5.1.1 任意角的概念

5.1.1任意角(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、教学目标1.了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养．2.理解角的加减运算以及相反角的概念．3.掌握与角α终边相同的角的表示方法．二、教学重难点1.将0︒到360︒范围的角扩充到任意角.2.任意角概念的构建，用集合表示终边相同的角.三、教学过程1.呈现背景 提出问题现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性.例如：地球自转、地球于太阳公转，月亮圆缺、潮汐变化等，数学中的圆周运动也是一种常见的周期性变化现象.问题1：如图，O 上的点P 以A 为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P 的位置变化呢？【预设的答案】我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．在图中，射线的端点是圆心O ，它从起始位置OA 按逆时针方向旋转到终止位置OP ，形成一个角，射线OA ，OP 分别是角α的始边和终边，点P 是终边OP 与O 的交点．可以借助角α的大小变化刻画点P 的位置变化．【设计意图】创设情境，以圆为载体研究周期性变化对理解角的扩充更有帮助．由初中知识可知，射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0~360︒︒范围内的角．如果继续旋转，那么所得到的的角就超出这个范围了．所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围．AA PO2.任意角的概念、运算及分类现实生活中随处可见超出0~360︒︒范围的角．例如,体操中有“前空翻转体540度”,“后空翻转体720度”，齿轮的旋转等.问题2：这些角有哪些不同，体现在哪几个方面？【预设的答案】不同体现在旋转量和旋转方向.【设计意图】引导学生从生活实际出发用数学的眼光分析问题，归纳刻画角的两个方面——旋转量和旋转方向．很显然，0~360︒︒角难以满足我们的需要，所以我们需要对角的概念进行推广.2.1角的概念类比实数的学习，我们对角的范围进行扩充：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．2.2角的表示与作图【数学情境】你能分别作出750°、210°、-150°、-660°吗？【设计意图】再次强调决定一个角的要素是旋转方向和旋转量.2.3角的运算问题3：类比实数，思考下列问题：（1）你认为相等的两个角应该怎样规定？（2）两角相加又是怎样规定的？（3）你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？【预设的答案】（1）旋转方向相同且旋转量相等.+.（2）角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ（3）类似于实数中的相反数我们引入相反角的概念．我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．类似于实数a的相反数是a-，角α的相反角记为α-．类似实数减法中“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减去一个角等于加上这个角的相反角．即()αβαβ-=+-．【设计意图】让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性．2.4象限角角的范围扩充后，为了讨论的方便，我们通常在直角坐标系中研究角.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．问题4：根据终边位置的不同，可以把角分为哪几类？【预设的答案】根据角的终边所在象限，将角分为第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角．【设计意图】让学生体会在直角坐标系中研究角是自然和合理的．这样我们得到了象限角的概念：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，也称为轴线角.问题5：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？【预设的答案】因为锐角是指大于0︒且小于90︒的角，所以锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角．【设计意图】让学生明确“锐角”“第一象限角”之间的关系，避免混淆．2.5终边相同的角问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么与32-︒角终边重合的角还有哪些？有多少个？【预设的答案】328°，688°，－392°，－752°；无数个追问：它们与32-︒角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？【预设的答案】相差360°的整数倍，可以用{}32360,S k k ββ==-︒+⋅︒∈Z 表示． 追问：将32-︒推广到一般角α，结论应该是什么？【预设的答案】{}360,S k k ββα==+⋅︒∈Z .【设计意图】通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论，符合学生由特殊到一般的认知规律，并且培养了学生的数学抽象素养．一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}360,S k k ββα==+⋅︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．3.典例分析例1 在0~360︒︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．（1）－120º；（2）640º；（3）－950º12′.【预设的答案】（1）与－120º终边相同的角为240º，它是第三象限角.（2）与640º终边相同的角为280º，它是第四象限角.（3）与－950º12′终边相同的角为129º48'，它是第二象限角.【设计意图】利用终边相同的角判定其象限，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．例2 写出终边在y 轴上的角的集合．【预设的答案】终边落在y 轴非负半轴上的角构成集合：{}190360,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，终边落在y 轴非正半轴上的角构成集合{}2270360,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，观察发现，12S S 中的角均相差180︒的整数倍，用集合表示是{}90180,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ．另外，我们还可以用这种方式求出12S S ：12=|=90360|=270360=|=902180|=901802180|=902180|=9021180|=90180S S S k k k k k k k k k k k k n n ββββββββββββββ=︒+⋅︒∈︒+⋅︒∈︒+⋅︒∈︒+︒+⋅︒∈=︒+⋅︒∈︒++⋅︒∈=︒+⋅︒∈Z Z Z Z Z Z Z {，}{，}{，}{，}{，}{()，}{，}．【设计意图】引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．例3 写出终边在直线y x =上的角的集合S ．S 中满足不等式360720β-︒≤<︒的元素β有哪些？【预设的答案】在0~360︒︒范围内，终边在直线=y x 上的角有两个：45︒，225︒． 因此，终边在直线=y x 上的角的集合=|=45360|=225360=|=452180|=4521180=|=45180S k k k k k k k k n n ββββββββββ︒+⋅︒∈︒+⋅︒∈︒+⋅︒∈︒++⋅︒∈︒+⋅︒∈Z Z Z Z Z {，}{，}{，}{()，}{，}．S 中适合不等式360720β- ︒︒≤＜的元素β有452180=315︒-⨯︒-︒，451180=135︒-⨯︒-︒，450180=45︒+⨯︒︒，451180=225︒+⨯︒︒，452180=405︒+⨯︒︒，453180=585︒+⨯︒︒．【设计意图】巩固终边相同的角的表示．4.归纳小结四、课外作业1．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）420°； （2）-75°； （3）855°； （4）-510°．2．写出终边与-225°终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式720360β- ︒︒≤＜的元素β．。

