人教版数学八年级上册专题训练13.1 轴对称

课后训练基础巩固1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是()．2．下列说法中错误的是()．A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等C．全等的三角形一定关于某条直线对称D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B 的度数为()．A．48°B．54°C．74°D．78°4．从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是，则该编码实际上是__________．5．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________．能力提升6．我国的文字非常讲究对称美，分析如图四个图案，图案________有别于其余三个图案()．7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图是()．8．(创新应用题)如图，把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量的存在这种图形变换(如图甲)．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对．．．称变换．．．过程中，两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()．A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行9.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点F，E，连接EF 交OA于N，交OB于M，EF＝15，求△PMN的周长．10．如图，将一张正六边形纸沿虚线对折3次，得到一个多层的60°角的三角形纸．用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线．(1)猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？(2)这个图形有几条对称轴？(3)如果想得到一个含有五条对称轴的图形，你应该取什么形状的纸？应该如何折叠？11．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．参考答案1．A点拨：只有A图沿中间竖直的一条直线折叠，左右两边能够重合，故选A.2．C点拨：虽然关于某条直线对称的两三角形全等，但全等的两三角形不一定关于某条直线对称，因而选C.3．B点拨：因为关于某直线对称的两图形全等，所以∠A＝∠A′＝78°，∠C′＝∠C＝48°，所以∠B＝54°，故选B.4．BA629点拨：假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到BA629，或将此图案从反面观察，也可得到BA629.5．6点拨：由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BE＋BD－DE＝12①，由△EDC的周长为24可知CE＋CD＋DE＝24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BE＝CE，BD＝CD，所以BE＋BD＋DE＝24②，②－①，得2DE＝12，所以DE＝6.6．D点拨：都是轴对称图形，但图案D有两条对称轴，其余三个图案都只有一条对称轴．7．D点拨：解决此类问题的基本方法是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”，从所给的最后图形作轴对称，题目折叠几次，就作几次轴对称，沿两条对角线所在直线画对称轴，只有D适合，故选D.8．B点拨：因为对称且平移，所以原有的性质已有变化，A、C、D都已不成立，只有B选项正确，故选B.9．解：∵点P与点E关于OB轴对称，∴CE＝CP，MC⊥PE.∴∠MCE＝∠MCP＝90°.在△MCE和△MCP中，∵,,,CE CPMCE MCP CM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MCE≌△MCP.∴MP＝ME，同理NP＝NF.∴MP＋MN＋NP＝ME＋MN＋NF＝EF＝15，即△PMN的周长是15.10．解：(1)轴对称图形．(2)至少有3条对称轴．(3)取一张正十边形的纸，沿它的通过中心的五条对角线折叠5次，得到一个多层的36°角的图形，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开就可以得到一个至少含五条对称轴的图形．11．解：DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，∴BE＝AE，CG＝AG.∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7.答：△AEG的周长为7.。

人教版八年级上册第十三章轴对称 13.1 轴对称同步练习题1.粗圆体的汉字“口、天、土”等都是轴对称图形.请再写出至少三个以上这样的汉字: .2.如图,∠A=30°,∠C'=60°,△ABC与△A’B'C'关于直线l对称,则∠B= .3.如图所示,该图形的对称轴条数为( )A.4B.6C.8D.104.如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有种.5.如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论中不一定成立的是( )A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC6.点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,则PB= .7.锐角△ABC内的一点P满足PA=PB=PC,则点P是△ABC的( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高线的交点D.三边垂直平分线的交点8.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB 的长为半径画弧,两弧相交于点M,N, 作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为( )A.7B.14C.17D.209.我国传统的木房屋窗子常用各种图案装饰,如图是一种常见图案,这个图案有条对称轴.10.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,连接CD,BE交于点F.求证:BE是CD的垂直平分线.11. 如图所示,AB-AC=2cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14cm, 求AB和AC的长.答案：1. 答案不唯一，如中、十、品等2. 90°3. B4. 35. C6. 77. D8. C9. 210. 证明:∵DE⊥AB,∴∠BDE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACB=90°.在Rt△BCE和Rt△BDE中,错误！未找到引用源。

