高考总复习数学课件：第八章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质

2.
①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； ②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0°的角； ③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线 a，b，c，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c.( (2)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( α，则 n⊥α.( 一个平面．( ) ) ) )
直线与平面所成的角(师生共研)
(2019· 青海模拟)如图，正四棱锥 PABCD 的体积为 2， 底面积为 6，E 为侧棱 PC 的中点，则直线 BE 与平面 PAC 所 成的角为( )
A．60° C．45°
B．30° D．90°
【解析】 如图，正四棱锥 PABCD 中，根据底面积 为 6 可得， BC＝ 6.连接 BD， 交 AC 于点 O， 连接 PO， 则 PO 为正四棱锥 P­ABCD 的高， 根据体积公式可得， PO＝1.因为 PO⊥底面 ABCD，所以 PO⊥BD，又 BD⊥AC，PO ∩AC＝O，所以 BD⊥平面 PAC，连接 EO，则∠BEO 为直线 BE 与平面 PAC 所成的角．在 Rt△POA 中，因为 PO＝1，OA＝ 3， 1 所以 PA＝2，OE＝2PA＝1，在 Rt△BOE 中，因为 BO＝ 3，所 BO 以 tan∠BEO＝OE＝ 3，即∠BEO＝60°.
2 ． (2019· 安徽省知名示范高中联考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D 为 AC 上的 点，B1C∥平面 A1BD. (1)求证：BD⊥平面 A1ACC1； (2)若 AB＝1，且 AC· AD＝1，求三棱锥 ABCB1 的体积．
解：(1)如图，连接 ED， 因为平面 AB1C∩平面 A1BD＝ED，B1C∥平面 A1BD， 所以 B1C∥ED， 因为 E 为 AB1 的中点，所以 D 为 AC 的中点， 因为 AB＝BC，所以 BD⊥AC，① 由 A1A⊥平面 ABC，BD⊂平面 ABC，得 A1A⊥BD，② 由①②及 A1A，AC 是平面 A1ACC1 内的两条相交直线． 得 BD⊥平面 A1ACC1.

＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M
到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段
BC 上一点，且 BP＝DQ＝23DA，求三棱 锥 Q-ABP 的体积.
图 8-5-3
(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC. 又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.
∵BC＝2，∴CC1＝2 2.
则该长方体的体积为 22×2 2＝8 2.
(1)如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m.正确. (2)如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α.不正确，有可能 m 在平面α 内. (3)如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α.不正确，有可能 l 与α斜交、 l∥α. 答案：如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m
考点 1 直线与平面垂直的判定与性质 自主练习 1.如图 8-5-1，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，AE⊥PC，AF⊥PB.给出下列结论：①AE⊥BC； ②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC.其中真命题的序号是 __________.
【题后反思】(1)证明线面平行，一般利用线面平行判定定 理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往 往结合平面几何知识.
(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，线面垂直的 证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，线线垂直的 证明有时需要利用平面几何条件.
(3)求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂 直的性质定理得到线面垂直，再结合三角形可求得线面角.
由(1)B1C1⊥平面 A1AMN，

解析：选 B 由题意得 BC⊥AC，因为 VA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以 VA⊥BC. 因为 AC∩VA＝A，所以 BC⊥平面 VAC.因为 BC⊂平面 VBC，所以平面 VAC⊥平面 VBC. 故选 B.
5．设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b⊥m， 则“α⊥β”是“a⊥b”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既 不充分也不必要”)条件．
‖基础自测‖ 一、疑误辨析 1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α⊥β.( )
②中，连接 A1C1，EC1，在△A1EC1 中，∠EA1C1 不是直角，所以 A1E 与 AC 不垂直， 所以②不正确；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BD⊥平面 ACC1A1，而 A1E⊄平面 ACC1A1，所以 A1E 与 BD 不垂直，所以③不正确；
④在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BC1⊥平面 A1B1CD，A1E⊂平面 A1B1CD，所以 A1E ⊥BC1，故正确结论的序号为④.
解析：选 A 因为 DD1⊥平面 ABCD，所以 AC⊥DD1. 又因为 AC⊥BD，DD1∩BD＝D， 所以 AC⊥平面 BDD1B1. 因为 OM⊂平面 BDD1B1，所以 OM⊥AC. 设正方体的棱长为 2， 则 OM＝ 1＋2＝ 3，MN＝ 1＋1＝ 2， ON＝ 1＋4＝ 5， 所以 OM2＋MN2＝ON2，所以 OM⊥MN.故选 A.

第十一页，共59页。
4．空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC，
BD 的关系是( )
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
答案 C 解析 取 BD 的中点 E，连接 AE，CE.因为 AB＝AD＝BC＝CD， 所以 AE⊥BD，CE⊥BD.所以 BD⊥平面 AEC.又 AC⊂平面 AEC， 所以 BD⊥AC.故选 C.
＝
1 2
×
4
×
4
×
3 2
×
6
－
12
3＝

12 3. 【答案】 ①略 ②12 3
第三十五页，共59页。
★状元笔记★ (1)证明面面垂直的方法 证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证 明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来 证明． (2)面面垂直的性质 已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂 线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于 是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时 垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
第三十四页，共59页。
②解：四棱锥 A1－EB1C1C 的高为 h＝4sin60°＝2 3，底面 为直角梯形，面积为 S＝12×(3＋6)×4＝18，得 VA1－EB1C1C＝13 ×2 3×18＝12 3，故几何体 AA1EBC 的体积为 VAA1EBC＝
VABC
－
A1B1C1
－
VA1
－
EB1C1C
第三十一页，共59页。
(2)(2018·四川成都二诊)如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AB＝4，AA1＝6，E，F 分别为 BB1，AC 的中点．