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文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中：①若∈R，则(＋1)i是纯虚数；②若，∈R且>，则＋>＋；③若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④2.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3i B．3＋3iC．3－i D．33．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）A．－1 B.1C.i-D.i4.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－15.设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D．126.复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A．25B．－25C．15D．－157.若＝(＋m＋1)＋(＋m－4)i，m∈R，＝3－2i，则m＝1是＝的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8.复数z＝1＋i，z－为z的共轭复数，则z z－－z－1＝()A．－2i B．－iC．i D．2i9.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋a i(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z对应的点不可能位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10. 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|＜2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若复数12iz=-（i为虚数单位），则z z z⋅+= .12.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，OCu u u r＝λOAu u u r＋μOBuuu r(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．13.使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有 个，相等的有 组 三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i zz+-＝1．16．（6分）若∈R ，试确定是什么实数时，等式32－－1＝(10－－22)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．18．（10分）设是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求||的值及的实部的取值范围；(2)设z zM +-=11，求证：为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、解答题16.17.18.19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2) 答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋＝1＋i ＋＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝＝，设在复平面内z 对应的点的坐标为(，)，则＝，＝.法一：易知－＝1，即复数z 对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要 >1，若在第二象限，需要<0，且>0，即 <－1且 >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ ＝|cos 2－sin 2|＝|cos 2|，且∈R ，∴ ∈[0,1],∴ ＝[0,1]． 在中，∈R 且|－1i|<2，∴ |＋i|<2，∴2＋1<2，解得－1<<1，∴＝(－1,1)．∴ ∩＝[0,1)． 二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵2－(2－3m)i ＜( 2－4＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得10,=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ 3.当＝3时，原不等式成立． 14.4,5,3 解析：2,,,z z z z-=四个为虚数；22,,,,z z z z z z--⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等.三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋b i(a , b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-2222(1)(1)a b a b +-+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1.16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ， 由条件知121222z z z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线， 所以122z z +=．18.（1）解：设＝＋i （，）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2，－1<ω<2， 所以.所以的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 121< < - a 12 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 iba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0, ≠ ∈ b R（这里利用了（1）中122=+b a ） 因为 ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为∈（－1,21），所以＋1>0，所以2M -ω≥2×2－3＝1.当＋1＝11+a ，即＝0时上式取等号， 所以2M -ω的最小值是1. 19.证明：原方程化简为,设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得根据上式可得整理得051282=+-x x .方程无实数解.原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。
