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三角形的重心三角形的重心是指连接三角形的三条中线的交点。
中线是连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段。
三角形重心的坐标可通过计算三个顶点坐标的平均值得出。
重心在三角形内部，距离三个顶点的距离相等。
三角形的重心在数学和几何学中有很重要的应用。
它是很多定理的基础，也是许多几何问题的解决方案。
在本文中，我们将更深入地了解三角形的重心，并探讨一些与它相关的性质和定理。
首先，让我们考虑一个普通三角形ABC。
我们可以通过连接顶点A 与边BC的中点D，顶点B与边AC的中点E，以及顶点C与边AB的中点F，得到三条中线AD，BE，CF。
我们可以使用以下公式来计算重心的坐标：重心的x坐标 = (顶点A的x坐标 + 顶点B的x坐标 + 顶点C的x 坐标) / 3重心的y坐标 = (顶点A的y坐标 + 顶点B的y坐标 + 顶点C的y 坐标) / 3例如，对于一个三角形ABC，假设A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，我们可以通过代入这些坐标计算重心的坐标。
重心的x坐标 = (1 + 3 + 5) / 3 = 3重心的y坐标 = (2 + 4 + 6) / 3 = 4因此，重心的坐标为(3,4)。
三角形的重心有一些非常有趣的性质。
其中一个性质是，重心将每条中线按两个比例分割。
具体来说，重心将AD分割成2:1，BE分割成2:1，CF分割成2:1。
这意味着重心到顶点的距离是重心到对应中点距离的二倍。
另一个重要的性质是，三角形的内心、重心和垂心共线。
内心是三角形内切圆的圆心，垂心是通过连接三角形的顶点与对应边垂直平分线的交点。
这个性质被称为Euler定理。
此外，重心还有其他一些性质。
例如，重心和对边的中点连线垂直。
重心还将每个顶点与重心的连线分割成1:2比例。
在许多三角形问题中，重心是求解问题的关键。
例如，通过重心可以确定一个三角形是否是等边三角形或等腰三角形。
如果一个三角形的三个顶点在同一直线上，那么这个三角形的重心就是这条直线的同一点。
初中数学知识点：三角形五心定理三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解集的是（ ）A.x ＜﹣2B.x ＞﹣1C.x ＜﹣32D.x ＞322．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（ ）A ．27.49+27.49x 2＝38B ．27.49（1+2x ）＝38C ．38（1﹣x ）2＝27.49D ．27.49（1+x ）2＝383．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列图形中是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）A ．线段B ．圆C ．平行四边形D ．角 5．已知|a|＝3，b 2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a ﹣b 的值为（ ）A ．1或7B ．1或﹣7C ．﹣1或﹣7D ．±1或±76．转动A 、B 两个盘当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功。
三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念，它不仅在理论上有着丰富的性质和应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用，帮助读者全面理解这一重要知识点。
一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。
中线是从一个顶点到对边中点的线段。
重心具有以下几个重要特点：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这意味着重心将每条中线分成两部分，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。
二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些主要性质：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这一性质可以通过中线定理证明。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这一性质可以通过面积公式证明。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。
4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
这一性质可以通过均值不等式证明。
5. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
这一性质可以通过坐标几何的方法证明。
三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种，以下是几种常见的方法：1. 坐标法：在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3))，则重心的坐标为：这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。
2. 向量法：设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C})，则重心(mathbf{G})的向量表示为：这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题 1．如图，内有一点D ，且，若，则的大小是( )A ．B ．C ．D ．2．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x ，下列方程正确的是（ ） A ．1000（1+x ）2＝1210 B ．1210（1+x ）2＝1000 C ．1000（1+2x ）＝1210D ．1000+10001+x ）+1000（1+x ）2＝1210 3．下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆 (2)各边相等的圆外切多边形是正多边形 (3)各角相等的圆内接多边形是正多边形 (4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)正n 边形的中心角360n a n︒=，且与每一个外角相等 其中真命题有( ) A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个4．将直线21y x =+向下平移n 个单位长度得到新直线21y x =-，则n 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF ，D 为AB 中点，连接DF 并延长交AC 与点E ，若AB ＝12，BC ＝20，则线段EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．已知反比例函数3(k y k x -=为常数),当0x <时，y 随x 的增大而减小，k 的取值范围是（） A ．k <0B ．k 0C ．k <3D ．k >37．如图，等边三角形ABC ，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），则点A 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（2，23）C ．（23，2）D ．（2，22）8．有以下四个命题中，正确的命题是( )． A ．反比例函数2y x=-，当x>-2时，y 随x 的增大而增大 B ．抛物线222y x x =-+与两坐标轴无交点 C ．垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧 D ．有一个角相等的两个等腰三角形相似9．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt △ABC 中，AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点M ，在射线BM 上截取线段BD ，使BD ＝AB ，连接AD ，依据此图可求得tan75°的值为（ ）A ．23-B ．23+C ．13+D ．31-10．如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上，边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为（ ）A ．412()55-，B ．213()55-，C ．113()25-，D ．312()55-，11．A 、B 、C 、D 四名同学随机分为两组，两个人一组去參加辩论赛，问A 、B 两人恰好分到一组的概率（ ） A ．14B ．13C ．16D ．1212．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A.2x-8x+17=0B.2x-6x-10=0C.2x-42x+9=0D.2x-4x+4=0二、填空题13．如图，图形B是由图形A旋转得到的，则旋转中心的坐标为_____．