︒∴BF OB ⊥又∵BF 经过半径OB 的外端点B∴BF 是O 的切线；（2）设O 的半径为r ，则2AB r =，BF OC r ==在Rt ABF 中有：()(2222r r +=∴只取r O ．∵AB 是O 的直径、即AB =,∴BD AF ⊥∴BF ===,∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，∴1122ABF s AB BF AF BD ∆=⨯=⨯，∴1122BD ⨯=⨯，解得BD =【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．4、（1）见解析；（2）旋转角α为60°或者300°；（3）9π【分析】（1）由旋转的性质及等腰三角形性质得∠AEB＝∠ABE，由△AEF≌△BAD可得∠EAF＝∠ABD，从而有∠AEB＝∠EAF，故由平行线的判定即可得到结论；（2）分点G在AD的右侧和AD的左侧两种情况；均可证明△GAD是等边三角形，从而问题解决；（3）由S阴影＝S扇形ACF－S扇形ADG，分别计算出两个扇形的面积即可求得阴影部分面积．【详解】（1）连接AF，由旋转可得，AE＝AB，EF=BC，∠AEF=∠ABC=90゜∴∠AEB＝∠ABE，又∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠BAD=90゜，BC=AD∴EF=AD，∠AEF=∠BAD=90゜在△AEF和△BAD中AE AB AEF BAD EF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△BAD （SAS ），∴∠EAF ＝∠ABD ，∴∠AEB ＝∠EAF ，∴AF ∥BD（2）如图，当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G 在AD 右侧时，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于M ，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝12AD＝12AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．∴旋转角α为 60°或者 300°（3）如图3，∵S 扇形ACF ＝22909010360360AC ＝25π， S 扇形ADG ＝2290908360360AD ππ⋅⋅⋅⋅=＝16π， ∴S 阴影＝S 扇形ACF －S 扇形ADG ＝25π－16π＝9π．即阴影部分的面积为9π【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积，线段垂直平分线的判定等知识，涉及的知识点较多，灵活运用这些知识是解题的关键，（2）小问注意分类讨论．5、（1）50︒；（2）【分析】（1）由题意先根据切线长定理得到PA =PB ，则利用等腰三角形的性质得∠PAB =∠PBA ，再根据切线的性质得90PAC ∠=︒，于是利用互余计算出∠PAB =65°，然后根据三角形内角和定理计算∠P 的度数．（2）根据题意圆的内接四边形的性质得出180∠+∠=︒AMB C ，进而判定PAB △为等边三角形利用其性质结合勾股定理即可求出AP 的长．解：（1）∵PA 、PB 是O 的切线，AC 是O 的直径，∴PA PB =，OA PA ⊥，∴PAB PBA ∠=∠，90PAC ∠=︒．∵25BAC ∠=︒，∴902565PAB PAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，在PAB △中，180P PAB PBA ∠=-∠-∠︒180218026550PAB =︒-∠=︒-⨯︒=︒．（2）∵四边形ACBM 内接于O ，∴180∠+∠=︒AMB C ，又∵AMB AOB ∠=∠，2AOB C ∠=∠，∴2180AMB C C C ∠+∠=∠+∠=︒，∴60C ∠=°，∵AC 为O 的直径，∴90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴903060PAB PAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵PA PB =，∴PAB △为等边三角形，∴AP AB =，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，2BC =，∴24AC BC ==，则AB ==∴AP AB ==本题考查切线长定理和切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．。

2022年最新精品解析北师大版九年级数学下册第三章圆定向训练试题(无超纲)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A．2πB．4πC．2π+12D．4π+122、半径为10的⊙O，圆心在直角坐标系的原点，则点（8，6）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定3、已知，在圆中圆心角度数为45°，半径为10，则这个圆心角所对的扇形面积为（）A．52πB．5πC．10πD．252π4、如图，点A，B，C在O上，OAB是等边三角形，则ACB的大小为（）A．60°B．40°C．30°D．20°5、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O 与⊙A的位置关系是（）A．点O在⊙A内B．点O在⊙A外C．点O在⊙A上D．以上都有可能6、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m7、如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（）A ．50°B ．55°C ．65°D ．75° 8、如图，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是（）A ．7(,0)3-B ．17(,0)3- C ．7(,0)3-或17(,0)3- D ．（﹣2，0）或（﹣5，0）9、如图，直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（）A ．3πB ．34πC ．πD ．3π10、下列说法正确的是（）A ．弧长相等的弧是等弧B ．直径是最长的弦C ．三点确定一个圆D ．相等的圆心角所对的弦相等第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一条弧所对的圆心角为120︒，弧长等于6cm π，则这条弧的半径为________．2、如图，已知圆锥的母线AB 长为40 cm ，底面半径OB 长为10 cm ，若将绳子一端固定在点B ，绕圆锥侧面一周，另一端与点B 重合，则这根绳子的最短长度是______________．3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝A 为圆心，AC 长为半径作弧交AB 于点D ，再以点B 为圆心，BD 长为半径作弧交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为______．4、如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，8CD =，5OA =，则AH 的长为________．5、如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，四边形ABCD 内接⊙O ，∠C ＝∠B ．（1）如图1，求证：AB ＝CD ；（2）如图2，连接BO 并延长分别交⊙O 和CD 于点F 、E ，若CD ＝EB ，CD ⊥EB ，求tan∠CBF ；（3）如图3，在（2）的条件下，在BF 上取点G ，连接CG 并延长交⊙O 于点I ，交AB 于H ，EF ∶BG ＝1∶3，EG ＝2，求GH 的长．2、已知：如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若120CAB ∠=︒，6AB =，求BC 的值．3、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连接OE，过点D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF与⊙O相切；（2）填空：①若△CDF的面积为3，则△CDE的面积为．②当∠CDF的度数为时，OE∥BC，此时四边形ODCE的形状是：．4、如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．⊥．求证：DE是O的切线．5、如图，AB为O的直径，点C，D在O上，==AC CD DB，DE AC-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．2、A先根据两点之间的距离公式可得点（8，6）到原点的距离为10，再根据点与圆的位置关系即可得．【详解】解：由两点距离公式可得点（8，610，又O的半径为10，∴点（8，6）到圆心的距离等于半径，∴点（8，6）在O上，故选A．【点睛】本题考查了两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．3、D【分析】利用扇形面积公式直接计算即可．【详解】解：在圆中圆心角度数为45°，半径为10，则这个圆心角所对的扇形面积为：24510253602ππ⨯⨯=，故选：D．【点睛】本题考查了扇形面积计算，解题关键是熟记扇形面积公式，准确进行计算．4、C【分析】由OAB∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．解：∵OAB∆为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴ACB∠=12∠AOB =12×60°=30°．故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．5、B【分析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；点在圆外；当d＜r时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系．【详解】解：∵点A（﹣4，﹣3），∴5OA=，∵⊙A的半径为4，∴54>，∴点O在⊙A外；故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系．6、D根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．7、C首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．【详解】解：∵BD是切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠BOC＝50°，∴∠A＝12∠BOC＝25°，∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8、C【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，则PD ⊥AB ，PD =1，∵∠ADP =∠AOB =90°，∠PAD =∠BAO ，∴△APD ∽△ABO ， ∴PD AP OB AB =， ∴135AP =， ∴AP = 53，∴OP = 73或OP = 173， ∴P 7(,0)3-或P 17(,0)3-，故选：C ．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．9、D【分析】阴影面积为旋转后'A B 为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前AB 为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可．【详解】∵直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°∴A'B ABA'AB S S S S =+-阴影为直径的半圆扇形为直径的半圆又∵'AB A B =∴A'B AB S S =为直径的半圆为直径的半圆∴ABA'S S =阴影扇形∵AB =6，∠ABA ’=30° ∴223063360360ABA'n r S S π︒⋅π⋅====π︒︒阴影扇形故答案为：D ．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为2360n r π︒，由旋转的性质得出阴影面积为扇形面积是解题的关键．10、B【分析】利用圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、能够完全重合的弧是等弧，故错误，是假命题，不符合题意；B 、直径是圆中最长的弦，正确，是真命题，符合题意；C 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，是假命题，不符合题意；D 、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理，难度不大．二、填空题1、9cm【分析】由弧长公式180n r l π=即可求得弧的半径．【详解】 ∵180n r l π= ∴18018069(cm)120l r n πππ⨯=== 故答案为：9cm【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．2、【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角90,BAB '∠=︒ 再利用勾股定理求解即可.【详解】解：圆锥的侧面展开图如图所示：设圆锥侧面展开图的圆心角为n °，圆锥底面圆周长为210=20，40=20,180n BB 则n =90， ∵40,AB AB 224040402,BB即这根绳子的最短长度是，故答案为：【点睛】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键.3、π【分析】根据特殊角的三角函数值，求出∠B 和∠A 的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求出△ACB 和扇形ACD 、扇形BDE 的面积，最后求出答案即可．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝∴由勾股定理得：AB =4，∴tanAC B BC === ∴∠B ＝30°，∠A ＝60°，由题意，AC =AD =2，则BD =AB -AD =2，∴阴影部分的面积S ＝S △ABC ﹣S 扇形ACD ﹣S 扇形BDE22160230222360360ππ⨯⨯=⨯⨯-π=，故答案为：π．【点睛】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，以及扇形面积相关计算问题，掌握特殊角的三角函数值，以及扇形的面积计算公式是解题关键．4、8【分析】如图所示，连接OC ，由垂径定理可得1=42CH DH CD ==，再由勾股定理求出OH ，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，CD =8， ∴1=42CH DH CD ==，∠OHC =90°， ∵OC =OA =5，∴OH ，∴AH =OA +OH =8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．5、83π【分析】连接OO '，O B '，证明OBB '△是含30°的Rt ，根据BB O OO B S S S ''=-阴影部分△扇形即可求解【详解】解：如图，连接OO '，O B '将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴60OAO '∠=︒，OA O A '=，120AOB AO B ''∠=∠=︒,AOO '∴△是等边三角形60AOO '∴∠=︒AO O '=∠1206060O OB AOB AOO ''∴∠=∠-=︒-︒=︒,60120180AO O AO B '''∠+∠=︒+︒=︒,,O O B ''∴三点共线60,120AOO AOB '∠=︒∠=︒，OO OB '=OBO '∴是等边三角形O B O B '''=O B B O BB ''''∴∠=∠又60O B B O BB OO B '''''∠+∠=∠=︒90B BO '∴∠=︒BB '∴==216048423603BB O OO B S S S ππ''⨯=-=⨯⨯=阴影部分△扇形【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）12；（3【分析】（1）过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ，由圆内接四边形对角互补可以推出∠B +∠A =180°，证得AD ∥BC ，则四边形ABED 是平行四边形，即可得到AB =DE ，∠DEC =∠B =∠C ，这DE =CD =AB ；（2）连接OC ，FC ，设BE =CD =2x ，OB =OC =OF =r ，则OE =BE -BO =2x -r ，EF =BF -BE =2r -2x ，由垂径定理可得1=2CE DE CD x ==，∠CEB =∠CEF =∠FCB =90°，则∠FBC +∠F =∠FCE +∠F =90°，可得∠FBC =∠FCE ；由勾股定理得222OC OE CE =+，则()2222r x r x =-+，解得54r x =，则522212tan =tan ==2x x EF r x CBF FCE CE x x --==∠∠；（3）EF ：BG =1：3，即()13EF BE GE -=：：则()()222213r x x --=：：解得4x =，则=5r ，8BE CD AB ===，6BG =，如图所示，以B 为圆心，以BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，分别过点A 作AM ⊥BC 与M ，过点G 作GN ⊥BC 与N ，连接FC ，分别求出G点坐标为⎝⎭，C 点坐标为()；A点坐标为⎝⎭ 然后求出直线CG的解析式为34y x =-+AB 的解析式为2y x =，即可得到H 的坐标为），则GH==．【详解】解：（1）如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E，∵四边形ABCD是圆O的圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠B=∠C，∴∠B+∠A=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE，∠DEC=∠B=∠C，∴DE=CD=AB；（2）如图所示，连接OC，FC，设BE=CD=2x，OB=OC=OF=r，则OE=BE-BO=2x-r，EF=BF-BE=2r-2x∵CD⊥EB，BF是圆O的直径，∴1=2CE DE CD x==，∠CEB=∠CEF=∠FCB=90°，∴∠FBC+∠F=∠FCE+∠F=90°，∴∠FBC =∠FCE ；∵222OC OE CE =+，∴()2222r x r x =-+，∴222244r x r r x =-++，解得54r x =， ∴522212tan =tan ==2x x EF r x CBF FCE CE x x --==∠∠；（3）∵EF ：BG =1：3，即()13EF BE GE -=：： ∴()()222213r x x --=：：，即()122132x x -=：： ∴3222x x =-，解得4x =，∴=5r ，∴8BE CD AB ===，6BG =，如图所示，以B 为圆心，以BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，分别过点A 作AM ⊥BC 与M ，过点G 作GN ⊥BC 与N ，连接FC ， ∴1tan ===2GN FC CBF BN BC ∠，∴2BN GN =，2BC FC =，∵222BG GN BN =+，222BF BC FC =+∴225GN BG =,225FC BF =，∴GN ==,FC ==∴BN =BC =∴G ，C 点坐标为（0）； ∵1tan ==2CE CBF BE ∠， ∴tan 2BE BCE CE ∠==， ∵∠ABC =∠ECB ， ∴tan 2AM ABM BM∠==， ∴2AM BM =，∵222AB AM BM =+，∴225BM AB =，∴BM AB ==∴AM =，∴A 设直线CG 的解析式为y kx b =+，直线AB 的解析式为1y k x =，∴0b b ⎧+=+=1=∴34k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，12k =， ∴直线CG的解析式为34y x =-+AB 的解析式为2y x =，联立342y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴H，∴GH ==．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数与几何综合，垂径定理，勾股定理，两点距离公式，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解．2、（1）见解析；（2）BC =【分析】（1）根据等腰三角形的性质证得OPB C ∠=∠，进而证得OP ∥AC ，再根据平行线的性质和切线的判定即可证得结论；（2）连接AP ，根据圆周角定理和等腰三角形的性质可得90APB ∠=︒，BP CP =，30B ∠=︒，再根据含30°角的直角三角形性质求出BP 即可求解．【详解】（1）证明：AB AC =，B C ∴∠=∠，OP OB =，B OPB ∴∠=∠，OPB C ∴∠=∠，∴OP ∥AC ，PD AC ⊥，OP PD ∴⊥，又OP 是半径，PD ∴是O 的切线；（2）解：连接AP ，如图， AB 为直径，90APB ∴∠=︒，∵AB=AC ，∠CAB =120°，BP CP ∴=，(180120)230B ∠=-÷=︒，在Rt△APB 中，6AB =，30B ∠=︒，132AP AB ∴==，BP ∴=2BC BP ∴==【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、含30°角的直角三角形性质、三角形内角和定理，熟练掌握这些知识的联系与运用是解答的关键．3、（1）见解析（2）①6②30；菱形【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ABC ＝∠C ，由OB ＝OD ，得∠ABC ＝∠ODB ，则∠ODB ＝∠C ，得出OD ∥AC ，再由DF ⊥AC ，得出OD ⊥DF ，即可得出结论；（2）①由圆周角定理和平角性质得∠ABC ＋∠AED ＝180°，∠DEC ＋∠AED ＝180°，推出∠ABC ＝∠DEC ，∠C ＝∠DEC ，得出DE ＝DC ，由等腰三角形的性质得CE ＝2CF ，则S △CDE ＝2S △CDF ，即可得出结果；②利用平行线的性质证明OE 是△ABC 的中位线，得出BC ＝2OE ＝AB ＝AC ，则△ABC 为等边三角形，得∠C ＝60°，证明△CDE 为等边三角形，得出∠CDE ＝60°，由等腰三角形的性质得∠CDF ＝12∠CDE ＝30°，由OE ∥CD ，OD ∥CE ，得四边形ODCE 为平行四边形，再由OD ＝OE ，得出平行四边形ODCE 为菱形．【详解】解：（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC＝∠C，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）解：①∵∠ABC＋∠AED＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠ABC＝∠DEC，∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∵DF⊥AC，∴CE＝2CF，∴S△CDE＝2S△CDF＝2×3＝6，故答案为：6；②∵OE∥BC∴AO AE OB EC∵O点是AB中点∴E点是AC中点∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝2OE＝AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE＝DC，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°，∵DF⊥AC，∴∠CDF＝12∠CDE＝12×60°＝30°，∵OE∥CD，OD∥CE，∴四边形ODCE为平行四边形，∵OD＝OE，∴平行四边形ODCE为菱形，故答案为：30；菱形．【点睛】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、平行线的性质与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、三角形面积计算等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．4、（1）见解析；（234π-【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可．【详解】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠A+∠ABC＝90°∵DO⊥AB，∴∠A+∠D＝90°∴∠D＝∠ABC；（2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α，∵OE＝CE，∴∠EOC＝∠BCO＝α，在△BCO中，α+α+90°+α＝180°，∴α＝30°∴∠A＝60°，D ABC∠=∠，∵OA ＝12AB ＝3，∴OC ＝OA ＝3，又ACB AOD ∠=∠ACB AOD ∴≌ ABC ADO S S ∴=AO BO = 12AOC ABC S S ∴=∴OD=∴S 阴＝S △AOD ﹣S 扇形﹣S △AOC ＝12⨯2303360π⋅⋅﹣11322⨯⨯⨯34π．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，求扇形面积公式，根据S 阴＝S △AOD ﹣S 扇形﹣S △AOC 求解是解题的关键．5、见解析【分析】连接OD ，根据已知条件得到1180603BOD ∠=⨯︒=︒，根据等腰三角形的性质得到∠ADO ＝∠DAB ＝30°，得到∠EDA ＝60°，求得OD ⊥DE ，于是得到结论．【详解】证明：连接OD ，∵==AC CD DB ，∴1180603BOD ∠=⨯︒=︒．∵CD DB =， ∴1302EAD DAB BOD ∠=∠=∠=︒．∵OA OD =，∴30ADO DAB ∠=∠=︒．∵DE AC ⊥，∴90E ∠=︒．∴90EAD EDA ∠+∠=︒．∴60EDA ∠=︒．∴90EDO EDA ADO ∠=∠+∠=︒．∴OD DE ⊥．∴DE 是O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。

2022年最新精品解析北师大版九年级数学下册第三章圆定向练习试卷(含答案详细解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（）A ．1B ．12CD 2、如图，在圆中半径OC ∥弦AB ，且弦AB ＝CO ＝2，则图中阴影部分面积为（）A ．16π B ．13π C ．23π D ．π3、下列叙述正确的有( )个.（1）y y =随着x 的增大而增大；（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；（3）斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；（5）以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形． A ．0 B ．1 C ．2 D ．34、如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是边AC 上一动点，连接BD ，以CD 为直径的圆交BD 于点E ．若AB 长为4，则线段AE 长的最小值为（）A 1B ．2C ．D 5、如图，ABC 中，50ABC ∠=︒，74ACB ∠=︒，点O 是ABC 的内心．则BOC ∠等于（）A ．124°B ．118°C ．112°D ．62°6、如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若130BOC∠=︒，则ADC∠=（）A．15°B．20°C．25°D．30°7、如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．D．8、已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（）A．4 B．5 C．6 D．79、如图，直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）A．7(,0)3-B．17(,0)3-C．7(,0)3-或17(,0)3-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）10、下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．过任意三点可以画一个圆C．周长相等的圆是等圆D．平分弦的直径垂直于弦第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（2，0），∠OCB=30°，D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，则△AOE面积的最大值为___________2、如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是_____．3、如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．4、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．∥，5、AB是O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP OA的度数为_______．AP与OB交于点C，则OCP三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、．如图，ABC 内接于O ，AD BC ⊥交O 于点D ，垂足为点H ，连接BD ，CD ，105AOC ∠=︒，7.5CAD ∠=︒（1）求BAC ∠的度数；（2）过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ，连接OA ，OC ，OB ，EH ，FH ，若O 的半径为1，求EH FH +的值．2、△ABC 中，BC ＝AC ＝5，AB ＝8，CD 为AB 边上的高，如图1，A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B 随之沿y 轴下滑，并带动△ABC 在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t 秒，当B 到达原点时停止运动．（1）当t ＝0时，求点C 的坐标；（2）当t ＝4时，求OD 的长及∠BAO 的大小；（3）求从t ＝0到t ＝4这一时段点D 运动路线的长；（4）当以点C 为圆心，CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．3、如图，点O ，B 的坐标分别是（0，0），（3，0）．将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△OA 1B 1．（1）画出平面直角坐标系和三角形△OA 1B 1；（2）求旋转过程中点B 走过的路径的长．4、如图，AB 为O 的直径，弦,DA BC 的延长线相交于点P ，且BC PC =求证：2BAD P ∠=∠．5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC ，过弧BD 上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE ．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若AH ＝2，CH ＝4，求EM 的值．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长【详解】解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒30A ∴∠=︒BC BC =∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，90BCD ∴∠=︒在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12BC BD ==1DC ∴故选C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．2、C【分析】连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：如下图所示，连接OA ，OB ．∵OC AB ∥，∴OAB CAB S S =△△．∴S 阴=S 扇形AOB ．∵AO ，BO ，CO 都是O 的半径，∴AO =BO =CO ．∵AB =CO =2，∴AO =BO =AB =2．∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∴S 阴=S 扇形AOB =260223603ππ⨯=．故选：C【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．3、D【分析】根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．【详解】y =当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确；如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；∵圆的直径所对的圆周角为直角∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确；三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵224212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭∴242422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭∴以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．4、D【分析】如图，连接,CE 由CD 为直径，证明E 在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AEAO OE 最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解,AO OE ，即可得到答案.【详解】解：如图，连接,CE 由CD 为直径，90,CED BECE ∴在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AE AO OE 最小，90ACB ∠=︒，AC BC =，4,AB =45,ABC BAC ∴∠=∠=︒sin4522,2,AC BC AB OB OC OE2222210,AO10 2.AE故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.5、B【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=12∠ABC=25°，∠OCB=12∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．【详解】解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC=12×50°=25°，∠OCB=12∠ACB=12×74°=37°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．6、C【分析】根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．【详解】解：∵∠BOC=130°，∴∠BDC=12∠BOC=65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°-65°=25°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7、D【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据垂径定理、勾股定理得：OM=ON=4，再根据四边形MONP是正方形，故可求解．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，∵OB=5，BM= 142AB=，∴OM3=∵AB=CD=8，∴ON=OM=4，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．8、A【分析】根据点与圆的位置关系可得5OP<，由此即可得出答案．【详解】解：O的半径为5，点P在O内，∴<，5OP观察四个选项可知，只有选项A符合，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．9、C【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PD AP OB AB=，∴135AP =，∴AP= 53，∴OP= 73或OP=173，∴P7(,0)3-或P17(,0)3-，故选：C．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．10、C【分析】根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；故选：C．【点睛】本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．二、填空题1【分析】过点D作DF x∥轴，交OC于点F，根据中位线定理可得1FD AO==，设点C到x轴的距离为G，则△AOE的OA边上的高14h H=，作OBC的外接圆，则当点C位于图中C'处时，'C G最大，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过点D作DF x∥轴，交OC于点F，∵A （－1，0），B （2，0），∴1OA =，2OB =，∵D 为线段BC 的中点，DF x ∥轴， ∴112FD OB ==，∴1FD AO ==，设点C 到x 轴的距离为H ，则△AOE 的OA 边上的高14h H =，作OBC 的外接圆，则当点C 位于图中C '处时，H 最大，因为30OCB OC B '∠=∠=︒，∴60OO B '∠=︒，∴OO B '为等边三角形，∴2O O O B OB =='=', ∴112OG OB ==,∴tan 60G OG O '=︒ ∴2O C G C O G '''=+='∴(1111122424AOE S OA H =⨯=⨯⨯=，【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角和圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，根据题意得出点C 的位置是解本题的关键．2、6π【分析】根据阴影部分的面积＝以AB ′为直径的半圆的面积+扇形ABB ′的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积，即可求解．【详解】解：阴影部分的面积＝以AB ′为直径的半圆的面积+扇形ABB ′的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积＝扇形ABB ′的面积，则阴影部分的面积是：2606=6360⨯ππ，故答案为：6π．【点睛】本题考查扇形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3、76°或142°【分析】设AB 的中点为O ，连接OD ，则∠BOD 为点D 在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD =2∠BCD ，根据等腰三角形的性质分BC 为底边和BC 为腰求∠BCD 的度数即可．【详解】解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，∴∠BOD=2∠BCD，①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；②若BC为等腰三角形的腰时，当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，故答案为：76°或142°．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．4、2π3【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．【详解】解：如图，AC ⊥OB ，∵圆心角为60°，OA =OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OC =12OB =1，∴AC =，∴S △OAB =12OB ×AC =12∵S 扇形OAB =2602360π⨯=2π3，∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2π3故答案为：2π3【点睛】本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．5、90°【分析】先根据AB 是O 的内接正六边形一边得60AOB ∠=︒，再根据圆周角性质得30APB ∠=︒，再根据平行线的性质得30OAP ∠=︒,最后由三角形外角性质可得结论．【详解】解：∵AB 是O 的内接正六边形一边∴60AOB ∠=︒∴30APB ∠=︒∵BP OA ∥∴=30OAP APB ∠∠=︒∴603090OCP AOC OAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为90°【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键三、解答题1、（1）45︒；（2）EH FH +=【分析】（1）根据圆周角定理，计算∠ABC 的大小，利用互余原理计算∠BAD ，最后，利用两个角的和，计算∠BAC ；（2）证明CDB FDE ∽，再求EH FH +的值．【详解】（1）∵105AOC ∠=︒ ∴152.52ABC AOC ∠=∠=︒∵AH BC ⊥于点H∴90AHB ∠=︒∴18037.5BAH AHB ABC ∠=︒-∠-∠=︒∵7.5CAD ∠=︒∴45BAC CAD BAH ∠=∠+∠=︒（2）如图过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F∵90DHB DEB ∠=∠=︒，∴D ､H ､E ､B 四点共圆，∴EHB EDB ∠=∠，同理可得，D ､H ､C ､F 四点共圆，CHF CDF ∠=∠，∵90CHF CDF DCF ∠=∠=︒-∠，180DCF ACD ABD ∠=︒-∠=∠，∴9090CHF CDF DCF ABD EDB EHB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠即CHF EHB ∠=∠，∴E ､H ､F 三点共线，∴EH FH EF +=，∵HED HBD ∠=∠，DCH DFH ∠=∠，∴在CDB △与FDE 中FED HED HBD CBD ∠=∠=∠=∠，EFD HFD HCD BCD ∠=∠=∠=∠，∴CDB FDE ∽△△， ∴EFDEBC DB =，∵52.5ABC ∠=︒，7.5DBC ∠=︒，∴60ABD ABC DBC ∠=∠+∠=︒，∴sin DE ABD BD =∠=，∵1OB OC ==，290BOC BAC ∠=∠=︒，∴BC ==∴EF BC ==，即EH FH +=【点睛】本题考查了圆周角定理，四点共圆，圆内接四边形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值，是解题的关键．2、（1）（3，4）；（2）OD ＝4，∠BAO ＝60°；（3）23π；（4）245或325 【分析】（1）先由BC AC =，CD 为AB 边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质得出D 为AB 的中点，则142AD AB ==，然后在Rt ΔCAD 中运用勾股定理求出3CD =，进而得到点C 的坐标；（2）如图2，当4t =时即4AO =，先由D 为AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出142OD AB ==，则4OA OD AD ===，判定AOD ∆为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出60BAO ∠=︒；（3）从0=t 到4t =这一时段点D 运动路线是弧1DD ，由130D OD ∠=︒，4OD =，根据弧长的计算公式求解；（4）分两种情况：①C 与x 轴相切，根据两角对应相等的两三角形相似证明ΔΔCAD ABO ∽，得出AB AO CA CD=，求出AO 的值；②C 与y 轴相切，同理，可求出AO 的值．【详解】解：（1）如图1，∵BC ＝AC ，CD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝4．在Rt△CAD 中，CD 3，∴点C 的坐标为（3，4）；（2）如图2，当t＝4时，AO＝4，在Rt△ABO中，D为AB的中点，OD＝12AB＝4，∴OA＝OD＝AD＝4，∴△AOD为等边三角形，∴∠BAO＝60°；（3）如图3，从t＝0到t＝4这一时段点D运动路线是弧DD1，其中，OD＝OD1＝4，又∵∠D1OD＝90°﹣60°＝30°，∴13042 1803DDππ⨯⨯==；（4）分两种情况：①设AO＝t1时，⊙C与x轴相切，A为切点，如图4．∴CA⊥OA，∴CA∥y轴，∴∠CAD＝∠ABO．又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴Rt△CAD∽Rt△ABO，∴AB AOCA CD=，即1853t=，解得124 5t=；②设AO＝t2时，⊙C与y轴相切，B为切点，如图5．同理可得，232 5t=．综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的计算，直线与圆相切，切线的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，其中第（4）问进行分类讨论是解题的关键．3、（1）见解析；（2）3 2【分析】（1）根据点O的坐标确定直角坐标系，根据旋转的性质确定点A1、B1，顺次连线即可得到△OA1B1；（2）利用弧长公式计算即可．【详解】解：（1）如图，△OA1B1即为所求三角形；（2）旋转过程中点B走过的路径的长=9033 1802ππ⨯=．【点睛】此题考查了旋转作图，弧长的计算公式，正确掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．4、见解析【分析】如图：连接AC，根据AB为O的直径可得∠ACB=90°，即AC⊥BP.再根据BC=PC可知AC为BP的垂直平分线可得AB=AP，根据等腰三角形的性质得到∠P=∠B，最后由三角形外角的性质即可证明．【详解】证明：如图：连接AC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BP.∵BC=PC，∴AC为BP的垂直平分线，∴AB=AP，∴∠P=∠B，∴∠BAD=∠P+∠B=2∠P．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂直平分线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，根据题意作出辅助线、构造出圆周角是成为解答本题的关键．5、（1）见解析；（2）52【分析】（1）连接OE ，由FG EG =得GEF GFE AFH ∠=∠=∠，由OA OE =知OAE OEA ∠=∠，根据CD AB ⊥得90AFH FAH ∠+∠=︒，从而得出90GEF AEO ∠+∠=︒，即可得证；（2）连接OC ．设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCH 中，利用勾股定理求出r ，证明△AHC ∽△MEO ，可得AH HC EM OE =，由此即可解决问题. 【详解】解：（1）如图，连接OE ，∵GF =GE ，∴∠GFE =∠GEF =∠AFH ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∵AB ⊥CD ，∴∠AFH +∠FAH =90°，∴∠GEF +∠AEO =90°，∴∠GEO =90°，∴GE ⊥OE ，∴EG 是⊙O 的切线；（2）如图，连接OC ．设⊙O 的半径为r ,∵AH =2，HC =4，在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r -2，HC =4，∴()22224r r -+=，∴r =5，∵GM ∥AC ，∴∠CAH=∠M, ∵∠OEM=∠AHC, ∴△AHC∽△MEO∴AH HCEM OE=，∴245 EM=，∴EM=52．【点睛】本题考查圆的综合题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题．。

