《常用逻辑用语》高考题集锦

高中数学集合与常用逻辑用语100题(含答案解析)一、单选题1．已知集合{}2,0xA y y x ==≥，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A ．[]1,2B ．()1,2C ．[)1,2D ．(),-∞+∞2．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x +≤的否定为（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +≤ B ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +≥ C ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>D ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +>4．若集合{}23A x Z x x =∈≤，{}2,B x y x y A ==∈，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,2C ．{}0,1D ．{}1,25．已知向量(),2m k =-，()1,3n =，则“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合2{|230}A x x x =--≥，{B x y ==，则A B ⋃=（ ） A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞C ．(][),10,-∞-⋃+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞7．已知集合{}2()1A xx a =-<∣，{1,0,1,2,3}B =-，若{0,1}A B =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[1,)+∞D ．(,0)-∞8．方程22x x =的所有实数根组成的集合为（ ） A ．()0,2B ．(){}0,2C ．{}0,2D ．{}22x x =9．设全集{}24U x N x =∈-<<，{}0,2A =，则UA 为（ ）A ．{}1,3B ．{}0,1,3C ．{}1,1,3-D ．{}1,0,1,3-10．已知0a >，则“3a a a >”是“3a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件12．设π:3p α=；:tan q α=p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．设{M x x =≥，b = ） A ．b M ⊆B ．b M ∉C ．{}b M ∉D ．{}b M ⊆14．已知集合{A x y ==，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（ ）. A ．{}2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}2,3,415．已知非零向量a ，b ，c ，则“||1a b -≤，||2b c -≤”是“||3a c -≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．设集合{}|33A x x =-<<，集合{}|25B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．{}|35x x -<≤B ．{}|32x x -<≤-C ．{}|23x x -≤<D ．{}|35x x <≤17．已知集合(){}{}22log 213,40A x x B x x =-≤=-≤，则()A B =R （ ）A ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．122x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}22x x -≤≤D ．∅18．命题“0x ∀>，2x x >”的否定是（ ）A ．00x ∃>，200x x ≤B ．00x ∃≤，200x x ≤C ．0x ∀>，2x x ≤D ．0x ∀≤，2x x >19．若01a <<，则“log log a a x y >”是“x y a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．若数列{}n a 满足11a =-，则“m ∀，*n N ∈，m n m n a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．设集合{}1,0,1,2A =-，{B y y ==，则A B =（ ） A ．{}0B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}0,2 22．已知集合(){}ln 3A x N y x =∈=-，{}12B x x =-≤<，则A B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,223．已知集合{1,0,1,2,3,4}A =-，{}2ln 2B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．424．设x ∈R ，则“(1)(2)0x x -+≥”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件25．设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,0,1,3A =-，{}2,0,2B =-，则U ()A B ⋂=（ ） A ．{}0,1,2B ．2,0,2C ．{}0,2D ．{}1,1,3-26．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题 ①若“2lg 0x =，则1x =-”的逆命题 ①“若x y ≠或x y ≠-，则x y ≠”的逆否命题.其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．327．已知全集2,1,0,1,2U ，{}21A x Z x =∈-<<，{}1,0,1B =-，则()U B A ⋂=（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,128．已知集合{}2230A x x x =∈--<Z ，{}1,1,2,3B =-，则A B =（ ）A ．{}1,2-B ．{}1,1,2,3-C ．{}1,2D ．{}1,329．“4a <”是“过点()1,1有两条直线与圆2220x y y a ++-=相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件30．已知集合{1,0,1,2,3,4,5}A =-，集合{|34}=-<<B x x ，则 A B =（ ） A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1,2,3,4}-31．设集合{}12022A x x =-<<，{}22530B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．{}32022x x -<≤B ．132x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}1x x ≥-32．已知集合(){}2log 12A x x =-≤，{}2230B x x x =--≤，则()RA B =（ ）A ．[]1,3B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．(]1,3D ．(](),13,-∞⋃+∞33．已知集合{}2,3,4,5A =，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{}2,3D ．{}2,3,434．“b <是“圆22:9C x y +=上有四个不同的点到直线:l y x b =-的距离等于1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件35．设命题3:,3n p n N n ∀∈>，则命题p 的否定为（ ） A ．3,3n n N n ∃∉> B ．3,3n n N n ∃∉≤ C ．3,3n n N n ∃∈≤D ．3,3n n N n ∀∈>36．已知α，R β∈，则“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件37．将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q M N ⋃=⋂=∅，，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，这种有理数的分割()M N ，就是数学史上有名的戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割()M N ，，下列选项中不可能成立的是（ ）A ．M 有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 没有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素 38．设x R ∈，则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件39．设集合{}{}|14|3A x x B x x =-<<=≤，，则()B A =R （ ）A ．{}|34x x ≤<B ．{}|34x x <<C ．{}|13x x -<≤D ．{}1x x >-40．若01a <<，则“log log a a b c <”是“b c >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件41．已知集合{}03A x x =<<，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[)2,0-C ．[)0,3D ．(]0,242．已知集合{}02A x x =<<，{}2230B x x x =+-≥，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）A ．(][),32,-∞-⋃+∞B ．()[),32,-∞-⋃+∞C ．()(),02,-∞+∞D ．(][),02,-∞⋃+∞43．若向量(),3a m =-，()3,1b =，则“1m <”是“向量a ，b 夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件44．设集合{}A y y x ==，{B x y ==，全集为R ，则RA B =（ ）A ．[)0,∞+B ．(),0∞-C ．{}0,1D ．()(){}0,0,1,145．已知集合1|0,N 4x A x x x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{0,1,2,3,4}B =，则（ ） A ．A B = B ．B A C ．A B B = D ．A B46．若集合12xA x x ⎧⎫-=∈>⎨⎬⎩⎭R ，(){}2log 11B x x =+<，则A B =( ) A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭47．若集合{}20A x x x =-=，B x y ⎧=⎨⎩，则A B =（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,148．已知集合{}24A x Z x =∈<，{}1,B a =，B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{1,0}-D ．{}1-49．若集合61A x ZN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，(){}lg 3B x y x ==-，则A B =（ ） A ．{}2,3,4,7 B ．{}3,4,7 C ．{}1,4,7 D ．{}4,750．已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,5-B ．(]1,1-C ．()1,3D ．[)1,351．已知,l m 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，命题p ：若m α⊂，m β∥，则αβ∥；命题q ：若m α⊥，l β⊥，αβ∥，则m l ∥；则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．p q ⌝∧⌝52．“2x =”是“2320x x -+=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件53．已知命题p ：0x ∃∈R ，0sin 1x <；命题q ：0x ∃∈R ，00sin cos x x +，则下列命题中的真命题是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨54．已知集合{}2,x A y y x R ==∈，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A ．[]22-,B ．[)2,0-C ．[]0,2D ．(]0,255．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ） A ．3B ．4C ．8D ．1656．已知全集{}N 27U x x =∈-≤<，(){}1,5,6UA B ⋃=，{}2,4B =，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}2,1,0,3--B ．{}0,3C ．{}0,2,3,4D ．{}357．已知集合{}34A x x =-<<，{}250B x x x =+>.则A B （ ）A ．()5,4-B ．()0,4C ．()3,0-D ．()5,0-58．已知集合(){},22,0M x y y x xy ==-≤，(){}2,5N x y y x ==-，则M N ⋂中的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．l 或259．设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}22x x -<< B ．{}22x x -≤≤ C ．{4x x ≤或}5x ≥D ．{2x x ≤或}5x ≥60．设非零复数1z ，2z 在复平面内分别对应向量OA ，OB ，O 为原点，则OA OB ⊥的充要条件是（ ）A ．211z z =-B ．21i zz =C ．21z z 为实数D ．21z z 为纯虚数61．命题“若24x <，则22x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若22x -<<，则24x < B ．若24x ≥，则2x ≥或2x -≤ C ．若22x -<<，则24x ≥ D ．若2x ≥或2x -≤，则24x ≥62．已知集合(){}22,4A x y xy =+=，(){},2B x y y ==，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．063．已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞D ．(),1-∞64．已知集合{}23180A x x x =--≤，{}2log 1B x x =>，则A B =（ ）A ．[)(]3,22,6-B ．[)(]3,22,6--⋃C ．[)3,2--D ．(]2,665．已知命题p ：“23m <<是方程22123x y m m+=--表示椭圆”的充要条件；命题q ：“2b ac =是a ，b ，c 成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∨⌝D ．p q ⌝∧⌝66．已知命题p ：()010,x ∃∈+∞，0lg 1x >，则命题p 的否定为（ ） A ．()10,x ∀∈+∞，1lg x ≤ B ．()10,x ∀∈+∞，lg 1x C ．()10,x ∀∉+∞，lg 1xD ．()10,x ∀∉+∞，1lg x ≤67．集合{}0,1,2,3A =的真子集的个数是（ ） A ．16B ．15C ．8D ．768．已知集合{}1A x x =>，{}13B x x =-≤<，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}13x x <<B ．{}11x x -≤<C ．{}13x x ≤<D ．{}11x x -≤≤69．若p ：24x ≤≤，q ：13x ≤≤，则p 为q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件70．若命题p 为“0x ∃≥，()10x x -<”，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀<，()10x x -≥ B ．0x ∀≥，()10x x -≥ C ．0x ∃≥，()10x x -≥D ．0x ∃<，()10x x -<71．已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．272．命题“0x ∀>，210x ->”的否定为( ) A ．0x ∀>，210x -≤ B ．0x ∀≤，210x -≤ C ．00x ∃>，0210x -≤D ．00x ∃>，0210x ->73．已知{}2430M x x x =-+<，{|N x y ==，则M N ⋃=（ ）A ．(]1,2B ．(](),21,3-∞-⋃C ．(](),23,-∞-+∞ D ．(](),21,-∞-⋃+∞74．命题“0x ∃∈R ，使得320000x ax bx c +++=”的否定是（ ） A ．x ∃∉R ，320x ax bx c +++≠ B ．x ∀∈R ，320x ax bx c +++≠ C ．x ∀∉R ，320x ax bx c +++≠D ．x ∀∈R ，320x ax bx c +++=75．已知集合{}220A xx x =+-≤∣， 集合(){}2log 1B x y x ==+∣， 则A B ⋂=（ ） A ．[-21]，B ．(-11]，C ．(]12-，D ．[)1，∞+ 76．若集合{12}A x x =-<<∣，{|1B x x =<或}3x >，则()R A B ⋂=（ ） A ．{13}xx -<<∣ B ．{11}xx -<<∣ C ．{23}x x <≤∣ D ．{12}xx ≤<∣ 77．已知命题20:,0p x x ∃∈R ，则p ⌝是（ ）A ．2,0x x ∀∉RB ．2,0x x ∀∈<RC ．200,0x x ∃∈RD ．200,0x x ∃∈<R78．若方程22121x y m m +=+--表示的曲线为C ，则（ ）A ．21m -<<-是C 为椭圆的充要条件B ．21m -<<-是C 为椭圆的充分条件C ．312m -<<-是C 为焦点在x 轴上椭圆的充要条件D ．302m -<<是C 为焦点在x 轴上椭圆的充分条件79．已知集合{}{|ln 1|A x x B x =<=，，则()R A B =（ ） A ．[2，e ）B ．（0，2）C ．（2，e ]D ．（0，e ）80．“0mn >”是“方程221x y m n-=为双曲线方程”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题81．已知函数()()2221e xf x ax x =-+，则（ ）A ．()f x 有零点的充要条件是1a <B ．当且仅当(]0,1a ∈，()f x 有最小值C ．存在实数a ，使得()f x 在R 上单调递增D ．2a ≠是()f x 有极值点的充要条件 82．下列选项中，能够成为“关于x 的方程2||10x x a -+-=有四个不等实数根”的必要不充分条件是（ ） A ．51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．51,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．()1,2a ∈D ．91,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭三、解答题83．若实数数列()12:,,,2n n A a a a n ≥满足()111,2,,1k k a a k n +-==-，则称数列nA 为E 数列.(1)请写出一个5项的E 数列5A ，满足150a a ==，且各项和大于零； (2)如果一个E 数列n A 满足：存在正整数()1234512345,,,,i i i i i i i i i i n <<<<≤使得12345,,,,i i i i i a a a a a 组成首项为1，公比为2-的等比数列，求n 的最小值；(3)已知()122,,,2m a a a m ≥为E 数列，求证：3211,,,222m a a a -为E 数列且224,,,222m a a a 为E 数列”的充要条件是“122,,,m a a a 是单调数列”.84．已知命题p ：实数x 满足()42220x x a a ⋅+-⋅-≤；命题q ：实数x 满足2320x x -+<．若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．85．设p ：()224300x ax a a -+<>，q ：211180x x -+≤.(1)若命题“()1,2x ∀∈，p 是真命题”，求a 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.86．著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷.每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”.例如第一次操作后的“康托尔三分集”为120,,,133⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭. (1)求第二次操作后的“康托尔三分集”；(2)定义[],s t 的区间长度为t s -，记第n 次操作后剩余的各区间长度和为()*n a n N ∈，求4a ；(3)记n 次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为n T ，若使n T 不大于原来的110，求n 的最小值.（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）87．已知命题p ：“0x R ∃∈，20048x a x +≤”为假命题，命题q ：“实数a 满足415a>-”．若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求a 的取值范围． 88．求证：角θ为第二象限角的充要条件是sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩． 89．已知P ＝{x |x 2－x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ①P 是x ①S 的必要条件，求m 的取值范围.90．已知p ：()222100x x a a -+-≥>，q ：()()150x x +-<.(1)当3x =-时，p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p ⌝是q 的充分不必要条件：求实数a 的取值范围.91．已知集合{}2,12x A y y x ==-≤≤，集合{}1ln 2B x x =<≤，集合{}22320,0C x x ax a a =-+≤>. (1)求A B ；(2)若C A ⊆，求实数a 的取值范围.92．判断命题的真假：如果12,n n 分别是直线12,l l 的一个方向向量，则1l 与2l 垂直的充要条件是1n 与2n 垂直．四、填空题93．设集合{}{}240,,20A xx x A x x a =-≤∈=+≤R ∣∣，且[]2,1A B =-，则=a ___________.94．以下有关命题的说法错误的命题的序号是_______．①若命题p ：某班所有男生都爱踢足球，则¬p ：某班至少有一个男生爱踢足球； ①已知a ，b 是实数，那么“a b >”是"ln ln "a b >的必要不充分条件；①若αβ>则sin sin αβ>；①幂函数253(1)m y m m x --=--在,()0x ∈+∞时为减函数，则2m =.95．已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ________.96．曲线0:p x ∃∈R ，320010x x -+≥，则p ⌝为___________.97．命题“0x ∃①R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________．98．命题“x R ∃∈，20x +≤”的否定是______．五、概念填空99．存在量词与存在量词命题100．判断正误．（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )（2）命题“三角形的内角和是180 ”是全称量词命题．( )（3）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )参考答案：1．C【解析】【分析】利用指数函数的性质可化简集合A ，根据对数函数性质得集合B ，然后计算交集．【详解】 由已知{}2,0[1,)x A y y x ∞==≥=+，{}ln(2)B x y x ==-(){|20}{|2},2x x x x =->=<=-∞，①[1,2)A B ⋂=．故选：C ．2．A【解析】【分析】由ln ln a b >及对数函数的单调性可得0a b >>；将sin sin a b b a +>+变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得a b >，即可得解．【详解】由ln ln a b >，得0a b >>．由sin sin a b b a +>+，得sin sin a a b b ->-．记函数()sin ()x x f x x R =-∈，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，又sin sin a a b b ->-，则()()f a f b >，所以a b >．因此“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的充分不必要条件．故选：A ．3．C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题，故原命题的否定是()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>．故选：C4．C【解析】【分析】先解不等式求出集合A ，再求出集合B ，然后求两集合的交集即可【详解】解不等式23x x ≤，得03x ≤≤，又x ∈Z ，所以{}0,1,2,3A =， 所以{}132,0,,1,22B x y x y A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，所以{}0,1A B =． 故选：C5．B【解析】【分析】先求出m 与n 的夹角为钝角时k 的范围，即可判断.【详解】当m 与n 的夹角为钝角时，0m n ⋅<，且m 与n 不共线，即6032k k -<⎧⎨≠-⎩所以k 6<且23k ≠-.故“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.6．D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合,A B ，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以集合{|1A x x =≤-或3}x ≥， 又由20x -≥，解得2x ≥，所以集合{}2B x x =≥，所以(][),12,A B ⋃=-∞-⋃+∞.故选：D .7．B【解析】【分析】按照交集的定义，在数轴上画图即可.【详解】由题可得集合{}{}2()111A xx a x a x a =-<=-<<+∣，所以要使{0,1}A B =，则需110112a a -≤-<⎧⎨<+≤⎩，解得01a <<， 故选：B.8．C【解析】【分析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；【详解】解：由22x x =，解得2x =或0x =，所以方程22x x =的所有实数根组成的集合为{}{}2|20,2x R xx ∈==； 故选：C9．A 【解析】【分析】根据全集U 求出A 的补集即可.