2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟信息卷四 数学PDF版

湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量：120分钟，满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是A. 棱柱B. 棱台C. 棱柱与棱锥的组合体D. 不能确定 2.已知集合{}1,3A =，{}3,4B =，则A B 等于（ ） A. {}1,3B. {}3,4C. {}3D. {}1,3,4 3.若()1cos 2πα+=-，322παπ<<，则sin α=（ ） A. 12B. 3±C. 32D. 3-4.如图所示的程序框图中，输入2x =，则输出的结果是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 5.63a =，1b =，9a b ⋅=-，则a 与b 的夹角（ ）A. 120︒B. 150︒C. 60︒D. 306.已知0a >，0b >，1a b +=，则11a b +的最小值为（ ） A. -2 B. 2C. 4D. -4 7.函数()f x = ） A . (),0-∞B. [)0,+∞C. [)2,+∞D. (),2-∞ 8.经过点(02) P ，且斜率为2的直线方程为( ) A. 220x y ++=B. 220x y --=C. 220x y -+=D. 220x y +-= 9.设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. b c a << 10.函数f (x )=12-cos 2π-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调增区间是( ) A. ππ2π-,2π22k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z B. π3π2π,2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z C. π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z D. πππ-,π44k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知角的终边过点(1,2)P -，则sin α的值为 ．12.若x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则xy 的最大值为_____．13.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．14.若实数x ，y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y=+的最大值为______.15.如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A 处时，经观察，在河对岸有一参照物C 与学生前进方向成30角，学生前进200m 后，测得该参照物与前进方向成75︒角，则河的宽度为______m .三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.判断函数()4f x x x =+在[]1,4上的单调性，并求函数()f x 的最大值和最小值. 17.已知23cos(),(,)41024x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.18. 如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；19.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直直线为2l .（1）求直线2l 方程；（2）求直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积．20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*114n n S a n N =+∈. （1）求1a 、2a ； （2）求证：数列{}n a 是等差数列.。

2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数 学全卷共19小题，满分100分，考试时间为90分钟一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.2sin 22.5cos22.5︒︒的值为（ ）A.2B.4C.12D.22.已知集合{}1,0,2A =-，}3{B x =，，若{}2A B ⋂=，则x 的值为（ ） A. 3B. 2C. 0D. 1-3.函数()(1)(2)f x x x =-+的零点个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 34.函数()22log 4y x =-的定义域为（ ） A. RB. (,2)(2,)-∞-+∞UC. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (2,)+∞5.已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知直线l 1:y=2x+1,l 2:y=2x+5,则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A. 重合 B. 垂直 C. 相交但不垂直D. 平行7.袋内装的红､白､黑球分别有3，2，1个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少一个白球；都白球 B. 至少一个白球；至少一个黑球 C. 至少一个白球；一个白球一个黑球D. 至少一个白球；红球､黑球各一个8．在△ABC 中，ab b c a =+-222，则角C 为（ ）A ．45°或135°B ．60°C ．120°D ．30°9.在等差数列{}n a 中，21a =，33a =，则其前10项和为（ ） A. 60B. 80C. 100D. 12010.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01A. y ＝2x －2B. y ＝12(x 2－1) C. y ＝log 2xD. y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．12.已知3a =r ，4b =r ，()(2)23a b a b +⋅+=r r r r，那么a r 与b r 的夹角为____________.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是_______________.14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，*1,n n a S n +=∈N ，则5a =________．15．已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是___________.三､解答题（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）16.已知函数()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 最小正周期.。