选修2-2 第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为导学号 10510708( ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D ．k π2＋π4(以上k ∈Z )[答案] B[解析] 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝02cos θ＋1≠0得⎩⎨⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4，(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4.选B.2．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为导学号 10510709( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4[答案] C[解析] 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a .解得：a ＝－4.故应选C.3．已知复数z ＝cos α＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为导学号 10510710( )A ．{π，2π3，4π3}B ．{π3，5π3}C ．{π，π6，11π6}D ．{π3，π，5π3}[答案] D[解析] 由条件知，cos α＋cos2α＝0， ∴2cos 2α＋cos α－1＝0， ∴cos α＝－1或12，∵0<α<2π，∴α＝π，π3或5π3，故选D.4．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于导学号 10510711( )A ．k π(k ∈Z )B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z )D ．2k π＋π6(k ∈Z )[答案] D[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12. ∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D.5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则导学号 10510712( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2[答案] C[解析] 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.6．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是导学号 10510713( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a ≤0[答案] D[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x ，y 为实数，则x ＝______，y ＝______导学号 10510714[答案] 141[解析] 由复数相等可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.8．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝________.导学号 10510715 [答案] 2[解析] 方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2＝0，x 2－5x ＋6＝0.解得x ＝2.9．如果z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为________.导学号 10510716[答案] －2[解析] 如果z 为纯虚数，需⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0.，解之得a ＝－2.三、解答题10．已知z 1＝⎝⎛⎭⎫cos α－45＋i ⎝⎛⎭⎫sin α－35，z 2＝cos β＋isin β，且z 1＝z 2，求cos(α－β)的值.导学号 10510717[解析] 由复数相等的充要条件，知⎩⎨⎧cos α－45＝cos β，sin α－35＝sin β.即⎩⎨⎧cos α－cos β＝45， ①sin α－sin β＝35. ②①2＋②2得2－2(cos α·cos β＋sin α·sin β)＝1， 即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝12.一、选择题1．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于导学号 10510718( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] B[解析] 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.2．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }，在集合A 中任取一个元素a ，则复数z ＝(a 2－1)＋(a 2－a －2)i 为实数的概率为p 1，z 为虚数的概率为p 2，z ＝0的概率为p 3，z 为纯虚数的概率为p 4，则导学号 10510719( )A ．p 3<p 1<p 4<p 2B ．p 4<p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 4<p 1<p 2D ．p 3＝p 4<p 1<p 2[答案] D[解析] 由条件知A ＝{－2，－1,0,1,2}，若z ∈R ，则a 2－a －2＝0，∴a ＝－1或2，∴p 1＝25；若z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－a －2＝0，∴a ＝－1，∴p 3＝15；若z 为虚数，则a 2－a －2≠0，∴a ≠－1且a ≠2， ∴p 2＝35；若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－a －2≠0，∴a ＝1，∴p 4＝15.∴p 3＝p 4<p 1<p 2. 二、填空题3．若cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，则θ＝________.导学号 10510720 [答案] 2k π＋π2(k ∈Z )[解析] 由cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数知，⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0，1＋sin θ≠0. 所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．4．若x 是实数，y 是纯虚数，且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________.导学号 10510721[答案] 122i[解析] 设y ＝b i(b ∈R, 且b ≠0)，则2x －1＋2i ＝b i ，再利用复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0，2＝b .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，b ＝2.∴x ＝12，y ＝2i.三、解答题5．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值.导学号 10510722 [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3，m ＝3或m ＝1，|m |<10.∴当m ＝3时，原不等式成立．6．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为导学号 10510723(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？[解析] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数； (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数； (3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．。
