安徽省淮北市2017届高考数学二模试卷(理科)

安徽省淮北市2017届高三第二次模拟考试数学 理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合,1)2(log ,03221⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x N x x xM 则=⋂N M ( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,25B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛25,2C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2D. 5,32⎛⎫⎪⎝⎭2.已知复数z 满足(12i)3i z z +=+,则复数z 对应的点所在象限是（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3.已知α满足31sin =α，则ππcos()cos()44αα+-=（ ） A.187 B. 1825 C. 187- D. 1825- 4.已知函数⎩⎨⎧<+->+=0,sin )(log 0,sin 3log )(20172017x x n x x x x m x f 为偶函数，则=-n m （ ）A. 4B. 2C. 2-D. 4-5.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两 个人站起来的概率为（ ） A.165 B. 3211 C. 3215 D. 216．已知函数()sin(),(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<，其部分图像如下图，则函数)(x f 的解析式为（ ）A.1π()2sin()24f x x =+B.13π()2sin()24f x x =+C.13π()2sin()44f x x =+D.π()2sin(2)4f x x =+7.在如图所示的程序框图中，若输入的63,98==n m ，则输出的结果为( )A ．9B ．8C ．7D ．68.已知A 是双曲线:C 12222=-by a x )0,(>b a 的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线于Q P ,两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率范围是（ ） A. ()2,1B. ()3,1 C. ()2,1D. ()+∞,29.已知()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≤-+=0630202,y x y x y x y x D ，给出下列四个命题：();0,,:1≥+∈∀y x D y x P ();012,,2≤+-∈∀y x D y x P ：();411,,:3-≤-+∈∃x y D y x P ();2,,224≤+∈∃y x D y x P ： 其中真命题的是( )A.21,P PB.32,P PC. 43,P PD.42,P P10.某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长是（ ）A.5 B.6 C.7 D. 311．如图，Rt ABC ∆中，P 是斜边BC 上一点，且满足：21=,点N M ,在过点P 的直线上，若μλ==,,)0,(>μλ,则μλ2+的最小值为（ ）A. 2B.38C. 3 D.310 12．已知函数n x m x g x x f ++==)32()(,ln )(，若对任意的),0(+∞∈x ,总有)()(x g x f ≤恒成立，记n m )32(+的最小值为),(n m f ，则),(n m f 最大值为（ ） A. 1 B.1e C. 21e D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若4)21)(1(x ax +-的展开式中2x 项的系数为4，则e21d a x x=⎰. 14．中国古代数学经典>><<九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào ）．若三棱锥ABC P -为鳖臑,且PA ⊥平面ABC , ,2==AB PA 又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为 .15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若22233sin a b c A =+-，则C 等于.16.梯形ABCD 中CD AB //，对角线BD AC ,交于1P ，过1P 作AB 的平行线交BC 于点1Q ，1AQ 交BD 于2P ，过2P 作AB 的平行线交BC 于点.,2 Q ，若b CD a AB ==,，则n n P Q=(用n b a ,,表示)三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知数列{}n b 是等比数列，12-=n a n b 且4,231==a a .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和n S .18.如图，三棱柱111C B A ABC -中，四边形11BB AA 是菱形，111111π,3BB A C B AA BB ∠=⊥面,二面角B B A C --11为π6，1=CB .（Ⅰ）求证：平面⊥1ACB 平面1CBA ;（Ⅱ）求二面角B C A A --1的余弦值.19.随着社会发展，淮北市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T ∈[0，2)畅通；T ∈[2，4)基本畅通；T ∈[4，6)轻度拥堵；T ∈[6，8)中度拥堵；T ∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段(T ≥3 )，从淮北市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：(I)据此直方图估算交通指数T ∈[4，8)时的中位数和平均数；(II)据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？ (III)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．20.已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x ，O 是坐标原点，21,F F 分别为其左右焦点，3221=F F ,M 是椭圆上一点，21MF F ∠的最大值为2π3（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且OQ OP ⊥ （i ）求证：2211OQOP+为定值;（ii ）求OPQ ∆面积的取值范围.21.已知函数2()e 4x x f x x +=+. （I ）讨论函数的单调性,并证明当2->x 时，2e40x x x +++>;（Ⅱ）证明：当)1,0[∈a 时，函数22e 3()(2)(2)x ax ag x x x +--=>-+有最小值，设)(x g 最小值为)(a h ，求函数)(a h 的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,直线的参数方程为（t 为参数）， 直线和圆交于两点. （Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）直线与轴的交点为，求．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()21)(,22+=--+=x x g x x x f （Ⅰ）求不等式())(x g x f ≥的解集；（Ⅱ）若()t t x f R x 5,2-≥∈∀恒成立，求实数t 的取值范围．xOy O x C 4sin ρθ=l 22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩l C ,A B l x P PA PB +参考答案一、选择题1.B2.D3.A4.A5.B6.B7.C8.C9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题 13.15ln -14.3815.