【详解】{}{}24=0,1,2,3U x N x =∈-<<，{}0,2A =，{}U =1,3A ∴.故选：A.10．B【解析】【分析】对a 的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性解不等式3a a a >，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若01a <<，由3a a a >可得3a <，此时01a <<；若1a =，则3a a a =，不合乎题意；若1a >，由3a a a >可得3a >，此时3a >.因此，满足3a a a >的a 的取值范围是{01a a <<或}3a >， 因为{01a a <<或}3a > {}3a a >，因此，“3a a a >”是“3a >”的必要不充分条件.故选：B.11．C【解析】【分析】解不等式化简命题q ，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】解不等式得：13x ，即:13q x -<<，显然{|13}x x -<< {|3}x x <，所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：C12．A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值以及充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】当π3α=时，tan α=p 则q 成立；当tan α=,3k k Z παπ=+∈，即若q 则p 不成立；综上得p 是q 充分不必要条件，故选：A.13．D【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可得解.【详解】解：因为{M x x =≥，b =所以b M ∈，{}b M ⊆.故选：D.14．C【解析】【分析】先化简集合A ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{{}4A x y x x ==≤，{}1,2,3,4,5B =，所以A B = {}1,2,3,4，故选：C15．A【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，结合向量减法的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案.【详解】由||1a b -≤，||2b c -≤，如下图示，||||||3a c a b b c -≤-+-≤，当且仅当a ，b ，c 共线时前一个等号成立，充分性成立；当||3a c -≤，不一定有||1a b -≤，||2b c -≤，必要性不成立. 综上，“||1a b -≤，||2b c -≤”是“||3a c -≤”的充分而不必要条件. 故选：A16．C【解析】【分析】利用集合的交运算求A B 即可.【详解】由题设，A B ={}|33x x -<<⋂{}|25{|23}x x x x -≤≤=-≤<. 故选：C17．A【解析】【分析】先求出集合A 和集合A 的补集，集合B ，再求出()A B ⋂R【详解】由22log (21)3log 8x -≤=，得0218x <-≤，解得1922x <≤， 所以1922A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，所以12R A x x ⎧=≤⎨⎩或x >92}， 由240x -≤得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤，所以()A B =R 122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故选：A18．A【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题，命题“0x ∀>，2x x >”的否定是：00x ∃>，200x x ≤．故选：A.19．A【解析】【分析】根据一直关系判断,x y 的大小关系进行等价转化即可得解.【详解】由01a <<，log log 0a a x y y x >⇔>>，x y a a y x ≥⇔>，故为充分不必要条件. 故选：A20．A【解析】【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．【详解】解：“m ∀，*n N ∈，m n m n a a a +=”，取1m =，则11n n a a +=-， {}n a ∴为等比数列．反之不成立，{}n a 为等比数列，设公比为q ()0q ≠，则1m n m n a q +-+=-，()()112n n m m m n a a q q q --+-=-⨯-=，只有1q =-时才能成立满足m n m n a a a +=． ∴数列{}n a 满足11a =-，则“m ∀，*n N ∈，m n m n a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的充分不必要故选：A ．21．B【解析】【分析】求得集合B 中对应函数的值域，再求A B 即可.【详解】因为{B y y ==∣{|0}y y =≥，又{}1,0,1,2A =-， 故A B ={}0,1,2.故选：B22．C【解析】【分析】由对数函数定义域可求得集合A ，由交集定义可得结果.【详解】由30x ->得：3x <，(){}{}ln 30,1,2A x N y x ∴=∈=-=，{}0,1A B ∴⋂=.故选：C.23．C【解析】【分析】由Venn 图得到()A M A B =⋂求解. 【详解】如图所示()A M A B =⋂，2ln 2x <，22ln ln e x ∴<，解得e e x -<<且0x ≠，(e,0)(0,e)B ∴=-又{1,0,1,2,3,4}A =-，{1,1,2}A B ∴=-，(){0,3,4}A A B ∴⋂=，{0,3,4}M ∴=，所以M 中元素的个数为3 故选：C24．B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】(1)(2)0x x -+≥，则2x -≤或1≥x ，不满足21x -<，如2x =-，不充分，21x -<时，13x <<，满足(1)(2)0x x -+≥，必要性满足．应为必要不充分条件．故选：B ．25．D【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由已知{1,1,3}U B =-，所以U (){1,1,3}A B =-．故选：D ．26．B【解析】【分析】写出相应命题，根据相关知识直接判断可得.【详解】“全等三角形的面积相等”的否命题为：不全等的三角形的面积不相等.易知为假命题；若“2lg 0x =，则1x =-”的逆命题为：若1x =-，则2lg 0x =.显然为真命题；“若x y ≠或x y ≠-，则x y ≠”的逆否命题为：若x y =，则x y =且x y =-.易知为假命题. 故选：B27．C【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．{2,1,2}U A =-，(){1}U B A =．故选：C ．28．C【解析】【分析】求出集合A ，利用交集的定义可求得结果.【详解】{}{}{}2230130,1,2A x x x x x =∈--<=∈-<<=Z Z ，因此，{}1,2A B =. 故选：C.29．B【解析】【分析】先由已知得点()1,1在圆2220x y y a ++-=外，求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断【详解】由已知得点()1,1在圆2220x y y a ++-=外，所以22211210240a a ⎧++⨯->⎨+>⎩，解得14a -<<， 所以“4a <”是“过点()1,1有两条直线与圆2220x y y a ++-=相切”的必要不充分条件， 故选：B30．A【解析】【分析】根据交集的定义计算．【详解】由已知{1,0,1,2,3}A B =-．故选：A ．【解析】【分析】化简集合B ，结合交集运算即可．【详解】 因为集合{}21253032B x x x x x ⎧⎫=+-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以112A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭， 故选：C ．32．D【解析】【分析】先解出集合A 、B ，再求A B ，从而求解补集．【详解】由()2log 12x -≤，即014x <-≤，解得15x <≤，所以(]1,5A =.由2230x x --≤得()3x -⋅()10x +≤，即13x -≤≤，所以[]1,3B =-，由此(]1,3A B =，于是()(]()R ,13,A B ⋂=-∞⋃+∞，故选：D.33．C【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求出函数y B ，然后根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合{}2,3,4,5A =，集合{{}{}23003B x y x x x x x ===-≥=≤≤，所以{}2,3A B ⋂=.故选：C.34．A【分析】根据直线和圆的位置关系求出b ，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】①圆22:9C x y +=的半径3r =，若圆C 上恰有4个不同的点到直线l 的距离等于1，则必须满足圆心(0,0)到直线:l y x b =-的距离2d =<，解得b -<<又((⊆-，①“b <是“圆22:9C x y +=上有四个不同的点到直线:l y x b =-的距离等于1”的充分不必要条件.故选：A.35．C【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，命题3:,3n p n N n ∀∈>的否定命题为3,3n n N n ∃∈≤，故选：C36．D【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-时， 则()cos ,2,cos cos (1)cos ,21,k k n n Z k k n n Z βαπββ=∈⎧=+-=⎨-=+∈⎩；即不能推出cos cos αβ=.(2)当cos cos αβ=时，2k αβπ=+或2k απβ=-，k Z ∈,所以对第二种情况，不存在k Z ∈时，使得()1kk απβ=+-成立，故“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1k k απβ=+-”的既不充分不必要条件.故选：D37．A【解析】【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【详解】M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，设M 的最大元素为m ，N 的最小元素为n ，若有m ＜n ，不能满足M①N=Q ，A 错误；若{|M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素， N 也没有最小元素，满足其它条件，故B 可能成立；若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈，则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故C 可能成立；若{|0}M x Q x =∈，{}0N x Q x =∈；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 可能成立；故选：A ．38．D【解析】 【分析】 首先解出绝对值不等式与分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为322x -≤，所以33222x -≤-≤，解得1722x ≤≤；由2102x x +≤-，即()()212020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得122x -≤<；所以1722x ≤≤与122x -≤<互相不能推出，故“322x -≤”是“2102x x +≤-”的既不充分也不必要条件； 故选：D39．B【解析】【分析】根据补集运算得{}R |3x B x =>，再根据交集运算求解即可.【详解】解：因为{}{}|14|3A x x B x x =-<<=≤，，所以{}R |3x B x =>，所以{}()|34R B A x x ⋂=<<故选：B40．A【解析】【分析】利用函数log a y x =在(0,)+∞单调递减，可得log log 0a a b c b c <⇔>>，分析即得解【详解】由01a <<，故函数log a y x =在(0,)+∞单调递减故log log 0a a b c b c <⇔>>即log log a a b c b c <⇒>，充分性成立； b c >推不出log log a a b c <，必要性不成立；故“log log a a b c <”是“b c >”的充分不必要条件．故选：A41．D【解析】解一元二次不等式求集合B ，再利用集合交运算求A B .【详解】 由题设，{}24{|22}B x x x x =≤=-≤≤，又{}03A x x =<<， 所以{}(]{|22}030,2A x x B x x -≤≤⋂<<==．故选：D42．A【解析】【分析】根据阴影部分表示的集合为R A B ⋂求解.【详解】 因为集合{}02A x x =<<，所以R {|0A x x =≤或2}x ≥， 又因为{}2230{|3B x x x x x =+-≥=≤-或1}x ≥， 所以阴影部分表示的集合为R {|3A B x x ⋂=≤-或2}x ≥，故选：A43．B【解析】【分析】 由向量a ，b 夹角为钝角可得0a b ⋅<且a ，b 不共线，然后解出m 的范围，然后可得答案.【详解】若向量a ，b 夹角为钝角，则0a b ⋅<且a ，b 不共线所以330133m m -<⎧⎨⋅≠-⋅⎩，解得1m <且9m所以“1m <”是“向量a ，b 夹角为钝角”的必要不充分条件故选：B44．B【分析】化简集合A ，B ，根据补集及交集运算即可.【详解】{}A y y x R ===,{[0,)B x y ∞===+(,0)R R A B B ∴==-∞,故选：B45．D【解析】【分析】解分式不等式求集合A ，再判断集合之间的包含关系，即可判断各选项的正误.【详解】由题设，{|14,N}{0,1,2,3}A x x x =-≤<∈=，又{0,1,2,3,4}B =，所以A B ，即A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D46．C【解析】【分析】根据分式不等式解法解出集合A ，根据对数的运算法则计算出集合B ，再根据集合交集运算得结果. 【详解】(){}113003A x x x x x ⎧⎫=-⋅>=<<⎨⎬⎩⎭， (){}{}{}2log 1101211B x x x x x x =+<=<+<=-<<，①10,3A B ⎛⎫ ⎪⎝=⎭. 故选：C.47．B【解析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】 因为{}{}200,1A x x x =-==，B x y ⎧=⎨⎩={}|1x x <， 所以A B ={}0，故选：B48．C【解析】【分析】先解出集合A ，再根据B A ⊆确定集合B 的元素，可得答案.【详解】由题意得，{}{|22}1,0,1A x Z x =∈-<<=-，①{}1,B a =，B A ⊆， ①实数a 的取值集合为{}1,0-,故选:C.49．D【解析】【分析】首先用列举法表示集合A ，再根据对数函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得；【详解】 解：集合{}62,3,4,71A x Z N x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭，集合(){}{}lg 33B x y x x x ==-=>，则{}4,7A B ⋂=，故选：D ．50．D【解析】【分析】先根据一元二次不等式解得集合A ，然后利用交集运算法则求出答案.【详解】解：由题意得：{}{}2230|13A x x x x x =--<=-<<，{}15B x x =≤≤ {}[)|131,3A B x x ∴=≤<=故选：D51．B【解析】【分析】先根据空间线面位置关系判断命题,p q 的真假，再根据且、或、非命题判断真假即可.【详解】解：命题p ：若m α⊂，m β∥，则αβ∥，还可能相交，故是假命题，；命题q ：若m α⊥，l β⊥，αβ∥，则m l ∥，是真命题.所以p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，所以p q ∧，p q ∨⌝，p q ⌝∧⌝均为假命题，p q ⌝∧为真命题，故选：B52．A【解析】【分析】解方程2320x x -+=，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解方程2320x x -+=可得1x =或2x =，{}2 {}1,2，因此，“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.故选：A.53．A【解析】【分析】判断命题p ，q 的真假，再借助真值表逐一判断作答.【详解】因当00x =时，0sin 01x =<，即命题p 是真命题，因当04x π=时，00sin cos x x +，即命题q 是真命题， 因此，p q ∧，p q ∨都是真命题，()p q ⌝∨是假命题，而p ⌝是假命题，则()p q ⌝∧是假命题，同理()p q ∧⌝是假命题，所以，B ，C ，D 都不正确，A 正确.故选：A54．D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据指数函数的性质求出集合A ，最后根据交集的定义计算可得；【详解】解：由24x ≤，即()()220x x -+≤，解得22x -≤≤，所以{}{}24|22B x x x x =≤=-≤≤，又{}()2,0,x A y y x R ∞==∈=+，所以(]0,2A B ⋂=. 故选：D55．C【解析】【分析】先求出集合B ，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.56．B【解析】【分析】确定全集中的元素，根据(){}1,5,6U A B ⋃=可确定A B ⋃={}0,2,3,4，再结合图中阴影部分的含义即可得答案.全集{}{}N 270,1,2,3,4,5,6U x x =∈-≤<=,又因为(){}1,5,6U A B ⋃=，所以A B ⋃={}0,2,3,4,而{}2,4B =所以阴影部分表示的集合是()U A B ∩即为{}0,3，故选：B.57．B【解析】【分析】解不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】()()()2550,50,x x x x B +=+>⇒=-∞-⋃+∞， 又{34}A x x =-<<，所以()0,4A B =.故选：B58．A【解析】【分析】首先联立方程，然后判断交点个数，即可判断选项.【详解】首先联立方程22250y x y x xy =-⎧⎪=-⎨⎪≤⎩，得2230x x --=，解得：1x =-或3x =，当1x =-时，4y =-，此时0xy >，舍去；当3x =时，4y =，此时0xy >，舍去，所以M N ⋂为空集.故选：A59．B【分析】根据不等式的解法，分别求得集合,A B ，结合集合补集和交集的运算，即可求解.【详解】 由不等式402x x ->+，解得2x <-或4x >，所以{|2A x x =<-或4}x >， 又由不等式27100x x -+≥，解得2x ≤或5x ≥，所以{|2B x x =≤或5}x ， 可得R {|24}A x x =-≤≤，所以()R A B ⋂={}22x x -≤≤.故选：B.60．D【解析】【分析】设()11111i ,z x y x y R =+∈，()22222i ,z x y x y R =+∈，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，计算出21z z ，然后结合OA OB ⊥可得答案. 【详解】设()11111i ,z x y x y R =+∈，()22222i ,z x y x y R =+∈，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =， 且21212122122111()i z x x y y x y x y z x y ++-=+， 由OA OB ⊥知12120x x y y +=且12x y -210x y ≠，故OA OB ⊥的充要条件是21z z 为纯虚数， 故选：D ．61．D【解析】【分析】根据命题和逆否命题的关系可得答案.【详解】 原命题的条件是“若24x <”，结论为“22x -<<”，则其逆否命题是：若2x ≥或2x -≤，则24x ≥，故选：D ．【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系判断.【详解】因为圆心（0,0）到直线y =2的距离d =2=r ，所以直线2y =与圆224x y +=相切，所以A B 的元素的个数是1，故选：C ．63．C【解析】【分析】根据集合的包含关系，列出参数a 的不等关系式，即可求得参数的取值范围.【详解】①集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，①1a ≤.故选：C ．64．B【解析】【详解】先求解集合A 和集合B 中的不等式，利用交集的定义即得解【分析】由2318(6)(3)0x x x x --=-+≤，解得36x -≤≤，则[]3,6A =-， 不等式2log 1x >，即2x ，可得2x <-或2x >，则(,2)(2,)B =-∞-⋃+∞所以[)(]3,22,6A B ⋂=--⋃故选：B ．65．C【解析】【分析】先判断命题p,q 的真假，从而判断,p q ⌝⌝的真假，再根据“或”“且”命题的真假判断方法，可得答案.【详解】 当52m =时，22123x y m m+=--表示圆， 故命题p ：“23m <<是方程22123x y m m+=-- 表示椭圆”的充要条件是假命题， 命题q ：“2b ac =是a ，b ，c 成等比数列”的必要不充分条件为真命题，则p ⌝是真命题，q ⌝是假命题，故p q ∧是假命题，p q ∨⌝是假命题，p q ⌝∨⌝是真命题，p q ⌝∧⌝是假命题， 故选：C66．A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为命题p ：()010,x ∃∈+∞，0lg 1x >，故命题p 的否定为：()10,x ∀∈+∞，1lg x ≤. 故选：A.67．B【解析】【分析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得结果.【详解】集合A 的元素个数为4，故集合A 的真子集个数为42115-=.故选：B.68．D【解析】【分析】先求出集合A 的补集，进而求交集即可.【详解】①{}1A x x =>，①(]R ,1A ∞=-，又{}13B x x =-≤<，①()[]R 1,1A B ⋂=-.故选：D69．D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为p ：24x ≤≤，q ：13x ≤≤， 所以,p q q p ⇒⇒，所以p 为q 的既不充分又不必要条件.故选：D.70．B【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“0x ∃≥，()10x x -<”的否命题为“0x ∀≥，()10x x -≥”，故选：B71．C【解析】【分析】 由一元二次方程根的分布可得010a∆>⎧⎪⎨<⎪⎩求命题q 的参数a 范围，再由命题间的关系求m 的最值即可.【详解】因为2210ax x ++=有一正一负两个根，所以224010a a ⎧∆=->⎪⎨<⎪⎩，解得0a <. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以0m <，且m ∈Z ，则m 的最大值为1-.故选：C72．C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法进行求解.【详解】全称命题的否定是特称命题，则命题“0x ∀>，210x ->”的否定为“00x ∃>，0210x -≤”. 故选：C.73．D【解析】【分析】利用集合M 、N 的含义，将其化简，然后求其并集即可.【详解】解：由2430x x -+<可得13x <<，所以(1,3)M =,由240x -≥可得2x -≤或2x ≥，所以(][),22,N =-∞-+∞, 所以(](),21,M N =-∞-+∞.故选：D.74．B【解析】【分析】根据特称命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意否定结论，所以，命题“0x ∃∈R ，使得320000x ax bx c +++=”的否定是x ∀∈R ，320x ax bx c +++≠.故选：B75．B【解析】【分析】先求出集合A ,B ，进而根据交集的定义求得答案.【详解】由题意，()(){}[]()|1202,1,1,A x x x B =-+≤=-=-+∞，所以(1,1]A B ⋂=-故选：B.76．D【解析】【分析】先求得R B ，然后求得正确答案.【详解】{}R |13B x x =≤≤，()R A B ⋂={12}x x ≤<∣故选：D77．B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以B 选项符合. 故选：B78．C【解析】【分析】根据椭圆的性质及焦点的性质可写出其充要条件，然后逐项分析即可.【详解】解：对于A 、B 选项： 曲线22:121x y C m m -=++表示椭圆的充要条件是2010,2121m m m m m +>⎧⎪-->⇔-<<-⎨⎪+≠--⎩且32m ≠-，所以A ，B 不正确；对于C 、D 选项： 方程22121x y m m +=+--表示焦点在x 轴上椭圆321012m m m ⇔+>-->⇔-<<-，所以C 对，D 错.故选：C79．A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的补集和交集运算求解.【详解】因为集合{}(){|ln 10,|[1,2)A x x e B x =<==-=，， 所以{|1R B x x =<-或2}x ≥，()[. 2,)R A B e ⋂=故选：A80．C【解析】【分析】 先求出方程221x y m n -=表示双曲线时,m n 满足的条件， 然后根据“小推大”的原则进行判断即可.【详解】 因为方程221x y m n-=为双曲线方程，所以0mn >， 所以“0mn >”是“方程221x y m n-=为双曲线方程”的充要条件. 故选：C.81．BCD【解析】【分析】对于A ，将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程有根的条件可判断其正误；对于B ，分类讨论a 的取值范围，利用导数判断函数的最值情况；对于C ，可举一具体实数，说明()f x 在R 上单调递增，即可判断其正误；对于D ，根据导数与函数极值的关系判断即可. 【详解】对于A ，函数()()2221e xf x ax x =-+有零点⇔方程2210ax x -+=有解，当0a =时，方程有一解12x =； 当0a ≠时，方程2210ax x -+=有解01,0440a a a a ≠⎧⇔⇒≤≠⎨∆=-≥⎩， 综上知()f x 有零点的充要条件是1a ≤，故A 错误；对于B ，由()()2221e xf x ax x =-+得()()222e x f x x ax a '=+-，当0a =时，()24e xf x x '=-，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，此时()f x 有最大值()0f ，无最小值；当01a <<时，方程2210ax x -+=有两个不同实根1x ，()212x x x <，当[]12,x x x ∈时，()f x 有最小值()00f x <，当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x >；当1a =时，()()221e x f x x =-有最小值0；当1a >时，()0f x >且当x →-∞时，()0f x →，()f x 无最小值； 当0a <时，x →+∞时，()f x →-∞，()f x 无最小值, 综上，当且仅当(]0,1a ∈时，()f x 有最小值，故B 正确；对于C ，因为当2a =时，()()22221e xf x x x =-+，()224e 0x f x x '=≥在R 上恒成立，此时()f x 在R 上单调递增，故C 正确；对于D ，由()()222e xf x x ax a '=+-知，当0a =时，0x =是()f x 的极值点，当0a ≠，2a ≠时，0x =和2ax a-=都是()f x 的极值点，。