3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义I _________________ 课时过关能力提升基础巩固j 1 (6-2i)-(3i + 1)等于()A.3-3iB.5-5iC.7+iD.5 + 5i解析(6-2i)-(3i + 1)= (6-1)+ (-2-3)i = 5-5i.故选B.答案BJ 2若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()B.2iC.6D.6-2iA.0解析-/z+i-3=3-i,z=(3-i) -(i-3)= (3+ 3)+ (-i-i) = 6-2i,故选D.答案DI一3在复平面内，已知点A对应的复数为2+3i,向量对应的复数为-1 + 2i,则向量对应的复数为()A.1 +5iB.3 + iC.-3-iD.1 +i解析因为，所以对应的复数为(2+3i) -(-1+ 2i) = (2+1)+(3-2)i = 3+i.故选B.答案B匸4若z i = 2+i,Z2=3+ai(a€ R)，且Z1+Z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析N+z2=2+i+3+ai=(2+3) + (1+a)i = 5+(1+a)i.T Z1+Z2所对应的点在实轴上,1 +a= 0..・.a=-1.答案D匸5若在复平面内的？ABCD中，对应复数6+8i, 对应复数-4+6i,则对应的复数是()A.2 + 14iB.1+7i故对应的复数是-1-7i. 答案D6已知复数z i = 3+ 2i,Z 2= 1-3i,则复数z=z i -Z 2在复平面内对应的点 Z 位于复平面内的第 _____________ 象限. 答案一匸 7 已知 z i =m 2-3m+m 2i,Z 2=4+(5m+6)i(m € R ).若 z i -Z 2=0,则 m= ___________ . 解析■/z 1-z 2=(m 2-3m+m 2i)-[4 + (5m+6)i]2 2=(m -3m-4)+(m -5m-6)i = 0,・・m=-1.答案-1匕 8 已知 Z 1 = —a+ (a+ 1)i,Z 2=- 3 b+(b+2)i( a,b G R )若 Z 1-Z 2=4，则 a+b= ________ .解析 q-z 2=-a+(a+1)i-[-3 一b+(b+2)i]+ (a-b-1)i = 4由复数相等的条件，知—解得 故a+b= 3.答案3< 9若|z-1|=1,试说明复数z 对应点的轨迹.分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解解根据复数的减法和模的几何意义 ，知|z-1|=1表示复数z 对应的点到点(1,0)的距离为1,所以复数z 对应的点的轨迹是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆.能力提升1 已知复数 Z 1 = - —i,复数 Z 2=cos 60° +isin 60 °，则 Z 1+Z2 等于(C.2-14iD.-1-7i解析设对应的复数分别为Z i 与Z 2,则有得 2Z 2= 2+ 14i,Z 2=1 + 7i,人教A版2018-2019学年高中数学选修2-2习题B.-1A.1C._ —iD._ —i答案A2已知z i = 3-4i,Z2=-5+2i,z i,Z2对应的点分别为P i,P2，则对应的复数为()A.-8+6iB.8-6iC.8+6iD.-2-2i解析由复数减法的几何意义知：对应的复数为Z i-z2=3-4i-(-5+2i) = (3+5)+(-4-2)i = 8-6i,故选B.答案B3已知A,B分别是复数Z1,z2在复平面内对应的点，0是坐标原点若|Z1+z2|=|z 1-z2|，则A AOB—定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析因为IZ1+Z2F IZ1-Z2I所以由复数加减运算的几何意义知，以OA,OB为邻边的平行四边形是矩形，故△AOB是直角三角形.答案B★4已知z€ C,|z-2|=1,则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是()A. + 1 和-1B.3 和1C.5 一和—D.—和3解析由|z-2|= 1知z对应的点在以(2,0)为圆心，半径为1的圆上，而|z+2+5i|=|z-(-2-5i)|表示z对应的点到点(-2,-5)的距离.而圆心(2,0)与(-2,-5)间的距离为=故最大值为—+1,最小值为—-1.答案A5已知|Z1|= 1,|Z2|= 1,|Z1+Z2|=，则|Z1-Z2|= _______ .解析在平面直角坐标系内以原点O为起点作出Z1,Z2对应的向量，则向量对应Z1+Z2, 对应Z1-Z2.由题意知| |=1,| |= 1,| |= 一,可得/OZ1Z=120° ,所以/ ZQZ1 = 60°，即Z1是等边三角形.所以在△Z2OZ1 中」|= 1,即|Z1-Z2|= 1.答案1 匕.6 已知集合A={ z1||z1 + 1|< 1,z1匕 C}, B={ z2|z2=z1 + i+m,z1匕 A,m€ R}.(1) 当AQB=?时,求实数m的取值范围；(2) 是否存在实数m,使得A QB=A ?解因为|Z1+1|< 1所以Z1所对应的点构成的集合A是以(-1,0)为圆心，以1为半径的圆面(圆周及其内部).又Z2=Z1 + i+m, 所以Z1=Z2-i-m.所以|Z2-i-m+ 1|< 1,即|Z2-[(m-1) + i]|< 1.所以Z2所对应的点的集合B是以点(m-1,1)为圆心,1为半径的圆面(圆周及其内部).⑴若AQB=?,说明上述两圆外离，其圆心距d= - >2,解得m的取值范围是｛m|m€ R，且m> 一或m<- 一｝.(2)若AQB=A,因为两圆半径相等，所以两圆重合，但由圆心的坐标(-1,0)及(m-1,1)可知它们不可能重合，所以不存在实数m,使AQB=A.7在复平面内，复数z i对应的点在连接1 + i和1-i对应的点的线段上移动，设复数Z2对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数N+Z2对应的点在复平面上移动的范围的面积.解设G2=z 1+Z 2 厕Z2= 3-Z1,所以|Z2| = | 3-Z1|.因为|Z2|=1,所以| WZ1|=1.此式说明对于给定的Z1, 3对应的点在以Z1对应的点为圆心，1为半径的圆上运动.又Z1对应的点在连接1 + i和1-i对应的点的线段上移动，所以3对应点的移动范围的面积为S=2X2+ nX12=4+ n即复数Z1+Z2对应的点在复平面上移动的范围的面积是4+ n★8已知复数Z1 = 1-2i和Z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求：(1) A,B两点间的距离；(2) 线段AB的垂直平分线方程的复数形式，并化为实数表示的一般形式.解(1)|AB|=|z 2-Z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|= ―(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等，设点Z对应的复数为乙由复数模的几何意义，知|z-(1-2i)|=|z- (4+3i)|.设z=x+yi(x,y€ R)，代入上式，知|(x-1) + (y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,即(x-1)2+(y+ 2)2=(x-4)2+(y-3)2.整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10=0.。