π3 16.,abn a nb*∈+N 三、解答题17.（1）证明：设公比为q ，由题意得：111112222n n n n a a a q n a n b b ++--+-===，即1n n a a q +-= 所以{}n a 为A P ⋅,又3112a a d -==，12a = 所以1,n a n n *=+∈N （2）由（1）得122n n n a n += 由错位相减法或裂项相消发求得332n n n S +=-18.（1）证明：在三棱柱111C B A ABC -中，由1111C B AA BB ⊥面 得11CB AA BB ⊥面，则1CB AB ⊥，又11BB AA 是菱形, 得11AB A B ⊥,而1CB A B B = , 则11AB A BC ⊥面, 故平面⊥1ACB 平面.（2）由题意得11A B B ∆为正三角形， 取11A B 得中点为D ，连CD ,BD , 则11BD A B ⊥,又11CB A B ⊥易得11CD A B ⊥,则CDB ∠为二面角B B A C --11的平面角，因1BC =,CDB ∠=π6,所以BD =, 所以11112A B BB A B ===过11,AB A B 交点O 作1OE AC ⊥,垂足为E ,连AE 则AEO ∠为二面角B C A A --1的平面角，又OE AO ==得AE =所以1cos 4AEO ∠=19.解:(1)由直方图知：T ∈[4，8)时交通指数的中位数在T ∈[5，6)，且为 5＋1×0.20.24＝356T ∈[4，8)时交通指数的平均数为：4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72. (2)设事件A 为“1条路段严重拥堵”，则P (A )＝0.1， 则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为： P ＝C 32×(110)2×(1－110)＋C 33×(110)3＝7250，所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为7250.(3)由题意，所用时间X 的分布列如下表：则E (X )＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6， 所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．20.解：（1）由题意得2,1a b ==，得椭圆方程为：2214x y +=（2）(i)当,OP OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =，1122(,),(,)P x y Q x y由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得212414x k =+，2222112414k y k x k ==+ 同理得222244k x k=+，222222144y x k k ==+ 故2222221122111154x y x y OPOQ+=+=++当,OP OQ 斜率一个为0，一个不存在时，得2211115414OPOQ+=+= 综上得221154OPOQ+=，得证. (ii) 当,OP OQ 斜率都存在且不为0时，OPQS ===又因为2242990214k k k <≤=++ 所以415OPQ S ∆≤< 当,OP OQ 斜率一个为0，一个不存在时,1OPQ S ∆= 综上得415OPQ S ∆≤≤ 21.解：（1）由2()e 4x x f x x +=+得 222224(2)()e e 0,(4)(4)4(4)x x x x f x x x x x ++⎛⎫+'=+=≥≠- ⎪+++⎝⎭故()f x 在(,4)(4,)-∞--+∞和上单调递增，当2->x 时，由上知()(2)1f x f >-=-，即2e 14x x x +>-+，即042>+++x xe x ，得证. （2）对2e 3()(2)x ax a g x x --=+求导，得2233(4)[e ]e (4)4()(2)(2)x x x x a x a x x g x x x +++++++'==++，2x >-． 记2()e 4x x x a x ϕ+=++，2x >-． 由（Ⅰ）知，函数()x ϕ区间(2,)-+∞内单调递增，又(2)10a ϕ-=-+<，(0)0a ϕ=>，所以存在唯一正实数0x ，使得00002()e 02x x x a x ϕ-=+=+． 于是，当0(2,)x x ∈-时，()0x ϕ<，()0g x '<，函数()g x 在区间0(2,)x -内单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>， ()0g x '>，函数()g x 在区间0(,)x +∞内单调递增． 所以()g x 在(2,)-+∞内有最小值020020e 3()(2)x ax ag x x +--=+，由题设即02020e 3()(2)x ax a h a x +--=+． 又因为0200e 4x x a x +-=+．所以02001()()e 4x h a g x x +==+． 根据（Ⅰ）知，()f x 在(2,)-+∞内单调递增，0200e (1,0]4x x a x +=-∈-+，所以020x -<≤． 令21()e (20)4x u x x x +=-<≤+， 则23()e 04x x u x x ++'=>+，函数()u x 在区间(2,0]-内单调递增， 所以(2)()(0)u u x u -<≤，即函数()h a 的值域为21e(,]24．22.解：（1）由4s i n ρθ=,得24sin ρρθ=,得224x y y +=,故圆C 的普通方程为2240x y y +-=,所以圆心坐标为()0,2,圆心的极坐标为π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）把22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y y +-=得24t =， 所以点A 、B 对应的参数分别为122,2t t ==-令202t+=得点P 对应的参数为04t =- 所以10202424628PA PB t t t t +=-+-=++-+=+=法二：把22x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩化为普通方程得23y x =-+ 令0y =得点Ｐ坐标为P ，又因为直线l 恰好经过圆C 的圆心，故28PA PB PC +===23.解：（Ⅰ）由题可得()4,22,224,2x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，当2x <-时，由())(x g x f ≥可得92x ≤-，所以92x ≤-； 当22x -≤≤时，由())(x g x f ≥可得12x ≥，所以122x ≤≤； 当2x >时，由())(x g x f ≥可得72x ≤，所以722x <≤； 综上可得，不等式())(x g x f ≥的解集为917,,222⎛⎤⎡⎤-∞- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()4,22,224,2x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩,所以(),4min -=x f ，若∀x ∈R ，()25f x t t ≥- 恒成立，解得41≤≤t ， 综上，t 的取值范围为[]4,1.。

