专题09解析几何热点问题-2024年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍

147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。

具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。

分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。

针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。

大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。

然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。

为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。

第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。

第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。

毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。

解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。

解析几何题型命题趋向：解析几何例命题趋势：1. 注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以填空题的形式出现，每年必考2. 考查直线与二次曲线的普通方程，属容易题，对称问题常以填空题出现3. 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题考点透视一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．3．了解二元一次不等式表示平面区域．4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.2 2x y 的右焦点重合，则p 的值为例1．若抛物线y2 2px的焦点与椭圆1 6 2考查意图:本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆2 2x y 的右焦点为(2,0)，所以抛物线16 2y2 2px 的焦点为(2,0)，则p 4 ，考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A、B，则|AB|等于例2．已知抛物线y-x考查意图:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线AB 的方程为y x b，由2y xy x b3 2x x b 3 0 x x 11 2，进而可求出AB 的中点1 1M ( , b) ，又由2 21 1M ( , b) 在直线x y 0上可求出 b1，2 2∴ 2 2 0x x ，由弦长公式可求出2 2AB 1 1 1 4 ( 2) 3 2 ．2 2例3．如图，把椭圆x y 的长轴125 16AB 分成8 等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 分于1则P F P F PF P F P F P F P F ____________.1 2 3 4 5 6 7考查意图:本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆 2 2x y 的方程知a2 25, a 5.125 16∴7 2aPF P F PF P F P F P F P F 7 a 7 5 35.1 2 3 4 5 6 72故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1)椭圆的离心率e＝c∈(0,1) (e越大则椭圆越扁);a(2) 双曲线的离心率e＝结合有关知识来解题. c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大). a例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是( 4,0) ，(4,0) ，则双曲线方程为考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程： e c 2,c 4,所以 a 2,b2 12. a小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5．已知双曲线3x2 y2 9,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于考查意图:本题主要考查双曲线的性质和离心率e＝c∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.a解答过程：依题意可知 a 3,c a2 b2 3 9 2 3 ．考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值: 特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.2=4x,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22 的最小值例6．已知抛物线y是.考查意图:本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:设过点P(4,0)的直线为y k x 4 , k2 x2 8x 16 4x,2 2 2 2k x 8k 4 x 16k 0,28k 4 1 2 2y y 4 x x 4 16 2 32.1 2 2 2 1 2k k考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例7．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆x=1 与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.2 y 2a 92（1）求圆 C 的方程；（2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点Q，使Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段O F 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程] (1) 设圆 C 的圆心为(m, n)则m n,n 2 2 2, 解得2,mn 2.所求的圆的方程为 2 2(x2) ( y 2) 8(2) 由已知可得2a 10， a 5．2 2x y , 右焦点为F( 4, 0) ; 椭圆的方程为125 9假设存在Q 点 2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使QF OF ,2 22 2 2 cos 4 2 2 2 s in 4 ．整理得si n 3 c o s 2，2代入 2 2sin cos 1．得: 10cos2 12 2 cos 7 0 , cos 12 2 8 12 2 2 2 1．10 10因此不存在符合题意的Q 点.例8．如图,曲线G 的方程为y2 2x( y 0) .以原点为圆心，以t(t 0)为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于 A 与点B. 直线AB 与x 轴相交于点 C.（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为 a 2 ,求证：直线CD 的斜率为定值.[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.[解答过程]（I）由题意知，A( a, 2a ).因为|OA | t,所以a2 2a t 2.由于t 0,故有t a2 2a. （1）x y由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC 的方程为 1.c t又因点 A 在直线BC 上，故有 2 1,a ac t将（1）代入上式，得1,a a 解得 c a 2 2(a 2) .2ca(a 2)（II）因为D(a 2 2(a 2)) ，所以直线CD 的斜率为2(a 2) 2(a 2) 2(a 2)k CD ，1 a2 c a 2 (a 2 2(a 2) ) 2(a 2)所以直线CD 的斜率为定值.2 2x y例9．已知椭圆，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦AB 的中点，若以点M(2,1) E : 1(a b 0)2 2a b为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线AB 交于点N(4, 1)，若椭圆离心率 e 和双曲线离心率e之间满足1 ee 1，求：1（1）椭圆 E 的离心率；（2）双曲线 C 的方程.解答过程：（1）设A、B 坐标分别为A(x , y ),B(x , y ) ，1 12 2则2 2x y1 12 2a b，12 2x y2 22 2a b1，二式相减得：k2y y (x x )b1 2 1 2AB 2x x (y y )a1 2 1 222b 1 ( 1)，k 12MNa 2 4所以 2 2 22a2b 2(ac )，a2c ， 则 e c2 22a2； 122a( 2c)（2）椭圆 E 的右准线为e2 ，双曲线的离心率1x2cecc 设P(x, y) 是双曲线上任一点，则：，22| PM |(x 2)(y 1) | x 2c || x 2c|2，两端平方且将 N(4, 1)代入得： c 1或 c 3，当 c 1时，双曲线方程为：2 2(x 2) (y 1) 0，不合题意，舍去； 当 c 3时，双曲线方程为：(x 10)2 (y 1)2 32，即为所求 . 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算 .典型例题：例 10．双曲线 C 与椭圆 (1)求双曲线 C 的方程； 2 2 x y 有相同的焦点，直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线 .184(2)过点 P (0,4)的直线 l ，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合） .当 PQ QA QB ，且12128 3时，求 Q 点的坐标 . 考查意图 : 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力 .解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为 2 2 x y,221ab22x y,求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ， 由椭圆1 84对于双曲线 C :c 2，又 y 3x 为双曲线 C 的一条渐近线b a 3 解得 2 1, 2 3 a b ，双曲线 C 的方程为2y 21 x3（Ⅱ）解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 .设l 的方程：y kx A x y ， B(x 2 , y 2 ) ,则Q ( 4 ,0)4, ( , )11k.PQQA,14 4.( , 4) ( x , y )1 1 1k kx4 4( x)1 1k k41y y1 1 14 4 k k141A x y 在双曲线 C 上，( , )1 1 16 1 16.12( ) 1 0 2k1 1162 2 2 216 32 16 k k 0.1 13162 2 2 (16 k ) 32 16 k 0.1 1316同理有： 2 2 2(16 k ) 32 16 k 0.2 2316 k 0,则直线l 过顶点，不合题意.2若216 k 0,1, 2 是二次方程 2 2 16 2(16 ) 32 16 0.k x x k 的两根.332 8 1 2 2k 16 3 , 2 4k ，此时0, k 2.所求Q的坐标为( 2,0) .解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程，y kx A x y B x y ，则Q( 4 ,0)4, ( , ), ( , )1 12 2k.PQ QA，Q 分PA 的比为 1 .1由定比分点坐标公式得4 x 41 1x (1 )1 1k 1 k1 10 4 y 41 1y111 1下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程：y kx A x y B x y ，则Q( 4 ,0)4, ( , ), ( , )1 12 2k.PQ QA QB ，1 24 4 4 ( , 4) ( x , y ) (x , y )1 1 12 2 2k k k.4 y y ，1 12 2 1 4y1，24y2，又1 2 83，1 1 2y y1 23,即3( y y ) 2y y .1 2 1 2将y kx 4代入2yx2 1得32 2 2(3 k )y24y 48 3k 0 .3 k 0 ，否则l 与渐近线平行.22 24 48 3k. y y , y y1 2 2 1 2 23 k 3 k224 48 3k. k 2 3 22 23 k 3 kQ .( 2,0)解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：y kx 4 ，A x y B x y ,则Q( 4 ,0)( , ), ( , )1 12 2kPQ QA,14 4. ( , 4) ( x , y )1 1 1k k1x1 44k4 4kx1k.同理14kx24.4 4 8.1 2kx 4 kx 4 31 2即 22k x x 5k( x x ) 8 0 . （*）1 2 1 2y kx 又 22yx3 4 1消去y 得(3 k 2)x2 8kx 19 0.当3 k2 0 时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 23 k 0 .由韦达定理有：8k x x1 2 23 k19 x x1 2 23 k代入（*）式得k2 4,k 2 .所求Q 点的坐标为( 2,0) .例11．设动点P 到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1 和d2，2∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sinθ＝λ．（1）证明：动点P 的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于M、N 两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在△PAB 中，AB 2 ，即 2 2 22 d d 2d d cos21 2 1 24 (d d ) 4d d sin ，即2 21 2 1 2 d d d d （常数），21 2 4 4 1 2 sin 2 1 2点P 的轨迹C是以A，B 为焦点，实轴长2a 2 1 的双曲线．方程为： 2 2x y ．11（2）设M x，y ，( )1 1 N( x，y )2 2①当MN 垂直于x轴时，MN 的方程为x 1，M (1，1) ，N (1，1) 在双曲线上．即 1 1 1 2 1 0 1 5 ，因为0 1，所以 5 11 2 2②当MN 不垂直于x轴时，设MN 的方程为y k(x 1) ．．由12 2x y 1得：(1 )k 2 x2 2(1 )k 2x (1 )(k 2 ) 0 ，y k(x1)由题意知：(1 )k 2 0 ，所以 22k (1 )x x1 2 2(1 )k ， 2(1 )(k )x x1 2 2(1 ) k．于是： 2 2k2y1 y2 k (x1 1)(x2 1) 2(1 )k．因为OM ON 0，且M ，N 在双曲线右支上，所以(1 )x x y y 0 k (1 )21 2 1 2 212x x 0 1 11 22 2x x 0 1 0k1 21 5 1 22 3．由①②知， 5 1 2≤．23解法2：（1）同解法 1（2）设M x，y ，N (x2，y2 ) ，MN 的中点为( )1 1 E x ，y ．( )0 0①当x1 x2 1时，MB 2 1 2 1 0，1因为0 1，所以 5 12；②当x x 时，1 2112x122x2y122y11k MN1xy．y 又0 k kMN BEx0 1 ．所以(1 ) y2 x2 x ；0 0 0由∠得MON22MNx y ，由第二定义得2 20 022 2MN e( x x ) 2a1 22 221 12x x x ．1 (1 ) 20 0 01 1所以(1 ) y2 x2 2(1 )x (1 )2 ．0 0 0于是由 2 2(1 ) y x x ,0 0 02 2 2(1 ) y x 2(1 )x (1 ) ,0 0 0 得x(1 )2 32.因为x0 1，所以 2(1 )2 3，又0 1，1解得： 5 1 22 3 ．由①②知 5 1 2≤．2 3考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆 E 的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，离心率为 3，过点C( 1,0) 的直线交椭圆 E 于3 A、B 两点，且CA 2BC ，求当AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为 33，故可设椭圆方程为2x2 3y 2 t(t 0) ，直线方程为my x 1，由 2 22x 3y t 得：(2m 2 3)y2 4my 2 t 0 ，设A(x 1,y1),B(x 2 ,y2) ，my x 14m 则y y1 2 22m 3 ,,,, ①yA又CA 2BC，故(x 1,y ) 2( 1 x , y ) ，即y1 2y2 ,,,, ②1 12 2C8m4m 由①②得：，，yy1 22 22m 32m 31 m则＝ 6 6 S | y y | 6 | |AOB 1 2 22 2m 33 22 | m || m | ，Box当m2 32 ，即m 62时，AOB 面积取最大值，此时 22 t 32my y1 2 2 2 22m 3 (2m 3) ，即t 10 ，所以，直线方程为x 6 y 1 02，椭圆方程为2x2 3y2 10.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13．已知PA (x 5, y) ，PB (x 5, y) ，且| PA | | PB| 6 ，求| 2x 3y 12 | 的最大值和最小值. 解答过程：设P(x, y) ，A( 5,0) ，B( 5,0) ，因为| PA | | PB| 6，且| AB| 2 5 6 ，所以，动点P 的轨迹是以A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，椭圆方程为 2 2x y9 4，令x 3cos , y 2sin ，1则| 2x 3y 12 |＝| 6 2 cos( ) 12 |， 4当cos( )14时，| 2x 3y 12|取最大值12 6 2，当cos( ) 1时，|2x 3y 12|取最小值12 6 2 . 4小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.2x例14．已知椭圆y 的左焦点为F，O 为坐标原点.2 12（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G，求点G 横坐标的取值范围.考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程：（I）a2 2,b2 1, c 1,F ( 1,0), l : x 2.