人教A 版选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入综合测试题一、单选题1．设复数z 满足关系式||2z z i +=+，那么z 等于（ ）A ．34i -+B ．34i -C ．34i --D ．34i + 2．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．-13．若13z i =-，则z z的虚部为（ ） A ．310 B ．31010i C ．31010- D ．31010i - 4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）A 2B ．22C ．2D ．8 5．))552121i i --+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 6．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A 3B 5C ．3D ．57．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A 5B ．3 C ．5 D ．29．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 10．设()2211z i i =+++，则||z =（ ）A B ．1 C ．2 D 11．若1m i i+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D 12．若(),a bi a b i +∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．3-D ．3二、填空题13．设复数1z ，2z 满足122z z ==，且12z z +=，其中i 为虚数单位，则12z z -=________.14．在复平面内，复数161i z i i=+-对应的点所在第______象限. 15．已知复数z 满足26i z z +=+，则z =________16．若复数z 满足4z i z i ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程是__________（结果要求化简）三、解答题17．（1）若复数11a i z i i-=--+是实数（其中,a R i ∈是虚数单位）,则求a 的值.（2）求曲线y =2y x =-及y 轴所围成的封闭图形的面积.18．若复数z =2223(34)()m m m m i m R .（1）若z 为纯虚数，求m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求m 的取值范围.19．已知复数()z a i a R =-∈，且()1z i +是纯虚数.（Ⅰ）求复数z 及z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数()2()z mi m R -∈对应点在第二象限，求实数m 的取值范围.20．已知复数z=()2(1i)31i 2i -++-. (1)求复数z.(2)若z 2+az+b=1-i,求实数a,b 的值.21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=.（1）求14z i +-的最小值与最大值；（2）若4z z+为实数，求z 的值.22．已知复数2z i =-(i 为虚数单位).（1）求复数z 的模z ；（2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.参考答案1．D【解析】 试题分析：设，， 所以 ，解得，，所以，故选D. 考点：复数的代数运算2．B【解析】 由得12a =或，且101a a -≠≠得，2a ∴=．3．A【分析】 由已知先求出z z的值，可得虚部的值. 【详解】 解：由10310,10z z ==310， 故选：A.【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题.4．B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+， 故2212|22|(2)222z z i -=-+=-+=故选:B .5．D【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--，)()51711+=--+=-，∴))55121-+=--， 故选：D.6．D【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅．【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．7．C【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果.【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i+++==-- 1322i =-+， 所以1322z i =--，所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限，故选：C.8．A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +故选：A9．B【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠， 则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220b b a b∴-=+，则221a b +=， 22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤， 故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.10．D【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】 因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z =故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．11．C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】 由题1m i i+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1.故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.12．A【分析】把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论．【详解】因为()2i a bi a bi b ai i i ++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.故选：A ．13．【分析】令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=++++，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=，2ac bd ∴+=-，12()()z z a c b d i ∴-=-+-====.