14．如图，在中，，,以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点,将绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____.15．（3分）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD 所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为．16．若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为_____．17．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx﹣2，则m＝_____．18．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝12，BC＝9，则EF的长是_____．三、解答题19．已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？20．如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE，AD与AB的数量关系，并加以证明；(3)求证：MD＝ME．21．随着“互联网+购物”的快速发展，快递业务也越来越红火，某小区物业为了解本小区1200户家庭在过去的一年中收到快递的情况，随机调查了80户家庭去年一年共收到的快递件数，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．组号分组频数频率1 0～4 4 0.0502 5～9 12 0.1503 10～14 a 0.4504 15～19 18 0.2255 20～24 b m6 25～29 4 0.050合计80 1.000根据以上提供的信息，解答下列问题（1）表格中a＝，b＝，m＝；补全频数分布直方图；（2）这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在哪一个小组？（3）请估计该小区去年一年共收到快递件数大约是多少？22．为了丰富学生的校园文化生活，学校开设了书法、体育、美术音乐共四门选修课程.为了合理的分配教室，教务处问卷调查了部分学生，并将了解的情况绘制成如下不完整的统计图：（1）参与问卷调查的共有________人，其中选修美术的有________人，选修体育的学生人数对应扇形统计图中圆心角的度数为________. （2）补全条形统计图；（3）若每人必须选修一门课程，且只能选一门，已知小红没有选体育，小刚没有选修书法和美术，则他们选修同一门课程的概率是多少，列树状图或列表法求解.23．某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．请你根据图中信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生．（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度． （3）补全条形统计图（标注频数）．（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人． 24．1135323(5)(1)(3)(10)10464675+----++- 25．先化简，再求值：222211a a a a a a -⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭，其中a ＝20190﹣（12）﹣1【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A A D B D B C B A C B二、填空题13．（0，1）．14．2-.15．4或6．16．120°17．118．5三、解答题19．k＝8或10【解析】【分析】因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k的式子表示方程的解，根据△ABC是等腰三角形，分AB＝AC，BC＝AC，两种情况讨论，得出k的值．【详解】∵△＝[﹣(2k+2)]2﹣4(k2+2k)＝4k2+8k+4﹣4k2﹣8k=4>0，∴x＝()2242k--+±⎡⎤⎣⎦，∴x1＝k+2，x2＝k，设AB＝k+2，BC＝k，显然AB≠BC，而△ABC的第三边长AC为10，(1)若AB＝AC，则k+2＝10，得k＝8，即k＝8时，△ABC为等腰三角形；(2)若BC＝AC，则k＝10，即k＝10时．△ABC为等腰三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，公式法，解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k的值，从而证得△ABC为等腰三角形．20．(1)见解析；(2)AD+BE＝12AB，理由见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题目要求，依据垂线和中点的概念作图即可得；（2）由△ABC是等边三角形知∠A=∠B=60°．结合PD⊥AC，PE⊥BC得∠APD=∠BPE=30°，据此知AD=12 AP，AD=12AP，再根据AD+BE=12（AP+BP）可得答案；（3）取BC中点F，连接MF．知MF=12AC，MF∥12AC．据此得∠MFB=∠ACB=∠A=∠MFE=60°．从而知AM=12AB，AB=AC，MF=MA．根据EF+BE=12BC得AD+BE=12AB．据此知EF=AD．即可证△MAD≌△MFE得出答案．【详解】(1)补全图形如图：(2)线段BE，AD 与AB 的数量关系是：AD+BE＝12 AB，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵PD⊥AC，PE⊥BC，∴∠APD＝∠BPE＝30°，∴AD＝12AP，AD＝12AP．∴AD+BE＝12(AP+BP)＝12AB；(3)取BC中点F，连接MF．∴MF＝12AC．MF∥12AC，∴∠MFB＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠MFE＝60°，∵AM＝12AB，AB＝AC，∴MF＝MA，∵EF+BE＝12 BC，∴AD+BE＝12 AB，∴EF＝AD，∴△MAD≌△MFE(SAS)，∴MD＝ME．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形和直角三角形的性质、中位线定理及全等三角形的判定与性质等知识点．21．（1）见解析（2）3（4）16050【解析】【分析】（1）总数乘以第3组频率可得a，总数减去其它分组人数可得b，依据频率＝频数÷总数可得m；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）总户数乘以样本的平均值即可得．【详解】解：（1）a＝80×0.45＝36，b＝80﹣（4+12+36+18+4）＝6，m＝6÷80＝0.075，补全直方图如下：故答案为：36、6、0.075；（2）这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而这两个数据均落在第3组，所以这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在第3组；（3）24712123617182262741070 12001200160508080⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯=（件），估计该小区去年一年共收到快递件数大约是16050件．【点睛】本题考查搜集信息的能力（读图、表），分析问题和解决问题的能力．正确解答本题的关键在于准确读图表．22．（1）60,12,108°；（2）详见解析；（3）1 6【解析】【分析】（1）用参与了解的音乐的学生数除以所占的百分比即可求得调查的总人数；用总人数减去书法的人数减去体育和音乐的人数就可得到美术的人数；用选修体育的人数除以总人数再乘以360°即可求出对应扇形的圆心角；.（2）根据选修课程的人数补全条形统计图即可；.（3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．【详解】(1) 由条形统计图可知音乐有24人，由扇形统计图可知音乐占40%，2440%=60∴÷（人）；选修美术的人数：606182412---=(人)；选修体育的圆心角：1860360=108÷⨯(2) 条形统计图如图，(3) 树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能情况，其中小红和小刚选修同一门课程的情况有1种，所以概率为16【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）本次共调查了50名学生；（2）72°；（3）补全条形统计图见解析；（4）该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人； 【解析】 【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图； （4）用2000乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可； 【详解】（1）14÷28%＝50，所以本次共调查了50名学生；（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数＝360°×1050＝72°； （3）最喜欢舞蹈类的人数为50﹣10﹣14﹣16＝10（人）， 补全条形统计图为：（4）2000×1650＝640， 估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人； 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．