中小学教学参考资料教学设计试卷随堂检测近3年（2016——2018）《常用逻辑用语》部分高考真题一．选择题（共22小题）1．（2018•天津）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2018•天津）设x∈R，则“|x ﹣|＜”是“x3＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．（2018•浙江）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2018•北京）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（2018•北京）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（2016•四川）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（2017•天津）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（2017•天津）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（2017•浙江）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（2017•山东）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q13．（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（2016•浙江）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x215．（2016•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（2016•天津）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18．（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件19．（2016•天津）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件20．（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h （x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题近3年（2016——2018）《常用逻辑用语》部分高考真题参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2018•天津）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题．2．（2018•天津）设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可求出．【解答】解：由|x﹣|＜可得﹣＜x﹣＜，解得0＜x＜1，由x3＜1，解得x＜1，故“|x﹣|＜”是“x3＜1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法和充分必要条件，属于基础题．3．（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（2018•浙江）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．5．（2018•北京）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1=﹣1×1，但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．6．（2018•北京）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．【解答】解：∵“|﹣3|=|3+|”∴平方得||2+9||2﹣6•=9||2+||2+6•，即1+9﹣6•=9+1+6•，即12•=0，则•=0，即⊥，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．7．（2017•上海）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（2017•天津）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．9．（2017•天津）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊊（﹣+2kπ，+2kπ），k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．10．（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（2017•浙江）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题12．（2017•山东）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．故命题p为真命题；当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．13．（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．14．（2016•浙江）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可【解答】解：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2“故选：D．【点评】本题考查命题的否定，解本题的关键是掌握住特称命题的否定是全称命题，书写答案是注意量词的变化．15．（2016•浙江）已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100【分析】本题可根据选项特点对a，b，c设定特定值，采用排除法解答．【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|=0≤1，a2+b2+c2＞100；故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．16．（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f （x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，f min（x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）设f（x）=t，则f（f（x））=f（t），∴f（t）在（﹣，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，若f（f（x））=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等，则﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．17．（2016•天津）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设x＞0，y∈R，当x＞0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．19．（2016•四川）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．（2016•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“||=||”与“|+|=|﹣|”表示的几何意义，是解答的关键．21．（2016•天津）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的（）﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，+a2n＜0”不一定成立，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；+a2n＜0”，前提是“q＜0”，而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1故选：C．【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．22．（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h （x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h （x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g （x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（共2小题）23．（2018•北京）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f （x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f（x）=sinx．【分析】本题答案不唯一，符合要求即可．【解答】解：例如f（x）=sinx，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）=sinx．【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题．24．（2018•北京）能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为a=1，b=﹣1．【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．【解答】解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但＜为假命题，故答案可以是a=1，b=﹣1，故答案为：a=1，b=﹣1．【点评】本题主要考查命题的真假的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键．比较基础．。

