二重积分的定义和计算方法引言：二重积分在数学中扮演着重要的角色，用于求解平面区域上的面积、质量分布、物理量等。
本文将介绍二重积分的定义以及常用的计算方法，帮助读者更好地理解和应用二重积分。
一、二重积分的定义二重积分用于计算平面上某个有界区域的面积或者其他类型的物理量。
其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D（边界为C）上连续，其中D的边界C由有限个简单光滑的曲线组成。
将D划分为m×n个小区域，区域在第i 行第j列的小区域记为ΔSij，并任选ΔSij上一点(xi,yi)。
当ΔSij趋近于零且区域D趋近于闭区间上的有限个点时，若二重极限$$\lim_{\substack{m,n \to\infty}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(xi,yi)\Delta Sij$$存在，且与D的划分和点(xi,yi)的选择无关，则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为$$\iint_D f(x,y)dS$$其中，dS表示面积元素。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分计算当函数f(x,y)在闭区域D上连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下两个步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目的描述或者所给的图形，确定积分区域D的边界曲线的方程。
可以使用直线、圆等几何图形的方程来描述。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
根据所给的积分区域D，在直角坐标系下建立对应的积分式，然后进行计算。
根据题目需求，可以选择使用直角坐标系的面积元素dS = dxdy或者极坐标系的面积元素dS = r dr dθ。
2. 极坐标系下的二重积分计算当函数f(r,θ)在极坐标系下连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目给出的信息或者图形，确定积分区域D在极坐标系下的范围和边界曲线的方程。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
第二十一章 二重积分§1 二重积分概念教学目的与要求：1.掌握二重积分的定义和性质, 二重积分的可积条件.2.了解有界闭区域上的连续函数的可积性.3.了解平面点集可求面积的充要条件.教学重点：二重积分的定义和性质.教学难点：二元函数可积条件.教学过程一、平面图形的面积（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念直线网T 分割平面图形P ，T 的网眼中小闭矩形i ∆的分类：（ⅰ）i ∆含的全是P 的内点,（ⅱ）i ∆含的全是P 的外点（不含P 的点）,（ⅲ）i ∆内含有P 的边界点,记()T s P 为T 的第ⅰ类i ∆的面积的和．记()T S P 为T 的第ⅰ和第三类i ∆的面积的和．记P I =(){}T s P T sup ，称为P 的内面积． 记P I =(){}T S P T inf ，称为P 的外面积．定义1 若平面图形P 的内面积P I 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P I =P I =P I 为P 的面积（约当，黎曼测度）定理21.1 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的0>ε，总存在直线网T ，使得()()ε<-T s T S P P . （2）证明 [必要性]设平面有界图形P 的面积为P I ．由定义1，有P I =P I =P I ．对任给的ε，由P I 及P I 的定义知道，分别存在直线网1T 与2T ，使得记T 为由1T 与2T 这两个直线网合并的直线网，可证得()()T s T s P P ≤1，()()T S T S P P ≥2， (3)于是由（3）可得从而得到对直线网T 有 ()()ε<-T s T S P P ，[充分性]对任给的0>ε，存在直线网T ，使得（2）式成立．但所以 ()()ε<-≤-T s T S I I P P P P ，由ε的任意性，因此P I =P I ，因而平面图形P 可求面积．推论 平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0=P I ，即对任给的0>ε，存在直线网T ，使得，或对任给的0>ε，平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖． 定理21.2 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为零．证明 由定理21．1，P 可求面积的充要条件是：对任给的0>ε，存在直线网T ，使得()()ε<-T s T S P P ．由于所以也有()ε<T S K ．由上述推论，P 的边界K 的面积为零．定理21.3 若曲线K 为由定义在[]b a ,上的连续函数()x f 的图象，则曲线K 的面积为零证明 由于()x f 在闭区间[]b a ,上连续函数，从而一致连续．因而对任给的0>ε，总存在0>δ，当把区间[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-()n i ,,1 =并且满足{}n i x x x i i i ,,1max 1 =-=∆-δ<时，可使在每个小区间[]i i x x ,1-上的振幅都成立a b i -<εω．