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热点02 集合与常用逻辑用语【命题趋势】1.在新一轮课改中集合仍然作为一个必考内容出现，集合之间的混合运算以及集合信息的迁移一直高考的一个热点，主要还是放在选择题前两题为主，此部分内容较为简单，常与函数、方程、不等式结合起来考查.2.常见的逻辑用语部分对于数学来说是一种工具类的知识点，很容易与各个知识点相结合起来进行考查.立体几何，数列，三角函数，解析几何等.但是近几年全国卷出现的频率较少.但随着新课标的进行，综合一些趋势方向，相信常用逻辑用语也会逐渐加入高考行列.【考查题型】选择题【满分技巧】 给定集合是不等式的解集的用数轴.给定集合是点集的用数形结合去求.给定集合是抽象几何的用Venn 图去求.对于常见的逻辑词来说，重难点是要分清楚命题的否定与否命题之间的区别于联系.原命题与你否命题等价，剩下两个等价.亦可以采用逆向思维去求.对于充分必要条件问题，最好的理解方法亦是转化成集合与子集的观点去探究 .充分亦是子集.充要亦是集合相等.主要是观察两个集合哪一个范围更大一些.范围小的就是范围大的的充分，亦是范围大的是范围小的的必要即可.【常考知识】集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019全国Ⅰ文2）已知集合，则 A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】 因为， {}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UA B ===，，U BA =ð{}1,6{}1,7{}6,7{}1,6,7{}1234567234{}}23{567U A B ===，，，，，，，，，，，，，，所以， 则. 故选C ． 2.（2019全国Ⅱ文1）已知集合，，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ． 【答案】A【解析】 ，，.故选C.【名师点睛】对于有关不等式的集合之间的运算画数轴是最简便，不容易出错的 3.（2019天津文1）设集合，， ，则（A ）{2}（B ）{2，3} （C ）{-1，2，3} （D ）{1，2，3，4} 【答案】D【解析】 设集合，， 则. 又， 所以. 故选D.4．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】集合{|32,}A x x n n N ==+∈，当0n =时，322n +=，当1n =时， 325n +=，当2n =时，328n +=，当3n =时，3211n +=，当4n =时， 3214n +=，∵{6,8,10,12,14}B =，∴A B 中元素的个数为2，选D ．【名师点睛】集合运算中，应当特别注意集合中的取值范围5．已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y Z =+∈≤，{(,)|||2,B x y x =≤||2,,}y x y Z ∈≤，定义集合12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C C 17{}6U A =，，{67?}U B A =I ，ð={|1}A x x >-{|2}B x x =<∅(1,)A =-+∞(,2)B =-∞(1,2)A B =-{}1,1,2,3,5A =-{}2,3,4B ={|13}C x R x =∈<…()A C B ={}1,1,2,3,5A =-{}13C x x =∈<R …{}1,2AC ={}2,3,4B ={}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==。
1.【2021高|考新课标1 ,文1】集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈= ,那么集合A B 中的元素个数为( )(A ) 5 (B )4 (C )3 (D )2【答案】D【解析】试题分析：由条件知 ,当n =2时 ,3n +2 =8 ,当n =4时 ,3n +2 =14 ,故A ∩B ={8,14},应选D.考点：集合运算【名师点睛】对集合运算问题 ,首||项要确定集合类型 ,其次确定集合中元素的特征 ,先化简集合 ,假设元素是离散集合 ,紧扣集合运算定义求解 ,假设是连续数集 ,常结合数轴进行集合运算 ,假设是抽象集合 ,常用文氏图法 ,此题是考查元素是离散的集合交集运算 ,是根底题.2.【2021高|考重庆 ,文1】集合{1,2,3},B {1,3}A ,那么A B = ( )(A) {2} (B) {1,2} (C) {1,3} (D) {1,2,3}【答案】C【解析】由及交集的定义得A B ={1,3} ,应选C.【考点定位】集合的运算.【名师点睛】此题考查集合的概念和运算 ,此题属于根底题 ,注意观察的仔细.3.【2021高|考浙江 ,文3】设a ,b 是实数 ,那么 "0a b +>〞是 "0ab >〞的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】此题采用特殊值法：当3,1a b ==-时 ,0a b +> ,但0ab < ,故是不充分条件；当3,1a b =-=-时 ,0ab > ,但0a b +< ,故是不必要条件.所以 "0a b +>〞是 "0ab >〞的即不充分也不必要条件.应选D.【考点定位】1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.【名师点睛】此题主要考查充分条件和必要条件.解答此题时要根据不等式的性质 ,采用特殊值的方法 ,对充分性与必要性进行判断.此题属于容易题 ,重点考查学生对不等式的性质的处理以及对条件的判断.4.【2021高|考重庆 ,文2】 "x 1〞是 "2x 210x 〞的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 "x 1 〞显然能推出 "2x 210x 〞 ,故条件是充分的 ,又由"2x 210x 〞可得10)1(2=⇒=-x x ,所以条件也是必要的 ,应选A.【考点定位】充要条件.【名师点睛】此题考查充要条件的概念和判断 ,采用推出法进行判断 ,此题属于根底题 ,注意推理的正确性.5.【2021高|考浙江 ,文1】集合{}223x x x P =-≥ ,{}Q 24x x =<< ,那么Q P = ( )A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-【答案】A【解析】由题意得 ,{}|31P x x x =≥≤或 ,所以[3,4)P Q = ,应选A.【考点定位】1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.【名师点睛】此题主要考查集合的交集运算.利用解一元二次不等式确定集合P 的范围 ,从而进行两个集合的交集运算.此题属于容易题 ,要注意不等式解的准确性.6.【2021高|考天津 ,文1】全集{1,2,3,4,5,6}U,集合{2,3,5}A ,集合{1,3,4,6}B ,那么集合A U B （） ( )(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}【答案】B【解析】{2,3,5}A ,{2,5}U B ,那么A 2,5U B （）,应选B.【考点定位】此题主要考查集合的交集与补集运算.【名师点睛】集合是高|考中的高频考点,一般以根底题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最||简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.7.【2021高|考天津 ,文4】设x R ,那么 "12x 〞是 "|2|1x 〞的 ( )(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知 "12x 〞是 "|2|1x 〞的充分而不必要条件,应选A.【考点定位】此题主要考查不等式解法及充分条件与必要条件.【名师点睛】此题考查的知识点有两个,一是绝||对值不等式的解法,与此题有关的结论是:假设0a >,那么()()f x a a f x a <⇔-<<,另一个是充分条件与必要条件,与此题有关的结论是:对于非空集合,A B ,假设A 是B 的真子集,那么x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.8.