集合与常见逻辑用语1．（2021·全国高考真题（理））设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B 【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．一、集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B 或B ⊇A .(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B交集所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B补集全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A二、充分条件与必要条件充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒pp 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p三、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M 中任意一个x ，有p (x )成立∀x ∈M ，p (x )∃x 0∈M ，∃p (x 0)特称命题存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ，∃p (x )1．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））下列命题中，真命题是（）A ．在ABC 中“AB >”是“sin sin A B >”的充分不必要条件B ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∀∈，20x <”C ．对任意x ∈R ，2x x e e -+≥D ．“若1x >，则0x >”的否命题是“若1x >，则0x ≤”2．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知集合{}220A x x x =-<，{}10B x x =-<，则A B = （）A ．{}12x x <<B ．{}21x x -<<C ．{}10x x -<<D ．{}01x x <<1．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设{}(,)A x y y kx ==，{}(,)21B x y y x ==-，则“11k -≤≤”是“A B ⋂≠∅”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知x 、y ∈R ，则“13x y +≤”是“2291x y +≤”的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．（2021·陕西西安市·高新一中高三二模（理））已知函数()log ,32,3a x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，则“函数()f x 在R 上单调递减”是“1a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·河南洛阳市·高二期末（理））使得0a b >>成立的一个充分不必要条件是（）A ．110b a>>B ．a b e e >C ．22a b >D ．ln ln 0a b >>6．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））设集合{}11A x x =-≤，{}20B x x a =-+<，若A B B ⋃=，则a 的取值范围为（）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞7．（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B = ，则实数a 的取值集合为（）A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．{}2,0,1-D ．{}2,1,0--8．（2021·全国高三月考）2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）是数列{}n a 满足：4n n a a +=()*∀∈N n 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件9．（2021·全国高三其他模拟（理））“2x <”是“162log xx ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021·千阳县中学高三其他模拟（理））已知命题:cos 0p α≠是2()k k Z απ≠∈的充要条件；命题:q 设随机变量~(0,1)N ξ，若32P m ξ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，则31022P m ξ⎛⎫-<<=- ⎪⎝⎭.那么下列命题是假命题的为（）A ．p q ∧B ．p q∨C ．()p q ⌝∧D ．()p q⌝∨1．（2018·北京高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+ ”是“a b ⊥r r”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,23．（2019·天津高考真题（理））设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019·北京高考真题（理））设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +> ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2019·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)6．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<7．（2020·全国高考真题（理））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．68．（2020·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（）A ．–4B ．–2C ．2D ．41．C 【分析】利用正弦定理、命题的否定和否命题的关系、基本不等式分别对选项A 、B 和D 、C 进行判断即可求解．【详解】解：对于A ：在ABC 中，当“A B >”时，则a b >，所以由正弦定理有“sin sin A B >”，当“sin sin A B >”时，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >，故a b >，所以“A B >”是“sin sin A B >”的充分必要条件，故A 错误；对于B ：命题“x R ∀∈，20x ”的否定是“0x R ∃∈，200x <”故B 错误；对于C ：对任意的x ∈R ，22x x x x e e e e --+≥⨯=（当且仅当0x =时等号成立），故C 正确；对于D ：“若1x >，则0x >”的否命题是“若1x ，则0x ”，故D 错误；故选：C ．2．D 【分析】解一元二次不等式220x x -<得{}02A x x =<<,进而根据集合运算求解即可.【详解】解一元二次不等式220x x -<得02x <<,故{}{}22002A x x x x x =-<=<<，由于{}{}101B x x x x =-<=<，所以{}01A B x x ⋂=<<.故选：D1．B根据A B ⋂≠∅，可知方程kx =1[,)2+∞有解，求出k 的范围，再根据充分条件和必要条件判断即可.【详解】因为A B ⋂≠∅，所以y kx =与y =kx =1[,)2+∞有解，所以k x ===01k ≤≤，故“11k -≤≤”是“01k ≤≤”的必要不充分条件.故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将A B ⋂≠∅转化为方程kx =在1[,)2+∞有解来处理，同时要注意x 的取值范围.2．A 【分析】根据B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a 的取值范围．【详解】解：B A ⊆ ，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1x a-，要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1x a-，要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅.3．A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的基本性质、特殊值法判断可得出合适的选项.【详解】充分性：若13x y +≤，则22229313x y x y x y ⋅⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+≤，所以，222319x y x y ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭+≤，充分性成立；必要性：取1x =，56y =，则22291369x y =<+，但7163x y =>+，必要性不成立.因此，“13x y +≤”是“2291x y +≤”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.4．A 【分析】根据函数()f x 在R 上单调递减求出实数a 的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】函数()f x 在R 上单调递减11323log 3a a a >⎧⇔⇔<≤⎨-≥-⎩，{}13a a <≤ {}1a a >，所以，“函数()f x 在R 上单调递减”是“1a >”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.5．D 【分析】根据不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，若110b a >>，则可以得到0a b >>；反之当0a b >>时也可以得到110b a >>，所以110b a>>是0a b >>的充分必要条件；故排除A ；B 选项，若a b e e >，则a b >，但不一定得出0a b >>，所以a b e e >不是0a b >>的充分不必要条件；故B 错；C 选项，当3,1a b ==-时，2291a b =>=，故22a b >推不出0a b >>，不是一个充分不必要条件，故排除C ；D 选项，由ln ln 0a b >>可得ln ln ln1a b >>，则1a b >>，能推出0a b >>，反之不能推出，所以ln ln 0a b >>是0a b >>的充分不必要条件；故D 正确.故选：D.【点睛】结论点睛：判定充分条件和必要条件时，一般可根据概念直接判定，有时也需要根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．6．A 【分析】先解出集合A ，根据A B B ⋃=,可知A B ⊆,构造关于a 的不等式组,解得a 的范围.【详解】{}{}11=02A x x x x =-≤≤≤，2a B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，由A B B ⋃=得A B ⊆，所以0a <.故选：A.【点睛】（1）A B B A B ⋃=⇔⊆，A B A A B ⋂=⇔⊆.（2）由B A ⊆求参数的范围容易漏掉=B ∅的情况．7．D【分析】先求出集合A ，由A B B = 得到B A ⊆，再分类讨论a 的值即可.【详解】{}{}22301,2A x N x x *=∈--<=，因为A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时，集合{}20B x ax φ=+==，满足B A ⊆；当0a ≠时，集合{}220B x ax x a ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，{}1,2A =得21a -=或22a-=，解得2a =-或1a =-，综上，实数a 的取值集合为{}2,1,0--.故选：D .【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略0a =时，集合B φ=满足B A ⊆，而错解.8．A【分析】由2+=n n a a c 可得4n n a a +=()*∀∈Nn 成立，反之举反例2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数可得必要性不成立；【详解】∵2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数），∴24++=n n a a c ()*∀∈Nn ，∴224+++=n n n n a a a a ()*∀∈N n ，∴4n n a a +=()*∀∈N n ，∴2+=n n a a c 是4n n a a +=的充分条件．若2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则4n n a a +=()*∀∈N n ，但2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）不成立，所以不是必要的．故选：A.【点睛】本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明.9．B【分析】构造函数()16log 2x f x x -=-，分析该函数的定义域及单调性，解不等式()0f x <，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】构造函数()16log 2x f x x -=-，则函数()f x 为()0,∞+上的增函数，因为()2162log 220f -=-=，所以，当02x <<时，()()20f x f <=，当2x >时，()()20f x f >=，所以，满足162log x x ->的x 的取值范围是()0,2，因为{}2x x <{}02x x <<，因此，“2x <”是“162log x x ->”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.10．A【分析】先判断p 是假命题，q 是真命题，再根据复合命题判断即可.【详解】解：cos 02k πααπ≠⇒≠+ ，则2k απ≠不成立，反之，若2k παπ=+，满足2k απ≠，但cos 0α=，∴cos 0α≠是()2k k Z απ≠∈的既不充分也不必要条件，p ∴是假命题.根据正态分布的对称性得：3123121202222P m P m ξξ⎛⎫-≥ ⎪-⎛⎫⎝⎭-<<===- ⎪⎝⎭，q ∴是真命题，∴p q ∧为假命题，p q ∨，()p q ⌝∧，()p q ⌝∨均为真命题.故选:A.【点睛】本题考查正态分布，复合命题的真假判断，既不充分也不必要条件等，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据正态分布的对称性得q 是真命题，余弦函数的性质得p 是假命题，进而根据逻辑关系求解.1．C【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量,a b 均为单位向量所以|3||3|a b a b -=+ ⇔()()2233a b a b -=+ ⇔22226996a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ⇔169961a b a b -⋅+=+⋅+ ⇔0a b ⋅= ⇔a b⊥r r 所以“|3||3|a b a b -=+ ”是“a b ⊥r r”的充要条件故选：C【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.2．A【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】21,x ≤∴ 11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =- ，故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.3．B【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．4．C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC|⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.5．A【分析】先求出集合A ，再求出交集．【详解】由题意得，{}{}23,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．6．C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7．C【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.8．B【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

