河南省驻马店名校2016-2017学年高二上学期期末质量检测 数学(理)Word版含答案

2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.(5分)不等式＞1的解集为()A.(﹣∞，1)B.(0，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)2.(5分)a＞b的一个充分不必要条件是()A.a＝1，b＝0B.＜C.a2＞b2D.a3＞b33.(5分)在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosA＝，则sinB＝()A. B. C. D.4.(5分)等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则a6＝()A.16B.32C.64D.1285.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为()A.akmB.2akmC.akmD.akm6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足＝3，＝3，则BE与DF所成角的正弦值为()A. B. C. D.7.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1009＝1，则S2017()A.1008B.1009C.2016D.20178.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•＝()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣49.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A. B. C. D.10.(5分)在△ABC中，若BC＝2，A＝120°，则•的最大值为()A. B.﹣ C. D.﹣11.(5分)正实数ab满足＋＝1，则(a＋2)(b＋4)的最小值为()A.16B.24C.32D.4012.(5分)圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为() A.一个点 B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(5分)命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为.14.(5分)若x，y满足，则z＝x＋2y的取值范围为.15.(5分)已知F为双曲线C：﹣＝1的左焦点，A(1，4)，P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为.16.(5分)若数列{a n}满足a n＋1＋(﹣1)n•a n＝2n﹣1，则{a n}的前40项和为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)设f(x)＝(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1.(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值.18.(12分)在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2＝b2﹣，a＝6，△ABC的面积为24.(1)求角A的正弦值；(2)求边b，c.19.(12分)S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2＋a n＝2S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.20.(12分)已知命题p：函数f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6＋a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.21.(12分)如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小；(2)在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由.22.(12分)在圆x2＋y2＝3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，＝动点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程及其离心率；(2)若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值.2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.(5分)不等式＞1的解集为()A.(﹣∞，1)B.(0，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)【解答】解：不等式可化为x(x﹣1)＜0，∴0＜x＜1，∴不等式＞1的解集为(0，1)，故选B.2.(5分)a＞b的一个充分不必要条件是()A.a＝1，b＝0B.＜C.a2＞b2D.a3＞b3【解答】解：A.当a＝1，b＝0时，满足a＞b，反之不成立，则a＝1，b＝0是a ＞b的一个充分不必要条件.B.当a＜0，b＞0时，满足＜，但a＞b不成立，即充分性不成立，C.当a＝﹣2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立，即充分性不成立，D.由a3＞b3得a＞b，即a3＞b3是a＞b成立的充要条件，故选：A3.(5分)在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosA＝，则sinB＝()A. B. C. D.【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA＝，∴sinA＝＝，由正弦定理得，，则sinB＝＝＝，故选D.4.(5分)等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则a6＝()A.16B.32C.64D.128【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴，解得a＝2，q＝2，∴a6＝2×25＝64.故选：C.5.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为()A.akmB.2akmC.akmD.akm【解答】解：根据题意，△ABC中，∠ACB＝180°﹣20°﹣40°＝120°，∵AC＝akm，BC＝2akm，∴由余弦定理，得cos120°＝，解之得AB＝akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D.6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足＝3，＝3，则BE与DF所成角的正弦值为()A. B. C. D.【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4，∵点E，F满足＝3，＝3，∴B(4，4，0)，E(4，3，4)，D(0，0，0)，F(0，1，4)，＝(0，﹣1，4)，＝(0，1，4)，设异面直线BE与DF所成角为θ，则cosθ＝＝＝.sinθ＝＝，∴BE与DF所成角的正弦值为.故选：A.7.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1009＝1，则S2017()A.1008B.1009C.2016D.2017【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1009＝1，∴S2017＝(a1＋a2017)＝2017a1009＝2017.故选：D.8.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•＝()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣4【解答】解：由题意知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，∴直线AB的方程为y＝k(x﹣1)，由，得k2x2﹣(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝，x1＋x2＝1，y1•y2＝k(x1﹣1)•k(x2﹣1)＝k2[x1•x2﹣(x1＋x2)＋1]'则•＝x1•x2＋y1•y2＝x1•x2＋k(x1﹣1)•k(x2﹣1)＝﹣3.故选：C.9.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A. B. C. D.【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝.故选D.10.(5分)在△ABC中，若BC＝2，A＝120°，则•的最大值为()A. B.﹣ C. D.﹣【解答】解：∵，∴⇒4＝AC2＋AB2﹣2AC•ABcosA⇒4＝AC2＋AB2＋AC•AB≥2A•CAB＋AC•AB＝3AC•AB⇒AC•AB≤∴•＝AC•ABco s120°≤，则•的最大值为，故选：A.11.(5分)正实数ab满足＋＝1，则(a＋2)(b＋4)的最小值为()A.16B.24C.32D.40【解答】解：正实数a，b满足＋＝1，∴1≥2，解得ab≥8，当且仅当b＝2a＝4时取等号.b＋2a＝ab.∴(a＋2)(b＋4)＝ab＋2(b＋2a)＋8＝3ab＋8≥32.故选：C.12.(5分)圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为() A.一个点 B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA＝QP，则QA﹣QO＝QP﹣QO＝OP＝R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(5分)命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为∀x∈[﹣，]，tanx ＞m.【解答】解：命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为命题“∀x∈[﹣，]，tanx＞m”，故答案为：∀x∈[﹣，]，tanx＞m14.(5分)若x，y满足，则z＝x＋2y的取值范围为[0，] .【解答】解：x，y满足，不是的可行域如图：z＝x＋2y化为：y＝﹣＋，当y＝﹣＋经过可行域的O时目标函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由，可得A(，)，则z＝x＋2y的最小值为：0；最大值为：＝.则z＝x＋2y的取值范围为：[0，].故答案为：[0，].15.(5分)已知F为双曲线C：﹣＝1的左焦点，A(1，4)，P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为.【解答】解：设双曲线的右焦点为F′(4，0)，由题意，A，P，F′共线时，△APF 周长最小，直线AP的方程为y＝(x﹣4)，即4x＋3y﹣16＝0，∴点F到直线AP的距离为＝，故答案为：16.(5分)若数列{a n}满足a n＋1＋(﹣1)n•a n＝2n﹣1，则{a n}的前40项和为820.＋(﹣1)n a n＝2n﹣1，【解答】解：由于数列{a n}满足a n＋1故有a2﹣a1＝1，a3＋a2＝3，a4﹣a3＝5，a5＋a4＝7，a6﹣a5＝9，a7＋a6＝11，…a50﹣a49＝97.从而可得a3＋a1＝2，a4＋a2＝8，a7＋a5＝2，a8＋a6＝24，a9＋a7＝2，a12＋a10＝40，a13＋a11＝2，a16＋a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列.{a n}的前40项和为10×2＋(10×8＋×16)＝820，故答案为：820三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)设f(x)＝(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1.(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值.【解答】(本题12分)解：(1)当m＝1时，不等式f(x)＞0为：2x2﹣x＞0⇒x(2x﹣1)＞0⇒x＞，x＜0；因此所求解集为；…(6分)(2)不等式f(x)＋1＞0即(m＋1)x2﹣mx＋m＞0∵不等式f(x)＋1＞0的解集为，所以是方程(m＋1)x2﹣mx＋m＝0的两根因此⇒. …(12分)18.(12分)在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2＝b2﹣，a＝6，△ABC的面积为24.(1)求角A的正弦值；(2)求边b，c.【解答】解：(1)由在△ABC中，a2﹣c2＝b2﹣①，整理得cosA＝＝，则sinA＝＝；(2)∵S＝bcsinA＝24，sinA＝，∴bc＝80，将a＝6，bc＝80代入①得：b2＋c2＝164，与bc＝80联立，解得：b＝10，c＝8或b＝8，c＝10.19.(12分)S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2＋a n＝2S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.【解答】解：(1)由题得a n2＋a n＝2S n，a n＋12＋an＋1＝2S n＋1，两式子相减得：结合a n＞0得a n＋1﹣a n＝1 …..(4分)令n＝1得a12＋a1＝2S1，即a1＝1，所以{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，即a n＝n…..(6分)(2)因为b n＝＝(n≥2)所以T n＝＋…＋①T n＝＋…＋＋②…..(8分)①﹣②得T n＝1＋＋…＋﹣＝﹣，所以数列{b n}的前n项和T n＝3﹣.…..(12分)20.(12分)已知命题p：函数f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6＋a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.【解答】解：当P真时，f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，有△＝4﹣4a＜0，解得a＞1.…..(2分)当q真时，即使g(x)＝ax2﹣ax﹣6＋a在x∈[1，3]上恒成立，则有a＜在x∈[1，3]上恒成立，而当x∈[1，3]时，＝≥，故a＜.…..(5分)又因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，…..(6分)当p真q假时，a＞1.…..(8分)当p假q真时，a＜…..(10分)所以实数a的取值范围是(﹣∞，)∪(1，＋∞)…..(12分)21.(12分)如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小；(2)在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由.【解答】解：(1)∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2，∴以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…..(2分)D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，1，)，C(0，1，0)，，＝(0，1，)，＝(0，1，0)，的法向量为，设平面ADB则，取z＝1，得＝(0，﹣，1)，…..(4分)设直线DC与平面所ADB1成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，∵θ∈[0，]，∴θ＝，∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为.…..(6分)(2)假设存在点P(a，b，c)，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，设＝，由A1(0，0，)，得(a﹣1，b，c)＝λ(﹣a，﹣b，)，∴，解得，B1(0，1，)，C1(﹣1，1，)，＝(﹣1，0，0)，＝(，﹣1，﹣)，设平面的法向量为＝(x，y，z)，则，取z＝1，得＝(0，﹣，1)，….(9分)由(1)知，平面AB1C1D的法向量为＝(0，﹣，1)，∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，∴cos30°＝＝＝.由λ＞0，解得λ＝2，所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP＝2PA1.22.(12分)在圆x2＋y2＝3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，＝动点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程及其离心率；(2)若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值.【解答】解：(Ⅰ)设M(x，y)，P(x0，y0)，由＝得x0＝x，y0＝y …..(2分)因为x02＋y02＝3，所以x2＋3y2＝3，即＝1，其离心率e＝.…..(4分)(Ⅱ)当AB与x轴垂直时，|AB|＝.(5分)②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知，得.(6分)把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2﹣3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝(7分)∴k≠0，|AB|2＝(1＋k2)(x2﹣x1)2＝3＋≤4，当且仅当9k2＝，即k＝时等号成立，此时|AB|＝2.(10分)当k＝0时，|AB|＝.(11分)综上所述：|AB|max＝2，此时△AOB面积取最大值＝(12分)。

