高中数学人教A版必修4《3.1.1》练习.docx

③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。
设角 终边与单位圆地交点为P1， 。
过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。
过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C
那么OA表示 ，AP表示 ，并且
（1） ；（2）
（让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。）
解：由 ，得
又由 ， 是第三象限角，得
所以
让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。
变式训练：
（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.利用两角和（差）的余弦公式，求
【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用.
2.求值
3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧
（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
（四）发导学案、布置预习
本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4
3.1.1两角差的余弦公式(讲)
一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

§1．3 三角函数的诱导公式§1．3 .1公式二三四【学习目标、细解考纲】诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明【知识梳理、双基再现】1、公式一，，。

2、公式二，，。

3、公式三，，。

4、公式四，，。

我们可以用一段话来概括公式一～四:α+2k π⋅(Z k ∈), -α, πα±的三角函数值，等于 ，前面加上一个 。

【小试身手、轻松过关】5、下列各式不正确的是 （ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β）6、 600sin 的值为（ ）A ． 21B ． 21- C ． 23D ． 23-7、⎪⎭⎫ ⎝⎛-π619sin 的值等于（ ）A ． 21B ． 21- C ． 238、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角【基础训练、锋芒初显】9、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ）A ． 53B ． 53-C ． 54D ． 54-10、sin 34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．4311、)2cos()2sin(21++-ππ等于 （）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos212、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ）A ． 332B ． －2C ． 332-D ． 332±13、tan2010°的值为 ．14、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___． 15、已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ．16、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．17、求cos （－2640°）+sin1665°的值．【举一反三、能力拓展】18、化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 610sin 21．19、已知()413sin =+θπ， 求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．20、已知()θ+ 75cos 31=，θ为第三象限角，求()()θθ++-- 435sin 255cos 的值．【名师小结、感悟反思】1、 在三角恒等变形过程中，经常用到诱导公式，一定要准确熟练灵活地加以应用。

对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。

cos(α－β)≠cos α－cos β；
π π π 3 再如：当 α＝3，β＝6时，cos(α－β)＝cos 6＝ 2 ， 本
课 时 栏 目 开 关
π π 1－ 3 而 cos α－cos β＝cos 3－cos 6＝ 2 ， cos(α－β)≠cos α－cos β.
研一研·问题探究、课堂更高效
本 课 时 栏 目 开 关
3.1.1
3．1.1
【学习要求】
两角差的余弦公式
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
本 2．理解用向量法导出公式的主要步骤． 课 时 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进 栏 目 行求值、计算． 开 关 【学法指导】
1．学习两角差的余弦公式时，应从特例入手，归纳、提炼、拓展 到一般的两角差的余弦公式，从单位圆上的三角函数和向量两 种不同的途径探索、推导公式．
3.1.1
问题 2
请你计算下列式子的值， 并根据这些式子的共同特征，
写出一个猜想． ①cos 45° cos 45° ＋sin 45° sin 45° ＝1 ； 3 ②cos 60° cos 30° ＋sin 60° sin 30° ＝ 2 ； ③cos 30° cos 120° ＋sin 30° sin 120° ＝0 ； 1 ④cos 150° cos 210° ＋sin 150° sin 210° ＝2 . 猜想： cos αcos β＋sin αsin β＝ cos(α－β) ； 即： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β .
3.1.1
2．要利用两角差的余弦公式来求具体的三角函数值，就要善于把 所求值的三角函数先转化为余弦函数，再把其角转化为两个特
本 课 殊角(30° ，45° ，60° ，„)的差，利用公式求其值． 时 栏 3．当给出 α、β 的某个三角函数值，在求 cos(α－β)值时，要善于 目 开 利用同角间的三角函数关系式求出 α、β 的正弦和余弦值，再 关