34335- 【解析】【分析】根据有理数的加减法法则计算即可.【详解】原式=11353235131010464675-+-+- 13153231531010446675⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 15935=-+ 34335=- 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减法的运算法则是关键.25．2a a -，13- 【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】 解：222211a a a a a a -⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭ 2(1)2(1)(1)1a a a a a a ---=÷-- 112a a a a -=⋅--+ 2a a=-， 当a ＝20190﹣（12）﹣1＝1﹣2＝﹣1时， 原式＝112(1)3-=---． 【点睛】本题考查了分式的计算和化简.解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分.同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟2．下列判断正确的是（）A．甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐B．为了了解某县七年级4000名学生的期中数学成绩，从中抽取100名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为4000C．在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表：则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.7D．有13名同学出生于2003年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件3．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( )A.3B.4C.5D.64．已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A ．33πB ．3C ．23πD ．25．已知点P （a+1，2a ﹣3）关于x 轴的对称点在第二象限，则a 的取值范围是（ ）A.﹣1＜a ＜B.﹣＜a ＜1C.a ＜﹣1D.a>6．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的内心，∠FOG ＝120”，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ：②S △ODE ＝S △BDE ：③四边形ODBE 的面积始终等于833；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47．若关于x 的不等式x ＜a 恰有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ）A.2＜a≤3B.2≤a＜3C.0＜a ＜3D.0＜a≤28．如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O ，延长AB ，CD 相交于点E,若∠CAD ＝35°，∠CDA ＝40°，则∠E 的度数是（ ）A.20°B.25°C.30°D.35°9．已知抛物线()()y x a x a 1=+--(a 为常数，a 0≠).有下列结论：①抛物线的对称轴为1x 2=；②方程()()x a x a 11+--=有两个不相等的实数根；③抛物线上有两点P(x 0，m)，Q(1，n)，若m n <，则00x 1<<；其中，正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．310．关于x 的一元一次不等式组213(1)x x x m--⎧⎨⎩＜＜有三个整数解，则m 的取值范围是（ ）A．5≤m＜6 B．5＜m＜6 C．5≤m≤6D．5＜m≤611．将抛物线y＝﹣3x2先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，所得图象的解析式为（）A．y＝﹣3（x﹣4）2﹣5 B．y＝﹣3（x+4）2+5C．y＝﹣3（x﹣4）2+5 D．y＝﹣3（x﹣4）2﹣512．|－3|的值等于（）A.3B.－3C.±3D.二、填空题13．不等式1﹣x≥2的解集是_____．14．计算：2cos60°﹣（3+1）0＝_____．15．16的平方根等于_________．16．计算(-3x2y)•(13xy2)=_____________．17．已知一组数据：1，4，x，2，6，9，若这组数据的众数为2，则这组数据的平均数为_____，中位数为_____．18．如果分式有意义，那么x的取值范围是_____．三、解答题19．某运输公司现将一批152吨的货物运往A，B两地，若用大小货车15辆，则恰好能一次性运完这批货．已知这两种大小货车的载货能力分别为12吨/辆和8吨/辆，其运往A，B两地的运费如下表所示：目的地(车型) A地(元/辆) B地(元/辆)大货车800 900小货车400 600(1)求这15辆车中大小货车各多少辆．(用二元一次方程组解答)(2)现安排其中的10辆货车前往A地，其余货车前往B地，设前往A地的大货车为x辆，前往A，B两地总费用为w元，试求w与x的函数解析式．20．某体育健身中心为市民推出两种健身活动付费方式，第一种方式：办会员证，每张会员证300元，只限本人当年使用，凭证进入健身中心每次再付费20元；第二种方式：不办会员证，每次进入健身中心付费25元设小芳计划今年进入健身中心活动的次数为x（x为正整数）．第一种方式的总费用为y1元，第二种方式的总费用为y2元（1）直接写出两种方式的总费用y1、y2分别与x的函数关系式；若小芳计划今年进入健身中心活动的总费用为1700元，选择哪种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多．（2）当x＞50时，小芳选择哪种付费方式更合算？并说明理由21．如图，已知在平面直角坐标系内，点A（1，﹣4），点B（3，3），点C（5，1）（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）求四边形ABB1A1的面积．22．问题提出（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝4，点D为AC上一点，连接BD，则BD的最小值为；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，求AD的最小值；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，其中∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，AD ＝22km，AB＝3km，点M是BC上一点，MC＝4km．现计划在四边形ABCD内选取一点P，把△DCP建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区．为方便进入商业区，需修建小路BP、MP，从实用和美观的角度，要求满足∠PMB＝∠ABP，且景观绿化区面积足够大，即△DCP区域面积尽可能小．则在四边形ABCD内是否存在这样的点P？若存在，请求出△DCP面积的最小值；若不存在，请说明理由．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长．24．计算：021(2019)12()2π---+-25．已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D ，E ．（1）求证：△BEC ≌△CDA ；（2）当AD ＝3，BE ＝1时，求DE 的长．【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D C A C B A B D DA A二、填空题13．x≥314．015．±4．16．33x y -17．318．x≠3三、解答题19．(1)中大货车用8辆，小货车用7辆；(2)w ＝100x+9400(3≤x≤8，且x 为整数)．【解析】【分析】（1）根据表格列出二元一次方程，再根据二元一次方程的解法计算即可.（2）根据费用的计算，列出费用和大货车x 的关系即可.【详解】(1)设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得： 15128152x y x y +=⎧⎨+=⎩ ， 解得：87x y =⎧⎨=⎩．故这15辆车中大货车用8辆，小货车用7辆．(2)设前往A地的大货车为x辆，前往A，B两地总费用为w元，则w与x的函数解析式：w＝800x+900(8﹣x)+400(10﹣x)+600[7﹣(10﹣x)]＝100x+9400(3≤x≤8，且x为整数)．