2016-2017学年河南省高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若命题2:,210p x R x ∀∈+>，则p ⌝是A. 2,210x R x ∀∈+≤B. 2,210x R x ∃⊂+>C. 2,210x R x ∃∈+<D. 2,210x R x ∃∈+≤2.复数11z i =-的共轭复数是 A. 1122i + B. 1122i - C. 1i - D.1i +3.双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是A. 4B. 8 D.与m 有关4.当x 在()-∞+∞上变化时，导函数()f x '的符号变化如下表：则()f x 图象的大致形状为5.如图所示，程序的输出结果为132S =,则判断框中应填 A. 10?i ≥ B. 11?i ≥ C. 11?i ≤ D. 12?i ≥6.用数学归纳法证明不等()1111112224n N n n n *+++>∈++ 式的过程中，由n k =递推到1n k =+时，下列说法正确的是 A.增加了一项()121k + B. 增加了两项121k +和()121k +C.增加了B 中两项，但又少了一项11k + D. 增加了A 中一项，但又少了一项11k + 7.设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 38.已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F 点，P 为椭圆C 上一动点，定点()2,4A ，则P A P F -的最小值为A. 1B. 1-D.9.已知向量123,,a a a均为单位向量，则1a =⎝⎭是113a a a ++=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.设球的半径为时间t 的函数()R t ，若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A. 成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 11.到两条相互垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D.双曲线12.已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点()1212,x x x x <，则 A. ()()1210,2f x f x >>-B. ()()1210,2f x f x <<- C. ()()1210,2f x f x ><- D. ()()1210,2f x f x <>-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+= .14. 直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点，且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .15.已知双曲线E 的中线在原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点，且AB 的中点为()12,15N --，则E 的方程式为 .16.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，10,,a s t =是互不相等的正整数，则有()()110t s s a t a ---=”，类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R,命题()():52xq f x m =--是减函数，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）已知椭圆()222210x y a b b a +=>>的离心率为2，且22.a b =（1）求椭圆的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于A,B 两点，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值.19.（本题满分12分）已知函数()()32,,.f x x ax bx c a b c R =-++∈（1）若函数()f x 在1x =-和3x =处取得极值，试求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,6x ∈-时，()2f x c <恒成立，求c 的取值范围.20.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,ABCD ,,,1,2,PA PD PA AD AB AD AB AD AC CD ⊥=⊥====（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ，若存在，求AMAP的值，若不存在，说明理由.21.（本题满分12分）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为12，直线L 的方程4.x =（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任意一条弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.22.（本题满分12分）设函数() 2.xf x e ax =--（1）求()f x 的单调区间；（2）若1,a k =为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.。