第五章 三角函数（基础模块∙上）一、知识点节次知识点 5.1角的概念推广5.1.1任意角的概念角角的始边 角的终边 角的顶点 正角 负角 零角第几象限角 界限角5.1.2终边相同的角定义表示（象限角、界限角） 5.2弧度制5.2.1弧度制1弧度的角 弧度制角度与弧度的换算公式 特殊角的换算 5.2.2应用举例机械传动 公路弯道5.3任意角的三角函数5.3.1任意角的三角函数的概念 三角函数定义域已知终边上一点 5.3.2各象限角的三角函数值的正负号象限表示5.3.3界限角的三角函数值特殊角的三角函数值 5.4同角三角函数的基本关系 5.4.1同角三角函数的基本关系式单位圆 平方关系 商的关系 5.4.2含有三角函数的式子的求值与化简商的关系5.5诱导公式5.5.1()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式5.5.2 －α的诱导公式－α的诱导公式5.5.3 180°α±的诱导公式 180°α±的诱导公式 5.5.4 利用计算器求任意角的三角函数值5.6三角函数的图像和性质5.6.1正弦函数的图像和性质周期现象 周期函数 周期最小正周期 正弦曲线有界性 有界函数无界函数 正弦函数性质 五点法作图5.6.2余弦函数的图像和性质余弦曲线 余弦函数性质 5.7已知三角函数值求角 5.7.1已知正弦函数值求角 5.7.2已知余弦函数值求角 5.7.3已知正切函数值求角 阅读与欣赏 光周期现象及其应用第一章 三角公式（拓展模块）节次知识点1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式1.1.1两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 1.1.2两角和与差的正弦公式 两角和与差的正弦公式 1.1.3两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 1.1.4二倍角公式二倍角公式 1.2正弦型函数1.2.1正弦型函数的周期 正弦型函数 计算公式1.2.2正弦型曲线正弦型曲线正弦型曲线变化规律 正弦型曲线五点规律 振幅、频率、相位、初相 a sin x +b cos x 的转化 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 正弦定理 1.3.2余弦定理余弦定理1.3.3正弦定理与余弦定理应用举例阅读与欣赏 刘徽与《海岛算经》二、结构展示三角函数三角公式角的度量 三角函数角概念推广 弧度制 终边相同角 定义、单位圆特殊角诱导公式同角函数 三角函数符号三、考纲解读1、角度概念，弧度制了解角的概念，理解弧度制；终边相同的角的关系是重要的考点之一。