湖南省2022年普通高中学业水平合格性考试（四）数学时量：90分钟 满分：100分一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}0,2,4A =,{}2,0,2B =-, 则A B ⋃= A. {}0,2B. {}2,4-C. []0,2D.{}2,0,2,4-【答案】D 【解析】【分析】由并集运算求解即可【详解】由并集的定义，可得{}A B 2,0,2,4⋃=-. 故选D.【点睛】本题考查集合的并集运算,熟记并集定义是关键,是基础题 2. 设命题:0p x ∀>，20x >，则p ⌝（ ）A. 0x ∃>，20x ≤B. 0x ∀≤，20x >C. 0x ∀>，20x ≤D. 0x ∃≤，20x ≤【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，命题:p “0x ∀>，20x >”的否定:p ⌝“0x ∃>，20x ≤”. 故选：A.3. 已知a ，b ∈R ，且a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a +3<b +3 B. a -5>b -5C. 2a >2bD.33a b > 【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质分析判断 【详解】因为a ，b ∈R ，且a ＜b ，所以由不等式的性质可得33a b +<+，55-<-a b ，22a b <，33a b <， 所以A 正确，BCD 错误， 故选：A4 lg2lg5+=（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 10【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算性质求值即可. 【详解】由lg 2lg5lg(25)lg101+=⨯==. 故选：C.5. 一个矩形的周长是20，矩形的长y 关于宽x 的函数解析式为（ ）（默认y >x ） A. y ＝10－x (0<x <5) B. y ＝10－2x (0<x <10) C. y ＝20－x (0<x <5) D. y ＝20－2x (0<x <10) 【答案】A 【解析】【分析】利用周长列方程，化简求得y 关于x 的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式.【详解】由题意可知2y ＋2x ＝20，即y ＝10－x ，又10－x >x ，所以0<x <5. 所以函数解析式为()1005y x x =-<<. 故选：A6. 在复平面内，复数i1i+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.【详解】i i(1i)i 111i 1i (1i)(1i)222-+===+++-，其对应点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限. 故选：A7. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若()11f -=，则f （1）=（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性进行求解.【详解】因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以111f f .故选：A8. 与y x =为同一函数的是（ ）A. y x =B. y =C. ()(),0,0x x y x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩D. log a x y a =【答案】B 【解析】【分析】根据定义域和对应法则，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数y x =与y x =的对应法则不同，所以两函数不是同一函数，故A 错误；对于B ，函数y x ==，与函数y x =的对应法则相同，且定义域均为R ，所以两函数同一函数，故B 正确；对于C ，函数()(),0,0x x y x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的定义域为{}0x x ≠，y x =的定义域为R ，两函数定义域不同，不是同一函数，故C 错误；对于D ，函数log a x y a =的定义域为{}0x x >，y x =的定义域为R ， 两函数定义域不同，不是同一函数，故D 错误. 故选：B.9. 函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】直接利用函数()tan y x ωϕ=+ 的周期公式T πω=求解.【详解】函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是22T ππ==，故选：B ．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，还考查了运算求解的能力，属于基础题． 10. 正方体1111ABCD A B C D -中与1AD 垂直的平面是（ ） A. 平面11DD C CB. 平面1A DBC. 平面1111D C B AD. 平面11A DB【答案】D 【解析】【分析】在正方体中，证明1AD ⊥面11A DCB ，而面11DD C C 、面1A DB 、面1111D C B A 均与面11A DCB 相交，即可判断.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，在A 中，1AD 与平面11DD C C 相交但不垂直，故A 错误； 在B 中，1AD 与平面1A DB 相交但不垂直，故B 错误； 在C 中，1AD 与平面1111D C B A 相交但不垂直，故C 错误； 在D 中，11AD A D ⊥，111AD A B ⊥，1111A DA B A =，1AD ∴⊥平面11A DB ，故D 正确.故选D.11. 下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A. ()10y x x x=+< B. 222y x x -=+ C.()301y x x =+<<D. 2y =【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式和配方法分别求出各选项的最值，即可得到答案； 【详解】解：对于A ，当0x <时，0y <，故A 错误； 对于B ，2(1)11y x =-+≥，故B 错误；对于C ，当01x <<时，334x <+<，故C 错误；对于D ，222y ===≥，当且仅当0x =取等号，故D正确； 故选：D.12. 某校为了了解学生对“中国梦”伟大构想的认知程度，举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分，以下数据为参加竞赛决赛的15名同学的成绩（单位：分）：68，60，62，76，78，69，70，71，84，74，46，88，73，80，81．则这15人成绩的第80百分位数是（ ） A. 80 B. 80.5C. 81D. 81.5【答案】B 【解析】【分析】将15人的成绩从小达到排列，根据百分位数的定义求解即可.【详解】解：将15人的成绩从小到大排列：46，60，62，68，69，70，71，73，74，76，78，80，81，84，88；又1580%12⨯=，则第12位数字是80，第13位数字是81， 故这15人成绩第80百分位数是808180.52+=. 故选：B.13. 将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向右平移5π个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. sin y x =B. cos y x =C. sin 5y x π⎫⎛=-⎪⎝⎭D.sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换求解.【详解】解：将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向右平移5π个单位长度，所得图象的函数解析式为sin 5y x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭. 故选：C14. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，若11AA =，1AB AC ==112B C =，则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为（ ）A.12B.6C.D.8【答案】D 【解析】【分析】11B C ∥BC ，所以1ACB ∠及为异面直线1A C 与11B C 所成的角或其补角，连接1A B ，根据余弦定理即可求得答案.