2022年最新精品解析北师大版九年级数学下册第三章圆定向训练试卷(名师精选)

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）⊥于D，交O于点C，且CD=4cm，弦AB的1、如图，O的半径为10cm，AB是O的弦，OC AB长为（）A．16cm B．12cm C．10cm D．8cm2、下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（）A．B．C．D．3、如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，30CDB ∠=︒，3BC =，则AB 的长度为（）A ．6B ．3C ．9D ．124、如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，将Rt △ABC 延直线l 由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 第一次滚动到图2位置时，顶点A 所经过的路径的长为（）AB C D ．（π5、如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A ．2πB ．4πC ．2π+12D ．4π+126、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（）A ．32 B C D 7、如图，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒后得到AB C ''△，则图中阴影部分面积为（）A ．4πB ．8π-C ．4π-D ．8、已知半径为5的圆，直线l 上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为（）A ．相切B ．相离C ．相切或相交D ．相切或相离9、在直径为10cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8AB =cm ，则水的最大深度为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm10、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，△ABC 绕AC 所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于（）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．15πcm 2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知圆锥的母线AB 长为40 cm ，底面半径OB 长为10 cm ，若将绳子一端固定在点B ，绕圆锥侧面一周，另一端与点B 重合，则这根绳子的最短长度是______________．2、一个圆锥的底面半径为5，高为12，则这个圆锥的全面积是___________．（结果保留π）3、如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，10AB =，6AD =，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ．连接BH ，则在点C 移动的过程中，线段BH 的最小值是______．4、16.如图，平行四边形ABCD 中，∠ACB = 30°，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC ，AD 于点O ，E ，F ，点P 在OF 上，连接AE ，PA ，PB .若PA = PB ，现有以下结论：①△PAB 为等边三角形；②△PEB ∽△APF ；③∠PBC - ∠PAC = 30°；④EA = EB + EP其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号）5、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB 是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y M的取值范围为12≤y M136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，0MN=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．2、在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴上，以点M 为圆心的圆与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，对于点Р和M ，给出如下定义：若抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A ，B 两点且顶点为P ，则称点Р为M 的“图象关联点”．（1）已知()5,2E ，5,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3,1G ，5,32H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在点E ，F ，G ，H 中，M 的”图象关联点”是______；（2）已知M 的“图象关联点”P 在第一象限，若53OP PM =，判断OP 与M 的位置关系，并证明；（3）已知()4,2C ，()1,2D ，当M 的“图象关联点”Р在M 外且在四边形ABCD 内时，直接写出抛物线2y ax bx c =++中a 的取值范围．3、如图，ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作DF AC ⊥于点F ，交AB 的延长线于点G ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知BD =2CF =，求AE 和O 的半径长．4、新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形．（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；①求证：四边形ABCD是双直角四边形；②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积．5、如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D为半径OA上一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，交BC的延长线于点P，点F在线段PE上，且PF＝CF．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）连接AP与⊙O相交于点G，若∠ABC＝2∠PAC，求证：AB＝BP；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，BC＝3，求CF的长．-参考答案-一、单选题1、A【分析】如图所示，连接OA，由垂径定理得到AB=2AD，先求出6cm=-=，即可利用勾股定理求出OD OC CDAD，即可得到答案．8cm【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AB=2AD，∠ODA=90°，CD=，∵4cm∴6cm=-=，OD OC CD∴8cmAD==，∴216cmAB AD==，故选：A．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．2、A【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答．【详解】解：A、当EF与BC不平行时，△ABC与△DEF不一定相似，故本选项符合题意；B、由∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠EDF可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；C、由圆周角定理推知∠B=∠F，又由对顶角相等得到∠ACB=∠EDF，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；D、由圆周角定理得到：∠ACB=90°，所以根据∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题时，需要熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理．3、A【分析】连接AC，利用直角三角形30°的性质求解即可．【详解】解：如图，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，∴AB=2BC=6，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4、C【分析】根据题意，画出示意图，确定出点A 的运动路径，再根据弧长公式即可求解．【详解】解：根据题意可得，Rt △ABC 的运动示意图，如下：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴60ACB ∠=︒，2BC =，AB =由图形可得，点A 的运动路线为，先以C 为中心，顺时针旋转120︒，到达点1A ，经过的路径长为120121803ππ⨯=，再以1B 为中心，顺时针旋转150︒，到达点2A ，顶点A 所经过的路径的长为23π=故选：C【点睛】此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A 的运动路线．5、D【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．6、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．7、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．8、C【分析】根据若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切．【详解】解：∵半径为5的圆，直线l 上一点到圆心的距离是5，∴圆心到直线的距离等于或小于5，∴直线和圆的位置关系为相交或相切，故选：C ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，①直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；②直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；③直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．9、B【分析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示：∵AB =8cm ，∴BD =12AB =4（cm ），由题意得：OB =OC =1102⨯=5cm ，在Rt △OBD 中，OD =2222543OB BD -=-=（cm ），∴CD =OC -OD =5-3=2（cm ），即水的最大深度为2cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10、D【分析】圆锥的侧面积S rl π=侧，确定r l 、的值，进而求出圆锥侧面积．【详解】解：S rl π=侧，35r BC l AB ====、23515cm S rl πππ∴==⨯⨯=侧故选D ．【点睛】本题考察了圆锥侧面积．解题的关键与难点在于确定r l 、的值．二、填空题1、【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角90,BAB '∠=︒ 再利用勾股定理求解即可.【详解】解：圆锥的侧面展开图如图所示：设圆锥侧面展开图的圆心角为n °，圆锥底面圆周长为210=20， 40=20,180n BB 则n =90， ∵40,AB AB 224040402,BB即这根绳子的最短长度是，故答案为：【点睛】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键.2、90π【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，先求得母线长，再分别求得面积，最后相加即可求得全面积．【详解】解：∵一个圆锥的底面半径为5，高为12，13=1=1325=652S ππ∴⨯⨯⨯侧，2=5=25S ππ⨯底则这个圆锥的全面积是652590πππ+=故答案为：90π【点睛】本题考查了求圆锥侧面积，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．侧面积＝π×底面半径×母线长，圆锥的表面积＝底面积＋侧面积．33-##【分析】连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，由题可知H 点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小；求出8BD =，在Rt BED 中，BE =3BH ，即为所求．【详解】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，⊥，DH AC∴点在以E为圆心，AE为半径的圆上，H当B、H、E三点共线时，BH最小，AB是直径，∴∠=︒，90BDAAD=，AB=，610DE=，∴=，3BD8在Rt BED中，BE=∴=-，BH BE EH33．【点睛】本题考查点的运动轨迹，勾股定理，解题的关键是能够根据点的运动情况，确定H点的运动轨迹．4、①③④【分析】根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质逐项进行分析即可．【详解】连接PC①∵AC 的垂直平分线分别交AC ，BC ，AD 于点O ，E ，F∴PA =PC ，EF ⊥AC ，EA =EC∵PA =PB ，∴PA =PB =PC∴点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上∴260APB ACB ∠=∠=︒∴△PAB 为等边三角形；故①正确；②∵∠ACB = 30°，EF ⊥AC ，EA =EC∴60AEO CEO ∠=∠=︒∴=120PEB ∠︒∵△PAB 为等边三角形∴60APB ABP ∠=∠=︒∴180120APF APB BPE BPE ∠=-∠-∠=︒-∠∴PEB APF ∠≠∠，故②错误；③∵平行四边形ABCD 中∴AD ∥BC∴60AFE CEO ∠=∠=︒，180ABC BAD ∠+∠=︒,30ACB CAD ∠∠==︒∴△AEF 为等边三角形∵60APB BAP ∠=∠=︒,180ABC BAD ∠+∠=︒∴PBC ABC ABP ∠=∠-∠18060BAD =︒-∠-︒120()BAP FAP =︒-∠+∠120(60)FAP =︒-︒+∠60FAP =︒-∠∵30FAP CAD PAC PAC ∠=∠-∠=︒-∠∴60(30)30PBC PAC PAC ∠=︒-︒-∠=∠+︒即∠PBC - ∠PAC = 30°，故③正确；∵△AEF 、△PAB 为等边三角形∴(ABE APF SAS ≅∴BE PF =∵EF =EP +PF =EA∴EA =EB +EP ，故④正确；综上，一定正确的是①③④故答案为：①③④【点睛】本题综合考查等边三角形的性质与判定、相似三角形的判定、圆周角定理、平行四边形的性质，解题的关键是根据PA =PB =PC 得到点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上．5、【分析】122S l r rl =⋅=ππ即可得出圆锥侧面积为．【详解】∵ABC 是一个圆锥在某平面上的正投影∴ABC 为等腰三角形∵AD ⊥BC ∴122CD BD BC ===在Rt ADC 中有A C =即AC由圆锥侧面积公式有2S rl ==⨯=ππ．故答案为：。

2022年最新精品解析北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试练习题

北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点A ，B ，C 均在O 上，当35OBC ∠=︒时，A ∠的度数是（）．A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°2、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，D 是BC 上任一点（不与B 、C 重合），连接BD 、CD ，AD 交BC 于E ，CF 切⊙O 于点C ，AF ⊥CF 交⊙O 于点G ．下列结论：①∠ADC ＝60°；②DB 2＝DE •DA ；③若AD ＝2，则四边形ABDC CF ＝83π．正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、计算半径为1，圆心角为60︒的扇形面积为（）A ．3πB ．6πC ．2πD ．π4、圆O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA ＝4cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（） A ．点A 在圆上 B ．点A 在圆内 C ．点A 在圆外 D ．无法确定5、如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上的两点，若130BOC ∠=︒，则ADC ∠=（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°6、如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝37°，则∠AOB 的度数是（）A ．73°B ．74°C ．64°D ．37°7、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°8、如图，ABC 中，50ABC ∠=︒，74ACB ∠=︒，点O 是ABC 的内心．则BOC ∠等于（）A ．124°B ．118°C ．112°D ．62°9、已知⊙O 的半径为3cm ，在平面内有一点A ，且OA =6cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是（）A ．点A 在⊙O 内；B ．点A 在⊙O 上；C ．点A 在⊙O 外；D ．不能确定．10、如图，AB 为O 的直径，C 为D 外一点，过C 作O 的切线，切点为B ，连接AC 交O 于D ，38C ∠=︒，点E 在AB 右侧的半圆周上运动（不与A ，B 重合），则AED ∠的大小是（）A ．19°B ．38°C ．52°D ．76°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知圆锥的底面半径为7cm ，它的侧面积是35πcm，则这个圆锥的母线长为_____．2、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．3、已知某扇形的半径为5cm ，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm ．4、如图，PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，连接AC ，BC ．若∠P ＝58°，则∠ACB 的大小是___________．5、如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O 为圆心，OA 为半径的AB 和弦AB 所围成的弓形面积等于___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由．2、已知AB 是⊙O 的直径，点C 是圆O 上一点，点P 为⊙O 外一点，且OP ∥BC ，∠P ＝∠BAC ．（1）求证：PA 为⊙O 的切线；（2）如果OP ＝AB ＝6，求图中阴影部分面积．3、如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，与CA 的延长线交于点E ，⊙O 的切线DF 与AC 垂直，垂足为F ．（1）求证：AB ＝AC ．（2）若CF ＝2AF ，AE ＝4，求⊙O 的半径．4、如图，在平面直角坐标系中，有抛物线23y ax bx =++，已知OA =OC =3OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）求过A ，B ，C 三点的圆的半径；（3）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC= 30°，求CD的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】先由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC=35°，从而可得∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，再由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=35°，∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，∴1=552A BOC∠=∠︒，故选C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．2、C【分析】如图1，△ABC 是等边三角形，则∠ABC ＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC ＝∠ABC ＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE ∽△DAC ，则DB DE DA DC=，所以DB •DC ＝DE •DA ，而DB 与DC 不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH ⊥BD 于点H ，延长DB 到点K ，使BK ＝CD ，连接AK ，先证明△ABK ≌△ACD ，可证明S 四边形ABDC ＝S △ADK ，可以求得S △ADK 3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，由CF 切⊙O 于点C 得CF ⊥OC ，而AF ⊥CF ，所以AF ∥OC ，由圆周角定理可得∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝∠OCA ＝30°，于是∠CAG ＝∠OCA ＝30°，则∠COG ＝2∠CAG ＝60°，可证明△AOG 和△COG 都是等边三角形，则四边形OABC 是菱形，因此OA ∥CG ，推导出S 阴影＝S 扇形COG ，在Rt △CFG 中根据勾股定理求出CG 的长为4，则⊙O 的半径为4，可求得S 阴影＝S 扇形COG ＝2604360⨯π＝83π，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确．【详解】解：如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∵等边△ABC 内接于⊙O ，∴∠ADC ＝∠ABC ＝60°，故①正确；∵∠BDE ＝∠ACB ＝60°，∠ADC ＝∠ABC ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADC ，又∠DBE ＝∠DAC ，∴△DBE ∽△DAC ， ∴DB DE DA DC =, ∴DB •DC ＝DE •DA ，∵D 是BC 上任一点，∴DB与DC不一定相等，∴DB•DC与DB2也不一定相等，∴DB2与DE•DA也不一定相等，故②错误；如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ABK＝∠ACD，∴AB＝AC，∴△ABK≌△ACD（SAS），∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，DK，∴DH＝KH＝12∵∠AHD ＝90°，∠ADH ＝60°，∴∠DAH ＝30°，∵AD ＝2，∴DH ＝12AD ＝1，∴DK ＝2DH ＝2，AH =∴S △ADK ＝12AH DK ⋅=∴S 四边形ABDC ＝S △ABD +S △ACD ＝S △ABD +S △ABK ＝S △ADK 故③正确；如图3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，则OA ＝OG ＝OC ， ∵CF 切⊙O 于点C ，∴CF ⊥OC ，∵AF ⊥CF ，∴AF ∥OC ，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝120°，∴∠OAC ＝∠OCA ＝12×（180°﹣120°）＝30°，∴∠CAG ＝∠OCA ＝30°，∴∠COG ＝2∠CAG ＝60°，∴∠AOG ＝60°，∴△AOG 和△COG 都是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AG ＝CG ＝OG ，∴四边形OABC 是菱形，∴OA ∥CG ，∴S △CAG ＝S △COG ，∴S 阴影＝S 扇形COG ，∵∠OCF ＝90°，∠OCG ＝60°，∴∠FCG ＝30°，∵∠F ＝90°，∴FG ＝12CG ，∵FG 2+CF 2＝CG 2，CF ＝∴（12CG ）2+（2＝CG 2，∴CG ＝4，∴OC ＝CG ＝4，∴S 阴影＝S 扇形COG ＝2604360⨯π＝83π，故④正确，∴①③④这3个结论正确，故选C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3、B【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】2260113603606n r S πππ︒⨯⨯===︒︒扇形故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式2360n r S π=︒扇形是解题的关键． 4、B【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．5、C【分析】根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．【详解】解：∵∠BOC=130°，∴∠BDC=12∠BOC=65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°-65°=25°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6、B【分析】根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB=2∠ACB=74°，即可得出答案．【详解】解：由图可知，∠AOB在⊙O中为AB对应的圆周角，∠ACB在⊙O中为AB对应的圆心角，故：∠AOB=2∠ACB=74°．故答案为：B．【点睛】本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．7、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，由圆周角定理得，BOD=2∠A=100°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8、B【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=12∠ABC=25°，∠OCB=12∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．【详解】解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC=12×50°=25°，∠OCB=12∠ACB=12×74°=37°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．9、C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O的半径为3cm，OA=6cm，∴d＞r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O外，故选：C．【点睛】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．10、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.二、填空题1、5cm【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的底面周长是扇形的弧长，母线为扇形的半径，结合扇形的面积公式求解即可．【详解】解：圆锥的底面周长为2π×7=14π，设圆锥母线长为l，×14π·l=35π，解得：l=5，则12故答案为：5cm．【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算、扇形面积公式，熟练掌握圆锥侧面展开图与扇形之间的关系是解答的关键．2、六【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：∵半径与边长相等，∴这个三角形是等边三角形，∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，∴这个正多边形是正六边形故答案为：六．【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键． 3、103π 【分析】根据弧长公式代入求解即可．【详解】解：∵扇形的半径为5cm ，圆心角为120°， ∴扇形的弧长＝120510=1803ππ︒⨯⨯︒．故答案为：103π．【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：180n r π，其中n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径．4、61︒或119︒【分析】如图，连接,,OA OB 利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解122,AOB 再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.【详解】解：如图，连接,,OA OB 12,C C （即C ）分别在优弧与劣弧上，PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，90,PAO PBO ∴∠=∠=︒58,P360909058122,AOB 12161,18061119.2AC B AOB AC B 故答案为：61︒或119︒【点睛】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，四边形的内角和定理的应用，求解122AOB ∠=︒是解本题的关键.5、()24π-【分析】根据勾股定理求出半径AO 的长度，然后根据弓形面积＝扇形OAB 的面积-三角形OAB 的面积，求解即可．【详解】解：由勾股定理得，OA ==由网格的性质可得90AOB ∠=︒，AOB ∆是等腰直角三角形，∴AB 和弦AB 所围成的弓形面积＝(229090112436023602AO AO BO πππ︒⨯⨯︒⨯⨯-=-⨯=-︒︒．故答案为：()24π-．【点睛】此题考查了网格的特点和性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，解题的关键是正确分析出弓形面积＝扇形面积-三角形OAB 的面积．三、解答题1、（1）ABD △是等腰直角三角形，证明见解析；（2（3）,AF =证明见解析【分析】（1）先求解45,ACD BCD ∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG 再证明,,,A C B D 在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，从而可得答案.（2）如图，把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F 证明45,DQQ QQ ''∠=︒= 证明120,60,BQQ FQQ ''∠=︒∠=︒ 求解3236cos 60,sin 60,22QF QQ FQ QQ '''=︒==︒= 再利用勾股定理可得答案；（3）如图，连接,BF 证明 ,DPE ABF ∽ 可得,DP DE AB AF = 结合（1）问的结论可得答案. 【详解】解：（1） 90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，45,ACD BCD ∴∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG90,ACB ADB ∠=∠=︒,CG AG BG DG ∴===,,,A C B D ∴在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，45,ABD ACD ∴∠=∠=︒ABD ∴为等腰直角三角形.（2）如图，,90,AD BD ADB =∠=︒把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F3,90,,DQ DQ QDQ AQ BQ '''∴==∠=︒=45,DQQ QQ ''∴∠=︒=75,BQD ∠=︒120,60,BQQ FQQ ''∴∠=︒∠=︒ 3236cos 60,sin 60,22QF QQ FQ QQ '''∴=︒==︒=BF BQ QF ∴=+==BQ '∴==AQ BQ '∴=（3）,AF =理由如下：如图，连接,BF,90,45,BD AD BD ADB ABD BAD AB =∠=︒∠=∠=︒= ,,,DB DP BDP DE BP α=∠=⊥11,,90,,22BE PE BDE PDE DBE FB FP αα∴=∠=∠=∠=︒-= ,90,AD DP ADP α=∠=︒+145,2DAP DPA α∴∠=∠=︒- 114545,22BAP PDE αα⎛⎫∴∠=︒-︒-==∠ ⎪⎝⎭ 11180459045,22APB αα⎛⎫∴∠=︒--︒-︒-=︒ ⎪⎝⎭ ,FB FP =45,90,FBP FPB BFP BFA ∴∠=∠=︒∠=︒=∠90,BFA DEP ∴∠=∠=︒,DPE ABF ∴∽,DP DE AB AF∴=DE DB AF AB ∴== 即.AF 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，是典型的综合题，熟练的运用图形的性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键.2、（1）见解析；（2 【分析】（1）先由圆周角定理得∠ACB ＝90°，则∠BAC +∠B ＝90°．再由平行线的性质得∠AOP ＝∠B ，然后证∠P +∠AOP ＝90°，则∠PAO ＝90°，即可得证；（2）先证△OAP ≌△BCA （AAS ），得BC ＝OA ＝12AB ＝3，再由扇形面积减去三角形面积即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC +∠B ＝90°，又∵OP ∥BC ，∴∠AOP ＝∠B ，∴∠BAC +∠AOP ＝90°，∵∠P ＝∠BAC ，∴∠P +∠AOP ＝90°，∴∠PAO ＝90°，∴PA ⊥OA ，∵OA 是的⊙O 的半径，∴PA 为⊙O 的切线；（2）解：如图，连接OC ，由（1）得：∠PAO ＝∠ACB ＝90°，在△OAP 和△BCA 中，PAO ACB P BAC OP BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OAP ≌△BCA （AAS ），∴OP ＝AB ＝6，BC ＝OA ＝OC ＝12AB ＝3，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∴S 扇形AOC ＝21203360π⨯＝3π， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝30°，∴OH ＝12OA ＝32，∴AH ∴AC ＝2AH ＝∴S△AOC ＝12⨯AC •OH ＝12⨯32∴图中阴影部分面积＝S 扇形AOC ﹣S △AOC 【点睛】本题考查了切线的证明和扇形面积的计算，解题关键是熟练掌握切线证明方法和扇形面积公式．3、（1）证明见解析；（2）O 的半径为6．【分析】（1）根据圆切线的性质可得OD AC ∥，然后根据等腰三角形的等边对等角以及等角对等边可得出结论；（2）根据圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质可得结果．【详解】解：（1）证明：如图，连接OD ． DF 是O 的切线，OD DF ∴⊥．DF AC ⊥，∴OD AC ∥，ODB C ∴∠=∠．OB OD =，ODB B ∴∠=∠，B C ∴∠=∠，AB AC∴=．（2）如图，连接DE，则E B∠=∠．∠=∠，由（1）知B C∴∠=∠，E C∴=．DE DC⊥，DF CE∴=．CF FECF AF=，2∴=．AE AFAE=，4∴===，AC AF AE3312∴==，12AB AC∴的半径为6．O【点睛】本题考查了圆切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．4、（1）y=-x2+2x+3；（2（3）点P（1，4）或（-2，-5）．【分析】（1）3=OC=OA=3OB，故点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），即可求解；（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，则点A的坐标为（3，0），根据题意得：OC=3=OA=3OB，故点B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），把（3，0）代入得-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），=（3）过点A、C分别作直线AC的垂线，交抛物线分别为P、P1，设点P (x ，-x 2+2x +3)，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，∵OA =OC ，∠PAC =90°，∴∠ACO =∠OAC =45°，∵∠PAC =90°，∴∠PAQ =45°，∴△PAQ 是等腰直角三角形，∴PQ =AQ =x ，∴AQ +AO =x +3=-x 2+2x +3，解得：1210x x ==，(舍去)，∴点P (1，4)；设点P 1(m ，-m 2+2m +3)，过点P 1作P 1D ⊥x 轴于点D ，同理得△P 1CD 是等腰直角三角形，且点P 1在第三象限，即m <0，∴P 1D =CD =m 2-2m -3，DO =-m ，∴DO +OC = P 1D ，即-m +3= m 2-2m -3，解得：1223m m =-=，(舍去)，∴点P (-2，-5)；综上，点P （1，4）或（-2，-5）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆的基本知识等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．5、（1）见解析（2）CD=【分析】（1）由题意易得BC=BD ，∠DAM=12∠DAF ，则有∠CAB=∠DAB ，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求证；（2）由题意易得CD//AM ，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E∴BC=BD∴∠CAB=∠DAB∵AM 是∠DAF 的平分线∴∠DAM=1∠DAF2∵∠CAD+∠DAF=180°∴∠DAB+∠DAM=90°即∠BAM=90°，AB⊥AM∴AM是⊙O的切线（2）解：∵AB⊥CD，AB⊥AM∴CD//AM∴∠ANC=∠OCE=30°在R t△OCE中，OC=2∴OE=1，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴CD=2CE=【点睛】本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．。