第一章 常用逻辑用语一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +-> D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b B x x a +=-,则A 是B 的 条件。

3．用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件；③:23A x -<, 2:4150B x x --<, 则A 是B 的___________条件。

常用逻辑用语习题及答案1．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【解析】命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，将条件与结论实行否认．∴否命题是：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3.【答案】A2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0，但(a－1)(a－2)＝0，有a＝1或a＝2，即(a－1)(a－2)＝0a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．【答案】A3.(2011·湖北高考)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】若φ(a，b)＝0，则a2＋b2＝a＋b，∴a＋b≥0且a2＋b2＝a2＋b2＋2ab，所以ab＝0且a＋b≥0.∴a≥0，b≥0且ab＝0，“a与b”互补．则φ(a，b)＝0是a与b互补的充分条件．显然a≥0，b≥0，且ab＝0时，有a2＋b2＝(a＋b)2，∴φ(a，b)＝a2＋b2－(a＋b)＝a＋b－(a＋b)＝0，故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．4.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【尝试解答】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a . 当a ＝1时，1＜x ＜3，又⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.得2＜x ≤3. 由p ∧q 为真．∴x 满足⎩⎪⎨⎪⎧2＜x ≤3，1＜x ＜3.即2＜x ＜3.所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3. (2)由¬p 是¬q 的充分不必要条件，知 q 是p 的充分不必要条件，由A ＝{x |a ＜x ＜3a ，a ＞0}，B ＝{x |2＜x ≤3}， ∴B A .所以a ≤2且3＜3a .所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.评析：．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．提醒：列关于参数的不等式时要考查端点值是否能取到，常用的方法是代入端点值验证是否符合题意．5.已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 化简，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件， 所以A ⊆B ，于是有⎩⎨⎧a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，解得1≤a ≤3. 或⎩⎨⎧a ＜13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得a ＝－1. 故a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．6.(2011·山东高考)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由y ＝f (x )是奇函数⇒y ＝|f (x )|是偶函数；但y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称y ＝f (x )为奇函数．∴“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的必要不充分条件，选B. 7．(2011·陕西高考)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b8．(2011·浙江高考)设a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵0＜ab ＜1，∴a ，b 同号，且ab ＜1. ∴当a ＞0，b ＞0时，b ＜1a ；当a ＜0，b ＜0时，b ＞1a .∴“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的不充分条件．而取b ＝－1，a ＝1，显然有b ＜1a ，但不能推出0＜ab ＜1， ∴“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的不必要条件9．(2011·辽宁高考)已知命题p ：∃n ∈N ，2n ＞1 000，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，2n ≤1 000 B ．∀n ∈N ，2n ＞1 000 C ．∃n ∈N ，2n ≤1 000 D ．∃n ∈N ，2n ＜1 000【解析】 因为特称命题的否认是全称命题，因而綈p 为∀n ∈N ，2n ≤1 000. 【答案】 A10．(2012·郑州一中月考)已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(2，3)D ．(2，4)【解析】 由p 是假命题可知，∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0恒成立， 故Δ＝4a 2－4a ＜0，解之得0＜a ＜1. 【答案】 A11.(2012·南京模拟)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则以下选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)【思路点拨】 由2ax 0＋b ＝0，知f (x )在x ＝x 0处取得极小值，从而做出判断． 【解析】 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，知f ′(x )＝2ax ＋b . 依题意f ′(x 0)＝0，又a ＞0，所以f (x )在x ＝x 0处取得极小值． 所以，对∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，C 为假命题． 【答案】 C12.(2011·中山模拟)设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由N是M的真子集，则“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，应选B.答案：B13.(2009·天津)命题“对任意x∈R,2x>0”的否认是( )A.不存有x0∉R,2x0>0 B．存有x0∈R,2x0>0C.存有x0∈R,2x0≤0 D．对任意x∈R,2x≤0解析：全称命题的否认为特称命题，“对任意x∈R,2x>0”的否认是“存有x0∈R,2x0≤0”．答案：C14.(2010·全国新课标)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x 在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4关键提示：先判断出p1，p2的真假，然后再实行相关的判断．解析：因为y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数，易知p1是真命题，p2是假命题，故q1，q4是真命题．答案：C15.[2011·湖南卷。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ） A ．{}1,3,4 B ．{}2,3,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}0,1,2,3,4,93．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}0,1,2 C ．{}2- D ．{}25．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}- 6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ） A ．{}02x x ≤< B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,911．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ） A ．{}1,4,9 B ．{}3,4,9 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,52．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a c C ．{},b d D ．{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n S n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故选：B.2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时，集合{}1,0M =，{}1,0,1N =-，可得M N ⊆，满足充分性，若M N ⊆，则0a =或1a =-，不满足必要性，所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件，故选：A.考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：C3．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C 【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--， 所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．5．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]：直接法因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B = ，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ；4x =代入集合{}11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B = ．故选：A.8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=， 故选：B.11．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可 【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【名师点评】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ，故选：D.3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ .故选：B.4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选：C【名师点评】本题考查集合并集，考查基本详细分析求解能力，属基础题.考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =， 则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D 2．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ） A ．()U M N ð B ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确； {}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ） A ．2M ∈ B ．3M ∈ C ．4M ∉ D ．5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项．【答案详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =-- ð，故选：D ．6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð， 故选：B.7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a cC ．{},b dD ．{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选：C考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件 【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ， 若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ， 例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一：由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可. 【答案详解】解法一： 因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-， 所以112x y y yy x y y -+=+=--=--， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-， 所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选：C5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【答案详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+， 因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+， 即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题 D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x > D ．x ∀∈R ，20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误； B 项：根据12<、45<易知B 错误； C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误； D 项：2x 恒大于等于0，D 正确， 故选：D.。

集合与常用逻辑用语--高考真题汇编第一章第一节集合1.（2023全国甲卷理科1）设集合{}31,A x x k k ==+∈Z ，{}32,B x x k k ==+∈Z ，U 为整数集，则()U A B = ð（）A.{}3,x x k k =∈ZB.{}31,x x k k =-∈ZC.{}32,x x k k =-∈Z D.∅【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【解析】因为整数集{}{}{}3,3+1,3+2,x x k k x x k k x x k k ==∈=∈=∈Z Z Z Z ，=U Z ，所以(){}3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选A ．2.（2023全国甲卷文科1）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}2,5N =，则U N M = ð（）A.{}2,3,5 B.{}1,3,4 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【解析】因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，所以{}2,3,5U M =ð，又{2,5}N =，所以{2,3,5}U N M = ð.故选A.3.（2023全国乙卷理科2）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x =（）A.()U M N ð B.U N Mð C.()U M N ð D.U M Nð【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}2x x 即可.【解析】由题意可得{}2M N x x =< ，则(){}2U M N x x = ð，选项A 正确；{}1U M x x =ð，则{}1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}11M N x x =-<< ，则(){}11U M N x x x =- 或ð，选项C 错误；{}12U N x x x =-或ð，则{}12U M N x x x =< 或ð，选项D 错误；故选A.4.（2023全国乙卷文科2）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}0,4,6M =，{}0,1,6N =，则U M N = ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ð即可.【解析】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选A.5.（2023新高考I 卷1）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N =（）A.{}2,1,0,1--B.{}0,1,2 C.{}2- D.{}2【解析】{}(][)260,23,N x x x =--≥=-∞-+∞ ，所以{}2M N =- ，故选C.6.（2023新高考II 卷2）2.设集合{}{}0,,1,2,22A a B a a =-=--，若A B ⊆，则a =（）A.2 B.1 C.23D.1-【解析】因为A B ⊆，所以必有20a -=或220a -=，解得2a =或1a =.当2a =时，{}{}0,2,1,0,2A B =-=，不满足A B ⊆；当1a =时，{}{}0,1,1,1,0A B =-=-，符合题意.所以1a =.故选B.7.（2023北京卷1）已知集合{}20M x x =+，{}10N x x =-<，则M N = （）A.{}21x x -<B.{}21x x -<C.{}2x x - D.{}1x x <【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【解析】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选A.8.（2023天津卷1）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A = ð（）A ．{}1,3,5B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,5【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；【解析】由{3,5}U B =ð，而{1,3}A =，所以{1,3,5}U B A = ð.故选A.第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023新高考I 卷7）已记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a 公差为d ，则()112n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以甲是乙的充分条件.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即()()()1111111n n n n n n nS n S S S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即()11n nna S t n n +-=+，故()11n n S na tn n +=-+，()()()1112n n S n a t n n n -=---≥，两式相减得()1112n n n n n a S S na n a tn -+=-=---，12n n a a t +-=为常数，对1n =也成立，所以{}n a 为等差数列，所以甲是乙的必要条件.所以，甲是乙的充要条件，故选C.3.（2023北京卷8）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2x yy x+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】解法一：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x yy x+化简即可，证明必要性可由2x y y x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法二：由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，证明充分性可把0x y +=代入即可；证明必要性把2x yy x+=-代入，解方程即可.【解析】解法一：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y y x y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+-+++--+===-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.4.（2023天津卷2）“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【解析】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选B.。