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于设出合适的未知数，再根据条件列出方程.20．（1）y1＝20x+300，y2＝25x；选择第一种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多；（2）当50＜x＜60时，选择第二种付费方式更合算；当x＞60，选择第一种付费方式更合算．【解析】【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；再把y＝1700分别代入函数关系式即可求解；（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．【详解】解：（1）根据题意得y1＝20x+300，y2＝25x；第一种方式：20x+300＝1700，解得x＝70，即她进入健身中心活动的次数为70次；第二种方式：25x＝1700，解得x＝68，即她进入健身中心活动的次数为68次；所以选择第一种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多；（2）当y1＞y2，即20x+300＞25x时，解得x＜60，此时选择第二种付费方式更合算；当y1＝y2，即20x+300＝25x时，解得x＝60，此时选择两种付费方式一样；当y1＜y2，即20x+300＜25x时，解得x＞60，此时选择第一种付费方式更合算．所以当50＜x＜60时，选择第二种付费方式更合算；当x＞60，选择第一种付费方式更合算．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．21．（1）见解析；（2）见解析；（3）28.【解析】【分析】（1）根据A，B，C三点坐标画出三角形即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（3）四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）△ABC如图所示．（2）△A 1B 1C 1如图所示．（3）1112ABB A S =四边形×（2+6）×7＝28． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．(1)2;(2)174-;(3) 存在点P ，使得△DCP 的面积最小，△DCP 面积的最小值是（2932﹣20）km 2． 【解析】【分析】（1）如图1，当BD ⊥AC 时，BD 的值最小，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；（2）如图2，根据BM ＝DM 可知：点D 在以M 为圆心，BM 为半径的⊙M 上，连接AM 交⊙M 于点D'，此时AD 值最小，计算AM 和半径D'M 的长，可得AD 的最小值；（3）如图3，先确定点P 的位置，再求△DCP 的面积；假设在四边形ABCD 中存在点P ，以BM 为边向下作等边△BMF ，可知：A 、F 、M 、P 四点共圆，作△BMF 的外接圆⊙O ，圆外一点与圆心的连线的交点就是点P 的位置，并构建直角三角形，计算CD 和PQ 的长，由三角形的面积公式可求得面积．【详解】解：（1）当BD ⊥AC 时，如图1，∵AB ＝BC ，∴D 是AC 的中点，∴BD ＝12AC ＝12×4＝2，即BD 的最小值是2； 故答案为：2；（2）如图2，由题意得：DM ＝MB ，∴点D 在以M 为圆心，BM 为半径的⊙M 上，连接AM 交⊙M 于点D'，此时AD 值最小，过A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC＝5，∴BE＝EC＝12BC＝1632⨯=，由勾股定理得：AE＝2253-=4，∵BM＝4，∴EM＝4﹣3＝1，∴AM＝2217AE EM+=，∵D'M＝BM＝4，∴AD'＝AM﹣D'M＝17﹣4，即线段AD长的最小值是17﹣4；（3）如图3，假设在四边形ABCD中存在点P，∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠DCB＝60°，∵∠PMB＝∠ABP，∴∠BPM＝180°﹣∠PBM﹣∠PMB＝180°﹣（∠PBM+∠ABP）＝180°﹣∠ABC＝120°，以BM为边向下作等边△BMF，作△BMF的外接圆⊙O，∵∠BFM+∠BPM ＝60°+120°＝180°，则点P 在BM 上，过O 作OQ ⊥CD 于Q ，交⊙O 于点P ，设点P'是BM 上任意一点，连接OP'，过P'作P'H ⊥CD 于H ，可得OP'+P'H≥OQ＝OP+PQ ，即P'H≥PQ，∴P 即为所求的位置，延长CD ，BA 交于点E ，∵∠BAD ＝∠ADC ＝135°，∠DCB ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠E ＝90°，∠EAD ＝∠EDA ＝45°，∵AD ＝22 ，∴AE ＝DE ＝2，∴BE ＝AE+AB ＝5，BC ＝2BE ＝10，CE ＝53，∴BM ＝BC ﹣MC ＝6，CD ＝53﹣2，过O 作OG ⊥BM 于G ，∵∠BOM ＝2∠BFM ＝120°，OB ＝OM ，∴∠OBM ＝30°，∴∠ABO ＝∠ABM+∠MBO ＝90°，OB cos30BG ︒=＝23， ∴∠E ＝∠ABO ＝∠OQE ＝90°，∴四边形OBEQ 是矩形，∴OQ ＝BE ＝5，∴PQ ＝OQ ﹣OP ＝5﹣23， ∴S △DPC ＝11293(523)(532)222PQ CD ⋅=--= ﹣20， ∴存在点P ，使得△DCP 的面积最小，△DCP 面积的最小值是（2932﹣20）km 2． 【点睛】本题是四边形与圆的综合题，有难度，考查三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形，矩形的判定和性质，圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆来解决问题，属于中考常考题型．23．8【解析】【分析】根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线，则AE=DE ，AF=DF ，所以∠EAD=∠EDA ，加上∠BAD=∠CAD ，得到∠EDA=∠CAD ，则可判断DE ∥AC ，同理DF ∥AE ，于是可判断四边形AEDF 是平行四边形，加上EA=ED ，则可判断四边形AEDF 为菱形，所以AE=DE=DF=AF=4，然后利用平行线分线段成比例可计算BE 的长．【详解】解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，而EA=ED，∴四边形AEDF为菱形，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴BE：AE=BD：CD，即BE：4=6：3，∴BE=8．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质和平行线分线段成比例．24．5-23【解析】【分析】运用负指数幂、零次方以及二次根式的化简的知识进行化简，然后计算即可.【详解】解：原式=1-23+4=5-23．【点睛】本题考查了负指数幂、零次方以及二次根式的化简，其解题关键在于运用相关知识对原式进行化简. 25．（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明△BCE≌△CAD；（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，利用DE=CE-CD，即可解答．【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠E＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，ADC E90 ACD CBE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB（AAS），（2）解：∵△ADC≌△CEB，∴BE＝CD＝1，AD＝EC＝3，∴DE＝CE﹣CD＝3﹣1＝2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．。
三角形中心位置公式
三角形的中心位置可以通过以下公式计算：
1. 重心：重心是三角形三条边的中线的交点，设三角形为ABC，a=BC，
b=CA，c=AB，则重心G的坐标为 (x, y) = 1/3 A(x, y) + 1/3 B(x, y) +
1/3 C(x, y)。
2. 内心：内心是三角形三个点的角平分线的交点，设三角形为ABC，a=BC，b=CA，c=AB，则内心I的坐标为 (x, y) = (a A(x, y) + b B(x, y) + c C(x, y)) / (a+b+c)。
3. 外心：外心是三角形三顶点的垂直平分线的交点，设三角形为ABC，
a=BC，b=CA，c=AB，则外心O的坐标为 (x, y) = (a/2 A(x, y) + b/2
B(x, y) + c/2 C(x, y)) / (a+b+c)。
4. 垂心：垂心是三角形三边上的三条高的交点或其延长线的交点，设三角形为ABC，a=BC，b=CA，c=AB，则垂心H的坐标为 (x, y) = (b/2 A(x, y) + c/2 B(x, y) + a/2 C(x, y)) / (a+b+c)。
5. 旁心：旁心是与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆的圆心。