【2021高|考四川 ,文1】设集合A ＝{x |－1＜x ＜2} ,集合B ＝{x |1＜x ＜3} ,那么A ∪B ＝( )(A ){x |－1＜x ＜3} (B ){x |－1＜x ＜1} (C ){x |1＜x ＜2} (D ){x |2＜x ＜3}【答案】A9.【2021高|考山东 ,文1】 集合{}|{|24130}A x x B x x x =<<=--<，（)(） ,那么A B ⋂= ( )(A )1,3（） (B )1,4（） (C ) (2,3（） (D )2,4（）) 【答案】C【解析】因为|13B x x =<<｛｝,所以{|24}{|13}(2,3)A B x x x x ⋂=<<⋂<<= ,应选C .【考点定位】1.集合的根本运算；2.简单不等式的解法.【考点定位】1.集合的根本运算；2.简单不等式的解法.【名师点睛】此题考查集合的根本运算及简单不等式的解法 ,不等式中出现一次因式积的形式 ,降低了不等式求解的难度.此题属于根底题 ,注意根本概念的正确理解以及根本运算方法的准确性.10.【2021高|考四川 ,文4】设a ,b 为正实数 ,那么 "a ＞b ＞1〞是 "log 2a ＞log 2b ＞0〞的( )(A )充要条件 (B )充分不必要条件(C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a ＞b ＞1时 ,有log 2a ＞log 2b ＞0成立 ,反之当log 2a ＞log 2b ＞0成立时 ,a ＞bA【考点定位】此题考查对数函数的概念和性质、充要条件等根本概念 ,考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.【名师点睛】判断条件的充要性 ,必须从 "充分性〞和 "必要性〞 - -单调性和函数值的符号 ,因此可以结合对数函数的图象进行判断 ,从而得出结论.属于简单题.11.【2021高|考陕西 ,文1】设集合2{|}M x x x == ,{|lg 0}N x x =≤ ,那么MN = ( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A【解析】由2{|}{0,1}M x x x M ==⇒= ,{|lg 0}{|01}N x x N x x =≤⇒=<≤ ,所以[0,1]M N = ,故答案选A .【考点定位】集合间的运算.【名师点睛】1.此题考查以不等式为根底的集合间的运算 ,解不等式时注意原式意义的范围.2.此题属于根底题 ,高|考常考题型 ,注意运算的准确性.12.【2021高|考安徽 ,文2】设全集{}123456U =，，，，， ,{}12A =， ,{}234B =，， ,那么()U A C B = ( )(A ){}1256，，， (B ){}1 (C ){}2 (D ){}1234，，， 【答案】B【解析】∵{}6,5,1=B C U ,∴()U A C B ={}1 ,∴选B . 【考点定位】此题主要是考查了集合的交集、补集运算.【名师点睛】在判断充分、必要条件时 ,考生一定要作好三个步骤：①p ⇒q 是否成立；②p q ⇒是否成立；③形成结论 ,此题考查了考生的逻辑分析能力.13.【2021高|考广东 ,文1】假设集合{}1,1M =- ,{}2,1,0N =- ,那么M N = ( )A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C【解析】{}1M N = ,应选C ．【考点定位】集合的交集运算．【名师点晴】此题主要考查的是集合的交集运算 ,属于容易题．解题时要看清楚是求 "〞还是求 "〞 ,否那么很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性 ,防止出现错误．14.【2021高|考山东 ,文5】设m R ∈,命题 "假设0m >,那么方程20x x m +-=有实根〞的逆否命题是( )(A )假设方程20x x m +-=有实根 ,那么0m >(B) 假设方程20x x m +-=有实根 ,那么0m ≤(C) 假设方程20x x m +-=没有实根 ,那么0m >(D) 假设方程20x x m +-=没有实根 ,那么0m ≤【答案】D【解析】一个命题的逆否命题 ,要将原命题的条件、结论加以否认 ,并且加以互换 ,应选D .【考点定位】命题的四种形式.【名师点睛】此题考查命题的四种形式 ,解答此题的关键 ,是明确命题的四种形式 ,正确理解 "否认〞的内容.此题属于根底题 ,是教科书例题的简单改造.15.【2021高|考湖南 ,文3】设x ∈R ,那么 "x >1”是 "2x >1”的 ( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题易知 "x >1〞可以推得 "2x >1〞 , "2x >1〞不一定得到 "x >1〞 ,所以 "x >1〞是 "2x >1〞的充分不必要条件 ,应选A.【考点定位】充要关系【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设 "假设p ,那么q 〞为原命题 ,那么：①原命题为真 ,逆命题为假时 ,p 是q 的充分不必要条件；②原命题为假 ,逆命题为真时 ,p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时 ,p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时 ,p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看 ,建立命题p ,q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立} ,q ：B ＝{x |q (x )成立} ,那么：①假设A ⊆B ,那么p 是q 的充分条件；假设A B 时 ,那么p 是q 的充分不必要条件； ②假设B ⊆A ,那么p 是q 的必要条件；假设B A 时 ,那么p 是q 的必要不充分条件； ③假设A ⊆B 且B ⊆A ,即A ＝B 时 ,那么p 是q 的充要条件．(3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件．16.【2021高|考福建 ,文2】假设集合{}22M x x =-≤< ,{}0,1,2N = ,那么M N 等于 ( )A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,1【答案】D【解析】由交集定义得{}0,1MN = ,应选D ．【考点定位】集合的运算．【名师点睛】此题考查集合的交集运算 ,理解交集的含义是正确解答的前提 ,属于根底题．17.【2021高|考湖北 ,文3】命题 "0(0,)x ∃∈+∞ ,00ln 1x x =-〞的否认是 ( )A ．0(0,)x ∃∈+∞ ,00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞ ,00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞ ,ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞ ,ln 1x x =- 【答案】C .【解析】由特称命题的否认为全称命题可知 ,所求命题的否认为(0,)x ∀∈+∞ ,ln 1x x ≠- ,故应选C .【考点定位】此题考查特称命题和全称命题的否认形式 , ,属识记根底题.【名师点睛】此题主要考查特称命题的否认 ,其解题的关键是正确理解并识记其否认的形式特征.扎根根底知识 ,强调教材的重要性 ,充分表达了教材在高|考中的地位和重要性 ,考查了根本概念、根本规律和根本操作的识记能力.18.【2021高|考北京 ,文1】假设集合{}52x x A =-<< ,{}33x x B =-<< ,那么A B = ( )A ．{}32x x -<<B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<【答案】A【解析】在数轴上将集合A ,B 表示出来 ,如下列图 ,由交集的定义可得 ,A B 为图中阴影局部 ,即{}32x x -<< ,应选A .【考点定位】集合的交集运算.【名师点晴】此题主要考查的是集合的交集运算 ,属于容易题．