2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 同步精练：2.4平摆线和渐开线 Word版含解析

2017-2018学年高中数学北师大版选修4-4全册同步配套教学案目录第一章§1 平面直角坐标系第一章§2 2.1、2.2 极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化第一章§2 2.3 直线和圆的极坐标方程第一章§2 2.4、2.5曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程第一章§3 柱坐标系和球坐标系第一章章末复习课第二章§1 参数方程的概念第二章§2 2.1 直线的参数方程第二章§2 2.2、2.3、2.4 圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程第二章§3 参数方程化成普通方程第二章§4 平摆线和渐开线第二章章末复习课§1平面直角坐标系[对应学生用书P1][自主学习]1．平面直角坐标系与曲线方程(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的． (2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系：曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解； ②以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线． (3)一些常见曲线的方程： ①直线的方程：ax ＋by ＋c ＝0；②圆的方程：圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；③椭圆的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1；④双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为2a ，虚轴长为2b 的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1；⑤抛物线的方程：顶点在原点，以x 轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为p2的抛物线方程为y 2＝2px .2．平面直角坐标系中的伸缩变换1．如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 提示：①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； ②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； ③使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？ 提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小．[对应学生用书P1]的距离之和为12，求椭圆G 的方程．(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．[思路点拨] 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等．解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线．[精解详析] (1)由已知设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝c a ＝32，故c ＝3 3.∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则A (0，3)；∵|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，∴x 2＋(y －3)2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2. 化简得x 2＋(y ＋3)2＝4. 又∵P 在△ABC 内，∴y >0.∴P 点的轨迹方程为x 2＋(y ＋3)2＝4(y >0)．其曲线如上图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x 轴上半部分圆孤．1．求曲线方程的方法：(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法； (2)求动点轨迹方程常用的方法有：①直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：a ．建立适当的平面直角坐标系，并用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标；b ．写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |P (M )}；c ．用坐标表示条件P (M )，写出方程f (x ，y )＝0；d ．化简方程f (x ，y )＝0；e ．检验或证明d 中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则e 可以省略． ②定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．③代入法(相关点法)：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，x 1，y 1的方程组，利用x ，y 表示x 1，y 1，把x 1，y 1代入已知曲线方程即为所求．④参数法：动点P (x ，y )的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程． 2．根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部．1．在△ABC 中，底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线CE 和BD 的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G 的轨迹方程．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，过原点且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，|BD |＋|CE |＝30， 可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20，∴重心G 的轨迹是以(－6,0)，(6,0)为焦点，2a ＝20的椭圆，且y ≠0，其轨迹方程为：x 2100＋y 264＝1(x ≠±10)．[例2] 如图，以Rt △ABC 的两条直角边AB ，和正方形BCFG ，连接EC ，AF ，且EC ，AF 交于点M ，连接BM .求证：BM ⊥AC .[思路点拨] 本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题中的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线的方程，求出k BM ，k AC ，证明k BM ·k AC ＝－1，即可．形BCFG 的边长分别为a ，b ，则A (0，a )，B (0,0)，C (b,0)，E (－a ，a )，F (b ，－b )．直线AF ：y ＋b a ＋b ＝x －b0－b ，即(a ＋b )x ＋by －ab ＝0； 直线EC ：y －0a －0＝x －b－a －b ，即ax ＋(a ＋b )y －ab ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )x ＋by －ab ＝0，ax ＋(a ＋b )y －ab ＝0，得⎩⎨⎧x ＝a 2ba 2＋ab ＋b 2，y ＝ab2a 2＋ab ＋b 2.即M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2b a 2＋ab ＋b 2，ab2a 2＋ab ＋b 2.故k BM ＝b a .又k AC ＝0－a b －0＝－ab ，∴k BM ·k AC ＝－1， ∴BM ⊥AC .坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步，把代数运算结果翻译成几何结论．2．已知正△ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值． 解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a 2，0. 设P (x ，y )， 则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2 ＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎫y －36a 2＋a 2≥a 2， 当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立， ∴所求最小值为a 2，此时P 点坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，36a ，它是正△ABC 的中心．[例3] 在下列平面直角坐标系中，分别作出x 25＋y 9＝1的图形．(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．[思路点拨] 本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想，解决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x 轴、y 轴单位长度的变化情况，再作出图形即可．[精解详析] (1)建立平面直角坐标系使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y 29＝1的图形如图②.(3)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y 29＝1的图形如图③.一般地，在平面直角坐标系xOy 中：(1)使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y 的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx ，y ′＝y 的伸缩变换．(2)在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.本例中若x 轴的单位长度为y 轴上单位长度的35，则椭圆x 225＋y 29＝1的图形如何？解：如果y 轴上的单位长度不变，x 轴的单位长度缩小为原来的35，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝35x ，y ′＝y ，则x 225＋y 29＝1的图形变为圆．本课时主要考查平面直角坐标系中曲线的求解，常与平面几何知识结合．[考题印证]满足BQ＝设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q λQA ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM ＝λMP ，求点P 的轨迹方程．[命题立意] 本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、性质与运算、动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养．[自主尝试] 由QM ＝λMP知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)， 则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即 y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ ＝λQA， 即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2， (1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.[对应学生用书P4]一、选择题1．方程x 2＋xy ＝0的曲线是( ) A ．一个点 B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析：选C 方程变形为x (x ＋y )＝0，∴x ＝0或x ＋y ＝0，而方程x ＝0，x ＋y ＝0表示的是直线，∴C 正确．2．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sin A ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )A.x 29－y 227＝1 B.x 29－y 227＝1(x ＜－3) C.x 227－y 29＝1 D.x 227－y 29＝1(x ＜－3) 解析：选B 由题意知，B (－6,0)，C (6,0) 由sin B －sin C ＝12sin A 得b －c ＝12a ＝6，即|AC |－|AB |＝6.所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0.其方程为 x 29－y 227＝1(x <－3)． 3．已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )解析：选B 如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则该椭圆的形状为选项B 中所示．4．平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )A.32B.12 C ．2D ．3解析：选A 以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，∴a ＝32.如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2,2a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74.∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1(x ≥32)．由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32.二、填空题5．已知点A (－2,0)，B (－3,0)，动点P (x ，y )满足PA ·PB＝x 2＋1，则点P 的轨迹方程是________． 解析：由题意得PA ＝(－2－x ，－y )，PB＝(－3－x ，－y )． ∴PA ·PB＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1. 即y 2＋5x ＋5＝0. 答案：y 2＋5x ＋5＝06．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A (4,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝m OA ＋n OB，其中m ，n ∈[0,1]，且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为________．解析：由题意知，A ，B ，C 三点共线且C 在线段AB 上，点A ，B 所在的直线方程为2x ＋5y －13＝0，且点C 的轨迹为线段AB ，所以，点C 的轨迹方程为2x ＋5y －13＝0，x ∈[－1,4]．答案：2x ＋5y －13＝0(－1≤x ≤4)7．在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义|OP |＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点，对以下结论： ①符合|OP |＝1的点P 的轨迹围成图形面积为2；②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则|OP |的最小值为1；③设P 为直线y ＝kx ＋b (k ，b ∈R )上任意一点，则“使|OP |最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k ＝±1”．其中正确的结论有________．(填序号) 解析：在①中，由于|OP |＝1 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，0≤x ≤1，y ＝－x －1，－1≤x ≤0，y ＝x ＋1，－1≤x ≤0，y ＝x －1，0≤x ≤1，其图像如图故其面积为2×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝2. 故①正确． 在②中，当P ⎝⎛⎭⎫255，0时，|OP |＝|x |＋|y |＝255＜1， ∴|OP |的最小值不为1，故②错误． 在③中，∵|x |＋|y |≥|x ＋y |＝|(k ＋1)x ＋b |， 当k ＝－1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意， 即|x |＋|y |≥|x －y |＝|(k －1)x －b |，当k ＝1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意，故③正确． 答案：①③8．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a2，即面积不大于12a 2，所以③正确．答案：②③ 三、解答题9.如图所示，△ABC 中，角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且B (－1，0)，C (1,0)．(1)求满足b >a >c ，b ，a ，c 成等差数列时，顶点A 的轨迹方程． (2)在x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍的平面直角坐标系中作出(1)中轨迹．解：(1)∵b ，a ，c 成等差数列， ∴b ＋c ＝2a ＝2×2＝4.即|AB |＋|AC |＝4>|BC |＝2符合椭圆定义条件． 动点A (x ，y )的轨迹是椭圆，且⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，2c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，∴A 点的轨迹方程是x 24＋y 23＝1.由于b >c ，即|AC |>|AB |，可知A 点轨迹是椭圆左半部分，还必须除去点(0，－3)，(0，3)． ∵A ，B ，C 构成三角形，∴必须除去点(－2,0)． ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (－2<x <0)．(2)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，x 24＋y 23＝1(－2<x <0)的图形为图示．10．我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 正东方向80 n mile 的B 处，沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40 n mile 的A 处的我军舰沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．解：A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(n mile)，OB ＝80(n mile)． 我军舰直行到点C 与敌舰相遇， 设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵敌我两舰速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2， 即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．11.如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．解：(1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a (x －a )．②由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b2＝1(x <－a ，y <0)．(2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以 b 2x 21⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝⎛⎭⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．§2极_坐_标_系2．1&2.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化[对应学生用书P5][自主学习]1．极坐标系的概念 (1)极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫作极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫作极轴；选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)点的极坐标：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，用θ表示以Ox 为始边，OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．①特别地，当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值；②点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点，如果规定ρ>0,0≤θ<2π或者－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标与直角坐标的互化：①将点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.②将点的直角坐标(x [合作探究]，y )化为极坐标(ρ，θ)的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？提示：区别：平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而极坐标以角和距离为背景． 