故答案为：14．一【分析】直接根据复数的除法及乘方运算得122i z =+，即可得解. 【详解】复数1644(1)11()11(1)(122=)2i i i i i z i i i i i +-=++=+=+--+. 对应的点为11(,)22位于第一象限.故答案为：一.15．2i -【分析】设(),z a bi a b R =+∈，根据题意，利用复数的运算法则、复数相等即可得出结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，∵复数z 满足26z z i +=+，即()26a bi a bi i ++-=+，∴36a bi i -=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-，即2z i =-，故答案为：2i -.16．22143y x += 【分析】设复数z 对应的点为Z ，由4z i z i ++-=，知点Z 到点A （0，1）、点B （0，-1）的距离和大于|AB |，由此可得结论，求出方程即可．【详解】设复数z 对应的点为Z ， 则z i -表示点Z 到点A （0，1）的距离，z i +表示点Z 到点B (0,1)-的距离， 又|AB |=2， 由4z i z i ++-=知点Z 到点A 、B 的距离和大于|AB |，z在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以a =4，c =1，则b =椭圆的焦点就是A ，B ，所以z 在复平面内对应的点的轨迹方程是：22143y x +=， 故答案为：22143y x += 【点睛】本题主要考查了复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于中档题．17．（1）1a = ；（2）163 . 【分析】（1）先化简复数z 再令虚部为0，求解即可．（2）利用微积分基本定理即可求出．【详解】（1）因为()()()()11111111122a i i a i a a z i i i i i i -----⎛⎫=--=--=-+ ⎪++-⎝⎭是实数, 所以102a -=，所以1a =. (2)由2y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得4,2x y ==，故面积为)432420021622|323x x dx x x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭⎰. 【点睛】（1）本题考查复数的运算和基本概念，考查计算能力；（2）考查微积分基本定理求解区域面积，均属于基础题．18．（1）m =3（2）-1<m <3【分析】（1）根据纯虚数的定义可知，实部为零，虚部不为零，即可列式求解；（2）根据复数的几何意义可知，复数z 对应的点在第三象限，即实部，虚部都小于零，列出不等式组，即可解出．【详解】（1）由题可知：22230,340m m m m ，则m =3；（2）由题可知：22230340m m m m ⎧--<⎨--<⎩，所以-1<m <3. 【定睛】本题主要考查复数的有关概念以及复数几何意义的理解和应用，属于容易题．19．（Ⅰ）1i --；（Ⅱ）()0,∞+.【分析】（Ⅰ）把()z a i a R =-∈代入()1z i +，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a 值，则z 可求，再由复数模的计算公式求z ；（Ⅱ）把()z a i a R =-∈代入()2()z mi m R -∈，展开后由实部小于0且虚部大于0列不等式组求解.【详解】（Ⅰ）∵()z a i a R =-∈，且()1z i +是纯虚数，∴()()()()111a i i a a i -+=++-是纯虚数， 则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，即1a =-.∴1i z =--，||z ==（Ⅱ）()()()()222111121z mi m i m m i ⎡⎤-=--+=-+++⎣⎦，由题意可得21(1)02(1)0m m ⎧-+<⎨+>⎩，解得0m >.∴实数m 的取值范围是()0,∞+.【点睛】本题考查对复数的乘法运算和对复数概念及几何意义的理解，属于基础题.20．（1）1+i ;（2）a 3,b 4.=-⎧⎨=⎩. 【解析】 试题分析：（1）由复数的运算法则，把复数2(1)3(1)2i i z i-+-=-等价转化为1z i =+，能够得到复数z 的实部和虚部．（2）把1z i =+代入21z az b i ++=-，得()(2)1a b a i i +++=-，由复数相等的充要条件，能够求出实数,a b 的值．试题解析： (1)z=2i 33i 2i -++-=3i 2i +-=()()3i 2i 5++=1+i. (2)把z=1+i 代入z 2+az+b=1-i,得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,整理得a+b+(2+a)i=1-i,所以1,21,a b a +=⎧⎨+=-⎩ 解得3,4.a b =-⎧⎨=⎩点睛：本题主要考查了复数的几何意义及复数的表示，解答中根据复数的表示和和复数的四则运算化简为复数的形式，再利用复数相等的坐标间的关系，得到方程，求解,a b 的值即可，其中熟练掌握复数的运算、表示和复数相等的条件是解答的关键．21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z +为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y-+=++=++=++-++++，因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =或1z =或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1（2）2z i =+；（3）4m =.【分析】（1）直接根据模长的定义求解即可；（2）实部相等，虚部相反即可；（3）推导出()()22250i i m ---+=，由此能求出实数m 的值.【详解】（1）因为复数2z i =-； 故z == （2）2z i =+；（3）∵z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，故()()()()222508240i m i m m i ---+=⇒-+-=；因为m 为实数，所以4m =.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题．。
