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3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点一 空间向量的夹角 思考 〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？答案 〈a ，b 〉与〈b ，a 〉分别表示向量a ，b 与b ，a 的夹角，根据空间向量夹角的定义知〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等．梳理 (1)如图所示，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)a ，b 为非零向量，〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉，a 与b 的夹角的范围是[0，π]，其中当〈a ，b 〉＝0时，a 与b 方向相同；当〈a ，b 〉＝π时，a 与b 方向相反；当〈a ，b 〉＝π2时，a 与b互相垂直．反之，若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；若a ⊥b ，则〈a ，b 〉＝π2.知识点二 数量积的概念及运算律1．已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数 量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 2．空间向量数量积的性质 (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)|a |2＝a ·a ，|a |＝a ·a . (3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |. 3．空间向量数量积的运算律 (1)(λa )·b ＝λ(a ·b )． (2)a ·b ＝b ·a (交换律)．(3)a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)．特别提醒：不满足结合律(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(1)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，可得a ＝c .(×) (2)对于向量a ，b ，c ，有(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(3)若非零向量a ，b 为共线且同向的向量，则a ·b ＝|a ||b |.(√) (4)对任意向量a ，b ，满足|a ·b |≤|a ||b |.(√)类型一 数量积的计算例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →； (4)AB →·CD →.考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|·cos〈BD →，BA →〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉 ＝12cos 120°＝－14. (4)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0.反思与感悟 (1)已知a ，b 的模及a 与b 的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算．跟踪训练1 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1-→；(2)BF →·AB 1-→；(3)EF →·FC 1-→. 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ， AA 1-→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1-→＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1-→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1-→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2. 类型二 利用数量积证明垂直问题例2 (1)已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，那么AD 与BC 的位置关系 为_______．(填“平行”或“垂直”) 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 垂直解析 ∵AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD → ＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0， ∴AD 与BC 垂直．(2)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用证明 设A 1B 1-→＝a ，A 1D 1-→＝b ，A 1A -→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |. ∵A 1O -→＝A 1A -→＋AO →＝A 1A -→＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12a ＋12b ，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1-→＝12a ＋12b －12c ∴A 1O -→·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O -→⊥BD →，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O -→⊥OG →，即A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，OG ⊂平面GBD ，BD ⊂平面CBD ， ∴A 1O ⊥平面GBD .反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.跟踪训练2 如图，在空间四边形OACB 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用证明 因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ， 所以△OAC ≌△OAB ， 所以∠AOC ＝∠AOB .又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →|·|OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝0， 所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC .类型三 利用数量积解决空间角或距离问题 命题角度1 解决角度问题例3 在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 解 ∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|·cos〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|·cos〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162， ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.反思与感悟 求两个空间向量a ，b 夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题． 跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求解解 不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1-→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B -→＝a －c ，AC →＝a ＋b . ∴A 1B -→·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1， 而|A 1B -→|＝|AC →|＝2， ∴cos 〈A 1B -→，AC →〉＝12×2＝12， ∵〈A 1B -→，AC →〉∈(0°，180°)， ∴〈A 1B -→，AC →〉＝60°.因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 命题角度2 求空间中的两点间的距离例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，求EF 的长． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1-→＝c . 由题意，知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1-→＋A 1F -→ ＝－12AB →＋AA 1-→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×2×2cos 60° ＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF →|＝5，即EF ＝ 5.反思与感悟 求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．跟踪训练4 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 因为AC 1-→＝AB →＋AD →＋AA 1-→， 所以AC -→21＝(AB →＋AD →＋AA 1-→)2＝AB →2＋AD →2＋AA -→21＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以AC -→21＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC →21＝|AC 1→|2， 所以|AC 1-→|2＝23，则|AC 1-→|＝23，即AC 1＝23.1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列说法正确的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 B解析 结合向量的运算，只有B 正确．2．