2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）已知命题p；≤x≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[，1]C．[，]D．2．（5分）若f（x）=f′（1）x2+e x，则f（1）=（）A．e B．0C．e+1D．e﹣13．（5分）若A（6，﹣1，4），B（1，﹣2，1），C（4，2，3），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．（5分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A．8x﹣6y﹣7=0B．3x+4y=0C．3x+4y﹣12=0D．6x+8y﹣25=0 5．（5分）在△ABC中，S为△ABC的面积，且，则tanB+tanC ﹣2tanBtanC=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，且，则t=（）A．B．C．D．7．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，AA1=2，D为BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+bx ﹣2a＜0的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣0.5，0.2）C．（﹣2，1）D．（﹣0.5，1）9．（5分）若0＜x＜1，则的最小值为（）A．B．1+C．2+D．3+10．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线C于点A、B，|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A．p B．C．2p D．11．（5分）从一楼到二楼共有十级台阶，小明从一楼上到二楼，每次可以一部跨一级台阶，也可以跨两级台阶，则小明从一楼上到二楼的方法共有（）种．A．87B．88C．89D．9012．（5分）已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4B．17，13﹣4C．19，12﹣4D．20，13﹣4二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）过函数f（x）=x3﹣3x2+2x+5图象上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为．15．（5分）若点P是方程所表示的曲线上的点，同时P又是直线y=4上的点，则点P的横坐标为．16．（5分）已知：；；，利用上述结果，计算：13+23+33+…+n3=．三.解答题：17．（10分）已知p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）．（1）若椭圆+=1的焦点和双曲线﹣=1的顶点重合，求实数m的值；（2）若“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且A、B、C成等差数列（1）若，求△ABC的面积（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．19．（12分）本学期，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发现凡是购买米饭的人下一次会有20%的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30%的人改买米饭．若用a n，b n分别表示第n次购买米饭、面条的人员比例，假设第一次购买时比例恰好相等，即（1）求a n+b n的值（2）写出数列{a n}的递推关系式（3）求出数列{a n}和{b n}的通项公式，并指出随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条各大约多少份，才能使广大师生员工满意．20．（12分）已知a∈R，f（x）=aln（x﹣1）+x，f′（2）=2（1）求a的值，并求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程y=g（x）；（2）设h（x）=mf′（x）+g（x）+1，若对任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，求实数m的取值范围．21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个棱长都相等，E为BC的中点，动点F在CC1上，且不与点C重合（1）当CC1=4CF时，求证：EF⊥A1C（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为α，求tanα的最小值．22．（12分）已知椭圆C：，F1，F2分别为左右焦点，在椭圆C 上满足条件的点A有且只有两个（1）求椭圆C的方程（2）若过点F2的两条相互垂直的直线l1与l2，直线l1与曲线y2=4x交于两点M、N，直线l2与椭圆C交于两点P、Q，求四边形PMQN面积的取值范围．2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）已知命题p；≤x≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[，1]C．[，]D．【分析】命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．由于￢p是￢q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件．即可得出．【解答】解：命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．∴，且等号不能同时成立．解得．则实数a的取值范围是．故选：A．2．（5分）若f（x）=f′（1）x2+e x，则f（1）=（）A．e B．0C．e+1D．e﹣1【分析】由f（x）=f′（1）x2+e x，求导得：f′（x）=2f′（1）x+e x，令x=1，解得f′（1）=﹣e．f（x）=﹣ex2+e x，可得f（1）．【解答】解：由f（x）=f′（1）x2+e x，求导得：f′（x）=2f′（1）x+e x，令x=1可得，f′（1）=2f′（1）+e，解得f′（1）=﹣e．∴f（x）=﹣ex2+e x，∴f（1）=﹣e+e=0．故选：B．3．（5分）若A（6，﹣1，4），B（1，﹣2，1），C（4，2，3），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】利用向量坐标运算性质、数量积运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：=（﹣5，﹣1，﹣3），=（﹣2，3，﹣1），=（3，4，2），=10﹣3+3=10＞0，可得A为锐角，同理可得B，C也为锐角．==，同理可得=，=．∴△ABC为不等边锐角三角形．故选：A．4．（5分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A．8x﹣6y﹣7=0B．3x+4y=0C．3x+4y﹣12=0D．6x+8y﹣25=0【分析】设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，作差整理可得弦所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．【解答】解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，①﹣②得：，即，∴．∴以点为中点的弦所在的直线方程为y﹣，整理得：3x+4y﹣12=0．故选：C．5．（5分）在△ABC中，S为△ABC的面积，且，则tanB+tanC ﹣2tanBtanC=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简可求tanA=2，进而利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式化简整理即可得解．【解答】解：∵，∴bcsinA=×2bccosA，解得：tanA=2，∴tanA=﹣tan（B+C）=﹣=2，整理可得：tanB+tanC﹣2tanBtanC=﹣2，故选：D．6．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，且，则t=（）A．B．C．D．【分析】先分别求出a1，a2，a3，由等比数列{a n}中，，能求出t的值．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，且，∴a1=S1=2017×2016﹣2018t，a2=S2﹣S1=（2017×20162﹣2018t）﹣（2017×2016﹣2018t）=2017×2016×2015，a3=S3﹣S2=（2017×20162﹣2018t）﹣（2017×20162﹣2018t）=2017×20162×2015，∵等比数列{a n}中，，∴（2017×2016×2015）2=（2017×2016﹣2018t）×（2017×20162×2015），解得t=．故选：C．7．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，AA1=2，D为BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面AA1C1C所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，D为BB1的中点，∴A（0，0，0），D（，，1），=（），平面AA1C1C的法向量=（1，0，0），AD与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ===，∴cosθ==．∴AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．故选：D．8．（5分）不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+bx ﹣2a＜0的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣0.5，0.2）C．（﹣2，1）D．（﹣0.5，1）【分析】由已知中不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），可得a ﹣1＞0，{﹣b，}={﹣1，3}，即a=5，b=﹣3，则不等式x2+bx﹣2a＜0可化为：x2﹣3x﹣10＜0，解得答案．【解答】解：若不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则a﹣1＞0，{﹣b，}={﹣1，3}，即a=5，b=﹣3，故不等式x2+bx﹣2a＜0可化为：x2﹣3x﹣10＜0，解得：x∈（﹣2，5），故选：A．9．（5分）若0＜x＜1，则的最小值为（）A．B．1+C．2+D．3+【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：∵0＜x＜1，∴﹣1＞0，∴=﹣1++1≥2+1=1+2，当且仅当﹣1=即x=﹣1时“=”成立，故选：B．10．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线C于点A、B，|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A．p B．C．2p D．【分析】设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l′：x=﹣．如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于|AF|=3|BF|=|AB|，可得|AM|﹣|BN|=|AC|=|AF|﹣|BF|=|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=|AB|，可得∠BAC=60°．由于AM∥x轴，可得∠BAC=∠AFx=60°．即可得到k AB=tan60°=，当直线AB的倾斜角为钝角时，同理可得．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l′：x=﹣．如图所示，①当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．∵|AF|=3|BF|=|AB|，∴|AM|﹣|BN|=|AC|=|AF|﹣|BF|=|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=|AB|，可得∠BAC=60°．∵AM∥x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．∴k AB=tan60°=，直线方程为y=（x﹣），代入抛物线方程，可得3x2﹣5px+p2=0，∴|AB|==p，②当直线AB的倾斜角为钝角时，可得k AB=﹣．|AB|=p综上可知：|AB|=p，故选：D．11．（5分）从一楼到二楼共有十级台阶，小明从一楼上到二楼，每次可以一部跨一级台阶，也可以跨两级台阶，则小明从一楼上到二楼的方法共有（）种．A．87B．88C．89D．90【分析】根据题意，由小明“跨两级台阶”的次数分6种情况讨论，每种情况下分析需要跨台阶的次数，利用组合数公式计算可得每种情况下的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，从一楼到二楼共有十级台阶，小明“跨两级台阶”的次数有6种情况，则分6种情况讨论：①、每次都是跨一级台阶，则有1种情况，②、有1次跨两级台阶，即有8次跨一级台阶，有C91=9种情况，③、有2次跨两级台阶，即有6次跨一级台阶，有C82=28种情况，④、有3次跨两级台阶，即有4次跨一级台阶，有C73=35种情况，⑤、有4次跨两级台阶，即有2次跨一级台阶，有C64=15种情况，⑥、全部都是跨两级台阶，有1种情况，则共有1+9+28+35+15+1=89种；故选：C．12．（5分）已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4B．17，13﹣4C．19，12﹣4D．