设三角形为ABC，a=BC，b=CA，c=AB，则旁心P的坐标为 (x, y) = (a/2
A(x, y) + b/2 B(x, y) + c/2 C(x, y)) / (a+b+c)。
这些公式可以帮助您计算三角形的中心位置。
三角形重心公式坐标好嘞，以下是为您生成的文章：咱们先来说说啥是三角形重心。
这三角形重心啊，就好比是三角形的“平衡点”。
在数学的世界里，三角形重心的坐标可是有个专门的公式的。
要是您还不太清楚，别着急，听我慢慢给您唠唠。
咱先假设一个三角形，三个顶点的坐标分别是 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃) 。
那这三角形重心的横坐标 Gx 就等于 (x₁ + x₂+ x₃)÷3 ，纵坐标 Gy 就等于 (y₁ + y₂ + y₃)÷3 。
您看，是不是还挺简单明了的？我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙儿瞪着大眼睛，一脸懵地问我：“老师，这重心有啥用啊？”我笑着告诉他：“你想想啊，要是咱要做个三角形的模型，知道了重心的位置，就能让这个模型更稳当，不容易倒啦！”那孩子似懂非懂地点点头。
后来在一次手工课上，让他们自己动手做三角形的小框架。
有的孩子没考虑重心，做出来的框架歪歪扭扭的，一放东西就倒。
而那些记住了重心公式，特意把重点位置处理好的孩子，做出来的框架就稳稳当当的。
这就好比我们的生活，得找到那个“重心”，才能平衡好学习、玩耍和休息，不然就会手忙脚乱。
再说回这个三角形重心公式，它在解决很多数学问题的时候可管用啦。
比如说，计算三角形内某个点到三个顶点距离之和的最小值，这时候重心的坐标就能派上大用场。
而且啊，这个公式不仅仅是在数学课本里有用，在实际生活中的建筑设计、机械制造里也都有它的影子呢。
就像上次我去参观一个工厂，看到工人们在制作三角形的零件，他们就是根据重心的位置来确定安装和固定的点，这样才能保证零件在运转的时候稳定可靠。
总之，三角形重心公式坐标虽然看起来就是几个数字的组合，但它背后的用处可大着呢！只要咱们用心去学，去琢磨，就能发现数学的乐趣和价值。
希望您也能在数学的海洋里畅游，轻松搞定这个小小的重心公式，让它成为您解题的好帮手！。
三角形重心的结论及其证明嘿，朋友们，今天我们聊聊三角形的重心。
可能有些小伙伴觉得这话题有点儿枯燥，但别急，这里面可是有很多有趣的东西哦！想象一下，三角形就像是你身边的朋友们，分别代表着三个点：一个在左，一个在右，还有一个在上。
它们就像是聚会中的小伙伴，围在一起聊天、玩乐。
说到重心，听起来高大上，但其实它就是那种聚会中最受欢迎的那个家伙，大家都愿意围着他转，哈哈。
重心呢，简单来说，就是三角形的“平衡点”。
就好比你在找一个地方，既能看到舞台，又能和朋友聊天。
它正好位于三个顶点的“心里”，也就是说，如果你把一个三角形的三条中线画出来，这些中线在一个点上相遇，这个点就是重心。
想象一下，三条线像是朋友们从不同方向向重心靠拢，最终形成了一个温暖的大家庭。
你知道吗？这个重心有个超神奇的性质，就是它总是把每条中线分成2:1的比例。
这意味着重心距离顶点的距离总是比它距离底边的距离要短两倍。
这就像我们生活中，有时候朋友之间的关系也会不平等，有些人总是被宠爱得多一些，但大家心里其实都是暖暖的。
想象一下，你和朋友们一起吃饭，你总是点的最多，但大家吃得也很开心，这种感觉是不是特别好？我们说说如何证明这个重心的存在。
来，咱们动动脑筋，试试找个简单的方法。
拿一张纸画个三角形，随便选个点，叫它A。
然后，找对边的中点，咱们叫它M。
连一条线，从A到M。
重复这个步骤，选另一个顶点B，找到对边的中点N，连线。
再用同样的方法对第三个顶点C来一次。
你会发现，三条线会在一个点上交汇，这个点就是你心心念念的重心。
嘿，朋友们，重心不仅仅是个数学概念，它还带给我们许多启示。
生活中，我们也要找到自己的“重心”，保持平衡。
就像三角形一样，三个顶点之间的和谐让它们变得更加稳固。
在工作、学习和娱乐之间找到平衡，不让某一方面占据了我们的全部精力，这样生活才会更加丰富多彩。
再说，重心的这种特性在很多地方都能看到。
比如，足球比赛中，球员们不断调整自己的位置，寻找最合适的重心，这样才能更好地传球、射门。
证明三角形重心判定性质三角形重心是三角形内部所有中线的交点，是三角形的一个重要点。
在三角形的研究中，三角形重心有着重要的作用，包括判定三角形的形状、判断三角形的大小和计算三角形的面积等。
在本文中，我们将探讨证明三角形重心判定性质的方法。
三角形重心判定定理是三角形研究中一条非常重要的定理，也是几何学中的一道经典问题。
这个定理可以用来判断三角形的性质，以及计算三角形的重心坐标。
三角形重心的坐标可以用以下公式计算：$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$其中，$G$表示三角形重心的坐标，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
证明三角形重心判定定理需要以下两个步骤：第一步，证明三角形重心是三条中线的交点。
首先，我们需要知道中线是什么。
中线是连结三角形两个顶点及其对边中点的线段。
因此，三角形有三条中线。
中线可以通过以下公式计算出来：$AB: \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}$$BC: \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}$$AC: \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}$其中，$AB$、$BC$、$AC$表示三角形的三条边，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
我们需要证明三条中线的交点是三角形的重心。
假设$G$为三角形的重心，且$G$在$AB$和$BC$上，那么$G$必定在$AC$上。
这是因为$AC$是由两点$(x_1, y_1)$和$(x_3, y_3)$组成，而重心$G$又满足以下条件：$\frac{AG}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{CG}{AC}$由此可得：$\frac{AG}{AB} = \frac{2}{3}$$\frac{BG}{BC} = \frac{2}{3}$$\frac{CG}{AC} = \frac{2}{3}$因为$AG$和$BG$都是中线，所以它们分别等于$AB$和$BC$的一半。
证明三角形重心判定定义一、前言在解决三角形相关问题时，我们常常需要利用三角形重心的概念进行推断和证明。
三角形重心是三角形内部直线的一个交点，同时也是三角形三条中线的交点。
在三角形重心判定定义中，我们可以利用向量运算和几何分析方法来证明三角形重心的几何性质。
本文将着重于介绍三角形重心的概念和几何性质，并通过向量运算和几何分析来证明三角形重心判定定义。
通过本文的学习，可以使读者掌握三角形重心判定定义的证明方法和推导过程，从而更好地理解三角形的性质和相关定理。
二、三角形重心的概念三角形的重心是指三角形内部垂直三条中线的一点，即为三角形三边中心重合的点。
三角形重心同时也是由三个顶点到其对边中点的距离的平均值的交点，这个点在三角形重心的定义中起到了至关重要的作用。
三角形重心的几何性质非常重要，它不仅与三角形的形状有关，同时也与三角形的面积、重心坐标和中线长有密切关系。
接下来我们将通过几何分析和向量运算两种方法来证明三角形重心判定定义。
三、证明三角形重心判定定义1. 几何分析法三角形重心判定定义是指：三条中线交于一点的充分必要条件是此点到三个顶点的距离之和等于三角形周长的一半。
我们假设三角形ABC的重心为G，三条中线分别为AD、BE、CF，AD、BE交于点G。
则根据三角形重心的定义和中点定理可得：AG = 2GD （1）BG = 2GE （2）CG = 2GF （3）由于G为三条中线的交点，所以G到每条中线的距离相等，即DG = EG = FG = h。
因此，根据（1）、（2）、（3）式，可以得到：AG + BG + CG = 2GD + 2GE + 2GF= 2(GD + GE + GF)= 6h又根据三角形周长公式：AB + BC + CA = 2s （4）其中s为三角形半周长。
将（4）式代入上式可得：AG + BG + CG = AB + BC + CA因此，我们得到了三角形重心判定定义所要求的等式，从而证明了三条中线交于一点的充分必要条件是此点到三个顶点的距离之和等于三角形周长的一半。