解题时要看清楚是求 "〞还是求 "〞 ,否那么很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性 ,防止出现错误．19.【2021高|考安徽 ,文3】设p ：x <3 ,q ： -1<x <3 ,那么p 是q 成立的 ( )(A )充分必要条件 (B )充分不必要条件(C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵3: x p ,31: x q -∴p q ⇒ ,但p ⇒/q ,∴p 是q 成立的必要不充分条件 ,应选C .【考点定位】此题主要考查充分、必要条件的判断.【名师点睛】在判断充分、必要条件时 ,考生一定要作好三个步骤：①p ⇒q 是否成立；②p q ⇒是否成立；③形成结论 ,此题考查了考生的逻辑分析能力.20.【2021高|考湖南 ,文11】集合U ={}1,2,3,4 ,A ={}1,3,B ={}1,3,4,那么A (U B ) =_____.【答案】{1 ,2 ,3}.【解析】由题U B ={2} ,所以A (U B ) ={1 ,2 ,3}.【考点定位】集合的运算【名师点睛】研究集合问题 ,一定要抓住元素 ,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时 ,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系 ,此题实质求满足属于集合A 或不属于集合B 的元素的集合. 此题需注意检验集合的元素是否满足互异性 ,否那么容易出错．21.【2021高|考上海 ,文2】设全集R =U .假设集合}4,3,2,1{=A ,}32|{<≤=x x B ,那么=)(B C A U .【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ,所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ,又因为}4,3,2,1{=A , 所以}4,1{)(=B C A U .【考点定位】集合的运算.【名师点睛】先求B C U ,再求)(B C A U .集合的运算是容易题 ,应注意用描述法表示集合应注意端点值是否取号.【2021高|考上海 ,文15】设1z 、C ∈2z ,那么 "1z 、2z 均为实数〞是 "21z z -是实数〞的( ).【答案】A【考点定位】复数的概念 ,充分条件、必要条件的判定.【名师点睛】判断p是q的什么条件 ,需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q ,二是由条件q能否推得条件p.对于带有否认性的命题或比较难判断的命题 ,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外 ,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性 ,转化为判断它的等价命题．。
集合与常用逻辑用语1-11（原卷版）1、集合小题★★★★★十年考情：针对该考点，都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。
常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x 还是y 。
2020高考预测：1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,(){|ln 1}B x y x ==+，则AB =（ ） A ．{1,0}- B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2．已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．已知集合1,2,3A ,220,B x x x x Z ,则A B （ ）A ．{}1B ．{}21，C ．{}3210，，，D ．{}32101-，，，，4．已知集合1{1}A x x =>，则A R =（ ）A ．{1}x x <B ．{|}{|1}x x x x ≤0≥C ．{|0}{|1}x x x x <>D ．{1}x x ≤5．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|}x B y y e y N ，==∈，则AB =（ ） A ．{1,0}- B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}6.已知集合M={-1,0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，P M N =，则P 的真子集共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个”的（A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8．已知直线12:(2)10,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，20010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤10．下列命题正确的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈均有210x x +-≥C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 只有一个为真命题D ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”11.下列说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣4x +3=0，则x =3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2﹣4x +3≠0”B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件C ．命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”，则¬p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题AB AC BC +>。
专题1集合与常用逻辑用语1．已知集合{}12,,,n A a a a =中的元素都是正整数，且12n a a a <<⋅⋅⋅<，集合A 具有性质M ：对任意的,x y A ∈，且x y ≠，都有25xy x y -≥. （1）判断集合{}1,2,3,4是否具有性质M ；（2）求证：111125n n a a --≥；（3）求集合A 中元素个数的最大值，并说明理由.【答案】（1）具有性质M ；（2）证明见解析；（3）集合A 中元素个数的最大值是9. 【解析】（1）252121⨯≥-，253131⨯≥-，254141⨯≥-， 253232⨯≥-，254242⨯≥-，254343⨯≥-，因为由上述式子可知集合{}1,2,3,4满足25xy x y -≥， 所以集合{}1,2,3,4具有性质M .（2）由题意可得()1,,3,2,12511-⋅⋅⋅=≥-++n i a a a a i i i i 且12n a a a <<⋅⋅⋅<， 则2511++≥-i i i i a a a a ，即251111≥-+i i a a ，故25111111113221-≥-+⋅⋅⋅+-+--n a a a a a a n n ，即111125n n a a --≥.（3）因为集合{}12,,,n A a a a =中的元素都是正整数，所以11a ≥，因为111125n n a a --≥，所以1125n >-，26n <， 同理可得1125i n n i a a --≥，则125i n ia ->， 因为i a i ≥，所以125i n i->，()25n i i >-，当1,2,3,,1i n =-都成立，当10n ≥时，令5i =，则()5525n -⨯≥，不成立；当9n ≤时，()222524n i i n n i i -+⎛⎫-≤=< ⎪⎝⎭，当且仅当n i i 时等号成立， 此时()25n i i >-恒成立，综上所述，9n ≤，集合A 中元素个数的最大值为9.2．