20，13﹣4【分析】根据题意，得|NE|=|NF|=1且，由此化简得=﹣1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为﹣3时，取得最大值20，由此即得=﹣1的最大值，当P的纵坐标为时，取得最小值，由此即得=﹣1的最小值．【解答】解：∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且，则=（+）•（+）=（+）•（）==﹣1，设P（x0，y0），则有即x02=16﹣y02又N（0，1），∴=，而y0∈[﹣2，2]，∴当y0=﹣3时，取得最大值20，则=﹣1=20﹣1=19，当y0=时，取得最小值，则=﹣1=﹣1=．∴最大值和最小值是：19，．故选：C．二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）过函数f（x）=x3﹣3x2+2x+5图象上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是[0，）∪[，π）．【分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．【解答】解：由y=f（x）=x3﹣3x2+2x+5，得y′=3x2﹣6x+2，设函数f（x）=x3﹣3x2+2x+5图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则y′=3x02﹣6x0+2=3（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴函数f（x）=x3﹣3x2+2x+5图象上任一点的切线的倾角的取值范围是[0，）∪[，π）．故答案为：[0，）∪[，π）．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为[﹣1，] ．【分析】先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．【解答】解：画出满足条件不等式组的平面区域，如图示：，z=|x|+y=，当M（x，y）位于D中y轴的右侧包括y轴时，平移直线：x+y=0，可得x+y∈[﹣1，2]，当M（x，y）位于D中y轴左侧，平移直线﹣x+y=0，可得z=﹣x+y∈（﹣1，]．所以z=|x|+y的取值范围为：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．15．（5分）若点P是方程所表示的曲线上的点，同时P又是直线y=4上的点，则点P的横坐标为．【分析】根据两点间的距离公式与双曲线的定义，可得点P的轨迹是以F1（﹣5，0）、F2（5，0）为焦点的双曲线的左支．由题中数据求出双曲线的方程，再将y=4代入解出x的值，即可得出点P的横坐标．【解答】解：设点P（x，y），F1（﹣5，0），F2（5，0），可得点P满足|PF2|﹣|PF1|=6，可得点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线的左支．又∵c=5，2a=6，得a=3，∴b2=c2﹣a2=25﹣9=16，因此该双曲线的方程为=1（x＜0），若点P的纵坐标是4，则将y=4代入双曲线方程解得x=﹣3（正值舍去）．∴点P的横坐标为．故答案为：．16．（5分）已知：；；，利用上述结果，计算：13+23+33+…+n3=．【分析】利用n4﹣（n﹣1）4=4（n﹣1）3+6（n﹣1）2+4（n﹣1）+1，再叠加，结合条件，可得结论．【解答】解：∵（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1，∴（n+1）4﹣n4=4n3+6n2+4n+1，∴n4﹣（n﹣1）4=4（n﹣1）3+6（n﹣1）2+4（n﹣1）+1，…34﹣24=4×23+6×22+4×2+124﹣14=4×13+6×12+4×1+1上述n个等式相加，得（n+1）4﹣14=4（13+23+…+n3）+6（12+22+…+n2）+4（1+2+…+n）+n，∴4（13+23+…+n3）=（n+1）4﹣1﹣6（12+22+…+n2）﹣4（1+2+…+n）﹣n=（n+1）4﹣6×n（n+1）（2n+1）﹣4×﹣（n+1）=（n+1）[（n+1）3﹣n（2n+1）﹣2n﹣1]=（n+1）（n3+n2）∴13+23+…+n3=，故答案为．三.解答题：17．（10分）已知p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）．（1）若椭圆+=1的焦点和双曲线﹣=1的顶点重合，求实数m的值；（2）若“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）由双曲线方程可知双曲线的焦点在x轴上，进一步可得椭圆的焦点在x轴上，求出椭圆的半焦距与双曲线的实半轴长，列等式求得m值；（2）由方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，双曲线﹣=1的离心率e∈（，）分别求出m的范围，结合“p∧q”是真命题，取交集得答案．【解答】解：（1）由双曲线﹣=1，得m＞0，且a2=5，a=．∵椭圆+=1的焦点和双曲线﹣=1的顶点重合，∴椭圆+=1的焦点在x轴上，且a2=9﹣m，b2=2m，则，∴，解得m=；（2）∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3，∵双曲线﹣=1的离心率e∈（，），∴（），即，若“p∧q”是真命题，则＜m＜3．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且A、B、C成等差数列（1）若，求△ABC的面积（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．【分析】（1）A、B、C成等差数列，求出B，利用余弦定理求出a，即可求△ABC 的面积；（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，b2=ac，再用余弦定理，求出a=c，即可试判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，由余弦定理，可得7=4+a2﹣2a，∴a=3，∴△ABC的面积S==；（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列∵sin2B=sinAsinC，∴b2=ac，∴cosB==，∴a=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形19．（12分）本学期，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发现凡是购买米饭的人下一次会有20%的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30%的人改买米饭．若用a n，b n分别表示第n次购买米饭、面条的人员比例，假设第一次购买时比例恰好相等，即（1）求a n+b n的值（2）写出数列{a n}的递推关系式（3）求出数列{a n}和{b n}的通项公式，并指出随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条各大约多少份，才能使广大师生员工满意．【分析】（1）由已知可得：a1=，a2==．同理可得：b1=，b2=．n≥2时，a n=a n﹣1（1﹣20%）+b n﹣1•30%，b n=b n•（1﹣30%）+a n﹣1•20%．可得a n+b n=1．﹣1（2）n≥2时，a n=a n﹣1（1﹣20%）+b n﹣1•30%，化为：a n=a n﹣1+．由（1）可得：b n=1﹣a n﹣1，即可得出．﹣1（3）由（2）可得：a n=+，变形为：a n﹣=．利用等比数列的通项公式可得a n﹣．进而得到b n=1﹣a n．【解答】解：（1）由已知可得：a1=，a2==．同理可得：b1=，b2==．n≥2时，a n=a n﹣1（1﹣20%）+b n﹣1•30%，b n=b n﹣1•（1﹣30%）+a n﹣1•20%．∴a n+b n=a n﹣1+b n﹣1=…=a1+b1==1．（2）n≥2时，a n=a n﹣1（1﹣20%）+b n﹣1•30%，化为：a n=a n﹣1+．=1﹣a n﹣1，由（1）可得：b n﹣1∴a n=a n﹣1+（1﹣a n﹣1）=+．（3）由（2）可得：a n=+，变形为：a n﹣=．=﹣，∴数列{a n﹣}是等比数列，首项为﹣，公比为．∴a n﹣=．即a n=．∴b n=1﹣a n=+．n→+∞时，米饭a n→=1200份，面条b n→=800份．因此随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条分别为1200、800份，才能使广大师生员工满意．20．（12分）已知a∈R，f（x）=aln（x﹣1）+x，f′（2）=2（1）求a的值，并求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程y=g（x）；（2）设h（x）=mf′（x）+g（x）+1，若对任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，求实数m的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意解得a=1，求出曲线y=f（x）在x=2处的切线的斜率和f（2），由点斜式方程可得切线方程；（2）由题意可得m（+1）+x+1＞0，x∈[2，4]，即为m＞（﹣x）max，x ∈[2，4]，由一次函数的单调性，可得最大值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）f（x）=aln（x﹣1）+x，导数f′（x）=+1，则f′（2）=a+1=2，解得a=1，f（x）=ln（x﹣1）+1，f′（x）=+1，可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1+1=2，f（2）=ln1+2=2，可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣2=x﹣2，即为g（x）=x；（2）h（x）=mf′（x）+g（x）+1=m（+1）+x+1，对任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，即为m（+1）+x+1＞0，x∈[2，4]，即有m•+x+1＞0，即为m＞（﹣x）max，x∈[2，4]，由﹣x≤﹣2=﹣，可得m＞﹣．则实数m的取值范围是（﹣，+∞）．21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个棱长都相等，E为BC的中点，动点F在CC1上，且不与点C重合（1）当CC1=4CF时，求证：EF⊥A1C（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为α，求tanα的最小值．【分析】（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，则EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A 1C内的射影，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个棱长为4，则CN=1，NF∥AC1，推导出C1⊥A1C，NF⊥A1C，由此能证明EF⊥A1C．（2）连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME，则EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角由此能示出tanα的最小值．【解答】证明：（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C，∴EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个棱长为4，∵CC1=4CF，∴在直角三角形CNF中，CN=1，则由==，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，由三垂线定理可知EF⊥A1C．解：（2）连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=α，设∠FAC=θ，则0°＜θ≤45°，在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinθ故tanα=，又0°＜θ≤45°，∴0＜sinθ≤故当θ=45°时，tanα达到最小值，∴tanα的最小值为anα=．22．（12分）已知椭圆C：，F1，F2分别为左右焦点，在椭圆C 上满足条件的点A有且只有两个（1）求椭圆C的方程（2）若过点F2的两条相互垂直的直线l1与l2，直线l1与曲线y2=4x交于两点M、N，直线l2与椭圆C交于两点P、Q，求四边形PMQN面积的取值范围．【分析】（1）由已知可得b=c=1，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，求出|MN|、|PQ|，求出四边形的面积；当直线l1的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣1）（k≠0），得到直线l2的方程：y=﹣．分别联立直线方程与抛物线方程和椭圆方程，利用弦长公式求出|MN|、|PQ|，代入四边形面积公式，利用换元法求得四边形PMQN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵在椭圆C上满足条件的点A有且只有两个，∴A点为椭圆短轴两端点，则b=c=1，∴a2=b2+c2=2，则椭圆C的方程为：；（2）令M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，求得|MN|=4，|PQ|=2，则；当直线l1的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣1）（k≠0），联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．则，|MN|=．∵l1⊥l2，∴直线l2的方程：y=﹣．令P（x3，y3），Q（x4，y4），联立，得（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0．．∴|PQ|==．∴=．令t=1+k2（t＞1），∴．∴四边形PMQN面积的取值范围是．第21页（共21页）。