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•新课标Ⅱ）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：===2﹣i，故选D．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．3．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．4．（5分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．5．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．6．（5分）（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选：D．7．（5分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D．8．（5分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；7≤6不成立，退出循环输出，S=3；故选：B．9．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．10．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．11．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．1【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．12．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．（5分）（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：115．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．16．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=6．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案为：6．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S=ac•sinB=2，△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．（12分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828K2=．【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：箱产量＜50kg箱产量≥50kg 总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．19．（12分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．20．（12分）（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF=，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．（12分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（22．（10分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（2）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；双曲线；海燕；whgcn；qiss；742048；maths；sxs123；cst；zhczcb（排名不分先后）菁优网2017年6月12日。

精品文档2017 年安徽省示范高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合 A={x|x2＜2x}，B={x|x﹣1＜0}，则 A∩B=（ ）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（0，1） D．（1，2）2．命题“∃ x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是（ ）A．B．C．D．3．已知角 α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°），则 α=（ ） A．215° B．225° C．235° D．245°4．已知是夹角为 60°的两个单位向量，则“实数 k=4”是“”的（ ） A．充分不必要条件 C．必要不充分条件B．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数的最小正周期是 π，则其图象向右平移 个单位后的单调递减区间是（ ）A．B．C．D．6．已知，则（ ）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2） 7．设函数 f（x）在（m，n）上的导函数为 g（x），x∈（m，n），g（x）若的导 函数小于零恒成立，则称函数 f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当 a≤2 时，，在 x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数 f（x）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ）精品文档精品文档A．既有极大值，也有极小值 B．有极大值，没有极小值C．没有极大值，有极小值 D．既无极大值，也没有极小值8．=（ ）A．B．﹣1C．D．9．设函数 f（x）是二次函数，若 f（x）ex 的一个极值点为 x=﹣1，则下列图象 不可能为 f（x）图象的是（ ）A．B．C．D．10．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的 概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第 6 卷 19 题，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀 变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升（ ）A．B．C．D．11．△ABC 内一点 O 满足，直线 AO 交 BC 于点 D，则（ ）A．B．C．D．12．曲线的一条切线 l 与 y=x，y 轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB 外接圆面积的最小值为（ ）A．B．C．D．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）精品文档精品文档13．已知{an}是等比数列，a3=1，a7=9，则 a5= ．14．计算： （﹣x）dx= ．15．已知 y=f（x+1）+2 是定义域为 R 的奇函数，则 f（e）+f（2﹣e）= ．16．在△ABC 中，，过 B 点作 BD⊥AB 交 AC 于点 D．若 AB=CD=1，则 AD= ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边长是 a，b，c 公差为 1 的等差数列，且 a+b=2ccosA． （Ⅰ）求证：C=2A； （Ⅱ）求 a，b，c． 18．已知等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，若 S9=99，且 a4，a7，a12 成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，证明：．19．已知．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若，画出函数 y=g（x）的图象，讨论 y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数．精品文档精品文档20．已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6 成等差数列． （Ⅰ）求证：a2，a8，a5 成等差数列； （Ⅱ）若等差数列{bn}满足 b1=a2=1，b3=a5，求数列{an3bn}的前 n 项和 Tn． 21．已知函数 f（x）=ex+ax+b（a，b∈R）在 x=ln2 处的切线方程为 y=x﹣2ln2． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 k 为差数，当 x＞0 时，（k﹣x）f'（x）＜x+1 恒成立，求 k 的最大值（其 中 f'（x）为 f（x）的导函数）．