联系：二者都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．2．点M (ρ，θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极轴的直线的对称点的坐标各为什么？ 提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)．3．把直角坐标转化为极坐标时，表示方法唯一吗？ 提示：通常有不同的表示法．(极角相差2π的整数倍)[对应学生用书P6][例1] 在极坐标系中，画出点A ⎝⎭⎫1，π4，B ⎝⎭⎫2，3π2，C ⎝⎭⎫3，－π4，D ⎝⎭⎫4，9π4. [思路点拨] 本题考查极坐标系以及极坐标的概念，同时考查数形结合思想，解答此题需要先建立极坐标系，再作出极角的终边，然后以极点O 为圆心，极径为半径分别画弧，从而得到点的位置．[精解详析] 在极坐标系中先作出π4线，再在π4线上截取|OA |＝1，这样可得到点A ⎝⎛⎭⎫1，π4.同样可作出点B ⎝⎛⎭⎫2，3π2，C ⎝⎛⎭⎫3，－π4，D ⎝⎛⎭⎫4，9π4，如图所示．由极坐标确定点的位置的步骤 (1)取定极点O ；(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边； (4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．1．在极坐标系中，作出以下各点：A (4,0)，B ⎝⎛⎭⎫3，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，π2，D ⎝⎛⎭⎫3，7π4；结合图形判断点B ，D 的位置是否具有对称性；并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标．(限定ρ≥0，θ∈[0,2π))解：如图，A ，B ，C ，D 四个点分别是唯一确定的．由图形知B ，D 两点关于极轴对称，且B ，D 关于极点的对称点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，5π4，⎝⎛⎭⎫3，3π4.[例2] 已知A ⎝⎭⎫3，－π3，B ⎝⎭⎫1，2π3，将A ，B 坐标化为直角坐标，并求A ，B 两点间的距离． [思路点拨] 本题考查如何将极坐标化为直角坐标，解答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标，再由两点间的距离公式得结果．[精解详析] 将A ⎝⎛⎭⎫3，－π3，B ⎝⎛⎭⎫1，2π3由极坐标化为直角坐标， 对于点A ，有x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝32， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－332，∴A ⎝⎛⎭⎫32，－332. 对于点B ，有x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫32＋122＋⎝⎛⎭⎫－332－322 ＝4＋12＝4.1．将极坐标M (ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )，只需根据公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可得到；2．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的极坐标问题转化为熟悉的直角坐标问题求解．本例中如何由极坐标直接求A ，B 两点间的距离？ 解：根据M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，则由余弦定理得：|MN |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)，所以|AB |＝32＋12－2×3×1×cos ⎣⎡⎦⎤2π3－⎝⎛⎭⎫－π3＝4.[例3] 分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，(1)(－1,1)，(2)(－3，－1)．[思路点拨] 本题考查如何将直角坐标化为极坐标，同时考查三角函数中由值求角问题，解答此题利用互化公式即可，但要注意点所在象限．[精解详析] (1)∵ρ＝(－1)2＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 又点(－1,1)在第二象限，∴θ＝3π4.∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4. (2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2， tan θ＝－1－3＝33，θ∈[0,2π)，∵点(－3，－1)在第三象限， ∴θ＝76π.∴直角坐标(－3，－1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6.将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)即可，在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征，判断出点所在象限，如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π，k ∈Z 即可．2．将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标． (1)(3，3)；(2)(－2，－23)．解：(1)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝y x ＝33，又点(3，3)在第一象限，所以θ＝π6.所以点(3，3)的极坐标为23，π6.(2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4， tan θ＝y x ＝－23－2＝3，又点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.所以点(－2，－23)的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，4π3.本课时常考查极坐标的确定及点的直角坐标与极坐标的互化，特别是直角坐标化为极坐标常与三角知识交汇命题，更成为命题专家的新宠．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3 B.⎝⎛⎭⎫2，4π3 C.⎝⎛⎭⎫2，－π3 D.⎝⎛⎭⎫2，－4π3 [命题立意] 本题主要考查点的极坐标与直角坐标 的互化，同时还考查了三角知识及运算解题能力． [自主尝试]ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－3，又点(1，－3)在第四象限，所以OP 与x 轴所成的角为5π3，故点P 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π3，排除A ，B 选项．又－43π＋2π＝23π，所以极坐标⎝⎛⎭⎫2，－4π3所表示的点在第二象限，故D 不正确，而－π3＋2π＝53π. [答案] C[对应学生用书P8]一、选择题1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π4 B.⎝⎛⎭⎫2，3π4 C.⎝⎛⎭⎫2，5π4 D.⎝⎛⎭⎫2，7π4 解析：选B ρ＝(－2)2＋(2)2＝2， tan θ＝2－2＝－1，∵点P 在第二象限， ∴最小正角θ＝3π4.2．在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫3，2π3 B.⎝⎛⎭⎫3，π3 C.⎝⎛⎭⎫3，4π3 D.⎝⎛⎭⎫3，5π6 解析：选B 与点A ⎝⎛⎭⎫3，－π3关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫3，2k π＋π3(k ∈Z )，这时只有选项B 满足条件．3．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，5π4，那么可能是顶点C 的坐标的是( )A.⎝⎛⎭⎫4，3π4B.⎝⎛⎭⎫23，3π4 C.()23，πD.()3，π解析：选B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，∴|OC |＝23，∠AOC ＝π2，点C 的极角θ＝π4＋π2＝3π4或5π4＋π2＝7π4，即点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，3π4或⎝⎛⎭⎫23，7π4. 4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．二、填空题5．将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP ，在OP 上取点M ，使|OM |＝2，则ρ>0，θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ>0，θ∈[0,2π))．解析：ρ＝|OM |＝2，与OP 终边相同的角为－π6＋2k π(k ∈Z )．∵θ∈[0,2π)，∴k ＝1，θ＝11π6.∴M ⎝⎛⎭⎫2，11π6. ∴M 关于极轴的对称点为(2，π6)．答案：⎝⎛⎭⎫2，11π6 ⎝⎛⎭⎫2，π6 6．点A ⎝⎛⎭⎫5，π3在条件： (1)ρ>0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是________； (2)ρ<0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是________．解析：(1)当ρ>0时，点A 的极坐标形式为⎝⎛⎭⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)．令k ＝－1，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，－5π3，符合题意． (2)当ρ<0时，⎝⎛⎭⎫5，π3的极坐标的一般形式是⎝⎛⎭⎫－5，(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )．∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫－5，10π3，符合题意． 答案：⎝⎛⎭⎫5，－5π3 (2)⎝⎛⎭⎫－5，10π3 7．直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫7，π3，B ⎝⎛⎭⎫7，π6，则直线l 与极轴所在直线的夹角等于________． 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12.所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π48．已知两点的极坐标是A ⎝⎛⎭⎫3，π12，B ⎝⎛⎭⎫－8，π12，则AB 中点的一个极坐标是________． 解析：画出示意图，A ，B 与极点O 共线，∴ρ＝12(3－8)＝－52，θ＝π12. 故AB 中点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫－52，π12. 答案：⎝⎛⎭⎫－52，π12 三、解答题9．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线的焦点处，当此彗星离地球30万千米时，经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．解：如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列4种情形：①当θ＝30°时，ρ＝30(万千米)； ②当θ＝150°时，ρ＝30(万千米)； ③当θ＝210°时，ρ＝30(万千米)； ④当θ＝330°时，ρ＝30(万千米)．∴彗星此时的极坐标有4种情形：(30,30°)，(30,150°)，(30,210°)，(30,330°)． 10．在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π3和(3,0)，O 为极点． (1)求|AB |；(2)求S △AOB .解：|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)＝22＋32－2×2×3×cos ⎝⎛⎭⎫π3－0＝4＋9－6＝7.S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝12×2×3×sin ⎝⎛⎭⎫π3－0 ＝332. 11．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标． 解：法一：对于A ⎝⎛⎭⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4， ∴x ＝ρcos θ＝2cos π4＝2，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝ 2.∴A (2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝54π. ∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－ 2.∴B (－2，－2)．设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形，故有|AB |＝|BC |＝|AC |. ∴有(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝(x －2)2＋(y －2)2 ＝(2＋2)2＋(2＋2)2.∴有⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解之得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝－6，或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6)．∴θ＝7π4或θ＝3π4.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，7π4或⎝⎛⎭⎫23，3π4. 法二：设C 点的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)． 则有|AB |＝|BC |＝|AC |.∴⎩⎨⎧ρ2＋22－2×2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22＋22－2×2×2cos π，ρ2＋22－2×2ρ cos ⎝⎛⎭⎫θ－5π4＝22＋22－2×22cos π.解之得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝23，θ＝3π4或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝7π4.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，3π4，⎝⎛⎭⎫23，7π4.2．3直线和圆的极坐标方程[对应学生用书P9][自主学习]1．曲线的极坐标方程(1)意义：在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：①曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0；②极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．(2)求极坐标方程的步骤：求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：①建立适当的极坐标系；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第⑤步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．2．常见直线和圆的极坐标方程[合作探究]1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程有何异同？提示：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组满足极坐标方程．有些表示形式可能不满足方程．例如，对极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝⎛⎭⎫π4，π4可以表示为⎝⎛⎭⎫π4，π4＋2π或⎝⎛⎭⎫π4，π4－2π等多种形式，其中只有⎝⎛⎭⎫π4，π4的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程．2．在极坐标系中，θ＝－π4与tan θ＝－1表示同一条直线吗？提示：表示同一条直线．3．在极坐标系中，ρ＝1或ρ＝－1表示同一个圆吗？ 提示：表示同一个圆．[对应学生用书P9][例1] 求：(1)过点A ⎝⎭⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程． (2)过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3且和极轴成3π4角的直线的极坐标方程． [思路点拨] 本例主要考查直线的极坐标方程以及正弦定理等三角、平面几何知识，同时亦考查了数形结合思想，解答此题需要先设待求直线上任一点M (ρ，θ)，寻找到ρ，θ满足的几何等式，建立关于ρ，θ的方程，再化简即可．[精解详析] (1)法一：如图在直线l 上任取一点M (ρ，θ)，在△OAM 中|OA |＝2，|OM |＝ρ， ∠OAM ＝π－π4⎝⎛⎭⎫或π4， ∠OMA ＝θ(或π－θ)． 在△OAM 中，由正弦定理得2sin θ＝ρsin π4， ∴ρsin θ＝ 2.点A ⎝⎛⎭⎫2，π4也满足上述方程． 因此过点A ⎝⎛⎭⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin θ＝ 2. 法二：如图，在直线l 上任取一点M (ρ，θ)，过M 作MH ⊥极轴于H 点．∵A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴|MH |＝2·sin π4＝ 2.在直角三角形MHO 中，点A ⎝⎛⎭⎫2，π4也满足此方程． ∴过点A ⎝⎛⎭⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin θ＝ 2. (2)如图，设M (ρ，θ)为直线l 上一点．已知A ⎝⎛⎭⎫3，π3，故|OA |＝3. ∠AOB ＝π3，又已知∠MBx ＝3π4，∴∠OAB ＝3π4－π3＝5π12.又∠OMA ＝π－⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝π4＋θ，在△MOA 中，根据正弦定理得3sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝ρsin 5π12，又sin 5π12＝sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝6＋24， 将sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ展开化简代入可得 ρ(sin θ＋cos θ)＝332＋32，又点A ⎝⎛⎭⎫3，π3也满足上述方程， 所以过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3且和极轴成3π4角的直线的极坐标方程为：ρ(sin θ＋cos θ)＝332＋32.在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般思路：在直线上设M (ρ，θ)为任意一点，连接OM ；构造出含OM 的三角形，再利用正弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，即为直线的极坐标方程．若将本例(2)中点A 变为(2,0)，3π4变为π6，则直线的极坐标方程如何？解：设M (ρ，θ)为直线上除A 点以外的任意一点， 连接OM ，则在△AOM 中，∠AOM ＝θ，∠AMO ＝π6－θ，∠OAM ＝π－π6，OM ＝ρ，由正弦定理可得|OA |sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝|OM |sin ⎝⎛⎭⎫π－π6.∴ρsin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ. ∴ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.∴ρsin π6cos θ－ρcos π6sin θ＝1.化简得：ρcos θ－3ρsin θ＝2. 经检验点(2,0)的坐标适合上述方程， 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－3sin θ)＝2，其中，0≤θ<π6(ρ≥0)和7π6≤θ<2π(ρ≥0).[例2] 求圆心在A ⎝⎛⎭⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎭⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上． [思路点拨] 本题考查圆的极坐标方程及解三角形的知识，解答此题需要先设圆上任意一点M (ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简即可．[精解详析] 由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA ，在Rt △OAM中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. ∵sin5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝⎛⎭⎫－2，sin 5π6在此圆上．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路：在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连接OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．1．求半径为1，圆心在点C ⎝⎛⎭⎫3，π4的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上的任意一点为M (ρ，θ)，且O ，C ，M 三点不共线，不妨设如图所示情况，在△OCM 中，由余弦定理得：。