§5.1任意角和弧度制5．1.1任意角学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．知识点一任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.3．角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．知识点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？答案锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同．1．第二象限角是钝角．(×)2．终边与始边重合的角为零角．(×)3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(√)一、任意角的概念例1(多选)下列说法，不正确的是()A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角答案ACD解析A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．反思感悟理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是()A．60°，720°B．－60°，－720°C．－30°，－360°D．－60°，720°答案 B解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而212×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 二、终边相同的角例2已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．解因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.反思感悟终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．(2)终边相同的角相差360°的整数倍．跟踪训练2(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于() A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z答案 B解析角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是()A．－37°B．143°C．379°D．－143°答案 D解析与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.三、象限角及区域角的表示例3(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是()A．－200°B．100°C．220°D．420°答案AB解析－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角．(2)如图所示．①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解①终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．②终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．(学生)反思感悟(1)象限角的判定方法①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 跟踪训练3 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．解 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S 1＝{α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z }，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S 2＝{α|α＝105°＋k ·180°，k ∈Z }，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k ·180°≤α<105°＋k ·180°，k ∈Z }．确定nα及αn所在的象限典例 已知α是第二象限角： (1)求角α2所在的象限；(2)求角2α所在的象限．解 (1)方法一 ∵α是第二象限角， ∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )． ∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z )． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得 n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得 n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 方法二 如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．(2)∵k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )． ∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．[素养提升] 分类讨论时要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．1．与－30°终边相同的角是( ) A ．－330° B ．150° C ．30° D ．330° 答案 D解析 因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k ·360°＋(－30°)，k ∈Z ，取k ＝1，得α＝330°.2．2 020°是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析 2 020°＝5×360°＋220°，所以2 020°角的终边与220°角的终边相同，为第三象限角．3．与－460°角终边相同的角可以表示成()A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z答案 C解析因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.4．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A．120°B．－120°C．－60°D．60°答案 B解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________．答案{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}解析观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．1．知识清单：(1)任意角的概念．(2)终边相同的角．(3)象限角、区域角的表示．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.1．(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是()A．160°B．480°C．－960°D．1 530°答案ABC解析160°是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．2．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案 C3．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°答案 B解析因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同．4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z }D ．{α|120°＋k ·360°≤α≤315°＋k ·360°，k ∈Z } 答案 C解析 如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z }．6．50°角的始边与x 轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________． 答案 －1 030°解析 顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°. 又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.7．与－2 020°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________． 答案 140° －220°解析 因为－2 020°＝－6×360°＋140°， 140°－360°＝－220°，所以最小正角为140°，最大负角为－220°.8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________． 答案 120°，300°解析 与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k ·180°，k ∈Z . ∵所求角在0°～360°范围内， ∴0°≤－60°＋k ·180°≤360°， 解得13≤k ≤73，k ∈Z ，∴k ＝1或2，当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°.9．已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解(1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．(2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．11．(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案AC解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α在第一或第三象限．12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α 答案 C解析 方法一 特例法，取α＝30°，可知C 正确．方法二 因为α是第一象限角，所以k ·360°<α<90°＋k ·360°(k ∈Z )，所以270°＋k ·360°<360°－α<360°＋k ·360°(k ∈Z )，故360°－α是第四象限角．13．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }答案 D解析 终边在坐标轴上的角大小为90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．14．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________. 答案 270°解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k ·360°＋α，k ∈Z ，得4α＝k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z ，又180°<α<360°，∴180°<k ·90°<360°，解得2<k <4，又k ∈Z ，∴k ＝3.∴当k ＝3时，α＝270°.15．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ⊆ND ．M ∩N ＝∅答案 C 解析 由题意得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ＝{}x | x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z ，即M 是由45°的奇数倍构成的集合，又N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }，即N 是由45°的整数倍构成的集合，∴M ⊆N .16．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解 由题意可知α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β为锐角，∴0°<α＋β<180°.取k ＝1，得α＋β＝80°，①α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β为锐角，∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°，②由①②得α＝15°，β＝65°.。