2021-2022学年基础强化北师大版九年级数学下册第三章圆综合测试试题(含详细解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是（）．A ．2AC CD =B ．2AC CD < C ．2AC CD > D ．无法比较2、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（）．A．20°B．25°C．30°D．40°3、如图，O中，90AOC︒∠=，则ABC∠等于（）A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒4、如图，小王将一长为4，宽为3的长方形木板放在桌面上按顺时针方向做无滑动的翻滚，当第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，此时木板与桌面成30°角，则点A运动到A2时的路径长为（）A．10 B．4πC．72πD．525、下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（）A．B．C．D．6、如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．80°7、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O 与⊙A的位置关系是（）A．点O在⊙A内B．点O在⊙A外C．点O在⊙A上D．以上都有可能8、如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A．2πB．4πC．2π+12D．4π+129、矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外10、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别以点A 、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若6AC =，35CAB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）2、若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留π）3、16.如图，平行四边形ABCD 中，∠ACB = 30°，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC ，AD 于点O ，E ，F ，点P 在OF 上，连接AE ，PA ，PB .若PA = PB ，现有以下结论：①△PAB 为等边三角形；②△PEB ∽△APF ；③∠PBC - ∠PAC = 30°；④EA = EB + EP其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号）4、在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分的面积为_____．5、如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长为8π，则正六边形的边长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知矩形ABCD ，6AB =，8AD =，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0360a a ︒<<︒，得到矩形AEFG ．（1）当点E 在BD 上时，求证：AF BD ∥；（2）当GC GB =时，求a 值；（3）将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒的过程中，求CD 绕过的面积．2、如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，且2AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，CP 平分BCA ∠交AD 于点P ，PF AC ⊥，PE BC ⊥．（1）求证：四边形CEPF 为正方形；（2）求AC BC ⋅的最大值；（3）求11AC DC+的最小值． 3、已知：BD 为O 的直径，四边形ACDE 为O 的内接四边形，分别连接BE 、AD ，BE 交AC 于点H ，且AE CD =．（1）如图1，求证：BE AC ⊥；（2）如图2，延长BE 交CD 的延长线于点F ，BE 交AD 于点G ，连接CE ，求证：BGD FEC ∠=∠；（3）如图3，在（2）的条件下，AC 交BD 于点M ，若DG EF =，tan ADB ∠=EG =OM 的长．4、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB ，线段MN 在网格线上（点M ，N 是格点）．（1）画出线段AB 绕点N 顺时针旋转90°得到的线段11A B （点1A ，1B 分别为A ，B 的对应点）；（2）在问题（1）的旋转过程中，求线段AB扫过的面积．5、（1）请画出ABC绕点B逆时针旋转90°后的A 1BC1．（2）求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留根号和π）．-参考答案-一、单选题1、B【分析】连接AB ，BC ，根据AB BC CD ==得AB BC CD ==，再根据三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接AB ，BC ，如图，∵AB BC CD ==∴AB BC CD ==又AB BC AC +>∴2AC CD <故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．2、B【分析】连接OA ，如图，根据切线的性质得∠PAO =90°，再利用互余计算出∠AOP =50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B 的度数．【详解】解：连接OA ，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠AOP=∠B+∠OAB，∴∠B=12∠AOP=12×50°=25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．3、C【分析】由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.【详解】解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，90AOC︒∠=，∴∠ABC=12∠AOC=45︒.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．4、C【分析】根据题意可得：第一次转动的路径是以点B 为圆心，AB 长为半径的弧长，此时圆心角190ABA ∠=︒ ，第二次转动的路径是以点C 为圆心，A 1C 长为半径的弧长，此时圆心角21903060A CA ∠=︒-︒=︒ ，再由弧长公式，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：15AB A B === ，123AC A C == ，第一次转动的路径是以点B 为圆心，AB 长为半径的弧长，此时圆心角190ABA ∠=︒ ， ∴190551802AA l ππ⨯== ，第二次转动的路径是以点C 为圆心，A 1C 长为半径的弧长，此时圆心角21903060A CA ∠=︒-︒=︒ ， ∴21603180A A l ππ⨯== ， ∴点A 运动到A 2时的路径长为1215722AA A A l l πππ+=+= ．故选：C【点睛】本题主要考查了求弧长，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．5、A根据相似三角形的判定定理进行解答．【详解】解：A、当EF与BC不平行时，△ABC与△DEF不一定相似，故本选项符合题意；B、由∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠EDF可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；C、由圆周角定理推知∠B=∠F，又由对顶角相等得到∠ACB=∠EDF，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；D、由圆周角定理得到：∠ACB=90°，所以根据∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题时，需要熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理．6、D【分析】由∠ACB=40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．【详解】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．7、B本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d ，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d ＞r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上；点在圆外；当d ＜r 时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系．【详解】解：∵点A （﹣4，﹣3），∴5OA =，∵⊙A 的半径为4，∴54>，∴点O 在⊙A 外；故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系．8、D【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．9、D【分析】如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接DP，CP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵AP=3，AB=8，∴BP=AB-AP=5，∵5PD==，∴PB=PD，>=，∴PC PB PD∴点C在圆P外，点B在圆P上，故选D．本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．10、B【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，即点A 到圆心O 的距离小于圆的半径，∴点A 在⊙O 内．故选：B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP =d ，则有点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d =r ；点P 在圆内⇔d ＜r ．二、填空题1、74π##【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO 和扇形CFO 的面积之和．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴6AC BD ==，OA OC OB OD ===，AB CD ∥，∴3OA OC ==，35ACD CAB ∠=∠=︒，∴图中阴影部分的面积为：2353723604ππ⨯⨯=．故答案为：74π．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2、23π 【分析】已知扇形的圆心角为60︒，半径为2，代入弧长公式计算．【详解】解：依题意，n =60︒，r =2，∴扇形的弧长=6022==1801803n r πππ⨯︒︒．故答案为：23π．【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=180n r π． 3、①③④【分析】根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质逐项进行分析即可．【详解】连接PC①∵AC 的垂直平分线分别交AC ，BC ，AD 于点O ，E ，F∴PA =PC ，EF ⊥AC ，EA =EC∵PA =PB ，∴PA =PB =PC∴点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上∴260APB ACB ∠=∠=︒∴△PAB 为等边三角形；故①正确；②∵∠ACB = 30°，EF ⊥AC ，EA =EC∴60AEO CEO ∠=∠=︒∴=120PEB ∠︒∵△PAB 为等边三角形∴60APB ABP ∠=∠=︒∴180120APF APB BPE BPE ∠=-∠-∠=︒-∠∴PEB APF ∠≠∠，故②错误；③∵平行四边形ABCD 中∴AD ∥BC∴60AFE CEO ∠=∠=︒，180ABC BAD ∠+∠=︒,30ACB CAD ∠∠==︒∴△AEF 为等边三角形∵60APB BAP ∠=∠=︒,180ABC BAD ∠+∠=︒∴PBC ABC ABP ∠=∠-∠18060BAD =︒-∠-︒120()BAP FAP =︒-∠+∠120(60)FAP =︒-︒+∠60FAP =︒-∠∵30FAP CAD PAC PAC ∠=∠-∠=︒-∠∴60(30)30PBC PAC PAC ∠=︒-︒-∠=∠+︒即∠PBC - ∠PAC = 30°，故③正确；∵△AEF 、△PAB 为等边三角形∴(ABE APF SAS ≅∴BE PF =∵EF =EP +PF =EA∴EA =EB +EP ，故④正确；综上，一定正确的是①③④故答案为：①③④【点睛】本题综合考查等边三角形的性质与判定、相似三角形的判定、圆周角定理、平行四边形的性质，解题的关键是根据PA =PB =PC 得到点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上．4、2π【分析】利用勾股定理求出AC 及AB 的长，根据阴影面积等于AB C CAC DAB S S S''''--扇形扇形求出答案．【详解】解：由旋转得,AB AB AC AC ''==，90CAC '∠=︒，B AC ''∠=∠BAC ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，∴AC =2BC =2，AB60CAB '∠=︒，∴阴影部分的面积=AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形2260902113603602ππ⨯⨯=--⨯=2π故答案为：2π．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．5、4【分析】由周长公式可得⊙O 半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF 中心角为60︒，即可知正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF 边长．【详解】∵⊙O的周长为8π∴⊙O半径为4∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴正六边形ABCDEF中心角为36060 6︒=︒∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于360n︒，由中心角为60︒得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）旋转角α为60°或者300°；（3）9π【分析】（1）由旋转的性质及等腰三角形性质得∠AEB＝∠ABE，由△AEF≌△BAD可得∠EAF＝∠ABD，从而有∠AEB＝∠EAF，故由平行线的判定即可得到结论；（2）分点G在AD的右侧和AD的左侧两种情况；均可证明△GAD是等边三角形，从而问题解决；（3）由S阴影＝S扇形ACF－S扇形ADG，分别计算出两个扇形的面积即可求得阴影部分面积．【详解】（1）连接AF，由旋转可得，AE＝AB，EF=BC，∠AEF=∠ABC=90゜∴∠AEB＝∠ABE，又∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC =∠BAD =90゜，BC =AD∴EF =AD ，∠AEF =∠BAD =90゜在△AEF 和△BAD 中AE AB AEF BAD EF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△BAD （SAS ），∴∠EAF ＝∠ABD ，∴∠AEB ＝∠EAF ，∴AF ∥BD（2）如图，当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论： ①当点G 在AD 右侧时，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于M ，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝12AD＝12AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．∴旋转角α为60°或者300°（3）如图3，∵S 扇形ACF＝22909010360360AC＝25π，S 扇形ADG ＝2290908360360AD ππ⋅⋅⋅⋅=＝16π， ∴S 阴影＝S 扇形ACF －S 扇形ADG ＝25π－16π＝9π．即阴影部分的面积为9π【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积，线段垂直平分线的判定等知识，涉及的知识点较多，灵活运用这些知识是解题的关键，（2）小问注意分类讨论．2、（1）见详解；（2）2；（31．【分析】（1）由圆周角定理，得到90ACB ∠=︒，得到四边形CEPF 为矩形，再由角平分线的性质定理，得到PE =PF ，即可得到结论成立；（2）过点C 作CG ⊥AB ，当CG 最大时，AC BC 有最大值，利用三角形的面积公式，即可求出答案；（3）设PE PF CE CF x ====，由相似三角形的判定和性质，得到111AC DC x+=，则x 取最大值时，11AC DC +有最小值，然后求出x 的最大值，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∵PF AC ⊥，PE BC ⊥，∴90PFC PEC ∠=∠=︒，∴四边形CEPF 是矩形，∵CP 平分BCA ∠，∴PF PE =，∴四边形CEPF 为正方形；（2）过点C 作CG ⊥AB ，如图：由1122ABC S AB CG AC BC ∆==可知，当CG 最大时，AC BC 有最大值，即112122CG AB ==⨯=；由三角形的面积公式，则1122ABC S AB CG AC BC ∆==， ∵2AB =， ∴112122AC BC ⨯⨯=， ∴·2AC BC =； ∴AC BC 的最大值是2；（3）设PE PF CE CF x ====，∵PE BC ⊥，AC BC ⊥，∴PE ∥AC ，∴△PED ∽△ACD ，∴PE PD AC AD=①；同理：PF ∥BC ，△PAF ∽△DAC ， ∴PF AP CD AD=②，由①+②，得1PE PF PD AP AD AC CD AD AD AD +=+==， ∴1PE PF AC CD+=，即1x x AC CD+=， ∴111AC DC x +=；当x 取最大值时，11AC DC+有最小值； ∵AD 平分BAC ∠， ∴点P 为△ACB 的内心，∴PE ，PF 为内切圆半径；作PH ⊥AB ，垂足为H ，如图：则易得AF =AH ，BE =BH ，∴AF BE AH BH AB +=+=， ∴2AC BC AB CE CF +-==，设AC b =，BC a =，2AB c ==，∴21222a b c a b a b x +-+-+===-， ∵222AC BC AB +=，∴224a b +=，∵222()20a b a b ab -=+-≥，∴2224ab a b ≤+=，∴2ab ≤，∵222()242448a b a b ab ab +=++=+≤+=，∴a b +≤∴a b +的最大值为∴1112a b x +=-==；∴x 1，∴11x ==，∴11AC DC+1；【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质定理，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．3、（1）见解析；（2）见解析；（3【分析】（1）根据在同圆中弦相等所对的圆周角相等证明DE //AC ，再证明90BED ∠=︒，即可证得结论；（2）根据三角形外角的性质可证得结论；（3）连接AB ，由圆周角定理得AB AD =AB =，得2AD a =，BD =，再证明2CE AD a ==，证明()ΔΔBGD CEF AAS ≅得2BG CE a ==，通过解直角三角形求出a 的值和BO ，再证明BHM BED ，根据相似三角形的性质可得出BM ，根据OM BM BO =-可得结论．【详解】解：（1）证明：AE CD =∵ADE CAD ∴∠=∠∴DE//ACBHC BED ∴∠=∠∵BD 为O 的直径90BED ︒∴∠=90BHC ︒∴∠=，即BE AC ⊥（2）证明：∵BGD ∠是△DEG 的外角，=BGD BED EDG ∴∠∠+∠AE CD =∵CED ADE ∴∠=∠90BED DEF ︒∠=∠=，FEC DEF CED ∠=∠+∠BED ADE DEF DEC ∴∠+∠=∠+∠∴BGD FEC ∠=∠（3）连接AB ，如图，∵BD 是O 的直径90BAD BED ︒∴∠=∠=在Rt ABD ∆中，tan ADB ∠=AB AD ∴=∴设AB =，则2AD a =，由勾股定理得：BD =AE CD =∵∴AE CD =AE ED CD ED ∴+=+∴AD CE =∴2CE AD a ==∵DBE ∠和DCE ∠所对的弧都是DE∴DBE DCE ∠=∠在DBG △和FCE △中BGD CEF DBG FCE DG FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BGD CEF AAS ∴∆≅∆2,BG CE a BDG F ∴==∠=∠在Rt ABG ∆中，sin AB AGB BG ∠===60AGB ︒∴∠= ∴30ABG ∠=︒ ∴11222AG BG a a ==⨯=∴2DG AD AG a a a =-=-=在Rt DEG ∆中，90DEG ︒∠=，60DGE AGB ︒∠=∠=，EG =∴30EDG ∠=︒∴2DG EG a ===由勾股定理得，6DE =∴12AB ==，BD =2BG a ==CF BD ∴==BO ∴=在Rt AGH ∆中，90AHG ︒∠=，60AGH ︒∠=，AG a ==∴30GAH ∠=︒12GH AG ∴==6AH ∴=∴BH BG GH =-==BE BG EG ∴=+=∵∠BHM =∠BED =90°，∠HBM =∠EBD∴BHM BED::BH BE BM BD ∴=，即:BM =解得，BM =OM BM BO ∴=-==【点睛】本题考查了与圆有关的综合题，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．4、（1）见解析；（2）21π4【分析】（1）根据旋转的性质：点B 和点1B ，点A 和点1A 到点N 的距离相等，且1190BNB ANA ∠=∠=︒即可；（2）线段AB 扫过的面积为()()111111NAB NA B NAA NBB NAA NBB S S S S S S +-+=-扇形扇形扇形扇形,由扇形面积公式计算即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图，线段AB 扫过的面积=()()111111NAB NA B NAA NBB NAA NBB S S S S S S +-+=-扇形扇形扇形扇形22ππ21π444=-=．【点睛】本题考查旋转画图与扇形的面积公式，掌握不规则图形面积公式的求法是解题的关键．5、（1）见解析；（2【分析】（1）由题意分别作出点A 、C 绕点B 逆时针旋转90°后得到的对应点，再与点B 首尾顺次连接即可；（2）由题意可知C 点旋转到C 1点所经过的路径为圆弧，进而根据弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求．（2）∵BC CBC1＝90°，∴C点旋转到C1．【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换和旋转变换，解题的关键是根据轴对称变换和旋转变换得到变换后的对应点及弧长公式．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册第三章圆定向攻克试卷(含答案解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知⊙O 的半径为5，若点P 在⊙O 内，则OP 的长可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．72、已知半径为5的圆，直线l 上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为（）A ．相切B ．相离C ．相切或相交D ．相切或相离3、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角50C ∠=︒，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A ，B 的张角ASB ∠应满足的条件是（）A ．sin sin 25ASB ∠>︒ B ．sin sin50ASB ∠>︒C ．sin sin55ASB ∠>︒D ．cos cos50ASB ∠>︒4、如图，△ABC 内接于圆，弦BD 交AC 于点P ，连接AD ．下列角中，AB 所对圆周角的是（）A ．∠APB B ．∠ABDC ．∠ACBD ．∠BAC5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，若OA ＝2，∠B ＝60°，则CD 的长为（）A B ．C ．D ．46、已知⊙O 的半径为3，点P 到圆心O 的距离为4，则点P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法确定7、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°8、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣4，﹣3），以点A 为圆心，4为半径画⊙A ，则坐标原点O 与⊙A 的位置关系是（）A ．点O 在⊙A 内B ．点O 在⊙A 外C．点O在⊙A上D．以上都有可能9、如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（）A．16πB．13πC．23πD．π10、如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A．2πB．4πC．2π+12D．4π+12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，OA为半径的AB和弦AB所围成的弓形面积等于___________．2、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．3、一个正多边形的中心角是40︒，则这个正多边形的边数为________．4、如图，直线l与半径为8的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是__________．5、如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模型．已知半圆的半径为1，则该圆锥的侧面积是 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB是⊙O的直径，DB DE=，连接DE、DB，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O 的切线交AB的延长线于点C．（1）求证：DE＝DM；（2）若OA＝CD＝2、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交⊙O 于点F ，连接DF ，过B 作BG DF ⊥，交DF 的延长线于点G ．（1）求证：BG 是⊙O 的切线；（2）若30DFA ∠=︒，DF =4，求FG 的长．3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，连接OE ，过点D 作DF ⊥AC 于F ．（1）求证：DF 与⊙O 相切；（2）填空：①若△CDF 的面积为3，则△CDE 的面积为．②当∠CDF 的度数为时，OE ∥BC ，此时四边形ODCE 的形状是：．4、如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC 的顶点分别为A (2，3)，B (2，1)，C (5，4)．(1)只用直尺在图中找出△ABC的外心P，并写出P点的坐标_____________(2)以(1)中的外心P为位似中心，按位似比2：1在位似中心的左侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′，请在图中画出△A′B′C′；(3)若以A为圆心，r为半径的⊙A与线段．．BC．．有公共点，则r的取值范围是____________．5、（问题背景）如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；（迁移应用）如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE 是等边三角形；（拓展创新）如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4√3，请直接写出MC的最小值．-参考答案-一、单选题【分析】根据点与圆的位置关系可得5OP<，由此即可得出答案．【详解】解：O的半径为5，点P在O内，∴<，5OP观察四个选项可知，只有选项A符合，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．2、C【分析】根据若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切．【详解】解：∵半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，∴圆心到直线的距离等于或小于5，∴直线和圆的位置关系为相交或相切，故选：C．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【分析】本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．∴cos∠ASB＞cos50°，故选：D．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4、C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由图可知：AB 所对圆周角的是∠ACB 或∠ADB ，故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．5、B【分析】先证明OCB 是等边三角形，再证明,CE DE =求解sin 603,CE CO 从而可得答案.【详解】解：2,60,OA OB OC BOCB ∴是等边三角形， 60,BOC,AB CD ∴⊥ 3,sin 6023,2CE DE CE CO22 3.CD CE故选B【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，证明OCD 是等边三角形是解本题的关键.6、A【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P 与⊙O 的位置关系．【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键．7、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，=2∠A=100°，由圆周角定理得，BOD故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8、B【分析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；点在圆外；当d＜r时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系．【详解】解：∵点A （﹣4，﹣3），∴5OA =，∵⊙A 的半径为4，∴54>，∴点O 在⊙A 外；故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系．9、C【分析】连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：如下图所示，连接OA ，OB ．∵OC AB ∥，∴OAB CAB S S =△△．∴S 阴=S 扇形AOB ．∵AO ，BO ，CO 都是O 的半径，∴AO =BO =CO ．∵AB =CO =2，∴AO =BO =AB =2．∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∴S 阴=S 扇形AOB =260223603ππ⨯=．故选：C【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．10、D【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．二、填空题1、()24π-【分析】根据勾股定理求出半径AO 的长度，然后根据弓形面积＝扇形OAB 的面积-三角形OAB 的面积，求解即可．【详解】解：由勾股定理得，OA ==由网格的性质可得90AOB ∠=︒，AOB ∆是等腰直角三角形，∴AB 和弦AB 所围成的弓形面积＝(229090112436023602AO AO BO πππ︒⨯⨯︒⨯⨯-=-⨯=-︒︒．故答案为：()24π-．【点睛】此题考查了网格的特点和性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，解题的关键是正确分析出弓形面积＝扇形面积-三角形OAB 的面积．2、六【分析】设这个正多边形的边数为n ，根据题意可知OA =OB =AB ，则△OAB 是等边三角形，得到∠AOB =60°，则60360n ︒⋅=︒，由此即可得到答案．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，∵正多边形的半径与边长相等，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴60360︒⋅=︒，nn=，∴6∴正多边形的边数是六，故答案为：六．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．3、九9【分析】根据正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的度数和为360°进行求解即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∵这个正多边形的中心角是40°，∴40360︒⋅=︒，n∴9n=，∴这个正多边形是九边形，故答案为：九．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，熟知正多边形中心角的度数和为360度是解题的关键．4、4【分析】作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用相似三角形的性质得出y=116x2，所以x-y=x-116x2=-1 16x2+x=-116（x-8）2+4，当x=8时，x-y有最大值是4．【详解】解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴AP BP AC AP，∵PA =x ，PB =y ，半径为8， ∴16x y x=， ∴y =116x 2，所以x -y =x -116x 2=-116x 2+x =-116（x -8）2+4，当x =8时，x -y 有最大值是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．5、2π 【分析】首先根据题意可确定组成的圆锥侧面刚好为该半圆形，所以求出该半圆形的面积即为该圆锥的侧面积．【详解】解：由题意，半圆为该圆锥的侧面，完整的圆形为该圆锥的底面，∴半圆形的面积即为该圆锥的侧面积，∵半圆的半径为1， ∴2122S S ππ⨯===侧面半圆，故答案为：2π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算，本题中理解组成的圆锥侧面恰好为半圆形是解题关键．三、解答题1、（1）见详解；（2）4π-【分析】（1）连接AD ，根据弦、弧之间的关系证明DB =DE ，证明△AMD ≌△ABD ，得到DM =BD ，得到答案．（2）连接OD ，根据已知和切线的性质证明△OCD 为等腰直角三角形，得到∠DOC =45°，根据S 阴影=S △OCD -S 扇OBD 计算即可；【详解】解：（1）如图，连接AD ，∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB =∠ADM =90°，又∵DB DE =，∴ED =BD ，∠MAD =∠BAD ，在△AMD 和△ABD 中，ADM ADB AD AD MAD BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMD ≌△ABD ，∴DM =BD ，∴DE =DM ；（2）如上图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=OA=OD，∴OD=CD=∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD-S扇OBD=142π⨯=-；【点睛】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．2、（1）见解析；（2）2FG=【分析】（1）由题意根据切线的判定证明半径OB⊥BG即可BG是⊙O的切线；（2）根据题意连接CF，根据圆周角定理和中位线性质得出12OE DF=，进而依据等边三角形和四边形BEDG是矩形进行分析即可得出FG的长．【详解】解：（1）证明：∵ C，A，D，F在⊙O上，∠CAF=90°，∴ ∠D=∠CAF=90°．∵ AB⊥CE，BG⊥DF，∴ ∠BED=∠G=90°．∴ 四边形BEDG中，∠ABG=90°．∴ 半径OB⊥BG．∴ BG是⊙O的切线．（2）连接CF，∵ ∠CAF=90°，∴ CF是⊙O的直径．∴ OC=OF．∵ 直径AB⊥CD于E，∴ CE=DE．∴ OE是△CDF的中位线．∴122OE DF==．∵ AD AD=，∠AFD=30°，∴ ∠ACD=∠AFD=30°．∴ 9060CAE ACE∠=︒-∠=︒．∵ OA=OC，∴ △AOC是等边三角形．∵ CE⊥AB，∴ E为AO中点，∴ OA =2OE =4，OB =4．∴ 6BE BO OE =+=．∵ ∠BED =∠D =∠G =90°，∴ 四边形BEDG 是矩形．∴ DG =BE =6．∴ 2FG DG DF =-=．【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线的判定和圆周角定理和中位线性质以及等边三角形和矩形性质是解题的关键.3、（1）见解析（2）①6②30；菱形【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ABC ＝∠C ，由OB ＝OD ，得∠ABC ＝∠ODB ，则∠ODB ＝∠C ，得出OD ∥AC ，再由DF ⊥AC ，得出OD ⊥DF ，即可得出结论；（2）①由圆周角定理和平角性质得∠ABC ＋∠AED ＝180°，∠DEC ＋∠AED ＝180°，推出∠ABC ＝∠DEC ，∠C ＝∠DEC ，得出DE ＝DC ，由等腰三角形的性质得CE ＝2CF ，则S △CDE ＝2S △CDF ，即可得出结果；②利用平行线的性质证明OE 是△ABC 的中位线，得出BC ＝2OE ＝AB ＝AC ，则△ABC 为等边三角形，得∠C ＝60°，证明△CDE 为等边三角形，得出∠CDE ＝60°，由等腰三角形的性质得∠CDF ＝12∠CDE ＝30°，由OE ∥CD ，OD ∥CE ，得四边形ODCE 为平行四边形，再由OD ＝OE ，得出平行四边形ODCE 为菱形．【详解】解：（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，连接OD ，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）解：①∵∠ABC＋∠AED＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠ABC＝∠DEC，∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∵DF⊥AC，∴CE＝2CF，∴S△CDE＝2S△CDF＝2×3＝6，故答案为：6；②∵OE∥BC∴AO AE OB EC∵O点是AB中点∴E点是AC中点∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝2OE＝AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE＝DC，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°，∵DF⊥AC，∴∠CDF＝12∠CDE＝12×60°＝30°，∵OE∥CD，OD∥CE，∴四边形ODCE为平行四边形，∵OD＝OE，∴平行四边形ODCE为菱形，故答案为：30；菱形．【点睛】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、平行线的性质与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、三角形面积计算等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．4、（1）（4，2）；（2）见解析；（3r≤【分析】（1）根据三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点即可找到点P；（2）根据位似中心与三角形三个顶点的连线将原三角形扩大2倍即可；（3）根据直线和圆的位置关系：当半径大于或等于点A到BC的距离时，⊙A与线段BC有一个或两个公共点即可．【详解】解：如图所示：（1）点P即为△ABC的外心，P点的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）；（2）图中画出的△A′B′C′即为所求作的图形；（3）观察图形可知：r时，⊙A与线段BC有一个公共点．此时⊙A与线段BC相切，当===A只经过点C，r AC∴rrr【点睛】本题考查了作图−位似变换、三角形的外接圆与圆心、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是根据位似中心画位似图形．5、（1）见解析；（2）见解析；（3）√21−√3【分析】（1）根据△PAB绕点A逆时针旋转60°作图即可；（2）由∠BEC＝120°得∠BED＝60°，由平行线的性质得∠ADE＝∠BED＝60°，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圆，由圆内接四边形对角互补得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得证；（3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A、E、B、F共圆C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，进而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圆⊙Q，则∠EQF＝120°，求出EQ，连接QG取中点N，由三角形中位线得MN，以点N为圆心MN为半径作⊙N，连接CN，与⊙N交于点M′，即CM最小为MM′=MM−MM，建立平面直角坐标系求出即可．【详解】（1）如图1所示，将△MMM绕点A逆时针旋转60°得△M′MM；（2）∵∠BEC＝120°，∴∠BED＝60°，∵MM∥MM，∴∠ADE＝∠BED＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴A、D、B、C共圆，如图2所示：∴∠ADB＝120°，∵∠ADE＝∠BED＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等边三角形；（3）如图3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，∴A、E、B、F共圆C，∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，∴∠APF＝∠ABC＝60°，∵∠EPF＝60°，EF＝6，作△EPF的外接圆⊙Q，则∠EQF＝120°，QC⊥EF，∴∠EQC＝60°，∴MM=MM=MM=MMsin60°=√32=2√3，连接QG取中点N，则MM∥MM且MM=12MM=√3，以点N为圆心MN为半径作⊙N，连接CN，与⊙N交于点M′，即CM最小为MM′=MM−M′M=MM−MM，以点F为原点建立平面直角坐标系，M(−3,−√3)，M(−3,0)，M(0,−6√3)，∴M(−32,−5√32),MM=√(32)2+(5√32)2=√21，∴CM最小为MM−MM=√21−√3．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，解三角函数以及圆的性质，根据题意作出圆是解题的关键．。