已知集合A 为非空数集，定义{,,}A x x a b a b A +==+∈∣，{||,,}A x x a b a b A -==-∈∣． （1）若集合{1,1}A =-，直接写出集合A +及A -；（2）若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=，求证1423 x x x x +=+；（3）若集{02020,}A xx x ⊆≤≤∈N ∣，且A A +-⋂=∅，求集合A 中元素的个数的最大值． 【答案】（1）{2,0,2}A +=-，{0,2}A -=；（2）证明见解析；（3）1347．【解析】（1）根据题意，由{1,1}A =-，则{2,0,2}A +=-，{0,2}A -=； （2）由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=， 所以A -中也只包含四个元素，即{}2131410,,,A x x x x x x -=---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423 x x x x +=+； （3）设{}12,,k A a a a =⋅⋅⋅满足题意，其中12k a a a <<⋅⋅⋅<，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋅⋅⋅<+<+<+<⋅⋅⋅<+<，∴21A k +≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋅⋅⋅<-，∴A k -≥，∵A A +-⋂=∅，由容斥原理31AA A A k +-+-=+≥-，A A +-中最小的元素为0，最大的元素为2k a ， ∴21k AA a +-≤+，∴()*31214041k k a k N -≤+≤∈，∴1347k ≤，实际上当{674,675,676,,2020}A =⋅⋅⋅时满足题意，证明如下： 设{,1,2,,2020},A m m m m N =++⋅⋅⋅∈，则{2,21,22,,4040}A m m m +=++⋅⋅⋅，{0,1,2,,2020}A m -=⋅⋅⋅-，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即{674,675,676,,2020}A =⋅⋅⋅时满足题意， 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347． 3．给定的正整数()2n n ≥，若集合{}12,,,n A a a a M =⊆满足1212n n a a a a a a +++=⋅，则称A 为集合M 的n 元“好集”.（1）写出一个实数集R 的2元“好集”； （2）证明：不存在自然数集N 的2元“好集”；（3）是否在自然数集N 的3元“好集”? 若存在，请求出所有自然数集N 的3元“好集”；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析；（3）存在，且自然数集N 的3元“好集”只有一个，且为{}1,2,3.【解析】（1）111122-+=-⨯，则11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭为实数集R 的一个2元“好集”； （2）设{}12A a ,a =是自然数集N 上的一个2元“好集”，不妨设12a a <.①若10a =，则2N a *∈，则1212a a a a +=显然不成立；②若1N a *∈，由1212a a a a +=可得()1122211a a a a a a =-=-，1121a a a ∴-=， 1a 、2N a *∈且12a a <，1201a a ∴<<，11a N -∈，所以1121aa a -=不成立. 综上所述，不存在自然数集N 的2元“好集”；（3）设{}123,,A a a a =是自然数集N 上的3元“好集”，不妨设123a a a <<.①若10a =，则123123a a a a a a ++=显然不成立；②若1N a *∈，则12312333a a a a a a a =++<，可得123a a <，满足123a a <的正整数只能是11a =，22a =，代入123123a a a a a a =++可解得33a =.因此，自然数集N 上的所有3元“好集”为{}1,2,3.4．设实数,,a b m R ∈，若满足22()()a m b m -<-，则称a 比b 更接近m . （1）若2x 比1x +更接近0，求实数x 的取值范围；（2）判断“21x y mx y+-<--”是“x 比y 更接近m ”的什么条件？并说明理由.【答案】（1）1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）充分非必要条件，理由见解析.【解析】（1）由题意可知22(20)(10)x x -<+-，即23210x x --<，解得：113-<<x ，则实数x 的取值范围是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）①由题意可知()()2=1x m y m x y m x y x y-+-+-<---. 1）若0x y -<，则()()0x m y m -+->，显然必有0y m ->那么，若0x m ->，则显然||||x m y m -<-，满足22()()x m y m -<-,若0x m -<，则必有||||x m y m -<-，满足22()()x m y m -<-2）同理若0x y ->，则()()0x m y m -+-<，显然必有0y m -<那么，0x m ->，则显然||||x m y m -<-，满足22()()x m y m -<-,若0x m -<，则必有||||x m y m -<-，满足22()()x m y m -<-21x y mx y+-∴<--是“x 比y 更接近m ”的充分条件,②x 比y 更接近m ，则22()()x m y m -<-，或||||x m y m -<-,显然存在210x y mx y+--<<-成立.∴ " x 比y 更接近m "不是21x y mx y+-<--的必要条件综上21x y mx y+-<--是"x 比y 更接近m"的充分非必要条件.5．如果实系数1a 、1b 、1c 和2a 、2b 、2c 都是非零常数．（1）设不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别是A 、B ，试问111222a b c a b c ==是A B =的什么条件？并说明理由．（2）在实数集中，方程21110a x b x c ++=和22220a x b x c ++=的解集分别为A 和B ，试问111222a b c a b c ==是A B =的什么条件？并说明理由．（3）在复数集中，方程21110a x b x c ++=和22220a x b x c ++=的解集分别为A 和B ，证明：111222a b c a b c ==是A B =的充要条件．【答案】（1）既不充分也不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充见解析. 【解析】（1）若1a b c ===，1111a b c ===-，则A B ≠， 若A B ==Φ，则两个不等式的系数之间没有关系．111222a b c a b c ==是A B =的既不充分也不必要条件． （2）若A B ==Φ，则两个方程的系数之间没有关系．由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程式同解方程．111222a b c a b c ==是A B =的充分不必要条件. （3）111222a b c a b c ==是A B =的充要条件， 由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证．当A B =时，由韦达定理可得1212b ba a -=-，1212c c a a =，即1122a b a b =，1122a a c c =， 从而可得111222a b c a b c ==，即必要性成立． 6．已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.【答案】()14；()2证明见解析.【解析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证.。