13.1轴对称知识要点：1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．2.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．4.判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．一、单选题1．如图所示，哪一个选项中的左边图形与右边图形成轴对称( )A．B．C．D．【答案】C2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )A．圆B．正方形C．三角形D．线段【答案】C3．下列选项中的图形均为正多边形，其中恰有4条对称轴的是( )A．B．C．D．【答案】B4．如果一个三角形有三条对称轴，那么它一定是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】A5．如图，是由四个四条边都相等的四边形组成的商标图案，在图中用虚线画出的6条直线中，是这个图案的对称轴的直线是( )A．①①①①①①B．①①C．①①①D．①①①【答案】B6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在①A，①B两内角平分线的交点处【答案】C7．如图，已知直角三角形ABC中，①ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED①CB 于D，则下列结论中不一定成立的是（）A．AE=BE B．CE=12AB C．①CEB=2①A D．AC=12AB【答案】D8．已知①ABC与①A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交直线MN于点O，则（）A．点O是BC的中点B．点O是B1C1的中点C．线段OA与OA1关于直线MN对称D．以上都不对【答案】C9．如图，在3×2的正方形网格中，已有两个小正方形被涂上了阴影，再将图中其余小正方形任意一个涂上阴影，使整个阴影部分构成一个轴对称图形的涂法有()A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C10．下列图形中,轴对称图形的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B11．如图，①ABC中，AD①BC于点D，且BD=DC，E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上．有下列结论：①AB=AC=CE；①AB+BD=DE；①AD=12AE；①BD=DC=CE．其中，正确的结论是（）A．只有①B．只有①②C．只有①②③D．只有①④【答案】B12．如图，在①ABC中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若①ADC的周长为7cm，AC=2cm，则BC的长为（）cm．A．4B．5C．3D．以上答案都不对【答案】B13．如图,在①ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于12AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;①作直线MN交BC于点D,连接AD.若AD=AC,①B=25°,则①C=( )A．70°B．60°C．50°D．40°【答案】C14．如图，在①ABC中，①C＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若AB＝13，AC＝5，则①ACD的周长为( )A．18B．17C．20D．25【答案】B二、填空题15．如图，在①ABC中，①C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若①CBD : ①DBA ＝3:1，则①A的度数为________．【答案】18°16．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人在如图23－6－9所示的藏宝图中找到了两个标志点A(2，3)，B(4，1)，A，B两点到“宝藏”点的距离相等，则“宝藏”点的可能坐标是________(填一个即可)．【答案】如(0，－1)或(1，0)或(2，1)或(3，2)或(4，3)或(5，4)或(6，5)等17．如图所示，不是轴对称图形的有_____(只写序号)．【答案】⑥⑥⑥18．如图，①ABC与①DEF关于直线l对称，若①C＝40°，①B＝80°，则①F＝______．【答案】40°19．①ABC与①A′B′C′关于直线l对称，如果①ABC的周长为38cm，①A′B′C′的面积为55 cm2，那么①A′B′C′的周长为__________cm，①ABC的面积为__________cm2.【答案】38 55三、解答题20．如图：AD为①ABC的高，①B=2①C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD．证明：在CD上取一点E使DE=BD，连接AE.⑥BD=DE，且⑥AED为⑥AEC的外角，⑥B=2⑥C，⑥⑥B=⑥AED=⑥C+⑥EAC=2⑥C，⑥⑥EAC=⑥C，⑥AE=EC；则CD=DE+EC=AB+BD.21．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格：根据上表，猜想正n边形有________条对称轴．解：如图．故表格中依次填3，4，5，6，7；猜想正n边形有n条对称轴．22．如图，在Rt①ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且①APM＝①A.求证：点M在BN的垂直平分线上．证明：⑥⑥B＋⑥A＝90°，⑥N＋⑥CPN＝90°，又⑥⑥CPN＝⑥MPA＝⑥A，⑥⑥B＝⑥N，⑥BM＝MN，⑥点M在BN的垂直平分线上．23．如图，在四边形ABCD中，AC①BD于点E，BE＝DE，已知AC＝10 cm，BD＝8 cm，求阴影部分的面积．⑥AC⑥BD ，BE ＝DE ，⑥点B ，D 关于直线AC 对称，又⑥点E 在AC 上，⑥⑥BEF 与⑥DEF 关于直线AC 对称， ⑥⑥BEF⑥⑥DEF ，⑥S 阴影＝S ⑥ABC ，又⑥BD ＝8，⑥BE ＝4，⑥S ⑥ABC ＝12AC·BE ＝12×10×4＝20(cm 2)24．ABC V 在平面直角坐标系中的位置如图所示． ()1在图中画出ABC V 与关于y 轴对称的图形111A B C V ，并写出顶点1A 、1B 、1C 的坐标；()2若将线段11A C 平移后得到线段22A C ，且()()2222A a C b ，，，-，求a b +的值．解：（1）如图所示：A1（2，3）、B1（3，2）、C1（1，1）．（2）⑥A1（2，3）、C1（1，1），A2（a，2），C2（-2，b）．⑥将线段A1C1向下平移了1个单位，向左平移了3个单位．⑥a=-1，b=0．⑥a+b=-1+0=-1。

人教版八年级数学上册第十三章轴对称经典题型专项练习题型1：对轴对称图形的认识【例1】如图,在由小正方形组成的L形图中,请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.题型2：轴对称图形的对称轴【例2】找出图中的轴对称图形,并说出有几条对称轴.题型3：有关轴对称图形及轴对称的性质应用【例3】如图,△ABC与△A'B'C' 关于直线l对称,则∠B的度数为( )A.30°B.50°C.90°D.100°题型4：线段垂直平分线的性质应用【例4】如图(1),有分别过A,B两个加油站的公路l1,l2,l1,l2相交于点O,现准备在∠AOB内建一个油库,要求油库的位置点P满足到A,B两个加油站的距离相等,而且P到两个公路l1,l2的距离也相等.请用尺规作图,作出点P.(不写作法,保留作图痕迹)(1) 题型5：利用线段垂直平分线的性质及判定解题【例5】如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP题型6：作图形的对称轴【例6】如图,已知线段AB和线段A'B'关于某条直线对称,请你画出这条对称轴.题型7：利用作对称轴解决实际问题【例7】如图,校园内有两条路OA、OB,在交叉口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由.题型8：利用作图形的轴对称图形补全图形【例8】如图,把下列图形补成关于直线l对称的图形.题型9：利用轴对称图形的性质割补图形【例9】请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形(至少4块),然后将它们重新组合,拼成不同形状的轴对称图形.