2021-2022学年度北师大版九年级数学下册第三章圆定向练习试题(含答案及详细解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为（）A．相切B．相离C．相切或相交D．相切或相离2、已知，在圆中圆心角度数为45°，半径为10，则这个圆心角所对的扇形面积为（）A．52πB．5πC．10πD．252π3、如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．80°4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA＝2，∠B＝60°，则CD的长为（）A B．C．D．45、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．102°C．112°D．128°6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，若AC BC，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°7、如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，将Rt △ABC 延直线l 由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 第一次滚动到图2位置时，顶点A 所经过的路径的长为（）AB C D ．（π8、如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，连接OA ，OB ，AC ，BC ，如果OA ⊥OB ，那么∠C 的度数为（）A ．22.5°B ．45°C ．90°D ．67.5°9、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°10、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 E ，若 ⊙O 的半径为5，CD =8，则AE 的长为（）A．3 B．2 C．1 D第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_________．2、如图，点O和点I分别是△ABC的外心和内心，若∠BOC＝130°，则∠BIC＝______．3、如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG 并延长交AD于点F，则AF的最大值是_______．4、用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．5、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，半径为2cm ，若BC ＝2cm ，则∠A 的度数为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，圆O 是ABC 的内切圆，其中7,5AB BC ==，8AC =，求其内切圆的半径．2、尝试：如图①，ABC 中，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，直接写出图中的一对相似三角形_______；拓展：如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，若8BB '=，求CC '的长；应用：如图③，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AB =，30ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B 的对应点B ′恰好落在Rt ABC △的边所在的直线上时，直接写出此时点C 的运动路径长．3、如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 与抛物线交于A ，D 两点，点D 的坐标为()4,5，与y 轴交于点E ．（1）求A ，B 两点的坐标及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线l 下方抛物线上，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，直线PM 与直线l 交于点N ，当点M 是PN 的三等分点时，求点P 的坐标；（3）若点H 是抛物线223y x x =--对称轴上的一点，且45AHD ∠=︒，请直接写出点H 的坐标．4、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BC ＝BF ，⊙O 是△BEF 的外接圆，连接BD ．（1）证明：△CAB ≌△FEB ；（2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）当AB＝BE＝2时，求⊙O的面积．⊥于点D，过点C作O 5、如图，AB为O的直径，点C在O上，连接AC，BC，过点O作OD BC的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：E B∠=∠；BC=，求AD的长．（2）连接AD．若CE=8-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切．【详解】解：∵半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，∴圆心到直线的距离等于或小于5，∴直线和圆的位置关系为相交或相切，故选：C．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．2、D【分析】利用扇形面积公式直接计算即可．【详解】解：在圆中圆心角度数为45°，半径为10，则这个圆心角所对的扇形面积为：24510253602ππ⨯⨯=，故选：D．【点睛】本题考查了扇形面积计算，解题关键是熟记扇形面积公式，准确进行计算．3、D【分析】由∠ACB=40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．【详解】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．4、B【分析】先证明OCB 是等边三角形，再证明,CE DE =求解sin 603,CE CO 从而可得答案.【详解】解：2,60,OA OB OC BOCB ∴是等边三角形， 60,BOC,AB CD ∴⊥ 3,sin 6023,2CE DE CE CO22 3.CD CE故选B【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，证明OCD 是等边三角形是解本题的关键.5、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A ＝56°，∠A 与∠BOC 所对的弧相同，∴∠BOC＝2∠A＝112°，故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．6、B【分析】如图所示，连接AC，由圆周角定理∠BAC=∠BDC=50°，再由等弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠BAC=50°，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC，∴∠BAC=∠BDC=50°，∵AC BC，∴∠ABC=∠BAC=50°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC=180°-∠ABC=130°，故选B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，熟练掌握相关知识是解题的关键．7、C【分析】根据题意，画出示意图，确定出点A 的运动路径，再根据弧长公式即可求解．【详解】解：根据题意可得，Rt △ABC 的运动示意图，如下：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴60ACB ∠=︒，2BC =，AB由图形可得，点A 的运动路线为，先以C 为中心，顺时针旋转120︒，到达点1A ，经过的路径长为120121803ππ⨯=，再以1B 为中心，顺时针旋转150︒，到达点2A =顶点A 所经过的路径的长为23π=，故选：C【点睛】此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A 的运动路线．8、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．9、B【分析】连接OA ，如图，根据切线的性质得∠PAO =90°，再利用互余计算出∠AOP =50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B 的度数．【详解】解：连接OA ，如图，∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴∠PAO =90°，∵∠P =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB ，∵∠AOP =∠B +∠OAB ，∴∠B =12∠AOP=12×50°=25°．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．10、B【分析】连接OC ，由垂径定理，得到CE =4，再由勾股定理求出OE 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：连接OC ，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8， ∴118422CE CD ==⨯=，∵5AO CO ==，∴3OE ，∴532AE =-=；故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =．二、填空题1、23π 【分析】先根据12OD OF =得出30OFD ∠=︒，同理可得出30OEA ∠=︒，进而得出60EOF ∠=︒，根据扇形的弧长公式计算即可．【详解】由题意可得：2OE OG OF === ∴12OD OF = ∴在Rt ODF 中，1sin 2OD OFD OF ∠== ∴30OFD ∠=︒ 同理可得：30OEA ∠=︒AB OG DC ∥∥30EOG OEA ∴∠=∠=︒，30FOG OFD ∠=∠=︒∴60EOF EOG FOG ∠=∠+∠=︒ ∴60221801803n r EF πππ⨯=== 故答案为：23π 【点睛】本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．2、122.5°【分析】如图所示，作△ABC外接圆，利用圆周角定理得到∠A=65°，由于I是△ABC的内心，则∠BIC=180°-12∠ABC-12∠ACB，然后把∠BAC的度数代入计算即可．【详解】解：如图所示，作△ABC外接圆，∵点O是△ABC的外心，∠BOC=130°，∴∠A=65°，∴∠ABC+∠ACB=115°，∵点I是△ABC的内心，∴∠IBC+∠ICB=12×115°=57.5°，∴∠BIC=180°﹣57.5°=122.5°．故答案为：122.5°．【点睛】此题主要考查了三角形内心和外心的综合应用，根据题意得出∠IBC+∠ICB的度数是解题关键．3、1【分析】以AB为直径作圆，当CF与圆相切时，AF最大．根据切线长定理转化线段AF＋BC＝CF，在Rt△DFC 利用勾股定理求解．【详解】解：以AB 为直径作圆，因为∠AGB ＝90°，所以G 点在圆上．当CF 与圆相切时，AF 最大．此时FA ＝FG ，BC ＝CG ．设AF ＝x ，则DF ＝4−x ，FC ＝4＋x ，在Rt △DFC 中，利用勾股定理可得：42＋（4−x ）2＝（4＋x ）2，解得x ＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查正方形的性质、圆中切线长定理以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．4、1【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r ，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：12222ππ⨯⨯=，∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r ，则：22r ππ=，解得：1r =，故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．5、30°度【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【详解】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2cm，BC=2cm，∴OB=OC=BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=12∠BOC=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．三、解答题1【分析】过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，根据勾股定理BD==ABC面积两种求法列等式得出()AC BD AB BC AC r⋅=++⋅即可．【详解】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，设AD=x，CD=8-x, 其内切圆的半径为r，根据勾股定理2222-=-AB AD BC CD，即()2222758x x-=--，解方程得112x=，∴BD∵圆O是ABC的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r，∴S△ABC=()1111122222AC BD AB OF BC OG AC OE AB BC AC r⋅=⋅+⋅+⋅=++⋅，∴()AC BD AB BC AC r⋅=++⋅，∴8220AC BDrAB BC AC⋅===++【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积，掌握三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积公式是解题关键．2、尝试：''ABB ACC △△；拓展：'CC =；应用：点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π．【分析】尝试：根据AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，可得到=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，即可推出=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''，则ABB ACC ''△∽△；拓展：由AC =BC ，∠ACB =90°，可得AB ，同（1）可证ABB ACC ''△∽△，得到AB BB AC CC =''，由此求解即可；应用：分点'B 在AC 延长线上时，点'B 在CA 的延长线上时，当点'B 落在边BC 所在直线上时，当点'B 落在边AB 所在直线上时，当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周时，五种情况讨论求解即可得到答案．【详解】解：尝试：ABB ACC ''△∽△，理由如下：∵AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，∴=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，∴=BAC CAB B AC CAB ''''++∠∠∠∠，即=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''，∴ABB ACC ''△∽△；故答案为：ABB ACC ''△∽△；拓展：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴AB ==，同（1）原理可证ABB ACC ''△∽△， ∴AB BB AC CC =''，∴AC BB CC AB '⋅'== 应用：∵在Rt ABC 中，2AB =，30ABC ∠=︒， ∴112AC AB ==，60BAC ∠=︒，当点'B 落在AC 所在直线上时，有两种情况：①若点'B 在AC 延长线上时，如图①所示：由旋转的旋转可得：'60CAC BAC ∠=∠=︒， ∴点C 运动的路径即为CC '，∴6011803CC ππ⨯'==； ②若点'B 在CA 的延长线上时，如图②所示，此时点B ，'C ，'B 三点共线， ∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'180120CAC B AC ''∠=︒-=︒∠∴旋转角360240CAC '=︒-=︒∠， ∴弧240141803'CC ππ⨯==；当点'B 落在边BC 所在直线上时，如图③所示，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'18060CAB B AC BAC ''∠=︒--=︒∠∠，∴120CAC CAB B AC =''''∠=∠+∠︒ ∴弧120121803CC'ππ⨯==；当点'B 落在边AB 所在直线上时，如图④所示，此时点C ，A ，'C 三点共线，旋转角为180︒， ∴弧1801180CC'ππ⨯==．当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周，∴弧'22CC AC ππ=⨯=．∴当点B 的对应点'B 恰好落在Rt ABC 的边所在直线上时，点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，以及弧长公式．3、（1）A （－1，0），B （3，0），1y x =+；（2）点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，51，－4）.【分析】（1）先令y ＝0时，2230x x --=，x 1＝3，x 2＝－1. ，即可得到A 、B 的坐标，然后设直线l 解析式为y kx b =+，代入A 、D 坐标求解即可；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），然后分PM ＝1233PN PN 或，且P 只能在x 轴的下方，这两种情况讨论求解即可；（3）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，可得AG =BG =5，∠AGD =90°，再由∠AHD =45°，则点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），则5G H '==，即可求出H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．【详解】（1）当y ＝0时，2230x x --=，解得x 1＝3，x 2＝－1.∴ A （－1，0），B （3，0）.设直线l 解析式为y kx b =+，∵ l 经过D （4，5），A （－1，0），∴ 045k b k b -+=⎧⎨+=⎩， ∴11k b =⎧⎨=⎩， ∴ 直线l 解析式为1y x =+；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），∵ 点M 是PN 的三等分点，点P 在直线l 下方抛物线上，∴ PM ＝1233PN PN 或,且P 只能在x 轴的下方， ∴ PM ＝22(23)23m m m m -=-+--+,PN ＝221(23)34m m m m m +--=-++-，当PM ＝13PN 时，则()22123343m m m m -++=-++，解得m 1＝2.5，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（2.5，－1.75）；当PM ＝23PN 时，则()22223343m m m m -++=-++，解得m 1＝1，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（1，－4），综上所述，点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）如图所示，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，∴G 点坐标为（4，0），∴AG =BG =5，∠AGD =90°，∵∠AHD =45°，∴点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），∴5G H '=，∴4n =-或4n =（舍去），∴H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，设H 的坐标为（1，t ），∴5G H '==，∴5t =5t =，∴H 的坐标为（1，5；∴综上所述，点H 的坐标为（1，51，－4）．【点睛】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4、（1）见解析；（2）相切，理由见解析；（3）（4＋【分析】（1）利用等角的余角相等可得∠C＝∠F，利用角边角公理即可判定结论成立；（2）连接OB，通过计算得到∠OBD＝90°，利用切线的判定定理即可得出结论；（3）连接AE，利用勾股定理可求得线段AE的长，进而可求线段BC的长，则线段BF可得，利用勾股定理可求EF2，利用圆的面积公式即可求得结论．【详解】证明：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠EBF＝∠ABC＝90°．∴∠F＋∠BEF＝90°．∵DF ⊥AC ，∴∠ADF ＝∠CDF ＝90°．∴∠C ＋∠DEC ＝90°．∵∠DEC ＝∠BEF ，∴∠C ＝∠F ．在△CAB 和△FEB 中，ABC EBF BC BFC F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CAB ≌△FEB （ASA ）．解：（2）直线BD 与⊙O 相切，理由：连接OB ，如图，∵D 为AC 的中点，AB ⊥BC ，∴DB ＝12AC =DC ． ∴∠DCB ＝∠DBC ．∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ．∵∠DEC ＝∠BEF ，∴∠DEC＝∠OBE．∵∠DEC＋∠C＝90°，∴∠OBE＋∠C＝90°，∴∠OBE＋∠DBE＝90°．即∠OBD＝90°．∴OB⊥BD．∵OB是圆O的半径，∴直线BD与⊙O相切．（3）连接AE，如图，∵DF是线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∵AB＝BE＝2，∠ABC＝90°，∴AE∴CE＝AE＝∴BC＝BE＋CE＝2＋∵BC＝BF，∴BF＝2＋在Rt△BEF中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝222(2++=16＋∴⊙O 的面积＝π•（12EF ）2＝14π•EF 2＝（4＋【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．5、（1）证明见解析；（2）AD =4【分析】（1）连接OC 通过垂径定理和等腰三角形性质证明∠E =∠B（2）连接AD 通过计算发现BC =EC ，再通过证明△CED ≌△ABC 得到AC =DC =4．【详解】（1）证明：连接OC 如图：OD ⊥CB∴OB =OC ，∠B =OCD又CE 为圆O 的切线∴OC ⊥CE∴∠ECD +∠DCO =∠ECD +∠E =90°∴∠E=∠DCO=∠B ∴∠E=∠B（2）连接AD如图∵△EDC为R t△∴DE=由（1）得∠E=∠B 又AB为直径∴∠BCA=90°在△CED和△ABC中∵B EEDC BCAED BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CED≌△ABC（AAS）∴AC=DC=12 BC=4【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．。