【详解】如图，连接1A B，则1A B ==1AC =，AB =，2BC =，∵11B C ∥BC ，所以1ACB ∠及为所求角或其补角，所以2221111cos 2AC BC A B ACB AC BC ∠+-====⋅.故选：D.15. 在ABC 中，已知2AC =，4BC =，1cos 4C =，则ABC 的面积为（ ）A.4B. 1C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先用平方关系求出sin C ，再用面积公式求面积【详解】1cos 4C =⇒sin C ==所以11sin 4222ABCSab C ==⨯⨯=故选：C16. 已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A. 1()sin 1x x e f x x e -=⋅+B. 1()cos 1x x e f x x e -=⋅+C. 1()sin 1x x e f x x e +=⋅-D. 1()cos 1x x e f x x e +=⋅-【答案】A 【解析】【分析】根据特殊值，排除选项.【详解】由图象可知，函数的定义域里有0，所以排除CD ，并且()0f π=，排除B.故选：A17. 甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A ，B ､C 三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ） A.13B.14C.15D.12【答案】A 【解析】【分析】分别写出基本事件数和符合条件的事件数，利用古典概型公式求解即可. 【详解】甲、乙在A ，B ，C 三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有(,)B A ,(,)B B ,(,)B C ,(,)A A ，(,)A B ,(A,C),(C,A),(,)C B ,(,)C C 共9种，其中甲，乙购买的是同一种医用外科口罩基本事件有(,)A A ,(,)B B (,)C C 3种， 则其概率为3193P ==. 故选:A .18. 已知函数()22,0,log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则下列说法正确的个数是（ ）①()f x 是R 上的增函数；②()f x 的值域为R；③“x ”是“()12f x >”的充要条件；④若关于x 的方程()0f x x a +-=恰有一个实根，则1a > A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】【分析】结合分段函数、指数函数、对数函数的图象与性质对四个说法进行分析，由此确定正确答案.【详解】画出()f x 的图象如下图所示，所以()f x 在(],0-∞和()0,∞+上递增，①错误；()f x 的值域为R ，②正确； ()1012f =>，所以③错误；()()0f x x a f x x a +-=⇒=-+，要使“关于x 的方程()0f x x a +-=恰有一个实根”，即()f x 图象与y x a =-+的图象只有一个交点，则1a >，所以④正确. 所以正确的有2个. 故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．19. 已知AB a =，BC b =，CD c =，DE d =，AE e =，则a b c d +++=________． 【答案】e ##AE 【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则可得.【详解】()()a b c d AB BC CD DE AC CE AE e +++=+++=+==. 故答案为：e .20. 2sin15cos15︒︒=_____． 【答案】12. 【解析】【详解】 由正弦的背胶公式可得012sin15cos15sin 302==. 21. 某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生的人数及其概率如下表：【答案】0.79 【解析】【分析】从频率分布表中找出至多派出2名医生的所有情况，并将相应的概率相加可得出答案．【详解】由题意可知，事件“至多派出2名医生”包含“派出的医生数为0、1、2”， 其概率之和0.180.250.360.79++=，故答案为0.79．【点睛】本题考查概率的基本性质，考查概率的加法公式的应用，解题时要弄清所求事件所包含的基本事件，考查计算能力，属于基础题．22. 某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④ 【解析】【分析】根据函数图象，结合函数增长率的情况，即可容易判断.【详解】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故．错误，．正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故．错误，．正确； 综合所述，正确的为：．．. 故答案为：．．.三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin A cos B a =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．【答案】（1）6B π=；（2）3,a c ==【解析】【分析】．1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小． ．2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠．cos B B =．法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos 3B B B ==， 所以6B π=．cos 0B B -=即2sin 06B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<， 所以6B π=． （2）由正弦定理得sin sin a c A C=，而sin C A =，所以c = ，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos6a c ac π=+-，即229a c +-=， ②把①代入②得3,a c ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.24. 如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点.（1）若弧BC 的中点为D ，求证：//AC 平面POD ；（2）如果PAB △的面积是9，求此圆锥的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）(9π【解析】【分析】（1）证明//AC OD 即可；（2）由条件可得h r =，l =，然后由PAB △的面积是9求出r ，然后可算出答案.【详解】（1） ．AB 是底面圆的直径，．AC BC ⊥．弧BC 的中点为D ，．OD BC又AC ，OD 共面，．//AC OD又AC ⊄平面POD ，OD ⊂平面POD ，．//AC 平面POD（2）设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，．圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，．h r =，l =由21292PAB S rh r =⨯==△，得3r =．圆锥的表面积(2291S rl r r r πππππ=+=+=【点睛】本题考查的是线面平行的证明和圆锥表面积的求法，考查了学生的逻辑推理能力和计算能力，属于基础题.25. 已知f (x )＝ln11mx x --是奇函数. （1）求m ；（2）判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明.