题型10：坐标系中的轴对称变换【例10】在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:①f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);②g(m,n)=(-m,-n) ,如g(2,1)=(-2,-1).按照以上变换有:f=f=,那么g等于( )A.(3,2)B.(3,-2)C.(-3,2)D.(-3,-2)题型11：在坐标系中利用轴对称解决问题A(a,b)和点3a+3c+的值：利用三角形的性质解决实际问题A C(1)BC=AD;(2)△题型16：等边三角形的边角计算【例16】如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为( )A. B. C. D.不能确定题型17：利用等边三角形证线段和差【例17】如图,在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60°,E是AD上的一点,且DE=DB.求证:AE=BE+BC.(1) (2) (3)题型18：含30°角的直角三角形的边角关系【例18】如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.(1)求证:AD=BE.(2)求AD的长.题型19：特殊直角三角形性质的实际应用【例19】如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发,小岛P在轮船的北偏西15°方向,轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处,小岛P此时在轮船的北偏西30°方向.(1)求PB的距离;(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.题型20：解决实际生活中的最短路径问题【例20】如图,在河岸l的同侧有亚运村A和奥运村B,现计划在河边修建一座小型休闲中心P,使P到两村的距离之和最短;另在河两岸架起一座桥Q,使Q与A、B两村的距离相等,试画出P、Q 所在的位置.人教版八年级数学上册经典题型汇编第十三章轴对称题型1：对轴对称图形的认识【例1】如图,在由小正方形组成的L形图中,请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.解:根据图中三个图形的特征,利用轴对称的知识可以得到如图13.1-14所示的补充后的轴对称图形.点拨:本题不同于直接作出一个图形的轴对称图形,而是需要先找准对称轴,然后才能把轴对称图形补充完整.题型2：轴对称图形的对称轴【例2】找出图中的轴对称图形,并说出有几条对称轴.点拨:轴对称图形的特征是将该图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.因此,判定一个图形是不是轴对称图形的关键是看能否找到一条直线,使得沿此直线折叠时,直线两侧的部分能够重合.解:(1)是轴对称图形,有3条对称轴;(2)是轴对称图形,有5条对称轴;(3)是轴对称图形,有4条对称轴;(4)是轴对称图形,有1条对称轴;(5)是轴对称图形,有2条对称轴;(6)不是轴对称图形;(7)是轴对称图形,有1条对称轴;(8)是轴对称图形,有1条对称轴;(9)、(10)都不是轴对称图形.题型3：有关轴对称图形及轴对称的性质应用【例3】如图,△ABC与△A'B'C' 关于直线l对称,则∠B的度数为( )A.30°B.50°C.90°D.100°答案:D点拨:根据轴对称的定义可知,两个图形成轴对称,则它们是全等图形,从而对应元素相等.题型4：线段垂直平分线的性质应用【例4】如图(1),有分别过A,B两个加油站的公路l1,l2,l1,l2相交于点O,现准备在∠AOB内建一个油库,要求油库的位置点P满足到A,B两个加油站的距离相等,而且P到两个公路l1,l2的距离也相等.请用尺规作图,作出点P.(不写作法,保留作图痕迹)解:作出的点P如图(2)所示.(1) (2)点拨：到两点距离相等的点,在这两点所连线段的垂直平分线上.在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.这两条线的交点就是加油站的位置.题型5：利用线段垂直平分线的性质及判定解题【例5】如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP答案:D点拨：∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴在△AOP与△BOP中,∴△AOP≌△BOP,∴结论A,B,C均正确,故选D.题型6：作图形的对称轴【例6】如图,已知线段AB和线段A'B'关于某条直线对称,请你画出这条对称轴.解:如图所示:点拨:连接AA'或BB'作它们的线段垂直平分线,就是对称轴所在直线.题型7：利用作对称轴解决实际问题【例7】如图,校园内有两条路OA、OB,在交叉口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由.解:到∠AOB两边距离相等的点在这个角的平分线上,而到宣传牌C、D的距离相等的点则在线段CD的垂直平分线上,于是如图,交点P即为所求.点拨:本题根据角的平分线和线段的垂直平分线的性质作图即可.题型8：利用作图形的轴对称图形补全图形【例8】如图,把下列图形补成关于直线l对称的图形.解:如图:点拨:该图形均由线段构成,可以利用找特殊点(端点)的对称点的方法画轴对称图形,要注意图(2)中图形被直线l穿过的情况.题型9：利用轴对称图形的性质割补图形【例9】请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形(至少4块),然后将它们重新组合,拼成不同形状的轴对称图形.解:答案不唯一,如图:点拨:根据轴对称图形的性质,先分割,再验证,最后确定分法.题型10：坐标系中的轴对称变换【例10】在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:①f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);②g(m,n)=(-m,-n) ,如g(2,1)=(-2,-1).按照以上变换有:f=f=,那么g等于( )A.(3,2)B.(3,-2)C.(-3,2)D.(-3,-2)解:由题意可得f(-3,2)=(-3,-2),从而g[f(-3,2)]=g(-3,-2)=(3,2),故选A.点拨：本题定义了两种变换,只要正确理解给出的定义,其中f(m,n)表示将一个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的相反数,g(m,n)表示将一个点的横坐标与纵坐标均变为原来的相反数,从而模仿套写即可.题型11：在坐标系中利用轴对称解决问题【例11】已知点A(a,b)和点B(c,d)关于y轴对称,试求3a+3c+的值.解:∵　点A(a,b)和点B(c,d)关于y轴对称,∴　a+c=0,b=d.∴　3a+3c+=3+=0+2=2.点拨:两点关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标相等.题型12：在等腰三角形中求边的长度【例12】已知等腰三角形的底边长为10,周长不大于40,求腰长的取值范围.解:设腰长为x.∵　等腰三角形两腰相等,∴　2x+10≤40.∴　x≤15.又　底边长为10,两边之和要大于第三边,∴　x+x>10.∴　x>5.∴　腰长的取值范围是5<x≤15.点拨:由等腰三角形的周长不大于40和三角形的两边之和大于第三边可确定两个不等式,腰长的取值范围就是这两个不等式的公共解.题型13：利用等腰三角形的性质求角的度数【例13】如图,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°.则∠B的度数是( )A.40°B.35°C.25°D.20°点拨：法一:∵AC=AD,∠DAC=80°,∴∠A DC=∠ABD,∴∠ABD=25°,故选C.