高中数学5.1 任意角和弧度制一、概述高中数学中，三角函数是一个重要内容。

而在学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念，比如任意角和弧度制。

本文将围绕着这两个概念展开讲解，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。

二、任意角的概念1. 任意角是指不限制在0°到360°之间的角。

在平面直角坐标系中，任意角可以被表示为一个终边落在坐标轴上的角。

这意味着任意角可以包括整个360°的范围。

2. 我们通常用θ来表示任意角，其实任意角可以被表示为θ＝360k ＋α，其中k是整数，α是小于360°的正角，它是唯一的。

三、弧度制的概念1. 弧度制是另一种角度的度量方式，它是以圆的半径长为单位进行度量的。

一个圆的全周长为2πr，所以一个圆的一周等于2π弧度。

2. 我们知道360°等于2π弧度，所以1°等于π/180弧度。

角度和弧度之间可以通过π进行转换。

3. 弧度制适合用于求解圆的性质问题，因为它更直接地与圆的半径有关，可以简化很多计算，并且更具有普适性。

四、任意角与弧度的转换1. 已知一个角的度数，求其对应的弧度。

我们可以根据1°等于π/180弧度的关系，进行计算转换。

30°对应的弧度是30°×π/180=π/6弧度。

2. 已知一个角的弧度，求其对应的度数。

同样可以根据π弧度等于180°进行转换计算。

π/3弧度对应的度数是π/3÷π×180°=60°。

五、扩展知识1. 在解决某些三角函数的问题时，可能会遇到弧度制和角度制混用的情况。

在这种情况下，我们需要先将角度统一转换为弧度，然后再进行计算。

2. 在高等数学中，弧度制被广泛应用于导数、积分和微分等计算中。

了解弧度制可以为后续高等数学的学习奠定坚实基础。

六、总结任意角和弧度制是高中数学中一个基础而重要的知识点，它为后续学习三角函数和高等数学打下了基础。

第五章三角函数5．1任意角和弧度制5．1.1任意角1．了解任意角的概念及角的分类．2．理解象限角的概念．3．理解终边相同的角的概念，并能熟练写出终边相同的角的集合表示．1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，射线OA，OP分别是角α的始边和终边．“角α”或“∠α”可以简记成“α”．(3)角的分类(4)相等角与相反角①设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.③设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.④角的减法可以转化为角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．温馨提示：对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接，如k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．1．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？[答案]不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°2．初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？[答案]不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当角的始边和终边确定后，这个角就确定了．()(2)－30°是第四象限角．()(3)钝角是第二象限的角．()(4)终边相同的角一定相等．()(5)第一象限的角是锐角．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)×题型一任意角的概念【典例1】下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[思路导引]对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．[详细分析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[答案]C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[针对训练]1．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．[详细分析] 由题意可知，时针按逆时针方向转了10×360°12×60＝5°，分针按逆时针方向转了10×360°60＝60°.[答案] 5° 60°题型二 终边相同的角的表示【典例2】 已知角α＝2020°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.[思路导引] 解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．[解] (1)由2020°除以360°，得商为5，余数为220°.∴取k ＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与2020°终边相同的角为k ·360°＋2020°(k ∈Z )．令－360°≤k ·360°＋2020°<720°(k ∈Z )，解得－6109180≤k <－31118(k ∈Z )．所以k ＝－6，－5，－4.将k 的值代入k ·360°＋2020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)求终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在0°～360°范围内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁．[针对训练]2．如图所示，求终边落在直线y＝3x上的角的集合．[解]终边落在射线y＝3x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.题型三象限角的判断【典例3】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[思路导引]作出图形，根据象限角的定义确定．[解]作出各角，其对应的终边如图所示．(1)由图①可知－75°是第四象限角．(2)由图②可知855°是第二象限角．(3)由图③可知－510°是第三象限角．象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角；(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．[针对训练]3．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．[详细分析]由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．[答案]一题型四 角αn ，nα(n ∈N *)所在象限的确定【典例4】 若α是第二象限角，则α2是第几象限的角？[思路导引] 已知角α是第几象限角，判断αn 所在象限，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论，考查角的终边位置．[解] ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )．解法一：①当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角；②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第三象限角．故α2是第一或第三象限角．解法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角．[变式] (1)若本例条件不变，求角2α的终边的位置．(2)若本例中的α改为第一象限角，则2α，α2分别是第几象限角？[解] (1)∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．(2)因为α是第一象限角，所以k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z .所以2k ·360°<2α<180°＋2k ·360°，k ∈Z .所以2α是第一或第二象限角，或是终边落在y 轴的正半轴上的角．同理，k ·180°<α2<45°＋k ·180°，k ∈Z .当k 为偶数时，α2为第一象限角，当k 为奇数时，α2为第三象限角．分角、倍角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定αn 终边所在的象限用分类讨论法，要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．(2)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．[针对训练]4．已知α是第一象限角，则角α3的终边可能落在________．(填写所有正确的序号)①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限[详细分析] ∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，∴k 3·360°<α3<k 3·360°＋30°，k ∈Z .当k ＝3m ，m ∈Z 时，m ·360°<α3<m ·360°＋30°，∴角α3的终边落在第一象限．当k ＝3m ＋1，m ∈Z 时，m ·360°＋120°<α3<m ·360°＋150°，∴角α3的终边落在第二象限．当k ＝3m ＋2，m ∈Z 时，m ·360°＋240°<α3<m ·360°＋270°，∴角α3的终边落在第三象限，故选①②③.[答案] ①②③课堂归纳小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．3．