【答案】（1）－1； （2）在(1，＋∞)上单调递减，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据奇函数()()f x f x --＝即可求出m ；(2)用定义法即可证明f (x )在(1，＋∞)上的单调性﹒【小问1详解】 ()()1111ln ln ,ln ln 1111mx mx mx x f x f x x x x mx+-----==-=-=--+--. ()f x 是奇函数,()()f x f x ∴-=-,即11ln ln 11mx x x mx ---+=+-,得1,1m m -=⎧⎨=-⎩,1m ∴=-；【小问2详解】()f x 在()1,∞+上单调递减.证明:由(1)知()12ln ln 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭.任取12,x x 满足121x x <<,2112121222221111111x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+=-=⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭,由121x x <<知,21120,10,10x x x x ->->->, 122211011x x ⎛⎫⎛⎫∴+-+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,即122211011x x +>+>--,又ln y x =为增函数,1222ln 1ln 111x x ⎛⎫⎛⎫∴+>+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,即()()12,f x f x >()f x ∴在()1,∞+上是减函数.。

（第3题图）俯视图侧视图正视图2020年普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）A ．15 B ．14 C ．49 D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）A B km C ．1.5km D ．2km（第14题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ．14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a =，且4a b =，则b = .三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1cos ,(0,22παα=∈（1）求tan α的值；（2）求sin()6πα+的值.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.a （第17题图）FEDCBA（第18题图）已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14； 15、 4三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而cos α=（2）2sin 2cos22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人） 18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩ （2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)1232n n n S n +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒< （3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒<112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页时量120分钟，满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球2.已知元素{0,1,2,3}a ∈，且{0,1,2}a ∉，则a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为A.15 B. 25C.35 D.454.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2B.3C.4D.55.在△ABC 中，若0AB AC ⋅=，则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6.sin120的值为A.22B.1-C. 32D. 22-7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 与11A C 的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直 8.不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A.{|12}x x -≤≤B. {|12}x x -<<C. {|12}x x x ≤-≥或D. {|12}x x x <->或9.点(,1)P m 不在不等式02<-+y x 表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是 A.1m < B. 1m ≤ C.1m ≥ D.1m >10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11. 样本数据2,0,6,3,6-的众数是 .12. 在ABC ∆中, 角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,sin 3a b A ===，则sin B ＝ .13. 已知a 是函数()22log f x x =-的零点, 则实数a 的值为 . 14.已知函数sin (0)y x ωω=>在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为 .15. 如图1，矩形ABCD 中，2,,AB BC E F =分别是,AB CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个二面角A EF C --（如图2）则在图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角为 .三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分6分）已知函数,[0,2],()4,(2,4].x x f x x x∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩（1）画出函数()f x 的大致图像；（2）写出函数()f x 的最大值和单调递减区间.17.（本小题满分8分）某班有学生50人，期中男同学300人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.（1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.18. （本小题满分8分）已知等比数列{}n a 的公比2q =，且234,1,a a a +成等差数列. （1）求1n a a 及；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前5项和5S .19. （本小题满分8分） 已知向量(1,sin ),(2,1).a b θ== （1）当6πθ=时，求向量2a b +的坐标；（2）若a ∥b ，且(0,)2πθ∈，求sin()4πθ+的值.20. （本小题满分10分）已知圆22:230C x y x ++-=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于1122(,),B(,)A x y x y 两点，求证：1211x x +为定值； （3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于,D E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大.