2021-2022学年度北师大版九年级数学下册第三章圆定向测评试卷(含答案详解)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分））1A．2B．3C．4D．52、下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．过任意三点可以画一个圆C．周长相等的圆是等圆D．平分弦的直径垂直于弦3、如图，边长为）A ．B ．23πC ．D ． 4、如图，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是（）A ．7(,0)3-B ．17(,0)3- C ．7(,0)3-或17(,0)3- D ．（﹣2，0）或（﹣5，0）5、如图，点A ，B ，C 均在O 上，当35OBC ∠=︒时，A ∠的度数是（）．A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°6、如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A ．2πB ．4πC ．2π+12D ．4π+127、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l 距离都为20 m 的宋代碑刻A ，B ，在小路l 上有一座亭子P ． A ，P 分别位于B 的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A ，B 原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P 到湖岸的最短距离是（）A ．20 mB ．mC ．（ - 20）mD ．（m8、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（）A ．50°B ．25°C ．100°D ．30°9、如图，FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB 于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（）B．2 C．D．3A∠的度数为（）10、如图，四边形ABCD内接于O，若130C∠=︒，则BODA．50°B．100°C．130°D．150°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____．2、用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．3、如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为______ ；连接CP，线段CP长的最小值为_______．4、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点，图中与∠ADE相等的角是 _________ ．5、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠BPC的度数为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(2，1)，C(5，4)．(1)只用直尺在图中找出△ABC 的外心P ，并写出P 点的坐标_____________(2)以(1)中的外心P 为位似中心，按位似比2：1在位似中心的左侧将△ABC 放大为△A′B′C′，放大后点A 、B 、C 的对应点分别为A′、B′、C′，请在图中画出△A′B′C′；(3)若以A 为圆心，r 为半径的⊙A 与线段．．BC ．．有公共点，则r 的取值范围是____________． 2、如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 与抛物线交于A ，D 两点，点D 的坐标为()4,5，与y 轴交于点E ．（1）求A ，B 两点的坐标及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线l 下方抛物线上，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，直线PM 与直线l 交于点N ，当点M 是PN 的三等分点时，求点P 的坐标；（3）若点H 是抛物线223y x x =--对称轴上的一点，且45AHD ∠=︒，请直接写出点H 的坐标．3、抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的纵坐标为a b c ++．（1）求a ，b 应满足的数量关系；（2）若抛物线上任意不同两点()11,A x y ，()22,B x y 都满足：当的12c x x a <<时，()()12120x x y y --<；当12cx x a <<时，()()12120x x y y -->．直线y c =与抛物线交于M 、N 两点，且PMN 为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式②若直线AB 恒过定点()1,1，且以AB 为直径的圆与直线y m =总有公共点，求m 的取值范围．4、如图，四边形ABCD 内接⊙O ，∠C ＝∠B ．（1）如图1，求证：AB ＝CD ；（2）如图2，连接BO 并延长分别交⊙O 和CD 于点F 、E ，若CD ＝EB ，CD ⊥EB ，求tan∠CBF ；（3）如图3，在（2）的条件下，在BF 上取点G ，连接CG 并延长交⊙O 于点I ，交AB 于H ，EF ∶BG ＝1∶3，EG ＝2，求GH 的长．5、如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，以点 A 为圆心，1为半径作圆，点 E 是⊙A 上的一动点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F ，接 AF ．（1）求CF 长；（2）当A 、E 、F 三点共线时，求EF 长；（3） AF 的最大值是__________．-参考答案-一、单选题1、B【分析】如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，再由等边三角形的性质，可得∠OAB =30°，12AD AB =，然后根据锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，根据题意得：OA，∠OAB =30°，12AD AB =，在Rt AOD △中，3cos 2AD OA OAB =⋅∠== ，∴AB=3，即这个正三角形的边长是3．故选：B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．2、C【分析】根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；故选：C．【点睛】本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．3、A【分析】正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正三角形的面积为：162⨯=三个小半圆的面积为：(213182ππ⨯⨯⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，所以阴影部分的面积为：18162πππ-=，故选：A【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．4、C【分析】由题意根据函数解析式求得A （-4，0），B （0．-3），得到OA =4，OB =3，根据勾股定理得到AB =5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD =1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令x =0，得y =-3，令y =0，得x =-4，∴A （-4，0），B （0，-3），∴OA =4，OB =3，∴AB =5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD =1，∵∠ADP =∠AOB =90°，∠PAD =∠BAO ，∴△APD∽△ABO，∴PD AP OB AB=，∴135AP =，∴AP= 53，∴OP= 73或OP=173，∴P7(,0)3-或P17(,0)3-，故选：C．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．5、C【分析】先由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC=35°，从而可得∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，再由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=35°，∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，∴1=552A BOC∠=∠︒，故选C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．6、D【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．7、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．8、B【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵1,502ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ， ∴25ACB ∠=︒ ．故选：B【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．9、C【分析】根据切线长定理可得，BE EC =、CD AD =、AF BF =，再根据∠F ＝60°，可知ABF 为等边三角形，120AOB ∠=︒，再△FDE 的周长为12，可得12BF AF +=，求得6AB =，再作OH AB ⊥，即可求解．【详解】解：FA 、FB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，过点C 的切线分别交FA 、FB 于D 、E 两点，则：BE EC =、CD AD =、AF BF =，90OBF OAF ∠=∠=︒，∵∠F ＝60°，∴ABF 为等边三角形，360120AOB F OBF OAF ∠=︒-∠-∠-∠=︒，∵△FDE 的周长为12，即12CD EC EF DF +++=，∴12BF AF +=，即6AB AF ==，作OH AB ⊥，如下图：则1602BOH AOB ∠=∠=︒，132BH AB ==， ∴30OBH ∠=︒，设OH x =，则2OB x =，由勾股定理可得：2223(2)x x +=，解得x =OB =故选C【点睛】此题考查了圆的有关性质，切线的性质、切线长定理，垂径定理以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．10、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A 的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A +∠DCB =180°，∵∠DCB =130°，∴∠A =50°，由圆周角定理得，BOD ∠=2∠A =100°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．二、填空题1、120︒【分析】根据圆的性质，可得OA=OB，OC=OD，证明△AOC≌△BOD，即可得答案．【详解】解：由题意可知：OA=OB，OC=OD，∵AC＝BD，∴△AOC≌△BOD，∵∠AOC＝120°，∴∠BOD＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质，做题的关键是证明△AOC≌△BOD．2、1【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：12222ππ⨯⨯=，∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r ，则：22r ππ=，解得：1r =，故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．3、90︒1【分析】利用“边角边”证明△ADE 和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE ＝∠CDF ，然后求出∠APD ＝90°，从而得出点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，连接AD 的中点和C 的连线交弧于点P ，此时CP 的长度最小，然后根据勾股定理求得QC ，即可求得CP 的长．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，∴ AD ＝CD ，∠ADE ＝∠BCD ＝90°，在△ADE 和△DCF 中，90AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△DCF （SAS ）∴∠DAE ＝∠CDF ，∵∠CDF ＋∠ADF ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADF ＋∠DAE ＝90°，∴∠APD ＝90°，由于点P 在运动中保持∠APD ＝90°，∴点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，取AD 的中点Q ，连接QC ，此时CP 的长度最小，则DQ ＝12AD ＝12×2＝1，在Rt △CQD 中，根据勾股定理得，CQ所以，CP ＝CO −QP 1．故答案为：90︒1．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．4、∠ABC【分析】根据圆内接四边形的性质可得180ADC ABC ∠+∠=︒，再由题意可得180ADC ADE ∠+∠=︒，由等式的性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于圆，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∵E 为CD 延长线上一点，∴180ADC ADE ∠+∠=︒，∴ABC ADE ∠=∠，故答案为：ABC ∠．【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．5、45°度【分析】连接OB 、OC ，根据正方形的性质得到∠BOC 的度数，利用圆周角与圆心角的关系得到答案．【详解】解：连接OB 、OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC =1452BOC ∠=︒，故答案为：45°．【点睛】此题考查了圆内接正方形的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记各知识点是解题的关键．三、解答题1、（1）（4，2）；（2）见解析；（3r≤【分析】（1）根据三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点即可找到点P；（2）根据位似中心与三角形三个顶点的连线将原三角形扩大2倍即可；（3）根据直线和圆的位置关系：当半径大于或等于点A到BC的距离时，⊙A与线段BC有一个或两个公共点即可．【详解】解：如图所示：（1）点P即为△ABC的外心，P点的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）；（2）图中画出的△A′B′C′即为所求作的图形；（3）观察图形可知：r时，⊙A与线段BC有一个公共点．此时⊙A与线段BC相切，当r AC===A只经过点C，∴rrr【点睛】本题考查了作图−位似变换、三角形的外接圆与圆心、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是根据位似中心画位似图形．2、（1）A （－1，0），B （3，0），1y x =+；（2）点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，51，－4）.【分析】（1）先令y ＝0时，2230x x --=，x 1＝3，x 2＝－1. ，即可得到A 、B 的坐标，然后设直线l 解析式为y kx b =+，代入A 、D 坐标求解即可；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），然后分PM ＝1233PN PN 或，且P 只能在x 轴的下方，这两种情况讨论求解即可；（3）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，可得AG =BG =5，∠AGD =90°，再由∠AHD =45°，则点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），则5G H '==，即可求出H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．【详解】（1）当y ＝0时，2230x x --=，解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴ A （－1，0），B （3，0）. 设直线l 解析式为y kx b =+， ∵ l 经过D （4，5），A （－1，0）， ∴ 045k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴11k b =⎧⎨=⎩，∴ 直线l 解析式为1y x =+；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +）， ∵ 点M 是PN 的三等分点，点P 在直线l 下方抛物线上，∴ PM ＝1233PN PN 或,且P 只能在x 轴的下方，∴ PM ＝22(23)23m m m m -=-+--+,PN ＝221(23)34m m m m m +--=-++-，当PM ＝13PN 时，则()22123343m m m m -++=-++，解得m 1＝2.5，m 2＝－1（舍去）， ∴ P 的坐标为（2.5，－1.75）；当PM ＝23PN 时，则()22223343m m m m -++=-++，解得m 1＝1，m 2＝－1（舍去）， ∴ P 的坐标为（1，－4），综上所述，点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）如图所示，过点D 作DG ⊥x 轴于G ， ∴G 点坐标为（4，0）， ∴AG =BG =5，∠AGD =90°， ∵∠AHD =45°，∴点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），∴5G H '=，∴4n =-或4n =（舍去）， ∴H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，设H 的坐标为（1，t ），∴5G H '==，∴5t =+5t =，∴H 的坐标为（1，5；∴综上所述，点H 的坐标为（1，51，－4）．【点睛】本题主要考查了求二次函数与x 轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3、（1）2b a =-；（2）①221y x x =-+；②02m ≤≤ 【分析】（1）当x =1时，y =a +b +c ，确定P 的坐标为（1，a +b +c ），确定函数的对称轴为x =1即b-12a=，关系确定；（2）①由12cx x a<<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y --<，得120y y -＞，得到x c a<时，y 随x 的增大而减小；由12cx x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y -->，得120y y -<，得到x c a ＞时，y 随x 的增大而增大，判定直线x ca =是抛物线的对称轴，且a ＞0；得到1ca=，从而确定P （1，0），线y c =与抛物线交于M 、N 两点，其中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），根据PMN 为等腰直角三角形，可证△OPM 是等腰直角三角形，从而得到PO =OM =1即M （0，1），故c =a =1，b =-2a =-2即确定函数解析式；②由直线AB 恒过定点()1,1，得到直线AB 为y =1；结合抛物线与y 轴的交点为（0，1），不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，根据对称轴为x =1，确定B 的坐标为（2，1），故AB =2，所以AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点，从而确定出圆，利用数形结合思想，可以确定圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围．【详解】（1）（1）当x =1时，y =a +b +c ， ∴P 的坐标为（1，a +b +c ）， ∴函数的对称轴为x =1， ∴b-12a=， ∴b =-2a ；（2）①∵12cx x a<<时， ∴120x x -<，∵()()12120x x y y --<，∴120y y -＞，∴x ca<时，y 随x 的增大而减小； ∵12c x x a<<时，∴120x x -<，∵()()12120x x y y -->，∴120y y -<，∴x ca＞时，y 随x 的增大而增大，∴直线x c a=是抛物线的对称轴，且a ＞0；∵函数的对称轴为x =1， ∴1ca=， ∴a +b +c =2a -2a =0， ∴P （1，0），PO =1，∵（0，c ）是抛物线与y 轴的交点，∴直线y =c 与抛物线交于M 、N 两点中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），则OM =c ，∵PMN 为等腰直角三角形， ∴∠NMP =45°， ∴∠OMP =45°，∴△OPM 是等腰直角三角形， ∴PO =OM =1， ∴c =a =1，b =-2a =-2，∴函数解析式为221y x x =-+；②∵直线AB 恒过定点()1,1， ∴直线AB 为y =1；∵抛物线与y 轴的交点为（0，1）， ∴不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点， ∵对称轴为x =1， ∴B 的坐标为（2，1）， ∴AB =2，∴AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点（1，1），作图如下，∵y =0时，直线与圆相切；y =2时，直线与圆相切； ∴圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围为0≤m ≤2．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称性，灵活判定直线与圆的位置关系是解题的关键． 4、（1）见解析；（2）12；（3【分析】（1）过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ，由圆内接四边形对角互补可以推出∠B +∠A =180°，证得AD ∥BC ，则四边形ABED 是平行四边形，即可得到AB =DE ，∠DEC =∠B =∠C ，这DE =CD =AB ；（2）连接OC ，FC ，设BE =CD =2x ，OB =OC =OF =r ，则OE =BE -BO =2x -r ，EF =BF -BE =2r -2x ，由垂径定理可得1=2CE DE CD x ==，∠CEB =∠CEF =∠FCB =90°，则∠FBC +∠F =∠FCE +∠F =90°，可得∠FBC =∠FCE ；由勾股定理得222OC OE CE =+，则()2222r x r x =-+，解得54r x =，则522212tan =tan ==2x x EF r x CBF FCE CE x x --==∠∠；（3）EF ：BG =1：3，即()13EF BE GE -=：：则()()222213r x x --=：：解得4x =，则=5r ，8BE CD AB ===，6BG =，如图所示，以B 为圆心，以BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，分别过点A 作AM ⊥BC 与M ，过点G 作GN ⊥BC 与N ，连接FC ，分别求出G点坐标为⎝⎭，C 点坐标为()；A点坐标为⎝⎭然后求出直线CG的解析式为34y x =-+AB 的解析式为2y x =，即可得到H 的坐标为），则GH ==．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ， ∵四边形ABCD 是圆O 的圆内接四边形， ∴∠A +∠C =180°， ∵∠B =∠C ， ∴∠B +∠A =180°， ∴AD∥BC ，∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AB =DE ，∠DEC =∠B =∠C ， ∴DE =CD =AB ；（2）如图所示，连接OC ，FC ，设BE =CD =2x ，OB =OC =OF =r ，则OE =BE -BO =2x -r ，EF =BF -BE =2r -2x ∵CD ⊥EB ，BF 是圆O 的直径，∴1=2CE DE CD x ==，∠CEB =∠CEF =∠FCB =90°，∴∠FBC +∠F =∠FCE +∠F =90°， ∴∠FBC =∠FCE ； ∵222OC OE CE =+， ∴()2222r x r x =-+，∴222244r x r r x =-++，解得54r x =， ∴522212tan =tan ==2x x EF r x CBF FCE CE x x --==∠∠；（3）∵EF ：BG =1：3，即()13EF BE GE -=：： ∴()()222213r x x --=：：，即()122132x x -=：： ∴3222x x =-，解得4x =， ∴=5r ，∴8BE CD AB ===，6BG =，如图所示，以B 为圆心，以BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，分别过点A 作AM ⊥BC 与M ，过点G 作GN ⊥BC 与N ，连接FC ， ∴1tan ===2GN FC CBF BN BC ∠， ∴2BN GN =，2BC FC =，∵222BG GN BN =+，222BF BC FC =+ ∴225GN BG =,225FC BF =，∴GN ==,FC ==∴BN =BC = ∴G，C点坐标为（0）；∵1tan ==2CE CBF BE ∠， ∴tan 2BEBCE CE∠==， ∵∠ABC =∠ECB ， ∴tan 2AMABM BM∠==， ∴2AM BM =， ∵222AB AM BM =+， ∴225BM AB =，∴BM AB ==∴AM =， ∴A设直线CG 的解析式为y kx b =+，直线AB 的解析式为1y k x =，∴0b b ⎧+=+=1=∴34k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，12k =，∴直线CG的解析式为34y x =-+AB 的解析式为2y x =，联立342y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴H，∴GH ==．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数与几何综合，垂径定理，勾股定理，两点距离公式，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解．5、（1）1；（211；（3）1【分析】（1）连接AE ，根据同角的余角相等可得：EDA FDC ∠=∠，利用全等三角形的判定定理可得：EDA FDC ∆≅∆，再由其性质即可得解；（2）分两种情况讨论：①当点E 在正方形内部时，点A 、E 、F 三点共线时，AF 与圆C 相切；②当点E 在正方形外部时，点A 、1E 、1F 三点共线时，1AF 与圆C 相切；两种情况分别利用勾股定理进行求解即可得；（3）根据题意判断出AF 最大时，点C 在AF 上，根据正方形的性质求出AC ，从而得出AF 的最大值．【详解】解：（1）连接AE ，如图所示：∵90EDF ADC ∠=∠=︒，即：90EDA ADF ADF FDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴EDA FDC ∠=∠，在EDA ∆与FDC ∆中，ED FD EDA FDC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴EDA FDC ∆≅∆，∴1CF AE ==；（2）①如图所示：当点A 、E 、F 三点共线时，AF 与圆C 相切，则90AFC ∠=︒，AC ==1CF =，∴AF =，∴1EF AF AE =-=；②如图所示：当点A 、1E 、1F 三点共线时，1AF 与圆C 相切，则190AFC ∠=︒，AC =11CF =，∴1AF=∴111EF AF AE=+；综合可得：当点A、E、F三点共线时，EF11；（3）如图所示，点C在线段AF上，AF取得最大值，AF AC CF=+，∵AC=∴1AF=，即：AF的最大值是1，故答案为：1．【点睛】题目主要考查正方形的性质，切线及旋转的性质，勾股定理等，理解题意，画出相应辅助图形是解题关键．。

2021-2022学年最新北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试试题(含解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（）A ．3πB ．34πC ．πD ．3π2、如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝37°，则∠AOB 的度数是（）A ．73°B ．74°C ．64°D ．37°3、如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝3，CO ＝4，则OF 的长为（）A．5 B．95C．165D．1254、已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定5、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°6、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m7、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AEDC38∠的大小是（）A．19°B．38°C．52°D．76°8、矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外∠的度数为（）9、如图，四边形ABCD内接于O，若130∠=︒，则BODCA ．50°B ．100°C ．130°D ．150°10、如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，将Rt △ABC 延直线l 由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 第一次滚动到图2位置时，顶点A 所经过的路径的长为（）AB C D ．（π第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部的距离为20cm ，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm ．2、如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是_____．3、在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，4AC AB ==，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若等腰Rt ADE △绕点A逆时针旋转，得到等腰11Rt AD E ，记直线1BD 与1CE 的交点为P ，则点P 到AB 所在直线的距离的最大值为________．4、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．5、若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，与CA 的延长线交于点E ，⊙O 的切线DF 与AC 垂直，垂足为F ．（1）求证：AB ＝AC ．（2）若CF ＝2AF ，AE ＝4，求⊙O 的半径．2、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx =+．（1）求抛物线顶点Q 的坐标；（用含b 的代数式表示）（2）抛物线与x 轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A ，B ，与x 轴交于点K ．①判断△AOB 的形状，并说明理由；②已知E （2，0），F （4，0），设△AOB 的外心为M ，当点K 在线段EF 上时，求点M 的纵坐标m 的取值范围．3、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC ＝AD ，过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线与AB 的延长线交于点G ．（1）求证：FG 是⊙O 的切线；（2）求证：四边形AFCD 是菱形．4、在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm ，母线为50cm ．，求裁剪的面积．5、尝试：如图①，ABC 中，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，直接写出图中的一对相似三角形_______；拓展：如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，若8BB '=，求CC '的长；应用：如图③，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AB =，30ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B 的对应点B ′恰好落在Rt ABC △的边所在的直线上时，直接写出此时点C 的运动路径长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】阴影面积为旋转后'A B 为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前AB 为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可．【详解】∵直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°∴A'B ABA'AB S S S S =+-阴影为直径的半圆扇形为直径的半圆又∵'AB A B =∴A'B AB S S =为直径的半圆为直径的半圆∴ABA'S S =阴影扇形∵AB =6，∠ABA ’=30° ∴223063360360ABA'n r S S π︒⋅π⋅====π︒︒阴影扇形故答案为：D ．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为2360n r π︒，由旋转的性质得出阴影面积为扇形面积是解题的关键．2、B【分析】根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB =2∠ACB =74°，即可得出答案．【详解】解：由图可知，∠AOB 在⊙O 中为AB 对应的圆周角，∠ACB 在⊙O 中为AB 对应的圆心角，故：∠AOB =2∠ACB =74°．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．3、D【分析】连接OF ，OE ，OG ，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠，利用平行线的性质及角之间的关系得出90BOC ∠=︒，利用勾股定理得出5BC =，再由三角形的等面积法即可得．【详解】解：连接OF ，OE ，OG ，∵AB 、BC 、CD 分别与O 相切，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，且OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠， ∴12OBC ABC ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴119022OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90BOC ∠=︒，5 BC=，∴S SSSS=12SS·SS=12SS·SS，∴341255 OF⨯==，故选：D．【点睛】题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．4、A【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键．5、B【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；【详解】解：如图，连接OC，OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝3605＝72°，∴∠CPD＝12∠COD＝36°，故选：B【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB 为直径构造，设圆心为O ，过点B 作BC ⊥l ，垂足为C ，∵A ，P 分别位于B 的西北方向和东北方向，∴∠ABC =∠PBC =∠BOC =∠BPC =45°，∴OC =CB =CP =20，∴OP =40，OB∴最小的距离PE =PO -OE m ），故选D ．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．7、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.8、D【分析】如图所示，连接DP ，CP ，先求出BP 的长，然后利用勾股定理求出PD 的长，再比较PC 与PD 的大小，PB 与PD 的大小即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接DP ，CP ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠B =90°，∵AP =3，AB =8，∴BP=AB-AP=5，∵5PD==，∴PB=PD，>=，∴PC PB PD∴点C在圆P外，点B在圆P上，故选D．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．9、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，∠=2∠A=100°，由圆周角定理得，BOD故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10、C【分析】根据题意，画出示意图，确定出点A 的运动路径，再根据弧长公式即可求解．【详解】解：根据题意可得，Rt △ABC 的运动示意图，如下：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴60ACB ∠=︒，2BC =，AB =由图形可得，点A 的运动路线为，先以C 为中心，顺时针旋转120︒，到达点1A ，经过的路径长为120121803ππ⨯=，再以1B 为中心，顺时针旋转150︒，到达点2A ，顶点A 所经过的路径的长为23π=故选：C【点睛】此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A 的运动路线．二、填空题1、100【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可．【详解】如图所示，作管道圆心O ，管道顶部为A 点，污水水面为BD ，连接AO ，AO 与BD 垂直相交于点C ．设AO =OB =r则OC =r -20，BC =1402BD =有222OB OC BC =+222(20)40r r =-+ 化简得r =50故新管道直径为100cm ．故答案为：100．【点睛】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．2、83π【分析】连接OO '，O B '，证明OBB '△是含30°的Rt ，根据BB O OO B S S S ''=-阴影部分△扇形即可求解【详解】解：如图，连接OO '，O B '将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴60OAO '∠=︒，OA O A '=，120AOB AO B ''∠=∠=︒,AOO '∴△是等边三角形60AOO '∴∠=︒AO O '=∠1206060O OB AOB AOO ''∴∠=∠-=︒-︒=︒,60120180AO O AO B '''∠+∠=︒+︒=︒,,O O B ''∴三点共线60,120AOO AOB '∠=︒∠=︒，OO OB '=OBO '∴是等边三角形O B O B '''=O B B O BB ''''∴∠=∠又60O B B O BB OO B '''''∠+∠=∠=︒90B BO '∴∠=︒BB '∴==216048423603BB O OO B S S S ππ''⨯=-=⨯⨯=阴影部分△扇形【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．3、1##【分析】首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．【详解】解：如图，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，∵∠CAB=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点，∴AD=AE1=AD1=PD1=2，则BD1=故∠ABP=30°，则PB∴PG =12PB =1，故点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：PG =1故答案为：1+【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG 的最长时P 点的位置是解题关键．4、2π3【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．【详解】解：如图，AC ⊥OB ，∵圆心角为60°，OA =OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OC =12OB =1，∴AC =，∴S △OAB =12OB ×AC =12∵S 扇形OAB =2602360π⨯=2π3，∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2π3故答案为：2π3【点睛】本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．5、3π【分析】根据扇形的面积公式，即可求解．【详解】解：根据题意得：扇形的面积为212033360ππ⨯⨯= ．故答案为：3π【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于2360n r π （其中n 为圆心角，r 为半径）是解题的关键．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）O的半径为6．【分析】∥，然后根据等腰三角形的等边对等角以及等角对等边可得出结（1）根据圆切线的性质可得OD AC论；（2）根据圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质可得结果．【详解】解：（1）证明：如图，连接OD．DF是O的切线，∴⊥．OD DF⊥，DF AC∥，∴OD AC∴∠=∠．ODB C=，OB OD∴∠=∠，ODB B∴∠=∠，B CAB AC∴=．（2）如图，连接DE，则E B∠=∠．由（1）知B C∠=∠，E C∴∠=∠，DE DC∴=．DF CE⊥，CF FE∴=．2CF AF=，AE AF∴=．4AE=，3312AC AF AE∴===，12AB AC∴==，O∴的半径为6．【点睛】本题考查了圆切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．2、（1）（-b，-12b2）；（2）①直角三角形，见解析；②94≤S≤3【分析】（1）y=12x2+bx=12（x+b）2-12b2，即可求解；（2）①求出抛物线的表达式为y=12x2，联立y=12x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，证明△ADO∽△OEB，即可求解；②△AOB的外心为M，则点M是AB的中点，MP是梯形BADG的中位线，则m=k2+2，进而求解．【详解】解：（1）∵y=12x2+bx=12（x+b）2-12b2，∴抛物线的顶点Q坐标为（-b，-12b2）；（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=b2-4×12×0=0，解得b=0，∴抛物线的表达式为y=12x2，如下图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、G，设经过点（0，2）的直线的表达式为y=kx+2，联立y=12x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，则x1+x2=2k，x1x2=-4，∴y1=12x12，y2=12x22，则y1y2=14x12x22=4=-x1x2，∵AD=y1，DO=-x1，BE=y2，OE=x2，∴AD OD OE BE，∴∠ADO=∠BEO=90°，∴△ADO∽△OEB，∴∠AOD=∠OBE，∵∠OBG+∠BOG=90°，∴∠BOG+∠AOD=90°，即AO⊥BO，∴△AOB为直角三角形；②过点A作x轴的平行线交EB的延长线于点H，过点M作MN与y轴平行，交AH于N，∵△AOB的外心为M，MN∥y轴∥BH，∴点M是AB的中点，MP是梯形ABGD的中位线，∴MP=12（AD+BG）=12（y2+y1），则m=MP=12（y1+y2）=12（kx1+2+kx2+2）=12[k（x1+x2）+4]=k2+2，令y=kx+2=0，解得x=-2k，即点K的坐标为（-2k，0），由题意得：2≤-2k≤4，解得-1≤k≤12且k≠0，∴94≤k2+2≤3，即点M的纵坐标m的取值范围94≤m≤3．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OC、AC，证明△ACD为等边三角形，得出∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠OCD=30°，由FG∥DA，得出∠DCF=180°-∠ADC=120°，则∠OCF=∠DCF-∠OCD=90°，即FG⊥OC，即可得出结论；（2）证明AF∥DC，由FG∥DA，得出四边形AFCD是菱形．【详解】（1）证明：连接OC、AC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC，∵DC=AD，∴DC=AD=AC，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠DAB=∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∴∠OCD=90°-60°=30°，∵FG∥DA，∴∠D=∠DCG=60°，∴∠OCG=∠DCG+∠OCD=60°+30°=90°，∴FG⊥OC，∵OC为⊙O的半径，∴FG 是⊙O 的切线；（2）证明：∵AF 与⊙O 相切，∴AF ⊥AG ，∵DC ⊥AG ，∴AF ∥DC ，∵FG ∥DA ，∴四边形AFCD 为平行四边形．∵DC ＝AD ，∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，证明FG 是⊙O 的切线是解题的关键．4、2000π 2cm【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可．【详解】解：根据题意，圆锥的侧面积为：12×80π×50=2000π（cm 2）．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．5、尝试：''ABB ACC △△；拓展：'CC =；应用：点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π．【分析】尝试：根据AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，可得到=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，即可推出=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''，则ABB ACC ''△∽△；拓展：由AC =BC ，∠ACB =90°，可得AB =，同（1）可证ABB ACC ''△∽△，得到AB BB AC CC =''，由此求解即可；应用：分点'B 在AC 延长线上时，点'B 在CA 的延长线上时，当点'B 落在边BC 所在直线上时，当点'B 落在边AB 所在直线上时，当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周时，五种情况讨论求解即可得到答案．【详解】解：尝试：ABB ACC ''△∽△，理由如下：∵AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，∴=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，∴=BAC CAB B AC CAB ''''++∠∠∠∠，即=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''， ∴ABB ACC ''△∽△；故答案为：ABB ACC ''△∽△；拓展：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴AB ，同（1）原理可证ABB ACC ''△∽△， ∴AB BB AC CC =''，∴AC BB CC AB '⋅'== 应用：∵在Rt ABC 中，2AB =，30ABC ∠=︒，∴112AC AB ==，60BAC ∠=︒，当点'B 落在AC 所在直线上时，有两种情况：①若点'B 在AC 延长线上时，如图①所示：由旋转的旋转可得：'60CAC BAC ∠=∠=︒，∴点C 运动的路径即为CC '，∴6011803CC ππ⨯'==； ②若点'B 在CA 的延长线上时，如图②所示，此时点B ，'C ，'B 三点共线，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'180120CAC B AC ''∠=︒-=︒∠∴旋转角360240CAC '=︒-=︒∠， ∴弧240141803'CC ππ⨯==；当点'B 落在边BC 所在直线上时，如图③所示，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'18060CAB B AC BAC ''∠=︒--=︒∠∠，∴120CAC CAB B AC =''''∠=∠+∠︒ ∴弧120121803CC'ππ⨯==；当点'B 落在边AB 所在直线上时，如图④所示，此时点C ，A ，'C 三点共线，旋转角为180︒， ∴弧1801180CC'ππ⨯==．当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周，∴弧'22CC AC ππ=⨯=．∴当点B 的对应点'B 恰好落在Rt ABC 的边所在直线上时，点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，以及弧长公式．。