第二讲 2.4一、选择题1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( D )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π解析：根据条件可知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )， 则x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．故选D ．2．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，则基圆的直径为( B )A ．6B ．12C ．3D ．2解析：根据条件可知基圆的半径为6，故基圆的直径为12.故选B ．3．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos θ＋θsin θ)，y ＝2(sin θ－θcos θ)(θ为参数)，当θ＝π时，渐开线上对应的点的坐标为( A )A ．(－2,2π)B ．(－2，π)C ．(4,2π)D ．(－4,2π)解析：将θ＝π代入参数方程得x ＝2(cos π＋πsin π)＝－2，y ＝2(sin π－πcos π )＝2π，∴对应的点的坐标为(－2,2π)．故选A ．4．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( A )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)解析：由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0，∵t ∈[0,2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A ．5．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( C )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(φ－sin φ)，y ＝8(1－cos φ)(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－3sin φ，y ＝8－3cos φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－8sin φ，y ＝3－8cos φ(φ为参数)解析：由摆线产生的过程知，M 的轨迹是圆的摆线，圆半径为3，故选C ．6．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离为( C )A ．π2－1B ． 2C ．10D ．3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3. ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－3π22＋(3－2)2＝10.二、填空题7．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (θ－sin θ)，y ＝r (1－cos θ)(θ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (1－cos θ)，y ＝r (θ－sin θ)(θ为参数)．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线的参数方程，只需把其中的x 与y 互换．8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ－φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.9．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )y ＝2(sin t －t cos t )上与t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 解析：对应点的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫cos π4＋π4sin π4＝2⎝⎛⎭⎫22＋π4·22＝1＋π4y ＝2⎝⎛⎭⎫sin π4－π4·cos π4＝2⎝⎛⎭⎫22－π4·22＝1－π4∴t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 三、解答题10．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析：根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．11．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？ (2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解析：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)． 12．半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过53π和72π时，求点M 的坐标．解析：由摆线方程知 φ＝53π时，x M ＝10π＋336r ，y M ＝12r ；φ＝72π时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r .∴点M 的坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫10π＋336，12r ，⎝⎛⎭⎫12r (7π＋2)，r。

§4平摆线和渐开线对应学生用书P35][自主学习]1．平摆线(1)平摆线的概念：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)．(2)摆线的参数方程：①定点M在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为r，圆在x轴上滚动，开始时点M在原点O(如图)．设圆转动的角度为α时，圆和x轴的切点是S，圆心是N，M的坐标为(x，y)，取角度α为参数．连接NM，NS，过M作x轴的垂线MP，垂足为点P，过M作NS的垂线MQ，垂足为Q.因为∠MNQ＝α，所以OS rα.这就是圆周上的定点M在圆N沿直线滚动过程中满足的几何条件．②摆线的参数方程：如图(1)，由①分析可得：x＝OP＝OS－PS MQ＝rα－rsin α＝r(α－sin α)，y ＝PM ＝SQ ＝SN －QN ＝r －rcos α＝r(1－cos α)．图(1)所以摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞<α<＋∞)．2．渐开线(1)渐开线的相关概念：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．(2)渐开线的参数方程：①动点(笔尖)所满足的几何条件：如图(2)，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点M ，它的初始位置记作A ，绳子离开圆盘的位置记作B ，随着绳子逐渐展开，动点B 从点A 出发在圆周上运动，动点M 满足以下条件：(Ⅰ)MB 与圆相切于B ；(Ⅱ)MB 的长度与B 在圆周上走过的弧长相等，即MB图(2) 图(3)②渐开线的参数方程：如图(3)，以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为r ，则动点M 的初始位置A 的坐标为(r,0)，设动点M 的坐标为(x ，y)，φ是以OA 为始边、OB 为终边的正角，令φr φ.作ME ⊥Ox ，BC ⊥Ox ，垂足分别为E ，C ；作MD ⊥BC ，垂足为D ，则∠MBD ＝∠AOB ＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(其中φ是参数)．[合作探究]1．在摆线的参数方程中α的取值范围是什么？提示：α的取值范围为(－∞，＋∞)2．在图(1)中点O ，E 间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长2πr ，拱高等于圆的直径2r.其中r 为滚动圆的半径．对应学生用书P35][例1] 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的平摆线和渐开线参数方程的求解，解答此题，根。