圆过点O、F，圆心M 在直线 1x 上.2 y设M ( 1 ,t ), 则圆半径( 1)( 2) 3.r2 2 2B由OM r, 得解得t 2.1 32 2( ) t ,2 2l AF G O x所求圆的方程为 1 92 2(x ) ( y 2) .2 4 （II）设直线AB 的方程为y k( x1)(k 0),代入 2 x2 y2 1,整理得 2 2 2 2(1 2k )x 4k x 2k 2 0.直线AB 过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.记A(x , y ), B(x , y ), AB中点1 12 2 N(x , y ),0 0则 24kx x1 2 22k 1,AB的垂直平分线NG 的方程为 1y y ( x x ).0 0k 令y 0,得2 2 22k k k 1 1x x kyG 0 0 2 2 2 22k 1 2k 1 2k 1 2 4k 21k 0, x 0,G2.点G 横坐标的取值范围为( 1 ,0).2 2 2x y例15．已知双曲线C：，B 是右顶点， F 是右焦点，点 A 在x 轴正半轴上，且满1(a 0,b 0) 2 2a b足|OA |,| OB|,| OF| 成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P，（1）求证：PA OP PA FP；（2）若l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA |,| OB|,| OF| 成等比数列，故|OA | 2 2|OB | a| OF| c ，即2aA( ,0)c，直线l ：y a (x c)b ，y由ay (x c)2a abbP( , )b c cy xa，DPE F故：则：2 2ab a ab b abPA (0, ),OP ( , ), FP ( , )，c c c c c2 2a b，即P A OP PA FP ；PA OP PA FP2cO AB x（或PA (OP FP) PA (PF PO) PA OF 0，即PA OP PA FP）（2）由a4 4 4 2y (x c) a a a c2 2 2 2b (b )x 2 cx ( a b ) 02 2 2b b b2 2 2 2 2 2b x a y a b，4 2a c2 2( a b )2bx x 0 由1 2 4a2b4 4 2 2 2 2 2b a bc a a e 2 e 2. 得：2 2 2 2 2b c a a e 2 e 2 ）2ba bk k（或由DF DOb a小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知 a (x,0) ，b (1, y) ，(a 3b) (a 3b) ，（1）求点P(x, y) 的轨迹 C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0) 与曲线 C 交于A、B 两点，D(0, 1) ，且|AD | | BD |，试求m 的取值范围.解答过程：（1）a3b ＝(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，a 3b ＝(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，因(a 3b) (a 3b) ，故(a 3b) (a 3b) 0 ，即(x 3, 3y)(x 3, 3y)x 3y 3 0，x 故P点的轨迹方程为32y 1.（2）由y kx m2 2x 3y 3得： 2 2 2(1 3k )x 6kmx 3m 3 0 ，设A(x ,y ),B(x ,y ) ，A、B 的中点为M(x 0,y0)1 12 2则 2 2 2 2 2 (6km) 4(1 3k )( 3m 3) 12(m 1 3k ) 0，6km x x1 2 21 3k ，xx x 3km1 20 22 1 3k，my kx m0 0 21 3k，3km m即A 、B 的中点为( 2 , 2 )1 3k 1 3k，则线段AB 的垂直平分线为：m 1 3kmy ( )(x )2 21 3k k 1 3k，将D(0, 1) 的坐标代入，化简得： 24m 3k 1，则由2 2m 1 3k 0得：24m 3k 12m 4m 0，解之得m 0 或m 4 ，又 24m 3k 1 1，所以m 1 4 ，故m 的取值范围是1( ,0) (4, ) 4.小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例17．已知A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O，且AC BC 0，| BC| 2|A C| ，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q使PCQ 的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得P Q λAB ？请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0) ，2 2x y1，不妨设在轴上方，C x2 yOCWORD文档4 b设椭圆方程为A 由椭圆的对称性，| B C | 2 | A ，又AC BC 0 AC OC ，即ΔO C A为等腰直角三角形，B PQx由A(2,0) 得：C(1,1)，代入椭圆方程得： 2 4b3，即，椭圆方程为2 2x 3y4 41；（2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB ，即A B // PQ ，由C(1,1)得B( 1, 1) ，则kAB 0 ( 1) 1 2 ( 1) 3，若设CP：y k(x 1) 1，则CQ：y k(x 1) 1，由2 2x 3y4 41 2 2 2(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0 ，y k(x 1) 1由C(1,1)得x 1是方程 2 2 2(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0的一个根，由韦达定理得：23k 6k 1x x 1P P 21 3k，以k 代k 得x23k 6k 1Q 21 3k，故k PQ y y k(x x ) 2k 1P Q P Qx x x x 3P Q P Q，故AB // PQ，即总存在实数λ，使得PQ λAB .评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例18．设G、M 分别是ABC 的重心和外心，A(0, a) ，B(0,a)(a 0) ，且G M AB ，（1）求点 C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m，使m 过点(a,0) 并且与点 C 的轨迹交于P、Q 两点，且OP OQ 0？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x, y) ，则x yG( , )3 3，因为G M AB ，所以GM // AB ，则xM( ,0)3，由M 为ABC 的外心，则| MA | | MC |，即x x2 2 2 2 ( ) a ( x) y3 3，2 2x y整理得：；1(x 0)2 23a a（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a) ，y k(x a)由 2 2x y2 2 1(x 0)得： 2 2 2 2 2(1 3k )x 6k ax 3a (k 1) 0，3a a设P(x1,y1),Q(x 2 ,y2) ，则26k ax x1 2 21 3k，2 23a (k 1)x x1 2 21 3k，2 22k a 2 2 2y y k ( x a ) ( x a ) k [ x x a ( x ＝x ) a ]，1 2 1 2 1 2 1 2 21 3k由OP OQ 0得：x1x2 y1y2 0，即2 2 2 23a (k 1) 2k a2 21 3k 1 3k0 ，解之得k 3，又点(a,0) 在椭圆的内部，直线m 过点(a,0) ，故存在直线m，其方程为y 3(x a) .小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.专题训练1．如果双曲线经过点(6, 3) ，且它的两条渐近线方程是y 1 x3，那么双曲线方程是2 2 2 2x y x y2．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为1 12 22 23m 5n 2m 3n2 2x y3．已知F1,F2 为椭圆MF 垂直于x 轴，的焦点，M 为椭圆上一点，1(a b 0)12 2a b且F1MF2 60 ，则椭圆的离心率为2 2x y4．二次曲线，当m [ 2, 1]时，该曲线的离心率 e 的取值范围是14 m2 25．直线m 的方程为y kx 1，双曲线 C 的方程为x y 1，若直线m 与双曲线 C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是x2 y2 4 ，若抛物线过点A( 1,0) ，B(1,0) ，且以圆的切线为准线，则抛物线的6．已知圆的方程为焦点的轨迹方程为2 2x y 上一点，若0 1 7．已知P 是以F1 、F2 为焦点的椭圆1( 0)PF ，则a b PF1 PF tan 1 F222 2a b 2 椭圆的离心率为______________ .2 28．已知椭圆x +2y =12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长4 ，点 A 的坐标是______________ .13为32 2x y9．P 是椭圆上的点，F ,F 是椭圆的左右焦点，设11 24 3差是______________ . |PF | |PF | k ，则k 的最大值与最小值之1 210．给出下列命题：2 2①圆(x 2) (y 1) 1关于点M( 1,2) 对称的圆的方程是2 2(x 3) (y 3) 1；2 2x y右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为29②双曲线116 9 2③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点( 4, 3) 的抛物线方程只能是y2 9 x；4；④P、Q 是椭圆x2 4y2 16上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为 14等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ .，则|OP |2 | OQ|211．已知两点A( 2,0) ，B( 2,0) ，动点P 在y 轴上的射影为Q，P A PB 2PQ ，2 （1）求动点P 的轨迹 E 的方程；（2）设直线m 过点A，斜率为k，当0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线m 的距离为 2 ，试求k 的值及此时点 C 的坐标.12．如图，F1( 3,0) ，F2 (3,0) 是双曲线 C 的两焦点，直线x 4是双曲线 C 的右准线，A1,A 2 是双曲3线C 的两个顶点，点P 是双曲线 C 右支上异于A的一动点，直线A1P、A2P交双曲线 C 的右准线2分别于M,N 两点，y（1）求双曲线 C 的方程；P（2）求证：F M F N 是定值.1 2 MF1 F2A1 oA2x13．已知OFQ的面积为S，且OF FQ 1 ，建立如图所示坐标系，N y（1）若S 1，| OF| 2，求直线FQ 的方程；Q 2（2）设| OF| c(c 2) ，S 3 c，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q，求当4oF| O Q取| 得最小值时的椭圆方程.x14．已知点H( 3,0) ，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0 ，，3PM MQ2（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C；（2）过点T( 1,0) 作直线m 与轨迹 C 交于 A 、B 两点，若在x 轴上存在一点y E(x ,0) ，使得ABE 为等边三角形，求x0 的值. Po Q EHT2 2M x x y 的长、短轴端点分别为A、B，从此椭A15．已知椭圆1( 0)a b2 2a bB 圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F ，向量AB与OM 是共线向1量．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q 是椭圆上任意一点，F1 、F2 分别是左、右焦点，求∠F1QF 的取值范围；216．已知两点M （-1，0），N（1，0）且点P 使MP MN, PM PN, NM NP 成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为(x0 , y0 ) ，为PM与PN 的夹角，求tanθ．【参考答案】1．提示，设双曲线方程为(1 x y)( 1 x y)，将点(6, 3) 代入求出即可.3 32．因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为 2 2( 3m 5n ,0) ，双曲线焦点为(2m 3n ,0) ，由2 2.3m 5n 2m 3n 得| m | 2 2 |n|，所以，双曲线的渐近线为y 6 | n | 3 x2 2 2 22 |m | 43．设|MF1 | d ，则| MF2 | 2d，| F1F2 | 3d， e c 2c | FF | 3d 3.1 2a 2a | MF | |MF | d 2d 31 24.曲线为双曲线，且 5 12 ，故选C；或用 2a 4 ，2b m 来计算.5．将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵PF1 PF 0 ，∴2 PF1 PF .2又 1tan PF1 F2 ∴2 P F1PF12PF2PF222a(2 c) 2PF21PF12c 2 5 c 59, 3解得：．( ) ea a8．解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由y=x-x 0 可得3x2-4x0x+2x 02-12=0，x2+2y2=124x0x ，x1 2322x 12x ，则x1 232 216x 8x 48 22 20 0| 1 x | ( x x ) 4x x 36 2xx ．2 1 2 1 2 09 3 34 14 4 14 2x2 x x ，即∴ 1 | | 21 23 3 3 ∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）．36 22x ．9．1； 2 2 2k |PF | | PF | (a ex)(a ex) a e x .1 210．②④.11．解（1）设动点P 的坐标为(x, y) ，则点Q(0, y) ，PQ ( x,0) ，PA ( 2 x, y) ，PB ( 2 x, y) ， 2 2PA PB x 2 y ，因为 2PA PB 2PQ ，所以2 2 2x 2 y 2x ，即动点P的轨迹方程为： 2 2y x 2 ；（2）设直线m：y k(x 2)(0 k 1) ，依题意，点 C 在与直线m 平行，且与m 之间的距离为 2 的直线上，设此直线为m : y kx b，由1 |2k b |2k 12 ，即2b 2 2kb 2，,, ①把y kx b 代入 2 2y x 2 ，整理得：2 2 2(k 1)x 2kbx (b 2) 0，则 2 2 2 24k b 4(k 1)(b 2) 0，即2 2b 2k 2 ，,,,, ②由①②得：k 2 55 ，b 105，此时，由方程组2 5 10y x5 52 2y x 2C(2 2, 10).12．解：（1）依题意得： c 3，2a 4c 3，所以a 2 ， 2b 5 ，所求双曲线 C 的方程为2 2x y4 51；（2）设P(x ,y ) ，M(x 1,y1) ，N(x 2,y2 ) ，则A1( 2,0) ，A 2(2,0) ，0 0A P (x 2,y )，1 0 0 A P (x 2,y ) ，2 0 010A M ( ,y )1 13， 2A N ( , y )2 23，因为10A P与A1M 共线，故(x 0 2)y 1 y 013，y110y3(x 2)，同理：y22y3(x 2)，13则F1M ( , y1)35，F2N ( ,y2)3，所以65FM F N ＝y1y 21 29＝26520y29 9(x 4)＝25(x 4)2065 4 1029 9(x 4).13．解：（1）因为| O F| 2 ，则F(2,0) ，OF (2,0) ，设Q(x ,y ) ，则0 0 FQ (x 2,y ) ，0 0OF FQ 2(x 2) 1，解得0x0 5 2，1 1 1 5 1由S | OF | |y| | y | yQ( , )，得，故0 0 02 2 2 2 2所以，PQ 所在直线方程为y x 2 或y x 2 ；，（2）设Q(x ,y ) ，因为| O F| c(c 2) ，则FQ (x 0 c,y0) ，0 0由OF FQ c(x c) 1得：x0 c0 1 c ，1 3S c | y | c 又02 4y，则032，1 3 Q(c , )c 2 ，2 1 2 9| OQ | (c )c 4，易知，当 c 2时，|OQ |最小，此时5 3Q( , )2 2，2 2x y2 2a b 1,(a b 0)，则2 2a b 425 92 24a 4b，解得12a 102b 6设椭圆方程为，2 2x y所以，椭圆方程为 1 .10 63 14．解：（1）设M(x, y) ，由PM MQ2 得：yP(0, )2，xQ( ,0)3，由HP PM 0得：y 3y(3, )(x, ) 02 2，即 2y 4x ，由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0，即动点M 的轨迹 C 是以(0,0) 为顶点，以(1,0) 为焦点的抛物线，除去原点；（2）设m: y k(x 1)(k 0) ，代入y2 4x 得：2 2 2 2k x 2(k 2)x k 0 ,,,, ①设A(x ,y ) ，B(x 2 ,y2 ) ，则x1,x2 是方程①的两个实根，1 122(k 2)x x ，x1x2 1，所以线段AB 的中点为则1 2 2k22 1 2 k线段AB 的垂直平分线方程为，y (x )2k k k22 k 2 ( , )2k k，令y 0， 2，得x 10 2k2E( 1,0)2k，因为ABE 为正三角形，则点 E 到直线AB 的距离等于 3 |AB |2 ，又 2 2 | AB | (x x ) (y y ) ＝1 2 1 224 1 k2k21 k，所以，42 3 1 k 22k |k|21 k，解得：k 32x，0113.15．解：（1）∵2bF c x c y 1 ( , 0),则, ，∴1 ( , 0), 则, ，∴M MakOM2bac.bk AB , 与是共线向量，∴∵OM ABaFQ r , F Q r , F QF , （2）设 1 1 2 2 1 2r r 2a, F F 2c,1 2 1 22bacba，∴b=c,故 2e .22 2 2 2 2 2 2r r 4c (r r ) 2r r 4c a a1 2 1 2 1 2cos 1 1 0r r2 2 ( )r r r r r r1 221 2 1 2 1 22当且仅当r1 r2 时，cosθ=0，∴θ][0, .216．解：（Ⅰ）记P（x,y），由M （-1，0）N（1，0）得PM MP x y PN NP ( 1 x, y) ，MN NM (2,0) .( 1 , ),2 y2所以MP MN 2(1 x) . PM PN x 1 ，NM NP 2(1 x) .于是，MP MN ,PM PN, NM NP 是公差小于零的等差数列等价于2 x 2(12yx)12(112[ 2(1x) 0x) 2(1 x)]即2xx 02y 3 .所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.2 2（Ⅱ）点P 的坐标为(x0 , y0 ) 。