专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【必刷24】若集合{}4A y y x ==-，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}xx <≤∣C ．{12}xx ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷55】设x ∈R ，则“|1|4x -<”是“502x x -<-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷56】已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷57】已知命题2:log 1p x >，命题2:20q x x ->，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷58】设a 、b都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b = 成立的充分条件是（）A ．a b =r r 且a b∥B ．a b=-r r C ．a b∥D ．2a b= 【必刷59】已知向量a 和b ，则“||||a b a b ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷60】设实数0x >，则“2log 1x <”成立的一个必要不充分条件是（）A ．122x <<B ．12x <<C ．1x <D ．2x <专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【答案】A【解析】先写出集合M ，然后逐项验证即可；【详解】由题知{2,4,5}M =，对比选项知，A 正确，BCD 错误，故选：A【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤ ，23,x ∴≤x Z ∈ ，1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意可知，集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B【解析】先求得A B ，然后求得A B 子集的个数.【详解】{}0,1A B = ，所以A B 子集的个数为224=个.故选：B【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解方程组可求得A B ，根据A B 元素个数可求得真子集个数.【详解】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，()(){}0,0,1,1A B ∴= ，即A B 有2个元素，A B ∴ 的真子集个数为2213-=个.故选：C.【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】C【解析】根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】因为{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，所以{}2,3,4A B = ，因此A B 中有三个元素，所以A B 的子集个数为328=，故选：C【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【答案】A【解析】化简,A B ，进而根据交集的定义，计算A B ，然后利用子集的概念即可求解.【详解】因为{}{}{}293310123B x |x x |x ,A ,,,,,=<=-<<=-所以{}1012M A B ,,,,==- 所以M 的子集共有42=16（个）.故选：A【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】联立=+12+2=1可得=0=1或=−1=0，故集合A ∩B 中元素的个数为2，故选：C ．【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】求出集合B ，可求得集合A B ，确定集合A B 的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结果.【详解】因为{}{}223031B x x x x x =+-<=-<<，所以，{}1,0A B ⋂=-，则集合A B 的元素个数为2，因此，A B 的子集个数为224=.故选：B.【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】解不等式求得A ，然后求得A ⋂Z ，进而求得正确答案.【详解】222x x ≤⇒≤，所以A ⎡=⎣，所以{}1,0,1A ⋂=-Z ，所以A ⋂Z 子集的个数是328=.故选：D【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】B【解析】对于集合N ，元素x 对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及N M ⊆，可确定出其中的元素，进而求解.【详解】对于集合N ，因为280a ∆=+>，所以N 中有两个元素，且乘积为-2，又因为N M ⊆，所以{}2,1N =-，所以211a -=-+=-．即a ＝1．故选：B.【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】求出集合A 后可得其子集的个数.【详解】{}{}2224|log 2|2,1,1,20x x Z x x Z x ⎧⎫⎧≤⎪⎪∈≤=∈=--⎨⎨⎬≠⎪⎪⎩⎩⎭，故该集合的子集的个数为：4216=.故选：C.【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【答案】D【解析】先求得集合B ，然后求得A B ，从而求得A B 的真子集的个数.【详解】{0,1,2}B = ，{2,0,1,2}A B ∴⋃=-，A B 的真子集的个数为42115-=个.故选：D【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】先求出集合B ，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先求出集合T ，然后根据交集的定义求出S T ，最后根据真子集的定义求出真子集的个数.【详解】∵{}21,S s s n n Z ==+∈，{}33T x x =-<<，∴{}1,1S T =- ，∴S T 的真子集个数为2213-=，故选：C .【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合A B 的元素个数求解.【详解】如图所示：，集合A B 有3个元素，所以集合A B 的真子集的个数为7，故选：C【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意求得阴影部分表示的集合，结合集合子集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}13,5A =,，{}3,4,5B =，可得{}3,5A B = ，可得{}()1,2,4U A B = ð，即阴影部分表示的集合为{}1,2,4，所以阴影部分表示的集合的子集个数为328=.故选：D.考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【解析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【答案】B【解析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合,P Q ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由2log 1x >，得2x >，所以{}2,P x x =>{}R 2P x x =≤ð.由302x x -≤+，得23x -<≤，所以{}23x x Q =-<≤，所以(){}{}{}R 23222P Q x x x x x x -<=≤=≤-<≤ ð，故选：B.【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】首先化简集合A ，再根据补集的运算得到R A ð，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】因为20(2,4)4x A xx ⎧⎫+=<=-⎨⎬-⎩⎭，所以{R |2A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 4,5A B = ð，故选：B.【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【答案】C【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】由题意{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤，{}1244216x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭，所以(]4,4A B =- .故选：C.【必刷24】若集合{A y y ==，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【答案】A【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】因为{{}0A y y y y ==≥，{}{}3log 209B x x x x =≤=<≤，所以{}09A B x x ⋂=<≤.故选：A ．【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【答案】C【解析】解对数不等式确定集合A ，解二次不等式确定集合B ，然后由并集定义计算．【详解】由题意{|021}{|23}A x x x x =<-<=<<，{|22}B x x =-≤≤，所以{|23}[2,3)A B x x =-≤<=- ．故选：C ．【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【答案】B【解析】应用集合的交补运算求()U A B I ð.【详解】由题设{2,4,6,7}U A =ð，又{2,3,4,6}B =，所以()={2,4,6}U A B = ð，故选：B【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】先化简集合N ，再去求M N ⋂即可解决【详解】{}{}ln 0N x y x x x ===>，则{}{}{}12002M N x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤，故选：C【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【答案】C【解析】求出函数2e x y =-的值域，再利用交集的定义求解作答.【详解】因e 0x >，则22e x -<，即(,2)B =-∞，而{}Z 33A x x =∈-<<，所以{2,1,0,1}A B =-- .故选：C【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【答案】D【解析】先求解集合B 的补集，再利用并集运算即可求解.【详解】由题得{}0,4,5U B =ð，又{}0,1,2A =，所以(){}0,1,2,4,5U B A ⋃=ð，故选：D.【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}x x <≤∣C ．{12}x x ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【答案】B【解析】解指数不等式得到{}02N x x =<<，进而求出交集.【详解】因为124x <<，所以02x <<，所以{}02N x x =<<，所以M N = {}01x x <≤，故选：B【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【答案】D【解析】求出,A B A B ，阴影表示集合为()A B A B ð，由此能求出结果.【详解】矩形表示全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，{}{}2,3,1,0,2,3,5,6,7A B A B ∴⋂=⋃=-，则阴影表示集合为(){}1,0,5,6,7A B A B ⋃⋂=-ð.故选：D.【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【答案】C【解析】利用对数函数的单调性求得集合A ，解一元二次不等式求得B ，即可根据集合的补集以及并集运算求得答案.【详解】由题意得{}2|log ,4{|2}A y y x x y x ==>=>，则{|2}A y y =≤R ð，而{}2|320{|12}B x x x x x =-+<=<<，故()(,2]A B =-∞R ðU ，故选：C.【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【答案】B【解析】根据文氏图求解即可.【详解】{2,4}A B ⋂=，{}0,2,3,4,5,6A B ⋃=，阴影部分为{}0,3,5,6.故选：B ．【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【答案】D【解析】解出集合A 、B ，利用并集的定义可求得结果.【详解】{}{}222A x x x x =<=-<<，(){}{}{{}22ln 33003B x y x xx x xx x ==-=->=<<.所以，()2,3A B =- .故选：D.【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【答案】D【解析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解.【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =，所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=- ，故选：D ．【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D【解析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可.【详解】由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅ ，所以，当{}2|B x a x a =<<=∅时，2a a ≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞ ，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞.故选：D【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【答案】C【解析】先解出集合A ，考虑集合B 是否为空集，集合B 为空集时合题意，集合B 不为空集时利用24a或211a +- 解出a 的取值范围.【详解】由题意(]40141x A x x ⎧⎫-==-⎨⎬+⎩⎭， ，(){}()(){}2222(1)210210B x x a x a a x x a x a ⎡⎤=-+++<=--+<⎣⎦，当B =∅时，221a a =+，即1a =，符合题意；当B ≠∅，即1a ≠时，()22,1B a a =+，则有24a或211a +- ，即 2.a 综上，实数a 的取值范围为{}[)12,+∞U .故选：C.【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【答案】D【解析】根据题意可以得到B A ⊆，进而讨论0a =和0a ≠两种情况，最后得到答案.【详解】由题意，{}2,6A =，因为A B B = ，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =.综上：0a =或12a =或16a =.故选：D.【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可.【详解】因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<，所以，实数a 的取值范围是31,122⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9【答案】A【解析】先求出集合[)1,5B =，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得[){2}1,5B x =<=，其中奇数有1，3，又{}21,Z A x x n n ==+∈，则{}1,3A B = ，故选：A ．考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①由2320x x -+=解得1x =或2x =，根据充分、必要条件定义理解判断；②根据全称命题的否定判断；③根据题意可得命题p 为真命题，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题；④先写出原命题的否命题，取特值2πϕ=-，代入判断．【详解】①2320x x -+=，则1x =或2x =“1x =”是“1x =或2x =”的充分不必要条件，①为真命题；②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg lg10x ≥=，命题p 为真命题，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题，③为假命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为“若2πϕ≠，则()sin 2y x ϕ=+不是偶函数”若2πϕ=-，则sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为偶函数，④为假命题故选：C ．【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【答案】D【解析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项．【详解】命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错；命题:R p x ∃∈，210x x +-<的否定是R x ∀∈，210x x +-≥，B 错；易知函数12()2log (2)x f x x +=++在定义域内是增函数，()11f -=，(2)10f =，所以12x -<<时，()1212log 210x x +<++<满足()122log 210x x +++<，但()122log 210x x +++<时，22x -<<不满足12x -<<，因此题中应不充分不必要条件，C 错；p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题，若,p q 中有一个为真，则p q ∨为真命题，D 正确．故选：D ．【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【答案】C【解析】利用全称命题的否定可判断A ，由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ，通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”，正确；B.在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a bR R≥（R 为外接圆半径），a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；反之，A B ≥可得a b ≥，由正弦定理可得sin sin A B ≥，即为充要条件，故正确；C.当0,0a b c ==≥时满足20ax bx c ++≥，但是得不到“0a >，且240b ac -≤”，则不是充要条件，故错误；D.若1sin 2α≠，则6πα≠与6πα=则1sin 2α=的真假相同，故正确；故选：C【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】同时否定条件和结论即可，注意x =0且y =0，的否定为0x ≠或0y ≠.【详解】命题“若220x y +=，则0x y ==”即为“若220x y +=，则0x =且0y =”所以否命题为：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠.故选：D【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A ，根据奇函数的定义判断B ，利用特殊值判断C ，根据三角形的性质及正弦定理判断D ；【详解】对于A ：2000:,2310p x R x x ∃∈++>则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++≤，故A 错误；对于B ：由(0)0f =，得不到函数()f x 是奇函数，如2()f x x =满足(0)0f =，但是2()f x x =为偶函数，由函数()f x 是奇函数也不一定得到(0)0f =，如()1f x x=为奇函数，当时函数在0处无意义，故B 错误；对于C ：当2x =时22x x =，故C 错误；对于D ：因为A B >根据三角形中大角对大边，可得a b >，再由正弦定理可得sin sin A B >，故D 正确；故选：D【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】利用配方法可判断①的正误；利用集合的包含关系可判断②的正误；利用复合命题的真假可判断③的正误；利用反证法可判断④的正误.【详解】对于①，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，①对；对于②，因为{}2a a >（{}5a a >，故“2a >”是“5a >”的必要不充分条件，②错；对于③，“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题，所以，p q ⌝∧⌝为真命题，③对；对于④，假设1x ≤且1y ≤，则2x y +≤，与2x y +>矛盾，假设不成立，④对.故选：B.【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【答案】B【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到答案.【详解】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题0:p x R ∃∈，2010x +=的否定为：x R ∀∈，210x +≠.故选：B.【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x ≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【答案】D【解析】根据命题否定的定义即可求解.【详解】对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，即000,sin x R x x ∃∈≤；故选：D.【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【答案】C【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】由全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】D【解析】A 选项直接否定条件和结论即可；B 选项存在一个量词的命题的否定，先否定量词，后否定结论；C 选项“且”命题是一假必假；D 选项，利用“小集合”是“大集合”的充分不必要条件作出判断.【详解】对于A ，命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错误；对于B ，命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +-≥，B 错误；对于C ，若p q ∧为假命题，则p ，q 有一个假命题即可；C 错误；对于D ， 2320x x -+>1x ∴<或2x >11x x ∴<⇒<或2x >，即“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，D 正确.故选：D考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分必要条件的定义及对数不等式即可求解；【详解】由题意可知当2,1x y =-=时，满足11x y<，但不满足22log log x y >；由22log log x y >，得0x y >>，满足11x y <，所以“11x y<”是“22log log x y >”的必要不充分条件，故选：B ．【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.【详解】在ABC 中，A B =，则22A B =，必有sin 2sin 2A B =，而,63A B ππ==，满足sin 2sin 2A B =，此时ABC 是直角三角形，不是等腰三角形，所以“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的必要不充分条件.故选：B【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用抽象函数的定义域可判断A 选项；利用平面向量数量积的定义可判断B 选项；利用函数零点的定义可判断C 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，对于函数()1y f x =+，则有111x -≤+≤，解得20x -≤≤，即函数()1y f x =+的定义域为[]2,0-，A 错；对于B 选项，若正三角形ABC 的边长为2，则cos1202AB BC AB BC ⋅=⋅=-，B 错；对于C 选项，已知函数()()2log 11f x x =+-，令()0f x =，解得1x =，所以，函数()y f x =的零点为1，C 错；对于D 选项，若2παβ==，则tan α、tan β无意义，即“αβ=”⇒“tan tan αβ=”；若tan tan αβ=，可取4πα=，54πβ=，则αβ≠，即“αβ=”⇐/“tan tan αβ=”.因此，“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件，D 对.故选：D.【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.【详解】解不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭，得1x <，解不等式21x <，得11x -<<，。