2021-2022学年最新北师大版九年级数学下册第三章圆定向训练试题(含答案及详细解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（）A ．32 B C D 2、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m 的正六边形，则地基的面积为（）A ．2 B ．2 C ．24m 2 D ．23、小明设计了如图所示的树型图案，它是由4个正方形、8个等边三角形和5个扇形组成，其中正方形的边长、等边三角形的边长和扇形的半径均为3，则图中扇形的弧长总和为（）A ．8πB ．172πC ．192π D ．12π4、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（）A ．5厘米B ．4厘米C ．132厘米D ．134厘米 5、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角50C ∠=︒，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A ，B 的张角ASB ∠应满足的条件是（）A ．sin sin 25ASB ∠>︒B ．sin sin50ASB ∠>︒C ．sin sin55ASB ∠>︒D ．cos cos50ASB ∠>︒6、如图，小王将一长为4，宽为3的长方形木板放在桌面上按顺时针方向做无滑动的翻滚，当第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，此时木板与桌面成30°角，则点A 运动到A 2时的路径长为（）A ．10B ．4πC ．72πD ．527、如图，菱形ABCD 的顶点B ，C ，D 均在⊙A 上，点E 在弧BD 上，则∠BED 的度数为（）A．90°B．120°C．135°D．150°8、如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是菱形，则D∠的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°∠的度数为（）10、如图，四边形ABCD内接于O，若130∠=︒，则BODCA．50°B．100°C．130°D．150°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分面积为___________（用含π的代数式表示）．2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=105°，则∠BOD=_______．3、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝AC的长为_____．4、如图，半径为2的扇形AOB的圆心角为120°，点C是弧AB的中点，点D、E是半径OA、OB上的动点，且满足∠DCE＝60°，则图中阴影部分面积等于___________．5、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）∠=∠．1、如图，AB是O的直径，C为O上一点，DCA B（1）求证：CD是O的切线．（2）若DE AB⊥，垂足为E，DE交AC于点F，求证：DCF是等腰三角形．2、如图，A是O上一点，过点A作O的切线．（1）①连接OA并延长，使AB=OA；②作线段OB的垂直平分线；使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l（保留作图痕迹）．（2）直线l即为所求作的切线，完成如下证明．证明：在O中，∵直线l垂直平分OB∴直线l 经过半径OA 的外端，且__________，∴直线l 是O 的切线（____________）（填推理的依据）．3、已知：如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若120CAB ∠=︒，6AB =，求BC 的值．4、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是AD 延长线上一点，连接CD ，CF ，且：CF 是⊙O 的切线．（1）求证：∠DCF ＝∠CAD ．（2）探究线段CF ，FD ，FA 的数量关系并说明理由；（3）若cos B 35=，AD ＝2，求FD 的长．5、已知直线m 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥m 于点D ．（1）如图①，当直线m 与⊙O 相交于点E 、F 时，求证：∠DAE =∠BAF ．（2）如图②，当直线m 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC =35°，求∠BAC 的大小；（3）若PC ＝PB ＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．-参考答案-一、单选题1、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．2、D【分析】先根据等边三角形的性质求出△OBC 的面积，然后由地基的面积是△OBC 的6倍即可得到答案【详解】解：如图所示，正六边形ABCDEF ，连接OB ，OC ，过点O 作OP ⊥BC 于P ，由题意得：BC =4cm ，∵六边形ABCD 是正六边形，∴∠BOC =360°÷6=60°，又∵OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴12cm 2BP BC ==，4cm OB BC ==，∴OP =，∴21=2OBC S BC OP ⋅△，∴2=6OBC ABCDEF S S △正六边形，故选D ．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．3、C【分析】如图（见解析），先分别求出扇形①、②、③、④和⑤的圆心角的度数，再利用弧长公式即可得．【详解】解：如图，扇形①、③和⑤的圆心角的度数均为360906060150︒-︒-︒-︒=︒，扇形②和④的圆心角的度数均为180606060︒-︒-︒=︒，则图中扇形的弧长总和1503603151932218018022πππππ⨯⨯⨯+⨯=+=，故选：C ．【点睛】本题考查了求弧长，熟记弧长公式（180n rl π=，其中l 为弧长，n ︒为圆心角的度数，r 为扇形的半径）是解题关键． 4、D 【分析】根据题意先求出弦AC 的长，再过点O 作OB ⊥AC 于点B ，由垂径定理可得出AB 的长，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt △AOB 中根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8， ∴AC =8-2=6厘米，过点O 作OB ⊥AC 于点B ，则AB =12AC =12×6=3厘米，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，解得r=134厘米．故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、D【分析】本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．∴cos∠ASB＞cos50°，故选：D．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6、C 【分析】根据题意可得：第一次转动的路径是以点B 为圆心，AB 长为半径的弧长，此时圆心角190ABA ∠=︒ ，第二次转动的路径是以点C 为圆心，A 1C 长为半径的弧长，此时圆心角21903060A CA ∠=︒-︒=︒ ，再由弧长公式，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：15AB A B === ，123AC A C == ，第一次转动的路径是以点B 为圆心，AB 长为半径的弧长，此时圆心角190ABA ∠=︒ ， ∴190551802AA l ππ⨯== ，第二次转动的路径是以点C 为圆心，A 1C 长为半径的弧长，此时圆心角21903060A CA ∠=︒-︒=︒ ，∴21603180A A l ππ⨯== ， ∴点A 运动到A 2时的路径长为1215722AA A A l l πππ+=+= ．故选：C 【点睛】本题主要考查了求弧长，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．7、B【分析】连接AC，根据菱形的性质得到△ABC、△ACD是等边三角形，求出∠BCD=120°，再根据圆周角定理即可求解．【详解】如图，连接AC∴AC=AB=AD∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=AD=CD=AC∴△ABC、△ACD是等边三角形∴∠ACB=∠ACD=60°∴∠BCD=120°∵优弧BD BD∴∠BED=∠BCD=120°故选B．【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知菱形的性质及圆周角定理．8、B【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOCβ=；∴∠ADC=12β；四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故选：B．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.9、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．10、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，=2∠A=100°，由圆周角定理得，BOD故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．二、填空题1、3π【分析】连接OD ，根据阴影部分面积为OBD ODA S S +△扇形，根据等边三角形的面积，扇形面积公式进行计算即可【详解】解：如图，连接OD,30AB AC C ⊥∠=︒，4BC =， 16022B AB BC ∴∠=︒==，， AB 为直径112OB OD AB ∴=== OBD ∴△是等边三角形60BOD ∴∠=︒180120AOD BOD ∴∠=︒-∠=︒21OBD S ∴==△ ∴阴影部分面积为OBD ODA S S +△扇形212013603ππ⨯=+=故答案为：3π【点睛】本题考查了求扇形面积，添加辅助线将阴影部分面积转化为OBD ODA S S +△扇形是解题的关键． 2、150° 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C 的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD 内接于O ，105A ∠=︒， ∴180********C A ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴2150BOD C ∠=∠=︒．故答案为：150︒．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 3、4π3【分析】连接OB ，交AC 于点D ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC 为菱形，根据菱形的性质可得：OB AC ⊥，OA AB =，AD DC =，根据等边三角形的判定得出OAB 为等边三角形，由此得出120AOC ∠=︒，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB ，交AC 于点D ，∵四边形OABC 为平行四边形，OA OC =， ∴四边形OABC 为菱形，∴OB AC ⊥，OA AB =，12AD DC AC === ∵OA OB AB ==， ∴OAB 为等边三角形， ∴60AOB ∠=︒， ∴120AOC ∠=︒，在Rt OAD 中，设AO r =，则12OD r =，∴222AD OD AO +=，即22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：2r 或2r =-（舍去）， ∴AC 的长为：120241803ππ⨯⨯=，故答案为：43π．【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．4、43π【分析】如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,F AOC △是等边三角形，求解3,CF 证明,60,AC OC DACACO 再证明,ACD OCE ASA ≌ 可得AOCAOBS S S阴影扇形，再计算即可得到答案. 【详解】解：如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,FC 是AB 的中点，120,AOB ∠=︒160,2AOCBOCAOB ,AO COAOC ∴是等边三角形，,60,AC OC OAC ACO60,DACEOC,2,CFAO AO CO 11,2AF OF AO 2222213,CF OC OF60,DCE,DCE OCD ACO OCD,ACD OCE ∴∠=∠ 而60,,DAC EOC AC OC ,ACD OCE ASA ≌ ,DOC OEC AOC DCEO S S S S 四边形 AOC AOB S S S 阴影扇形212021423336023故答案为：43π【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握“利用转化的思想求解阴影部分的面积”是解本题的关键.5、【分析】122S l r rl =⋅=ππ即可得出圆锥侧面积为．【详解】∵ABC 是一个圆锥在某平面上的正投影∴ABC 为等腰三角形∵AD ⊥BC ∴122CD BD BC ===在Rt ADC 中有A C =即AC由圆锥侧面积公式有2S rl ==⨯=ππ．故答案为：。

2022年北师大版九年级数学下册第三章圆定向训练试题(名师精选)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，正ABC 的边长为3cm ，边长为1cm 的正RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P ，Q 分别在AC ，AB 上，将RPQ 沿着边AB ，BC ，CA 连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来的位置，则点P 运动路径的长为（）A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π2、如图，O 的半径为10cm ，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于D ，交O 于点C ，且CD =4cm ，弦AB 的长为（）A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm3、如图，ABC 中，50ABC ∠=︒，74ACB ∠=︒，点O 是ABC 的内心．则BOC ∠等于（）A ．124°B ．118°C ．112°D ．62°4、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（）A ．5厘米B ．4厘米C ．132厘米D ．134厘米 5、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（）A ．32 B C D 6、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（）A ．1B ．12CD 7、若O 是ABC 的内心，当80A ∠=︒时，BOC ∠=（）A ．130°B ．160°C ．100°D ．110°8、如图，点A ，B ，C 在O 上，OAB 是等边三角形，则ACB ∠的大小为（）A ．60°B ．40°C ．30°D ．20°9、如图，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒后△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．10、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．102°C．112°D．128°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm．2、如图，AB、CD为一个正多边形的两条边，O为该正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则该正多边形的边数为 _____．3、如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．4、AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，OE＝5 2cm，则OF＝________cm．5、已知⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相切，则圆心O到直线AB的距离为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D为半径OA上一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，交BC的延长线于点P，点F在线段PE上，且PF＝CF．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）连接AP与⊙O相交于点G，若∠ABC＝2∠PAC，求证：AB＝BP；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，BC＝3，求CF的长．2、如图，AB为O的直径，点C在O上，连接AC，BC，过点O作OD BC⊥于点D，过点C作O 的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：E B ∠=∠；（2）连接AD ．若CE =8BC =，求AD 的长．3、如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 与抛物线交于A ，D 两点，点D 的坐标为()4,5，与y 轴交于点E ．（1）求A ，B 两点的坐标及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线l 下方抛物线上，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，直线PM 与直线l 交于点N ，当点M 是PN 的三等分点时，求点P 的坐标；（3）若点H 是抛物线223y x x =--对称轴上的一点，且45AHD ∠=︒，请直接写出点H 的坐标．4、在平面直角坐标系xOy 中，图形W 上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d ．对点P 及图形W 给出如下定义：点Q 为图形W 上任意一点，若P ，Q 两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d ，则称点P 为图形W 的“倍点”．（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；②在点1P（0，2），2P（3，3），3P（3-，0）中，⊙O的“倍点”是________；（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（1-，1），若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，求t的值；（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积．5、如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，点A、C在O上，过点A作AE CD⊥的延长线于点E，已知DA平分BDE∠．（1）求证：AE是O切线；（2）若4AE=，6CD=，求O的半径和AD的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】从图中可以看出在AB 边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，同理在AC 和BC 上也是相同的情况，由此求解即可．【详解】解：从图中可以看出在AB 边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=1201180⨯π，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，在BC 边上，第一次1201180⨯π，第二次同样没有路程，AC 边上也是如此，点P 运动路径的长为1201180⨯π×3=2π．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P 点的运动轨迹．2、A【分析】如图所示，连接OA ，由垂径定理得到AB =2AD ，先求出6cm OD OC CD =-=，即可利用勾股定理求出8cm AD ，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA ，∵半径OC ⊥AB ，∴AB =2AD ，∠ODA =90°，∵4cmCD=，∴6cmOD OC CD=-=，∴8cmAD==，∴216cmAB AD==，故选：A．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．3、B【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=12∠ABC=25°，∠OCB=12∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．【详解】解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC=12×50°=25°，∠OCB=12∠ACB=12×74°=37°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．4、D【分析】根据题意先求出弦AC 的长，再过点O 作OB ⊥AC 于点B ，由垂径定理可得出AB 的长，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt △AOB 中根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC =8-2=6厘米，过点O 作OB ⊥AC 于点B ，则AB =12AC =12×6=3厘米，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt △AOB 中， OA 2=OB 2+AB 2，即r 2=（r -2）2+32，解得r =134厘米．故选：D ．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．6、C【分析】根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长【详解】解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒30A ∴∠=︒BC BC =∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，90BCD ∴∠=︒在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12BC BD ==1DC ∴故选C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．7、A【分析】由三角形内角和以及内心定义计算即可【详解】∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴100ABC ACB ∠+∠=︒又∵O 是ABC 的内心∴OB 、OC 为ABC ACB ∠∠、角平分线，∴OBC OCB ∠+∠1()502ABC ACB =∠+∠=︒ ∴BOC ∠=180°()OBC OCB -∠+∠=180°-50°=130°故选：A ．【点睛】本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．8、C【分析】由OAB ∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵OAB ∆为等边三角形，∴∠AOB =60°，∴ACB ∠=12∠AOB =12×60°=30°．故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．9、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．10、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A ＝56°，∠A 与∠BOC 所对的弧相同，∴∠BOC ＝2∠A ＝112°，故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题1、103π 【分析】根据弧长公式代入求解即可．【详解】解：∵扇形的半径为5cm ，圆心角为120°， ∴扇形的弧长＝120510=1803ππ︒⨯⨯︒．故答案为：103π．【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：180n r π，其中n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径．2、15【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB 所对的圆心角∠AOB ＝24°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O ，连接OA ，OB ，∵∠ADB ＝12°，∴∠AOB ＝2∠ADB ＝24°，而360°÷24°＝15，∴这个正多边形为正十五边形，故答案为：15．【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．3、900【分析】由弧长公式l =180n R π得到R 的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，800π=160180R π，解得，R =900（mm ）．答：这段圆弧所在圆的半径R 是900 mm ．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l =180n R π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数．4 【分析】根据题意分两种情况并综合利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析即可求解.【详解】解：如图，连接BO∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AC 于点E ，BD ＝12cm ， ∴162BE ED BD cm ===,∵OE ＝52cm ，BD ⊥AC ,∴132BO CO AO ===cm ,∴9CE CO CE cm =+=,BC =,∵OF ⊥BC ,∴12CF BF BC ==,∴OF ,如图，∵OE ＝52cm ，BD ⊥AC , 132BO CO AO cm ===,∴4,EC CO OE cm BC =-==,∵OF ⊥BC ,∴12BF CF BC ==,∴OF =.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握并利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析是解题的关键.注意未作图题一般情况下要进行分类作图讨论.5、10【分析】根据直线AB 和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径即可得问题答案．【详解】解：∵⊙O 的半径为10，直线AB 与⊙O 相切，∴圆心到直线AB 的距离等于圆的半径，∴d =10；故答案为：10；本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）54【分析】（1）连接OC ，由题意知90ACB ACP ∠=︒=∠，OAC OCA ∠=∠，PCF OCA ∠=∠，90PCF ACF ∠+∠=︒，90OCA ACF ∠+∠=︒；可得OC CF ⊥，进而说明CF 是O 的切线．（2）连接BG ，同弧所对圆周角PAC PBG ∠∠，相等，22=+PBA PAC PBG PBG ABG ∠=∠=∠∠∠有，ABG PBG ∠=∠，进而说明AB BP =．（3）勾股定理知5AB BP ==，2PC =，有Rt PAC Rt APD ≌，知24AD PC PD AC ====、，PAC APD ∠=∠，AE PE =；在Rt AED △中用勾股定理求出DE 的长，求出EP 的长，通过角度关系得出PEC FCE ∠=∠，故有EF CF PF ==，进而求出CF 的值．【详解】解：（1）证明：如图所示，连接OC ，OC 为半径ABC 是O 的内接三角形，且AB 是直径90ACB ACP ∴∠=︒=∠PD AB ⊥∴在Rt ABC 和Rt PBD 中，有BAC BPD ∠=∠∴∠=∠OAC OCA=PF CFPFC PCF∴∠=∠∴∠=∠PCF OCA又90∠+∠=︒PCF ACF∴∠+∠=︒90OCA ACF⊥即OC CFOC是半径∴是O的切线．CF（2）证明：如图连接BG=GC GC∴∠=∠PAC PBG22=+∠=∠=∠∠∠PBA PAC PBG PBG ABG ∴∠=∠ABG PBGAB为直径90AGB PGB ∴∠=∠=︒APB PAB ∴∠=∠AB BP ∴=（3）在Rt ABC 中43AC BC ==、5AB ∴5BP AB ∴==2PC ∴=在Rt PAC △和Rt APD 中90PDA PCA APC PADPA PA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()Rt PAC Rt APD AAS ∴≌2AD PC ∴==，4PD AC ==，PAC APD ∠=∠AE PE ∴=设DE x =，4AE PE x ==-在Rt AED △中，有222AD DE AE +=，2222(4)x x +=- 解得32x = 542EP x ∴=-= 90PEC EPC ∠=︒-∠，90FCE PCF ∠=︒-∠PEC FCE ∴∠=∠EF CF PF ∴==1524CF EP ∴== ∴15=24CF EP =【点睛】本题考查了切线、圆周角、三角形全等、等腰三角形、勾股定理等知识．解题的关键与难点在于角度等量关系的转化．2、（1）证明见解析；（2）AD =4【分析】（1）连接OC 通过垂径定理和等腰三角形性质证明∠E =∠B（2）连接AD 通过计算发现BC =EC ，再通过证明△CED ≌△ABC 得到AC =DC =4．【详解】（1）证明：连接OC 如图：OD ⊥CB∴OB =OC ，∠B =OCD又CE 为圆O 的切线∴OC ⊥CE∴∠ECD +∠DCO =∠ECD +∠E =90°∴∠E =∠DCO =∠B∴∠E =∠B（2）连接AD 如图∵△EDC 为R t△∴DE由（1）得∠E =∠B又AB 为直径∴∠BCA =90°在△CED 和△ABC 中∵B E EDC BCA ED BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CED ≌△ABC （AAS ）∴AC =DC =12BC =4【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．3、（1）A （－1，0），B （3，0），1y x =+；（2）点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，51，－4）.【分析】（1）先令y ＝0时，2230x x --=，x 1＝3，x 2＝－1. ，即可得到A 、B 的坐标，然后设直线l 解析式为y kx b =+，代入A 、D 坐标求解即可；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），然后分PM ＝1233PN PN 或，且P 只能在x 轴的下方，这两种情况讨论求解即可；（3）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，可得AG =BG =5，∠AGD =90°，再由∠AHD =45°，则点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），则5G H '==，即可求出H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．【详解】（1）当y ＝0时，2230x x --=，解得x 1＝3，x 2＝－1.∴ A （－1，0），B （3，0）.设直线l 解析式为y kx b =+，∵ l 经过D （4，5），A （－1，0），∴ 045k b k b -+=⎧⎨+=⎩， ∴11k b =⎧⎨=⎩， ∴ 直线l 解析式为1y x =+；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），∵ 点M 是PN 的三等分点，点P 在直线l 下方抛物线上，∴ PM ＝1233PN PN 或,且P 只能在x 轴的下方， ∴ PM ＝22(23)23m m m m -=-+--+,PN ＝221(23)34m m m m m +--=-++-，当PM ＝13PN 时，则()22123343m m m m -++=-++，解得m 1＝2.5，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（2.5，－1.75）；当PM ＝23PN 时，则()22223343m m m m -++=-++，解得m 1＝1，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（1，－4），综上所述，点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）如图所示，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，∴G 点坐标为（4，0），∴AG =BG =5，∠AGD =90°，∵∠AHD =45°，∴点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），∴5G H '=，∴4n =-或4n =（舍去），∴H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，设H 的坐标为（1，t ），∴5G H '==，∴5t =+5t =，∴H 的坐标为（1，5；∴综上所述，点H 的坐标为（1，51，－4）．【点睛】本题主要考查了求二次函数与x 轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4、（1）① 2；②3P ；（2）t 的值为3或3-；（3）π【分析】（1）①根据定义解答即可；②分别找出123PQ P Q PQ 、、的最大值，再根据定义判断即可；（2）如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为E （t ，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为分0t <， 0t >和0=t 分别讨论即可求解；（3）分线段MN 在O 内部和在O 外部两种情况讨论即可.【详解】（1）①圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2，故答案为：2；②由图可知113PQ ≤≤，故1P 不是图形W 的“倍点”； 2114PQ ≤≤≠，故1P 不是图形W 的“倍点”；324PQ ≤≤，当Q （1，0）时，34PQ ==2d ，故P 为图形W 的“倍点”；故答案为：3P ；（2）如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为依题意，若点E （t ，3）是正方形ABCD 的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为当0t <时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为EC 的长．取点H （1，3），则CH ⊥EH 且CH =4，此时可求得EH =4，从而点E 的坐标为()13,3E -，即3t =-；当0t >时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为ED 的长．由对称性可得点E 的坐标为()23,3E ，即3t =．当0=t 时，显然不符合题意．综上，t 的值为3或3-．（3）MN 上d =2，2d =4，当线段MN 在O 内部时，T 组成的图形为半径为4的圆，216S r ππ==，当线段MN 在O 外部时，T 组成的图形为半径为8的圆，264S r ππ==，故点T 所构成的图形的面积为16π或64π.【点睛】此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．5、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA ，根据已知条件证明OA ⊥AE 即可解决问题；（2）取CD 中点F ，连接OF ，根据垂径定理可得OF ⊥CD ，所以四边形AEFO 是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA ，∵AE ⊥CD ，∴∠DAE +∠ADE =90°．∵DA 平分∠BDE ，∴∠ADE =∠ADO ，又∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ADO ，∴∠DAE +∠OAD =90°，∴OA ⊥AE ，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴5OD=，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴AD=∴AD的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．。