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( ) A ．z －1 B ．z ＋1 C ．－10＋18iD ．10－18iC [1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.] 2．3＋i 1＋i＝( ) 【导学号：48662171】A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－iD [3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i1－i ＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 故选D.]3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋iA [由已知得z ＝i(1－i)＝i ＋1，则z ＝1－i ，故选A.]4．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )【导学号：48662172】A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)C [z ＝2＋4ii ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.]5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.]6．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )【导学号：48662173】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．]7．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±iD [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y i ＋x －y i ＝4，x ＋y i ·x －y i ＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x 2＋y 2＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝±2.所以zz ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy ix 2＋y 2＝±i.]8．如图1所示在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )【导学号：48662174】图1A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3iD [OC →＝OA →＋OB →＝1＋2i －2＋i ＝－1＋3i ，所以C 对应的复数为－1＋3i.] 9．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ． 2B ．23C ．－23D ．2C [因为2－b i1＋2i＝2－b i1－2i5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i 1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.]10．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )【导学号：48662175】A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对C [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)．]11．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5)D ．(1，3)C [由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4，∴1<a 2＋1<5. ∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C.]12．设z 1，z 2是复数，则下列结论中正确的是( )【导学号：48662176】A ．若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22 B ．|z 1－z 2|＝z 21＋z 22－4z 1z 2 C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0 D ．|z 21|＝|z 1|2D [A 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ；B 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ；C 错，反例：z 1＝1，z 2＝i ；D 正确，z 1＝a ＋b i ，则|z 21|＝a 2＋b 2，|z 1|2＝a 2＋b 2，故|z 21|＝|z 1|2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 21 [复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21.] 14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________.【导学号：48662177】3 [a ＋ii＝a ＋i ·－ii·－i＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.]15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．8 [a ＋b i ＝11－7i1－2i＝11－7i 1＋2i 1－2i1＋2i ＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8.]16．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为________.【导学号：48662178】⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，32 [z 1z 2＝3－a i 1＋2i＝3－a i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝3－2a 5－6＋a 5i ，因为z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，6＋a >0⇒－6<a <32.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？ [解] (1)要使复数z为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.【导学号：48662179】[解] 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.19．(本小题满分12分)计算：(1)2＋2i 41－3i5；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [解] (1)原式＝161＋i41－3i 41－3i＝162i2－2－23i 21－3i ＝－6441＋3i21－3i＝－161＋3i×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.20．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .【导学号：48662180】[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． [解] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1， 所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1. 22．(本小题满分12分)已知z 为虚数，z ＋9z －2为实数． (1)若z －2为纯虚数，求虚数z . (2)求|z －4|的取值范围.【导学号：48662181】[解] (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，则z －2＝x －2＋y i ，由z －2为纯虚数得x ＝2，所以z ＝2＋y i ，则z ＋9z －2＝2＋y i ＋9y i＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9y i∈R ，得y －9y＝0，y ＝±3，所以z ＝2＋3i 或z ＝2－3i.(2)因为z ＋9z －2＝x ＋y i ＋9x ＋y i －2＝x ＋9x －2x －22＋y 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －9y x －22＋y 2i∈R ，所以y －9yx －22＋y 2＝0，， 所以|z －4|＝|x ＋y i －4|＝x －42＋y 2＝x －42＋9－x －22＝21－4x ∈(1,5)．。