北师大版 2017年高中数学选修4-4全一册课后训练汇编目录坐标系1.1 平面直角坐标系1.1.1平面直角坐标系与曲线方程课后训练含答案坐标系1.1 平面直角坐标系1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换课后训练含答案坐标系1.2 极坐标系1.2.1极坐标系的概念1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化课后训练含答案坐标系1.2 极坐标系1.2.3_1.2.5课后训练含答案坐标系1.3 柱坐标系和球坐标系课后训练含答案参数方程2.1 参数方程的概念课后训练含答案参数方程2.2 直线和圆锥曲线的参数方程2.2.1直线和圆锥曲线的参数方程课后训练含答案参数方程2.2 直线和圆锥曲线的参数方程2.2.2-2.2.4直线和圆锥曲线的参数方程课后训练含答案参数方程2.3 参数方程化成普通方程课后训练含答案参数方程2.4 平摆线和渐开线课后训练含答案平面直角坐标系与曲线方程练习1已知平面内三点A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，满足BA AC ⊥，则x 的值为( )． A ．3 B ．6 C ．7 D ．92已知△AB C 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝1sin 2A ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )．A ．22=1927x y - B ．22=1927x y -(x ＜－3) C ．22=1279x y - D ．22=1279x y -(x ＜－3) 3椭圆22=1123x y +的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标为( )．A ．±4 B ．±2 C ．±2 D ．34± 4平面内有一条固定线段AB ，|AB|＝4，动点P 满足|PA|－|PB|＝3，O 为AB 的中点，则|OP|的最小值是( )．A ．32 B ．12C ．2D ．3 5平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A(4,1)，B(－1,3)，若点C 满足OC ＝m OA ＋n OB ，其中m ，n ∈[0,1]，且m ＋n ＝1，则点C 轨迹方程为__________．6在平面直角坐标系中，设点P(x ，y)，定义|OP|＝|x|＋|y|，其中O 为坐标原点，对以下结论：①符合|OP|＝1的点P 的轨迹围成图形面积为2；②设P ＋2y －2＝0上任意一点，则|OP|的最小值为1；③设P 为直线y ＝kx ＋b(k ，b ∈R )上任意一点，则“使|OP|最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k＝±1”．其中正确的结论有__________．(填序号)7设有半径为3 km 的圆形村落，A ，B 两人同时从村落中心出发，A 向东而B 向北前进．A 出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B 相遇．设A ，B 两人的速度都一定，其比为3:1，问两人在何处相遇？8在△ABC 中，底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线CE 和BD 的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G 的轨迹方程．参考答案1答案：C ∵BA ＝(1，－1)，AC ＝(5，x －2)， 又BA ⊥AC ，∴BA ·AC ＝0，即5－(x －2)＝0. ∴x ＝7.2答案：B 由题意知，B(－6,0)，C(6,0)， 由sin B －sin C ＝12sin A 得b －c ＝12a ＝6， 即|AC|－|AB|＝6.所以，点A 的轨迹是以B(－6,0)，C(6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y≠0.其方程为22=1927x y -(x ＜－3)． 3答案：A 设F 1为右焦点，则F 1(3,0)， 设P(x 0，y 0)，PF 1的中点M(0，y M )， 则3=02x +，得x 0＝－3， 把(－3，y 0)代入椭圆方程，得0=y ±.∴0=2M y ⎛+ ⎝⎭=.当F 1为左焦点时，F 1(－3,0)，解法同上，所得答案相同．4答案：A 以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2，2a ＝3，∴3=2a .∴b 2＝c 2－a 2＝4－97=44. ∴点P 的轨迹方程为22=19744x y -(x≥32)． 由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是32. 5 答案：2x ＋5y －13＝0(－1≤x≤4) 由题意知，A ，B ，C 三点共线且C 在线段AB 上，点A ，B 所在的直线方程为2x ＋5y －13＝0，且点C 的轨迹为线段AB ，所以，点C 的轨迹方程为2x ＋5y －13＝0，x ∈[－1,4]．6答案：①③ 在①中，由于|OP|＝1⇔1,01,1,10,1,10,1,01,y x x y x x y x x y x x =-+≤≤⎧⎪=---≤≤⎪⎨=+-≤≤⎪⎪=-≤≤⎩其图象如图故其面积为2×1212⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭＝2.故①正确．在②中，当P ,05⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，|OP|＝|x|＋|y|1， ∴|OP|最小值不为1.故②错误．在③中，∵|x|＋|y|≥|x＋y|＝|(k ＋1)x ＋b|， 当k ＝－1时，|x|＋|y|≥|b|满足题意， 即|x|＋|y|≥|x－y|＝|(k －1)x －b|，当k ＝1时，|x|＋|y|≥|b|满足题意，故③正确．7 答案：分析：先根据题意建立平面直角坐标系．设出相应点的坐标，利用圆的关系和直角坐标系中点的关系列出式子求值．解：以村落中心为原点，A ，B 开始前进方向分别为x 轴正方向、y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图．由题意可设A ，B 两人速度分别为3v km/h ，v km/h ，设A 出发x 0 h 后，在点P 处改变前进方向，又经y 0 h 在点Q 处与B 相遇，则P ，Q 两点的坐标分别是(3vx 0,0)，(0，v(x 0＋y 0))．由于A 从P 到Q 行走的时间是y 0 h ，于是由勾股定理得，|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，有(3vx 0)2＋[v(x 0＋y 0)]2＝(3vy 0)2. 化简整理，得(x 0＋y 0)(5x 0－4y 0)＝0. 又x 0＋y 0＞0，∴5x 0＝4y 0.①又003PQ x y k x +-＝，② ①代入②，得3=4PQ k -.由于切线PQ 与y 轴的交点Q 对应的纵坐标v(x 0＋y 0)的值就是问题的答案，于是问题转化为“当直线y ＝34x -＋b 与圆x 2＋y 2＝9相切时，求纵截距b 的值”．利用圆心到切线的距离等于半径，得1534b =⇒=(b ＞0). 答：A 和B 相遇的地点在村落中心正北154km 处． 8答案：分析：先依据题中△ABC 中底边BC 的确定性建立适当的坐标系，再据“AB 和AC 上中线和为30”判断出G 的轨迹为以B ，C 为焦点的椭圆，最后根据椭圆方程的标准形式写出G 的轨迹方程．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 边中点为原点， 过原点且与BC 垂直的直线为y 轴，则B(6,0)，C(－6,0)，|BD|＋|CE|＝30，可知|GB|＋|GC|＝23(|BD|＋|CE|)＝20， ∴G 的轨迹是椭圆，轨迹方程为：22=110064x y +(x≠±10)．平面直角坐标轴中的伸缩变换练习1一条抛物线经过平面直角坐标系中的伸缩变换后，其图形可能是( )． A ．直线 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2将一个圆作伸缩变换后，所得图形不可能是( )． A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线3在平面直角坐标系中，将x 轴上的单位长度变为y 轴上单位长度的2倍，则圆x 2＋y 2＝1进行伸缩变换后的图形是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4在平面直角坐标系中，如果y 轴上的单位长度变为x 轴上单位长度的12倍，则一条线段经过变换后的图形是( )．A ．直线B ．射线C ．与原来长度相同的线段D ．比原来长度短的线段5如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍，则方程x ＋y ＝－1的图形是__________． 6如图，在x 轴上的单位长度是y 轴上单位长度的两倍的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A(0,4)，B(－8,0)，C(－4,0)，则△ABC 的面积为__________．7在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线22=1169x y的图形： (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．参考答案1 答案：C 抛物线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形的形状是不会发生变化的．2 答案：D 将圆作伸缩变换，如果保持一轴不变，另一轴压缩或伸长都会出现椭圆的形状，故选项A正确．当两轴同时放大或缩小时，会得到比原来大或小的圆，故选项B，C正确，故选D.3 答案：B4 答案：D 通过作图可知答案．5 答案：直线6 答案：87 答案：解：(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线22=1 169x y-的图形如下：(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线22=1169x y-的图形如下：(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线22=1169x y-的图形如下：极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化练习1点P 的直角坐标为(-，那么它的极坐标可表示为( )．A ．π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3π2,4⎛⎫⎪⎝⎭ C ．5π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2在极坐标系中，与点π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( )．A ．π8,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π8,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭3在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 5π2,4⎛⎫⎪⎝⎭，那么可能是顶点C 的坐标的是( )．A ．3π4,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π)D ．(3，π)4在极坐标系中，极坐标5π4⎫⎪⎭化为直角坐标为( )．A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1) 5直线l 过点A π7,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π7,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线l 与极轴所在直线的夹角等于________． 6点A π5,3⎛⎫⎪⎝⎭在条件： (1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________； (2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________． 7将下列极坐标化成直角坐标．(1)π4⎫⎪⎭； (2)π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)(5，π)．8已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x 轴正方向相同的极坐标系中，点M 的极坐标为π4,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点M 在直角坐标系中的坐标．参考答案1 答案：B21， ∵点P 在第二象限，∴最小正角3π=4θ. 2 答案：A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π8,6⎛⎫⎪⎝⎭.3答案：B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB|＝4，△ABC 为正三角形，∴|OC|＝AOC ＝π2，点C 的极角ππ3π==424θ+或5ππ7π=424+， 即点C的极坐标为⎛⎝或7π4⎛⎫ ⎪⎝⎭.4答案：D x5π=14⎛- ⎝⎭， y5π=142⎛-- ⎝⎭， 故所求直角坐标为(－1，－1)． 5答案：π4如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO|＝|BO|＝7，∠AOB ＝πππ=366-， 所以ππ5π6==212OAB -∠. 所以π5ππ=π=3124ACO ∠--. 6 答案：(1)55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为π5,2π+3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭(k∈Z )，∵θ∈(－2π，0)．令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫-⎪⎝⎭，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,21π+3k ⎛⎫-(+) ⎪⎝⎭(k ∈Z )．∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意．7 答案：解：(1)πcos =14x ，πsin =14y ，所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)．(2)x ＝6·πcos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3，y ＝6·πsin =3⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以点π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-．(3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sinπ＝0， 所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．8 答案：解：设M(x ，y)，则x －2＝ρcos θ＝π4cos 6，∴x ＝2＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋0)．直线和圆的极坐标方程、曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化、圆锥曲线统一的极坐标方程练习1极坐标方程πcos4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭表示的曲线是( )．A．双曲线 B．椭圆C．抛物线 D．圆2过Aπ2,4⎛⎫⎪⎝⎭且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )．A B．ρsin θ＝2C．ρc o D．ρc o s θ＝23化极坐标方程ρco s θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )．A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝14圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( )．