2015高考数学(理)一轮题组训练：2-7函数的图象及其应用

[课堂练通考点]1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－12B ．－14C.14D.12解析：选A ∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2 ＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 2．(2014·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－94．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二：由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|得a ＝0. 答案：05．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解：由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2.因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，2.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数解析：选D 如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f (x )为周期函数．故选D.2．(2013·湖南高考)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3. 3．(2014·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23C.43D ．－43解析：选C 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43，故选C.4．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．5．(2013·淄博一模)设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于( ) A ．－12B ．－13C ．－14D ．－15解析：选C 由f (t )＝f (1－t )得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )， 所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2. 又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝0－⎝⎛⎭⎫122＝－14. 6．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0. ∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)． f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1. 答案：－17．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)8．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－109．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )， 当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (3)＝f (3－4)＝－f (1)＝－1.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时，f (x )＝x ，则f (x )的图像如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]． 第Ⅱ组：重点选做题1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C f (x )的图像如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1， f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x ， 函数y ＝f (x )的图像如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此②④正确，③不正确． 答案：①②④。

一、选择题1．y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )解析：当x ＝0时，y ＝1；当x ＝π2时，y ＝π2；当x ＝－π2时，y ＝－π2，观察各选项可知B 正确．答案：B2．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根答案：C3．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1 B ．|a |≤1 C ．|a |<1D ．a ≥1解析：如图所示，由图可知，当－1≤a ≤1，即|a |≤1时不等式恒成立． 答案：B4．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y ＝x 的图象，满足①.答案：D5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]x 2＋1，x ∈，1]，则如图中函数的图象错误的是( )解析：因f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈，1]，其图象如图，验证知f (x －1)，f (－x )，f (|x |)的图象均正确，只有|f (x )|的图象错误．答案：D6． f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－xf x －x，若方程f (x )＝x ＋a 有两不同实根，则a的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：x ≤0时，f (x )＝2－x－1,0＜x ≤1时，－1≤x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－ (x －1)－1，故x >0时，f (x )是周期函数．如图：欲使方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a <1.答案：A 二、填空题7．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)、B (3,1)是其图象上两个点，则不等式|f (x ＋1)|<1的解集是________．解析：|f (x ＋1)|<1⇔－1<f (x ＋1)<1⇔f (0)<f (x ＋1)<f (3)，又y ＝f (x )是R 上的增函数，∴0<x ＋1<3. ∴－1<x <2. 答案：{x |－1<x <2}8．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知，当x ∈(－1,1)时，f (x )＝x 2－a x <12，即x 2－12<a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y＝x 2－12，指数函数y ＝a x的图象，如图，当x ∈(－1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是12≤a ＜1或1＜a ≤2. 答案：[12，1)∪(1,2]9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根． 解析：由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－ 2<x 1<－1，x 2＝0,1<x 3<2. 令g (x )＝x 1，由g (x )图象可知方程g (x )＝x 1有两个根，令g (x )＝0得两个根， 令g (x )＝x 3得两个根，∴f [g (x )]＝0有6个根，同理可看出f [f (x )]＝0有5个根． 答案：6 5 三、解答题10．若方程2a ＝|a x－1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围．解：当a >1时，函数y ＝|a x－1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适；当0<a <1时，函数y ＝|a x－1|的图象如图②所示， 要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1， 即0<a <12.综上所述，实数a 的取值范围为(0，12)．11．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值． 解：(1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点， 则y 0＝f (x 0)．又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )， 得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上． ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.12．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围． 解：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式 (x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，综合函数图象知显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1， ∴1＜a ≤2. ∴a 的取值范围是(1,2]。