法二:设ABD=x°,∵∵AC=AD,ACD=∠∵∠2x+2x+80=180.C.欲求三角形中的某个内角可从已知条件出发也可利用方程思想设所求的角的度数为再执果索因A C(1)BC=AD;(2)△∵　AC⊥BC,BD⊥AD,B DA(HL) .∴　BC=AD.(2)由△ACB≌Rt△BDA得∠CAB=∠DBA,∴　△OAB是等腰三角形.点拨:(1)证△ACB≌Rt△BDA ,根据全等三角形的对应边相等可得;(2)证∠OAB=∠OB A,根据等角对等边可得.题型16：等边三角形的边角计算【例16】如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为( )A. B. C. D.不能确定答案:B点拨：如图所示,作PF∥BC交AC于F,∵△ABC是等边三角形,∴∠APF=∠ABC=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∴△APF是等边三角形,∴AP=PF,∵PA=CQ,∴PF=CQ.在△DPF和△DQC中,∴△DPF≌△DQC,∴DF=DC,∵PE⊥AC,∴E是AF中点,从而ED=AC=,故选B.因为本题中DE与等边三角形ABC的边长之间无直接联系,所以通过分割,将其分成两部分后,分别证DF=DC和EF=EA,从而求之.题型17：利用等边三角形证线段和差【例17】如图,在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60°,E是AD上的一点,且DE=DB.求证:AE=BE+BC.(1) (2) (3)证明：证法一:如图(1),延长DC到F,使CF=BD,连接AF,∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,∴BE=DB.∴BE=CF.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACF.∵BD=CF,∴△ABD≌△ACF.∴∠F=∠D=60°,∴△ADF是等边三角形,∴AD=DF,∴AD-DE=DF-DB,即AE=BF,∴AE=BC+CF=BC+BE.证法二:如图(2),延长EB到P,使BP=BC,连接AP,CP.∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,∴∠CBP=∠DBE=60°,∴△BPC为等边三角形,∴BP=PC.∵AB=AC,AP=AP,∴△BAP≌△CAP,∴∠BPA=∠CPA,∵∠PCB=∠D=60°,∴PC∥AD,∴∠CPA=∠EAP,∴∠EAP=∠BPA,∴AE=EP=BE+BC.证法三:如图(3),过C作CM∥BE,交AD于M.∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,∴∠DBE=60°.∵CM∥BE,∴∠MCD=∠DBE=60°,∠DMC=∠DEB=60°,∴△DCM为等边三角形,∴CD=MD,∴CD-DB=DM-DE,即BC=EM.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠D+∠DAB=∠DCM+∠MCA.∵∠D=∠MCD=60°,∴∠DAB=∠MCA.∵MC∥BE,∴∠CMA=∠AEB,∴△ABE≌△CAM.∴AM=BE,∴AE=AM+EM=BE+BC.点拨：欲证一线段等于另两线段之和,可利用“截长补短”之法.本题条件蕴含着等边三角形,所以有相等的边与角,从而有全等的三角形,由此得证.题型18：含30°角的直角三角形的边角关系【例18】如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.(1)求证:AD=BE.(2)求AD的长.解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠B AC=∠C=60°,AB=AC.又AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS),∴BE=AD.(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°,又∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°,∴PB=2PQ=6,∴BE=PB+PE=7,∴AD=BE=7.点拨：因为等边三角形的三条边都相等,三个角都等于60°,所以在等边三角形中容易找到全等三角形,本题第(1)题就是通过全等三角形证两线段相等;在第(1)题的基础上,可求得∠BPQ的度数,从而联想直角三角形中含30°角的性质求得PB之长,再求AD的长.题型19：特殊直角三角形性质的实际应用【例19】如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发,小岛P在轮船的北偏西15°方向,轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处,小岛P此时在轮船的北偏西30°方向.(1)求PB的距离;(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.解:(1)过点P作PE⊥AB,垂足为E,由题意,得∠PAB=15°,∠PBC=30°.∴　∠BPA=∠PBC-∠A=15°.∴　BP=BA.又AB=3×15=45海里,∴　BP=45海里.(2)∵　PE⊥AB,∠PBC=30°,∴　PE=BP=22.5海里,∵　22.5海里>20海里,∴　如果轮船不改变方向继续向前航行,不会有触礁危险.点拨:过点P作PE垂直于AB的延长线,垂足为E,根据三角形的外角可知∠BPA=∠A,使得BP=AB,所以可以求出BP的距离;在(2)中,只要求出PE的长即可,可以根据直角三角形中30°角的性质解决.题型20：解决实际生活中的最短路径问题【例20】如图,在河岸l的同侧有亚运村A和奥运村B,现计划在河边修建一座小型休闲中心P,使P到两村的距离之和最短;另在河两岸架起一座桥Q,使Q与A、B两村的距离相等,试画出P、Q 所在的位置.解:如图.(1)作点B关于直线l的对称点B';(2)连接AB',交直线l于点P,则点P就是所求的小型休闲中心的位置;(3)连接AB;(4)作线段AB的垂直平分线,交直线l于点Q,则点Q就是所求的桥的位置.点拨:要使点P到两村的距离最短,可知点P一定是点B关于河岸l的对称点B'和点A的连线与河岸l的交点;点Q与A、B两村的距离相等,则表明点Q在线段AB的垂直平分线上.。

13.1.1轴对称一、选择题。

1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．2．如图，ABC 和A B C '''关于直线l 对称．若45,30A C ∠=︒∠='︒，则B ∠的度数为（ ）A ．35︒B ．55︒C ．95︒D ．105︒3.一平面镜与水平面成45°角并被固定在水平面上，如图所示，一个小球以1 cm/s 的速度沿桌面向点 O 匀速滚去，则小球在平面镜中的像是 ( )A.以1 cm/s 的速度，竖直向下运动B.以1 cm/s 的速度，竖直向上运动C.以2cm/s 的速度运动，且运动路线与地面成45°角D.以2cm/s 的速度，竖直向下运动4．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 是AB 边上两点，且CE 垂直平分AD ，CD 平分∠BCE ，AC ＝6cm ，则BD 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm 5．如图所示，在长方形纸片ABCD 中，点M 为AD 边上的一点，将纸片沿BM ，CM 折叠，使点A 落在A 1处，点D 落在D 1处．若∠1=30°，则∠BMC 的度数为（ ）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°6．如图，点O 为ABC ∠内部一点，且2OB =，E 、F 分别为点O 关于射线BA ，射线BC 的对称点．当90ABC ∠=︒时，则EF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107.如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列说法错误的是( )A.AM ＝BMB.AP ＝BNC.∠MAP ＝∠MBPD.∠ANM ＝∠BNM二、填空题。