22．已知函数 f（x）=2ln（x+1）+﹣（m+1）x 有且只有一个极值．（Ⅰ）求实数 m 的取值范围； （Ⅱ）若 f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2．精品文档精品文档2017 年安徽省示范高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合 A={x|x2＜2x}，B={x|x﹣1＜0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（0，1） D．（1，2） 【考点】交集及其运算． 【分析】分别求解一元二次不等式及一元一次不等式化简集合 A、B，再由交集 运算得答案． 【解答】解：∵A={x|x2＜2x}=（0，2），B={x|x﹣1＜0}=（﹣∞，1）， ∴A∩B=（0，1）， 故选：C．2．命题“∃ x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是（ ）A．B．C．D．【考点】命题的否定． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出它的否定命题即可． 【解答】解：命题“∃ x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是： “∀ x∈（1，+∞），x2+2x+2＞0”． 故选：A．3．已知角 α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°），则 α=（ ） A．215°B．225°C．235°D．245° 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】利用诱导公式，任意角的三角函数的定义，求得 α 的值．精品文档精品文档【解答】解：∵角 α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°）， 由三角函数定义得 cosα=sin215°=cos235°，sinα=cos215°=sin235°，∴α=235°， 故选：C．4．已知是夹角为 60°的两个单位向量，则“实数 k=4”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设出向量的坐标，求出”的充要条件，判断即可．【解答】解：设 =（1，0），则 =（ ， ），若”，则（2 ﹣k ）• =0，故[2（1，0）﹣k（ ， ）]•（1，0）=2﹣ =0，解得：k=4，故实数 k=4”是“”的充要条件，故选：B．5．函数 单位后的单调递减区间是（ A．的最小正周期是 π，则其图象向右平移 个 ）B．C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】根据最小正周期是 π，可知 ω=2，求得图象向右平移 个单位后解析式，再结合三角函数的性质求单调递减区间．精品文档精品文档【解答】解：由函数的最小正周期是 π，即，解得：ω=2，图象向右平移 个单位，经过平移后得到函数解析式为，由（k∈Z），解得单调递减区间为．故选：B．6．已知，则（ ）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f （e） D．f（e）＞f（3）＞f（2） 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而 求出函数的最大值，计算 f（e），f（3），f（2）的值，比较即可． 【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），∵，∴x∈（0，e），f'（x）＞0；x∈（e，+∞），f'（x）＜0，故 x=e 时，f（x）max=f（e），而，f（e）＞f（3）＞f（2）， 故选：D．7．设函数 f（x）在（m，n）上的导函数为 g（x），x∈（m，n），g（x）若的导 函数小于零恒成立，则称函数 f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当 a≤2 时，，在 x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数 f（x）在（﹣1，精品文档精品文档2）上结论正确的是（ ） A．既有极大值，也有极小值 B．有极大值，没有极小值 C．没有极大值，有极小值 D．既无极大值，也没有极小值 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】根据函数恒成立，得出 m 的值，利用函数单调性得出结果．【解答】解：，由已知得 g′（x）=x﹣a＜0，当 x∈（﹣1，2）时恒成立， 故 a≥2，又已知 a≤2，故 a=2， 此时由 f′（x）=0，得：x1=2﹣ ，x2=2+ ∉（﹣1，2）， 当 x∈（﹣1，2﹣ ）时，f′（x）＞0；当 x∈（2﹣ ，2）时，f′（x）＜0， 所以函数 f（x）在（﹣1，2）有极大值，没有极小值， 故选：B．8．=（ ）A． B．﹣1 C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用“切化弦”的思想与辅助角公式结合化简即可．【解答】解：故选：B．9．设函数 f（x）是二次函数，若 f（x）ex 的一个极值点为 x=﹣1，则下列图象 不可能为 f（x）图象的是（ ）A．B．C．精品文档精品文档D．【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】先求出函数 f（x）ex 的导函数，利用 x=﹣1 为函数 f（x）ex 的一个极值 点可得 a，b，c 之间的关系，再代入函数 f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证， 看哪个答案不成立即可． 【解答】解：由 y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒ y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a） x+b+c]， 由 x=﹣1 为函数 f（x）ex 的一个极值点可得，﹣1 是方程 ax2+（b+2a）x+b+c=0 的一个根， 所以有 a﹣（b+2a）+b+c=0⇒ c=a． 法一：所以函数 f（x）=ax2+bx+a，对称轴为 x=﹣ ，且 f（﹣1）=2a﹣b，f（0） =a． 对于 A，由图得 a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾， 对于 B，由图得 a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾， 对于 C，由图得 a＜0，f（0）＜0，x=﹣ ＞0⇒ b＞0⇒ f（﹣1）＜0，不矛盾， 对于 D，由图得 a＞0，f（0）＞0，x=﹣ ＜﹣1⇒ b＞2a⇒ f（﹣1）＜0 与原图 中 f（﹣1）＞0 矛盾，D 不对． 法二：所以函数 f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为 1，对照四 个选项发现，D 不成立． 故选：D．10．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的 概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第 6 卷 19 题，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀 变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升（ ）精品文档精品文档A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设九节竹自上而下分别为 a1，a2，…，a9，由题意可得，求出首项和公差，则答案可求． 【解答】解：由题意，设九节竹自上而下分别为 a1，a2，…，a9，则，解得，∴．故选：B．11．△ABC 内一点 O 满足，直线 AO 交 BC 于点 D，则（ ）A．B．C．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知得=，则D． = ，从而得到= ，由此能求出 2 +3 = ．