[课堂练通考点]1．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A ，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.2．(2013·张家口模拟)已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[160，＋∞)C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．∅解析：选C 函数h (x )的对称轴为x ＝k 8，要使h (x )在[5,20]上是单调函数，应有k 8≤5或k 8≥20，即k ≤40或k ≥160，故选C.3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.答案：f (x )＝12(x －2)2－14．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝45．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·济南模拟)函数y ＝x －x 13的图像大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x 可得x 2>1，即x >1，结合选项，选A.2．已知二次函数的图像如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图像得：a <0，b <0，c >0.选C.3．已知函数f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．(2013·浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.5．关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3<m <0B ．0<m <3C ．m <－3或m >0D ．m <0或m >3解析：选A 由题意知⎩⎨⎧Δ＝16m 2－4(m ＋3)(2m －1)>0， ①x 1＋x 2＝4m m ＋3<0， ②x 1·x 2＝2m－1m ＋3<0， ③由①②③得－3<m <0，故选A.6．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件． 解析：函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(2014·中山一模)若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．解析：函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.答案：18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5<x <5. ∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3. ∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}． 答案：{x |－7<x <3} 9．已知幂函数f (x )＝x21()m m －＋(m ∈N *)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：∵幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝221()m m －＋，即212＝221()m m －＋ .∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *， ∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1， 解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)． 第Ⅱ组：重点选做题1.(创新题)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. ∴m －n 的最小值是1.2．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2。

——函数的图像时间：45分钟　满分：100分　班级：________　姓名：________　座号：________　一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·佛山模拟)函数y＝1－|x－x2|的图象大致是( )2．(2014·济南模拟)函数y＝log a(|x|＋1)(a>1)的大致图象是( )3．已知函数对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为( )4．(2014·安徽合肥模拟)已知f(x)＝Error!则下列函数的图象错误的是( )5．(2014·衡水调研)已知函数f (x )＝，则y ＝f (x )的图象大致为( )1ln (x ＋1)－x 6．(2014·西安五校联考)对于定义域为R 的函数f (x )，给出下列命题：①若函数f (x )满足条件f (x －1)＋f (1－x )＝2，则函数f (x )的图象关于点(0,1)对称；②若函数f (x )满足条件f (x －1)＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于y 轴对称；③在同一坐标系中，y ＝f (x )和y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称；④在同一坐标系中，y ＝f (x )和y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (1＋x )与y ＝f (1－x )的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(基础题)已知f (x )是偶函数，则f (x ＋2)的图象关于________对称；已知f (x ＋2)是偶函数，则函数f (x )的图象关于________对称．8．(2014·天津模拟)已知函数y ＝的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，|x 2－1|x －1则实数k 的取值范围是________．9．(2014·河南三市调研考试)关于x 的方程＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取|x |x ＋2值范围为________．10．(提升题)设函数f (x )定义域为R ，则下列命题中①y ＝f (x )是偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；②若y ＝f (x ＋2)是偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x －2)＝f (2－x )，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；④y ＝f (x －2)和y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称．其中正确的命题序号是________(填上所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|.(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)解不等式f (x )≤6.12．已知函数f(x)定义在[－2,2]上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象；(1)y＝f(x＋1)；(2)y＝f(x)＋1；(3)y＝f(－x)；(4)y＝－f(x)；(5)y＝|f(x)|；(6)y＝f(|x|)；(7)y＝2f(x)；(8)y＝f(2x)．13．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．函数的图像参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：由y ＝1－|x －x 2|≤1结合图象可得C 正确．答案：C 2．解析：由y ＝log a x (a >1) 向左平移1个单位得到y ＝log a (x ＋1)的图象，再作y 轴对称得y ＝log a (|x |＋1)的图象．答案：B3．解析：∵对∀x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )是奇函数，f (0)＝0，y ＝f (x )的图象关于原点对称，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x ＋1)＝－ln(1－x )，所以符合上述条件的图象为D.答案：D4．解析：先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝，相应这部x 分图象不是一条线段，因此选项D 不正确．答案：D 5．解析：解法一：(函数性质法)函数f (x )满足x ＋1>0，ln(x ＋1)－x ≠0，即x >－1且ln(x ＋1)－x ≠0，设g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝－1＝.由于x ＋1>0，显然当1x ＋1－x x ＋1－1<x <0时，g ′(x )>0，当x >0时，g ′(x )<0，故函数g (x )在x ＝0处取得极大值，也是最大值，故g (x )≤g (0)＝0，当且仅当x ＝0时，g (x )＝0，故函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，且函数g (x )在(－1,0)∪(0，＋∞)上的值域为(－∞，0)，故函数f (x )的值域也是(－∞，0)，且在x ＝0附近函数值无限小，观察各个选项中的函数图象，只有选项B 中的图象符合要求．解法二：(特殊值检验法)当x ＝0时，函数无意义，排除选项D 中的图象，当x ＝－11e时，f (－1)＝＝－e<0，排除选项A 、C 中的图象，故只能是选项B 中的1e 1ln (1e －1＋1)－(1e －1)图象．(注：这里选取特殊值x ＝(－1)∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A 、C ，这种取特1e 值的技巧在解题中很有用处)答案：B 6．解析：f (x －1)＋f (1－x )＝2，用x ＋1代替上式中的x 得f (x )＋f (－x )＝2，设(x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上，则(x 0，y 0)关于点(0,1)的对称点(x 1，y 1)满足Error!所以Error!