已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的一个角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k ·360°，得到所求.1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角一定是第一、二象限角B ．钝角不一定是第二象限角C ．终边与始边重合的角是零角D ．钟表的时针旋转而成的角是负角[详细分析] A 错，若一内角为90°，则不属于任何象限；B 错，钝角一定是第二象限角；C 错，若角的终边作了旋转，则不是零角；D 对．[答案] D2．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[详细分析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，故－215°也是第二象限角，选B.[答案] B3．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限[详细分析] 由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°，k ∈Z .当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．[答案] D4．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________．[详细分析] 因为－885°÷360°＝－3…195°，且0°≤α<360°，所以k ＝－3，α＝195°，故－885°＝195°＋(－3)·360°.[答案] 195°＋(－3)·360°5．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？[解] (1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72.又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴满足条件的角共有8个．课后作业(三十七)复习巩固一、选择题1．下列是第三象限角的是( )A ．－110°B ．－210°C ．80°D ．－13°[详细分析]－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.[答案]A2．与600°角终边相同的角可表示为()A．k·360°＋220°(k∈Z)B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z)D．k·360°＋260°(k∈Z)[详细分析]与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.[答案]B3．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A．B C A B．B A CC．D(A∩C)D．C∩D＝B[详细分析]显然第一象限角不是都小于90°，且小于90°的角不都在第一象限，故A，B错；0°不属于任何象限，故C错；锐角为小于90°而大于0°的角，∴C∩D＝B，选D.[答案]D4．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}[详细分析]因为直线y＝－x为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k·360°－45°＝2k·180°－45°，k∈Z；终边落到第二象限可表示为k·360°－180°－45°＝(2k－1)·180°－45°，k∈Z，综上可得终边在直线y＝－x上的所有角的集合为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．[答案]D5．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个[详细分析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．[答案]D二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．[详细分析]顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1080°，又50°＋(－1080°)＝－1030°，故所得的角为－1030°.[答案]－1030°7．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．[详细分析]设与角α终边相同的角为β，则β＝－3000°＋k·360°，k∈Z，又因为β为最小正角，故取k＝9，则β＝－3000°＋360°×9＝240°.[答案]240°8．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是______________________．[详细分析]因为α与β的终边在一条直线上，所以α与β相差180°的整数倍．[答案]α＝β＋k·180°，k∈Z三、解答题9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.[解](1)∵－120°＝240°－360°，∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．(2)∵660°＝300°＋360°，∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角．(3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°，∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角．10．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．综合运用11．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在()A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴[详细分析]∵角α，β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)，∴α－β＝k·360°(k∈Z)，故α－β的终边在x轴的非负半轴上．[答案]A12．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四角限角[详细分析]由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n ∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案]C13．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称，则角α＝____________________.[详细分析]－690°＝－720°＋30°，则角α的终边与30°角的终边关于y 轴对称，而与30°角的终边关于y 轴对称的角可取150°，故α＝k ·360°＋150°，k ∈Z .[答案] k ·360°＋150°，k ∈Z14．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.[详细分析] ∵α与120°角终边相同，故有α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k ·360°＋120°<－630°，即－1110°<k ·360°<－750°.当k ＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.[答案] －960°15．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．[解] 由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k ＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴⎩⎨⎧0°<α<90°－90°<－β<0°， ∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.。

【课题】5. 1. 1 任意角的概念
授课时间授课时数课型【教学目标】
知识目标：
⑴了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵理解任意角、象限角、界限角的概念．
能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）培养观察能力和计算技能．
【教学重点】
任意角、象限角、界限角的概念．
【教学难点】
任意角、象限角、界限角的概念的理解．
【学情分析】
【教学方法】
【教学设计】
（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；
（2）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（3）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
1课时．(45分钟)
【教学过程】
0°
（1）（2）
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．
运用知识强化练习
教材练习5.1.1
．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：
⑴ 60°；⑵−210°；⑶225°；⑷−300°．
归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
自我反思目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
教学后记板书设计。