[推荐学习]新版⾼中数学⼈教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引⼊检测A第三章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)⼀、选择题(本⼤题共10⼩题,每⼩题5分,共50分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满⾜-即a=b,且a≠-b,也就是a=b≠0.结合题意知充分性不成⽴,必要性成⽴,故选C.答案C2若(1+i)+(2-3i)=a+b i(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4答案A3若a为实数,且=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案D4i是虚数单位,复数-等于() A.2+i B.2-iC.-2+iD.-2-i解析--------=2-i.答案B5设i是虚数单位,则复数i3-=()A.-iB.-3iC.iD.3i答案C6若z=1+i(i是虚数单位),则+z2等于()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析∵z=1+i,∴+z2=+(1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故选D. 答案D7已知复数z=1-2i,则等于()A.iB.iC.iD.i解析---i.答案D8若O是原点,向量对应的复数分别为1-2i,-4+3i,则向量对应的复数是() A.-5+5i B.-5-5iC.5+5iD.5-5i解析对应的复数为1-2i-(-4+3i)=5-5i,故选D.答案D9已知复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有()A.a≠0B.a≠2C.a≠0,且a≠2D.a≠-1解析若z为纯虚数,则----所以a=-1.⼜z不是纯虚数,所以a≠-1.故选D.答案D10已知i为虚数单位,a为实数,若复数z=(1-2i)(a+i)在复平⾯内对应的点为M,则“a>”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数z在复平⾯内对应的点M的坐标为(a+2,1-2a).所以点M在第四象限的充要条件是a+2>0,且1-2a<0,解得a>,故选C.答案C⼆、填空题(本⼤题共5⼩题,每⼩题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知a,b∈R,且a-1+2a i=4+b i,则b=.解析由题意,得-解得答案1012若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为.解析因为z1-z2=(4+29i)-(6+9i)=-2+20i,所以(z1-z2)i=-20-2i,其实部为-20.答案-2013已知z∈C,且(1-i)z=2i(i是虚数单位),则z=,|z|=.解析由题意,得z=--=-1+i.所以|z|=-.答案-1+i14若复数z满⾜z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=.解析设z=a+b i(a,b∈R),则(a+b i)(1+i)=1-i,即a-b+(a+b)i=1-i,则--解得-所以z=-i.所以=i.答案i15对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2∈R),定义运算“☉”为z1☉z2=x1x2+y1y2.设⾮零复数ω1,ω2在复平⾯内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点,若ω1☉ω2=0,则在△P1OP2中,∠P1OP2的⼤⼩为.解析设⾮零复数ω1=a1+b1i,ω2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R,且≠0,≠0),则得点P1(a1,b1),P2(a2,b2).由题意知P1,P2不为原点,且由ω1☉ω2=0,得a1a2+b1b2=0.由两条直线垂直的充要条件,知直线OP1,OP2垂直.所以OP1⊥OP2,即∠P1OP2=90°.答案90°三、解答题(本⼤题共5⼩题,共45分.解答时应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知复数z=(2+i)m2---2(1-i).求实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平⾯内第⼆、四象限平分线上的点对应的复数?分析先把复数z化简整理为a+b i(a,b∈R)的形式,再根据复数的分类及其⼏何意义求解即可.解因为m∈R,所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当---即m=2时,z为零.(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2,且m≠1时,z为虚数.(3)当---即m=-时,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z是复平⾯内第⼆、四象限平分线上的点对应的复数.17(8分)设f(z)=z-2i+|z|,若z1=3+4i,z2=-2-i,求f(z1-z2).解∵z1-z2=3+4i-(-2-i)=5+5i,⼜f(z)=z-2i+|z|,∴f(z1-z2)=f(5+5i)=5+5i-2i+5=5+5+3i.18(9分)设z1,z2互为共轭复数,且(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,求z1,z2.解设z1=x+y i(x,y∈R),则z2=x-y i.将z1,z2代⼊(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,得[(x+y i)+(x-y i)]2+5(x+y i)(x-y i)i=8+15i,即4x2+5(x2+y2)i=8+15i.利⽤复数相等的充要条件,有解得或-或-或--故所求复数z1,z2为-或-或---或---19(10分)复数z满⾜|z+3-i|=,求|z|的最⼤值和最⼩值.解|z+3-i|=,表⽰以-3+i对应的点P为圆⼼,以为半径的圆.如图所⽰,则|OP|=|-3+|=2.显然|z|max=|OA|=|OP|+=3,|z|min=|OB|=|OP|-.20(10分)已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且z1+i,求复数z1,z2的值.分析解答本题的关键是利⽤复数相等的充要条件,将复数问题实数化,即从z1+i出发,建⽴关于α,β的正弦、余弦的⽅程组,再结合三⾓函数的知识求解.解由z1+i,得i,cos α+isin α+-∴cos α+isin α+cos β+isin β=i,即(cos α+cos β)+i(sin α+sin β)=i.∴-∴-∴cos2α+sin2α=--=1,整理,得cos β=1-sin β,代⼊sin 2β+cos 2β=1,可解得sin β=0或sin β=.当sin β=0时,cos β=1,cos α=-,sin α=.当sin β=时,cos β=-,cos α=1,sin α=0.∴z1=-i,z2=1或z1=1,z2=-i.。