故f (－x 1)＋f (x 1)＝2，故①正确；f (x －1)＝f (1－x )，用x ＋1代替上式中的x 得f (x )＝f (－x )，故函数y ＝f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故②正确；y ＝f (x －1)的图象和y ＝f (1－x )的图象可看成分别由y ＝f (x )和y ＝f (－x )向右平移1个单位得到，而y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，故y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称，故③正确；函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，把y ＝f (x )和y ＝f (－x )的图象分别向左、向右平移一个单位后得到y ＝f (x ＋1)和y ＝f (1－x )的图象，仍关于y 轴对称，故④正确．答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．解析：∵f (x ＋2)可由f (x )图象左移2个单位得到，故f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称；∵f (x ＋2)是偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即x ＝2是对称轴．答案：x ＝－2，x ＝28．解析：y ＝＝＝Error!函数y ＝kx －2过定点(0，－2)，由数形结合，得|x 2－1|x －1|x ＋1||x －1|x －1k AB <k <1或1<k <k AC ，∴0<k <1或1<k <4.答案：(0,1)∪(1,4)9．解析：x ＝0是方程＝kx 2的1个根．|x |x ＋2当x ≠0时，方程即为＝k |x |，令f (x )＝，g (x )＝k |x |，画出图象可知：1x ＋21x ＋2当k ＝1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有2个交点，∴k >1时，y ＝f (x )与y ＝g (x )有3个交点，此时原方程有四个不同的实根．综上所述k ＞1.答案：k ＞110．解析：对于①，y ＝f (x ＋2)关于x ＝－2对称；对于②， ；对于③，当f (2＋x )＝f (2－x )时，f (x )的图象关于x ＝2对称，而当f (2－x )＝f (x －2)时，则应关于x ＝0对称．对于④， .答案：②④三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．解：(1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝Error!图象如图(1)所示．(2)由f (x )≤6，得当x ≤－1时，－2x ＋2≤6，x ≥－2，∴－2≤x ≤－1.当－1<x ≤3时，4≤6成立．当x >3时，2x －2≤6，x ≤4.∴3<x ≤4.∴不等式f (x )≤6的解集为[－2,4]．另解：(数形结合)由图(2)可知，不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤4}．12．解：利用图象变换技巧进行平移、伸缩、对称、翻折即可．(1)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象向左平移1个单位得到y ＝f (x ＋1)，x ∈[－3,1]的图象，如图(1)．(2)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象向上平移1个单位即得到y ＝f (x )＋1，x ∈[－2,2]的图象，如图(2)．(3)函数y ＝f (－x )与y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象关于y 轴对称，如图(3)．(4)函数y ＝－f (x )与y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象关于x 轴对称，如图(4)．(5)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象，如图(5)．(6)考虑到函数y ＝f (|x |)为[－2,2]上的偶函数，所以函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]在y 轴右侧的部分不变，左侧部分换为右侧关于y 轴对称的图象即可得到y ＝f (|x |)的图象，如图(6)．(7)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2f (x )的图象，如图(7)．(8)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得12到y ＝f (2x )的图象，如图(8)．13．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，∵H (t )＝(t ＋)2－在区间(0，＋∞)上是增函数，1214∴H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。

第7讲 函数的图象及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.答案 y ＝(x －1)2＋32．函数f (x )＝x ＋1x 的图象的对称中心为________．解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，故f (x )的对称中心为(0,1)．答案 (0,1)3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2－x ，y 0＝y . ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －24．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________．解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1)5．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________．解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的．∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2]7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________．解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1.答案 (1，＋∞)8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是________．解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.答案 (0,1]二、解答题9．已知函数f (x )＝x 1＋x. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4， ∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．使log2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象知(如图所示)，－1＜x ＜0，即x ∈(－1,0)．答案 (－1,0)2．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0， 当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π2 3．(2013·宿迁模拟)已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝k x ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝k x ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13＜k ＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 二、解答题4．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3) 作出图象如图所示．原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.。

[课堂练通考点]1．设f (x )是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的定积分为a -a⎰f (x )d x ，由定积分的几何意义和性质，得a -a⎰f (x )d x 可表示为( )A ．－a -a⎰f (x )d xB ．20-a⎰f (x )d xC.12a ⎰f (x )d xD.0-a⎰f (x )d x解析：选B 偶函数的图像关于y 轴对称，故∫a －a f (x )d x 对应的几何区域关于y 轴对称，因而其可表示为2-a⎰f (x )d x ，应选B.2．(2014·唐山模拟)已知f (x )＝2－|x |，则2-1⎰f (x )d x 等于( )A ．3B ．4 C.72D.92解析：选C f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≥0)，2＋x (x <0)，∴2-1⎰f (x )d x ＝0-1⎰(2＋x )d x ＋20⎰(2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x ＋x 22|0－1＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22|20＝32＋2＝72. 3．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2 C.83D. 1623解析：选C 由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2∫20⎝⎛⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －x 312|2＝83.4．