高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。

解析几何解答题技巧
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。

在解析几何的解答题中，需要注意以下几点技巧：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或参数方程。

坐标系的建立有助于将几何问题转化为代数问题，便于进一步求解。

2. 设点坐标：根据题目要求，设出未知点的坐标。

设点坐标时需要注意，所设的坐标应尽量满足题目的条件，便于求解。

3. 列出方程：根据题目的已知条件和设定的坐标，列出所需的方程。

列方程时需要注意，方程应尽可能简单，便于求解。

4. 解方程：根据所列的方程，解出未知数的值。

解方程时需要注意，解方程的方法应尽可能简单，便于计算。

5. 验证答案：解出答案后，需要进行验证，确保答案符合题目的条件和已知条件。

验证答案时需要注意，答案应尽可能准确，避免出现误差。

6. 总结答案：最后需要对答案进行总结，写出完整的答案。

总结答案时需要注意，答案应尽可能清晰，便于阅读和理解。

总之，在解析几何的解答题中，需要注意建立坐标系、设点坐标、列出方程、解方程、验证答案和总结答案等技巧。

同时还需要注意计算准确、思路清晰、表达简洁等要求。

2024年高考数学拿120分的全攻略总结2024年高考数学考试拿满分的全攻略总结1. 努力学习数学基础知识：高考数学考试的题目主要来自于中学数学的基础知识，所以要先打牢基础。

逐章逐节复习教材内容，掌握概念、定理和公式，做好笔记整理，加深记忆。

2. 高效利用教材和辅导资料：使用好教材和辅导资料对提高数学成绩非常重要。

建议选用教育部推荐的教材，参考人教版、北师大版等。

同时，还可以从市面上购买一些名师的辅导资料，进行巩固和拓展。

3. 多做真题和模拟题：通过做真题和模拟题，可以熟悉考试的题型和考点，提高解题能力和应试能力。

可以选择每周安排一个固定的时间段，专门用来做真题和模拟题，同时要认真分析自己的错题，找出解题方法和思路上的问题，及时改正。

4. 注重解题技巧和方法：掌握一些解题技巧和方法，能够帮助在考试中更快更准确地解题。

例如，可以学习利用等式性质、函数性质进行变形和化简，学会运用图形解题的方法和技巧等。

还可以参考一些解题技巧的书籍或网络资料，进行学习和实践。

5. 积极参加课外辅导和训练班：可以报名参加一些数学的课外辅导和训练班，通过和其他同学一起学习和交流，提高学习动力和解题能力。

辅导班可以有针对性地进行突破和强化，同时还能接触到更多考试相关的知识和技巧。

6. 做好时间管理和复习规划：在备考过程中，要合理安排时间，制定详细的复习计划，并按计划进行复习和练习。

要保持良好的作息和饮食习惯，保证充足的睡眠和精神状态。

7. 自信和冷静应对考试：在考试中要保持自信和冷静，不因一些小错误而放弃信心，注意审题，认真答题。

若遇到难题，先尝试解决，若时间不足，也不要纠结于这道题上，及时转到下一题。

总结起来，想要在2024年高考数学考试中取得满分，关键在于打好基础，多做真题，掌握解题技巧，参加课外辅导，合理安排时间，保持自信和冷静应对考试。

这些方法和策略需要长期的积累和实践，希望你能够坚持，并且相信自己的能力。

祝你取得好成绩！。

2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为 ．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。

2024年高考数学第一轮复习解题思路总结随着高考的临近，数学复习也进入了关键的阶段。

为了能够顺利备战高考数学，学生们需要理清数学知识的脉络，掌握一定的解题思路和方法。

本文将从数学各个板块出发，总结2024年高考数学第一轮复习的解题思路和要点。

1. 函数与方程函数与方程作为高考数学的基础，是各种高等数学知识的基础。

在复习中，对于函数与方程的掌握至关重要。

首先，要掌握基本的函数与方程的概念和性质，包括一元二次方程、一次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。