A．ρ＝2(sin θ－cos θ) B．ρ＝2(co s θ－sin θ)C．ρ＝2sin θ D．ρ＝2co s θ5过极点O作圆C：ρ＝8co s θ的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是__________．6已知双曲线的极坐标方程为312cosρθ=-，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的极坐标方程．7已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，当∠A变化时，求∠A的平分线与BC的中垂线的交点P的轨迹方程．参考答案1答案：Dπππcos cos cos sin sin sin 44422ρθθθθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭＝＋＋，∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即x 2＋y 2＝22x y +.化简整理，得221=4x y ⎛⎛-+ ⎝⎭⎝⎭，表示圆． 2答案：A 如图所示，设M(ρ，θ)(ρ≥0)是直线上任意一点，过M 作MH ⊥x 轴于H ，∵A π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴|MH|＝π2sin4在Rt △OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即，∴过A π2,4⎛⎫⎪⎝⎭且平行于极轴的直线方程为. 3答案：C ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ(ρcos θ－1)＝0，得ρ＝0或ρcos θ－1＝0，即x 2＋y 2＝0或x ＝1.4答案：A∴圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝－2(x －y)，化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，即ρ＝2(sin θ－cos θ)．5 答案：ρ＝4cos θ 方法一：如图，圆C 的圆心为C(4,0)，半径为|OC|＝4，连接CM.∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．∴点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.方法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)． ∵N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1，①∵M 是ON 的中点，∴112,.ρρθθ=⎧⎨=⎩将它代入①式得2ρ＝8cos θ，故点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.6 答案：解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)．则113=12cos ρθ-，21133==12cos π12cos ρθθ-(+)+.|AB|＝|ρ1＋ρ2|＝113312cos 12cos θθ+-+ 216=14cos θ-＝6，∴21114cos θ-＝±1.∴cos θ1＝0或cos θ1＝2±. 故直线AB 的极坐标方程为π=2θ或π=4θ或3π=4θ.7 答案：解：取A 为极点，AB 所在射线为极轴，建立极坐标系，∵AP 平分∠BAC ，MP 为BC 的中垂线，∴PB ＝PC. 设P(ρ，θ)，(ρ＞0，ππ<22θ-<且θ≠0)，则PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP·AC·cos θ＝ρ2＋16－8ρcos θ，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP·ABcos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ，∴ρ2＋16－8ρcos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ.即ρcos θ＝5(ρ＞0，ππ<22θ-<且θ≠0)． ∴点P 的轨迹方程为ρcos θ＝5(ρ＞0，ππ<22θ-<且θ≠0)．柱坐标系和球坐标系练习1设点M 的直角坐标为(－1，2)，则它的柱坐标是( )．A ．π1,,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．42,π,23⎛⎫⎪⎝⎭ C ．π2,,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．π3,,23⎛⎫ ⎪⎝⎭2设点P 的直角坐标为(－1，－1)，则它的球坐标为( )．A ．ππ2,,44⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．π52,,π44⎛⎫⎪⎝⎭ C ．5π2,π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3π2,π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭3如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，1π6,,52C ⎛⎫⎪⎝⎭，则此长方体的体积为( )．A ．100B ．120C ．160D ．240 4已知点N 的球坐标为π34,,π44⎛⎫⎪⎝⎭，则其直角坐标为( )．A ．(－2,2,)B ．(2,－2,)C ．(－2,－2,D ．(－2,2,－5在柱坐标系中，已知A π1,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π1,,22⎛⎫⎪⎝⎭及O(0,0,0)三点，则△ABO 的面积为__________．6已知点P 1的球坐标是ππ,34⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 2的柱坐标为π,13⎫⎪⎭，则|P 1P 2|2＝__________.7在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA ＝90°，棱|AA 1|＝2，M 是A 1B 1的中点．建立适当的坐标系，求点M 的空间直角坐标和柱坐标．8如图，在柱坐标系中，O(0,0,4)，A(3，θA,4)，B 1(3，θB1，0)，其中θA －θB1＝60°，求直线AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角和AB 1的长.3tan 374⎛⎫︒=⎪⎝⎭参考答案1 答案：B 设点M 的柱坐标为(r ，θ，z)，则tan =yxθ∵0≤θ＜2π，x ＜0，∴4=π3θ，r ＝1=4πcos cos 3x θ-＝2，z ＝2. ∴点M 的柱坐标为42,π,23⎛⎫⎪⎝⎭.2 答案：B 设P 点的球坐标为(r ，φ，θ)，则有tan θ＝1=1y x --＝1. ∵0≤θ＜2π，x ＜0，∴5=π4θ，r＝2.cos cos =r ϕϕ⇒.∵0≤φ≤π，∴π=4ϕ.∴P 点的球坐标为π52,,π44⎛⎫⎪⎝⎭.3答案：B 由长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，C 1π6,,52⎛⎫⎪⎝⎭，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO 1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.4答案：A 设点N 的直角坐标为(x ，y ，z)，则有π3sin cos 4sin cos π42,4422π3sin sin 4sin sin π=42,4422πcos 4cos 4x r y r z r ϕθϕθϕ⎧⎛⎫===⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪==⨯⨯=⎨⎪⎪===⎪⎪⎩∴点N 的直角坐标为(－2,2,)．5 答案：1 ∵A π1,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π1,,22⎛⎫⎪⎝⎭，O(0,0,0)，∴△OAB 为直角三角形．∴S △OAB ＝12|OA||AB|＝12×1×2＝1. 6答案：18设P 1的直角坐标为(x ，y ，z)， 则x＝rsin φcos θ＝ππsin cos 3422=⋅=y＝rsin φsin θ＝ππsin sin34z＝rcos φ＝πcos3∴P1.同理，点P2的直角坐标为,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭.∴|P1P2|2＝22==187 答案：解：建立如图所示的坐标系，过点M作底面xCy的垂线MN.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴N点在线段AB上．由点N分别作x轴，y轴的垂线NE，NF，根据已知，可得△ABC是等腰直角三角形，∴|NE|＝|NF|＝12.故点M的空间直角坐标为11,,222⎛⎫⎪⎝⎭.由于点M在平面xCy上的射影为点N，|CN|＝2，∠ECN＝π4，故点M的柱坐标为π,,224⎛⎫⎪⎪⎝⎭.8答案：解：如图，作OB∥O1B1，交上底圆周于点B，连接AB，BB1，∠AOB＝60°，则△OAB为等边三角形．∵BB 1∥OO 1，∴BB 1与AB 1所成的角就是AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角．又BB 1⊥圆O 所在的平面， ∴BB 1⊥AB.在Rt △ABB 1中，tan ∠AB 1B ＝1||3=||4AB B B ， ∴∠AB 1B ＝37°，|AB 1|5，即直线AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角为37°，AB 1的长为5.参数方程的概念练习1点P(3，b)在曲线1,21x y t ⎧⎪=⎨=--⎪⎩上，则b 的值为( )．A ．－5B ．3C ．5或－3D ．－5或32曲线21,43x t y t ⎧=+⎨=-⎩(t 为参数)与x 轴的交点坐标是( )．A ．(1,4)B ．25,016⎛⎫⎪⎝⎭ C ．(1，－3) D ．25,016⎛⎫± ⎪⎝⎭3动点M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为3 m/s 和4 m/s ，直角坐标系的长度单位是1 m ，点M 的起始位置在点M 0(2,1)处，则点M 的轨迹的参数方程是( )．A ．3,4x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数，t≥0)B ．23,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数，t≥0)C ．2,x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数，t≥0)D ．32,4x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数，t≥0)4参数方程2,sin 21tan tan x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(θ为参数)所表示的曲线是( )．A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线 5“由方程(),()x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点P(x ，y)都在曲线C 上”是“方程(),()x f t y g t =⎧⎨=⎩是曲线C 的参数方程”的________条件．6点E(x ，y)在曲线15cos ,25sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最大值与最小值分别为________．7已知曲线C 的参数方程是23,21x t y t =⎧⎨=+⎩(t 为参数)． (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a)在曲线C 上，求a 的值．8已知点P(x ，y)是圆x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0上的动点，求 (1)x ＋y 的最值；(2)点P 到直线x ＋y －1＝0的距离d 的最值．参考答案1答案：D 由点P＋1＝3，∴t ＝±2. 当t ＝2时，y ＝b ＝－5，当t ＝－2时，y ＝b ＝3.2 答案：B 把34y t +=代入x ＝1＋t 2，得x ＝1＋2316y (+)，即y 2＋6y －16x ＋25＝0.令y ＝0，得25=16x .∴曲线与x 轴的交点为25,016⎛⎫⎪⎝⎭. 3答案：B 设在时刻t 时，点M 的坐标为M(x ，y)，则23,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，t≥0)．4 答案：D y ＝tan θ－221sin cos sin cos ==tan cos sin sin cos θθθθθθθθθ-- cos2=1sin22θθ-∴平方得222cos 2=1sin 24y θθ，∵sin 2θ＝2x，∴cos 2θ＝∴22221=124x y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，整理，得x 2－y 2＝4. ∴曲线为双曲线． 5答案：必要不充分6答案：30＋30－x 2＋y 2＝(1＋5cos θ)2＋(2＋5sin θ)2＝30＋(10cos θ＋20sin θ)＝30＋tan α＝12，α为锐角，故x 2＋y 2的最大值与最小值分别为30＋30－7 答案：解：(1)把点M 1的坐标(0,1)代入23,21,x t y t =⎧⎨=+⎩有203,121,t t =⎧⎨=+⎩解得t ＝0，所以点M 1在曲线C 上．把点M 2的坐标(5,4)代入23,21,x t y t =⎧⎨=+⎩有253,421,t t =⎧⎨=+⎩这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C 上． (2)因为点M 3(6，a)在曲线C 上， 所以263,21,t a t =⎧⎨=+⎩解得t ＝2，a ＝9，所以a 的值为9. 8 答案：解：圆方程可化为(x －3)2＋(y －2)2＝1，用参数方程表示为3cos,2sin, xyθθ=+⎧⎨=+⎩由于点P在圆上，∴P(3＋cos θ，2＋sin θ)．则(1)x＋y＝3＋cos θ＋2＋sin θπ4θ⎛⎫+⎪⎝⎭.∴x＋y的最大值为5，最小值为5.(2)dπ|4|θ⎛⎫+⎪显然，当πsin=14θ⎛⎫+⎪⎝⎭时，d取最大值当πsin4θ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，d取最小值1.直线的参数方程练习1直线3sin20,cos20x ty t=+︒⎧⎨=︒⎩(t为参数)的倾斜角是( )．A．20° B．70°C．110° D．160°2直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x－y－2＝0于点M，则|MM0|等于( )．A＋1 B．＋1)C．6D．13直线23,1x ty t=+⎧⎨=-+⎩(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )．A．1 B．10 D．4过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则弦AB的长是( )．A．16 B．3 C．163D．3165直线12,2112x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t为参数)与圆x2＋y2＝1有两个交点A，B，若点P的坐标为(2，－1)，则|PA|·|PB|＝__________.6过点(6,7)，倾斜角的余弦值是2的直线l的参数方程为__________．7已知直线l经过点P(1，-，倾斜角为π3，求直线l与直线l′：y＝x－Q与点P的距离|PQ|.8已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角π6α=.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于点A和点B，求点P到A，B两点的距离之积．参考答案1答案：B 将=cos20yt ︒代入x ＝3＋tsin 20°，得x ＝3＋ytan 20°，即x －ytan 20°－3＝0.设直线的倾斜角为α，则tan α＝1tan20︒＝tan 70°.