1．如图，把一张长方形的纸片ABCD 沿EF 折叠，若'40AED ∠=︒，则DEF ∠的度数为 ．2．如图，△ABD 和△ACD 关于直线AD 对称，若S △ABC ＝10，则图中阴影部分的面积为 ．3.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,动点P 在边AB 上运动(不与端点重合),点 P 关于直线 AC,BC 对称的点分别为 P ₁，P ₂，则在点 P 的运动过程中，线段 P ₁P ₂ 的长的最小值是 .4.如图，在中，，，，垂足为D ，与关于直线AD 对称，点B 的对称点是点，则的度数为____．5．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使顶点C ，D 分别落在点C '、D 处，C E '交AF 于点G ，若64CEF ∠=︒，则GFD '∠=_____________.6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 边上，将CBD △沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若27A ∠=︒，则CDE ∠= ．7.如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF.若AB ＝1，BC ＝2，则△ABE 和△BC ′F 的周长之和是 .三、解答题。

第十三章轴对称13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．【2012·连云港】下列图案是轴对称图形的是（）2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3D．18．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．9．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．状元笔记【知识要点】1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；【温馨提示】1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．参考答案:1．D 解析：∵将D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D图形是轴对称图形，故选D．2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3．如图所示：4．A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ABC和△ADE关于直线l对称，则△ABC≌△ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A．5．解：根据题意A点和E点关于BD对称，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．B点、C点关于DE对称，有∠DBE=∠BCD，∠ABC=2∠BCD．且已知∠A=90°，故∠ABC+∠BCD=90°．故∠ABC=60°，∠C=30°．6．解：（1）对称点有A和A'，B和B'，C和C'．（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．7．B 解析：在Rt△FDB中，∵∠F＝30°，∴∠B＝60°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°．在Rt△AED中，∵∠A＝30°，DE＝1，∴AE＝2．连接EB. ∵DE 是AB的垂直平分线，∴EB＝AE＝2. ∴∠EBD＝∠A＝30°．∵∠ABC＝60°，∴∠EBC＝30°．∵∠F＝30°，∴EF＝EB＝2．故选B．AF ED8．8 解析：∵DF是AB的垂直平分线，∴DB=DA．∵EG是AC的垂直平分线，∴EC=EA．∵BC=8，∴△ADE的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8．9．解：AB+BD=DE．证明：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．∴AB=CE．∴AB+BD=CE+DC=DE．10．C 解析：关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5．解得1.5＜a＜2.5，又因为a必须为整数，∴a=2．∴点P2（－1，－1）．∴P1点的坐标是（－1，1）．12.3 角的平分线的性质专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21BAC B∠∠，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB∶∶于点E，AC=3 cm，求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线， ∴BAD CAD =∠∠． 在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥． 2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ． 3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°， 又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°， 又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ， ∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BED AED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ）， ∴3BE AE == cm ．4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处 角平分线上的点到角两边的距离相等 6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．。