要熟悉这些函数的图像和特点，能够准确地画出函数的图像和描述函数的性质。

其次，要掌握函数与方程的解法和应用。

对于一元二次方程，要熟悉求解一元二次方程的方法，包括因式分解法、配方法、根的判别式、完全平方公式等。

对于一次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，要掌握相应的解法和应用，能够求解函数和方程的零点、最值、极值等。

最后，要注意函数与方程的综合应用。

在复习中，要注重函数与方程的应用题，特别是与实际问题相关的应用题。

要熟悉建立函数模型和方程模型的方法，能够将实际问题转化为函数与方程，从而解决问题。

2. 解析几何解析几何是高考数学中的重要部分，也是考察学生几何思维和空间想象能力的重要手段。

首先，要熟悉平面直角坐标系和空间直角坐标系，掌握坐标变换的方法。

要能够根据给定的坐标条件确定图形的位置和几何特征，能够解决点、线、面的位置关系、相交关系和对称关系等问题。

其次，要熟练掌握解析几何的基本定理和性质。

包括直线的方程、平面的方程、圆的方程等，要能够根据给定的条件求解方程和解决相应的问题。

最后，要注重解析几何的应用题。

要熟悉解析几何的应用方法，能够将实际问题转化为几何问题，并解决问题。

要能够解决距离、面积、体积等问题，并应用相应的几何定理和性质求解。

3. 概率统计概率统计是高考数学中的重要考点，涉及到概率、统计、函数、方程等多个知识点的综合运用。

首先，要掌握基本的概率与统计的概念和技巧。

2024年高考数学知识点与方法大全PDF2024年高考数学知识点与方法大全PDF对于即将参加2024年高考的同学们来说，数学是一门非常重要的科目，它不仅能够拉开分数差距，还能锻炼学生的思维能力和解决问题的能力。

为了帮助大家更好地备战高考，本文将为大家介绍一些数学知识点和解题方法，同时也会提供一份完整的高考数学知识点总结PDF文件，方便大家进行查阅和复习。

一、高考数学知识点总结1、函数与导数：这部分内容是高考数学中的重点和难点，主要涉及函数的性质、定义域、值域、奇偶性、周期性等，同时还包括导数的概念、运算法则以及应用。

2、三角函数：三角函数是高考数学中的必考知识点，主要涉及正弦、余弦、正切等函数的图像和性质，以及三角函数的恒等变换和最值问题。

3、不等式：不等式是高中数学中的一个重要知识点，主要涉及不等式的性质、证明和求解方法，包括比较法、综合法、分析法等。

4、数列：数列是高考数学中的必考知识点，主要涉及等差数列、等比数列的性质和通项公式，以及数列的求和、求通项等方法。

5、解析几何：解析几何是高考数学中的重要知识点，主要涉及直线、圆、椭圆、双曲线等曲线的方程和性质，以及曲线的交点、距离、面积等计算方法。

6、立体几何：立体几何是高考数学中的必考知识点，主要涉及平面几何与空间几何的基本概念、性质和定理，以及空间几何体的表面积、体积、角度、平行、垂直等计算方法。

7、排列组合与概率：排列组合与概率是高考数学中的必考知识点，主要涉及排列组合的基本概念和计算方法、概率的基本概念和计算方法，以及条件概率、独立事件、贝叶斯公式等应用。

二、高考数学解题方法1、解题思路：在解题时，首先要明确题目所涉及的知识点，从已知条件出发，逐步推导出未知条件，最终得到答案。

2、解题技巧：在解题时，还需要掌握一些技巧，例如图像法、逆推法、特殊值法等，可以根据不同的题型选择合适的解题方法。

3、解题心法：在解题时，还需要注意一些心法，例如细心审题、沉着冷静、先易后难等，以避免因心态问题而犯错。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.2两条直线的位置关系最新考纲1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12l l k k ⋅＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)题组二教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于()A.2B ．2－2 C.2－1D.2＋1答案C 解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案1解析由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析＝2x ，＋y ＝3，＝1，＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于()A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2m ＝2或－3.故选C.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案324解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解(1)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2－a2＝11－a ，3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2(a－1)－1×2＝0，(a2－1)－1×6≠0，2－a－2＝0，(a2－1)≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.a≠－1时，l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2018·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，当直线l1∥l2时，满足3＋m2＝45＋m≠5－3m8，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B.(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二两直线的交点与距离问题1．(2018·西宁调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是()A ．－23 B.23C ．－32D.32答案A解析由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得1，又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案－16，解析方法一＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴又∵交点位于第一象限，，，解得－16<k <12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P点坐标为________________．答案(1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②a ＝1，b ＝－4a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)277，－87思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A (4,0)，B(0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是()A ．33B ．6C ．210D ．25答案C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x －2y ＋3＝0解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，－y ＋y 02＋2＝0，(y －y 0)，0＝y －2，0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有1，B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②′＝－4x ＋3y －95，③′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解方法一－2y ＋4＝0，＋y －2＝0，得P (0,2)．∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案C解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于()A ．－1或3B ．－1C ．－3D ．1或－3答案A解析当m ＝0时，显然不符合题意；当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()A ．－10B ．－2C ．0D ．8答案A解析因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是()A ．2x －y ＋8＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y －1＝0答案D 解析方法一因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为()A.423B ．42 C.823D ．22答案C解析∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|2＝823.6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.1 2B．－12C．2D．－2答案A解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝1－0－1－(－3)＝12.7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1＋y－6＝0，－y＝0，易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案34 5解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m＋n＝34 5 .9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．答案x－2y＝0解析＝2x＋3，＝x＋1，解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，＝－1，－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝7510，所以|a ＋12|5＝7510，即|a ＋12|＝72，又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12|c ＋12|5，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，＝19，0＝3718.所以存在点P 13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则2＝－1，2×－4＋x2，解得＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝3－2－1－(－4)(x＋4)，即x－3y＋10＝0.x＋y－10＝0，－3y＋10＝0，＝2，＝4，则C(2,4)．故选C.14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C．23D．25答案A解析＝2x，＋y＝3，解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝m2＋n2＝(5＋2n)2＋n2＝5(n＋2)2＋5≥5，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为()A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案B解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0,2)，故AB k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点，b P 关于点(2,4)－m ，8－b ∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。