2022年强化训练北师大版九年级数学下册第三章圆重点解析试题(含答案解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt ABC中，390,4,tan4ACB AC A∠===．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1 B．75C．32D．22、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（）A ．2 B ．2 C ．24m 2 D ．23、如图，在圆内接五边形ABCDE 中，425C CDE E EAB ∠+∠+∠+∠=︒，则CDA ∠的度数为（）A ．75︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠BCD ＝36°，则∠ABD 等于（）A ．54°B ．56°C ．64°D ．66°5、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠BAC ＝56°，则∠BOC 的度数为（）A ．28°B ．102°C ．112°D ．128°6、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，若OA ＝2，∠B ＝60°，则CD 的长为（）A B ．C ．D ．47、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°8、计算半径为1，圆心角为60︒的扇形面积为（）A ．3πB ．6πC ．2πD ．π9、如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，若O 的半径为4，则正方形ABCD 的边长为（）A ．4B ．8C ．D ．10、如图，在圆中半径OC ∥弦AB ，且弦AB ＝CO ＝2，则图中阴影部分面积为（）A．16πB．13πC．23πD．π第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）190°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为____2、如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是___________．3、16.如图，平行四边形ABCD中，∠ACB= 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论：①△PAB为等边三角形；②△PEB∽△APF；③∠PBC - ∠PAC= 30°；④EA = EB + EP其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号）4、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为________．5、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为__________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm．，求裁剪的面积．2、抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的纵坐标为a b c ++．（1）求a ，b 应满足的数量关系；（2）若抛物线上任意不同两点()11,A x y ，()22,B x y 都满足：当的12c x x a <<时，()()12120x x y y --<；当12cx x a <<时，()()12120x x y y -->．直线y c =与抛物线交于M 、N 两点，且PMN 为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式②若直线AB 恒过定点()1,1，且以AB 为直径的圆与直线y m =总有公共点，求m 的取值范围．3、已知：A ，B 是直线l 上的两点．求作：ABC ，使得点C 在直线l 上方，且AC =BC ，30ACB ∠=︒．作法：①分别以A ，B 为圆心，AB 长为半径画弧，在直线l 上方交于点O ，在直线l 下方交于点E ； ②以点O 为圆心，OA 长为半径画圆；③作直线OE 与直线l 上方的⊙O 交于点C ；④连接AC ，BC ．ABC 就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ．∵OA ＝OB ＝AB ， ∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∵A ，B ，C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝12∠AOB （）（填推理的依据）．∴30ACB ∠=︒．由作图可知直线OE 是线段AB 的垂直平分线，∴AC =BC （）（填推理的依据）． ∴ABC 就是所求作的三角形．4、如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AD 为⊙O 的直径．连结BD ，若AC BD =．（1）求证：∠1＝∠2．（2）当AD ＝BC ＝4时，求ABD 的面积．5、如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°．（1）尺规作图：在线段AB 上找一点O ，以O 为圆心作圆，使⊙O 经过B ，C 两点．（2）求证：AC 与（1）中所做的⊙O 相切．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用cosBC BEBAB BC==，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．【详解】解：在Rt ABC中，390,4,tan4 ACB AC A∠===，∴BC=3，5AB=，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，∵cosBC BEBAB BC==，∴353BE =，解得95 BE=，∵CB=CD，CE⊥AB，∴1825 BD BE==，∴187555 AD AB BD=-=-=，故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．2、D【分析】先根据等边三角形的性质求出△OBC 的面积，然后由地基的面积是△OBC 的6倍即可得到答案【详解】解：如图所示，正六边形ABCDEF ，连接OB ，OC ，过点O 作OP ⊥BC 于P ，由题意得：BC =4cm ，∵六边形ABCD 是正六边形，∴∠BOC =360°÷6=60°，又∵OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴12cm 2BP BC ==，4cm OB BC ==，∴OP =，∴21=2OBC S BC OP ⋅△，∴2=6OBC ABCDEF S S △正六边形，故选D ．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．3、B【分析】先利用多边的内角和得到540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，可计算出115B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质求出CDA ∠的度数即可.【详解】解：∵五边形ABCDE 的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∵425EAB C CDE E ∠+∠+∠+∠=︒，∴540425115B ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 为O 的内接四边形，∴180B CDA ∠+∠=︒，∴18011565CDA ∠=︒-︒=︒.故选：B.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键.4、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB ＝90°，∠A ＝∠BCD ＝36°，然后利用互余计算∠ABD 的度数．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠DAB ＝∠BCD ＝36°，∴∠ABD ＝∠ADB ﹣∠DAB ，即∠ABD ＝90°﹣∠DAB ＝90°﹣36°＝54°．故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．5、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A ＝56°，∠A 与∠BOC 所对的弧相同，∴∠BOC ＝2∠A ＝112°，故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．6、B【分析】先证明OCB 是等边三角形，再证明,CE DE 求解sin 603,CE CO 从而可得答案.【详解】解：2,60,OA OB OC BOCB∴是等边三角形，BOC60,AB CD∴⊥,3CE DE CE CO,sin6023,222 3.CD CE故选B【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，证明OCD是等边三角形是解本题的关键.7、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=OB，∴∠B =∠OAB ，∵∠AOP =∠B +∠OAB ，∴∠B =12∠AOP=12×50°=25°．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．8、B【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】2260113603606n r S πππ︒⨯⨯===︒︒扇形故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式2360n r S π=︒扇形是解题的关键． 9、D【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE =BE ，由垂径定理可知BC =2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，∴OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE =45°，45BOE ∠=︒∴OE =BE ，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴BE =∴BC =2BE =ABCD 的边长是故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．10、C【分析】连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：如下图所示，连接OA ，OB ．∵OC AB ∥，∴OAB CAB S S =△△．∴S 阴=S 扇形AOB ．∵AO ，BO ，CO 都是O 的半径，∴AO =BO =CO ．∵AB =CO =2，∴AO =BO =AB =2．∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∴S 阴=S 扇形AOB =260223603ππ⨯=．故选：C【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．二、填空题1、π【分析】如图（见解析），连接BC ，先根据圆周角定理可得BC 是圆形纸片的直径，从而可得BC =用勾股定理可求出AB 的长，然后利用扇形的面积公式即可得．【详解】解：如图，连接BC ，由题意得：,90AB AC BAC =∠=︒，BC ∴是圆形纸片的直径，BC ∴=在Rt ABC 中，BC =解得2AB =，则这个扇形（阴影部分）的面积为2902360ππ⨯=，故答案为：π．【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形的面积等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．2、61︒或119︒【分析】如图，连接,,OA OB 利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解122,AOB 再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.【详解】解：如图，连接,,OA OB 12,C C （即C ）分别在优弧与劣弧上，PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，90,PAO PBO ∴∠=∠=︒58,P360909058122,AOB 12161,18061119.2AC B AOB AC B 故答案为：61︒或119︒【点睛】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，四边形的内角和定理的应用，求解122AOB ∠=︒是解本题的关键. 3、①③④【分析】根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质逐项进行分析即可．【详解】连接PC①∵AC 的垂直平分线分别交AC ，BC ，AD 于点O ，E ，F∴PA =PC ，EF ⊥AC ，EA =EC∵PA =PB ，∴PA =PB =PC∴点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上∴260APB ACB ∠=∠=︒∴△PAB 为等边三角形；故①正确；②∵∠ACB = 30°，EF ⊥AC ，EA =EC∴60AEO CEO ∠=∠=︒∴=120PEB ∠︒∵△PAB 为等边三角形∴60APB ABP ∠=∠=︒∴180120APF APB BPE BPE ∠=-∠-∠=︒-∠∴PEB APF ∠≠∠，故②错误；③∵平行四边形ABCD 中∴AD ∥BC∴60AFE CEO ∠=∠=︒，180ABC BAD ∠+∠=︒,30ACB CAD ∠∠==︒∴△AEF 为等边三角形∵60APB BAP ∠=∠=︒,180ABC BAD ∠+∠=︒∴PBC ABC ABP ∠=∠-∠18060BAD =︒-∠-︒120()BAP FAP =︒-∠+∠120(60)FAP =︒-︒+∠60FAP =︒-∠∵30FAP CAD PAC PAC ∠=∠-∠=︒-∠∴60(30)30PBC PAC PAC ∠=︒-︒-∠=∠+︒即∠PBC - ∠PAC = 30°，故③正确；∵△AEF 、△PAB 为等边三角形∴(ABE APF SAS ≅∴BE PF =∵EF =EP +PF =EA∴EA =EB +EP ，故④正确；综上，一定正确的是①③④故答案为：①③④【点睛】本题综合考查等边三角形的性质与判定、相似三角形的判定、圆周角定理、平行四边形的性质，解题的关键是根据PA =PB =PC 得到点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上．4、2π【分析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 分的面积【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°， ∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中， AH =22AB BH - =22231-=，∴AC =23 ，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴()260?232360CAE S ππ==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．5、3【分析】根据垂径定理可得12CH CD =，进而利用勾股定理解直角三角形即可求得OH 的长【详解】解： AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，若AB =10，CD =8，114,522CH CD OC AB ∴====在Rt OHC △中，3OH =故答案为：3【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．三、解答题1、2000π 2cm【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可．【详解】解：根据题意，圆锥的侧面积为：12×80π×50=2000π（cm 2）．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2、（1）2b a =-；（2）①221y x x =-+；②02m ≤≤【分析】（1）当x =1时，y =a +b +c ，确定P 的坐标为（1，a +b +c ），确定函数的对称轴为x =1即b -12a =，关系确定；（2）①由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y --<，得120y y -＞，得到x c a<时，y 随x 的增大而减小；由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y -->，得120y y -<，得到x c a＞时，y 随x 的增大而增大，判定直线x c a =是抛物线的对称轴，且a ＞0；得到1c a=，从而确定P （1，0），线y c =与抛物线交于M 、N 两点，其中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），根据PMN 为等腰直角三角形，可证△OPM 是等腰直角三角形，从而得到PO =OM =1即M （0，1），故c =a =1，b =-2a =-2即确定函数解析式；②由直线AB 恒过定点()1,1，得到直线AB 为y =1；结合抛物线与y 轴的交点为（0，1），不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，根据对称轴为x =1，确定B 的坐标为（2，1），故AB =2，所以AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点，从而确定出圆，利用数形结合思想，可以确定圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围．【详解】（1）（1）当x =1时，y =a +b +c ，∴P 的坐标为（1，a +b +c ），∴函数的对称轴为x =1， ∴b -12a=， ∴b =-2a ；（2）①∵12c x x a<<时， ∴120x x -<，∵()()12120x x y y --<，∴120y y -＞， ∴x c a <时，y 随x 的增大而减小；∵12cx x a<<时， ∴120x x -<，∵()()12120x x y y -->，∴120y y -<， ∴x c a＞时，y 随x 的增大而增大， ∴直线x ca=是抛物线的对称轴，且a ＞0；∵函数的对称轴为x =1， ∴1c a=， ∴a +b +c =2a -2a =0，∴P （1，0），PO =1，∵（0，c ）是抛物线与y 轴的交点，∴直线y =c 与抛物线交于M 、N 两点中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），则OM =c ，∵PMN 为等腰直角三角形，∴∠NMP =45°，∴∠OMP =45°，∴△OPM 是等腰直角三角形，∴PO =OM =1，∴c =a =1，b =-2a =-2，∴函数解析式为221y x x =-+；②∵直线AB 恒过定点()1,1，∴直线AB 为y =1；∵抛物线与y 轴的交点为（0，1），∴不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，∵对称轴为x =1，∴B 的坐标为（2，1），∴AB =2，∴AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点（1，1），作图如下，∵y =0时，直线与圆相切；y =2时，直线与圆相切；∴圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围为0≤m ≤2．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称性，灵活判定直线与圆的位置关系是解题的关键．3、（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等【分析】（1）根据题意补全图形；（2）根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，及垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可．【详解】（1）作图正确；（2）证明：连接OA ，OB ．∵OA ＝OB ＝AB ， ∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∵A ，B ，C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝12∠AOB （同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．∴30ACB ∠=︒．由作图可知直线OE 是线段AB 的垂直平分线，∴AC =BC （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（填推理的依据）． ∴ABC 就是所求作的三角形，故答案是：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．【点睛】本题是圆的综合题、作图、考查了圆周角定理、垂直平分线、等腰三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及作图的基本能力．4、（1）见解析；（2）【分析】（1）先证明AB CD =，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等即可证明；（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，连接OB ，由垂径定理可得BE =CE =122BC =，由勾股定理求出2OE ，即可得到11222ABD S AD OE ∆=•=⨯= 【详解】解：（1）∵AC BD =，∴AB BC CD BC +=+，∴AB CD =，∴∠1=∠2；（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，连接OB ，∴BE =CE =122BC =， ∵AD 为⊙O 的直径，∴OB =12AD =∴2OE =，∴11222ABD S AD OE ∆=•=⨯=【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．5、（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】(1)作线段BC 的垂直平分线MN ，交AB 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O 即可；(2)连接OC ，证明∠ACB = 120°，再证明∠ACO = 90°，即可得答案．【详解】解：(1)如下图，⊙O即为所作：(2)证明：连接OC∵△ABC中，∠A=∠B= 30°∴∠ACB= 120°由(1) 可知，OC= OB∴∠OCB=∠B = 30°∴∠ACO= 90°∴AC是⊙O的相切．【点睛】本题考查作图-垂直平分线、圆的画法，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试练习题(无超纲)

北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为4cm ，则点P 和圆的位置关系（）A ．点在圆内B ．点在圆外C ．点在圆上D ．无法判断2、如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是（）．A ．2AC CD =B ．2AC CD < C ．2AC CD > D ．无法比较3、圆O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA ＝4cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（）A ．点A 在圆上B ．点A 在圆内C ．点A 在圆外D ．无法确定4、已知⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙O 的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定5、下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置6、在△ABC中，CA CB关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定7、矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外8、如图，⊙O中，半径OC⊥AB于D，且CD＝2，弦AB＝8，则⊙O的半径的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．69、如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠BCD ＝36°，则∠ABD 等于（）A ．54°B ．56°C ．64°D ．66°10、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分的面积为_____．2、如图，O 为ABP △的外接圆，2AB =，30APB ∠=︒，则O 直径长为______．3、在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长等于_____．4、用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别以A，C为圆心，AO，CO为半径画圆弧，交菱形各边于点E，F，G，H．若AC=2BD=，则图中阴影部分的面积是_______．（结果保留π）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点．（2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切．⊥于点D，过点C作O 2、如图，AB为O的直径，点C在O上，连接AC，BC，过点O作OD BC的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：E B ∠=∠；（2）连接AD ．若CE =8BC =，求AD 的长．3、如图，以点O 为圆心，AB 长为直径作圆，在O 上取一点C ，延长AB 至点D ，连接DC ，DCB DAC ∠=∠，过点A 作AE AD ⊥交DC 的延长线于点E ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若4CD =，2DB =，求AE 的长．4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，连接OE ，过点D 作DF ⊥AC 于F ．（1）求证：DF 与⊙O 相切；（2）填空：①若△CDF 的面积为3，则△CDE 的面积为．②当∠CDF 的度数为时，OE ∥BC ，此时四边形ODCE 的形状是：．5、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与AB 相切，切点为D ，O 与AC 的另一个交点为E ．（1）求证：BO 平分ABC ∠；（2）若30A ∠=︒，1AE =，求BO 的长．-参考答案-一、单选题1、A【分析】直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．【详解】解：∵⊙O 的半径为5cm ，点P 与圆心O 的距离为4cm ，5cm ＞4cm ，∴点P 在圆内．故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．2、B【分析】连接AB ，BC ，根据AB BC CD ==得AB BC CD ==，再根据三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接AB ，BC ，如图，∵AB BC CD ==∴AB BC CD ==又AB BC AC +>∴2AC CD <故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．3、B【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．4、A【分析】圆的半径为,r圆心到直线的距离为,d当d r时，＞时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d r圆与直线相切，直线与圆有一个交点，d r＜时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【详解】解：∵⊙O的半径等于r为8，圆心O到直线l的距离为d为6，∴d r＞，∴直线l与O相离，∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，故选A．【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．5、A【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．6、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．7、D【分析】如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接DP，CP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵AP=3，AB=8，∴BP=AB-AP=5，∵5PD==，∴PB=PD，>=，∴PC PB PD∴点C在圆P外，点B在圆P上，故选D．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．8、C【分析】根据垂径定理得出AD =BD =118422AB ，设⊙O 的半径的长为x ，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解方程即可．【详解】解：∵半径OC ⊥AB 于D ，弦AB ＝8， ∴AD =BD =118422AB ，设⊙O 的半径的长为x ，∴OD =OC -CD =x -2，在Rt△ODB 中，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解得x =5，∴⊙O 的半径的长为5．故选择C ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程，掌握垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程是解题关键．9、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴∠PAO =90°，∵∠P =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB ，∵∠AOP =∠B +∠OAB ，∴∠B =12∠AOP=12×50°=25°．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．二、填空题1、2π【分析】利用勾股定理求出AC 及AB 的长，根据阴影面积等于AB C CAC DAB S S S''''--扇形扇形求出答案．【详解】解：由旋转得,AB AB AC AC ''==，90CAC '∠=︒，B AC ''∠=∠BAC ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，∴AC =2BC =2，AB60CAB '∠=︒， ∴阴影部分的面积=AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形2260902113603602ππ⨯⨯=--⨯=2π故答案为：2π．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．2、4【分析】连接OA 、OB ，根据圆周角定理得出∠AOB =60°，证明△AOB 为等边三角形，进而求出直径．【详解】解：连接OA 、OB ，∵30APB ∠=︒，∴∠AOB =60°，∵OA =OB ，∴△AOB 为等边三角形，∵2AB =，∴OA =OB =2，则O直径长为4；故答案为4．【点睛】本题考查了圆周角的性质和等边三角形的性质与判定，解题关键是连接半径，证明三角形是等边三角形．3、π【分析】弧长公式为l＝n180rπ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．【详解】解：半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长＝603180π⨯＝π，故答案为：π．【点睛】本题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．4、1【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：12222ππ⨯⨯=，∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r ，则：22r ππ=，解得：1r =，故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．5、π【分析】图中阴影部分的面积=菱形的面积-2×扇形的面积．根据题意分别求出菱形和扇形的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】解：菱形面积=12⨯两条对角线的乘积122=⨯= 根据勾股定理得到边长2AB =，△ABD 是等边三角形，即∠BAD =60°，因为1122OA AC ==⨯ 则S 扇形AEH =6033602ππ⨯=，那么阴影部分的面积22ππ=⨯=．故答案为：π【点睛】此题考查菱形性质以及扇形的面积的计算的综合运用．三、解答题1、（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】(1)作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可；(2)连接OC，证明∠ACB= 120°，再证明∠ACO= 90°，即可得答案．【详解】解：(1)如下图，⊙O即为所作：(2)证明：连接OC∵△ABC中，∠A=∠B= 30°∴∠ACB= 120°由(1) 可知，OC= OB∴∠OCB=∠B = 30°∴∠ACO= 90°∴AC是⊙O的相切．【点睛】本题考查作图-垂直平分线、圆的画法，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2、（1）证明见解析；（2）AD=4【分析】（1）连接OC通过垂径定理和等腰三角形性质证明∠E=∠B（2）连接AD通过计算发现BC=EC，再通过证明△CED≌△ABC得到AC=DC=4．【详解】（1）证明：连接OC如图：OD⊥CB∴OB=OC，∠B=OCD又CE为圆O的切线∴OC⊥CE∴∠ECD+∠DCO=∠ECD+∠E=90°∴∠E=∠DCO=∠B∴∠E=∠B（2）连接AD如图∵△EDC 为R t△∴DE由（1）得∠E =∠B又AB 为直径∴∠BCA =90°在△CED 和△ABC 中∵B E EDC BCA ED BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△CED ≌△ABC （AAS ）∴AC =DC =12BC =4【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．3、（1）证明见解析；（2）6AE =．【分析】（1）连接OC ，先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得OCA DAC ∠=∠，从而可得OCA DCB ∠=∠，然后根据角的和差可得90DCBOCB ∠+∠=︒，最后根据圆的切线的判定定理即可得证；OC AD的长，再（2）设O的半径为r，先在Rt OCD△中，利用勾股定理可求出r的值，从而可得,根据相似三角形的判定证出ADE CDO，然后根据相似三角形的性质即可得．【详解】证明：（1）如图，连接OC，AB是O的直径，∴∠=︒，ACB90∴∠+∠=︒，OCA OCB90=，OA OC∴，OCA DAC∠=∠∠=∠，DCB DAC∴∠=∠，OCA DCB∴∠+∠=︒，即90DCB OCB90∠=︒，OCD又OC是O的半径，∴是O的切线；CD===，（2）设O的半径为r，则OA OB OC rBD=，22,22OD OB BD r AD OA OD r ∴=+=+=+=+，在Rt OCD △中，222CD OC OD +=，即2224(2)r r +=+，解得3r =，3,8OC AD ∴==，在ADE 和CDO 中，90DAE DCO D D ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ADECDO ∴， AE AD OC CD ∴=，即834AE =，解得6AE =．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定定理和相似三角形的判定是解题关键．4、（1）见解析（2）①6②30；菱形【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ABC ＝∠C ，由OB ＝OD ，得∠ABC ＝∠ODB ，则∠ODB ＝∠C ，得出OD ∥AC ，再由DF ⊥AC ，得出OD ⊥DF ，即可得出结论；（2）①由圆周角定理和平角性质得∠ABC ＋∠AED ＝180°，∠DEC ＋∠AED ＝180°，推出∠ABC ＝∠DEC ，∠C ＝∠DEC ，得出DE ＝DC ，由等腰三角形的性质得CE ＝2CF ，则S △CDE ＝2S △CDF ，即可得出结果；②利用平行线的性质证明OE 是△ABC 的中位线，得出BC ＝2OE ＝AB ＝AC ，则△ABC 为等边三角形，得∠C ＝60°，证明△CDE 为等边三角形，得出∠CDE ＝60°，由等腰三角形的性质得∠CDF ＝12∠CDE ＝30°，由OE ∥CD ，OD ∥CE ，得四边形ODCE 为平行四边形，再由OD ＝OE ，得出平行四边形ODCE 为菱形．【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）解：①∵∠ABC＋∠AED＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠ABC＝∠DEC，∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∵DF⊥AC，∴CE＝2CF，∴S△CDE＝2S△CDF＝2×3＝6，故答案为：6；②∵OE∥BC∴AO AE OB EC∵O点是AB中点∴E点是AC中点∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝2OE＝AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE＝DC，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°，∵DF⊥AC，∴∠CDF＝12∠CDE＝12×60°＝30°，∵OE∥CD，OD∥CE，∴四边形ODCE为平行四边形，∵OD＝OE，∴平行四边形ODCE为菱形，故答案为：30；菱形．【点睛】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、平行线的性质与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、三角形面积计算等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．5、（1）见解析；（2）2【分析】（1）连接OD ，由O 与AB 相切得90ODB ∠=︒，由HL 定理证明Rt BDO Rt BCO ≅由全等三角形的性质得DBO CBO ∠=∠，即可得证；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，得出关系式求出x ，可得出AC 的长，在Rt ACB 中，由正切值求出BC ，在Rt BCO △中，由勾股定理求出BO 即可．【详解】（1）如图，连接OD ，∵O 与AB 相切，∴90ODB ∠=︒，在Rt BDO △与Rt BCO △中，DO CO BO BO =⎧⎨=⎩，∴()Rt BDO Rt BCO HL ≅，∴DBO CBO ∠=∠，∴BO 平分ABC ∠；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，30A ∠=︒，1AE =，∴21x x =+，解得：1x =，∴1113AC =++=，在Rt ACB 中，tan BC A AC =，即tan 303BC AC =⋅︒==在Rt BCO △中，2BO ===．【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．。