参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDBBACDACA二 、填空题（每小题4分，满分20分） 11.6 12.23 13.4 14.2 15. 45（或4π）三 、解答题（满分40分）16. 解：(1)函数()f x 的大致图象如图所示; ……………………………2分 (2)由函数()f x 的图象得出,()f x 的最大值为2, ………………4分其单调递减区间为[]2,4.…………6分17. 解: (1)305350⨯=(人), 205250⨯=(人), 所以从男同学中抽取3人, 女同学中抽取2人; ……………………………………4分 (2)过程略. 3()5P A =. ……………………………………………………………………………8分18. 解: (1)12n n a -=; ………………………………………………………………4分 (2)546S =. ……………………………………………………………………………8分 19. 解: (1)()4,2; …………………………………………………………………4分 (2)264+. ………………………………………………………………………8分 20. 解: (1)配方得()2214x y ++=, 则圆心C 的坐标为()1,0-,……………………2分 圆的半径长为2; ………………………………………………………………………4分 (2)设直线l 的方程为y kx =, 联立方程组22230x y x y kx⎧++-=⎨=⎩,消去y 得()221230k x x ++-=, ………………………………………………5分则有: 1221222131x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩………………………………………………6分所以1212121123x x x x x x ++==为定值. ………………………………………………7分 (3)解法一 设直线m 的方程为y kx b =+, 则圆心C 到直线m 的距离d =所以DE =, …………………………………8分()2241222CDEd d S DE d d ∆-+=⋅=≤=,当且仅当d =即d =时, CDE ∆的面积最大, …………………………9分=解之得3b =或1b =-, 故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分解法二 由(1)知2CD CE R ===, 所以1sin 2sin 22CDE S CD CE DCE DCE ∆=⋅⋅∠=∠≤,当且仅当CD CE ⊥时, CDE ∆的面积最大,此时DE = ………………………………………………………8分 设直线m 的方程为y x b =+ 则圆心C 到直线m的距离d =…………………………………………………9分由DE ===,得d=得3b =或1b =-, 故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

一、单选题二、多选题1.集合的真子集的个数是（ ）A．B．C．D．2. 下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）A．B．C．D．3. 函数的大致图象为（ ）A．B．C．D．4. 设，则（ ）A．B．C．D．5. 如果直线与直线平行，那么实数k 的值为 A．B．C．D ．36. 已知则的大小关系为（ ）A．B．C．D．7. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ）A．B．C．D．8. 若，则（ ）A．B．C．D．9. 若，是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（ ）A．B．C．D．10. 下列说法中，正确的命题有（ ）A ．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好B．已知随机变量服从正态分布N （2，），，则C ．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c ，k 的值分别是和0.3D．若样本数据，，…的方差为2，则数据，，…的方差为162022年湖南省普通高中学业水平合格性考试(四)数学试题2022年湖南省普通高中学业水平合格性考试(四)数学试题三、填空题四、解答题11.如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（）A ．平面B．与平面所成角的余弦值为C ．三棱锥的体积为D ．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为12. 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ）A．的方程为B．的离心率为C．的渐近线与圆相切D ．满足的直线有2条13. 已知是定义在R上的函数的导函数，且，，若对任意的实数，都有成立，则实数的最大值为______．14. 身高互不相同的7位同学站成一排照相，身高最高的同学站在正中间，则不同的排列方法数为______（用数值作答）15. 如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为________米．16. 在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.(1)求角的大小；(2)若，证明：是直角三角形.17.已知函数(1)若对任意恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，若函数有两个极值点,求的最大值.18.已知点在抛物线上，过点作圆()的两条切线，与抛物线分别交于､两点，切线､与圆分别相切于点､.（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；（2）若点的坐标为，且时，求的值；（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围.19. 在中，内角所对的边分别为，.(1)求的值；(2)若，求外接圆的半径.20.设椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点D在椭圆C上，的周长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆上任意一点P作圆E的切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：为定值.21. 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：下周一无雨无雨有雨有雨下周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元，有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．。