热点09 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：55分钟）1．（2019·福建三明一中高三月考）已知1F，2F为椭圆2222:1,(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30︒的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥，122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程是（ ）A ．22184x y +=B ．22182x y +=C ．22162x y +=D ．22164x y +=【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，不妨设点(),A x y 位于第一象限，根据12AF AF ⊥，得到1212==OA F F c ，根据OA 与x 轴正方向的夹角为30︒，得到1,2⎫⎪⎪⎝⎭A c ，从而由122F AF S ∆=求出2c =，)A，得到22311a b+=，224a b -=，联立，即可求出结果. 【详解】因为过原点O 且倾斜角为30︒的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ， 不妨设点(),A x y 位于第一象限，因为12AF AF ⊥，所以12AF F ∆为直角三角形，因此1212==OA F F c ； 又OA 与x 轴正方向的夹角为30︒，所以cos302==ox OA c ，1sin 302==oy OA c ，即1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A c c ；所以12112222F AF S c c ∆=⋅⋅=，解得：2c =，所以)A ；因此22311a b +=①， 又2224a b c -==②，由①②解得：2262a b ⎧=⎨=⎩，因此所求椭圆方程为22162x y +=.故选：C【名师点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性 质即可，属于常考题型.2．（2019·贵州高三月考（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，Q 为抛物线上一点，连接PF 并延长交抛物线的准线于点P ，且点P |2||=PQ QF ，则直线PF 的方程为（ ）A 0y -=B 0y +C 0y -=0y +D ．10x -= 【答案】D 【解析】 【分析】根据P 的纵坐标为负数，判断出直线PF 斜率大于零，设直线PF 的倾斜角为θ，根据抛物线的定义，求得cos θ的值，进而求得θ，从而求得tan θ也即直线PF 的斜率，利用点斜式求得直线PF 的方程. 【详解】由于P 的纵坐标为负数，所以直线PF 斜率大于零，由此排除B,C 选项.设直线PF 的倾斜角为θ.作出抛物线24y x =和准线1x =-的图像如下图所示.作QA PA ⊥，交准线1x =-于A 点.根据抛物线的定义可知QF QA =，且QFx AQP θ∠=∠=.依题意|2||=PQ QF ，故在直角三角形PQA 中cos 2QA QF PQ PQ θ===，所以π6θ=，故直线PF 的斜率为πtan63=，所以直线PF 的方程为)013y x -=-，化简得10x -=.故选：D.【名师点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．（2019·广东实验中学高三月考（理））(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m --+<，解得m 范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论． 【详解】由方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线，可得()()2560m m m ---<，即()()()5320m m m --+<即2m <-，或35m <<，∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件，故选：A【名师点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2019·全国高三月考（理））双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，以F为圆心的圆()2232x y -+=与双曲线C 的两条渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22172x y -=B ．22271x y -=C ．22181x y -=D ．22118x y -=【答案】A 【解析】 【分析】由已知圆的圆心即为焦点，可得c 的值，利用渐近线和圆相切，列方程求出,a b ，即可得双曲线的方程. 【详解】由题意知：3c =，有229a b +=，()3,0到0bx ay -==得()222292182b a bb=+=⇒=，27a =，故双曲线C 的方程为22172x y -=.故选A.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和性质，考查渐近线方程的应用，考查学生计算能力，是基础题.5．（2019·广东高三月考（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的斜率 101132k --==- ，2211222222221{1x y a bx y a b+=+= ，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+= ，即()()()()121222221212111120022y y y y a b x x x x a b +-+=⇔+⨯⨯=+-- ，即222a b = ，22229,c a b c ==+ ，解得：2218,9a b == ，方程是221189x y +=，故选D.6．（2019·安徽高三月考（理））已知2F 是双曲线22:193x yC -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ）A ．9B ．8 C．D．【答案】A 【解析】【分析】由212AF AF a =+，AB 的最小值是AE r -，转化为求1AF AE +的最小值即为1EF ． 【详解】双曲线22193x y -=中3a =，b =c ==1(F -，圆E 半径为1r =，(0,2)E -，∴21126AF AF a AF =+=+，1AB AE BE AE ≥-=-（当且仅当,,A E B 共线且B 在,A E 间时取等号．∴2AB AF +11615AF AE AF AE ≥++-=++1559EF ≥+==，当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号．∴2AB AF +的最小值是9． 故选：A ．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径．7．（2019·河北高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C b a a b -=>>的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且5PB BQ =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32C D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将直线BF 与双曲线渐近线联立，可求得x 的值；利用5PB BQ =u u u r u u u r可得5P Q x x =-，将x 的值代入，可得320a c -=，从而求得离心率. 【详解】由题可知，(),0F c -，()0,B b则直线BF 方程为1x y c b+=- 又双曲线C 渐近线方程为b y x a=±由1x yc bb y x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=±⎪⎩可解得ac x c a =-或ac x a c =-- 由5PB BQ =u u u r u u u r可知，5P Q x x =- 由题可知：P ac x c a =-，Q ac x a c =--，则5ac acc a a c=-⨯--- 化简得320a c -=，所以32c e a == 【名师点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到,a c 的齐次方程，通过方程求得离心率.8．（2019·山东济南外国语学校高考模拟（理））已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ） AB．2-C-D1【答案】A 【解析】 【分析】设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，再次利用椭圆的几何性质可 得142QF a m =-，利用11QF =求得m 后再利用12PF F ∆ 为直角三角形得到关于a,c 的方程，进而可求得椭圆的离心率. 【详解】设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，因为11QF =，故(4m a =-.因222212124PF PF F F c +==，故()()2224244a a a c ⎡⎤-+--=⎣⎦，整理得到2436c a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭c a == A.【名师点睛】圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组． 二、填空题9．（2019·山东高三）直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，且与C 交于,A B两点，则p =______，11AF BF+=______． 【答案】2 1 【解析】 【分析】 由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =．联立方程，利用韦达定理可得结果. 【详解】 由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =． 当直线AB 斜率不存在时：1x =代入，解得2AF BF ==，从而111AF BF+=． 当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为()1y k x =-，联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，整理，得()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩从而12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++． （方法二）利用二级结论：112AF BF p+=，即可得结果．【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题.10．（2019·浙江高三期中）已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.【答案】12【解析】 【分析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=. 【详解】 设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ，即2c a m=所以2c m c m+= 化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率 所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e = 因为双曲线中1e >所以12e +=【名师点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题.11．（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B=u u u r u u u r，则k =___.【答案】21 【解析】 【分析】根据对称性和中位线判断12QF F ∆为等腰直角三角形，根据椭圆的定义求得离心率.设()()1122,,,A x y B x y 根据113AF F B =u u u r u u u r得到123y y =-，设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和椭圆方程，根据根与系数关系列方程，解方程求得k 的值.【详解】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率πcos 4c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220m y mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =u u u r u u u r ，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1）2；（2）1.【名师点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查直线和椭圆相交的交点坐标有关计算，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，运算能力要求较强，属于中档题.12．（2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.【解析】 【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得3,22P ⎛-⎝⎭，所以212PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.三、解答题13．（2019·重庆高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P O 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u r u u u r为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74- 【解析】 【分析】（1）根据已知求出,a b 即得椭圆C 的标准方程；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，设(),0R m ，利用韦达定理和向量的数量积求出52m =-，此时RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，求出此时点R也 满 足前面的结论，即得解. 【详解】(1)依题意，得2c b ==， 则222448a b c =+=+=，故椭圆的标准方程为22184x y +=.()2①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，代人椭圆C 的方程，可得()2222218880k k x x k +++-=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+设(),0R m ，则()()1122,,RP RQ x m y x m y =--u u u r u u u rg g()()22222228288421211k k k m k m k k k --++=+-++()2222284821m m k m k +++-=+ 若()2222284821mm k m k +++-+为定值，则22812842m m m -=++，解得52m =- 此时()222228487214mm k m k +++-=-+R 点的坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，代人22184x y +=，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设((,2,P Q --，若5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则11,,22RP RQ ⎛⎛== ⎝⎝u u u r u u u r74RP RQ =-u u u r u u u r g综上所述，在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫⎪⎝⎭，使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.14．（2019·陕西高考模拟（理））已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ．()1求抛物线C 的方程；()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．【答案】（1）2y x =．（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P （3，﹣1）的直线MN 的方程为()13x t y =++，代入y 2=x 利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k 1•k 2的值． 【详解】（1）由题意得21p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()13x t y =++， 代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以()2280t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以()()121212221212121212111111111111111312y y y y k k x x y y y y y y y y t t ----⋅=⋅=⋅====-----+++++--++,所以1k ，2k 是定值．【名师点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．15．（2019·江苏金陵中学高考模拟）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0，其短轴长为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==u u ur u u u r u u u r EQ μuuu r（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）1【解析】【分析】（1）由题意可得b ＝1，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）求得A 的坐标，设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P 的坐标，代入椭圆方程，可得λ2＝22112k +，同理得μ2＝21212k 12k +，即可得λ2+μ2的值． 【详解】（1）因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e＝c a =a 2﹣b 2＝c 2， 解得a，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1； （2）由（1）可得点 A，0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0，由AD DP λ=u u u r u u u r可得x 0＝λ（x 3B x 、﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0），即有x 0＝1101,1x y y λλλλ+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣λ）， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1﹣λ）＝﹣12（x 1﹣λ）， 解得x 1＝()()112211,1212y k k k λλ=++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +，由AE EQ μ=u u u r u u u r可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1．【名师点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线 的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．16．（2019·黑龙江高三期中（理））如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，E 的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的周长为4+（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅰ）设,C D 是椭圆E 上两不同点，//CD AB ，直线CD 与x 轴，y 轴分别交于,M N两点，且,MC CN MD DN λμ==u u u u r u u u r u u u u r u u u r，求λμ+的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅰ）(,2](2,)-∞-⋃+∞.【解析】试题分析：(1)利用题意求得224,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=；(2)利用题意求得λμ+的解析式，结合m 的取值范围可得λμ+的取值范围是(](),22,-∞-⋃+∞.试题解析：（Ⅰ）由题意得：2242a c c e a ⎧+=+⎪⎨==⎪⎩224,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=；（Ⅰ）又()()2,0,0,1A B -，所以12AB k =. 由//CD AB ，可直线CD 的方程为12y x m =+.由已知得()()2,0,0,M m N m -，设()()1122,,,C x y D x y .由221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得：222220x mx m ++-=. ()()222242202m m m ∆=-->⇒<，所以212122,22x x m x x m +=-=-，由MC CN u u u u r u u u rλ=得()()11112,,x m y x m y λ+=--.所以112x m x λ+=-即121m x λ=--，同理221mMD DN x μμ=⇒=--u u u u r u u u r . 所以121122m x x λμ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭ 121222x x m x x +=--⨯ 22222211m m m =-+=--. 由(]()2222,22,1m m <⇒∈-∞-⋃+∞-所以(](),22,λμ+∈-∞-⋃+∞. 【名师点睛】： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．17．（2019·北京高考模拟（理））已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅰ）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB MO ++=u u u r u u u r u u u u r r，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． 【答案】（Ⅰ）22132x y +=，离心率e =Ⅰ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知，得a =c ＝1，所以c e a ===222a b c =+ ，所以b =即可求出椭圆方程及离心率；（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），(),m m M x y ，分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，求出点M 构成的曲线L 的方程为2x 2+3y 2﹣2y ＝0，即可证明. 【详解】（Ⅰ）由已知，得1a c ==，所以3c e a ===， 又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率3e =. （Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B的坐标分别为(0,，(．因为()0,m m MA x y =-u u u r，()0m mMB x y =-u u u r，()0,0m mMO x y=--u u u u r，所以()3,30m m MA MB MC x y ++=--=uuu r uuu r uuu r r ．所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2232630k x kx ++-=，()22236123272240k k k ∆=++=+>． 所以122632k x x k -+=+. 则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--u u u r ，()22,m m MB x x y y =--u u u r ，(),m m MO x y =--u u u u r ， 所以()121203,030m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=uuu r uuu r uuu r r ．所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m k x k -=+，243032m y k =>+， 消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>． 综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭． 把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点的轨迹方程，考查计算能力，属于中档题．。

解析几何大题（原创版）目录1.解析几何大题的概述2.解析几何大题的解题思路3.解析几何大题的解题技巧4.解析几何大题的例题解析5.总结正文解析几何大题是高中数学中非常重要的一部分，也是高考数学中的热点题型。

这种题型主要考察学生的解析几何知识和解题能力，包括对解析几何概念的理解，对解析几何方法的应用，以及对解析几何题目的解析能力。

一、解析几何大题的概述解析几何大题主要涉及到解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线等几何图形，以及它们之间的关系。

这种题型的难度较大，需要学生有较强的逻辑思维能力和数学运算能力。

二、解析几何大题的解题思路解析几何大题的解题思路主要包括以下几个步骤：1.认真阅读题目，理解题意，确定题目要求的解。

2.分析题目，找出题目中的已知条件和待求解的问题。

3.根据已知条件，运用解析几何的相关知识和方法，进行逻辑推理和数学运算。

4.得出结论，并对结论进行验证。

三、解析几何大题的解题技巧解析几何大题的解题技巧主要包括以下几个方面：1.对解析几何中的基本概念和公式有深入的理解，熟练掌握解析几何的方法和技巧。

2.能够灵活运用解析几何中的几何方法、代数方法和几何与代数的结合方法。

3.在解题过程中，要注意保持思路的清晰和逻辑的严密，避免因为粗心大意而造成错误。

四、解析几何大题的例题解析例如，解析几何中的一道经典题目：已知直线 l：y=2x+1，圆 O：(x-1)+(y-2)=5，求直线 l 与圆 O 的交点。

解：首先，根据题目中的已知条件，我们可以列出直线 l 和圆 O 的方程。

然后，通过解析几何中的方法，我们可以求出直线 l 和圆 O 的交点。

五、总结解析几何大题是高中数学中的重点和难点，对学生的逻辑思维能力和数学运算能力有较高的要求。

2024年高考数学大题题型总结及技巧一、选择题1. 勾股定理题目：会给出两个直角三角形边长的关系，让你求解其中一个边长。

一般使用勾股定理或者特殊三角函数来解题。

解题技巧：通过观察哪个角是直角，使用特殊三角函数求解。

2. 向量运算题目：会给出两个向量的关系或者向量的模长，让你计算向量的运算。

解题技巧：首先根据题目给出的向量关系写出方程，然后利用向量的基本运算规则解方程得出结果。

3. 数列问题：会给出数列的前几项或者数列的通项公式，让你计算数列的和或者通项。

解题技巧：根据题目给出的数列关系，使用求和公式或者递推公式求解。

4. 几何证明题目：会给出几何图形或者条件，让你证明某个结论。

解题技巧：根据题目给出的几何图形，观察几何性质，使用几何定理进行证明。

5. 函数题目：会给出函数的定义或者函数的性质，让你计算函数的值或者求函数的极值。

解题技巧：根据题目给出的函数关系，使用函数的性质进行计算。

6. 应用题：会给出一个实际问题，让你运用数学知识解决问题。

解题技巧：首先理清问题，找出与题目相关的数学知识点，然后运用数学知识解决问题。

二、解答题1. 平面向量题目：会给出一些平面向量的条件，让你证明某个结论或者进行计算。

解题技巧：根据平面向量的性质，进行条件的推导或者使用向量的运算进行计算。

2. 集合论题目：会给出一些集合的条件，让你证明某个结论或者进行计算。

解题技巧：根据集合的性质和运算规则进行条件的推导或者使用集合的运算进行计算。

3. 函数题目：会给出一些函数的条件，让你证明某个结论或者进行计算。

解题技巧：根据函数的性质和函数的运算规则进行条件的推导或者使用函数的运算进行计算。

4. 几何问题：会给出几何图形的条件，让你证明某个结论或者进行计算。

解题技巧：利用几何图形的性质和几何定理进行条件的推导或者使用几何的运算进行计算。

5. 解析几何问题：会给出解析几何的条件，让你证明某个结论或者进行计算。

解题技巧：根据解析几何的性质和定理进行条件的推导或者利用解析几何的运算进行计算。

2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结一、复习前的准备1. 了解考纲：仔细阅读高考数学的考纲，明确平面解析几何部分的重点和难点，有针对性地进行复习。

