对抽象函数周期性的认识

抽象函数是一种数学概念，它是一种无限维的函数，用于描述某种连续变化的关系。

抽象函数可以具有周期性和对称性。

周期性是指函数在一段时间内重复出现的性质。

抽象函数可以具有周期性，这意味着在一个固定的时间段内，函数的值会重复出现。

对称性是指函数的形状是对称的。

抽象函数可以具有对称性，这意味着函数的形状具有对称性，即函数的左半部分与右半部分形状相似。

抽象函数的周期性和对称性可以帮助我们了解函数的性质，并为我们的数学建模和解决问题提供帮助。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。

这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。

2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。

如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。

奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。

如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。

偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。

3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。

傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。

4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。

周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。

具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。

所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。

综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。

一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。

2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。

特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。

二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

从抽象函数形式看函数性质—— 抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现㈠周期性定义：任意I ，I ∈x 是定义域，都有=()(+T)，T f x f x 是非零常数。

则 ()f x 是周期函数，其周期是T 。

推广：①I ，∀∈x 都有),22(+)=(-T T f x f x 则()f x 是以T 为周期的周期函数。

②I ，∀∈x 都有()=()++f x A f x B ，A ，B 是常数，则()f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。

下面给出证明：令,+=∴=-∴+=-+x A X x X A x B X A B 。

()()()∴=+-∴f X f X B A f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。

另可发现规律：括号内两项之差为定值T ，周期T=定值。

③若存在非零常数T ，使()()0+-=f x T f x ，则()f x 是周期的周期函数。

联想：()()0++=f x T f x 是不是周期函数呢？事实上，若()（）+=-f x T f x 成立，则()（）+=-f x T f x ()()⎡⎤⎣⎦=---=-f x T f x T ， ()∴f x 是以2T 为周期的周期函数。

证明：11()=(),()1()()+==-∴-f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

1(),()()⑤若+=-∴f x T f x f x 是以2T 为周期的周期函数。

11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

证明：11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

㈡对称性①偶函数()f x 关于y 轴0=x 对称，()()。

-=f x f x②结论1：()f x 的图象关于=x a 对称()()⇔+=-f a x f a x证明：⇐对,0∀x 不妨令,00>x 在（,0）a 右侧0x 处，取+0,=x a x 对应纵坐标()10=+y f a x 。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。

抽象函数的对称性与周期性抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性定理1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(b-x)$，则函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$ 对称。

推论1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$（或 $f(2a-x)=f(x)$），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。

推论2：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$，又若方程 $f(x)=0$ 有 $n$ 个根，则此 $n$ 个根的和为 $na$。

定理2：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)+f(b-x)=c$（$a,b,c$ 为常数），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$ 对称。

推论1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)+f(a-x)=0$（$a$ 为常数），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(a,0)$ 对称。

定理3：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，则函数$y=f(a+x)$ 与 $y=f(b-x)$ 两函数的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$ 对称。

定理4：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，则函数$y=f(a+x)$ 与 $y=c-f(b-x)$ 两函数的图像关于点$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$ 对称。

性质1：对函数 $y=f(x)$，若 $f(a+x)=-f(b-x)$ 成立，则$y=f(x)$ 的图像关于点 $(2,0)$ 对称。

性质2：函数 $y=f(x-a)$ 与函数 $y=f(a-x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。