(2013·安徽联考)设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：a ⎰f ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：15．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝⎛⎭⎫12，1、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．解析：由题知y ＝f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x <12，2－2x ，12≤x ≤1，则y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x <12，2x －2x 2，12≤x ≤1，故函数y ＝xf (x )的图像与x 轴围成的图形的面积S＝120⎰2x 2d x ＋112⎰(2x －2x 2)d x ＝23x 3120＋⎝⎛⎭⎫x 2－23x 3112＝14. 答案：14[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题 1.10⎰(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C10⎰(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)| 10＝(e 1＋1)－e 0＝e.2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：选C 由题意知电视塔高为 ∫21gt d t ＝12gt 2| 21＝2g －12g ＝32g . 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B ．1C ．2D.12解析：选A S ＝∫0－1(x ＋1)d x ＋20π⎰cos x d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋x 0-1＋sin x |20π＝32. 4.(2014·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.5．(2013·江西高考)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B S 1＝13x 3⎪⎪⎪ 21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪ 21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.6．(2014·吉林模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若1⎰f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为______．解析：10⎰f (x )d x ＝10⎰(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx |10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.答案：337.(2014·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (2,0)，B (2,4)，C (0,4)，曲线y ＝ax 2经过点B ，现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：∵y ＝ax 2过点B (2,4)，∴a ＝1，∴所求概率为1－2⎰x 2d x 2×4＝23. 答案：238．(2014·珠海模拟)由三条曲线y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝1，得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．则S ＝2⎣⎡⎦⎤∫10⎝⎛⎭⎫x 2－x 24d x ＋∫21⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x 3 |10＋x |21－⎝⎛⎭⎫112x 3 |21＝43. 答案：439．求下列定积分．(1)∫21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)∫0－π(cos x ＋e x )d x . 解：(1)∫21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝∫21x d x －21⎰x 2d x ＋21⎰1xd x ＝x 22 |21－x 33 |21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)-π⎰(cos x ＋e x )d x ＝0-π⎰cos x d x ＋0-π⎰e x d x＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ. 10．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0， ∫10f (x )d x ＝－2， (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋2－a . 又10⎰f (x )d x ＝10⎰(ax 2＋2－a )d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x |10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2. 第Ⅱ组：重点选做题1.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图像如图所示，它与x轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________． 解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0， 得x ＝0或x ＝a (a <0)． S 阴影＝－0a⎰(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.答案：－12．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为e 1⎰1x＋2x ＋2e 2x d x ＝e 1⎰1xd x ＋e 1⎰2x d x ＋e 1⎰2e 2x d x ＝ln x |e 1＋x 2|e 1＋e 2x |e 1＝(1－0)＋(e 2－1)＋(e 2e －e 2)＝e 2e .答案：e 2e。

1. [2014·佛山模拟]要得到函数y ＝8·2－x的图象，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象( )A. 向右平移3个单位B. 向左平移3个单位C. 向右平移8个单位D. 向左平移8个单位解析：y ＝8·2－x＝2－x ＋3＝2－(x －3)，y ＝(12)x ＝2－x ，把函数y ＝(12)x 的图象向右平移3个单位即得函数y ＝8·2－x的图象，故选A.答案：A2. [2014·河南三市调研]若实数x ，y 满足|x －1|－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )解析：原式可化为y ＝e －|x －1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x －1|，它的图象是将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x x ，e x x的图象向右平移一个单位得到的，故选B.答案：B3. [2013·四川高考]函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝－113－1＝32>0，故再排除B ；当x →＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故x 33x －1→0且大于0，故排除D ，选C.答案：C4. [2014·黑龙江重点中学质检]用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：画出y ＝2x，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，观察图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，x ＋x ，10－x x，∴f (x )的最大值在x ＝4时取得，为6. 答案：65. [2014·北京质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：在同一坐标系中作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2及y ＝k 的图象(如图)．可知，当0<k <1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点， 即方程f (x )＝k 有两个不同的实根． 答案：(0,1)。