2. 整理知识框架：将平面解析几何的知识点进行整理和归纳，建立知识框架，便于全面复习和查漏补缺。

3. 完善笔记：对之前学过的平面解析几何知识进行复习，逐一检查自己的笔记是否完整，如有漏洞或不理解的地方，及时补充或向同学、老师请教。

4. 制定学习计划：合理分配复习时间，将平面解析几何的复习内容分成小块，按照计划逐一进行复习。

二、基础知识的复习1. 了解基础概念：回顾平面解析几何的基本概念，如点、直线、平面等，并熟悉它们之间的关系和性质。

2. 复习坐标系：重点复习直角坐标系和极坐标系的原理和使用方法，能够熟练转换坐标系和进行坐标计算。

3. 复习向量：回顾向量的定义、运算法则和性质，同时重点理解向量的几何意义和应用。

4. 复习直线与圆的方程：回顾直线的一般方程、斜截式方程和点斜式方程的互相转换，同时复习圆的标准方程和一般方程的建立方法。

三、常见题型的练习1. 直线与圆的方程的联立：熟练掌握直线与圆的方程的联立方法，能够灵活运用，解决实际问题。

2. 直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的切点、交点等性质，能够准确判断直线与圆的位置关系。

3. 三角形的性质：回顾三角形的基本性质，如三角形的内心、外心、重心、垂心等，并理解它们之间的联系，能够应用这些性质解决三角形相关问题。

4. 镜面对称与旋转：通过练习镜面对称和旋转的题目，理解镜面对称和旋转的概念，并能够快速判断图形的镜面对称性和旋转对称性。

5. 预习未学内容：对于一些未学过的内容（如圆锥曲线、二次函数等），可以进行简单的预习，了解基本概念和性质，为高考后的复习打下基础。

四、真题的训练与模拟考试1. 做高考真题：通过做历年高考真题，了解平面解析几何在高考中的考查点和形式，熟悉解题思路和答题技巧，查漏补缺，增强信心。

专题09 解析几何专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．2216416x y +=B ．2211664x y +=C ．22125616x y +=D ．2216432x y +=【答案】A【分析】由题得32ab =，再判断选项得解.【详解】解：矩形ABCD 的四边与椭圆相切，则矩形的面积为22128a b ⋅=，所以32ab =. 只有选项A 符合. 故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为12345,,,,O O O O O ，若双曲线C 以13,O O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A B C ．1311D ．125【答案】B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出双曲线渐近线的方程，结合离心率的意义计算作答.【详解】依题意，以点2O 为原点，直线13O O 为x 轴建立平面直角坐标系，如图，点4(13,11)O −−，设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>，其渐近线为b y x a=±，因直线24O O 为一条渐近线，则有1113b a =，双曲线C 的离心率为e ===故选：B3．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆22:1169x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径．【详解】解：由蒙日圆的定义，可知椭圆22:1169x y C +=的两条切线4x =、3y =的交点()4,3在圆上，所以蒙日圆的半径5R ==. 故选：C ．4．（2022·全国·的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C 为“最美椭圆”，且以椭圆C 上一点P 和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C 的方程为（ ）．A ．2212x y +=B ．22142x y +=C ．22163x y +=D ．22184x y +=【答案】D【分析】先由e =2c a =与2b a =，再由12PF F S 的最大值得4bc =，进而求得28a =，24b =，故可得到椭圆C 的方程.【详解】解：由已知c e a ==c =，故b ，∵121211222PF F P P S F F y c y bc ==⨯≤，即()12max4PF F S bc ==，∴422a a ⨯=，得28a =，故22142b a ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：D ．5．（2022秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A 、B 是MON ∠的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，ACB ∠最大问题的答案是：当且仅当ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P ，Q 的坐标分别是(2,0)，(6,0)，R 是y 轴正半轴上的一动点，当PRQ ∠最大时，点R 的纵坐标为（ ）AB ．2C ．D ．4【答案】C【分析】由米勒定理确定PRQ △的外接圆与y 轴的位置关系，再应用垂径定理、直线与圆关系确定圆心和半径，进而写出PRQ △的外接圆的方程，即可求R 的纵坐标.【详解】因为P ，Q 分别是(2,0)，R 是y 轴正半轴上的一动点， 根据米勒定理知，当PRQ △的外接圆与y 轴相切时，PRQ ∠最大， 由垂径定理知，弦PQ 的垂直平分线必过PRQ △的外接圆圆心， 所以弦PQ 中点G 的坐标为(4,0)，故弦PQ 中点的横坐标即为PRQ △的外接圆半径的大小，即4r =，由垂径定理得圆心为，所以PRQ △的外接圆的方程为22(4)(16x y −+−=，令0x =，得R 的纵坐标为 故选：C6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为28:29，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（ ）A ．159B ．12C ．2956D ．157【答案】D【分析】根据题意可得2829a c a c −=+，进而即得. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ， 由题意可得2829a c a c −=+， 所以57a c =，即157c a =， 因此地球运行轨道所在椭圆的离心率是157． 故选：D.7．（2022秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点,M N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大.”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()()1,2,1,4M N −，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．7−C ．1或1−D ．1或7−【答案】A【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点P 为过M ，N 两点且和x 轴相切的圆与x 轴的切点，求出切点的横坐标即可.【详解】由题意知，点P 为过M ，N 两点且和x 轴相切的圆与x 轴的切点，线段MN 的中点坐标为()03，，线段MN 的垂直平分线方程为3y x −=−， 所以以线段MN 为弦的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x −=−上， 所以可设圆心坐标为(),3C a a −，又因为圆与x 轴相切，所以圆C 的半径3r a =−，又因为CN r =，所以()()()2221343a a a −+−−=−，解得1a =或7a =−，即切点分别为()1,0P 和()7,0P '−，由于圆上以线段MN （定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，，且过点,,M N P '的圆的半径比过,,M N P 的圆的半径大，所以MP N MPN '∠<∠，故点()1,0P 为所求，所以当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是1. 故选：A.8．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点， 且 |AB | = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ） A ．到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线 B ．到,A B 两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆 C ．到,A B 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆 D ．到,A B 两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线 【答案】D【分析】判断到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;C,D .【详解】对于A ，到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，正确； 对于B ，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()2,0,2,0A B −，设动点(,)P x y ，由题意知||2||PA PB =,2= ，化简为221064()39x y −+=， 即此时点的轨迹为圆，B 正确；对于C ，不妨设动点P 到,A B 两点距离之和等于5 ，即5PA PB +=，由于54>， 故到,A B 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，C 正确； 对于D ，设动点P 到,A B 两点距离之差等于3 ，即||||3−=PA PB ,由于34<， 故到,A B 两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线靠近B 侧的一支，D 错误， 故选：D9．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程()()22221223m x y y x y +++=−+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（ ）A ．()0,8B ．()8,+∞C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】A【分析】将原方程两边同时开平方，结合两点得距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得关于m 的不等式，从而可得出答案.【详解】解：由方程()()22221223m x y y x y +++=−+，0m >，得()()2221223m x y x y ⎡⎤++=−+⎣⎦，223x y =−+，=可得动点(),x y 到定点()0,1−和定直线2230xy −+=， 1>，解得08m <<. 故选：A.10．（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin （17941847−）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切于,E F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于,C B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE AC =，AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=.由,B C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以,E F 为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的焦距为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】C【分析】设球O 与1PA 相切与点E ，可得2tan 3OPE ∠=，利用二倍角正切公式可得12tan A PA ∠，由此可得a ，由1A F a c =−可求得焦距.【详解】设球O 与1PA 相切与点E ，作出轴截面如下图所示，由题意知：2OE OF ==，523PE =−=，2tan 3OE OPE PE ∴∠==， ()12242tan 123tan tan 241tan 519OPE A PA OPE OPE ∠∴∠=∠===−∠−， 又15PA =，1212A A ∴=，6a ∴=，又12A F a c =−=，4c ∴=，∴椭圆的焦距为28c =.故选：C.11．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上顶点．直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89−，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【答案】B【分析】由题意得到方程组ab =①和2289b a =②，即可解出a 、b ，求出长轴长.【详解】椭圆的面积S ab π==，即ab =. 因为点P 为椭圆C 的上项点，所以()0,P b .因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设(),A m n ，则(),B m n −−且22221m n a b +=，所以22222a n m a b=−. 因为,PA PB 的斜率之积为89−，所以89n b n b m m −−−⋅=−−，把22222a n m a b=−代入整理化简得：2289b a =②①②联立解得：3,a b == 所以椭圆C 的长轴长为2a =6. 故选：B12．（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，平面上点(),M x y 与点(),N a b 的距离.结合上述观点，可得()f x =（ ）A ．5BCD ．2【答案】C【分析】记点(),0P x 、()5,1A −、()3,2B −−，可得出()f x PA PB =+，数形结合可求得()f x 的最小值.【详解】因为()f x =记点(),0P x 、()5,1A −、()3,2B −−，则()f x PA PB AB =+≥==f x当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时，等号成立，即()故选：C.13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．0°B．1°C．2°D．3°【答案】C【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角.【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°. 故选：C14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中学校联考期中）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为()()22111x y ++−≤，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为50x y +−=，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A．B ．C ．1D ．1【答案】C【分析】先求出将军出发点M 关于河岸所在直线的对称点N ，再连接CN 交河岸所在直线于点P ，则由对称性可知1NC −为最短距离，求解即可． 【详解】解：如图，设()1,0M 关于河岸线所在直线:50l x y +−=的对称点N 为(,)a b ，根据题意，设军营所在区域为以圆心为C ，半径1r =的圆上和圆内所有点，1NC −为最短距离，先求出N 的坐标，MN 的中点为1(2a +，)2b，直线MN 的斜率为1，则(1)1115022ba ab ⎧⋅−=−⎪⎪−⎨+⎪+−=⎪⎩，解得54a b =⎧⎨=⎩，(5N ∴，4)，又(1,1)C −，所以111NC −==， 故选：C ．15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于13−，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．23CD【答案】D【分析】设内层椭圆方程为2221x y a b+，则外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=（1m >），分别列出过,A C 和,B D 的切线方程，联立切线和内层椭圆，由Δ0=分别转化出2212,k k 的表达式，结合221219k k ⋅=可求a 与b 关系式，齐次化可求离心率.【详解】设内层椭圆方程为22221x y a b +=（0a b >>），因为内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成()()22221x y ma mb +=（1m >），设切线AC 方程为()1y k x ma =+，与22221x y a b+=联立得，()2222224222113120ba k x ma k x m a k ab +++−=，由()()()23222224222111Δ240ma k b a k m a k a b =−+⋅−=，化简得：()2212211b k a m =⋅−，设切线BD 方程为2y k x mb =+，同理可求得()222221b k m a=−，所以()22242221222241113191b b b k k m a m a a ⎛⎫=⋅⋅⋅−==− −⎭=⎪⎝，2222222113b ac c a a a −==−=，所以2223c a =，因此3c e a ==. 故选：D二、多选题16．