普通高中学业水平考试信息模拟卷（四）数 学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}1,2M =，则下列关系成立的是A. 1M ∈B. 2M ∉C.{}2M ∈D. {}2M ⊇2.化简212sin 10S -=A. cos 20B. sin 20C. cos 0D. sin103.已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，则它的公差d 为A. 2B. 3C. -2D. -34.已知log 162x =，则等于A. 4-B.4C. 256D. 25.如右图所示，一个几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为 A. 43π B. 433π C. 33π D.3π 6.如右图所示，长方形的面积为1，将100个豆子随机撒在长方形内，其中恰有20个豆子落在阴影部分，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A. 15B. 45C. 120D. 11007.设向量1,,a b a b ==的夹角为60，则a b +=A. 2B. 1C. 3D. 48.运行右边的程序，则输出的结果是A. 3,2B. 1,2C.3,1D.2,19.下列函数中，不能用二分法求函数零点的图标号是A. ①②B. ①③C. ②③D.①②③10.圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得弦长等于 6 B.22C. 1D. 2 第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.若幂函数()y f x =的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25f = .12.若直线310x y -+=和直线630x my --=垂直，则m = .13.以()8,3C -为圆心，且过点()5,1M 的圆的标准方程为 .14.已知三角形ABC 中，2,60,30a B C ===，则三角形ABC 的面积S = . 15.某城市出租车按如下方法收费：起步价为8元，可行3km （含3km ），3 km 到10 km （含10 km ）每行驶1 km 加价1.5元，超过10 km 后每行驶1 km 加价0.8元，某人座该城市的出租车走了20 km ，他应付 元.三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.16.（本题满分6分）已知函数()()2sin cos 1.f x x x =++（1）求它的最小正周期和最大值；（2）求它的单调增区间.17.（本题满分8分），某省为了确定合理的阶梯电价分档方案，对全省居民用电量进行了一次抽样调查，得到居民用电量（单位：度）的频率分布直方图（如图所示），求：（1）有频率分布直方图可估计，居民月用电量的众数为多少？（2）若要求80%的居民按基本档的用电量收费，则基本档的用电量应定为多少度？18.（本题满分8分）四边形ABCD 为平行四边形，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，且2,1, 3.PA AD AB AC ====（1）求证：平面ACD ⊥平面PAC ；（2）求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值.19.（本题满分8分）等差数列{}n a 中，71994,2.a a a ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（本题满分10分）已知函数()2f x x bx c =++有两个零点0和2-，且,()g x 和()f x 的图象关于原点对称.（1）求函数()f x , ()g x 的解析式；（2）解不等式()()64f x g x x ≥+-；（3）如果()f x 定义在[],1m m +上，且()f x 的最大值为()g m ，求()g m 的解析式.。

2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ） A ．4πB ．2π C ．π D ．2π4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．15．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ） A ．向上平移1个单位长度 B ．向下平移1个单位长度 C ．向右平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数2,0()0x x f x x +≤⎧⎪=>，若f (0)=a ，则f (a )=（ ）A ．4B ．2CD ．08．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 210．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]- ②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]- ③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-= 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．②④二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________. 12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________13．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________. 15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值; （2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.17．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值.18．如图所示，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证: EF //平面P AB ;（2）已知AB =AC =4，P A =6，求三棱锥F -AEC 的体积. 19．已知函数(())x x f x a g x a -==，，其中0a >，且1a ≠. （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围;（3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.参考答案1．D 【分析】分析几何体的结构，可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱. 故选：D. 【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题. 2．B 【分析】根据平面向量的坐标运算可求得x 的值. 【详解】已知向量()2,1a =，()11b =-,，则()()1,2,2a b x +==，因此，1x =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【分析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积. 【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题. 4．A 【分析】直接由古典概型的概率公式求解即可 【详解】解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是13, 故选：A 【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题 5．A 【分析】由函数图象平移原则即可知如何平移y =sin x 的图象得到y =1+sin x 的图象. 【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y =sin x 的图象向上平移1个单位可得y =1+sin x 的图象，故选：A. 【点睛】本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题. 6．B 【分析】由已知可得通项公式12n n a ，即可求a 4的值.【详解】由题意a n +1=2a n 可知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故可得数列的通项公式为12n na ，∴3428a ==，故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题. 7．C 【分析】先由f (0)=a ，可得2a =，从而可求出f (a )的值 【详解】解：因为f (0)=a ，代入分段函数中可得02a +=，得2a =，所以()(2)f a f ==，故选：C 【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题 8．