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 2．刘主任乘公共汽车从昆明到相距千米的晋宁区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了小时，设公共汽车的平均速度为千米时，则下面列出的方程中正确的是（ ）A.B.C. D.3．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（ ）A.最小值0B.最大值1C.最大值2D.有最小值﹣4．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（ ）A ．27.49+27.49x 2＝38B ．27.49（1+2x ）＝38C ．38（1﹣x ）2＝27.49D ．27.49（1+x ）2＝385．某工厂接到加工 600 件衣服的订单，预计每天做 25 件，正好按时完成，后因客户要求提前 3 天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是( )A.B.C. D.6．64的立方根是（ ）A ．8B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①：以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；②：分别以点E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③：作射线BG ，交AC 边于点D ，若4BC =，5AB =，则ABD S ∆=（ ）A ．3B ．103C ．6D ．2038．已知点A （a ，b ）是一次函数y=-x+4和反比例函数y=1x 的一个交点，则代数式a 2+b 2的值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．149．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°10．在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A ．4cmB ．43cmC ．8cmD ．83cm11．休闲广场的边缘是一个坡度为i ＝1：2.5的缓坡CD ，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A 到地面的距离AB ＝0.5m ，B 到缓坡底端C 的距离BC ＝0.7m ．若秋千的长OA ＝2m ，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E 约为（ ）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A ．0.4mB ．0.5mC ．0.6mD ．0.7m12．如图菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.23πB.2332π-C.113122π-D.23π﹣1 二、填空题13．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．14．﹣19的倒数是_____． 15．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排_____名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．16．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____．17．如图，⊙O 的直径AB=8，点C 在⊙O 上，∠CAB=22.5°，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，则弧CD 的长为______．18．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.三、解答题19．如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明；(3)求证：MD ＝ME ．20．如图，一次函数y ＝kx+3的图象分别交x 轴、y 轴于点B 、点C ，与反比例函数y x n =的图象在第四象限的相交于点P ，并且PA ⊥y 轴于点A ，已知A （0，﹣6），且S △CAP ＝18．（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式； （2）设Q 是一次函数y ＝kx+3图象上的一点，且满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍，求出点Q 的坐标．21．如图,在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE CF =，AED CFD ∠=∠，求证：（1）DE DF =；（2）四边形ABCD 是菱形.22．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程式是重要的数学成就。
书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，今将钱四十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱，普通酒一斗的价格是10钱，现在买两种酒2斗共付40钱，问买美酒、普通酒各多少斗？23．某商场销售A ，B 两款书包，己知A ，B 两款书包的进货价格分别为每个30元、50元，商场用3600元的资金购进A ，B 两款书包共100个.（1）求A ，B 两款书包分别购进多少个?（2）市场调查发现，B 款书包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y=-x+90(60≤x≤90)．设B 款书包每天的销售利润为w 元，当B 款书包的销售单价为多少元时，商场每天B 款书包的销售利润最大?最大利润是多少元?24．如图，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．25．某校成立了“航模”、“古诗词欣赏”、“音乐”、“书法”四个兴趣小组，为了解兴趣小组报名的情况，对本校参加报名的部分学生进行了抽查（参加报名的学生，每名学生必报且限报一个兴趣小组）学校根据调查的数据绘制了以下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题: 某校被抽查学生兴趣小 某校被抽查学生兴趣小组报名情况扇形统计图 组报名情况条形统计图(1)此次共调查了_______名学生，扇形统计图中“航模”部分的圆心角是_______度；(2)补全条形统计图；（温馨提示:请画在答题卷相对应的图上）(3)现该校共有800名学生报名参加了这四个兴趣小组，请你估计其中有多少名学生选修“古诗词欣赏”.【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D D B B B D D D D B二、填空题13．614．-915．516．117．2π18．(-5，-3)三、解答题19．(1)见解析；(2)AD+BE＝12AB，理由见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题目要求，依据垂线和中点的概念作图即可得；（2）由△ABC是等边三角形知∠A=∠B=60°．结合PD⊥AC，PE⊥BC得∠APD=∠BPE=30°，据此知AD=12 AP，AD=12AP，再根据AD+BE=12（AP+BP）可得答案；（3）取BC中点F，连接MF．知MF=12AC，MF∥12AC．据此得∠MFB=∠ACB=∠A=∠MFE=60°．从而知AM=12AB，AB=AC，MF=MA．根据EF+BE=12BC得AD+BE=12AB．据此知EF=AD．即可证△MAD≌△MFE得出答案．【详解】(1)补全图形如图：(2)线段BE，AD 与AB 的数量关系是：AD+BE＝12 AB，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵PD⊥AC，PE⊥BC，∴∠APD＝∠BPE＝30°，∴AD＝12AP，AD＝12AP．∴AD+BE＝12(AP+BP)＝12AB；(3)取BC中点F，连接MF．∴MF＝12AC．MF∥12AC，∴∠MFB＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠MFE＝60°，∵AM＝12AB，AB＝AC，∴MF＝MA，∵EF+BE＝12 BC，∴AD+BE＝12 AB，∴EF＝AD，∴△MAD≌△MFE(SAS)，∴MD＝ME．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形和直角三角形的性质、中位线定理及全等三角形的判定与性质等知识点．20．（1）y=24x-； y=9x34-+；（2）Q1(8,93-)， Q2(8,33-)【解析】【分析】（1）根据一次函数解析式可得到点C的坐标为（0，3），已知S△CAP＝18，可求得点A、点P的坐标，点P 在一次函数和反比例函数上，利用待定系数法即可求得函数解析式.（2）设点Q的坐标（m，94-m+3），根据一次函数解析式可知点B坐标，结合等底三角形面积性质可得到关于m 的一元一次方程，解方程即可求得m 值，进而求得Q 点坐标.【详解】（1）令一次函数y=kx+3中的x=0，则y=3，即点C 的坐标为（0，3），∴AC=3-（-6）=9．∵S △CAP =12AC·AP=18 ∴AP=4，∵点A 的坐标为（0，-6），∴点P 的坐标为（4，-6）．∵点P 在一次函数y=kx+3的图象上，∴-6=4k+3，解得：k=94-∵点P 在反比例函数y x n =的图象上， ∴-6=4n ，解得：n=-24． ∴一次函数的表达式为y=94-x+3，反比例函数的表达式为24y x =- （2）令一次函数=y=94-x+3中的y=0 解得x=43即点B 的坐标为（43，0）． 设点Q 的坐标为（m ，94-m+3） ∵△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍， ∴|m|=2×43，解得：m=±83， ∴点Q 的坐标为Q 1(8,93-)， Q 2(8,33-) 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法求函数解析式，其中第二问掌握题目要求中两三角形是等底关系，满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍即可转化为高是2倍的关系即可解题.21．