（2020秋·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）2020年11月24日，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，它将首次带月壤返回地球，我们离月球的“距离”又近一步了.已知点()10M ，，直线:2l x =−，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段 B ．26y x =+不是“最远距离直线” C ．112y x =+是“最远距离直线” D ．点P 的轨迹与直线'l ：=1x −是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点) 【答案】BCD【分析】由题意结合抛物线的定义可得点P 的轨迹，可以判断选项A ，根据抛物线的曲线性质可判断选项D ，对于选项B 和C ，结合题意可知，判断直线是否是“最远距离直线”,只需要联立抛物线与直线方程，通过判断方程是否有解即可.【详解】由题意可得：点P 到点M 的距离比等于点P 到直线l 的距离，由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以()10M ，为焦点的抛物线，即：24y x =， 故A 选项错误；对于选项B 和C ：判断直线是不是“最远距离直线”， 只需要判断直线与抛物线24y x =是否有交点，所以联立直线26y x =+与抛物线24y x =可得方程2590x x ++=， 易得方程2590x x ++=无实根，故选项B 正确； 同理，通过联立直线112y x =+与抛物线24y x =可得方程21240x x −+=， 易得方程2590x x ++=有实根，故选项C 正确；由于抛物线24y x =与其准线=1x −没有交点，所以选项D 正确； 故选：BCD.【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．而抛物线的定义是我们解题的关键，牢记这些对解题非常有益．17．（2022·广东·统考模拟预测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.(),A x y与点(),B a b 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数()f x =下列结论正确的是（ ）A ．()6f x =无解B ．()6f x =的解为x =C ．()f x 的最小值为D ．()f x 的最大值为【答案】BC【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可．【详解】解：()f x =，设(),1P x ，()2,0A −，()2,0B ， 则()f x PA PB =+，若()6f x =，则64PA PB AB +=>=， 则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 此时26a =，2c =，即3a =，2945b =−=，即椭圆方程为22195x y +=，当1y =时，得2141955x =−=，得2365x =，得5x =±，故A 错误，B 正确， B 关于1y =对称点为()2,2C ，则PA PB PA PC AC +=+≥，当,,A P C 三点共线时，()f x 最小，此时()f x AC =====，()f x 无最大值，故C 正确，D 错误， 故选：BC .18．（2022秋·广东茂名·高二统考期末）(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c −=−C ．11c a <22c a D ．1212c a a c >【答案】BD【分析】根据题意得1122a c a c PF −=−=，再结合不等式的性质即可得答案.【详解】观察图形可知1122a c a c +>+，即A 不正确；1122a c a cPF −=−=，即B 正确；由11220a c a c =−>−，120c c >> 知，112212a c a c c c −−<，即1212a a c c <，从而1212c a a c >,即：1212c c a a > ,即D 正确，C 不正确． 故选：BD【点睛】本题考查知识的迁移与应用，考查分析问题与处理问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于由图知1122a c a c PF −=−=，进而根据不等式性质讨论求解. 19．（2022·全国·为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：22221(0)x y a b a b +=>>与它的焦点圆在第一象限的交点为Q ，则下列结论正确的有（ ） A ．21ωω+=B ．黄金椭圆离心率e ω=C ．设直线OQ 的倾斜角为θ，则sin θω=D ．交点Q 坐标为(b ,ωb )【答案】AC【分析】A ：由方程210ωω+−=的根可判断正误；B ：由题设b aω=，根据椭圆参数关系及离心率c e a =即可判断正误；C ：由圆的性质有12QF QF ⊥且122QF F θ∠=，122QF QF a +=，结合同角平方关系、倍角正弦公式可判断正误；D ：由C 易得Q 点纵坐标为c ω且b c ≠，即可判断正误. 【详解】A ：方程210ωω+−=的一个根为ω=B：由题意知，b a ω==，则c e a ω====≠，错误； C ：易知12QF QF ⊥，且122QF F θ∠=，则212sin ,2cos 22QF c QF c θθ=⋅=⋅，所以122sin cos 222QF QF c a θθ⎛⎫+=⋅+= ⎪⎝⎭，即sin cos 22a c θθ+==1sin 1θω+===即sin 1θω==，正确；D ：由OQ c =，结合sin θω=知：Q 点纵坐标为sin c c θω=，而b c ≠，错误. 故选：AC【点睛】关键点点睛：根据黄金椭圆、焦点圆定义及椭圆参数关系，计算离心率、夹角正弦值以及判断交点坐标.20．（2022·全国·高二假期作业）1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC 的顶点()()1,0,0,2B C −，重心12,63G ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．点A 的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．ABC 为等边三角形 C ．欧拉线方程为2430x y +−=D ．ABC 外接圆的方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【分析】根据重心公式计算得到A 正确；计算5,2AB AC BC ===B 错误；计算线段BC 垂直平分线的方程得到C 正确；计算外接圆圆心为15,48M ⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆方程，D 正确，得到答案.【详解】12,63G ⎛⎫ ⎪⎝⎭为ABC 的重心，设(),A x y ，由重心坐标公式()1016320233x y ⎧+−+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得320x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 正确；5,2AB AC BC ===ABC 不是等边三角形，故选项B 错误；AB AC =，ABC 的外心､重心､垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，ABC 的顶点()()1,0,0,2B C −，线段BC 的中点的坐标为1,12⎛⎫− ⎪⎝⎭，线段BC 所在直线的斜率()20201BC k −==−−，线段BC 垂直平分线的方程为11122y x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，即2430x y +−=，ABC 的欧拉线方程为2430x y +−=，故选项C 正确；因为线段AB 的垂直平分线方程为14x =，ABC 的外心M 为线段BC 的垂直平分线与线段AB 的垂直平分线的交点，所以交点M 的坐标满足243014x y x +−=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得15,48M ⎛⎫⎪⎝⎭，外接圆半径r MB ==ABC 外接圆方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确. 故选：ACD.21．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知()4,3A −，()2,3B ，动点P 满足2PAPB=，记点P 的轨迹为圆C ，又已知动圆D ：()()22cos sin 1x y θθ−+−=.则下列说法正确的是（ ）A ．圆C 的方程是()()224316x y −+−=B ．当θ变化时，动点D 的轨迹方程为221x y +=C ．当32πθ=时，过直线AD 上一点Q 引圆C 的两条切线，切点为E ，F ，则EQF ∠的最大值为2π D ．存在θ使得圆C 与圆D 内切 【答案】ABC【分析】对于A 根据“阿波罗尼斯圆”的定义列式化简即可；对于B ，设圆心(),D x y ，而cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，消去θ即可得到圆心D 的估计方程；对于C ，因为CQE △是直角三角形，根据三角函数找出CQE ∠的最大值，再得出EQF ∠的最大值；对于D ，根据两点间的距离公式计算出CD 范围，再根据两圆内切条件判断即可. 【详解】.解：设(),P x y ，由2PAPB=2=化简整理得：()()224316x y −+−=.故A 正确；设(),D x y ，则cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩消去θ得221x y +=.故B 正确；当32πθ=时，()0,1D −，直线AD 的方程为：10x y ++=. 因为4sin CE CQE CQCQ∠==，要使EQF ∠最大，只需CQ 最小.所以min CQ ==()max sin CQE ∠=()max 4EQC π∠=.所以EQF ∠的最大值为2π，故C 正确；因为[]4,6CD =，若两圆内切有413CD =−=，故不存在θ使得3CD =，故D 错误. 故选: ABC22．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期末）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点()1,0F a −，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有（ ） A ．双纽线C 关于x 轴对称B ．022a a y −≤≤ C．双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个 D ．PO 【答案】ABD【解析】对A ，设动点(),C x y ，则对称点(),x y −代入轨迹方程，显然成立；对B ，根据12PF F △的面积范围证明；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在y 轴上，代入轨迹方程求解；对D ，根据余弦定理分析12PF F △中的边长关系，进而利用三角形的关系证明即可.【详解】对A ，设动点(),C x y ，由题意可得C 2a =把(),x y 关于x 轴对称的点(),x y −代入轨迹方程，显然成立，故A 正确； 对B ，因为()00,P x y ，故12121212011sin 22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅． 又212PF PF a ⋅=，所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅，即012sin 22a ay F PF =∠≤，故022a a y −≤≤．故B 正确；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上．故此时00x =2a =，可得00y =，即()0,0P ，仅有一个，故C 错误； 对D ，因为12POF POF π∠+∠=， 故12cos cos 0POF POF ∠+∠=，222222112212022OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +−+−+=⋅⋅，因为12OF OF a ==，212PF PF a ⋅=，故22221222OP a PF PF +=+． 即()2221212222OP a PF PF PF PF +=−+⋅，所以()22122OP PF PF =−．又12122PF PF F F a −≤=，当且仅当P ，1F ，2F 共线时取等号． 故()222122(2)OP PF PF a =−≤，即222OP a ≤，解得OP ≤，故D 正确． 故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了动点轨迹方程的性质判定，因为轨迹方程比较复杂，故在作不出图像时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性分析，同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、填空题23．（2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为260︒时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率e =_____________．【答案】12##0.5【分析】由伞沿半径及圆心到伞柄底端的距离，得伞柄与地面夹角为60︒，阳光光线与伞柄平行，易得椭圆长半轴，短半轴的长，可求出离心率.【详解】因为伞沿是半径为2设伞柄与地面的夹角为θ，则tan θ==60θ=︒，即阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴2sin 60a ==︒，短半轴2b =，离心率12e ==.故答案为：12.24．（2022秋·河南·高二校联考期末）台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边BC ，CD 两次反弹后击打目标球N ，点M 到,CD BC 的距离分别为200cm,60cm ，点N 到,CD BC 的距离分别为80cm,120cm ，将M ，N 看成质点，本球在M 点处，若击打成功，则tan θ=___________．【答案】914【分析】以C 为原点，,DC BC 边分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出,M N 的坐标，求出N 关于x 轴的对称点N '的坐标，N '关于y 轴的对称点N ''的坐标，则直线MN ''方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果.【详解】以C 为原点，,DC BC 边分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(120,80),(60,200)N M −−−−，N 关于x 轴的对称点为(120,80),N N '−'关于y 轴的对称点为(120,80)N ''， 直线MN ''方向为本球射出方向，故π8020014tan()=2120609θ+−=+,9tan 14θ=. 故答案为：914. 25．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点(2,0)C 和一动点P 满足||2CP =，若过点M 的直线l 将动点P 的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．2【分析】过定点M 的直线l 将动点P 的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，圆心到直线l 的距离最远，即为圆心到M 的距离.此时，直线l 与CM 垂直，由1l CM k k =−可得答案. 【详解】依题意可知，动点P 的轨迹是以C 为圆心，2r =为半径的圆， 即22:(2)4C x y −+=e .因为22(12)34−+=<，故点M 在C 内. 当劣弧所对的圆心角最小时，CM l ⊥.因为直线CM的斜率CM k == 所以所求直线l的斜率k =故答案为：2. 26．（2022秋·湖南·高二校联考期中）古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆221287x y +=，则该椭圆的面积为________．【答案】14π【分析】根据椭圆方程求出a 、b ，依题意椭圆的面积S ab π=，从而计算可得.【详解】解：对于椭圆221287x y +=，则a =b =，所以椭圆的面积14S ab ππ==； 故答案为：14π27．（2022·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=−−.已知P 是直线:2150l x y +−=上的动点，当P 与O （O 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 【答案】6【分析】由条件确定P 与O 两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点P 的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可.【详解】因为点P 是直线l ：2150x y +−=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =−，所以12POk =，由方程组215012x y y x +−=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6x =，3y =， 所以，P ，O 两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6.28．（2022·全国·高二假期作业）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为______厘米．。