【解答】解：∵△ABC 内一点 O 满足= ，直线 AO 交 BC 于点 D，∴=，令=，则=，∴B，C，E 三点共线，A，O，E 三点共线，∴D，E 重合．∴= ，∴2 +3 =2 ﹣2 +3 ﹣3 =﹣ ﹣5 = ．故选：A．12．曲线的一条切线 l 与 y=x，y 轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB 外接圆面积的最小值为（ ）精品文档精品文档A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设直线 l 与曲线的切点坐标为（x0，y0），求出函数的导数，可得切线的 斜率和方程，联立直线 y=x 求得 A 的坐标，与 y 轴的交点 B 的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得 AB 的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．【解答】解：设直线 l 与曲线的切点坐标为（x0，y0），函数的导数为．则直线 l 方程为，即，可求直线 l 与 y=x 的交点为 A（2x0，2x0），与 y 轴的交点为，在△OAB 中，当且仅当 x02=2 时取等号． 由正弦定理可得△OAB 得外接圆半径为 则△OAB 外接圆面积 故选 C．，， ，二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知{an}是等比数列，a3=1，a7=9，则 a5= 3 ． 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由已知结合等比数列的性质求解． 【解答】解：∵a3=1，a7=9， ∴由等比数列的性质可得：，又＞0，∴a5=3．精品文档精品文档故答案为：3．14．计算： （﹣x）dx=【考点】定积分．【分析】先利用定积分的几何意义计算． dx，即求被积函数 y=与直线 x=0，x=1 所围成的图形的面积即可，再求出 （﹣x）dx，问题得以解决．【解答】解：由定积分的几何意义知dx 是由 y=与直线 x=0，x=1 所围成的图形的面积，即是以（1，0）为圆心，以 1 为半径的圆的面积的 ，故dx= ，（﹣x）dx=﹣=，∴（﹣x）dx= ．故答案为： ．15．已知 y=f（x+1）+2 是定义域为 R 的奇函数，则 f（e）+f（2﹣e）= ﹣4 ． 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】y=f（x+1）+2 的图象关于原点（0，0）对称，则 y=f（x）图象关于（1， ﹣2）对称，即可求出 f（e）+f（2﹣e）． 【解答】解：y=f（x+1）+2 的图象关于原点（0，0）对称， 则 y=f（x）是由 y=f（x+1）+2 的图象向右平移 1 个单位、向下平移 2 个单位得 到，图象关于（1，﹣2）对称，f（e）+f（2﹣e）=﹣4． 故答案为﹣4．16．在△ABC 中，则 AD=．精品文档，过 B 点作 BD⊥AB 交 AC 于点 D．若 AB=CD=1，精品文档【考点】正弦定理． 【分析】设 AD=x，由题意求出∠CBD、sin∠BDC，由正弦定理求出 BC，在△ABC 中由余弦定理列出方程，化简后求出 x 的值，可得答案． 【解答】解：设 AD=x，且 BD⊥AB，AB=CD=1，在△BCD 中，，则，且 sin∠BDC=sin（π﹣∠ADB）=sin∠ADB= = ，由正弦定理得，，所以 BC===，在△ABC 中，由余弦定理得， AC2=AB2+BC2﹣2•AB•BCcos∠ABC则，化简得，，解得 x= ，即 AD= ， 故答案为： ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边长是 a，b，c 公差为 1 的等差数列，且 a+b=2ccosA． （Ⅰ）求证：C=2A； （Ⅱ）求 a，b，c． 【考点】正弦定理；余弦定理．精品文档精品文档【分析】（Ⅰ）由 a+b=2ccosA．利用正弦定理可证 C=2A． （Ⅱ）由 a，b，c 公差为 1 的等差数列，得 a=b﹣1，c=b+1，由余弦定理得 a2=b2+c2 ﹣2bccosA，利用正弦定理可求 a，b，c 的值． 【解答】（Ⅰ）证明：由已知 a+b=2ccosA 及正弦定理得 sinA+sinB=2sinCcosA…①， 又 sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC…② 把②代入①得：sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA， 整理得：sinA=sin（C﹣A） 又∵0＜A＜π，0＜C﹣A＜π， ∴A=C﹣A 故 C=2A． （Ⅱ）由已知得 a=b﹣1，c=b+1，由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA， 整理得：b+4=2（b+1）cosA① 由（Ⅰ）知 C=2A，得 sinC=sin2A=2sinAcosA，由正弦定理得 c=2acosA 即 cosA= =②由①②整理得：b=5， ∴a=4，b=5，c=6．18．已知等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，若 S9=99，且 a4，a7，a12 成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，证明：．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）由 S9=99，求出 a5=11，由 a4，a7，a12 成等比数列，求出 d=2，由 此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）求出=n（n+2），从而 ==，由此利用裂项求和法能证明．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，S9=99，精品文档精品文档∴a5=11，…由 a4，a7，a12 成等比数列，得，即（11+2d）2=（11﹣d）（11+7d），∵d≠0，∴d=2，… ∴a1=11﹣4×2=3， 故 an=2n+1 …证明：（Ⅱ）=n（n+2）， ==，…∴= [（1﹣ ）+（= [1+故．…）+（ ]=）+…+（）+（ ，）]…19．已知．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若，画出函数 y=g（x）的图象，讨论 y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）根据 f（x）=2 ，利用向量数量积的运算法则求解 f（x）并化精品文档精品文档简，即可求得 f（x）的最小正周期和最大值（Ⅱ），利用“5 点画法”画出函数 y=g（x）的图象．【解答】解：（Ⅰ）（f x）=2 =2sinxcosx+2sin2x=sin2x﹣cos2x+1=∴f（x）的最小正周期 T=π；函数 f（x）的最大值为：；（Ⅱ），利用“5 点画法”，函数 y=g（x）在区间上列表为 x﹣π00﹣1 012112描点作图那么：y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数，即为函数 y=g（x）与直线 y=m 的交 点个数，由图可知，当时，无零点；当时，有 1 个零点；当或当 m=2 时，有 3 个零点．时，有 2 个零点；精品文档精品文档20．已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6 成等差数列． （Ⅰ）求证：a2，a8，a5 成等差数列； （Ⅱ）若等差数列{bn}满足 b1=a2=1，b3=a5，求数列{an3bn}的前 n 项和 Tn． 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为 q．当 q=1 时，显然 S3+S6≠2S9，与已知 S3，S9，S6 成等差数列矛盾，可得 q≠1．由 S3+S6=2S9，利用求和公式化为：1+q3=2q6， 即可证明 a2，a8，a5 成等差数列．（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 1+q3=2q6 ， 解 得 q3= ﹣．可得===．