2016-2017学年河南省驻马店市高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜02．（5分）已知实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则a2b2﹣a1b2等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．3．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④4．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．45．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=0.5b，a＞b，则B=（）A．30°B．60°C．120° D．150°6．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣1，a2=2，且满足a n+1=a n+a n+2，则a2016=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．37．（5分）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增长10%，从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元．A．1.19a B．1.15a C．10a（1.110﹣1） D．11a（1.110﹣1）8．（5分）已知0＜x＜2，则+的最小值为（）A．8 B．2 C．10 D．69．（5分）在△ABC中，A＞B，则下列不等式正确的个数为（）①sinA＞sinB ②cosA＜cosB ③sin2A＞sin2B ④cos2A＜cos2B．A．0 B．1 C．2 D．310．（5分）对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．二.填空题：13．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是．14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N+），则a6=．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC 边的中点，且•=（a2﹣ac），则角B=．三.解答题：17．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）解关于x的不等式：＞1（a＞0）．19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．（1）求证：a，b，c依次成等比数列；（2）若b=2，求u=||的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．[选修2-1，第一章内容]22．已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．（1）若p∧q为真，求a的最大值；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．[选修2-1第二章内容]23．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点（1）求证：AB⊥面BEF；（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．2016-2017学年河南省驻马店市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜0【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知a b＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；故选：D．2．（5分）已知实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则a2b2﹣a1b2等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【解答】解：设等差数列的公差为d，依题意得﹣1=﹣9+3d，解得d=，∴，又=﹣9×（﹣1）=9，∴b2=3或b2=﹣3，若b2=3，=﹣9b2=﹣27与＞0矛盾，∴b2=3舍去，∴a2b2﹣a1b2=b2（a2﹣a1）=﹣3×=﹣8．故选：B．3．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，可知①不正确；②正确；由基本不等式可知③正确；由sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，可知④正确；故选：C．4．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．4【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a 7+a11≥2=2=8．故选：B．5．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=0.5b，a＞b，则B=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosA=b，∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=，∴sin（A+C）=，又A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB=，又a＞b，∴B=30°．故选：A．6．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣1，a2=2，且满足a n+1=a n+a n+2，则a2016=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵a1=﹣1，a2=2，a n+1=a n+a n+2，∴a3=a2﹣a1=3，同理可得：a4=1，a5=﹣2，a6=﹣3，a7=﹣1，…，=a n．∴a n+6则a2016=a335×6+6=a6=﹣3．故选：A．7．（5分）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增长10%，从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元．A．1.19a B．1.15a C．10a（1.110﹣1） D．11a（1.110﹣1）【解答】解：每一年的销售额形成等比数列{a n}满足，a1=1.1a，a2=1.12a，…，可得：=a×1.1n．∴从今年起10年内这家超市的总销售额==11a（1.110﹣1）．8．（5分）已知0＜x＜2，则+的最小值为（）A．8 B．2 C．10 D．6【解答】解：∵0＜x＜2，f（x）=+，f′（x）=﹣+==．∴当x=时，f（x）取得最小值=2+6=8．故选：A．9．（5分）在△ABC中，A＞B，则下列不等式正确的个数为（）①sinA＞sinB ②cosA＜cosB ③sin2A＞sin2B ④cos2A＜cos2B．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜，π，且0＜B+A＜π，由①，A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①对由②，因为△ABC中，利用余弦函数在（0，π）递减，可得A＞B，则cosA＜cosB，故②对．对于③，例如A=60°，B=45°，满足A＞B，但不满足sin2A＞sin2B，所以③不对；对于④，因为在锐角△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，所以利用二倍角公式即1﹣2sin2 A＜1﹣2sin2 B，∴cos2A ＜cos2B，故④对．正确的是：①②④故选：D．10．（5分）对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需，∴，∴x＜1或x＞3．故选：A．11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3【解答】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a﹣15=0，解得a=3，a=﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．【解答】解：当x∈（﹣∞，0]时，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x=x+1．令y=2x，y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（﹣∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x﹣1=x．令y=2x﹣1，y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1．当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣2+1﹣x=0，得2x﹣2=x﹣1．令y=2x﹣2，y=x﹣1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a n=n﹣1．故选：B．二.填空题：13．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：由x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．∴a≤﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1]．14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N+），则a6=768．【解答】解：∵a n=3S n（n∈N+），∴n=1时，a2=3；+1n≥2时，a n=3S n﹣1，可得：a n+1﹣a n=3a n，即a n+1=4a n．∴数列{a n}从第二项起为等比数列，∴a6==3×44=768．故答案为：768．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC 边的中点，且•=（a2﹣ac），则角B=30°．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：根据图形及向量的平行四边形法则得到：=﹣，由点D为边BC的中点，得到=，则•==，而•=（a2﹣ac），得到=（a2﹣ac），即a2+c2﹣b2=ac，则cosB===，又B∈（0，180°），所以B=30°．故答案为30°三.解答题：17．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC18．（12分）解关于x的不等式：＞1（a＞0）．【解答】解：∵＞1（a＞0），∴＞0，0＜a＜1时，解得：2＜x＜，a=1时，解得：x＞2，a＞1时，解得：x＞2或x＜．19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．20．（12分）已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．∴n=1时，a1=；n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2•a n﹣1=．可得3n﹣1a n=，∴a n=．n=1时也成立．∴a n=．（2）a n b n=n，∴b n=n•3n．∴数列{b n}的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n•3n，3S n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，解得S n=．21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．（1）求证：a，b，c依次成等比数列；（2）若b=2，求u=||的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．【解答】证明：（1）∵2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC，∴2cosAcosC+2sinAsinC+1﹣2sin2B=1+2cosAcosC，即2sinAsinC﹣2sin2B=0，即sinAsinC=sin2B，即ac=b2，∴a，b，c依次成等比数列；解：（2）若b=2，则ac=4，则u=||=||=|a﹣c|+||≥2，当且仅当|a﹣c|=时，u=||取最小值2，此时cosB===．[选修2-1，第一章内容]22．已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．（1）若p∧q为真，求a的最大值；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：当a＞0时，若命题p：A=∅为真，则，解得：a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），∴a∈（1，+∞），若命题q：B=R为真．则2﹣4≤0，解得：a∈（0，4]（1）若p∧q为真，则a∈（1，4]，故a的最大值为4；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，则p，q一真一假，若p真q假，则a∈（4，+∞），若p假q真，则a∈（0，1]，综上可得：a∈（0，1]∪（4，+∞）[选修2-1第二章内容]23．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点（1）求证：AB⊥面BEF；（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．【解答】证明：（1）以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，），F（1，2，0），=（0，1，），=（0，2，0），=（﹣2，0，0），∴=0，=0，∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF．∵AB平行于CD，∴AB⊥面BEF．解：（2）设面BCD的法向量为，则（0，0，1），设面BDE的法向量为（x，y，z），∵=（﹣1，2，0），=（0，1，），∴，取x=2，得=（2，1，﹣），∵二面角E﹣BD﹣C大于45°，∴cos＜＞=＜cos45°=，由h＞0，解得h＞，∴h的取值范围是（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。