又α∈[0，π)，∴α＝70°.2答案：B 由题意可得直线l的参数方程为1=1,2=52x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩(t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t－5⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭－2＝0，解得t ＝－＋1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝＋1)．3 答案：B 将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点的坐标为(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公4 答案：C 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，又倾斜角为π3，所以弦AB 所在直线的参数方程为1=1,2x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)．代入抛物线方程y 2＝4x得到21=4122t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得3t 2－8t －16＝0.设方程的两个实根分别为t 1，t 2，则有12128=316=.3t t t t ⎧+⎪⎪⎨⎪⋅-⎪⎩，所以|t 1－t 2|163.故弦AB 的长为163.5答案：4 把直线的参数方程代入圆的方程，得221121=122t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A(1,0)，B(0,1)．∴|PA|，|PB|.4.6答案：=621=72x t y t⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)∵cos =2α，∴1sin =2α.∴=621=72x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)． 7答案：分析：根据题意写出l 的参数方程，代入l′的方程求出t 的值，再利用其几何意义求出距离．解：∵l 过点P(1，-，倾斜角为π3， ∴l的参数方程为π=1cos ,3π=sin 3x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(t 为参数)，即1=1,2=x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(t 为参数)．代入y ＝x－1=1+2t -- 解得t ＝4＋即t＝4为直线l 与l′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t|＝|PQ|，∴|PQ|＝4＋8 答案：分析：利用定义求出参数方程，再利用t 的几何意义求出距离之积．解：(1)因为直线l 过P(1,1)，且倾斜角π=6α，所以直线l的参数方程为=121=12x t y t⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得(1＋2)2＋(1＋12t )2＝4，整理，得t 2＋1)t －2＝0. 因为t 1，t 2是方程t 2＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2. 所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2.圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程练习1过点M(2,1)作曲线C：4cos,4sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为( )．A．y－1＝－12(x－2)B．y－1＝－2(x－2)C．y－2＝－12(x－1)D．y－2＝－2(x－1)2曲线=5cos,=3sinxyθθ⎧⎨⎩(θ是参数)的左焦点的坐标是( )．A．(－4,0) B．(0，－4) C．(－2,0) D．(0,2)3圆锥曲线4=cos=3tanxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ是参数)的焦点坐标是( )．A．(－5,0) B．(5,0) C．(±5,0) D．(0，±5)4P(x，y)是曲线=2cos=sinxyαα+⎧⎨⎩，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )．A．36 B．6 C．26 D．255点M(x，y)在椭圆22=1124x y+上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为__________，此时点M坐标是__________．6已知A，B分别是椭圆22=1369x y+的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．7求椭圆22=194x y+的参数方程．(1)设x＝3co s φ，φ为参数；(2)设y＝2t，t为参数．8已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．参考答案1答案：B 把曲线C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝16，表示圆心在原点，半径r ＝4的圆，所以过点M 的弦与线段OM 垂直，又12OM k =.∴弦所在直线的斜率为－2， ∴直线方程为y －1＝－2(x －2)．2答案：A 由=5cos =3sin x y θθ⎧⎨⎩，，得22259x y +＝1， ∴左焦点的坐标为(－4,0)．3答案：C 由4=cos =3tan x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，，得22169x y -＝1，∴它的焦点坐标为(±5,0)．4答案：A 由参数方程可知，(x －2)2＋y 2＝1，圆心O(2,0)，另一定点M(5，－4)， ∴|OM|5.∴(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为(5＋1)2＝62＝36.5答案： (－3，－1)椭圆参数方程为=2sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)，则点M(θ，2sin θ)到直线x ＋y －4＝0的距离dπ|4sin 4|=θ⎛⎫+- ⎪当π3π=32θ+时，max d ＝.此时，点M 的坐标为(－3，－1)．6 答案：=22cos ,=1sin x y θθ+⎧⎨+⎩π02θθθ⎛⎫≠≠ ⎪⎝⎭为参数，且 由于动点C 在该椭圆上运动，故可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心G 的坐标为(x ，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)，由重心坐标公式可知有606cos ==22cos ,3033sin ==1sin 3x y θθθθ++⎧+⎪⎪⎨++⎪+⎪⎩π02θθθ⎛⎫≠≠ ⎪⎝⎭为参数，且.7 答案：分析：把x ，y 含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程．解：(1)把x ＝3cos φ代入椭圆方程，得229cos =194y ϕ+， ∴y 2＝4(1－cos 2φ)＝4sin 2φ，即y ＝±2sin φ.由φ的任意性，可取y ＝2sin φ.∴22=194x y +的参数方程为=3cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)． (2)把y ＝2t 代入椭圆方程，得224=194x t +.∴x 2＝9(1－t 2)，∴=x ±.∴参数方程为=2x y t⎧⎪⎨⎪⎩(t 为参数)或==2x y t ⎧⎪-⎨⎪⎩为参数)．8答案：分析：利用双曲线的参数方程代入距离公式，利用三角函数公式进行转化．证明：设d 1为点M 到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点M 到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点M 在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点M 的坐标为1tan cos αα⎛⎫⎪⎝⎭，.1d，2d ，d 1·d 2＝221tan 1cos =22αα-，故d 1与d 2的乘积是常数．参数方程化成普通方程练习1方程1=,=2x t t y ⎧+⎪⎨⎪⎩表示的曲线为( )．A ．一条直线B ．两条射线C ．一条线段D ．抛物线的一部分2曲线21=1,=1x t y t⎧-⎪⎨⎪-⎩(t 为参数，t≠0)的普通方程为( )．A ．(x －1)2(y －1)＝1 B ．22=1x x y x --（）（）C ．y ＝211x -（）－1 D ．y ＝21xx -＋1 3参数方程=1,=35x q y q+⎧⎨+⎩(q 为参数)化为普通方程是( )．A ．5x －3y ＝1B ．5x －y ＝1C ．5x －y ＝2D ．x －5y ＝2 4参数方程=cos ,=cos21x y θθ⎧⎨+⎩(θ为参数)表示的曲线是( )．A ．直线B ．抛物线的一部分C ．圆的一部分D ．椭圆的一部分5将3=31,=x t y t +⎧⎨⎩(t 为参数)化成普通方程为__________． 6点(x ，y)是曲线C ：=2cos ,=sin x y θθ-+⎧⎨⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx 的取值范围是__________．7设P 是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，求x ＋2y 的最大值和最小值．8将曲线C ：=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨-+⎩(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．参考答案1 答案：B x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t ≥2. 当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴y ＝2(x≥2或x≤－2)表示的曲线为两条射线．2答案：B ∵x ＝1－1t，∴1=1t x -，∴y ＝1－t 2＝1－2222122==111x x x x x x x -(-)(-)(-)(-). 3答案：C ∵=1=35x q y q +⎧⎨+⎩，，∴5=55=35x q y q +⎧⎨+⎩， ①， ②①－②得5x －y ＝2.4 答案：B ∵y ＝cos 2 θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2， 又∵x ＝cos θ，∴－1≤x≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x≤1)，它是抛物线的一部分．5 答案：31=27x y (-) 由x ＝3t ＋1得1=3x t -，代入y ＝t 3，得31=27x y (-).6答案：33⎡-⎢⎣⎦， 曲线C ：=2cos =sin x y θθ-+⎧⎨⎩，是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1.设=yk x ，∴y ＝kx.当直线y ＝kx 与圆相切时，k＝1，解得21=3k .∴yx的取值范围是33⎡-⎢⎣⎦，. 7 答案：分析：把椭圆方程转化成参数方程，利用三角关系进行求值．解：椭圆的标准方程为22=164x y +.∴参数方程为=2sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)．∴x ＋2yθtan φ＝4，∵sin(θ＋φ)∈[－1,1]，∴x ＋2y∈[-．即x ＋2y，最小值为8 答案：解：∵=cos =1sin x y θθ⎧⎨-+⎩，，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∴曲线C 是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆． 若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离d≤1，解得1.∴a的取值范围为[1．平摆线和渐开线练习1给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )．A．①③ B．②④C．②③ D．①③④2平摆线=2sin=21cosx t ty t(-)⎧⎨(-)⎩，(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )．A．(π－2,2)B．(3π＋2,2)C．(π－2,2)或(3π＋2,2)D．(π－3,5)3如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )．A．3π B．4π C．5π D．6π4我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线()()sin,1cosx ry rϕϕϕ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为( )．A．=sin,=1cosx ry rϕϕϕ(-)⎧⎨(-)⎩(φ为参数)B．=1cos,=sinx ry rϕϕϕ(-)⎧⎨(-)⎩(φ为参数)C．,1x rsiny r cosϕϕ=⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)D．1cos,sinx ry rϕϕ=(-)⎧⎨=⎩(φ为参数)5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数π2ϕ=，则点P的坐标为________．7已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．8已知圆的渐开线cos sin,sin cosx ry rϕϕϕϕϕϕ=(+)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．参考答案1 答案：C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和平摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．2答案：C 由y＝2得2＝2(1－cos t)，∴cos t＝0.∵0≤t≤2π，∴π=2t或3π2.∴x1＝ππ2sin22⎛⎫-⎪⎝⎭＝π－2，x2＝332πsinπ22⎛⎫-⎪⎝⎭＝3π＋2.∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．3答案：C 根据渐开线的定义可知，AE是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF是半径为2的14圆周长，长度为π；FG是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.4答案：B 关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．5 答案：6kπ(k∈Z) ∵r＝3，∴平摆线的参数方程为=33sin=33cosxyϕϕϕ-⎧⎨-⎩，(φ为参数)．把y＝0代入，得cos φ＝1.∴sin φ＝0，∴φ＝2kπ(k∈Z)．∴x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．6 答案：(π，2) 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为=2cos sin=2sin cosxyϕϕϕϕϕϕ(+)⎧⎨(-)⎩，(φ为参数)．当π=2ϕ时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．7答案：解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40 mm，∴此平摆线的参数方程为=40sin=401cosx t ty t(-)⎧⎨(-)⎩，(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．8 答案：解：把已知点(3,0)代入参数方程得3=cos sin0=sin cosrrϕϕϕϕϕϕ(+)⎧⎨(-)⎩，，解得=0=3.rϕ⎧⎨⎩，所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.。