高效达标训练 A组　基础达标 （30分钟　满分：50分） 若时间有限建议选讲3 一、选择题（每小题5分共25分） （2014·日照模拟）设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝（x）（x＋2）＝（x）则y＝f （x）的图像可能是（B） 代数表达式“f（x）＝f（－x）”说明函数是偶函数代数表达式“f（x＋2）＝f（x）”说明函数的周期是2再结合选项图像不难看出正确选项为B. （2013·汕对任意的函数y＝f（x）在同一个直角坐标系中函数y＝f（x＋1）与函数y＝f （－x－1）的图像恒（C）A. 关于x轴对称B. 关于直线x＝1对称 关于直线x＝－1对称 D. 关于y轴对称 由函数图像变换（x＋1）的图像是由f（x）的图像向左平移1个单位得到的（－x－1）的图像是由f（x＋1）的图像先关于y轴对称再向左平移2个单位得到的故选C. （2013·东城模拟）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数且当0≤x＜2时（x）＝x－x则函数y＝f（x）的图像在区间[0]上与x轴的交点的个数为（B） 8 D. 9 解析：由f（x）＝0[0，2）可得x＝0或x＝1即在一个周期内函数的图像与x轴有两个交点在区间[0）上共有6个交点当x＝6时也是符合要求的交点故共有7个不同的交点. （2013·潍坊质检）在函数y＝|x|（x∈[－1]）的图像上有一点P（t）此函数与x轴直线x＝－1及x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S则S与t的函数关系图像可表示为（B） 当t∈[－1]时增速越来越平缓当t∈[0]时增B. （2013·北京期末）函数f（x）＝log（x＋1）－x的零点个数为　（C）C. 2D. 3 解析：由f（x）＝log（x＋1）－x＝0得log（x＋1）＝x令y＝log（x＋1）x2，在同一坐标系下分别作出函数y＝（x＋1）＝x的图像由图像可知两个函数的图像的交点个数为2函数f（x）＝（x＋）－x的零点个数为2选C. 二、填空题（每小题515分） （2014·盘锦模拟）方程|x|＝cos x在（－∞＋∞）内根的个数为　2 如图所示由图像可得两函数图像有两个交点故方程有且仅有两个根. 如图定义在[－1＋∞）上的函数f（x）的图像由一条线段及抛物线的一部分组成则f（x）的解析式为　f（x）＝　. 解析：当－1≤x≤0时设解析式为y＝kx＋b则得∴y＝x＋1.当x＞0时设解析式为y＝（x －2）－1图像过点（4）＝a（4－2）－1得a＝. （2014·冀州模拟）已知函数f（x）＝2－xg（x）＝x.若（x）*（x）＝min{f（x）（x）}那么f（x）*g（x）的最大值是　1 解析：画出函数的图像（实线部分）（x）*g（x）＝其最大值为1. 三、解答题（共10分） （2013·泰州月考）已知函数y＝f（x）的定义域为R且当时（m＋x）＝f（m－x）恒成立. （1）求证：y＝f（x）的图像关于直线x＝m对称； （2若函数y＝log－1|的图像的对称轴是直线x＝2求非零实数a的值. （1）设P（x）是y＝f（x）图像上任意一点则y＝（x）设P点关于x＝m的对称点为P′则P′的坐标为（2m－）.（3分） 由已知f（x＋m）＝f（m－x）得f（2m－x）＝f[m＋（m－x）]＝[m－（m－x0）]＝（x）＝y.即P′（2m－x）在y＝f（x）的图像上. ＝f（x）的图像关于直线x＝m对称.（6分） （2）由题知对定义域内的任意x有f（2－x）＝f（2＋x）恒成立. （2－x）－1|＝|a（2＋x）－1|恒成立（8分） 即|－ax＋（2a－1）|＝|ax＋（2a－1）|恒成立. 又a≠0－1＝0得a＝.（10分） 组　提优演练 （时间：30分钟　满分：50分） 若时间有限建议选讲2 一、选择题（每小题5分共15分） （2013·湖南高考）函数f（x）＝2ln x的图像与函数（x）＝－4x＋5的图像的交点个数为（B）A. 3B. 2C. 1D. 0 解析： g（x）＝x－4x＋5＝（x－2）＋1作出函数f（x）＝与g（x）＝x－4x＋5的图像.由图像可知两函数图像的交点个数为2选B. （2013·四川高考）函数y＝的图像大致是（C） 当x＜0时＜0－1＜0＝＞0故排除B；由于函数值不可能为0故A；∵y＝3－1与y＝x相比随着x的增大指数函数比幂函数增长速度快＋∞＝→0不正确正确.故选C. （2013·吉林模拟）若函数y＝f（10＋x）与函y＝f（10－x）的图像关于直线l对称则直线l的方程是（B） ＝0 B. x＝0 ＝10 D. x＝10 y＝f（10＋x）可以看做是由y＝f（x）的图像向左平移个单位得到的＝f（10－x）＝f[－（x －10）]可以看做是由＝（－x）的图像向右平移10个单位得到的.而y＝f（x）的图像与y＝f（－x）的图像关于y轴（即直线x＝0）对称故函数y＝f（10＋x）与y＝f（10－x）的图像的对称轴l的方程是x＝0. 二、填空题（每小题5分共15分） （2014·贵阳模拟）把函数y＝log（x－1）的图像向右平移个单位再把横坐标缩小为原来的所得图像的函数解析式是　y＝log　. y＝log（x－1）的图像向右平移个单位得到y＝的图像再把横坐标缩小为原来的得到y＝log的图像. 直线y＝1与曲线y＝x－|x|＋a有2个交点则a的取值范围是 y＝x－|x|＋a＝当其图像如图所示时满足题意.由图知a＜1或a－＝1解得a＜1或＝. （2013·通化模若函数y＝（x）（x∈R）满足f（x＋2）＝（x）且x∈[－1）时（x）＝|x|.则函数y＝（x）的图像与函数y＝log的图像的交点的个数为　6 ∵函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝f（x）该函数的周期为2又x∈[－1）时（x）＝|x|可得到该函数的6个. 三、解答题（共20分） （10分）（2013·南昌模拟）已知函数f（x）的图像与函数（x）＝＋＋2的图像关于A （0）对称. （1）求f（x）的解析式； （2）若g（x）f（x）＋且g（x）在区间（0]上为减函数求实数a的取值范围. （1）设f（x）图像上任一点P（x）则点P关于（0）点的对称点P′（－x－y）在h（x）的图像上即2－y＝－x－＋（x）＝x＋（x≠0）.（5分） （2）g（x）＝f（x）＋＝x＋（x）＝1－（6分） （x）在（0]上为减函数－在（0]上恒成立即＋1≥在（0]上恒成立＋1≥4即a≥3故a的取值范围是[3＋∞）.（10分） （10分）已知真命题：“函数y＝f（x）的图像关于点P（a）成中心对称图形”的充要条件为“函数y＝f（x＋a）－b 是奇函数”. （1）将函数g（x）＝x－3x的图像向左平移1个单位再向上平移2个单位求此时图像对应的函数解析式并利用题设中的真命题求函数g（x）图像的对称中心的坐标； （2）求函数h（x）＝log 图像的对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 y＝f（x）的图像关于某直线成轴对称图形”的充要条件为“存在实数a和b使得函数＝（x＋）－b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题请给予证明；如果是假命题请说明理由并类比题设的真命题对它进行修改使之成为真命题（不必证明）. （1）平移后图像对应的函数解析式为y＝（x＋1）－（x＋）＋2整理得y＝x－3x由于函数y＝x－3x是奇函数由题设知函数（x）图像的对称中心的坐标是（1－2）.（3分） （2）设hx）＝log的对称中心为P（a）由题设知函数h（x＋a）－b是奇函数.设f（x）＝h（x＋a）－b则f（x）＝－即f（x）＝log－b.由不等式＞0的解集关于原点对称＝2.此时f （x）＝log2－b（－2）.任取x∈（－2）由（－x）＋（x）＝0得b＝1函数h（x）＝log图像的对称中心的坐标是（2）. （6分） （3）此命题是假命题.举反例说明：函数f（x）＝x的图像关于直线＝－x成轴对称图形但是对任意实数a和by＝f（x＋a）－b即y＝x＋a－b总不是偶函数. 修改后的真命题：“函数y＝f（x）的图像关于直线x＝a成轴对称图形”的充要条件是“函数y＝f（x＋a）是偶函数”.（10分）。

课时跟踪检测(七) 函数的图像第Ⅰ组：全员必做题1．函数f (x )＝2x 3的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图像大致是( )3．为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度4．(2013·四川高考)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )5.(创新题)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x >0)，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)6．已知下图(1)中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝－f (|x |)；④y ＝f (－|x |)．7．函数f (x )＝x ＋1x图像的对称中心为________． 8.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．9．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]. (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·浙江高考)已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是( )2．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选D 显然函数f (x )＝2x 3是一个奇函数，所以其图像关于原点对称．2．选B 当x <0时，函数的图像是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图像在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图像为B.3．选A y ＝2x ―――――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3―――――――――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.故选A.4．选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错，故选C.5．选A x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图像与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)，故选A.6．解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y 轴左侧的部分及其关于y 轴对称图形构成的，故选④.答案：④7．解析：f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x的图像向上平移1个单位，即得函数f (x )的图像．由y ＝1x的对称中心为(0,0)，可得平移后的f (x )图像的对称中心为(0,1)．答案：(0,1)8．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1，∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0 9．解：令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，原方程有两个解．10．解：(1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.第Ⅱ组：重点选做题1．选B 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．2.解析：因为函数y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，所以函数y ＝kx －2的图像恒过点(0，－2)， 根据图像易知，两个函数图像有两个交点时， 0<k <1或1<k <4.答案：(0,1)∪(1,4)。