(每日一练)通用版高中数学必修一常用逻辑用语典型例题单选题1、已知命题p:“∀x∈R，ax2+bx+c>0”，则¬p为（）A．∀x∈R，ax2+bx+c≤0B．∃x0∈R，ax2+bx+c≥0C．∃x0∈R，ax2+bx+c≤0D．∀x∈R，ax2+bx+c<0答案：C解析：由全称命题的否定可得出结论.命题p为全称命题，该命题的否定为¬p:∃x0∈R，ax2+bx+c≤0.故选：C.2、设曲线C是双曲线，则“C的方程为y28−x24=1”是“C的渐近线方程为y=±√2x”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：根据C的方程为y 28−x24=1，则渐近线为y=±√2x；若渐近线方程为y=±√2x，则双曲线方程为x2−y22=λ（λ≠0）即可得答案.解：若C的方程为y 28−x24=1，则a=2√2，b=2，渐近线方程为y=±abx，即为y =±√2x ，充分性成立；若渐近线方程为y =±√2x ，则双曲线方程为x 2−y 22=λ（λ≠0）， ∴“C 的方程为y 28−x 24=1”是“C 的渐近线方程为y =±√2x ”的充分而不必要条件.故选：B.小提示： 本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p ⇒q,q ⇒p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3、已知实数x ､y ，则“|x |+|y |≤1”是“{|x |≤1|y |≤1.”的（ ）条件 A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要答案：B解析：根据充分必要条件的定义判断．若|x |+|y |≤1，则|x |≤1且|y |≤1，否则|x |+|y |≤1不成立，是充分的，若|x |≤1且|y |≤1，|x |+|y |≤1不一定成立，如x =y =1，满足已知，但|x |+|y |>1，因此不必要． ∴就是充分不必要条件，故选：B ．解答题4、已知p:关于x 的方程x 2−2ax +a 2+a −2=0有实数根，q:m −1≤a ≤m +3．（1）若命题¬p是真命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．答案：（1）{a|a>2}；（2）{m|m≤−1}.解析：（1）根据题意得到p是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解；（2）由p是q的必要不充分条件，得到{a|m−1≤a≤m+3}⊊{a|a≤2}，即可求解.（1）因为命题¬p是真命题，所以p是假命题，所以对于方程x2−2ax+a2+a−2=0，有Δ=(−2a)2−4(a2+a−2)<0，即4a−8>0，解得a>2，所以实数a的取值范围是{a|a>2}．（2）由命题p为真命题，根据（1）可得{a|a≤2}，又由p是q的必要不充分条件，可得那么q能推出p，但由p不能推出q，可得{a|m−1≤a≤m+3}⊊{a|a≤2}，则m+3≤2，解得m≤−1，所以实数m的取值范围是{m|m≤−1}．5、设f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)<a-1(a∈R).答案：(1)a≥13(2)答案见解析解析：（1）根据“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，知ax2+(1-a)x+a-2≥-2，即ax2+(1-a)x+a≥0，此时对a进行分类讨论，再结合判别式Δ即可求出a的范围.（2）由f(x)<a-1得ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0，对a进行分类讨论，即可求出不等式f(x)<a-1的解集.(1)∵命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，∴ax2+(1-a)x+a-2≥-2恒成立，即ax2+(1-a)x+a≥0恒成立.当a=0时，x≥0，不满足题意；当a≠0时，知{a>0，Δ≤0，即{a>0，(1-a)2-4a2≤0，解得a≥13.故实数a的取值范围为a≥13.(2)∵f(x)<a-1(a∈R)，∴ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时，x<1，∴不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，ax2+(1-a)x-1<0⇒(ax+1)(x-1)<0，此时方程(ax+1)(x-1)=0的解分别为-1a，1，∵-1a <1，∴不等式的解集为{ x|-1a<x<1}，当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x-1)<0，①当a=-1时，-1a=1，∴不等式的解集为{x|x≠1}；②当-1<a<0时，-1a >1，此时不等式的解集为{ x|x>−1a或x<1}；③当a<-1时，-1a <1，此时不等式的解集为{ x|x>1或x<−1a}。

1.2常用逻辑用语考点一命题及其关系1.(2015山东文,5,5分)设m∈R,命题“若m>0,则方程x 2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x 2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x 2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x 2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x 2+x-m=0没有实根,则m≤0答案D 命题“若m>0,则方程x 2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x 2+x-m=0没有实根,则m≤0”,故选D.2.(2014陕西理,8,5分)原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假答案B 先证原命题为真:当z 1,z 2互为共轭复数时,设z 1=a+bi(a,b∈R),则z 2=a-bi,则|z 1|=|z 2|=2+2,∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取z 1=1,z 2=i,满足|z 1|=|z 2|,但是z 1,z 2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假.故选B.3.(2013天津理,4,5分)已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆x 2+y 2=12相切.其中真命题的序号是()A.①②③B.①②C.①③D.②③答案C 对于命题①,设原球的半径和体积分别为r,V,变化后的球的半径和体积分别为r',V',则r'=12r,由球的体积公式可知V'=43πr'3=43π·r 3=18×43πr 3=18V,所以命题①为真命题;命题②显然为假命题,如两组数据:1,2,3和2,2,2,它们的平均数都是2,而后者的标准差为0;对于命题③,易知圆心到直线的距离所以直线与圆相切,命题③为真命题.故选C.4.(2013陕西文,6,5分)设z 是复数,则下列命题中的假．命题是()A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0答案C举反例说明,若z=i,则z2=-1<0,故选C.考点二充分条件与必要条件1.(2019北京文,6,5分)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C本题考查函数的奇偶性,充分、必要条件的判断,以及三角函数的性质;考查学生的运算求解能力和推理论证能力;考查的核心素养是逻辑推理.当b=0时,f(x)=cos x为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cos x-bsin x=f(x),∴-bsin x=bsin x对x∈R恒成立,∴b=0.故“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.易错警示本题在判断必要性时,易把函数化为f(x)=1+2sin(x+φ),其中tanφ=1,再分析φ=π2+kπ(k∈Z)在什么条件下成立.事实上,当φ=π2+kπ(k∈Z)时,tanφ不存在.2.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B|x-1|<1⇔-1<x-1<1⇔0<x<2.当0<x<2时,必有0<x<5;反之,不成立.所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.一题多解因为{x||x-1|<1}={x|0<x<2}⫋{x|0<x<5},所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.3.(2018北京文,4,5分)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B本题主要考查充分条件与必要条件,等比数列的性质.由a,b,c,d成等比数列,可得ad=bc,即必要性成立;当a=1,b=-2,c=-4,d=8时,ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列,即充分性不成立,故选B.方法总结充分条件与必要条件的判断方法:1.直接法:分别判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真假.2.集合法:设命题p,q中的变量构成的集合分别为P,Q.若P⫋Q,则p是q的充分不必要条件;若Q⫋P,则p是q的必要不充分条件;若P=Q,则p是q的充要条件;若P⊈Q,且Q⊈P,则p是q的既不充分也不必要条件.4.(2018天津,理4,5分)设x∈R,则“<12”是“x3<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.由<12得-12<x-12<12,解得0<x<1.由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成立.所以“<12”是“x3<1”的充分而不必要条件.方法总结(1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后验证得到的必要条件是否满足充分性.5.(2018浙江,6,4分)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A∵m⊄α,n⊂α,m∥n,∴m∥α,故充分性成立.而由m∥α,n⊂α,得m∥n或m与n异面,故必要性不成立.故选A.6.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.7.(2016北京理,4,5分)设a,b 是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D 当|a|=|b|=0时,|a|=|b|⇔|a+b|=|a-b|.当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0⇔a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出a⊥b.故选D.解后反思由向量加法、减法的几何意义知:当a 、b 不共线,且|a|=|b|时,a+b 与a-b 垂直;当a⊥b时,|a+b|=|a-b|.评析本题考查向量的模及运算性质,属容易题.8.(2016天津理,5,5分)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C 若对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0,则a 1+a 2<0,又a 1>0,所以a 2<0,所以q=21<0.若q<0,可取q=-1,a 1=1,则a 1+a 2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0”的必要而不充分条件.故选C.评析本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.9.(2016山东,6,5分)已知直线a,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A 因为直线a 和直线b 相交,所以直线a 与直线b 有一个公共点,而直线a,b 分别在平面α,β内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;反之,若平面α与β相交,则直线a 与直线b 可能相交、平行、异面.故选A.评析本题考查了线面的位置关系和充要条件的判断.10.(2016四川,7,5分)设p:实数x,y 满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y 满足≥t1,≥1-s ≤1,则p 是q 的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A如图,作出p,q表示的区域,其中☉M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.11.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“lo g12(x+2)<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B当x>1时,x+2>3>1,又y=lo g12x是减函数,∴lo g12(x+2)<lo g121=0,则x>1⇒lo g12(x+2)<0;当lo g12(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo g12(x+2)<0⇒/x>1.故“x>1”是“lo g12(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.12.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A因为|x-2|<1等价于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)⫋(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件,故选A.13.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.14.(2015陕西理,6,5分)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由sinα=cosα,得cos2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.由cos2α=0,得sinα=±cosα,即必要性不成立.故选A.15.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0,故选B.16.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得2-2=0,B=1,解得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.评析本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.17.(2014北京理,5,5分)设{an }是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D若q>1,则当a1=-1时,a n=-q n-1,{a n}为递减数列,所以“q>1”⇒/“{a n}为递增数列”;若{a n}为递增数列,则当a n时,a1=-12,q=12<1,即“{a n}为递增数列”⇒/“q>1”.故选D.考点三简单的逻辑联结词1.(2014湖南理,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④答案C由不等式性质知:命题p为真命题,命题q为假命题,从而¬p为假命题,¬q为真命题.故p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(¬q)为真命题,(¬p)∨q为假命题,故选C.2.(2014辽宁理,5,5分)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)答案A由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命题.故选A.3.(2014重庆文,6,5分)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是()A.p∧¬qB.¬p∧qC.¬p∧¬qD.p∧q答案A由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,故¬q为真命题,所以p∧¬q为真命题.4.(2013课标Ⅰ文,5,5分)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q答案B对于命题p,由于x=-1时,2-1=12>13=3-1,所以是假命题,故p是真命题;对于命题q,设f(x)=x3+x2-1,由于f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以f(x)=0在区间(0,1)上有解,即存在x∈R,x3=1-x2,故命题q是真命题.综上,p∧q是真命题,故选B.考点四全称量词与存在量词1.(2015课标Ⅰ理,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案C根据特称命题的否定为全称命题,知¬p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.2.(2015浙江理,4,5分)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n)∉N*或f(n0)>n0答案D“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.3.(2014湖北文,3,5分)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是()A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x∉R,x2≠xD.∃x∈R,x2=x答案D原命题的否定为∃x∈R,x2=x.故选D.4.(2013重庆理,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为()A.对任意x∈R,都有x2<0B.不存在x∈R,使得x2<0∈R,使得02≥0 D.存在x0∈R,使得02<0C.存在x答案D全称命题的否定是特称命题.“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得02<0”,故选D.5.(2016浙江,4,5分)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2答案D先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选D.6.(2015山东理,12,5分)若“∀x∈x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案1解析∵0≤x≤π4,∴0≤tan x≤1,∵“∀x∈x≤m”是真命题,∴m≥1.∴实数m的最小值为1.。