b1=a2=1，b3=a5=﹣ ，可得 bn=﹣ + ，=，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）证明：设等比数列{an}的公比为 q． 当 q=1 时，显然 S3+S6≠2S9，与已知 S3，S9，S6 成等差数列矛盾，∴q≠1．由 S3+S6=2S9，可得+=2，化为：1+q3=2q6，∴a2+a5===2a8．∴a2，a8，a5 成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）1+q3=2q6，解得 q3=1（舍去），q3=﹣ ．∴===．b1=a2=1，b3=a5=﹣ ，数列{bn}的公差 d= （b3﹣b1）=﹣ ．∴bn=﹣ + ，故=Tn=+， +…+，①精品文档精品文档=+…+①﹣②得：= ﹣ 2+=﹣=+解得 Tn=﹣ +．+2﹣ ，② ﹣ ﹣21．已知函数 f（x）=ex+ax+b（a，b∈R）在 x=ln2 处的切线方程为 y=x﹣2ln2．（Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间；（Ⅱ）若 k 为差数，当 x＞0 时，（k﹣x）f'（x）＜x+1 恒成立，求 k 的最大值（其 中 f'（x）为 f（x）的导函数）． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由 f'（ln2）=1 求导 a 值，再由 f（ln2）= ﹣ln2 求得 b 值，代入原函数的导函数，再由导函数的符号与原函数单调性间的 关系确定原函数的单调区间；（Ⅱ）把当 x＞0 时，（k﹣x）f'（x）＜x+1 恒成立，转化为在 x＞0 时恒成立．令，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ex+a，由已知得 f'（ln2）=1，故 eln2+a=1，解得 a=﹣1．又 f（ln2）=﹣ln2，得 eln2﹣ln2+b=﹣ln2，解得 b=﹣2，∴f（x）=ex﹣x﹣2，则 f'（x）=ex﹣1，精品文档精品文档当 x＜0 时，f'（x）＜0；当 x＞0 时，f'（x）＞0， ∴f（x）的单调区间递增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）； （Ⅱ）由已知（k﹣x）f'（x）＜x+1，及 f'（x）=ex﹣1，整理得在 x＞0 时恒成立．令，，当 x＞0 时，ex＞0，ex﹣1＞0； 由（Ⅰ）知 f（x）=ex﹣x﹣2 在（0，+∞）上为增函数， 又 f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣4＞0，∴存在 x0∈（1，2）使得，此时当 x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当 x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0∴．故整数 k 的最大值为 2．22．已知函数 f（x）=2ln（x+1）+﹣（m+1）x 有且只有一个极值．（Ⅰ）求实数 m 的取值范围； （Ⅱ）若 f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，根据函数有且只有一个极 值，求出 m 的范围即可； （Ⅱ）不妨设﹣1＜x1＜1＜x2，令 g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1），根据 函数的单调性证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）定义域为（﹣1，+∞），精品文档精品文档…即求 f'（x）=0 在区间（﹣1，+∞）上只有一个解，（1）当 m≠0 时，由 f'（x）=0 得 x=1 或，则，m＜0…（2）当 m=0 时，．得 x=1 符合题意，综上：当 m≤0 时，f（x）有且只有一个极值…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：m≤0，x=1 时 f（x）有且只有一个极大值．又 f（x1）=f（x2）（x1≠x2），不妨设﹣1＜x1＜1＜x2令 g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1）则 g （ x ） =2ln （ 3 ﹣ x ） ﹣ 2ln （ x+1 ） +2x ﹣ 2 （ m+1 ）所以 g（x）在（﹣1，1）上为减函数，故 g（x）＞g（1）=0… 即当﹣1＜x＜1 时，f（2﹣x）＞f（x）． 所以 f（2﹣x1）＞f（x1）=f（x2），即 f（2﹣x1）＞f（x2） 由（Ⅰ）知，f（x）在（1，+∞）上为减函数，且 2﹣x1＞1，x2＞1， 所以 2﹣x1＜x2，故 x1+x2＞2．…精品文档精品文档2017年3月3日精品文档。

-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。

安徽省淮北市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·宁波模拟) 已知全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤6}，A∩（∁UB）={1，3，5}，则B=（）A . {2，4，6}B . {1，3，5}C . {0，2，4，6}D . {x∈Z|0≤x≤6}2. （2分） (2020高二下·东莞期末) 已知复数z满足 (i为虚数单位)，则（）A .B .C . 5D . 253. （2分）(2018·中原模拟) 已知实数满足，则的最大值为（）A . 2B . 8C . 11D . 154. （2分）某程序的框图如右图所示，输入N=5，则输出的数等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·怀化期中) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a2+a8+a9=20，则S9=（）A . 40B . 45C . 50D . 556. （2分）己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：；当时，有f(x)>0；若,,；则P,Q,R的大小关系为（）A . R>Q>PB . R>P>QC . P>R>QD . 不能确定8. （2分）投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a，b，则直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·包头模拟) 在中，为边上的中线，E为的中点，且，，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·太和期中) 如图，F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，若C的离心率为，|AB|=|AF2|，则直线l的斜率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·扶余期中) 在空间直角坐标系中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（）A .B .C .D .12. （2分）函数的零点所在的区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·安徽模拟) 展开式中常数项为________.14. （1分）(2019·普陀模拟) 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是________15. （1分）(2017·衡水模拟) 已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是________．16. （1分）已知数列{an}的通项公式是an= ，若前n项和为12，则项数n为________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分） (2019高二上·湖北期中) 在中，内角，，所对的边分别是，， .已知， .