现把曲线K 按自变量n x x x x ,,,10 =分成n 个小段，这时每一个小段都能被以i x ∆为宽，i ω为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为 所以由定理21．1的推论即得曲线K 的面积为零．还可证明得到：由参量方程()()()βαψϕ≤≤==t t Y t x ,所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零．二、 二重积分的定义及其存在性背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义 设()y x f ,是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数，用任意曲线把D 分成n 个可求面积的小区域：,,,,21n σσσ∆∆∆ 以i σ∆表示i σ∆的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以i d 表示i σ的直径，称{}i n i d T ≤≤=1max 为分割T 的细度，在每一个i σ上任取一点（i i ηξ,），作和式： ∑=∆n i i i i f 1),(σηξ，称之为函数在上属于分割的一个积分和． 定义2 设()y x f ,是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度δ<T 时，属于T 的所有积分和都有则称()y x f ,在D 上可积，数J 称为函数()y x f ,在D 上的二重积分，记作其中()y x f ,称为二重积分的被积函数，y x ,称为积分变量，D 称为积分区域．几何意义：当()y x f ,0≥时，二重积分()⎰⎰D d y x f σ,在几何上表示以=z ()y x f ,为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D ，则面积元素为dxdy d =σ直角坐标系下可表示为： ()⎰⎰D d y x f σ,=()⎰⎰D dxdy y x f ,.可积的必要条件：()y x f ,在可求面积的区域D 上有界函数()y x f ,在可求面积的区域D 上有界时，T 是D 的一个分割，把D 分成个可求面积的小区域n σσ,,1 ，令()y x f , 关于分割T 的上和与下和：定理21.4 ()y x f ,在D 上可积的充要条件是：定理21.5 ()y x f ,在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得()()ε<-T s T S ．定理21.6 有界闭区域D 上的连续函数必可积．定理21.7 设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数．若()y x f ,的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则()y x f ,在D 上可积.证明 不失一般性，可设()y x f ,的不连续点全部落在某一条光滑曲线L上．记L 的长度为l ，于是对任给的ε>0，把L 等分成1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εl n 段： 在每段i L 上取—点i P ，使段与其一端点的弧长为n l2，以i P 为中心作边长为ε的正方形i ∆，则i L ⊂i ∆，从而有n i i L 1=∆⊂记 n i i 1=∆⊂∆，则∆为一多边形．设∆的面积为W ，那么 现在把区域D 分成两部分．第一部分∆= D D 1．第二部分121D D D -=．由于()y x f ,在2D 上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在2D 的分割2T ，使得()()ε<-22T s T S ．又记()()y x f M y x ,sup ,∆∈∆=，()()y x f m y x ,inf ,∆∈∆=，以T 表示由2T 与多边形∆的边界所组成的区域D 的分割，则有其中ω是()y x f ,在D 上的振幅．由于()y x f ,在D 上有界，故ω是有限值．于是由定理21，5就证明了()y x f ,在上可积.三、二重积分的性质二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：1. 若()y x f ,在区域D 上可积，k 为常数，则k ()y x f ,在D 上也可积，且2．若()y x f ,,()y x g ,在D 上都可积，则()y x f ,±()y x g ,在D 上也可积，且()()[]⎰⎰±D d y x g y x f σ,,=()⎰⎰D d y x f σ,±()⎰⎰D d y x g σ,.3. 若()y x f ,在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则()y x f ,在1D 2D 也可积，且()⎰⎰21,D D d y x f σ=()⎰⎰1,D d y x f σ+()⎰⎰2,D d y x f σ.4．若()y x f ,与()y x g ,在D 上可积，且()y x f ,≤()y x g ,，()∈y x ,D ，则5．若()y x f ,在D 上可积，则函数()y x f ,在D 上也可积，且6. 若()y x f ,在D 上可积．且 m ≤()y x f ,≤M ， ()∈y x , D则这里D S 是积分区域D 的面积．7．(中值定理) 若()y x f ,在有界闭区域D 上连续，则存在()∈ηξ,D ，使得 这里D S 是积分区域D 的面积．中值定理的几何意义：以D 为底，()())0,(,,≥=y x f y x f z 为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在()y x f ,区域D 中某点()ηξ,的函数值()ηξ,f ．作业2，4，5.。