专题02 常用逻辑用语二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题真假的判定导数与极值的关系、充要条件的判定 考点5 命题及其关系1．（2020新课标III 理16）关于函数()1sin sin f x x x=+． ①()f x 的图像关于y 轴对称；②()f x 的图像关于原点对称； ③()f x 的图像关于2x π=对称；④()f x 的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ．【答案】②③ 【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误．综合可得出结论． 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误，故答案为：②③． 2.（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p 【答案】B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i(i)a b z a b a b-==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．3.（2011新课标）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p πθ+>⇔∈a b 2:p ||1+>a b ⇔2(,]3πθπ∈ 3:||1[0,)3p πθ->⇔∈a b 4:p ||1->a b ⇔(,]3πθπ∈ 其中真命题是A ．14,p pB ．13,p pC ．23,p pD ．24,p p 【答案】A 【解析】由得， ，。

2023届高考复习数学易错题专题（常用逻辑用语）汇编1．命题“∀a ，b >0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为（ ） A ．∀a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立 B ．∀a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立 C ．∃a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立 D ．∃a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立 2．使“a b >”成立的一个充分不必要条件是（）A．1a b >+ B．1a b > C．22a b > D．33a b >3．下列命题的否定是真命题的是（ ）A ．a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根B ．每个正方形都是平行四边形C ．m N N ∃∈D ．存在一个四边形ABCD ，其内角和不等于360°4．“直线m 垂直于平面α内的无数条直线”是“m ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设x >0，y >0，则“x ＋y ＝1”是“xy ≤14”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（多选）下列命题的否定中，真命题的是（ ）A ．x R ∃∈，2104x x -+<B ．所有正方形既是矩形也是菱形C ．0a ∃>，2220x x a +++=D ．所有三角形都有外接圆 7．（多选）下列选项中p 是q 的充分不必要条件的是（ ）A．:12p x <<，:12q x ≤≤B．:1p xy >，:1q x >，1y > C．1:1p x >，:1q x < D．p ：两直线平行，q ：内错角相等8．已知命题p ：x 2－3x ＋2≤0，命题q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[1，＋∞)C ．{0}D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)9．已知:0p a ≥；:q x R ∀∈，20x ax a -+>，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（多选）已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a 0B ．a 5C ．a 0D ．a 511．(多选)下列命题正确的是( )A ．“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B ．命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”C ．设x ，y ∈R，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要不充分条件D ．设a ，b ∈R，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件12．命题“0x ∀>11x+≥”的否定是___________. 13．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．14．已知():210110p x q m x m m -≤≤-≤≤+>，:，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是____________．15．命题“x ∃∈R ，210x x ++≤”的否定是______．16．已知命题“2,10x R ax ax ∀∈-+>”为真命题，则实数a 的取值范围是__________.17．设:12m x m α-≤≤，:24x β≤≤，m R ∈，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，则实数m 的取值范围为___________.18．若“∃x ∈[4,6]，x 2－ax －1>0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．19．在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②存在区间()2,4A =，(),3B a a =，使得A B =∅ ，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a ．问题：求解实数a ，使得命题[]:1,2p x ∀∈，20x a -≥，命题:q ______，都是真命题．（若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分.）答案解析1．命题“∀a ，b >0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为（ ） A ．∀a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立 B ．∀a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立 C ．∃a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立 D ．∃a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立 【参考答案】D【答案解析】 “∀a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为：∃a ，b >0， a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2都不成立.2．使“a b >”成立的一个充分不必要条件是（）A．1a b >+ B．1a b > C．22a b > D．33a b >【参考答案】A【答案解析】对于A 选项，若1a b >+，则a b >成立，即充分性成立，反之，若a b >，则 1a b >+不一定成立，所以1a b >+是“a b >”成立的一个充分不必要条件，对于B 选项，当0b <时，由1a b >得a b <，则a b >不成立，即1a b>不是充分条件，不满足条件；对于C 选项，由22a b >，若2a =-，1b =，则a b <，则a b >不一定成立，所以22a b >不是a b >的充分条件，不满足条件，对于D 选项，由33a b >可得a b >，则33a b >是a b >成立的充要条件，不满足题意。

高考试题汇总——常用逻辑用语【北京文】4．若p 是真命题，q 是假命题，则A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．﹁p 是真命题D ．﹁q 是真命题【全国文】5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >【北京理】6. a 、b 为非零向量。

“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【北京文】6．“6πα=”是“1cos 22α=”的 A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【北京理】5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【北京理】3. “函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的(A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件【海淀一模文】7. 已知函数221, 1,()1, 1,x ax x f x ax x x ⎧++≥⎪=⎨++<⎪⎩ 则“20a -≤≤”是“()f x 在R 上单调递增”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【西城一模文】6．对于平面α和异面直线,m n ，下列命题中真命题是 （A ）存在平面α，使m α⊥，α⊥n （B ）存在平面α，使α⊂m ，α⊂n （C ）存在平面α，满足m α⊥，//n α（D ）存在平面α，满足//m α，//n α【东城一模文】（2）命题“0x ∃∈R ，20log 0x ≤”的否定为（A ）0x ∃∈R ，20log 0x > （B ）0x ∃∈R ，20log 0x ≥ （C ）x ∀∈R ，2log 0x ≥ （D ）x ∀∈R ，2log 0x >【朝阳一模文】5．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（A ） //a b ，//b α，则//a α（B ） a ，b α⊂，//a β，//b β，则//αβ（C ） a α⊥，//b α，则a b ⊥（D ） 当a α⊂，且b α⊄时，若b ∥α，则a ∥b 【丰台一模文】2．“a =2”是“直线ax +2y =0与直线x +y +1=0平行”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件【西城二模文】4.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅=”是“ABC ∆为直角三角形”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件【丰台二模文】2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x > (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =【西城二模文】2. 已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则A ． :,cos 1p x x ⌝∃∈≥RB ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥RC ． :,cos 1p x x ⌝∃∈>RD ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R【西城二模文】4. “ln 1x >”是“1x >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【峰炜佳奇·状元教育导师点评：常用逻辑用语在高考中的难度主要为中低档难度，试题以客观题为主，学生要全面掌握该章节的四块知识：充分必要性、命题、关联词、量词。

《常用逻辑用语》单元测试班级：_______ XX ：_______ 座号：______ 成绩：一、选择题： （每题5分） 题号12345678910111213答案题号141516171819202122232425答案1.（XX 卷2）“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.（XX 卷2) 设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件3.（XX 卷2) 设集合A={x |1x x -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（XX 卷6）已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝5.（2009XX 文）“0x >”是“0x ≠”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. (XX 文) “21sin =A ”是“A=30º”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. （2009XX 卷文）下列命题是真命题的为 （ ）A ．若11x y =,则x y =B ．若21x =,则1x =C ．若x y =,则x y =D ．若x y <,则 22x y <8.（2009XX 卷文）设””是“则“x x x R x ==∈31,的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件9.对于下列命题：①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤，②22,sin cos 1x R x x ∃∈+>，下列判断正确的是（ ）. A. ①假②真B. ①真②假C. ①②都假D. ①②都真10．（2009XX 卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”11.（09XX 理数）给定下列四个命题：① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行；④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④12.（2010XX 文数）“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分条件 （D ）既不充分也不必要条件13.（2010XX 文数）下列命题中的假命题．．．是 ( ) A. ,lg 0x R x ∃∈= B.,tan 1x R x ∃∈=C. 3,0x R x ∀∈>D. ,20x x R ∀∈>14.（2010XX 文数）“a ＞0”是“a ＞0”的 ( )(A) 充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件15.（2010XX 理数）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的（ ） A ．充分不必要条件 B. 充分必要条件C ．必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件16．（2010XX 文数）函数2()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是 （ ）（A ）2m =-（B ）2m =（C ）1m =- （D ）1m =17.（2011XX 文数）已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”的否命题是（ ）(A)若a +b+c≠3，则222a b c ++<3(B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3(C)若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3(D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=318.（2011XX 文数）“x=3”是“x 2=9”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件19.（2011XX 文数）若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件20.（2011XX 理数）“x <-1”是“x 2-1>0”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件必要条件21.（2011XX 文数）“1x >”是“1x >” 的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分又不必要条件22.（2011文数）若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）（A ）p ∧q 是真命题 （B ）p ∨q 是假命题（C ）﹁p 是真命题 （D ）﹁q 是真命题23.（2011XX 理数）若a ∈R ，则a=2是（a-1）·（a-2）=0的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件 C. 既不充分又不必要条件24.(2007XX 、XX 文、理)已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >25.命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，3210x x -+≤B ．0x R ∃∈，3210x x -+<C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤D ．不存在x R ∈，3210x x -+>二．解答题26.(10分) 命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根， 命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根.若“p ∨q ”为假命题，求m 的取值X 围.27．(15分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，XX 数a 的取值X 围．。