（1）求的值；（2）若的面积为3，求的值.18. （15分）(2017·锦州模拟) 在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19. （10分） (2016高二下·通榆期中) 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上的学生有12人．（1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？（2）若成绩在80分以上（含80分）为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？20. （10分）(2012·湖南理) 在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（1）求曲线C1的方程（2）设P（x0 ， y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B 和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．21. （10分）(2019·湖北模拟) 已知 .（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.四、选做题 (共2题；共10分)22. （5分）求直线l1：（t为参数）与直线l2：2x﹣4y=5的交点B的坐标，及点B与A（1，2）的距离．．23. （5分）(2017·红河模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、四、选做题 (共2题；共10分)22-1、23-1、。

2017届淮北市高三第一次模拟考试试题数学 理科本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。

2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号。

第II 卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第I 卷 选择题（共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合}3,2,1,0{),,3(]0,(=+∞-∞=Q PU ，则Q P C R ⋂)(=( )A ．}1,0{B ．}2,1{0,C ．}3,2,1{D ．}30|{<≤x x2. 复数iiz -=1的共轭复数的模为（ ）A.21 B. 22 C. 1 D. 2 3．已知,x y 满足线性约束条件35y x x y y λ-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若4z x y =+的最大值与最小值之差为5，则实数λ的 值为（ ）A. 3B. 37C. 23D. 1 4. 函数xax x f +=||)(（其中R ∈a ）的图象不可能是（ ）5.已知三个数9,,1a 成等比数列,则圆锥曲线1222=+y ax 的离心率为（ ） A CA ．33B ．5C ．5或210 D ．33或210 6. 在ABC ∆中，34,3==∠BC A π，则ABC ∆的周长为（ ）A. )6sin(3834π++B B. )3sin(834π++B C. )6cos(3834π++B D. )3cos(834π++B7. 下列说法正确的是（ ）（1）已知等比数列{}n a ，则“数列{}n a 单调递增”是“数列{}n a 的公比1q >”的充分不必要条件 ；（2）二项式52x ⎛+ ⎝的展开式按一定次序排列，则无理项互不相邻的概率是15； （3）已知dx x S ⎰-=21241，则16π=S ；（4）为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为40.A ． （1）（2） B. （2） （3） C ． （1）（3） D. （2）（4） 8. 执行右面的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．67-1tan 1949tan 2017tan 000- B. 67-1tan 1949tan 2016tan 000- C. 68-1tan 1949tan 2017tan 000- D. 68-1tan 1949tan 2016tan 00-9.如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积（ ） A ． 33 B. 23 C ．332 D.310.若函数)(x f 在其图象上存在不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，其坐标满足条件：1213222221212121y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称)(x f 为“柯西函数”，则下列函数： ①)0(1)(>+=x xx x f ；② )30(ln )(<<=x x x f ； ③x x f sin 2)(=； ④82)(2-=x x f .其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ． 1 B.2 C ．3 D. 411. 已知直线1l 与圆心为C 的圆4)2()1(22=-+-y x 相交于不同的B A ,两点，对平面内任意点Q 都有QB QA QC )1(λλ-+=，又点P 为直线0443:2=++y x l 上的动点，则∙的最小值为（ ）A. 21B. 9C. 5D. 012.已知定义在()∞+ 0的函数)(x f ,其导函数为)('x f ，满足：0)(>x f 且)()(32'x f x f x x ->+总成立，则下列不等式成立的是（ ） A. )()(3232πππf e e f e e <+ B. )()(3232e f e f e e πππ>+ C. )()(3232e f e f ee πππ<+ D. )()(3232πππf e e f e e >+第II 卷（非选择题，共80分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省淮北市高考数学二诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·长春期末) 是虚数单位，复数＝（）A .B .C .D .2. （2分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=（）A . {﹣1，3}B . {﹣1}C . {3}D . ∅3. （2分）下列四个判断：①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a,b，则这两个班的数学平均分为；②从总体中抽取的样本(1,2.5),(2,3.1),(3,3.6),(4,3.9),(5,4.4)则回归直线y=bx+a必过点(3,3.6)；③已知服从正态分布,且,则其中正确的个数有（）A . 0个B . 1个C . 2个4. （2分） (2019高二上·集宁期中) 若数列，则a5－a4＝（）A .B . －C .D .5. （2分）若0＜x＜1，则下列结论正确的是（）A . ＞2x＞lgxB . 2xC . 2x ＞lgxD . lgx ＞2x6. （2分） (2017高一下·郑州期末) 某程序框图如图所示，若输出的S=120，则判断框内为（）A . k＞4？C . k＞6？D . k＞7？7. （2分） (2018高一下·淮南期末) 若直线：经过圆：的圆心，则的最小值为（）A .B . 5C .D . 108. （2分）下图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为（）A . 16B .C .D .9. （2分） (2017高三上·襄阳开学考) 方程sinx= 的根的个数为（）A . 7B . 8C . 9D . 1010. （2分）在校运会800米预赛中，甲、乙两名选手被随机地分配到A、B两个小组之一，则他们被分到同一小组的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) x、y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A . 或B . 2或C . 2或1D . 