人教版八年级上册数学13.1.1轴对称一、单选题 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．2．如图，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕与BC 交于点D ，则AD 是△ABC 的（ ）A ．中线B ．高线C ．角平分线D ．任一条线段3.如图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线 l 对称，若∠A ＝50°，∠C ′＝30°， 则∠B 的度数为（ ）A ．30°B ．50°C ．90°D ．1004．如图，把ABC 纸片沿EG 折叠，当点A 落在ABC 外部的点F 处，此时测得2104∠=︒，30A ∠=︒，则1∠的度数为（ ）A ．40︒B ．44︒C ．46︒D ．48︒5．如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于（ ）A ．45°B ．60°C ．30°D ．不能确定6．如图，线段AB 与A B ''（AB A B ''=）不关于直线l 成轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图所示，在长方形纸片ABCD 中，点M 为AD 边上的一点，将纸片沿BM ，CM 折叠，使点A 落在A 1处，点D 落在D 1处．若∠1=30°，则∠BMC 的度数为（ ）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题1．如图，将长方形ABCD 沿线段EF 折叠到EB C F ''的位置，若100EFC ∠=︒，则DFC '∠的度数为_______．2．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使顶点C ，D 分别落在点C '、D 处，CE '交AF 于点G ，若64CEF ∠=︒，则GFD '∠=_____________.3．如图，点N 是四边形ABCD 的DC 边上一点，沿BN 折叠四边形，使点C 落在边AD 上的点M 处，再沿BM ，NM 折叠这个四边形，若点A ，D 恰好同时落在BN 上的点P 处．（1）AB 与CD 的位置关系是________；（2）MBN ∠=________︒．4如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，将长方形纸片沿着EF 折叠，点A 落在点G 处，EG 交CD 于点H ．若BEH ∠比AEF ∠的4倍多12°，则CHG ∠=______°．5．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠成图3，若图3中108CFE ∠=︒，则图1中的DEF ∠的度数是 ．三、解答题1. 小明同学学习了轴对称后，忽然想起了做过的一道题：如图，有一组数排列成方阵，试计算这组数的和．小明想方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到非常巧妙的方法，你也能试试看吗？2．两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形，它们仍旧是轴对称图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么特点。

13.1轴对称13.1.1 轴对称一、选择题（共8小题）1．下列各图，不是轴对称图形的是（）A．B．]C．D．2．下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（）A．上海自来水来自海上B．有志者事竞成C．清水池里池水清D．蜜蜂酿蜂蜜3．下列说法错误的是（）A．等边三角形有3条对称轴B．正方形有4条对称轴C．角的对称轴有2条D．圆有无数条对称轴4．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（）A．形状没有改变，大小没有改变B．形状没有改变，大小有改变C．形状有改变，大小没有改变D．形状有改变，大小有改变5．观察图形…并判断照此规律从左到右第四个图形是（）A．B．C．D．6．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）第5题图第6题图第7题图7．如图，两个三角形关于某条直线成轴对称，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分 D．对应点连线互相平行A．B．C．D．二、填空题（共10小题）9．2011年11月2日，即20111102，正好前后对称，因而被称为“完美对称日”，请你写出本世纪的一个“完美对称日”：_________ ．10．写出一个至少具有2条对称轴的图形名称_________ ．11．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形可以是_________ （填出所有符合要求的小正方形的标号）12．在轴对称图形中，对应点的连线段被_________ 垂直平分．13．下列图形中，一定是轴对称图形的有_________ ；（填序号）（1）线段（2）三角形（3）圆（4）正方形（5）梯形．14．如图是汽车牌照在水中的倒影，则该车牌照上的数字是_________ ．15．（2009•綦江县）请同学们写出两个具有轴对称性的汉字_________ ．16．如图，国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2又与_________ 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上）第11题图第14题图第16题图17．如图，长方形ABCD中，长BC=a，宽AB=b，（b＜a＜2b），四边形ABEH和四边形ECGF都是正方形．当a、b满足的等量关系是_________ 时，图形是一个轴对称图形．18．请利用轴对称性，在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形：三、解答题（共5小题）19．判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．20．如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．21．如图，l是该轴对称图形的对称轴．（1）试写出图中二组对应相等的线段：_________ ；（2）试写出二组对应相等的角：_________ ；（3）线段AB、CD都被直线l _________ ．22．如图是由两个等边三角形（不全等）组成的图形．请你移动其中的一个三角形，使它与另一个三角形组成轴对称图形，并且所构成的图形有尽可能多的对称轴．画出你所构成的图形，它有几条对称轴？23．有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：22，131，1991，123321，…，像这样的数，我们叫它“回文数”．回文数实际上是由左右排列对称的自然数构成的，有趣的是，当你遇到一个普通的数（两位以上），经过一定的计算，可以变成“回文数”，办法很简单：只要将这个数加上它的逆序数就可以了，若一次不成功，反复进行下去，一定能得到一个回文数，比如：①132+231=363②7299+9927=17226，17226+62271=79497，成功了！（1）你能用上述方法，将下列各数“变”成回文数吗？①237 ②362（2）请写出一个四位数，并用上述方法将它变成回文数．13.1.1 轴对称一、选择题（共8小题）1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．B 8．D二．填空题（共10小题）9．20011002，20100102（答案不唯一）；10．矩形；11．2，3，4，5，7 12．对称轴；13．（1）（3）（4）；14．21678．；15．甲、由、中、田、日等．；16．1，3，7；17．；18.三．解答题（共5小题）19．解：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．则（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；（2）（4）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（8）有1条对称轴；（10）有2条对称轴．20．解：相等的线段：AB=AE，CB=DE，CF=DF；相等的角：∠B=∠E，∠C=∠D，∠BAF=∠EAF，∠AFD=∠AFC．21．（1）AC=BD，AE=BE，CF=DF，AO=BO；（2）∠BAC=∠ABD，∠ACD=∠BDC；（3）垂直平分．22．解：如图，小正三角形再大正三角形的内部，该图形有3条对称轴．23．解：（1）①237+732=969，②362+263=625，（2）1151+1511=2662；。

线段的垂直平分线的性质
第2课时作轴对称图形的对称轴
中档题
1．如图，AB＝AC，DB＝DC.请你用无刻度的直尺作出它的对称轴．