专题01 集合与常用逻辑用语1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =I ðA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】由已知得{}1,6,7U A =ð， 所以U B A =I ð{6,7}. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集、补集的运算，根据交集、补集的定义即可求解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅【答案】C【解析】由题知，(1,2)A B =-I . 故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集运算，是容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-I . 故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2019年高考北京文数】已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A ．（–1，1） B ．（1，2） C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=>， ∴(1,)A B =-+∞U . 故选C.【名师点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.5．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B I ð= A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】∵{1,3}U A =-ð，∴(){1}U A B =-I ð. 故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.6．【2019年高考天津文数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =I U A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】因为{1,2}A C =I ，所以(){1,2,3,4}A C B =I U . 故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．7．【2019年高考天津文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“05x <<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围. 8．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 9．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.10．【2019年高考北京文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数； 当()f x 为偶函数时，()()f x f x -=对任意的x 恒成立，由()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，得cos sin cos sin x b x x b x +=-， 则sin 0b x =对任意的x 恒成立， 从而0b =.故“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选C.【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.11．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 由题意知，{1,6}A B =I .【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.12．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三）数学】已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y =+≤∈N ，则A 中元素的个数为 A ．1 B ．5 C ．6D ．无数个【答案】C【解析】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =， 所以A 中元素的个数为6. 故选C.【名师点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13．【云南省玉溪市第一中学2019届高三上学期第二次调研考试数学】命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为A ．2000,10x x x ∃∈++≥RB ．2000,10x x x ∃∈++≤RC ．2000,10x x x ∀∈++≥R D ．2000,10x x x ∀∉++≥R【答案】C【解析】由题意得原命题的否定为2000,10x x x ∀∈++≥R .故选C.【名师点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.14．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则A ．{}1A B x x =>U B ．A B =U R C ．{|0}A B x x =<I D ．A B =∅I【答案】C【解析】集合{|31}xB x =<，即{}0B x x =<，而{|1}A x x =<，所以{}1A B x x =<U ，{}0A B x x =<I . 故选C.【名师点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.15．【北京市通州区2019届高三三模数学】已知集合{}0,1,2P =，{|2}Q x x =<，则P Q I =A ．{}0B ．{0,1}C ．{}1,2D ．{0,2}【答案】B【解析】因为集合{0,1,2}P =，{|2}Q x x =<，所以{0,1}P Q =I .故选B.【名师点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.16．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学】已知全集U =R ，集合2{|1}A x x =≤，则U A =ðA ．(,1)(1,)-∞-+∞UB ．(,1][1,)-∞-+∞UC ．(1,1)-D ．[1,1]-【答案】A【解析】因为2{|1}A x x =≤＝{|11}x x -≤≤， 所以U A =ð{|1x x <-或1}x >， 表示为区间形式即(,1)(1,)-∞-+∞U . 故选A.【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【福建省龙岩市（漳州市）2019届高三5月月考数学】已知集合}1|{≥=x x A ，{|230}B x x =->，则A B =U A ．[0,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】因为{|230}B x x =->=}23|{>x x ，}1|{≥=x x A ， 所以A B =U [1,)+∞. 故选B.【名师点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题．18．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】设集合{|12,}A x x x =-≤≤∈N ，集合{2,3}B =，则BA Y 等于A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．}3,2,1{D ．{2}【答案】B【解析】因为集合{|12,}{0,1,2}A x x x =-≤≤∈=N ，{2,3}B =，所以0,1,3}2,{A B =U . 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的并集运算，其中正确求解集合A ，熟练应用集合并集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.19．