人教版八年级数学下册第十六章二次根式全套课件PPT(完美版)

叫做二次根式。
注意：为了方便起见，我们—个数的算术平方根也叫
做二次根式。如 3 ,
1 2
a 1
是不是二次根式？
不是，它是二次根 式的代数式.
形如 a a 0 的式子叫做二次根
式
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数，也可以是式 3.形式上含有二次板号
4. a 0, a 0 （双重非负性）
本节课我们学习了很多新知识,你能谈谈自 己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
1、 二次根式的定义：像 b 3 a2 2500
表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫 做二次根式。 2、 二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方 数大于或等于零。 3、 求二次根式的值：用数值代替二次根式里的字母。
谢谢观赏
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
16.1 二次根式
什么是平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做
a的平方根
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a 0a 0 表示
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为 ___a_2___2_5_0_0__ 米。
为
圆形的下球体在平面图上的面积为s,则半径为
s
____________
b+3
1.如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是___b____3__
b3 s
a2 2500

1、都表示算术平方根 2、根各代数式的共同特 点是什么？
定义：像
b3 、
a2 2500 、
s

这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式
下列各式中哪些是二次根式?

6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因

回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用
(a≥0)表示正数a的算术平方根.
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ， 算术平方根 3 ；
计算：（1） (5)2 ；（2） (1 2)2 .
解：（1） (5)2 52 5
或 (5)2 -5 5
（2） (1 2)2 = 1- 2 =-（1- 2）= 2-1
例3 先化简再求值：
，其中 x=4.
解：
当 x=4时，x- 4- 4- .
∴当x=4时，
.
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
双重非负性
( 4)2 4
1 ( 1 )2 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
一般地，有
性质1
2
a a (a≥0)
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内Biblioteka 有意义？(1) x 3
(2) x2
解：（1）由题意，得 x+3≥0 ∴x≥-3
∴当x≥-3时， x 2 在实数范围内有意义.
2.当x取怎样的实数时， 2x 3 1 有意义？
x 1
解：由题意得
2x x 1
3 0
0，
∴
X≥
3 2
X ≠-1
∴ x 3，且x 1.
2
方法构想
一个式子中：
若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.

人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
活动探究
探究点二：探究二次根式的定义及有意义的条件
1. 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 b 3 .
情境引入
S
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____ ___.
活动探究
探究点一、二次根式的概念
问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2
、3 3
、
1 x
、
1 x （x>0）、 0 、 4 2 、- 2 、 x y 、 x y （x≥0，y≥0）．
解：二次根式有： 2 、 x （x>0）、 0 、- 2 、 x y （x≥0，y≥0）．
D.x≤﹣2
6.若1＜x＜3，则 x3 x12 的值为（ D ）
A.2x﹣4 B.﹣2
C.4﹣2x D.2
7.函数y=
2
x
1 x 1
中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x≤2
B.x≤2且x≠1
C.x＜2且x≠1 D.x≠1
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
试求当x=9时，二次根式 x 1 的值. 当x=9时， x 19 1822 思考：当x是怎样的实数时 x 3 ， 在实数范围内有意义？ x 2 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0.
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）

解：设长方形的长和宽分别为3x和2x.
S =长×宽 =3x ×2x =6x2
x S 6
长：3 S
6
宽：2 S
6
用含字母的 式子表示数
已知半径为r的圆的面积是半径为2cm和 3cm的两个圆的面积和，求r的值.
πr2=π×22+π×32 r2=13 r 13
随堂演练
基础巩固
2
1. 3
3
,
1 2
一般地，我们把形如 a ( a≥0 )的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
“2 ”中一般把根的指数2 省略，写成“ ”
√ √ 下列各式: a , x 1, 4, 16, 3 8, 1 x, a2 2, 2
√2 3, 1 2x ( x 1), 2 a2哪些是二次根式？哪些 2 不是？为什么？
新人教版八年级下册数学
第十六章二次根式全单元课件
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
新课导入
你能写出下列问题的结果吗？
(1)面积为5的正方形边长是 。
(2)面积为S的正方形边长是 。
(3)圆柱的体积为V，高为5，则它的底面
圆的半径r是
。 你说出的这些结果
有什么共同特点呢？
已知 24n 是整数，求正整数n的最小值.
解： 24n是整数， ∴24n是完全平方数， 又∵24n=22 ×6n, ∴正整数n的最小值为6.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
习题16.1
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
新课导入
一个长方形的长和宽分别是 10和2 2 ， 求这个长方形的面积.你列出的算式是什么？ 这个算式应怎样计算呢？