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则“c ·a ＝0且c ·b ＝0”是“l ⊥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 B解析 若a ∥b ，则不一定得到l ⊥α，反之成立．3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A ．97 B ．97 C ．61D ．61考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 C解析 |2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61， ∴|2a －3b |＝61.4．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________.考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案3π4解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π4.5．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2， ∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.1．空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．一、选择题1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( ) A．垂直B．共线C．不垂直D．以上都可能考点空间向量数量积的概念与性质题点数量积的性质答案 A解析由题意知|a|＝|b|，∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．2．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案 B解析根据a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2，又cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝22×2＝22，又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝45°，故选B.3．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 B4．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 答案 B解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →) ＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，得|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 为等腰三角形．5．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |等于( ) A ．14B.14C ．4D ．2 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 B解析 ∵|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14， ∴|a －2b ＋3c |＝14.6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列向量的数量积一定不为0的是( ) A.AD 1-→·B 1C -→ B.BD 1-→·AC → C.AB →·AD 1-→D.BD 1-→·BC →考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 D解析 选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，所以AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1-→·B 1C -→＝0；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ，又AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时BD 1-→·AC →＝0；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1，所以AB ⊥AD 1，所以AB →·AD 1-→＝0，故选D.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1-→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C -→·(A 1B 1-→－A 1A -→)＝0；③AD 1-→与A 1B -→的夹角为60°.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0考点 空间向量数量积的概念及性质题点 数量积的性质答案 B解析 ①②正确；∵AD 1-→与A 1B -→的夹角为120°，∴③不正确，故选B.二、选择题8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B -→·B 1C -→＝________.考点 空间向量数量积的应用题点 数量积的综合应用答案 a 2解析 如图，A 1B -→＝AB →－AA 1-→，B 1C -→＝BC →－BB 1-→＝AD →－AA 1-→，∴A 1B -→·B 1C -→＝(AB →－AA 1-→)·(AD →－AA 1-→)＝AB →·AD →－AB →·AA 1-→－AA 1-→·AD →＋|AA 1-→|2＝0－0－0＋a 2＝a 2.9．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为________．考点 空间向量数量积的应用题点 数量积的综合应用答案 －310 解析 由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－15， 由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－310. 10．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求角答案 18解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12， 再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18. 11．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求线段长答案 13解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×cos60°＋9＝13，∴|a ＋3b |＝13.三、解答题12．在平行六面体ABCD －EFGH 中，已知M ，N ，R 分别是AB ，AD ，AE 上的点，且AM ＝MB ，AN ＝12ND ，AR ＝2RE ，求平面MNR 分对角线AG 所得线段AP 与PG 的比．考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求线段长解 如图，设AP →＝mAG →，因为AG →＝AB →＋AD →＋AE →＝2AM -→＋3AN →＋32AR →， 所以AP →＝2m AM -→＋3mAN →＋32mAR →， 由于P ，M ，R ，N 共面，所以2m ＋3m ＋32m ＝1， 得m ＝213.即AP AG ＝213，AP PG ＝211.13．直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求角(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′-→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ， A ′D --→＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D --→＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D --→，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′-→＝－a ＋c ，|AC ′-→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′-→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010， 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 四、探究与拓展 14．等边△ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为________．考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 空间向量数量积定义答案 1－22解析 如图，CP →＝－AC →＋AP →＝－AC →＋λAB →，故CP →·AB →＝(λAB →－AC →)·AB →＝λ|AB →|2－|AB →||AC →|cos APA →·PB →＝(－λAB →)·(1－λ)AB →＝λ(λ－1)|AB →|2，设|AB →|＝a (a ＞0)，则a 2λ－12a 2＝λ(λ－1)a 2， 解得λ＝1－22⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＝1＋22舍. 15．如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且AB ＝7，AC ＝BD ＝24，线段BD 与α所成的角为30°，求CD 的长．考点 空间向量数量积的应用题点 利用数量积求线段长解 由AC ⊥α，可知AC ⊥AB ，过点D 作DD 1⊥α，D 1为垂足，连接BD 1，则∠DBD 1为BD 与α所成的角，即∠DBD 1＝30°，所以∠BDD 1＝60°，因为AC ⊥α，DD 1⊥α，所以AC ∥DD 1，所以〈CA →，DB →〉＝60°，所以〈CA →，BD →〉＝120°.又CD →＝CA →＋AB →＋BD →，所以|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →. 因为BD ⊥AB ，AC ⊥AB ，所以BD →·AB →＝0，AC →·AB →＝0.故|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，所以|CD →|＝25.。