第七节 函数的图象考点一作函数的图象[例1] 作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x |－1.[自主解答] (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图．(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数图象如图．【方法规律】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x ＋2x ＋3； (4)y ＝|log 2x －1|.解：(1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∴函数y ＝|lg x |的图象如图(1)．图(1) 图(2)(2)将函数y ＝2x 的图象向左平移2个单位即可得到函数y ＝2x＋2的图象，如图(2)．(3)∵y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，可见原函数图象可由y ＝－1x 图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图(3)．图(3)图(4)(4)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移1个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图(4).高频考点考点二 识图与辨图1．高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中．2．高考对识图问题的考查主要有以下几个命题角度：(1)借助实际情景探究函数图象；(2)已知解析式确定函数图象；(3)已知函数解析式(或图象)确定相关函数的图象；(4)借助动点探究函数图象．[例2](1)(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()(2)(2013·山东高考)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为()A B C D(3)(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()A BC D(4)(2013·江西高考)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )A B C D[自主解答] (1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.(2)先判断函数y ＝x cos x ＋sin x 是奇函数，所以排除B ；再判断其零点，令y ＝x cos x ＋sin x ＝0，得tan x ＝－x ，画图知其在(0，π)上有且仅有一个零点，故排除A 、C.(3)法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2).当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).故其对应的图象应为B. 法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.(4)如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos x2＝|OA||OM|＝1－t，∴y＝cos x＝2cos2x2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的图象应为B.[答案](1)C(2)D(3)B(4)B识图问题的常见类型及解题策略(1)由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．(2)由解析式确定函数图象．此类问题往往化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．(3)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互关系．(4)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不．正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．2．(2014·宁波模拟)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )解析：选B 由log a 2<0，得0<a <1，故函数f (x )＝log a (x ＋1)为减函数，故排除选项A 、D.由图象平移可知f (x )＝log a (x ＋1)的图象可由y ＝log a x 的图象向左平移1个单位得到，故选B.3．已知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )解析：选A 观察图象可知，y ＝f (x )有两个零点x 1＝－π2，x 2＝π2，且y ＝g (x )在x ＝0时，函数值不存在，所以函数y ＝f (x )·g (x )在x ＝0时，函数值也不存在，故可以排除选项C ，D ；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝f (x )·g (x )的函数值为负，故排除选项B.4．已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (选项中阴影部分)，若函数y ＝f (t )的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选C 观察函数图象可得函数y ＝f (t )在[0，a ]上是增函数，即说明随着直线l 的右移，扫过图形的面积不断增大，从这个角度讲，四个图象都适合．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是由上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C 项不适合．这是因为在C 项中直线l 扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．考点三函数图象的应用[例3] 已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}． [自主解答] (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，故集合M ＝{m |0<m <4}．【互动探究】保持本例条件不变，求函数f (x )在[1,5]上的值域．解：f (1)＝3，f (5)＝5，借助函数图象可知，函数f (x )在[1,5]上的值域为[0,5]． 【方法规律】1．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．1．(2013·湖南高考)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B. 2．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析：先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，利用数形结合求解．根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．答案：(0,1)∪(1,4)————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个注意点——图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2个区别——函数图象的对称问题(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数图象的对称关系．3个关键点——正确作出函数图象的三个关键点 (1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．。

函数的图象基础检测卷（含答案2015高考数学一轮）函数的图象基础检测卷（含答案2015高考数学一轮）A组基础演练1．(2013•北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴y＝f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.答案：D2．函数f(x)＝ln1－x1＋x的图象只可能是()解析：函数的定义域为(－1,1)，排除B、C.又f(x)＝ln(－1＋2x＋1)为减函数，故选A.答案：A3．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．答案：C4．(2013•福建)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()解析：函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)．又因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数且f(0)＝ln1＝0，综上选A.答案：A5．如图，定义在－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．解析：当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，则－k＋b＝0，b＝1，得k＝1，b＝1∴y＝x＋1当x＞0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝14.答案：f(x)＝x＋1，－1≤x≤0，－－1，x＞06．已知函数y＝1x，将其图象向左平移a(a＞0)个单位，再向下平移b(b ＞0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为________．解析：图象平移后的函数解析式为y＝1x＋a－b，由题意知1a－b＝0，∴ab＝1.答案：17．