2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。

2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1.答题前，请填写姓名和准考证号码。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹清楚。

3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效。

4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.某中学有3500名高中生和1500名初中生。

为了解学生的研究情况，从该校学生中采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本。

已知从高中生中抽取了70人，则n的值为（）。

A。

100B。

150C。

200D。

2502.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）。

无法提供图像）3.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为F，点F到渐近线的距离等于2a，则该双曲线的离心率等于（）。

A。

2B。

3C。

5D。

3/44.已知两条直线a,b，两个平面$\alpha,\beta$，下面四个命题中不正确的是（）。

A。

$a\perp\alpha,\alpha//\beta,b\parallel\beta\iff a\perp b$B。

$\alpha//\beta,a//b,a\perp\alpha\implies b\perp\beta$C。

$m//\alpha,m\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$D。

$a//b,a//\alpha\implies b//\alpha$5.下列命题中，说法正确的是（）。

河南省驻马店地区数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高三上·莆田期中) 命题“∀n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n”的否定形式是（）A . ∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤nB . ∀n∈N，f（n）∉N且f（n）＞nC . ∃n0∈N，f（n0）∉N或f（n0）≤n0D . ∃n0∈N，f（n0）∉N且f（n0）＞n04. （2分） (2016高一下·岳阳期末) 若＜＜0，则下列结论正确的是（）A . a2＞b2B . ab＞b2C . a﹣b＜0D . |a|+|b|=|a+b|5. （2分） (2018高三上·哈尔滨月考) 朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。