【湖北省安陆一中2019年5月高二摸底调考数学】已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a =A ．0B ．0或1C ．2D ．0或1或2【答案】B【解析】由B A ⊆，可知{0,2}B =或{1,2}B =， 所以0a =或1. 故选B.【名师点睛】本小题主要考查子集的概念，考查集合中元素的互异性，属于基础题. 20．【天津市第一中学2019届高三下学期第五次月考数学】设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由31x <可得1x <，由1122x -<可得01x <<， 据此可知“31x <”是“1122x -<”的必要而不充分条件. 故选B ．【名师点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考数学】若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >1，得y x a a >等价为x >y ；log log a a x y >等价为x >y >0，故“y x a a >”是“log log a a x y >”的必要不充分条件. 故选A.【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指数函数和对数函数的单调性，掌握充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．22．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学】“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】方程2212x ym m +=-表示椭圆，即020022m m m m m>⎧⎪->⇒<<⎨⎪≠-⎩且1m ≠，所以“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选C.【名师点睛】本题考查了椭圆的概念，充分条件和必要条件的判断，容易遗漏椭圆中2m m ≠-，属于基础题.23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】设a,b 是空间两条直线，则“a,b 不平行”是“a,b 是异面直线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由a,b 是异面直线⇒a,b 不平行．反之，若直线a,b 不平行，也可能相交，不一定是异面直线． 所以“a,b 不平行”是“a,b 是异面直线”的必要不充分条件． 故选B ．【名师点睛】本题考查了异面直线的性质、充分必要条件的判定方法，属于基础题．24．【北京市人大附中2019年高考信息卷（三）】设a ，b 为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 方向相同”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为a ，b 为非零向量，所以a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反， 因此“a ∥b ”是“a 与b 方向相同”的必要而不充分条件. 故选B ．【名师点睛】本题考查充要条件和必要条件的判断，属基础题.25．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试数学】已知集合{}2230,A x x x =+-≤{}2B =<，则A B =IA ．{}31x x -≤≤ B ．{}01x x ≤≤ C ．{}31x x -≤< D ．{}10x x -≤≤【答案】B【解析】因为{}{}31,04A x x B x x =-≤≤=≤<， 所以A B =I {}01x x ≤≤. 故选B.【名师点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知集合{|A x y ==，2{|log 1}B x x =≤，则A B =IA ．1{|}3x x ≤≤-B ．{|01}x x <≤C ．{|32}-≤≤x xD ．{|2}x x ≤【答案】B【解析】由二次根式有意义的条件，可得(1)(3)0x x -+≥， 解得31x -≤≤，所以{|A x y =={|31}x x =-≤≤. 由对数函数的性质可得22log log 2x ≤， 解得02x <≤，所以2{|log 1}B x x =≤{|02}x x =<≤， 所以A B =I {|01}x x <≤. 故选B ．【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.27．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）数学】设集合{|A x y ==，{|2,x B y y ==3}x ≤，则集合()A B =R I ðA ．}3|{<x xB ．{|3}x x ≤C ．{|03}x x <<D ．{|03}x x <≤【答案】C【解析】因为{}{|3A x y x x ===≥，所以{}3A x x =<R ð，又{}{}|2,3|08xB y y x y y ==≤=<≤，所以(){}03A B x x =<<I R ð. 故选C ．【名师点睛】本题考查了集合的交集运算、补集运算，正确求出函数3-=x y 的定义域，函数2,3x y x =≤的值域是解题的关键.28．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三）】“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切，1,=则3k =±.所以“3k =”是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.29．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模)数学】已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即2111(2)(8)a d a a d +=+，变形可得1a d =， 则“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充分条件；若1a d =，则3123a a d d =+=，9189a a d d =+=，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的必要条件.综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充要条件.故选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的性质，充分必要条件的定义与判断，属于基础题．30．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．【答案】(3,)+∞【解析】因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >，故答案为(3,)+∞.【名师点睛】本题考查根据必要不充分条件求参数的值，由题意得到(),m +∞是()3,+∞的真子集是解答的关键，属于基础题.31．【甘肃省酒泉市敦煌中学2019届高三一诊数学】设集合A ={x||x −2|≤2}, B ={y|y =−x 2,−1≤x ≤2},则A ∩B =__________.【答案】{0}【解析】求解绝对值不等式|x −2|≤2可得A ={x|0≤x ≤4}，求解函数y =−x 2,−1≤x ≤2的值域可得B ={y|−4≤y ≤0}，由交集的定义可知：A ∩B ={0}.故答案为{0}.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的值域，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32．【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测数学】设α,β为两个不同平面，直线m ⊂α，则“α//β”是“m//β”的__________条件.