性质3：函数 $y=f(a+x)$ 与函数 $y=f(a-x)$ 的图像关于直线 $x=0$ 对称。

抽象函数的周期性、对称性和奇偶性及其应用周金国江苏省盐城市伍佑中学(224041)抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出具体表达式的函数，解决这类问题与解决具体函数问题的思路和方法并不完全相同，对抽象思维能力有着较高的要求，因而一直是高考考查的热点之一．本文在关于抽象函数的周期性、对称性和奇偶性讨论的基础上，通过几个例题的研究，为解决此类抽象函数问题提供一些常用方法，力求使此类问题的解法有“章”可循.1几个重要性质性质1定义在R 上的函数()f x ，若()f a x +=()f bx ，则函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称.反之，若函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称，则必有()()f a x f b x +=成立．当a b =时，()f x 的图象关于直线x a =对称.特别地当0a b ==时，函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称.简证：若()()f a x f b x +=.设(,())P m f m 为()f x 的图象上的任一点,而P 关于直线()/2x a b =+的对称点为(,())Q a b m f m +，因为()[()]f m f b b m =[()]()f a bm f a bm =+=+，所以点Q 也在()f x 的图象上，即函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称.若函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称，设(,())P m f m 为()f x 的图象上的任一点,而P 关于直线()/2x a b =+的对称点为(,())Q a b m f m +也在()f x 的图象上，所以()()f m f a b m =+，令b m x =，则m b x =，所以()()f a x f b x +=.性质2定义在实数集R 上的函数()f x ，若()()(0)f x a f x b a b +=+≠恒成立，则()f x 是以a b +为一个周期的周期函数.反之，若0a b +≠为函数V 的一个周期，则必有()()f x a f x b +=成立.特别当a b =时，()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：因为()()f x a f x b +=，令t x b =，则x t b =+，所以()()f t f t a b =++,故()f x 是以a b+为一个周期的周期函数.同理，若0a b +≠为函数()f x 的一个周期，则()()f t f t a b =++，令t x b =，则x t b =+，所以()()f x a f x b +=.性质3定义在R 上的函数()f x ，若()()f x f x a b ++=恒成立，则()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：在()()f x f x a b ++=中，将x 用x a +来代替，得()(2)f x a f x a b +++=,联立()()f x f x a b++=与()(2)f x a f x a b +++=，消去()f x a +得()(2)f x f x a =+，所以2a 为()f x 的周期.性质4定义在R 上的函数()f x ，若()f x =1()f x a ±+恒成立，则()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：在1()()f x f x a =±+中，将x 用x a +来代替，得1()(2)f x a f x a +=±+,联立1()()f x f x a =±+与1()(2)f x a f x a +=±+，消去()f x a +得()(2)f x f x a =+，所以2a 为()f x 的周期.性质5定义在R 上的函数()f x 若满足()()f a x f bx +=,且()()f c x f dx +=，则()f x 是一个周期函数,它的一个周期为|()()|a b c d ++.简证：由()()f a x f b x +=,得()()f x f a b x =+,由()()f c x f d x +=，得()()f x f c d x =+,所以()()f c d x f a b x +=+即()()f x f x a b c d =++,故()f x 是一个周期函数,它的一个周期为|()()|a b c d ++.性质6定义在R 上的函数()f x ，若()f a x ++()2f a x b =恒成立，则()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.特别当0b =时，()y f x =的图象关于点(,0)a 对称.当0a b ==时，()y f x =是奇函数，图象2008年第5期福建中学数学17关于点(0,0)对称.简证若()()2f a x f a x b++=,设(,())P m f m为()f x的图象上的任一点，而P关于直线点(,)a b的对称点为(2,2())Q a m b f m，令x a m=，则()()2f a a m f m b++=，故(2)2()f a m b f m=，所以点Q也在()y f x=的图象上，即()y f x=的图象关于点(,)a b对称.推论1定义在R上的函数()f x，若()f a x+= ()f a x且()()2f b x f b x c++=恒成立，则()y f x=为周期函数，4()b a是函数的一个周期.简证：因为()()f a x f a x+=，所以()(2)f x f a x=，①又由()()2f b x f b x c++=，得()(2)2f x f b x c+=，②用2a x代换x，得(2)(22)2f a x f b a x c++=，③由①②③得(2)(22)f b x f b a x=+而[4()][22(22)]f b a x f b a b a x+=++[2(22)](2)()f b b a x f a x f x=+==，所以()y f x=为周期函数，4()b a是函数的一个周期.推论2定义在R上的函数()f x，若()f a x++ ()2f a x c=且()()2f b x f b x c++=恒成立，则()y f x=为周期函数，2()b a是函数的一个周期.简证：由()()2f a x f a x c++=，得()(2)2f x f a x c+=，①又()()2f b x f b x c++=，得()(2)2f x f b x c+=，②由①②得(2)(2)f b x f a x=而[2()][2(2)]f b a x f b a x+=[2(2)]()f a a x f x==，所以()f x为周期函数,2()b a是函数的一个周期.性质7定义在R上的函数()f x，若()(f x f x= )()a f x a++恒成立，则()y f x=是周期函数，且6a是它的一个周期.简证：由()()()f x f x a f x a=++，得()(2)()f x a f x a f x+=++，两式相加得(2)()f x a f x a+=，所以()(3)(6)f x f x a f x a=+=+，故()y f x=是周期函数，且6a是它的一个周期.