他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。

“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一上·武邑月考) 已知点，，向量，若，则实数的值为（）A .B .C . 2D . -28. （2分）椭圆的焦点为F1和F2 ，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么︱PF1︱是︱PF2︱的（）A . 3倍B . 4倍C . 5倍D . 7倍9. （2分） (2016高一下·南安期中) 设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是（）A . (1,3]B . [2,3]C . (1,2]D . [3,)10. （2分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A . 2B . 3C . 4D . 511. （2分） (2016高一下·新疆期中) 已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A . ﹣2B . ﹣C .D . 212. （2分）抛物线上一点M到焦点的距离为，则M到y轴距离为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·吴江模拟) 设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=________．14. （1分） (2019高二上·上海月考) 数1与9的等差中项是________.15. （1分） (2018高二上·惠来期中) 在中, ，那么 ________.16. （1分）(2019·全国Ⅰ卷理) 曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）已知等差数列满足(I)求的通项公式；(II)设等比数列满足问：与数列的第几项相等？18. （10分）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b（b﹣c）=（a﹣c）（a+c），且角B 为钝角．（1）求角A的大小；（2）若a=，求b﹣c的取值范围．19. （5分）(2013·安徽理) 设函数fn（x）=﹣1+x+ + +…+ （x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[ ，1]，满足fn（xn）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．20. （5分） (2020高三上·海淀期末) 如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.21. （10分） (2016高二上·汉中期中) 已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且a2 ， a3 ， a7成等比数列．（Ⅰ）求通项公式an（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn ．22. （10分）(2020·广东模拟) 已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.（1）求的方程.（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）：1．不等式的解集为（）A．[﹣3，4]B．[﹣3，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（4，+∞）2．数列{a n}的前n项和，则q=0是{a n}为等差数列的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．曲线f（x）=在x=e处的切线方程为（）A．y=e B．y=x﹣e+C．y=x D．y=4．已知实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．35．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B．C．D．37．命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（）A．4＜m＜5 B．3＜m＜5 C．1＜m＜5 D．1＜m＜38．已知动圆P过定点A（﹣3，0），并且与定圆B：（x﹣3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（）A．线段B．直线C．圆D．椭圆9．双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形10．给出下列四个命题，则真命题的个数是（）①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点②若f′（x0）=0，则y=f（x）在x=x0处取得极值；③已知p：∃x∈R，使cosx=1，q：∀x∈R，则x2﹣x+1＞0，则“p∧（￢q）”为假命题④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．△PF1F2的内切圆圆心在直线上B．△PF1F2的内切圆圆心在直线x=b上C．△PF1F2的内切圆圆心在直线OP上D．△PF1F2的内切圆经过点（a，0）12．已知f（x）=x3﹣3x，过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，3）C．（﹣1，2）D．（﹣3，﹣2）二.填空题（每小题5分，共20分）：13．若实数a，b满足ab﹣2a﹣b+1=0（a＞1），则（a+3）（b+2）的最小值为．14．已知数列，则此数列前2016项之和为．15．已知抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过P作y轴垂线，垂足为M，若|PF|=4，则△PFM的面积是．16．设a∈R，若函数f（x）=e x+ax有大于0的极值点，则a的取值范围是．三.解答题：17．已知两个命题r（x）：sinx+cosx＞m，s（x）：x2+mx+1＞0．如果对∀x∈R，r （x）与s（x）有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到其准线的距离为2，直线l与抛物线C相交于A、B两点（1）求出抛物线C的方程以及焦点坐标，准线方程；（2）若直线l经过抛物线的焦点F，当线段AB的长为5时，求直线l的方程．19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，sinC﹣sinA（cosB+）=0（1）求A；（2）若，求b+c的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=8，a n=3S n+8（n≥2）﹣1（1）记b n=log2a n，求数列{b n}的通项公式；（2）在（1）成立的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R）（1）若函数f（x）的图象在x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求f（x）的解析式和单调区间；（2）若a=1，且函数f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，求实数b的取值范围．22．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）：1．不等式的解集为（）A．[﹣3，4]B．[﹣3，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】若，则，解得答案．【解答】解：∵，∴，∴∴x∈[﹣3，4），故选：B2．数列{a n}的前n项和，则q=0是{a n}为等差数列的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由等差数列的求和公式可得：S n=na1+d=n2+n，即可判断出结论．【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S n=na1+d=n2+n，因此q=0是{a n}为等差数列的充要条件．3．曲线f（x）=在x=e处的切线方程为（）A．y=e B．y=x﹣e+C．y=x D．y=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导数，可得x=e处切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）=的导数为f′（x）=，x＞0，f（x）=在x=e处的切线斜率为f′（x）==0，又f（e）=，则曲线f（x）=在x=e处的切线方程为y﹣=0（x﹣e），即为y=．故选：D．4．已知实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的三角形及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得z=3x+y的最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由得A（﹣2，2），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值2，2）=﹣4．∴z最小值=F（﹣5．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．6．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B．C．D．3【考点】余弦定理．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C7．命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（）A．4＜m＜5 B．3＜m＜5 C．1＜m＜5 D．1＜m＜3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆⇔0＜5﹣m＜m﹣1，解得m范围，【解答】解：命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆⇔0＜5﹣m＜m﹣1，解得3＜m＜5．则使命题p成立的充分不必要条件是4＜m＜5．故选：A．8．已知动圆P过定点A（﹣3，0），并且与定圆B：（x﹣3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（）A．线段B．直线C．圆D．椭圆【考点】圆方程的综合应用．【分析】设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，根据椭圆的定义，可得结论．【解答】解：如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D．9．双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出a，b，m的关系，判断三角形的形状．【解答】解：双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，所以，所以b2m2﹣a2b2﹣b4=0即m2=a2+b2，所以以a，b，m为边长的三角形是直角三角形．故选C．10．给出下列四个命题，则真命题的个数是（）①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点②若f′（x0）=0，则y=f（x）在x=x0处取得极值；③已知p：∃x∈R，使cosx=1，q：∀x∈R，则x2﹣x+1＞0，则“p∧（￢q）”为假命题④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接求出f（1）与f（e）的值，结合零点存在定理判断①；举例说明②错误；首先判断命题p、q的真假，再由复合命题的真假判断判断③；由充分必要条件的判定方法判断④．【解答】解：①∵f（1）=ln1﹣2+1=﹣1＜0，f（e）=lne﹣2+e=e﹣1＞0，∴函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点，故①正确；②若f′（x0）=0，则y=f（x）在x=x0处取得极值错误，如f（x）=x2，f′（0）=0，但函数在x=0处无极值；③命题p：∃x∈R，使cosx=1为真命题，命题q：∀x∈R，则x2﹣x+1=＞0为真命题，则￢q为假命题，∴“p∧（￢q）”为假命题，故③正确；④在△ABC中，由A＜B⇔a＜b⇔sinA＜sinB，∴A＜B是sinA＜sinB的充分必要条件，故④错误．∴真命题的个数是2个，故选：B．11．已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．△PF1F2的内切圆圆心在直线上B．△PF1F2的内切圆圆心在直线x=b上C．△PF1F2的内切圆圆心在直线OP上D．△PF1F2的内切圆经过点（a，0）【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，因此|F1M|﹣|F2M|=2a，设M点坐标为（x，0），代入即可求得x，可得结论．【解答】解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|﹣|PF2|=2a，故|F1M|﹣|F2M|=2a，而|F1M|+|F2M|=2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|﹣|F2M|=2a可得（x+c）﹣（c﹣x）=2a解得x=a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故选D．12．已知f（x）=x3﹣3x，过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，3）C．（﹣1，2）D．（﹣3，﹣2）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．【解答】解；设切点坐标（x0，x03﹣3x），∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3x2﹣3∴曲线y=f（x）在（x0，x03﹣3x）处的切线斜率为3x02﹣3又∵切线过点A（1，m），∴切线斜率为，∴=3x02﹣3即2x03﹣3x02+m+3=0 ①∵过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴方程①有3解．令ω（x0）=2x03﹣3x02+m+3，则ω（x0）图象与x轴有2个交点，∴ω（x0）的极大值与极小值异号ω′（x0）=6x02﹣6x0，令ω′（x0）=0，得x0=0或1∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0﹣3＜m＜﹣2故选D二.填空题（每小题5分，共20分）：13．若实数a，b满足ab﹣2a﹣b+1=0（a＞1），则（a+3）（b+2）的最小值为25．【考点】基本不等式．【分析】解出b，根据（a+3）（b+2）=a（a﹣1+）+17，结合基本不等式的性质求出其最小值即可．【解答】解：∵ab﹣2a﹣b+1=0（a＞1），∴b==2+（a＞1），∴（a+3）（b+2）=4（a+b）+5=4（a+2+）+5=4（a﹣1+）+17≥4•2+17=25，当且仅当a﹣1=即a=2时“=”成立，故答案为：25．14．已知数列，则此数列前2016项之和为1008．【考点】数列的求和．【分析】通过分类讨论可知数列{a n}的通项公式，进而可求出数列{a n}的前2006项和Q2016=1008．【解答】解：记，则a n=，记数列{a n}的前n项和为Q n，则Q2016=2×=1008，故答案为：100815．已知抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过P作y轴垂线，垂足为M，若|PF|=4，则△PFM的面积是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出P的坐标，利用抛物线的定义可知|PF|=|PM|+1，进而可求得y0，最后利用三角性的面积公式求得答案．【解答】解：由题意，设P（，y0），则|PF|=|PM|+1=+1=4，所以y0=±2，=|PM||y0|==．∴S△MPF故答案为．16．设a∈R，若函数f（x）=e x+ax有大于0的极值点，则a的取值范围是a＜﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．【解答】解：∵y=e x+ax，∴y'=e x+a，由题意知e x+a=0有大于0的实根，由e x=﹣a，得a=﹣e x，∵x＞0，∴e x＞1，∴a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1．三.解答题：17．已知两个命题r（x）：sinx+cosx＞m，s（x）：x2+mx+1＞0．如果对∀x∈R，r （x）与s（x）有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围{m|m≤﹣2或﹣≤m＜2} ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先求出命题r（x）与s（x）成立的等价条件，利用r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题．确定实数m的取值范围．【解答】解：∵sinx+cosx=，∴要使sinx+cosx＞m恒成立，则m，即：r（x）：m．若x2+mx+1＞0成立，则△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即s（x）：﹣2＜m＜2．若对∀x∈R，r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题，若r（x）为真，s（x）为假，则，解得m≤﹣2．若r（x）为假，s（x）为真，则，解得﹣≤m＜2．综上：m≤﹣2或﹣≤m＜2．故答案为：{m|m≤﹣2或﹣≤m＜2}．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到其准线的距离为2，直线l与抛物线C相交于A、B两点（1）求出抛物线C的方程以及焦点坐标，准线方程；（2）若直线l经过抛物线的焦点F，当线段AB的长为5时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线的焦点F到准线的距离为2，求出p的值，可得抛物线C的方程，可得焦点坐标，准线方程；（2）设直线l：x=ty+1，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）∵抛物线的焦点F到准线的距离为2，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x；焦点F（1，0），准线方程x=﹣1；（2）设直线l：x=ty+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）则代入y2=4x，消去x得y2﹣4ty﹣4=0，∴y1+y2=4t，y1•y2=﹣4，∴|AB|==5∴t=，∴直线l：x=2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0．19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，sinC﹣sinA（cosB+）=0（1）求A；（2）若，求b+c的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求tanA=，结合范围A∈（0，π），可得A的值．（2）由正弦定理，两角和与差的正弦函数公式可求b+c=8sin（B+），结合范围B+∈（，），利用正弦函数的性质可求b+c=8sin（B+）的范围．【解答】解：（1）∵sinC﹣sinA（cosB+）=0，∴sinC=sinA（cosB+），可得：sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+sinA，∴cosAsinB=sinA，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴可得：tanA=，由于A∈（0，π），可得：A=．（2）∵A=，，∴由正弦定理可得：=8，可得：b=8sinB，c=8sinC=8sin（﹣B），∴b+c=8sinB+8sin（﹣B）=8sinB+4cosB+4sinB=8（sinB+cosB）=8sin（B+），∵B∈（0，），可得：B+∈（，），可得：sin（B+）∈（，1]，∴b+c=8sin（B+）∈．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=8，a n=3S n+8（n≥2）﹣1（1）记b n=log2a n，求数列{b n}的通项公式；（2）在（1）成立的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列{b n}的通项公式，（2）利用裂项求和即可求出数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）a1=8，a n=3S n﹣1+8（n≥2），∴a n﹣1=3S n﹣2+8，∴a n﹣a n﹣1=3S n﹣1+8﹣3S n﹣2﹣8=3a n﹣1，∴a n=4a n﹣1，∴{a n}是以4为公比的等比数列，∵a1=8，∴a n=8•4n﹣1=2•4n=22n+1，∴b n=log2a n=2n+1，（2）==（﹣），∴T n= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣）=．21．已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R）（1）若函数f（x）的图象在x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求f（x）的解析式和单调区间；（2）若a=1，且函数f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=0，f'（3）=24确定函数的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）将a=1代入函数f（x）后对函数进行求导，根据f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立转化为b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立求出b的值．【解答】解：（1）已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax2+b又函数f（x）图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，且函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（3）=27a+b=24，且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=﹣3∴f（x）=x3﹣3x令f′（x）=3x2﹣3≤0得：﹣1≤x≤1，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）递增，在[﹣1，1]递减，在（1，+∞）递增；（2）当a=1时，f（x）=x3+bx（x∈R），又函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数∴f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立即b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立∴b≤﹣3当b=﹣3时，f′（x）不恒为0，∴b≤﹣3．22．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与=即可得到关于t 系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又=，∴，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|==．===，∴S四边形ACBD∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．2017年3月4日。