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为______．解析：f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图．令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝6.答案：68．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，将y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y ＝g(x)的图象，求：(1)y＝g(x)的解析式及其定义域；(2)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最大值．解：(1)由题意得y＝g(x)＝2log2(x＋2)，故其定义域为(－2，＋∞)．(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝log2(x＋1)－2log2(x＋2)＝log2x＋＋，x∈(－1，＋∞)．设t＝x＋＋＝x＋＋＋＋＋1＝＋＋1x＋1＋2，由于x＋1＞0，∴(x＋1)＋1x＋1＋2≥4，当且仅当x＋1＝1x＋1即x＝0时等号成立，∴t∈(0，14]，∴y＝log2t的最大值为log214＝－2.即F(x)的最大值是－2.9．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－1x＋2，∴y＝f(x)＝x＋1x(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋ax＝x＋a＋1x，g′(x)＝1－a＋1x2.∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－a＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是3，＋∞)．B组能力突破1．函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x＞1则y＝f(x＋1)的图象大致是()解析：将f(x)的图象向左平移一个单位即得到y＝f(x＋1)的图象．答案：B2．(理科)(2013•江西)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为()解析：如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cosx2＝|OA||OM|＝1－t，∴y＝cosx＝2cos2x2－1＝2(t－1)2－1.又0≤t≤1，故选B.答案：B2．(文科)函数f(x)＝4x＋12x的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：对于选项A，点(1，52)在f(x)上，但点(－1，－52)不在f(x)上；对于选项B，点(0,2)在f(x)上，但点(2,0)不在f(x)上；对于选项C，函数的图象不能关于x轴对称；对于选项D，∵f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2－x＝1＋4x2x＝f(x)，∴函数的图象关于y轴对称．答案：D3．(理科)已知函数f(x)＝|lgx|，0＜x≤10，－12x＋6，x＞10，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．解析：画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝d(0＜d＜1)，如图所示，直观上知0＜a＜1,1＜b＜10,10＜c＜12，再由|lga|＝|lgb|，得－lga＝lgb，从而得ab＝1，则10＜abc＜12.答案：(10,12)3．(文科)已知函数f(x)＝2x，x≥2，－，x＜2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析：画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)4．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x∈0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈－4,0]时f(x)的表达式．解：(1)证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f2＋(2－x0)]＝f2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)当x∈－2,0]时，－x∈0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈－2,0]．当x∈－4，－2]时，4＋x∈0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x＋7，x∈－4，－2]．所以f(x)＝2x＋7，x∈－4，－2]，－2x－1，x∈－2，0].。

2009~2013年高考真题备选题库 第2章 函数、导数及其应用第4节 函数的图像考点 函数解析式与图象1．(2013江西，5分)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：本题为江西的特色题——图形题，考查三角函数的定义及三角恒等变换，意在考查考生的识图能力．由题图知正三角形的高为1，则边长为2 33，显然当x ＝0时，y ＝2 33，且函数y ＝f (x )是递增函数，可排除B ；由平行线分线段成比例定理可知BEAB ＝1－cosx21，即BE＝2 33⎝⎛⎭⎫1－cos x 2，而BE ＝CD ，所以y ＝2EB ＋BC ＝2 3－4 33 cos x2(0<x <π)，排除A ，C ，故选D.答案：D2．(2013北京，5分)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D. e－x －1解析：选D 本题考查函数的平移及对称性，意在考查考生对基础知识的掌握情况．与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.答案：D3．(2013四川，5分)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：本题考查函数的图象及其性质，意在考查考生对函数的定义域及值域等知识的理解与掌握．因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错，故选C.答案：C4．(2013浙江，4分)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________.解析：本题主要考查函数的概念与函数值的计算，属于简单题，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由f (a )＝a －1＝3，得a ＝10.答案：105. (2012新课标全国，5分)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x ，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析：函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图像为B. 答案：B6. (2011山东，5分)函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是( )解析：y ′＝12－2cos x ，令y ′＝0，得cos x ＝14，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y ＝x 2－2sin x 有无穷多个极值点，函数y ＝x2－2sin x 是奇函数，图像关于坐标原点对称，故只能是选项C 的图像．答案：C7．(2010新课标全国，5分)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：法一：(排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，由角速度为1知，当t ＝π4或t ＝5π4时，P 点落在x 轴上，即P 点到x 轴的距离为0，故选C. 法二：由题意知P (2cos(t －π4)，2sin(t －π4))，∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2|sin(t －π4)|，当t ＝0时，d ＝2； 当t ＝π4时，d ＝0.故选C.答案：C8．(2010陕西，5分)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为y ＝[x ＋310]．答案：B9. (2009·安徽，5分)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )解析：当x >b 时，y >0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C 正确．答案：C。