A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3

(
x

2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1

Nhomakorabea方形的边长为
.
；面积为 S 的正
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，
则它的宽为
.
（3）一个物体从高处自由下落，落到地面所用的时间
t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足
关系h = 5t 2 ，如果用含有h 的式子表示 t，那么t 为
.
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？
3.已知实数a满足 （2012-a)2 a 2013 a, 求a 20122的值.
问题 请比较 a 和0 的大小．
随堂练习
义务教育教科书（RJ）八年级数学上册
作业布置
教材：P5页 习题16.1 第1、3、5、6、7题
安徽省巢湖市第七中学碧桂园分校
义务教育教科书（RJ）八年级数学下册
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
安徽省巢湖市第七中学碧桂园分校
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根.
什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的
算术平方根.
用 a (a 0)表示.
做一做
当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义. (1) x 2 ; (2) 3 x x 2 ; (3) 1 . 2x 1
已知 a 2 b 1 0,求-a2b的值. 2
典例解析 例1 下列各式中，一定是二次根式的有( )
① -3 ；②-2 a2 ;③ a2 1 ;④ a 1
1.填空题： （1）形如 （2）负数
的式子叫二次根式； 算术平方根（填“有”或者“没有”）
2.当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？

C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 （1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3

2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
比较辨别
问题
探索性质
请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0；
当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数． 双重非负性
性质的探究
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到 结论的依据．
2 2 2 ； 4 ； （ 4） = _____ （ 2） = _____
1 1 2 2 0 ． （ ）= （ 0） = _____ 3 ； _____ 3
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
2 （ a） =a（a≥0）．
你能说说依据吗？
课件说明
• 学习目标 2 1．经历探索性质 （ a ） = a（a≥0）和 a 2 = a （a≥0）的过程，并理解其意义； 2 2．会运用性质 = a（a≥0）和 a 2 = a（a （ a） ≥0）进行二次根式的化简； 3．了解代数式的概念． • 学习重点： 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计 算和化简．
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） -16 ；
（a ＞ 0） （2） a+10 ；
2 （3） a +1 ；
×
√
√ √
（x ≤ 0） （ 4） - x ．
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
x （1） 3- 4 x ；（2） ； x -1
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．

抽象概念
h 3, S , a b , , 5 2
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子
叫做二次根式， 称为二次根号.
类比分式: 体会“形式+参数+定义域”
巩固概念
例1 下列各式是二次根式吗?为什么？
(1)
6, (2)
12, (3)
4,
3
(4) -m ( m 0) , (5)
2
乘方
开方
x 5 (平方)
x 5(平方根)
x 5( x 0) (平方)
x 5(算数平方根)
引入概念—代数运算
2.我们学过哪些数与字母的运算？举例说明.
运算 加 减 乘 举 例 结 果 多项式 多项式 单项式 整式或分式 整式
除 乘方 开方
a+2，2a+b，a+a a-2，2a-b， a-2a -3ab ，5a2b3 a 3 x , , 2 b y 2 2 3 5 , a , ( a)
2
则 abc =
.
课堂小结
1.你有哪些收获？（知识、思想方 法、经验） 2.你有哪些困惑？ 3.展望后面将要学习哪些内容？
谢谢！
5, a,
3
b
?
引入概念—实际例子
（1）面积为2的正方形的边长为 面积为S的正方形的边长为 面积为(a+b)的正方形的边长为 ， ,
.
（2）面积为2的圆的半径为 . （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所 用的时间t（单位：S）与开始落下时离地面的 高度h（单位：m）满足关系h=st2如果用含有 h的式子表示t，那么t =_____.
xy ,(6)
5
巩固概念

2
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
1:从运算顺序来看,
2
a 先开方,后平方 a a≥0
2
2.从取值范围来看,
2
a 先平方,后开方
3.从运算结果来看:
2
a a取任何实数
a
a
2
2
=a a (a≥ 0) -a (a＜0)
= = ∣ a∣
二次根式的性质及它们的应用:
（1） （2）
本课教学目标：
（1）二次根式的概念( 双重非负性) （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质(1,2)
教学重难点
• 重点︰二次根式的概念和性质 • 难点︰二次根式的基本性质的灵 活应用
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
x- 1+ y + 3 = 0 ∴ x - 1 ＝０， y + 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０) |a|
a
2
≥０
练习
１.已知 y =
x - 2 + 2 - x + 3，求x、y的值.
x=2，y=3
?
参考图1-2,完成以下填空:
2
2
2 _____;
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
a ≥0
4. a≥0,
( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说:
下列各式是二次根式吗?