【答案】充分不必要【解析】根据题意，α，β表示两个不同的平面，直线m α⊂，当α∥β时，根据面面平行的性质定理可知，α中任何一条直线都平行于另一个平面，得m//β，所以α∥β ⇒m//β；当m//β且m α⊂时，α∥β或α与β相交，所以“α//β”是“m//β”的充分不必要条件．故答案为充分不必要．【名师点睛】本题主要考查了面面平行的性质定理，面面的位置关系，充分条件和必要条件定义的理解，属于基础题．33．【安徽省江淮十校2019届高三第三次联考数学】若命题“∀x ∈[0,π3]，1+tanx ⩽m ”的否定是假命题，则实数m 的取值范围是__________.【答案】[1+√3,+∞)【解析】因为命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，]恒成立，即不等式1+tanx⩽m对∀x∈[0,π3]上为增函数，又y=1+tanx在x∈[0,π3=1+√3，所以(1+tanx)max=1+tanπ3即m⩾1+√3.故实数m的取值范围是：[1+√3,+∞).【名师点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析能力和转化求解能力，属中档题.。
2020年高考数学（新高考创新题型）之 1.集合与常用逻辑用语（含精析）一、选择题。
1．用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=⎩⎨⎧<-≥-)()(),()()()(),()(B C A C A C B C B C A C B C A C .若A ={1,2},B=}0)2()(|{22=++⋅+ax x ax x x ，且A*B=1，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则C(S)=( )A.4B.3C.2D.12．下列命题：①△ABC 的三边分别为c b a ,,则该三角形是等边三角形的充要条件为bc ac ab c b a ++=++222；②数列{}n a 的前n 项和为n S ，则Bn An S n +=2是数列{}n a 为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分必要条件；④已知222111,,,,,c b a c b a 都是不等于零的实数，关于x 的不等式01121>++c x b x a 和02222>++c x b x a 的解集分别为P ，Q ，则212121c c b b a a ==是Q P =的充分必要条件，其中正确的命题是( )A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①③3．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：≥+()F x kx b 和≤+()G x kx b 恒成立，则称此直线=+y kx b 为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数=∈=<=21()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x．有下列命题：①=-()()()F x f x g x 在∈(x 内单调递增;②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且b 的最小值为-4; ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”, 且k 的取值范围是-(4,0];④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”=-y e ． 其中真命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得()3n P A =⎡⎤⎣⎦； ③用∅表示空集，若A B =∅，则()()P A P B =∅；④若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；⑤若()n A -()1n B =，则()()2n P A n P B =⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦其中正确的命题个数为( )A.4B.3C.2D.15．已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}； ③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}． 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A.①② B.②④ C.①④ D.②③二、填空题。
2020年高考数学二轮复习专题01：集合与常用逻辑用语一、单选题（共14题；共28分）1. ( 2分) 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. ( 2分) 已知集合A= ,B= ,则=（）A. B. C. D.3. ( 2分) 设全集为R，函数的定义域为M，则为（）A. (－∞，1)B. (1，＋∞)C. (－∞，1]D. [1，＋∞)4. ( 2分) 已知集合，，则（）A. B. C. D.5. ( 2分) 若集合，，则（）A. B. C. D.6. ( 2分) 如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.7. ( 2分) 若非空集合，，满足，且不是的子集，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. ( 2分) 命题：“ ，使”，这个命题的否定是A. ，使B. ，使C.，使D. ，使9. ( 2分) 已知命题p：命题“ ”的否定是“ ”；命题q：在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ ”是“a>b”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.10. ( 2分) 已知.若“ ”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. (1，+∞) B. (－∞，3) C. (1，3) D.11. ( 2分) 已知，，，，则是（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. ( 2分) 已知命题：，，则命题的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，13. ( 2分) 下列说法正确的是（）A. 命题“ ”的否定是：“ ”B. “ ”是“ ”的必要不充分条件C.命题“若，则”的否命题是：若，则D.命题“若，则”的逆否命题为真命题.14. ( 2分) 有下列四个命题：⑴“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A. （1）（2）B. （2）（3）C. （4）D. （1）（2）（3）二、填空题（共3题；共5分）15. ( 2分 ) 已知，，，则________，________．16. ( 1分 ) 条件 ，条件，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是________．17. ( 2分 ) 已知命题p ：对任意的，不等式恒成立，则为________；若为假命题，则m 的取值范围是________．三、解答题（共4题；共40分）18. ( 10分 ) 设全集 .（1）当 时，求；（2）若，求实数 的取值范围.19. ( 10分 ) 设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则 ∈A(a≠1)．求证：（1）若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； （2）集合A 不可能是单元素集．20. ( 10分 ) 设 ，命题“方程有实数根”， 命题 “对任意实数 ，恒成立”.（1）若 为真命题，求 的最大值；（2）若为真命题，且为假命题，求 的取值范围.21. ( 10分 ) 设命题，命题 ：关于 不等式的解集为.