2．如图，AO，OB是两条笔直的穿插公路，M，N是两个村庄，现准备建一个联通信号塔，要求信号塔到两个村庄的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，同时在∠AOB所在区域内．那么信号塔应修在什么位置？在图中标出塔的位置．
综合题
3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
(1)画出直线EF；
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
参考答案
1.图略
2.∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点即为塔的位置，图略．
3.(1)图略．
(2)∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，∴∠BOM＝∠B′OM.
又∵△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，∴∠B′OE＝∠B″OE.
∴∠BOB″＝∠BOM＋∠B′OM＋∠B′OE＋∠B″OE＝2(∠B′OM＋∠B′OE)＝2α，即∠BOB″＝2α.。

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第十三章轴对称13。

1__轴对称__13．1.1 轴对称［学生用书P41］1．[2016·北京］甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（)A B C D2．下列表情图中,属于轴对称图形的是( )A B C D3．［2015·大庆］以下图形中对称轴的数量小于3的是( )A B C D4．[2016·绍兴］我国传统建筑中,窗框（如图13—1—3(1）)的图案玲珑剔透、千变万化．窗框的一部分如图13—1-3（2），它是一个轴对称图形，其对称轴有（)图13-1—3A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．［2016·南充］如图13-1-4，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P 是直线MN上的点,下列判断错误的是( )图13-1—4A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM6．将一张正方形纸片按图13-1-5的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )图13-1—5A B C D7．如图13-1-6，正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法共有__ __种．图13—1—68．如图13-1—7,△ABC与△DEF关于直线l对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.图13—1-79．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影(注：所画的三个图形不能重复）．(1) (2）(3)图13—1-8参考答案【知识管理】1．轴对称图形对称轴一个内部2．另一个图形对称轴对称点全等形3．相等相等4．垂直于中点垂直5．垂直平分线垂直平分线【归类探究】例1(1)0,1,3，8 0，1，8 (2)B例2图略．A和A′，B和B′，C和C′是对应点；相等的线段有AB ＝A′B′,BC＝B′C′,CA＝C′A′；相等的角有∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′。

1．轴对称图形（1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的__________．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．【注意】（1）对称轴是一条__________，而不是射线或线段．（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．2．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做__________，折叠后重合的点是对应点，叫做__________．轴对称和轴对称图形的区别与联系名称关系轴对称轴对称图形区别意义不同两个图形之间的特殊位置关系一个形状特殊的图形图形个数两个图形一个图形对称轴的位置不同可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）一定经过这个图形对称轴的数量只有一条有一条或多条联系（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称3．线段垂直平分线的定义及其性质（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的__________．线段的垂直平分线的性质．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离__________．书写格式：如图所示，点P 在线段AB的垂直平分线上，则P A=PB．（3）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．4．轴对称和轴对称图形的性质（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线__________，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．5．画轴对称图形轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；（2）连接这对对应点；（3）画出对应点所连线段的垂直平分线．这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．【注意】画对称轴的依据：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据．K知识参考答案：1．对称轴；直线2．对称轴；对称点3．垂直平分线；相等4．对称K—重点判断一个图形是不是轴对称图形，线段垂直平分线的定义及其性质K—难点轴对称与轴对称图形的性质K—易错判断轴对称图形的对称轴，线段垂直平分线的判定一、轴对称的性质判断轴对称图形，可以先试着画对称轴，通过观察对称轴两旁的部分是否重合来判定，找对称轴时要多角度观察图形和对折图形．【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】根据轴对称图形的意义可排除：不是轴对称图形，故选A．【名师点睛】本题主要考查了轴对称图形，牢牢掌握轴对称图形的意义是解答本题的关键．【例2】下列图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出它的对称轴．【解析】第一、二、四中图形是轴对称图形，如图所示：二、线段垂直平分线的性质和判定1．线段的垂直平分线是直线，而不是射线或线段．2．线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的一条对称轴．3．利用线段垂直平分线的性质可以证明线段相等．运用此方法可省去证明三角形全等，使得过程更简捷．【例3】如图，MP，NQ分别垂直平分AB，AC，且BC=6 cm，则△APQ的周长为A．12 cm B．6 cm C．8 cm D．无法确定【答案】B1．轴对称现象无处不在，请你观察下图所示的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化，其中可以看作是轴对称图形的有A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是A．AB=A′B′B．BC∥B′C′C．直线l⊥BB′D．∠A′=120°3．