(1)证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠A=∠C ，由ASA 证明△DAE ≌△DCF ，即可得出DE=DF ；（2）由全等三角形的性质得出DA=DC ，即可得出结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠A=∠C ，在△DAE和△DCF中，A CAE CFAED CFD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE≌△DCF（ASA），∴DE=DF；（2）由（1）可得△DAE≌△DCF∴DA=DC，又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．22．买美酒12斗，买普通酒32斗.【解析】【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、普通酒一斗的价格是10钱，买两种酒2斗共付40钱”列出方程组．【详解】设买美酒x斗，买普通酒y斗，依题意得：2 501040x yx y+=⎧⎨+=⎩．解得1232 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩答：买美酒12斗，买普通酒32斗.【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．23．（1）A，B两款书包分别购进70和30个；（2）B款书包的销售单价为70元时B款书包的销售利润最大，最大利润是400元【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：购进A款书包的数量+购进B款书包的数量=100；购进A款书包的数量×进价+购进B款书包的数量×进价=3600，设未知数，列方程求解即可.（2）根据B款书包每天的销售利润=（B款书包的售价-B款书包的进价）×销售量y，列出w与x的函数解析式，再利用二次函数的性质，即可解答.【详解】（1）解： 设购进A 款书包x 个，则B 款为（100−x ）个，由题意得：30x+50(100−x)=3600，解之：x=70，∴100-x=100-70=30答：A ，B 两款书包分别购进70和30个.（2）解： 由题意得：w=y(x −50)=−(x −50)(x −90)=-x 2+140x-4500，∵−1<0，故w 有最大值，函数的对称轴为：x=70，而60⩽x ⩽90，故：当x=70时，w 有最大值为400，答：B 款书包的销售单价为70元时B 款书包的销售利润最大，最大利润是400元.【点睛】考核知识点：二次函数y=a （x-h ）2+k 的性质，二次函数的实际应用-销售问题.24．∠EFD ＝15°．【解析】【分析】根据正方形的性质可以求出∠DCF ＝90°，由CE ＝CF ，得出∠CFE ＝45°，又由正方形的性质可以得出△BCE ≌△DCF ，就有∠BEC ＝∠DFC ＝60°，从而可以求出∠EFD 的度数．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝∠DCF ＝90°．∵CE ＝CF ，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°．∵在△BCE 和△DCF 中BC DC BCD DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），∴∠BEC ＝∠DFC ＝60°，∴∠EFD ＝15°．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时寻找条件证明三角形全等是关键．25．（1）200，144；（2）见解析；（3）120.【解析】【分析】（1）用书法的人数除以书法圆心角所占的百分比即可；用360°乘以航模所占的百分比即可；（2）用本次调查的人数减去已知三个小组的人数求出音乐小组的人数，然后补全条形统计图即可；（3）用800乘以“古诗词欣赏”所占的百分比即可. 【详解】(1)调查的总人数是：9050200360÷=(人)，扇形统计图中“航模”部分的圆心角是：80360144200⨯=°．故答案是：200，144；(2)“音乐”兴趣小组的人数是：200-80-30-50=40（人）．如图所示：（3）根据题意得30800120200⨯=(人)，答：估计其中有120名学生选修“古诗词欣赏”．【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，用样本估计总体.解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，即两个统计图都知道了哪个量的数据，从而用条形统计图中的具体数量除以扇形统计图中占的百分比，求出样本容量，进而求解其它未知的量.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）A．B．C．D．2．若y=x+2–b是正比例函数，则b的值是( )A．0 B．–2 C．2 D．–0.53．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）A.13B.14C.1πD.14π4．如图，直线l1∥l2∥l3，△ABC的三个顶点分別落在l1∥l2∥l3上，AC交l2与点D．设l1与l2的距离为h1，l2与l3的距离为h2．若AB＝BC，h1：h2＝1：2，则下列说法正确的是（）A.S△ABD：S△ABC＝2：3B.S△ABD：S△ABC＝1：2C.sin∠ABD：sin∠DBC＝2：3D.sin∠ABD：sin∠DBC＝1：25．如图所示的几何体的左视图是（）A.B.C.D.6．如果关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k <B ．1k ≤C ．1k >D ．1k ³7．关于x 的不等式组2150x x m ->⎧⎨-<⎩有三个整数解，则m 的取值范围是（ ）A ．67m <≤B ．67m <<C ．7m ≤D ．7m <8．已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <），其对称轴是1x =，与x 轴的一个交点在()2,0，()3,0之间.有下列结论：①0abc <；②0a b c -+=；③若此抛物线过()12,y -和()23,y 两点，则12y y <，其中，正确结论的个数为( ) A.0B.1C.2D.39．下列说法正确的是（ ）A ．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式B ．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为12C ．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件D ．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S 甲2＝0.4，S 乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定10．抛物线y ＝﹣（x ﹣8）2+2的顶点坐标是（ ） A ．（2，8）B ．（8，2）C ．（﹣8，2）D ．（﹣8，﹣2）11．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ．给出下列结论：①BE ＝2AE ；②△DFP ～△BPH ；③35PF PH =；④DP 2＝PH•PC；其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．②③D ．①②④12．23的相反数是（ ）A ．﹣13B ．13C ．﹣3D ．3二、填空题13．用估算的方法求一元二次方程2t 2-t-2=0的解 列表： t 0 1 2 3 2t 2-t-2-2-1413∴ t ≈_______14．如图，▱ABCO 中，OA=2，AB=6，将▱ABCO 绕点A 逆时针旋转得▱ADEF ，AD 经过原点O ，点F 落在x 轴上，若双曲线y=kx经过点D ，则k 的值为____．15．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 水平，BC 与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm ，CD=40cm ，BC=40cm ，那么该小朋友将圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线长为____cm ．16．若2236x ax ++是完全平方式，则a =_________.17．直线y ＝k 1x+3与直线y ＝k 2x ﹣4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y 轴的交点分别为点A 、B ．以AB 为边向左作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的周长为_____．18．分解因式：3x 2﹣6x ﹣9＝_____． 三、解答题19．101112322260()tan -+----20．某水果批发商经营甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y 甲（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系y 0.2x =甲，乙种水果的销售利润y 乙（万元）与进货量x （吨）之间的函数关系如图所示． （1）求y 乙（万元）与x （吨）之间的函数关系式；（2）如果该批发商准备进甲、乙两种水果共．．．．．．．．．