2021-2022学年基础强化北师大版九年级数学下册第三章圆专项测试试题(含解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m2、已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断3、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（）A．4.8 B．5 C．D．4、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．5 B．95C．165D．1255、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（）A．5厘米B．4厘米C．132厘米D．134厘米6、已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．135°7、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°8、如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是菱形，则D∠的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°9、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，38C∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AED∠的大小是（）A．19°B．38°C．52°D．76°10）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、AB 是O 的内接正六边形一边，点P 是优弧AB 上的一点（点P 不与点A ，B 重合）且BP OA ∥，AP 与OB 交于点C ，则OCP ∠的度数为_______．2、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别以点A 、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若6AC =，35CAB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）3、如图，圆锥的底面半径OC ＝1，高AO ＝2，则该圆锥的侧面积等于 _____．4、如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，作OF ⊥BC 交⊙O 于点F ，连接FA ，则∠OFA ＝_____°．5、一个正多边形的中心角是40︒，则这个正多边形的边数为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 与抛物线交于A ，D 两点，点D 的坐标为()4,5，与y 轴交于点E ．（1）求A ，B 两点的坐标及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线l 下方抛物线上，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，直线PM 与直线l 交于点N ，当点M 是PN 的三等分点时，求点P 的坐标；（3）若点H 是抛物线223y x x =--对称轴上的一点，且45AHD ∠=︒，请直接写出点H 的坐标．2、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC= ．∵AB是直径,∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．∴△ABC是等腰直角三角形．3、△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．（1）当t＝0时，求点C的坐标；（2）当t＝4时，求OD的长及∠BAO的大小；（3）求从t＝0到t＝4这一时段点D运动路线的长；（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．OD AB于O，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB 4、如图，AB为⊙O的直径，半径的延长线于点E．=；（1）求证：EC EF（2）若⊙O的半径长为3，且BF BE=，求DF的长．5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝4，求EM的值．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．2、A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为3，若PO＝2，∴2＜3，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．3、B【分析】连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．【详解】解：设⊙O与AB相切于点E．连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，再设⊙O的半径为x．∵AB切⊙O于E，∴EF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴∠OFD=90°，在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，∴（8-x）2+42= x2，∴x =5，∴⊙O 的半径为5．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4、D【分析】连接OF ，OE ，OG ，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠，利用平行线的性质及角之间的关系得出90BOC ∠=︒，利用勾股定理得出5BC =，再由三角形的等面积法即可得．【详解】解：连接OF ，OE ，OG ，∵AB 、BC 、CD 分别与O 相切，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，且OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠， ∴12OBC ABC ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴119022OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90BOC ∠=︒，5BC =，∴S SSSS =12SS ·SS =12SS ·SS ， ∴341255OF ⨯==，故选：D ．【点睛】题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．5、D【分析】根据题意先求出弦AC 的长，再过点O 作OB ⊥AC 于点B ，由垂径定理可得出AB 的长，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt △AOB 中根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC =8-2=6厘米，过点O 作OB ⊥AC 于点B ，则AB=12AC=12×6=3厘米，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，解得r=134厘米．故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、A【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出∠C即可．【详解】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A：∠C＝3：1，∴∠C＝11+3×180°＝45°，故选：A．【点睛】本题考查了元内接四边形对角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键．7、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．8、B【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC =∠AOC β=；∴ ∠ADC =12β；四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴α+β=180°， ∴ 18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC =60°，故选：B ．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.9、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.10、B【分析】如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，再由等边三角形的性质，可得∠OAB =30°，12AD AB =，然后根据锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，根据题意得：OA，∠OAB =30°，12AD AB =，在Rt AOD △中，3cos 2AD OA OAB =⋅∠== ， ∴AB =3，即这个正三角形的边长是3．故选：B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．二、填空题1、90°【分析】先根据AB 是O 的内接正六边形一边得60AOB ∠=︒，再根据圆周角性质得30APB ∠=︒，再根据平行线的性质得30OAP ∠=︒,最后由三角形外角性质可得结论．【详解】解：∵AB 是O 的内接正六边形一边∴60AOB ∠=︒∴30APB ∠=︒∵BP OA ∥∴=30OAP APB ∠∠=︒∴603090OCP AOC OAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为90°【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键2、74π##【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO 和扇形CFO 的面积之和．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴6AC BD ==，OA OC OB OD ===，AB CD ∥，∴3OA OC ==，35ACD CAB ∠=∠=︒， ∴图中阴影部分的面积为：2353723604ππ⨯⨯=．故答案为：74π．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3【分析】根据底面半径和高利用勾股定理得AC =【详解】解：∵1OC =，2OA =，90AOC ∠=︒∴AC =∴圆锥的侧面积为1S rl π===．【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．4、36【分析】连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB ＝72°，∠BOF ＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．∵五边形ABCDE 是正五边形，OF ⊥BC ， ∴1122BF CF BC AB ===， ∴∠AOB ＝3605︒=72°，∠BOF =12∠AOB ＝36°， ∴∠AOF ＝∠AOB +∠BOF =108°，∵OA ＝OF ，∴∠OAF ＝∠OFA ＝()()11118018010872222AOF ︒-∠=︒-︒=⨯︒＝36°故答案为：36．【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n 边形的每个中心角都等于360n︒． 5、九9【分析】根据正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的度数和为360°进行求解即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，∵这个正多边形的中心角是40°，∴40360n ︒⋅=︒，∴9n =，∴这个正多边形是九边形，故答案为：九．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，熟知正多边形中心角的度数和为360度是解题的关键．三、解答题1、（1）A （－1，0），B （3，0），1y x =+；（2）点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，51，－4）.【分析】（1）先令y ＝0时，2230x x --=，x 1＝3，x 2＝－1. ，即可得到A 、B 的坐标，然后设直线l 解析式为y kx b =+，代入A 、D 坐标求解即可；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），然后分PM ＝1233PN PN 或，且P 只能在x 轴的下方，这两种情况讨论求解即可；（3）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，可得AG =BG =5，∠AGD =90°，再由∠AHD =45°，则点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），则5G H '==，即可求出H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．【详解】（1）当y ＝0时，2230x x --=，解得x 1＝3，x 2＝－1.∴ A （－1，0），B （3，0）.设直线l 解析式为y kx b =+，∵ l 经过D （4，5），A （－1，0），∴ 045k b k b -+=⎧⎨+=⎩， ∴11k b =⎧⎨=⎩， ∴ 直线l 解析式为1y x =+；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），∵ 点M 是PN 的三等分点，点P 在直线l 下方抛物线上，∴ PM ＝1233PN PN 或,且P 只能在x 轴的下方， ∴ PM ＝22(23)23m m m m -=-+--+,PN ＝221(23)34m m m m m +--=-++-，当PM ＝13PN 时，则()22123343m m m m -++=-++，解得m 1＝2.5，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（2.5，－1.75）；当PM ＝23PN 时，则()22223343m m m m -++=-++，解得m 1＝1，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（1，－4），综上所述，点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）如图所示，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，∴G 点坐标为（4，0），∴AG =BG =5，∠AGD =90°，∵∠AHD =45°，∴点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），∴5G H '=，∴4n =-或4n =（舍去），∴H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，设H 的坐标为（1，t ），∴5G H '==，∴5t =+5t =，∴H 的坐标为（1，5；∴综上所述，点H 的坐标为（1，51，－4）．【点睛】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角【分析】（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．【详解】（1）①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC 就是所求的等腰直角三角形.（2）证明：连接MA ，MB ．∵MA =MB ，OA =OB ，∴MO 是AB 的垂直平分线．∴AC =BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°(直径所对的圆周角是直角) ．∴△ABC 是等腰直角三角形．故答案为：BC ，90°，直径所对的圆周角是直角．【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．3、（1）（3，4）；（2）OD ＝4，∠BAO ＝60°；（3）23π；（4）245或325 【分析】（1）先由BC AC =，CD 为AB 边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质得出D 为AB 的中点，则142AD AB ==，然后在Rt ΔCAD 中运用勾股定理求出3CD =，进而得到点C 的坐标；（2）如图2，当4t =时即4AO =，先由D 为AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出142OD AB ==，则4OA OD AD ===，判定AOD ∆为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出60BAO ∠=︒；（3）从0=t 到4t =这一时段点D 运动路线是弧1DD ，由130D OD ∠=︒，4OD =，根据弧长的计算公式求解；（4）分两种情况：①C 与x 轴相切，根据两角对应相等的两三角形相似证明ΔΔCAD ABO ∽，得出ABAOCA CD =，求出AO 的值；②C 与y 轴相切，同理，可求出AO 的值．【详解】解：（1）如图1，∵BC ＝AC ，CD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝4．在Rt△CAD 中，CD 3，∴点C 的坐标为（3，4）；（2）如图2，当t ＝4时，AO ＝4，在Rt△ABO 中，D 为AB 的中点，OD ＝12AB ＝4，∴OA ＝OD ＝AD ＝4，∴△AOD 为等边三角形，∴∠BAO ＝60°；（3）如图3，从t ＝0到t ＝4这一时段点D 运动路线是弧DD 1，其中，OD ＝OD 1＝4，又∵∠D 1OD ＝90°﹣60°＝30°， ∴130421803DD ππ⨯⨯==；（4）分两种情况：①设AO＝t1时，⊙C与x轴相切，A为切点，如图4．∴CA⊥OA，∴CA∥y轴，∴∠CAD＝∠ABO．又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴Rt△CAD∽Rt△ABO，∴AB AOCA CD=，即1853t=，解得124 5t=；②设AO＝t2时，⊙C与y轴相切，B为切点，如图5．同理可得，232 5t=．综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的计算，直线与圆相切，切线的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，其中第（4）问进行分类讨论是解题的关键．4、（1）见解析；（2【分析】（1）连接OC．根据半径相等，利用切线的性质和等角的余角相等证得∠ECF＝∠EFC，即可得到结论；（2）设BF＝BE＝x，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求得x＝2，再在Rt△ODF中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OC．∵CE切⊙O于点C，∴OC⊥CE，∴∠OCF＋∠ECF＝90°，∵OD⊥AB，∴∠D＋∠DFO＝90°，∵OC＝OD，∴∠D＝∠OCD，∴∠ECF＝∠OFD又∵∠OFD＝∠EFC∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF；（2）解：∵BF＝BE，设BF＝BE＝x，则EC＝EF＝2x，OE＝3＋x，在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2，∴32＋(2x)2＝(3＋x)2，解得x1＝0(舍)，x2＝2，∴OF＝OB－FB＝1，在Rt△ODF中，DF=．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5、（1）见解析；（2）5 2【分析】（1）连接OE ，由FG EG =得GEF GFE AFH ∠=∠=∠，由OA OE =知OAE OEA ∠=∠，根据CD AB ⊥得90AFH FAH ∠+∠=︒，从而得出90GEF AEO ∠+∠=︒，即可得证；（2）连接OC ．设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCH 中，利用勾股定理求出r ，证明△AHC ∽△MEO ，可得AH HC EM OE=，由此即可解决问题. 【详解】解：（1）如图，连接OE ，∵GF =GE ，∴∠GFE =∠GEF =∠AFH ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∵AB ⊥CD ，∴∠AFH +∠FAH =90°，∴∠GEF +∠AEO =90°，∴∠GEO =90°，∴GE ⊥OE ，∴EG 是⊙O 的切线；（2）如图，连接OC ．设⊙O 的半径为r ,∵AH =2，HC =4，在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r -2，HC =4，∴()22224r r -+=，∴r =5，∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ,∵∠OEM =∠AHC ,∴△AHC ∽△MEO ∴AH HC EM OE =， ∴245EM = ， ∴EM =52．【点睛】本题考查圆的综合题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题．。

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第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．5 B．95C．165D．1252、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（）A．3 B．2 C．1 D3、下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（）A．B．C．D．4、如图，菱形ABCD的顶点B，C，D均在⊙A上，点E在弧BD上，则∠BED的度数为（）A．90°B．120°C．135°D．150°5、若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6，B．6，C． 6 D．6，36、如图，在半径为5的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB =CD =8，则OP 的长为（）A ．3B ．4C ．D ．7、如图，直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（）A ．3πB ．34πC ．πD ．3π8、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝30°，BC ＝6，则⊙O 的直径等于（）A ．10B ．C ．D ．129、如图，ABCD 是O 的内接四边形，130B ∠=︒，则AOC ∠的度数是（）A．50°B．100°C．130°D．120°10、如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝30°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．30°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是_____．2、如图，直线l与半径为8的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是__________．3、如图，点D为边长是ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____．4、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．则∠APB=________度；5、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（185，﹣245），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．2、如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF＝90°，求m的值．3、如图，ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作DF AC ⊥于点F ，交AB 的延长线于点G ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知BD =2CF =，求AE 和O 的半径长．4、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 为半径OA 上一点，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，交BC 的延长线于点P ，点F 在线段PE 上，且PF ＝CF ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）连接AP 与⊙O 相交于点G ，若∠ABC ＝2∠PAC ，求证：AB ＝BP ；（3）在（2）的条件下，若AC ＝4，BC ＝3，求CF 的长．5、如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点M ，交⊙O 于点C ．若⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2，求AB 的长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】连接OF ，OE ，OG ，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠，利用平行线的性质及角之间的关系得出90BOC ∠=︒，利用勾股定理得出5BC =，再由三角形的等面积法即可得．【详解】解：连接OF ，OE ，OG ，∵AB 、BC 、CD 分别与O 相切，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，且OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠， ∴12OBC ABC ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴119022OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90BOC ∠=︒，5BC =，∴S SSSS =12SS ·SS =12SS ·SS ， ∴341255OF ⨯==，故选：D ．【点睛】题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．2、B【分析】连接OC ，由垂径定理，得到CE =4，再由勾股定理求出OE 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：连接OC ，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8， ∴118422CE CD ==⨯=，∵5AO CO ==，∴3OE ，∴532AE =-=；故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =．3、A【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答．【详解】解：A 、当EF 与BC 不平行时，△ABC 与△DEF 不一定相似，故本选项符合题意；B、由∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠EDF可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；C、由圆周角定理推知∠B=∠F，又由对顶角相等得到∠ACB=∠EDF，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；D、由圆周角定理得到：∠ACB=90°，所以根据∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题时，需要熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理．4、B【分析】连接AC，根据菱形的性质得到△ABC、△ACD是等边三角形，求出∠BCD=120°，再根据圆周角定理即可求解．【详解】如图，连接AC∴AC=AB=AD∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=AD=CD=AC∴△ABC、△ACD是等边三角形∴∠ACB=∠ACD=60°∴∠BCD=120°∵优弧BD BD∴∠BED=∠BCD=120°故选B．【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知菱形的性质及圆周角定理．5、B【分析】如图1，⊙O是正六边形的外接圆，连接OA，OB，求出∠AOB=60°，即可证明△OAB是等边三角形，得到OA=AB=6；如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，先求出∠AO1B＝60°，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图1，⊙O是正六边形的外接圆，连接OA，OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=6；（2）如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AO1B＝60°，∵O1A= O1B，∴△O1AB是等边三角形，∴O1A= AB=6，∵O1M⊥AB，∴∠O1MA＝90°，AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝BM，∴O1M故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形与圆的知识是解题的关键．6、D【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据垂径定理、勾股定理得：OM=ON=4，再根据四边形MONP是正方形，故可求解．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，∵OB=5，BM= 142AB=，∴OM3=∵AB=CD=8，∴ON=OM=4，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP =∠ONP =90° ∴四边形MONP 是矩形， ∵OM =ON ，∴四边形MONP 是正方形，∴OP ．故选C ．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 7、D 【分析】阴影面积为旋转后'A B 为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前AB 为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可．【详解】∵直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30° ∴A'B ABA'AB S S S S =+-阴影为直径的半圆扇形为直径的半圆又∵'AB A B =∴A'B AB S S =为直径的半圆为直径的半圆∴ABA'S S =阴影扇形 ∵AB =6，∠ABA ’=30° ∴223063360360ABA'n r S S π︒⋅π⋅====π︒︒阴影扇形故答案为：D ．本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为2360n rπ︒，由旋转的性质得出阴影面积为扇形面积是解题的关键．8、D【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，BC=6，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6．∴⊙O的直径等于12．故选：D．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．9、B根据圆的内接四边形对角互补求得D ∠，进而根据圆周角定理求得AOC ∠ 【详解】解：ABCD 是O 的内接四边形，130B ∠=︒，50D ∴∠=︒AC AC =2AOC D ∴∠=∠100=︒故选B 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，求得D ∠是解题的关键． 10、D 【分析】连接OB ，根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得60BOD ∠=︒，根据切线的性质可得90OBD ∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得D ∠．【详解】解：连接OBBE BE =30BAE BCE ∴∠=∠=︒OB OA =30OBA OAB ∴∠=∠=︒60BOD OBA OAB ∴∠=∠+∠=︒BD 是⊙O 的切线90OBD ∴∠=︒30D ∴∠=︒故选D 【点睛】本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题的关键．二、填空题1、83π 【分析】连接OO '，O B '，证明OBB '△是含30°的Rt ，根据BB O OO B S S S ''=-阴影部分△扇形即可求解【详解】解：如图，连接OO '，O B '将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴60OAO '∠=︒，OA O A '=，120AOB AO B ''∠=∠=︒, AOO '∴△是等边三角形60AOO '∴∠=︒AO O '=∠1206060O OB AOB AOO ''∴∠=∠-=︒-︒=︒,60120180AO O AO B '''∠+∠=︒+︒=︒,,O O B ''∴三点共线60,120AOO AOB '∠=︒∠=︒，OO OB '=OBO '∴是等边三角形O B O B '''=O B B O BB ''''∴∠=∠又60O B B O BB OO B '''''∠+∠=∠=︒ 90B BO '∴∠=︒BB '∴==216048423603BB O OO BS S S ππ''⨯=-=⨯⨯=阴影部分△扇形【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 2、4 【分析】作直径AC ，连接CP ，得出△APC ∽△PBA ，利用相似三角形的性质得出y =116x 2，所以x -y =x -116x 2=-116x 2+x =-116（x -8）2+4，当x =8时，x -y 有最大值是4．【详解】解：如图，作直径AC ，连接CP ，∴∠CPA =90°， ∵AB 是切线， ∴CA ⊥AB ， ∵PB ⊥l ， ∴AC ∥PB ， ∴∠CAP =∠APB ， ∴△APC ∽△PBA ， ∴AP BPAC AP=， ∵PA =x ，PB =y ，半径为8， ∴16x y x=， ∴y =116x 2，所以x -y =x -116x 2=-116x 2+x =-116（x -8）2+4，当x =8时，x -y 有最大值是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．3、【分析】根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．【详解】解：根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，D 在运动过程中始终保持∠ADB ＝120°不变，D ∴在圆上运动，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，过点D 作AB 的垂线交于点E ，如图：4120AB ADB =∠=︒，30,DBE BE ∴∠=︒=12DE BD ∴=，在Rt BDE 中，222BD DE BE =+，解得：2DE =，12ABDS AB DE ∴=⋅= 过点A 作BC 的垂线交于F ，12BF BC ∴==6AF ∴=， 162ABC S ∴=⨯⨯==4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．4、60【分析】先根据圆的切线的性质可得90OAP ∠=︒，从而可得60PAB ∠=︒，再根据切线长定理可得PA PB =，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】PA PB是O的切线，解：,∴=⊥，,PA PB OA AP∴∠=︒，90OAP∠=︒，OAB30∴∠∠=∠-=︒，60PAB OAP OAB∴是等边三角形，PAB∴∠=︒，APB60故答案为：60．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．5、（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．三、解答题1、（1）y34=x152-；（2）抛物线的解析式为：y524=x22512-x，顶点坐标为（5，12524-）；（3）m•n＝25；（4）5013或5或8013．【分析】（1）用待定系数法即可求得；（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；（3）连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，证得Rt△AOE≌RT△AME，求得∠OAE＝∠MAE，同理证得∠BAF＝∠MAF，进而求得∠EAF＝90°，然后证明△EMA∽AMF，得到EM AMAM FM=,即可求得．（4）分三种情况分别讨论，①当PQ＝BQ时，作QH⊥PB，得到△BHQ∽△BOP，求出直线BC解析式，得到HB：BQ＝4：5；即可求得，②当PB＝QB时，则10﹣t＝t即可求得，③当PQ＝PB时，作QH⊥OB，根据勾股定理即可求得．【详解】解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵直线BC经过B、C，∴010241855k b k b =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得：34152k b ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为：y 34=x 152-；．（2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-）， ∴20010010241818()555c a b c a b c ⎧⎪=⎪=++⎨⎪⎪-=++⎩，解得52425120a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：524y x =22512x -； ∴25125212b x a -=-=-=5，524y x =22551224x -=⨯522512-⨯512524=-， ∴顶点坐标为（5，12524-）；（3）m •n ＝25；如图2，连接AE 、AM 、AF ，则AM ⊥EF ，在Rt △AOE 与Rt △AME 中OA MA AE AE =⎧⎨=⎩∴Rt △AOE ≌Rt △AME （HL ），∴∠OAE ＝∠MAE ，同理可证∠BAF ＝∠MAF ，∴∠EAF ＝90°，∴∠EAM +∠FAM =90°，∵EF 为⊙A 切线，∴AM ⊥EF ，∴∠EMA =∠FMA =90°，∴∠AEM +∠EAM =90°，∴∠AEM =∠MAF ，∴△EMA ∽AMF ，∴EM AM AM FM=,∴AM2＝EM•FM，∵AM12=OB＝5，ME＝m，MF＝n，∴m•n＝25；（4）如图3．有三种情况；①当PQ＝BQ时，作QH⊥PB,垂足为H，则△BHQ∽△BOP，设直线BC解析式为y=px+q，∵B、C坐标分别为（10，0）和（185，﹣245）∴1001824 55p qp q+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴34152pq⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线BC的解析式为31542y x=-，∴点P坐标为（0，-152），∵△BHQ∽△BOP，∴1532104 OB BHBP HQ===,∴HQ：BQ＝3：5，HB：BQ＝4：5；∵HB＝（10﹣t）12⨯，BQ＝t，∴()110425tt-⨯=，解得；5013t=，②当PB＝QB时，则10﹣t＝t，解得t＝5，③当PQ＝PB时，作QH⊥OB，则PQ＝PB＝10﹣t，BQ＝t，HP45t=﹣（10﹣t），QH35t=；∵PQ2＝PH2+QH2，∴（10﹣t）2＝[45t﹣（10﹣t）]2+（35t）2；解得8013t=．综上所述，求出满足条件的t值有三个：5013或5或8013．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键．2、（1）y ＝-x 2+2x +3；（2）k =-2，面积最小为（3）m 【分析】（1）令x =0，解得y =b ，求出OB ＝OC ＝b ，OA =13b ，得到A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0），把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 即可求解；（2）设直线EH 的解析式为y =nx +7，联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+=，根据直线EH 与函数只有一个交点，求出H （2，3），再得到直线GH 过定点M （2，-5），利用S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -，求出()12x x -的最小值即可求解；（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90°，设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），求出平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+2m +2，联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=，求出x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --，y 1+y 2=4m -6，表示出点R （m -1，2m -3），求出()12x x -2，利用PR =12EF ，得到EF 2=4PR 2，列出关于m 的方程即可求解．【详解】（1）∵y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，令x =0，解得y =b∴CO =b∴OB ＝OC ＝b ，OA =13b ∴A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0）把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 得22209302ab ab b ab ab b ⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x +3；（2）∵点E 的坐标为（0，7），可设直线EH 的解析式为y =nx +7联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+= ∵直线EH 与函数只有一个交点，且在对称轴右侧∴△=()224140n --⨯⨯=解得n 1=-2，n 2=6（舍去）∴直线EH 的解析式为y =-2x +7解方程2440x x -+=得x 1=x 2=2∴H （2，3）∵直线GH 解析式y ＝kx ﹣2k ﹣5=k （x -2）-5∴直线GH 过定点M （2，-5）如图，连接HM∵H （2，3）∴HM ⊥x 轴，MH =8设F （x 2，y 2）、G （x 1，y 1）联立()22523y k x y x x ⎧=--⎨=-++⎩，得到()22280x k x k +---= ∴x 1+x 2=2-k ，x 1x 2=-2k -8∵S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x - 故当()12x x -最小时，S △FGH 最小∵()12x x -2=()()()()222121242428232x x x x k k k +-=----=++ 故当k =-2时，()12x x -2的最小值为32故()12x x -∴此时S △FGH 最小为4()12x x -=（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90° 如图，R 与x 轴相切时，切点为点P ，∵y ＝-x 2+2x +3=-（x -1）2+4设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m 时，则抛物线向右平移了m -1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m -1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+4+2（m -1）=-（x -m ）2+2m +2联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=∴x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --∴y 1+y 2=2（x 1+x 2）-2=4m -6，则点R （m -1，2m -3），()12x x -2=()212124x x x x +-=（2m +2）2-4（223m m --）=16，PR =12EF 则EF 2=4PR 2∵EF 2=()12x x -2+()12y y -2=5()12x x -2=5×16=4PR 2∵PR =2m -3∴5×16=4×（2m-3）2解得m∴当m m【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．AE=，O的半径长为53、（1）见解析；（2）6【分析】()1连接OD，AD，由圆周角定理可得AD BC=，再根据⊥，结合等腰三角形的性质知BD CD⊥可得SS⊥SS，即可得证；OD AC，从而由DG AC=知//OA OB()2连接SS．根据勾股定理得到SS=√SS2−SS2=√(2√5)2−22=4，根据圆周角定理得到∠SSS=∠SSS=90°，根据三角形中位线的性质得到SS=2SS=8，设O的半径长为r，根据勾股定理即可得到结论．【详解】()1证明：连接OD，AD，AB为O的直径，⊥，∴∠=︒，即AD BCADB90=，AB ACBD CD∴=，=，又OA OBOD AC∴，//⊥，DG AC∴SS⊥SS，OD是圆的半径，∴直线DF与O相切；()2连接BE．∵SS=2√5，∴SS=SS=2√5，CF=，2∴SS=√SS2−SS2=√(2√5)2−22=4，AB是直径，∴∠SSS=∠SSS=90°，∴⊥，BE ACDF AC ⊥，∴SS //SS ，∴SS =SS =2，∴SS =2SS =8，设O 的半径长为r ，∴SS =SS =2S ，∴SS =2S −4，∵SS 2=SS 2+SS 2，∴(2S )2=(2S −4)2+82，5r ∴=，6AE ∴=，O 的半径长为5．【点睛】本题主要考查圆的切线的判定，圆周角定理，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．4、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）54【分析】（1）连接OC ，由题意知90ACB ACP ∠=︒=∠，OAC OCA ∠=∠，PCF OCA ∠=∠，90PCF ACF ∠+∠=︒，90OCA ACF ∠+∠=︒；可得OC CF ⊥，进而说明CF 是O 的切线．（2）连接BG ，同弧所对圆周角PAC PBG ∠∠，相等，22=+PBA PAC PBG PBG ABG ∠=∠=∠∠∠有，ABG PBG ∠=∠，进而说明AB BP =．（3）勾股定理知5AB BP ==，2PC =，有Rt PAC Rt APD ≌，知24AD PC PD AC ====、，PAC APD ∠=∠，AE PE =；在Rt AED △中用勾股定理求出DE 的长，求出EP 的长，通过角度关系得出PEC FCE ∠=∠，故有EF CF PF ==，进而求出CF 的值．【详解】解：（1）证明：如图所示，连接OC，OC为半径ABC是O的内接三角形，且AB是直径∴∠=︒=∠90ACB ACP⊥PD AB∴在Rt ABC和Rt PBD中，有BAC BPD∠=∠=OA OC∴∠=∠OAC OCA=PF CF∴∠=∠PFC PCF∴∠=∠PCF OCA又90∠+∠=︒PCF ACF∴∠+∠=︒90OCA ACF⊥即OC CFOC是半径CF∴是O的切线．（2）证明：如图连接BGGC GC =PAC PBG ∴∠=∠22=+PBA PAC PBG PBG ABG ∠=∠=∠∠∠ABG PBG ∴∠=∠ AB 为直径90AGB PGB ∴∠=∠=︒APB PAB ∴∠=∠AB BP ∴=（3）在Rt ABC 中43AC BC ==、5AB ∴5BP AB ∴==2PC ∴=在Rt PAC △和Rt APD 中90PDA PCA APC PADPA PA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()Rt PAC Rt APD AAS ∴≌2AD PC ∴==，4PD AC ==，PAC APD ∠=∠AE PE ∴=设DE x =，4AE PE x ==-在Rt AED △中，有222AD DE AE +=，2222(4)x x +=- 解得32x = 542EP x ∴=-= 90PEC EPC ∠=︒-∠，90FCE PCF ∠=︒-∠PEC FCE ∴∠=∠EF CF PF ∴==1524CF EP ∴== ∴15=24CF EP =【点睛】本题考查了切线、圆周角、三角形全等、等腰三角形、勾股定理等知识．解题的关键与难点在于角度等量关系的转化．5、16AB =【分析】连接OA ，根据⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2可求出OM 的长，由勾股定理求出AM 的长，再由垂径定理求出AB 的长即可．【详解】解：如图，连接OA ．∵OM：MC＝3：2，OC＝10，∴OM＝331055OC=⨯=6．∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，∴AM=8．∴AB＝2AM =16．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．。

2022年强化训练北师大版九年级数学下册第三章圆定向测试试题

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