B 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 9．C 【分析】由已知可得6x y +=，而矩形的面积S xy =，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【详解】设矩形的长、宽分别为,x y cm ，则有2()12x y +=，即6x y +=， ∵矩形的面积Sxy =，∴2()94x y S xy +=≤= cm 2，当且仅当3x y ==时等号成立，故选：C 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题. 10．D 【分析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与x 轴交点的个数可得其零点的个数，当1a =时，可得()()0f a f a +-= 【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于2-，所以①错误； 由图像可知函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-，所以②正确；由图像可知其图像与x 轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误； 当1a =时，有()()(1)(1)220f a f a f f +-=+-=-+=，所以④正确， 故选：D 【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题 11．1 【分析】由A B ⊆，得到1是方程2x a =是方程的根，代入即可求解. 【详解】由题意，集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，因为A B ⊆，所以1B ∈，即1是方程2x a =是方程的根，解得1a =， 当1a =，可得集合{}1,1b =-,此时满足A B ⊆， 所以1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题. 12．12【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人， 所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为151302=， 故答案为：12【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题 13．-1 【分析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k 值. 【详解】由l 1⊥l 2，知：1k =-， 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题. 14．15 【分析】由题意可得等差数列通项公式n a n =，结合1()2n n n a a S +=可得前n 项和公式，进而求5S 即可. 【详解】由等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，知：公差1d =，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)n a a n d n =+-=， ∴由等差数列前n 项和公式1()(1)22n n n a a n n S ++==， 即可得55(51)152S ⨯+==， 故答案为：15. 【点睛】本题考查了求等差数列前n 项和，属于简单题. 15．35【分析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可 【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)，所以3cos 5x r α===， 故答案：35【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题 16．（1）25小时；（2）0.3. 【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率. 【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数， ∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=； （2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =⨯=. 【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 17．（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值 【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC所以222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅ 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+， 所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】 此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题18．（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）连接EF 有中位线//EF PB ，结合,EF PB 与面PAB 的关系，由线面平行的判定即可证//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G 易知FG 是三棱锥F -AEC 的高，结合已知有2ABC AEC S S=即可求三棱锥F -AEC 的体积.【详解】（1）连接EF ，在△PBC 中EF 为中位线，故//EF PB ，∵EF ⊄面PAB ，PB ⊂面PAB∴//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G ，如下图示：∵P A ⊥平面ABC ，∴FG ⊥平面ABC ，即FG 是三棱锥F -AEC 的高，又F 为PC 的中点，∴由P A =6，则32PA FG ==， 又AB =AC =4，E 为BC 的中点且AB ⊥AC ，知：44424ABC AEC S S ⨯===， ∴三棱锥F -AEC 的体积143AEC V FG S =⋅⋅=.【点睛】 本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题. 19．（1）偶函数，理由见解析；（2）1a >；（3）证明见解析 【分析】 （1）利用函数的奇偶性做出判断;（2）()()x x x f x g a a -⇔≥≥对x ∈R 都成立，可求出a 的范围（3）由(1)2f =，求出2a =，由已知AB BC =得到000222x x x -=-，求得121t t =得证.【详解】 (1) ()f x 是偶函数 ()x f x a =，))((x x f x aa f x -∴==-=,()f x ∴是偶函数 （2）))((x x f x a g a x -==，(())x x x f x g a a -≥⇔≥∴ 当1a >时0x x x x R ≥-⇒≥⇒∈ 满足题意， 当01a <<时00x x x x ≥-⇒≤⇒= 不满足题意所以1a >（3）(1)2,2f a =∴= ()22()x x f x g x -∴==，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC = ,设01(,)B x t 则02(,)C x t 0122x t t ∴=- ，又00122,2,x x t t -== 02122log log x t t ∴==-212212log log 01t t t t ∴+=⇒=故存在实数12t t ，当121t t =使得四边形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查函数奇偶性、不等式求参数范围及利用函数图象交点判断方程有解，属于中档题.。