10．．吨．，设乙种水果的进货量为t 吨，请你求出这两种水果所获得的销售利润总和W （万元）与t （吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润总和最大，最大利润是多少？21．民俗村的开发和建设带动了旅游业的发展，某市有A 、B 、C 、D 、E 五个民俗旅游村及“其它”景点，该市旅游部门绘制了2018年“五•一”长假期间民俗村旅游情况统计图如下：根据以上信息解答：（1）2018年“五•一”期间，该市五个旅游村及“其它”景点共接待游客 万人，扇形统计图中D 民俗村所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图；（2）根裾近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2019年“五•一”节将有70万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E 民俗村旅游？（3）甲、乙两个旅行团在A 、C 、D 三个民俗村中，同时选择去同一个民俗村的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明． 22．计算：（1）3-212÷61 3（2）（32-18）÷112223．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，且AE⊥BD，垂足为点F，∠DAE＝2∠BAE．（1）求证：BF：DF＝1：3；（2）若四边形EFDC的面积为11，求△CEF的面积．24．某货运公司有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨.I.请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨；Ⅱ.目前有46.4吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆，全部货物一次运完.其中每辆大货车一次运货花费500元，每辆小货车一次运货花费300元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？25．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CF＝2，CE＝4，求⊙O的半径．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D D B A A C D B D C二、填空题13．114．315．16．6± 17．2818．3（x ﹣3）（x+1）． 三、解答题 19．232- 【解析】 【分析】原式利用平方根、负指数幂，以及三角函数，绝对值的定义计算即可得到结果． 【详解】解：原式1232(23)23=+----232(23)23=+-+-+2322323=+---+232=-．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）2y 0.1x 1.4x =-+乙；（2）甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是5.6万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求出a 、b 的值即可求出函数关系式的解．（2）由题意可得2W y y 0.210t (0.1t 1.4t)=+=-+-+甲乙（），用配方法化简函数关系式即可求出w 的最大值．【详解】（1）根据图象，可设2y ax bx =+乙（其中0a ≠，a ，b 为常数），由题意，得解得 1.342 2.4.a b a b ，+=⎧⎨+=⎩解得=-0.1b 1.4.a ⎧⎨=⎩，∴2y 0.1x 1.4x =-+乙．（2）∵乙种水果的进货量为t 吨，则甲种水果的进货量为10t -（）吨， 由题意，得22W y y 0.210t (0.1t 1.4t)0.1t 1.2t 2=+=-+-+=-++乙甲（）． 将函数配方为顶点式，得2W 0.1(t 6) 5.6=--+． ∵0.10-<，∴抛物线开口向下．∵0t 10<<，∴6t =时，W 有最大值为5.6． ∴1064-=（吨）．答：甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是5.6万元． 【点睛】本题考查学生利用二次函数解决实际问题的能力，注意二次函数的最大值往往要通过顶点坐标来确定． 21．（1）50，64.8°；（2）8.4万人；（3）13【解析】 【分析】（1）根据A 景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市景点共接待游客数，用360°乘以D 对应的百分比可得其圆心角度数，总人数乘以B 对应百分比求得其人数即可补全条形图； （2）根据样本估计总体的思想解决问题即可；（3）根据甲、乙两个旅行团在A 、C 、D 三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率． 【详解】（1）该市五个旅游村及“其它”景点共接待游客15÷30%＝50（万人）， 扇形统计图中D 民俗村所对应的圆心角的度数是18%×360°＝64.8°， B 景点接待游客数为：50×24%＝12（万人）， 补全条形统计图如下：故答案为：50，64.8°；（2）估计选择去E 民俗村旅游的人数约为70×650＝8.4（万人）； （3）画树状图可得：∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种， ∴同时选择去同一个民俗村的概率是13． 【点睛】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及概率的计算的综合应用，读懂统计图、从中获取正确的信息是解题的关键．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（1）3-2；（2）12【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后利用二次根式的除法法则运算． 【详解】（1）原式=3-2×16×123⨯ =3-2；（2）原式=（32-24）÷1122=1124÷1122=12． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．23．（1）详见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°，又AE ⊥BD ，得到3tan 303BF AF ︒==， DFtan 603AF︒==，于是得到结论； （2）根据已知条件得到△BEF ∽△BDC ，求得∠ABF ＝60°，得到∠FBE ＝30°，求得BF 3BE 2=， BE 23BF 3=，由于BD ＝4BF ，得到36BE BD =，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∠DAE ＝2∠BAE ， ∴∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°， 又∵AE ⊥BD ，∴3tan 303BF AF ︒==，DF tan 603AF ︒==， ∴BF ：DF ＝1：3；（2）解：∵∠FBE ＝∠CBD ，∠BFE ＝∠DCB ， ∴△BEF ∽△BDC ， ∵∠BAE ＝30°， ∴∠ABF ＝60°， ∴∠FBE ＝30°， ∴BF 3BE 2=， ∴BE 23BF 3=， ∵BD ＝4BF ， ∴36BE BD =， ∴BFEBCD S S ∆=112BFE B E EF FDC S S S ∆+=四边形，∵S 四边形EFDC ＝11， ∴S △BEF ＝1， ∵36BF BE BC BD ==，BF 3BE 2=， ∴13=BE BC ， ∴12BE EC =， ∴S △CEF ＝1×2＝2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．24．I.1辆大货车一次可以运货5吨，1辆小货车一次可以运货3.5吨；Ⅱ.当该货运公司安排大货车8辆，小货车2辆时花费最少. 【解析】 【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨、2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨”列方程组求解可得；（2）．设货运公司安排大货车m 辆，则小货车需要安排()10m -辆，根据46.4吨货物需要一次运完得出不等式，求出m 的范围，从而求出如何安排车辆最节省费用.【详解】解：I.设1辆大货车一次可以运货x 吨，1辆小货车一次可以运货y 吨.根据题意可得3x 4y 292x 6y 31{+=+=，，解得x 5y 3.5{==，，答：1辆大货车一次可以运货5吨，1辆小货车一次可以运货3.5吨.Ⅱ.设货运公司安排大货车m 辆，则小货车需要安排()10m -辆，根据题意可得()5m 3.510m 46.4+-≥，解得m 7.6≥∵m 为正整数，∴m 可以取8，9，10.当m 8=时，该货运公司需花费500830024600⨯+⨯=元.当m 9=时，该货运公司需花费50093004800⨯+=元.当m 10=时，该货运公司需花费500105000⨯=元。