2024高考数学答题技巧及方法2024高考数学：答题技巧及方法一、熟悉试卷在开始答题前，应该花几分钟时间浏览一下试卷的内容，这可以让你对每个题型、题目难度以及分布有一个基本的了解。

这样，你就能更好地规划答题策略，合理分配时间，避免在某个难题上过度纠结。

二、仔细审题在开始解答每道题目之前，请务必认真阅读题目，理解清楚问题的要求和条件。

数学题目中常常包含一些隐藏的信息，需要你仔细挖掘。

在理解题意的基础上，再寻找合适的解题方法。

三、答题策略1、由易到难：按照题目的难易程度，优先解答那些你能快速解答的题目。

这样，你可以为解答较难的题目留出更多的时间和精力。

2、稳定心态：面对难题，不要感到恐慌和焦虑。

要保持冷静，相信自己的能力，尝试从不同角度去思考问题。

有时候，难题只是需要你理解其中的一个关键点，一旦突破，整个问题就迎刃而解了。

3、草稿纸的使用：在答题过程中，充分利用草稿纸。

将题目中的关键信息、数据和思考过程记录下来，这有助于你保持思路清晰，避免出错。

同时，草稿纸还可以帮助你在解答复杂问题时，回头检查和核对解题步骤。

4、不留空白：即使遇到不会的题目，也不要空着不做。

你可以将自己能想到的任何信息或思路都写下来，这有可能为你的解答提供一些启示。

四、检查和复查在完成答题后，预留一些时间用于检查和复查。

检查可以从以下几个方面入手：计算是否准确、解题步骤是否严谨、公式使用是否正确等。

通过仔细的检查和复查，可以避免因粗心大意或计算错误而失分。

总之，高考数学答题技巧及方法需要平时的积累和练习。

通过熟悉试卷、仔细审题、合理的答题策略以及检查和复查，大家将能够在高考中更加从容和自信地应对数学考试。

希望以上建议能对大家的备考有所帮助，祝大家考试顺利，取得优异的成绩！。

2024年高考数学：全国新高考卷几何题解析(含全国新高考I卷、II卷)2024年高考数学：全国新高考卷几何题解析（含全国新高考I卷、II卷）前言本文档旨在深入解析2024年全国新高考数学试卷中的几何题，包括全国新高考I卷和II卷。

通过分析题目特点、解题策略和关键步骤，为广大高考生提供有价值的参考和指导。

一、全国新高考I卷几何题解析1.1 题目特点- 题目数量：共3题，分别为选择题、填空题和解答题。

- 题目难度：整体难度适中，考查基础知识和综合应用能力。

- 题型分布：涉及平面几何、空间几何和解析几何等多个领域。

1.2 解题策略- 熟练掌握相关几何定理和公式，如勾股定理、相似三角形的性质等。

- 注意运用数形结合思想，将几何问题转化为代数问题求解。

- 对于涉及解析几何的题目，合理运用坐标系和坐标变换。

1.3 关键步骤- 题目标题：仔细阅读题目，明确题目所求。

- 画图辅助：根据题目描述，画出相应的图形，有助于直观分析问题。

- 列出已知：梳理题目中所给的条件和已知信息。

- 选择解题方法：根据题目特点，选择合适的解题方法。

- 代数计算：运用相关定理和公式，进行计算和推导。

- 检验答案：检查计算结果，确保符合题意。

二、全国新高考II卷几何题解析2.1 题目特点- 题目数量：共3题，分别为选择题、填空题和解答题。

- 题目难度：整体难度较高，考查学生的高级思维和解决问题的能力。

- 题型分布：涉及几何证明、几何计算和几何应用等多个方面。

2.2 解题策略- 熟悉各类几何证明方法，如综合法、分析法、归纳法等。

- 掌握多种解题思路，如从特殊到一般、从一般到特殊等。

- 对于涉及实际应用的题目，要将几何问题与实际情境相结合，寻找解题突破口。

2.3 关键步骤- 题目标题：仔细阅读题目，明确题目所求。

- 画图辅助：根据题目描述，画出相应的图形，有助于直观分析问题。

- 列出已知：梳理题目中所给的条件和已知信息。

- 选择解题方法：根据题目特点，选择合适的解题方法。

2024年高考数学几何历年真题完全攻略手册第一章：平面几何1. 平面几何的基本概念1.1 点、线、面的定义和性质1.2 相交、平行、垂直的判定条件2. 三角形与四边形2.1 三角形的性质及分类2.2 四边形的性质及分类2.3 三角形和四边形的面积计算方法3. 圆的几何性质3.1 圆的定义和基本属性3.2 弧长、扇形和圆心角的关系3.3 切线和弦的性质及判定条件4. 平面几何中的相似与全等4.1 二维图形的相似性质4.2 二维图形的全等性质第二章：立体几何1. 空间几何的基本概念1.1 空间点、直线、平面的定义和性质1.2 空间基本图形的特征和分类2. 三棱柱和三棱锥2.1 三棱柱的特征和计算公式2.2 三棱锥的特征和计算公式3. 正四面体、正六面体和正八面体3.1 正四面体的性质和计算公式3.2 正六面体的性质和计算公式3.3 正八面体的性质和计算公式4. 球的几何性质4.1 球的定义和基本性质4.2 球的表面积和体积的计算方法第三章：解析几何1. 坐标系与直线方程1.1 二维坐标系的建立和性质1.2 直线的斜率、截距和一般式方程2. 圆的方程和性质2.1 圆的标准方程和一般方程2.2 圆与直线的位置关系的判定条件3. 抛物线、椭圆和双曲线3.1 抛物线的方程和性质3.2 椭圆和双曲线的方程和性质4. 平面与空间向量4.1 向量的定义、运算和性质4.2 平面向量的共线和垂直判定条件 4.3 空间向量的共面和垂直判定条件第四章：高考数学几何题型解析1. 求证题的解题技巧及常见模型2. 计算题的解题方法及典型例题解析3. 应用题的思路和解题步骤4. 高考历年真题分析和解答技巧第五章：高考数学几何复习要点1. 重点知识总结和归纳2. 常考考点的梳理和强化练习3. 典型题目的解析和答疑结语：通过本手册的学习，你将全面掌握2024年高考数学几何部分的重要知识点、解题技巧以及历年真题的考点分析，为顺利应对高考提供有力的帮助。

2024年高考数学几何历年真题归类整理数学几何作为高考数学的一大重点内容，对学生的数学能力和解题能力有着较高的要求。

为了帮助同学们更好地备战2024年高考数学几何部分，本文将对历年高考数学几何题进行分类整理，帮助大家系统地复习。

一、平面几何1. 直线与角度(1) 直线的性质：包括直线的平行与垂直关系，直线的夹角与平行线分线段的比等等。

(2) 角的性质：包括同位角、对顶角、内角和外角等概念，以及它们之间的关系。

(3) 三角形内角和外角的关系：三角形内角和等于180度，外角和等于360度。

2. 三角形(1) 三角形的分类：根据边长和角度的关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和一般三角形等。

(2) 三角形的性质：包括三角形内角和等于180度，三角形两边之和大于第三边等。

(3) 三角形的相似性质：包括AAA相似、AA相似、SAS相似等。

3. 圆与圆周角(1) 圆的性质：包括圆心角、弧度、弦和弦心距等。

(2) 圆周角的性质：包括圆周角的度量、圆周角的关系、圆周角与弧长之间的关系等。

(3) 切线与切线定理：包括切线与半径的关系，以及切线与切线之间的性质。

二、立体几何1. 空间几何体(1) 空间几何体的种类与性质：包括球、柱、锥、棱柱、棱锥等。

(2) 空间几何体的表面积与体积计算：包括各种几何体的表面积和体积的计算方法。

2. 空间几何关系(1) 平面与直线的位置关系：包括平行、垂直、相交等关系。

(2) 直线与平面的位置关系：包括直线与平面相交、平面内一点与直线的位置关系等。

(3) 空间几何体的位置关系：包括两个几何体之间的位置关系，如共面、相交、相切等。

三、解题技巧与要点1. 借助图形分析解题：通过观察图形特征、发现规律、确定关系，帮助解决几何问题。

2. 利用数学工具求解：如利用向量方法、解析几何方法等，将几何问题转化为代数问题求解。

3. 运用几何思维解决实际问题：将几何知识与实际问题结合，通过模型建立与推理，解决实际应用题。