应用举例例1设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c R a=++∈≠满足：(1)当x R∈时，(4)(2)f x f x=且()f x x≥(2)()f x在R上的最小值为0；(3)当(0,2)x∈时，2()(1)/4f x x≤+，求()f x的表达式.解：由(4)(2)f x f x=知，()f x的图象关于1x=对称，所以/(2)1b a=,即2b a=；①由(2)知1x=时，0y=,即0a b c+=；②由(1)知(1)1f≥，又由(3)知(1)1f≤，所以(1)1f=即1a b c++=.③由①、②、③得1/4,1/2,1/4a b c===，因此2()/4/21/4f x x x=++.例2定义在R上的偶函数()f x，恒有(1)f x+(1)f x=成立，且当[2,3]x∈时，()f x x=，则当[2,0]x∈时，()f x的表达式为()A.4x+ B.2xC.3|1|x+ D.2|1|x++解析：根据题意,()f x是以2为周期的函数..当[2,1]x∈时，4[2,3]x+∈，所以()(4)4f x f x x=+=+；当[0,1]x∈时，2[2,3]x+∈，所以()(2)2f x f x x=+=+；又()f x为偶函数,当[1,0,]x∈时，[0,1]x∈，所以()()2f x f x x==+;故当[2,0,]x∈时，合并得,()3|1|f x x=+,选C.例3设()f x是定义在实数集R上的奇函数，且满足()(2)f x f x a++=，(1)0f=，其中a为常数，试判断方程()0f x=在(3，7)内至少有几个根？解析：根据性质3，4为()f x的周期，于是(5)(1)0,(3)(1)0f f f f====，(4)(0)0f f==.所以1，0，1，3，4，5是方程()0f x=在(3，7)内的6个根;另一方面，在()(4)()f x f x f x=+=中，令4x x+=，得2,(2)0x f==.于是(6)(2)(2)0f f f===，所以2，2，6是方程()0f x=在(3，7)内的3个根.因此方程()0f x=在(3，7)内至少有9个根.例4定义在实数集R上的函数()f x，若()f x= 1/(2)f x+，且当[2,2)x∈时，()f x=/21x+，则当[2,24)x n n∈+时，试求函数()f x的解析式.解析：因为()1/(2)(4)f x f x f x=+=+，所以函数()f x是以4为周期的周期函数.()当为奇数时，()+=+为的倍数18福建中学数学2008年第5期21n2221n n4.当[2,24)x n n ∈+时，22[2,2)x n ∈，所以(22)(22)/21f x n x n =+，于是有()(22)f x f x n =(22)/21/2x n x n =+=.(2)当n 为偶数时，可知2n 、24n +为4的倍数.当[2,22)x n n ∈+时，有2[0,2)x n ∈，于是(2)(2)/21f x n x n =+，从而有2()(2)1122xn x f x f x n n ==+=+；当[22,24)x n n ∈++时，有24[2,0)x n ∈，于是有(24)(24)/21f x n x n =+，所以()(24)f x f x n =(24)/21/21x n x n =+=.综合(1)(2)可得：当n 为奇数时，()/2,[2,24);f x x n x n n =∈+当n 为偶数时，/21,[2,22),()/21,[22,24).x n x n n f x x n x n n +∈+=∈++例5设函数()f x 在(,)∞+∞上满足(2)f x +=(2)f x ,(7)(7)f x f x +=且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.试求方程()0f x =在闭区间[2008,2008]上的根的个数.解:根据题意,由性质5知,函数()f x 为周期函数,它的一个周期为|(2+2)-(7+7)|=10又(1)(3)0f f ==,所以(11)(13)(7)(9)0f f f f ====,故()f x 在[0,10]和[10,0]上均有两个解,从而可知函数()f x 在[0,2008]上有402个解,在[2008,0]上有401个解,所以()f x 在闭区间[2008,2008]上803个解.例6已知()f x 是定义在R 上的函数，若(2)(2)f x f x +=且(3)(3)2f x f x ++=，又函数()f x 在[0，4]上的最小值为2，最大值为9.求()f x 在[2004，2008]区间上的最小值和最大值.解：由(2)(2)f x f x +=且(3)(3)2f x f x ++=知，()y f x =为周期函数，4(32)4=是函数的一个周期，又函数()f x 在[0，4]上的最小值为2，最大值为9.所以()f x 在[2004，2008]区间上也有最小值2和最大值9.例7已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意的x R ∈，有(2007)(2006)(2008)f x f x f x +=+++，且(3)2f =，(5)4f =，则(2008)f =().解：由(2007)(2006)(2008)f x f x f x +=+++，得()(1)(1)f x f x f x =++，故6是它的一个周期，所以(2008)(63344)f f =×+(4)(3)(5)246f f f ==+=+=.参考文献[1]李昭平.破解抽象函数问题“六法”.中学理科,2006,8.[2]王光炎.函数对称性与周期及其应用.中学数学教学，1999,1.怎样把实验带进数学课堂邓云云谭晓琴陕西宝鸡文理学院数学系(721013)通常认为，数学是一门严谨的学科，数学活动只是高度的抽象思维活动．因而，对于数学教学中是否需要实验，还存在一些认识上的偏差．历史表明，数学不只是逻辑推理，还有实验．新型的人才不仅需要传统意义上的逻辑思维能力、几何直观能力和运算能力，而且还需要数学建模能力和数据处理能力，数学实验正是为了综合培养这些能力而设置的[1]．数学学习无论是知识还是能力和方法的掌握都不可忽视实验的作用．“动手实践”是学生学习数学的重要方式之一，“实验操作”使以往的“学数学”变为“做数学”，使学生有兴趣、有信心地学习数学．因此，把实验带进数学课堂引起了现代教育专家的重视，特别是在课标课程背景下，已经成为一种必然趋势．1数学实验的概念中学数学实验是根据具体教学内容的需要，人为地、有目的地、模拟地创设一些有利于观察的数学对象，在典型的实验环境中或特定的实验条件下，经过某种预先的组织、设计，让学生借助一定的物质仪器和技术手段，并在数学思想和数学理论的指2008年第5期福建中学数学19。

抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。

高中数学：抽象函数周期性总结（压轴题必备基础知识）
抽象函数的周期性，并不是一个非常难的知识点，但是在解大题时，如果一时没有想到周期性，会对解答造成很大的影响，所以我们有必要熟悉一下常用的抽象函数的周期性结论，提高解题速度。

定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界的集合。

理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x T)=f(x),易得f(x nT)=f(x) (其中n是整数)即x nT也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。