平摆线和渐开线
【学习目标】
1．掌握平摆线和渐开线的定义。

2．熟练运用平摆线和渐开线解决问题。

3．亲历平摆线和渐开线性质的探索过程，体验分析归纳得出平摆线和渐开线性质结论的过程，发展探究、交流能力。

【学习重难点】
重点：掌握平摆线和渐开线的定义。

难点：平摆线和渐开线性质的实际应用。

【学习过程】
一、新课学习
知识点一：平摆线
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫做平摆线。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．平摆线的定义是什么？
2.平摆线有什么作用？
2．知识点二：渐开线
在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹叫做渐开线。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．什么是渐开线？
2．渐开线有什么作用？
三、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．这节课我们主要学习了哪些解题方法？步骤是什么？
四、习题检测
1．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为32mm，求齿廓线的渐开线的参数方程。

2．平面直角坐标系中，若圆的摆线过点（1,0），求这条摆线的参数方程。

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)一、选择题1.如图2­4­1为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当∠AOB ＝π3时，圆的渐开线上的点M 到基圆上B 点的距离为()图2­4­1A.π3 B.2π3 C.4π3 D.π【解析】 由圆的渐开线的形成过程知|BM |＝AB ＝π3×2＝2π3. 【答案】 B2.摆线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2 t －sin t ，y ＝2 1－cos t (t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2,2)，(3π＋2,2)B.(π－3,2)，(3π＋3,2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2,2)，(2π＋2,2)【解析】 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈1.已知平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2 α－sin α ，y ＝2 1－cos α (α为参数)，则摆线上的点(4π，0)对应的参数α的值是( )A.πB.2πC.4πD.3π 【解析】 因⎩⎪⎨⎪⎧ 2 α－sin α ＝4π，2 1－cos α ＝0. ①②由②得cos α＝1，∴α＝2k π(k ∈Z ).代入①得2(2k π－sin 2k π)＝4k π(k ∈Z )，即2k π＝2π(k ∈Z )，所以取k ＝1，此时α＝2π，因此点(4π，0)对应的参数值为α＝2π.【答案】 B2.如图2­4­2，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH 的长是( )【导学号：12990034】图2­4­2A.3πB.4πC.5πD.6π【解析】 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 【答案】 C3.已知平摆线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________.【解析】 由已知方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1· α－sin α ，y ＝1· 1－cos α ，知基圆半径为r ＝1，∴拱高为2r ＝2，周期为2π.【答案】 2 2π4.已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程；(3)求平摆线和x 轴的交点.【解】 (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6， 恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z ).代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z ).。

§4 平摆线和渐开线4．1 平摆线4．2 渐开线1．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4θ－4sin θ，y ＝4－4cos θ(θ为参数)，则该圆的面积是( ) A ． 6πB ．12πC ．16πD ．32π解析：因为圆的半径r ＝4，所以S ＝16π.故选C ．答案：C2．下列关于渐开线与平摆线的命题，为真的是( )A ．对于同一个圆，直角坐标系建立的位置不同，画出的渐开线的形状就不同B ．平摆线与渐开线一样，只是绘图的方法不同，才得到不同的图像C ．圆的渐开线的参数方程不能化为普通方程D ．平摆线一个拱的宽度等于半圆的周长，拱高等于半径解析：若圆的半径确定，则其渐开线就确定；平摆线与渐开线是完全不同的，得出的图像也不同；圆的渐开线的参数方程不能化为普通方程；平摆线一个拱的宽度等于圆的周长，拱高等于直径．答案：C3．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，则此渐开线的基圆的直径是( )A ．3B ．4C ．5D ． 6解析：由圆的渐开线的参数方程，知基圆的半径r ＝2，则其直径为4.答案：B4．已知某渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，根据参数方程可以得出该渐开线的基圆半径为________，当φ＝π2时，对应的曲线上的点的坐标为________. 解析：基圆半径为r 的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)， 与题中所给参数方程对照可知r ＝3，φ＝π2时对应的点为⎝⎛⎭⎫3π2，3. 答案：3 ⎝⎛⎭⎫3π2，3 5．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据平摆线的参数方程可知圆的半径为4，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．。

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知直线的参数方程为(t为参数),则直线上与点P(4,5)的距离等于的点的坐标是()A.(-4,5)B.(3,6)C.(3,6)或(5,4)D.(-4,5)或(0,1),可得|t|=⇒t=±,将t代入原方程,得所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4).2.设r>0,则直线x cos θ+y sin θ=r与圆(φ是参数)的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.视r的大小而定,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d==r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.3.参数方程(t为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线x=4t+可知,x≥4或x≤-4,又y=-2,故参数方程(t为参数)所表示的曲线是两条射线.4.已知圆的渐开线的参数方程为(φ为参数),则渐开线与x轴的交点可以是()B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)5.曲线(θ为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上两式平方相加得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x上.故选B.6.双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±3x-x2=1.故渐近线方程为y=±2x.7.已知椭圆的参数方程(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为()A. B.- C.2 D.-2t=时,x=1,y=2,则M(1,2),故直线OM的斜率k=2.8.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程(t,φ,θ为参数)是()A. B.C. D.x2+y-1=0中x可以取得一切实数.选项A中x大于等于-1,小于等于1,故不满足题意.选项B中,结合正切函数图像可知,满足题意,故成立.选项C中,由偶次根式的定义可知,x>0,故x不可取得一切实数,不满足题意.选项D中,同理可知结合正弦函数的有界性可知x不能取得一切实数,故不满足题意.9.已知过曲线(θ为参数,π≤θ≤2π)上一点P与原点O的直线PO,倾斜角为,则点P的极坐标为() A. B.C. D.=1(y≥0),与直线PO:y=x联立可得点P的坐标为.利用直角坐标与极坐标转化公式即可得到点P的极坐标.10.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4sin,则直线l和曲线C的公共点有()B.1个C.2个D.无数个11.参数方程(t为参数)所表示的曲线是(),则有t=,把t=代入y=中得x2+y2=1,当x>0时,y≥0;当x<0时,y≤0.对照选项,可知D正确.12.导学号73144044参数方程(θ为参数)化成普通方程是()A.2x-y+4=0B.2x+y-4=0C.2x-y+4=0,x∈[2,3]D.2x+y-4=0,x∈[2,3]x=2+sin2θ=,cos 2θ=y+1,∴x=,即2x+y-4=0.又∵0≤sin2θ≤1,∴x∈[2,3].故选D.(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知椭圆C的参数方程为(θ为参数),且椭圆C经过点,则m=,离心率e=.x2+=1.把代入,得m2+=1,得m=±.∵a=2,b=1,∴c=,∴e=.14.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1为(s为参数),直线l2为(t为参数),若直线l1与l2平行,则常数a的值为.的普通方程为x=2y+1,l2的普通方程为x=a·,即x=y+,∵l1∥l2,∴2=.∴a=4.115.导学号73144045若过点P(-3,3),且倾斜角为的直线交曲线(φ为参数)于A,B两点,则|AP|·|PB|=.(t为参数),依题意得消去φ,得t2+t+=0,设其两根为t1,t2,则t1t2=,故|AP|·|PB|=|t1||t2|=|t1·t2|=.16.已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C的方程为.(t为参数)与x轴的交点为(-1,0),则r=,故圆C的方程为(x+1)2+y2=2.x+1)2+y2=2(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈.(1)求曲线C的参数方程.(2)设点D在曲线C上,曲线C在点D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D的坐标.曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得曲线C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知曲线C是以(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为曲线C在点D处的切线与直线l垂直,所以tan t=,t=.故点D的直角坐标为,即.18.(本小题满分12分)已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数).(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.圆C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.所以圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(2)因为点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离d=,所以△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=.所以△ABM面积的最大值为9+2.19.(本小题满分12分)已知直线l(t为参数,α≠kπ,k∈Z)经过椭圆C(φ为参数)的左焦点F.(1)求m的值;(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|F A|·|FB|的最小值.∵椭圆C的普通方程为=1,∴F(-1,0).直线l的普通方程为y=tan α(x-m),∵α≠kπ,k∈Z,tan α≠0,∴0=tan α(-1-m),∴m=-1.(2)将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程=1中,并整理,得(3cos2α+4sin2α)t2-6t cos α-9=0.设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2.则|F A|·|FB|=|t1t2|=.当sin α=±1时,|F A|·|FB|取最小值.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别交x轴于P,Q两点.求证:|OP|·|OQ|为定值.M(4cos φ,2sin φ),φ为参数,B1(0,-2),B2(0,2).则MB1的方程为y+2=x=x,令y=0,得x=,即|OP|=.MB2的方程为y-2=x=x,令y=0,得x=,即|OQ|=.故|OP|·|OQ|===16.21.(本小题满分12分)已知直线l为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.22.导学号73144046(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+5=0.(1)若直线l与曲线C有公共点,求a的取值范围;M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.将曲线C的极坐标方程ρ2-6ρcos θ+5=0化为直角坐标方程为x2+y2-6x+5=0.直线l的参数方程为(t为参数).将(t为参数)代入x2+y2-6x+5=0整理得,t2-8t cos α+12=0.∵直线l与曲线C有公共点,∴Δ=64cos2α-48≥0,∴cos α≥或cos α≤-.又∵α∈[0,π),∴α的取值范围是.(2)曲线C的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,其参数方程为(θ为参数).∵M(x,y)为曲线C上任意一点,∴x+y=3+2cos θ+2sin θ=3+2sin,∴x+y的取值范围是[3-2,3+2].。