驻马店名校2016-2017学年上期期末质量检测高二数学理科试题一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1.已知命题p:112x ≤≤,命题q:()(1)0x a x a ---≤,若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________:A.1[0,]2 B.1[,1]2 C.11[,]32 D.1(,1]3 2.若/2()()x f x f x x e =+，则f(1)=（ ）A.eB.0C.e+1D.e-13.若(6,1,4),(1,2,1),(4,2,3)A B C --，则ABC ∆的形状是（ ）A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.已知椭圆221169x y +=，则以点3(2,)2为中点的弦所在的直线方程为（ ） A.8x-6y-7=0 B.3x+4y=0 C.3x+4y-12=0 D.6x+8y-25=05.在ABC ∆中，S 为ABC ∆的面积，且2221()2S b c a =+-，则tanB+tanC-2tanBtanC=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-26.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，且201720162018,n n S t =⨯-则t=（ ） A.20152016 B. 20162017 C. 20172018 D. 201820197.在正三棱柱111ABC A B C -中，已知AB=1，12AA =，D 为1BB 的中点，则AD 与平面11AAC C所成角的余弦值为（ ）A.12 8.不等式11ax x b+>+的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，则不等式220x bx a +-<的解集为（ ） A.（-2,5） B.（-0.5,0.2） C.（-2,1） D.（-0.5,1） 9.若0<x<1,则121x x x +-的最小值为（ ）A. B.1+ C.2+ D.3+10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于点A 、B ，3AF BF =，则AB =（ ）A.p B.43p C.2p D. 83p 11.从一楼到二楼共有十级台阶，小明从一楼上到二楼，每次可以一部跨一级台阶，也可以跨两级台阶，则小明从一楼上到二楼的方法共有（ ）种A.87B.88C.89D.9012.已知点P 为椭圆2211612x y +=上的动点，EF 为圆N ：22(1)1x y +-=的任一条直径，则 .PE PF 的最大值和最小值是（ ）A.16,12-B.17,13-C. 19,12-C. 20,13-二.填空题（每小题5分，共20分）13.过32()325f x x x x =-++图象上一个动点作此函数图象的切线，则所作切线倾斜角的取值范围是（ ）14.已知实数x,y 满足不等式组236022010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）15.若点P6=所表示的曲线上的点，同时P 又是直线y=4上的点，则点P 的横坐标为（ ）16.已知：(1)123...2n n n +++++=；(1)(2)1223...(1)3n n n n n ++⨯+⨯+++=； (1)(2)(3)123234...(1)(2)4n n n n n n n +++⨯⨯+⨯⨯++++=， 利用上述结果，计算：3333123..._______n ++++=三.解答题：17.（本题满分10分）已知P:方程22192x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q:双曲线 2215x y m -=的离心率(2e ∈ （1）若椭圆22192x y m m +=-的焦点与双曲线2215x y m-=的顶点重合，求实数m 的值 （2）若“p 且q ”是真命题，求实数m 的取值范围18. （本题满分12分） 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c,且A 、B 、C 成等差数列（1）若2b c ==，求ABC ∆的面积（2）若sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，试判断ABC ∆的形状19. （本题满分12分）本学期，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发现凡是购买米饭的人下一次会有20℅的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30℅的人改买米饭。