（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（2）若命题 或 是真命题， 且 是假命题，求实数 的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：由题得，∴.故答案为：A.【分析】通过解不等式求出集合B，结合交集的运算，求出.2.【答案】C【考点】交集及其运算，一元二次不等式的解法【解析】【解答】先解不等式得0<x<4,集合B= .由题意知集合A表示奇数集,所以A∩B= ,故答案为：C.【分析】通过解一元二次不等式求出集合B，结合集合A的含义及交集的运算，即可求出.3.【答案】A【考点】补集及其运算【解析】【解答】全集为R，函数的定义域为M＝{x| 0}＝{x|x 1}，则∁R M＝{x|x<1}＝(－∞，1)．故答案为：A．【分析】通过求函数的定义域求出M，即可得到相应的补集.4.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故答案为：A.【分析】通过解不等式求出集合A和集合B，结合补集和交集运算，即可求出.5.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用，集合的相等，交集及其运算【解析】【解答】集合，集合，，则,故答案为：【分析】利用绝对值不等式求解方法求出集合M的元素x的取值范围和利用一元二次不等式求出集合N 的元素y的取值范围，再来判断集合M和N的关系及二者的集合交集运算的结果，从而选出答案。
【考向解读】集合与常用逻辑用语在高考中是以选择题或填空题的形式进行考查的，属于容易题．但命题真假的判断，这一点综合性较强，联系到更多的知识点，属于中挡题．预测高考会以集合的运算和充要条件作为考查的重点．【命题热点突破一】集合的关系及运算集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为最低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高．在复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用．同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用．1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解． 例1、（2020年全国卷Ⅱ）已知集合，，则A.B.C.D.【答案】C 【解析】,，故选C 。
【变式探究】【2020全国卷1，文1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A I B =∅C ．A U B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A U B=R【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以，选A ．【变式探究】设集合，则S T =I （ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 【答案】D 【解析】由解得3x ≥或2x ≤，所以，所以，故选D ．【变式探究】【2020天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【变式探究】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.【感悟提升】充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．【变式探究】(1)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B(2)给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ②a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；③在△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件为A >B ；④在△ABC 中，设命题p ：△ABC 是等边三角形，命题q ：a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，那么命题p 是命题q 的充分不必要条件．其中正确的命题为________．(把你认为正确的命题序号都填上) 【答案】①③【解析】①正确．因为AB →＝DC →， 所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此AB →＝DC →.②不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．【点评】判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .9. （2020年北京卷）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad =bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B10. （2020年天津卷）设，则“”是“” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件，本题选择A 选项。
专题01 集合与常用逻辑用语（知识梳理）一、集合1、集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A 、B 、C 、…来表示。
2、元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a 、b 、c 、…来表示。
注意：在集合中，通常用小写字母表示点(元素)，用大写字母表示点(元素)的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写字母表示点的集合，应注意区别。
3、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。
4、元素与集合的关系：之间只能用“∈”或“∉”符号连接。
(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；(2)不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉。
5、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。
集合中的元素互不相同。
例：集合},1{a A =，则a 不能等于1。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。
例：}2,1,0{有}1,2,0{、}2,0,1{、}0,2,1{、}1,0,2{、}0,1,2{等六种表示方法。
6、集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合。
(2)无限集：含有无限个元素的集合。
(3)空集：不含任何元素的集合。
7、常见的特殊集合：(1)正整数集*N 或+N ；(2)非负整数集N (即自然数集，包括零)；(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)；(4)有理数集Q (包括整数集Z 和分数集→正负有限小数或无限循环小数)；(5)实数集R (包括所有的有理数和无理数)；注意：①}{整数=Z (√)；}{全体整数=Z (×)；②},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈=⋅表示坐标轴上的点集；③},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈>⋅表示第一、三象限的点集；④},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈<⋅表示第二、四象限的点集；⑤对方程组解的集合应是点集，例：⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合)}1,2{(； 例1-1．判断下列说法是否正确，并说明理由。