——函数的图像时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 座号：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·佛山模拟)函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是( )2．(2014·济南模拟)函数y ＝log a (|x |＋1)(a >1)的大致图象是( )3．已知函数对任意的x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的图象大致为( )4．(2014·安徽合肥模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x (－1≤x ≤0)，x (0<x ≤1)，则下列函数的图象错误的是( )5．(2014·衡水调研)已知函数f(x)＝1ln(x＋1)－x，则y＝f(x)的图象大致为()6．(2014·西安五校联考)对于定义域为R的函数f(x)，给出下列命题：①若函数f(x)满足条件f(x－1)＋f(1－x)＝2，则函数f(x)的图象关于点(0,1)对称；②若函数f(x)满足条件f(x－1)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于y轴对称；③在同一坐标系中，y＝f(x)和y＝f(－x)的图象关于y轴对称，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称；④在同一坐标系中，y＝f(x)和y＝f(－x)的图象关于y轴对称，则函数y＝f(1＋x)与y＝f(1－x)的图象关于y轴对称．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(基础题)已知f(x)是偶函数，则f(x＋2)的图象关于________对称；已知f(x＋2)是偶函数，则函数f(x)的图象关于________对称．8．(2014·天津模拟)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．9．(2014·河南三市调研考试)关于x的方程|x|x＋2＝kx2有四个不同的实根，则实数k的取值范围为________．10．(提升题)设函数f(x)定义域为R，则下列命题中①y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x －2)＝f(2－x)，y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；④y＝f(x－2)和y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．其中正确的命题序号是________(填上所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋1|.(1)作出y＝f(x)的图象；(2)解不等式f(x)≤6.12．已知函数f(x)定义在[－2,2]上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象；(1)y＝f(x＋1)；(2)y＝f(x)＋1；(3)y＝f(－x)；(4)y＝－f(x)；(5)y＝|f(x)|；(6)y＝f(|x|)；(7)y＝2f(x)；(8)y＝f(2x)．13．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．函数的图像参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：由y＝1－|x－x2|≤1结合图象可得C正确．答案：C2．解析：由y＝log a x(a>1) 向左平移1个单位得到y＝log a(x＋1)的图象，再作y轴对称得y＝log a(|x|＋1)的图象．答案：B3．解析：∵对∀x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，∴f(x)是奇函数，f(0)＝0，y＝f(x)的图象关于原点对称，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x＋1)＝－ln(1－x)，所以符合上述条件的图象为D.答案：D4．解析：先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝x，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．答案：D5．解析：解法一：(函数性质法)函数f(x)满足x＋1>0，ln(x＋1)－x≠0，即x>－1且ln(x＋1)－x≠0，设g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1.由于x＋1>0，显然当－1<x<0时，g′(x)>0，当x>0时，g′(x)<0，故函数g(x)在x＝0处取得极大值，也是最大值，故g(x)≤g(0)＝0，当且仅当x ＝0时，g (x )＝0，故函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，且函数g (x )在(－1,0)∪(0，＋∞)上的值域为(－∞，0)，故函数f (x )的值域也是(－∞，0)，且在x ＝0附近函数值无限小，观察各个选项中的函数图象，只有选项B 中的图象符合要求．解法二：(特殊值检验法)当x ＝0时，函数无意义，排除选项D 中的图象，当x ＝1e －1时，f (1e －1)＝1ln (1e －1＋1)－(1e －1)＝－e<0，排除选项A 、C 中的图象，故只能是选项B 中的图象．(注：这里选取特殊值x ＝(1e －1)∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A 、C ，这种取特值的技巧在解题中很有用处)答案：B 6．解析：f (x －1)＋f (1－x )＝2，用x ＋1代替上式中的x 得f (x )＋f (－x )＝2，设(x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上，则(x 0，y 0)关于点(0,1)的对称点(x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x 1＝0，y 0＋y 12＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x 1，y 0＝2－y 1，故f (－x 1)＋f (x 1)＝2，故①正确；f (x －1)＝f (1－x )，用x ＋1代替上式中的x 得f (x )＝f (－x )，故函数y ＝f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故②正确；y ＝f (x －1)的图象和y ＝f (1－x )的图象可看成分别由y ＝f (x )和y ＝f (－x )向右平移1个单位得到，而y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，故y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称，故③正确；函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，把y ＝f (x )和y ＝f (－x )的图象分别向左、向右平移一个单位后得到y ＝f (x ＋1)和y ＝f (1－x )的图象，仍关于y 轴对称，故④正确．答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．解析：∵f (x ＋2)可由f (x )图象左移2个单位得到，故f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称；∵f (x ＋2)是偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即x ＝2是对称轴．答案：x ＝－2，x ＝28．解析：y ＝|x 2－1|x －1＝|x ＋1||x －1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－|x ＋1|，x <1，函数y ＝kx －2过定点(0，－2)，由数形结合，得k AB <k <1或1<k <k AC ，∴0<k <1或1<k <4.答案：(0,1)∪(1,4)9．解析：x ＝0是方程|x |x ＋2＝kx 2的1个根．当x ≠0时，方程即为1x ＋2＝k |x |，令f (x )＝1x ＋2，g (x )＝k |x |，画出图象可知：当k ＝1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有2个交点，∴k >1时，y ＝f (x )与y ＝g (x )有3个交点，此时原方程有四个不同的实根．综上所述k ＞1.答案：k ＞110．解析：对于①，y ＝f (x ＋2)关于x ＝－2对称；对于②， ；对于③，当f (2＋x )＝f (2－x )时，f (x )的图象关于x ＝2对称，而当f (2－x )＝f (x －2)时，则应关于x ＝0对称．对于④， .答案：②④三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．解：(1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎨⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x ≤3，2x －2，x >3，图象如图(1)所示．(2)由f(x)≤6，得当x≤－1时，－2x＋2≤6，x≥－2，∴－2≤x≤－1.当－1<x≤3时，4≤6成立．当x>3时，2x－2≤6，x≤4.∴3<x≤4.∴不等式f(x)≤6的解集为[－2,4]．另解：(数形结合)由图(2)可知，不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤4}．12．解：利用图象变换技巧进行平移、伸缩、对称、翻折即可．(1)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象向左平移1个单位得到y＝f(x＋1)，x∈[－3,1]的图象，如图(1)．(2)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象向上平移1个单位即得到y＝f(x)＋1，x∈[－2,2]的图象，如图(2)．(3)函数y＝f(－x)与y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象关于y轴对称，如图(3)．(4)函数y＝－f(x)与y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象关于x轴对称，如图(4)．(5)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的部分不变，得到y＝|f(x)|的图象，如图(5)．(6)考虑到函数y＝f(|x|)为[－2,2]上的偶函数，所以函数y＝f(x)，x∈[－2,2]在y轴右侧的部分不变，左侧部分换为右侧关于y轴对称的图象即可得到y＝f(|x|)的图象，如图(6)．(7)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2f(x)的图象，如图(7)．(8)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到y＝f(2x)的图象，如图(8)．13．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示：由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，∵H(t)＝(t＋12)2－14在区间(0，＋∞)上是增函数，∴H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．。