学业分层测评(九)(建议用时：分钟)一、选择题.如图­­为圆的渐开线，已知基圆的半径为，当∠＝时，圆的渐开线上的点到基圆上点的距离为( )图­­.π【解析】由圆的渐开线的形成过程知＝＝×＝.【答案】.摆线(\\(＝－，＝－))(为参数，≤<π)与直线＝的交点的直角坐标是( ).(π－)，(π＋).(π－)，(π＋).(π，)，(－π，).(π－)，(π＋)【解析】由＝(－ )得＝.∵∈.已知平摆线的参数方程(\\(＝α－α，＝－α))(α为参数)，则摆线上的点(π，)对应的参数α的值是( )π.πππ【解析】因(\\(α－α＝π，－α＝.))(\\(①,②))由②得α＝，∴α＝π(∈).代入①得(π－π)＝π(∈)，即π＝π(∈)，所以取＝，此时α＝π，因此点(π，)对应的参数值为α＝π.【答案】.如图­­，是边长为的正方形，曲线…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，…的圆心依次按，，，循环，它们依次相连结，则曲线的长是( )【导学号：】图­­ππππ【解析】根据渐开线的定义可知，是半径为的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为的圆周长，长度为π；是半径为的圆周长，长度为；是半径为的圆周长，长度为π.所以曲线的长是π.【答案】.已知平摆线的方程为(\\(＝α－α，＝－α))(α为参数)，则该平摆线的拱高是，周期是.【解析】由已知方程可化为(\\(＝α－α，＝－α，))知基圆半径为＝，∴拱高为＝，周期为π.【答案】π.已知圆的参数方程是(\\(＝＋α，＝＋α))(α为参数)和直线对应的普通方程是－－＝.()如果把圆心平移到原点，平移后圆和直线有什么关系？()写出平移后圆的平摆线方程；()求平摆线和轴的交点.【解】()圆平移后圆心为()，它到直线－－＝的距离为＝＝，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.()由于圆的半径是，所以可得平摆线方程是。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作直线的参数方程练习1直线3sin20,cos20x t y t =+︒⎧⎨=︒⎩(t 为参数)的倾斜角是( )． A ．20° B ．70° C ．110° D ．160° 2直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )． A ．3＋1 B ．6(3＋1)C ．6＋3D ．63＋13直线23,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )． A ．1 B ．10 C ．10 D ．224过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长是( )． A ．16 B ．3 C ．163 D ．3165直线12,2112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝__________.6过点(6,7)，倾斜角的余弦值是32的直线l 的参数方程为__________． 7已知直线l 经过点P (1，33-)，倾斜角为π3，求直线l 与直线l ′：y ＝x －23的交点Q 与点P 的距离|PQ |.8已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角π6α=.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于点A和点B，求点P到A，B两点的距离之积．参考答案1答案：B 将=cos20y t ︒代入x ＝3＋t sin 20°，得x ＝3＋y tan 20°，即x －y tan 20°－3＝0.设直线的倾斜角为α，则tan α＝1tan20︒＝tan 70°. 又α∈[0，π)，∴α＝70°. 2答案：B 由题意可得直线l 的参数方程为1=1,23=52x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩(t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －352t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭－2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．3 答案：B 将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点的坐标为(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式，得所求距离为222510=10(-)+(--).4 答案：C 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，又倾斜角为π3，所以弦AB 所在直线的参数方程为1=1,23=2x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)．代入抛物线方程y 2＝4x 得到231=4122t t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得3t 2－8t －16＝0. 设方程的两个实根分别为t 1，t 2，则有12128=316=.3t t t t ⎧+⎪⎪⎨⎪⋅-⎪⎩，所以|t 1－t 2|＝212124t t t t (+)- 286416==333⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故弦AB 的长为163. 5答案：4 把直线的参数方程代入圆的方程， 得221121=122t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝2211=2+，|PB |＝2222=22+. ∴|PA |·|PB |＝222⨯＝4.6 答案：3=621=72x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数) ∵3cos =2α，∴1sin =2α. ∴3=621=72x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)． 7答案：分析：根据题意写出l 的参数方程，代入l ′的方程求出t 的值，再利用其几何意义求出距离．解：∵l 过点P (1，33-)，倾斜角为π3， ∴l 的参数方程为π=1cos ,3π=33sin 3x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩(t 为参数)，即1=1,23=332x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩(t 为参数)． 代入y ＝x －23，得3133=1+2322t t -+-， 解得t ＝4＋23，即t ＝23＋4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝|PQ |，∴|PQ |＝4＋23.8 答案：分析：利用定义求出参数方程，再利用t 的几何意义求出距离之积．解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角π=6α，所以直线l 的参数方程为3=121=12x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4，整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2.。

4.1 平摆线4.2 渐开线1.已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的面积是( ）A。

1B。

πC。

2D。

2π解析：由参数方程知基圆的半径为1,故其面积为π。

答案:B2.下列各点中,在圆的摆线（φ为参数）上的是( )A。

（π，0）B.(π，1)C.（2π,2）D.（2π，0)解析：依次将点代入验证即可。

答案：D3.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”,其中AE，EF,FG,GH…的圆心依次按B,C，D，A循环,它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是（）A。

3πB。

4πC。

5π D.6π解析：根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长，长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π。

所以曲线AEFGH的长是5π。

答案：C4.已知一个圆的参数方程为（φ为参数）,那么圆的摆线方程中与参数φ=对应的点A与点B之间的距离为( ）A。

—1B。

C。

D.解析：根据圆的参数方程可知,圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为（φ为参数)，把φ=代入参数方程中可得即A，∴|AB｜=。

答案: C5.当φ=时，圆的摆线（φ为参数)上对应的点的坐标是。

答案：（2π—4，4)6。

已知一个圆的摆线方程是（φ为参数)，则该圆的面积为，对应圆的渐开线方程为。

答案：16π(φ为参数)7.已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数），则此渐开线对应的基圆的直径是,当参数φ=时对应的曲线上的点的坐标为。

解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当φ=时对应的坐标只需把φ=代入曲线的参数方程,得x=,y=，由此可得对应的点的坐标为.答案：28。

已知平摆线的生成圆的直径为80mm,写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高。

解：∵平摆线的生成圆的半径r=40mm，∴此平摆线的参数方程为（t为参数)，它一拱的拱宽为2πr=2π×40=80π(mm)，拱高为2r=2×40=80(mm）。

圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程练习1过点M(2,1)作曲线C：4cos,4sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为( )．A．y－1＝－12(x－2)B．y－1＝－2(x－2)C．y－2＝－12(x－1)D．y－2＝－2(x－1)2曲线=5cos,=3sinxyθθ⎧⎨⎩(θ是参数)的左焦点的坐标是( )．A．(－4,0) B．(0，－4) C．(－2,0) D．(0,2)3圆锥曲线4=cos=3tanxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ是参数)的焦点坐标是( )．A．(－5,0) B．(5,0) C．(±5,0) D．(0，±5)4P(x，y)是曲线=2cos=sinxyαα+⎧⎨⎩，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )．A．36 B．6 C．26 D．255点M(x，y)在椭圆22=1124x y+上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为__________，此时点M坐标是__________．6已知A，B分别是椭圆22=1369x y+的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．7求椭圆22=194x y+的参数方程．(1)设x＝3cos φ，φ为参数；(2)设y＝2t，t为参数．8已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．参考答案1答案：B 把曲线C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，所以过点M 的弦与线段OM 垂直，又12OM k =.∴弦所在直线的斜率为－2， ∴直线方程为y －1＝－2(x －2)． 2答案：A 由=5cos =3sin x y θθ⎧⎨⎩，，得22259x y +＝1， ∴左焦点的坐标为(－4,0)．3答案：C 由4=cos =3tan x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，，得22169x y -＝1， ∴它的焦点坐标为(±5,0)．4答案：A 由参数方程可知，(x －2)2＋y 2＝1，圆心O (2,0)，另一定点M (5，－4)，∴|OM |＝225240(-)+(--)＝5.∴(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为(5＋1)2＝62＝36. 5 答案：42 (－3，－1) 椭圆参数方程为=23cos =2sinx y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)，则点M (23cos θ，2sin θ)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|23cos 2sin 4|2θθ+-π|4sin 4|3=2θ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 当π3π=32θ+时，max 42d ＝. 此时，点M 的坐标为(－3，－1)．6 答案：=22cos ,=1sin x y θθ+⎧⎨+⎩π02θθθ⎛⎫≠≠ ⎪⎝⎭为参数，且 由于动点C 在该椭圆上运动，故可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6,0)，B (0,3)， 由重心坐标公式可知有606cos ==22cos ,3033sin ==1sin 3x y θθθθ++⎧+⎪⎪⎨++⎪+⎪⎩ π02θθθ⎛⎫≠≠ ⎪⎝⎭为参数，且. 7 答案：分析：把x ，y 含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程．解：(1)把x ＝3cos φ代入椭圆方程，得229cos =194y ϕ+，∴y 2＝4(1－cos 2φ)＝4sin 2φ，即y ＝±2sin φ.由φ的任意性，可取y ＝2sin φ. ∴22=194x y +的参数方程为=3cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)． (2)把y ＝2t 代入椭圆方程，得224=194x t +. ∴x 2＝9(1－t 2)，∴2=31x t ±-. ∴参数方程为2=31,=2x t y t ⎧⎪-⎨⎪⎩(t 为参数)或2=31,=2x t y t⎧⎪--⎨⎪⎩(t 为参数)．8答案：分析：利用双曲线的参数方程代入距离公式，利用三角函数公式进行转化． 证明：设d 1为点M 到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点M 到渐近线y ＝－x 的距离，因为点M 在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点M 的坐标为1tan cos αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 11tan cos =2d αα-，21tan cos =2d αα+， d 1·d 2＝221tan 1cos =22αα-， 故d 1与d 2的乘积是常数．。