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是A．对应线段互相平行B．对应线段相等C．对应角相等D．对应点连线与对称轴垂直4．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD=A．150°B．300°C．210°D．330°5．下面说法中正确的是A．设A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MNB．如果△ABC≌△DEF，则一定存在一条直线MN，使△ABC与△DEF关于MN对称C．如果一个三角形是轴对称图形，且对称轴不止一条，则它是等边三角形D．两个图形关于l对称，则这两个图形分别在l的两侧6．如图，在△ABC中，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于E，交AB于D，连接AE，若AE平分∠BAC，BE=4，则CE的长为A．8 B．6 C．4 D．27．在任意三角形、锐角、长方形三种图形中，有且只有一条对称轴的是__________．8．如图，已知点A、B直线MN同侧两点，点A′、A关于直线MN对称．连接A′B交直线MN于点P，连接AP．若A′B=5 cm，则AP+BP的长为__________．9．如图所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，求△BCE的周长．10．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC，AP=AQ．求证：BP=CQ．11．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=12 DC．12．如图，在3×3方格图中，在其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，方法有A．1种B．2种C．3种D．4种13．如图所示，该图形的对称轴条数为A．2 B．4 C．6 D．814．如图所示，将长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E，若∠1=20°，则∠AEC'=__________．15．如图，∠AOB内一点P，分别画出P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5 cm，则△PMN的周长为__________．16．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N．（1）若△CMN的周长为21 cm，求AB的长；（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．17．（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是A．B．C．D．18．（2018•广州）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有A．1条B．3条C．5条D．无数条19．（2018•河北）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线A．l1B．l2C．l3D．l420．（2018•黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为A．50°B．70°C．75°D．80°21．（2018•毕节市）如图，在△ABC中，AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是__________．22．（2018•南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠F AE=19°，则∠C=__________度．1．【答案】C【解析】因为轴对称图形的概念是：将一个图形沿着某条直线翻折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，因为④沿着中间翻折后，两侧不能完全重合，所以④不是轴对称图形，故选C．4．【答案】B【解析】轴对称图形按对称轴折叠后两边可以完全重合，∠AFC+∠BCF=150°，则∠EFC+∠DCF=150°，所以∠AFE+∠BCD=300°．故选B．学科！网5．【答案】C【解析】A，应该是直线MN垂直平分线段AB，故错误；B，因为成轴对称的两个图形一定全等，但全等形不一定是轴对称图形，故错误；C，因为等边三角形是轴对称图形，且有3条对称轴，故正确；D，错在这两个图形不一定要在直线两侧，同侧也可以有，如下图，故错误．故选C．6．【答案】D【解析】∵DE垂直平分AB，∴BE=AE=4，∴∠A=∠BAE=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=30°，∴∠BAC=60°，∴∠C=90°，∴EC=12AE=2．故选D．7．【答案】锐角【解析】因为任意一个三角形有可能不是轴对称图形，也有可能是轴对称图形，所以对称轴的个数不确定，所以不符合题意，因为锐角是关于角平分线所在直线对称，所以对称轴有且只有一条，因为长方形的对称轴有两条，不符合题意，故答案为：锐角．8．【答案】5 cm【解析】∵点A′、A关于直线MN对称，点P在对称轴MN上，∴A′P、AP关于直线MN对称，∴A′P=AP，∴AP+BP=A′P+PB=A′B=5 cm．故答案为：5 cm．9．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB．∴BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=12+7=19．∴△BCE的周长为19．11．【解析】如图，连接DB．∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=30°，∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°-30°=90°，Rt△CBD中，∠C=30°，∴12BD CD=，∴12AD CD=．12．【答案】C【解析】共有3种，如图：故选C．13．【答案】A【解析】根据图示可以画出2条，学科！网故选A．∴AM=MC，CN=NB，∵△CMN的周长=CM+CN+MN=21，∴AB=AM+MN+NB=CM+MN+CN=21（cm）．（2）∵∠MCN=50°，∴∠CMN+∠CNM=180°-50°=130°，∵AM=MC，CN=NB，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∵∠A+∠ACM=∠CMN，∠B+∠BCN=∠CNM，∴∠ACM=12∠CMN，∠BCN=12∠CNM，∴∠ACM+∠BCN=12(∠CMN+∠CNM)=65°，∴∠ACB=65°+50°=115°．17．【答案】B18．【答案】C【解析】五角星的对称轴共有5条，故选C．19．【答案】C【解析】该图形的对称轴是直线l3，故选C．20．【答案】B【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故选B．21．【答案】16【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵AC=10，BC=6，∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10+6=16．故答案为：16．22．【答案】24【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠F AC=∠EAC+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠F AB=∠EAC+19°，∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，解得，∠C=24°，故答案为：24．。