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阶段通关训练(三)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2017·北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)【解析】选B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,因为该复数对应的点在第二象限,所以所以a<-1.【答题技巧】利用复数的几何意义求字母范围的技巧,先运算出复数的代数形式,再利用复数所在的象限,判断实部与虚部的范围.2.设复数z=,则复数z的虚部是( )A. B.-1 C.-i D.1【解析】选B.z====-i,虚部是-1.3.(2017·长春高二检测)复数z满足z=+i,则|z|= ( )A. B.2 C.D.【解析】选 A.因为z=+i=+i=-(2+i)i+i=1-i,所以|z|==.4.设z 是复数,则下列命题中的假命题是 ( ) A.若z 2≥0,则z 是实数 B.若z 2<0,则z 是虚数 C.若z 是虚数,则z 2≥0 D.若z 是纯虚数,则z 2<0【解题指南】设出复数的代数形式,复数问题转化为代数式求解,进行验证,从而得出正确的答案.【解析】选C.设z=a+bi,a,b ∈R ⇒z 2=a 2-b 2+2abi. 对选项A:若z 2≥0,则b=0⇒z 为实数,所以z 为实数正确.对选项B:若z 2<0,则a=0,且b ≠0⇒z 为纯虚数,所以z 为虚数正确. 对选项C:若z 为虚数,则z 2不一定为实数,所以z 2≥0错误. 对选项D:若z 为纯虚数,则a=0,且b ≠0⇒z 2<0,所以z 2<0正确.5.(2017·贵港高二检测)定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i 的复数z 为 ( )A.3-iB.1+3iC.3+iD.1-3i 【解析】选A.由题可知,根据定义运算方法,=zi+z,于是有zi+z=4+2i,所以z===3-i.【补偿训练】定义运算=ad-bc,则符合条件=1+i的复数z=________.【解析】根据题中条件可有,2zi+z=1+i,z=,分子分母同时乘以(2i-1)得,z=.所以化简为z=-i.答案:-i6.已知f(x)=则f(f(1-i))等于( )A.2-iB.1C.3D.3+i【解析】选C.因为f(1-i)=(1+i)(1-i)=2,所以f(f(1-i))=f(2)=1+2=3.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2017·南宁高二检测)复数z=-i3的共轭复数为________. 【解析】z=-i3=+i,则z=-i3的共轭复数为=-i.答案:-i8.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________. 【解析】====.因为为纯虚数,所以3a-8=0且6+4a≠0,所以a=.答案:【误区警示】复数的代数形式z=x+yi,要注意x,y均为实数这一隐含条件.9.(2017·三亚高二检测)设a是实数,若复数+(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x+y=0上,则a的值为________.【解析】由复数+可化为-i.复数对应的点在直线x+y=0上,所以可得,-a-=0,所以a=0.答案:0【补偿训练】复数ω=-+i,则在复平面内,复数ω2对应的点在第________象限.【解析】由于复数ω=-+i,所以ω2==--i,在复平面内对应的点为,在第三象限.答案:三10.已知复数z满足=i(i为虚数单位),若z=a+bi(a,b∈R),则a+b=________.【解析】由题意可得z=i(1-2i)2=i(1-4-4i)=i(-3-4i)=4-3i,由复数相等可得a=4且b=-3,所以a+b=4-3=1.答案:1【补偿训练】若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b=________.【解析】因为(1+i)(2+i)=a+bi,即1+3i=a+bi,所以a=1,b=3,所以a+b=4.答案:4三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|的值.【解析】z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得y=0,x=1,所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.12.(12分)已知2z+|z|=2+6i,求z.【解题指南】设z=x+yi(x,y∈R),由复数相等建立方程. 【解析】设z=x+yi(x,y∈R),代入已知方程得2(x+yi)+=2+6i,即(2x+)+2yi=2+6i,由复数相等定义得解得x=(舍),或x=,y=3,所以z=+3i.13.(13分)已知复数z1=i(1-i)3,(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),所以|z1|==2.(2)|z|=1,所以设z=cosθ+isinθ,|z-z1|=|cosθ+isinθ-2+2i|==.当sin=1时,|z-z1|取得最大值,从而得到|z-z1|的最大值为2+1.【一题多解】本题还可用下面的方法求解:|z|=1可看成半径为1,圆心为 (0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,由图可知:|z-z1|max=2+1.14.( 13分)设z1,z2∈C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值.【解析】设z1,z2,z1+2z2对应的向量分别为,,,因为|z1|=1,|z2|=2,所以||=1,||=2,=+2.由向量的加法法则可知,当向量,方向相同时,=+2的模最大,最大值为||=||+2||=5,所以|z1+2z2|的最大值为5.【能力挑战题】已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=+i,求复数z1,z2及|z1-z2|.【解析】由于|z1+z2|==1.不妨设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为,,,则||=||=||=1,故A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为1的圆上,如图.由余弦定理易得:cos∠AOC==,故∠AOC=60°,又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形,所以▱OACB为菱形,且△BOC,△COA都是等边三角形,即∠AOB=120°.又因为与x轴正半轴的夹角为60°,所以点A在x轴上,即A(1,0).而x B=||cos120°=-,y B=||sin120°=,所以点B的坐标为.所以或方法一:|z1-z2|==.方法二:因为|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2-|z1+z2|2=3,所以|z1-z2|=.方法三:由余弦定理,得||2=||2+||2-2||||cos120°=3.又因为z1-z2=-=,所以|z1-z2|=||=||=.关闭Word文档返回原板块。