2或12. （2分） (2017高一上·河北月考) 设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则（）A .B .C . 或2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·齐齐哈尔模拟) 已知平行四边形中, , ,点是中点， ,则 ________．14. （1分）如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥2成立，则∀x1 ，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥2成立．其中正确的是________ （写出所有正确命题的编号）．15. （1分） (2016高三上·南通期中) 已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，2Sn=（n+1）an ，若关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为________16. （1分） (2016高二上·如东期中) 若圆x2+（y﹣2）2=1与椭圆 =1的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为________三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2016高三上·绍兴期末) △ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinAsinB=sinCtanC．（1）求的值：（2）若a= c，且△ABC的面积为4，求c的值．18. （5分） (2017高三下·平谷模拟) 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（I）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数．（II）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列．（III）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）．19. （15分）(2014·安徽理) 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（1）证明：Q为BB1的中点；（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（3）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．20. （5分）(2017·石景山模拟) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l：y= +m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．21. （10分）已知函数f（x）=5+lnx，g（x）= （k∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与函数y=g（x）的图象相切，求k的值；（2）若k∈N*，且x∈（1，+∞）时，恒有f（x）＞g（x），求k的最大值．（参考数据：ln5≈1.61，ln6≈1.7918，ln（ +1）=0.8814）22. （5分）(2018·荆州模拟) 在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为 .以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，且）.（Ⅰ）写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；（Ⅱ）若直线与圆交于、两点，求的最小值.23. （10分） (2018高二下·深圳月考) 已知函数 .（1）当时，求的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•新课标Ⅱ）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：===2﹣i，故选 D．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A ∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．3．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．4．（5分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．5．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．6．（5分）（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选：D．7．（5分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D．8．（5分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；7≤6不成立，退出循环输出，S=3；故选：B．9．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B． C． D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．10．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．11．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．12．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．（5分）（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：115．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．16．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=6．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案为：6．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，=ac•sinB=2，∵S△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．（12分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828K2=．【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：箱产量＜50kg箱产量≥50kg 总计旧养殖法 62 38 100新养殖法 34 66 100总计 96 104 200则K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．19．（12分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．20．（12分）（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF=，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．（12分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（22．（10分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（2）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；双曲线；海燕；whgcn；qiss；742048；maths；sxs123；cst；zhczcb（排名不分先后）菁优网2017年6月12日。