渐近非扩张映像隐式迭代序列强收敛性

ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ —８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． Ｏ １ ． ０ １ ６
１ 引言 和 预 备 知 识
关 于 非 扩 张 映象、 有 限 族 非 扩 张 映 象 利 用 Ｍａ ｎ ｎ迭 代 、 Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ —Ｍａ ｎ ｎ（ Ｋ Ｍ） 迭代 ， 求 解 不
和 分别 表示 当 一 ∞ 时 ， 中的序 列 ｛ ｝ 强和弱 收敛 于 ． 定义 １ ． １ 映象 ： ｃ 一 日， 称 为非 自的非 扩 张 映象 ， 如果 Ｉ ｌ Ｔ （ ）一Ｔ （ Ｙ ）Ｉ １≤ ｌ ｛ 一Ｙ Ｉ ｌ ， Ｖ ， Ｙ∈ Ｃ ． （ １ ） 特别地 ， 称 为 ｃ上 的非扩 张映象 ， 如果 ： Ｃ — Ｃ是 满足 条件 （ １ ） 的 映象． 定义 １ ． ２ 映象 ： Ｃ — Ｃ称 为 渐进 非 扩 张 的 ， 如果存 在正实 数序列 ｛ ｝ ， ｋ ≥１ ， ｌ ｉ ａｋ ｒ ＝１使 得对
【 Ｉ
— ｙ Ｉ ｌ≤ Ｉ ｛ 一Ｙ Ｉ Ｉ＋
（【 一Ｙ Ｉ ｌ １ ）＋Ｚ ．
注 １ 全 渐进 非 扩 张 映 象 真包 含 渐 进 非扩 张 映象 ， 渐 进非 扩 张 映 象真 包 含 非 扩 张 映象 ， 但 反 之 不 一定成 立． 定义 １ ． ４ 非 自映 象 ／ ： Ｃ 一 日 称 为 Ｐ一压缩 映
动点的问题 ， 许多学者都进行 了广泛研究 ， 参见文 献［ １ — １ ８ ］ 等． 最近文献 ［ １ ］ 研究 了无 限族 非扩张 映象的两步迭代求解分层不动点问题 ， 证明了强收 敛定理． 本文提出新的迭代方案证 明了相应 的强收 敛定理 ， 改进和推广 了文献［ １ — ２ ］ 的最新结果． 全文 假 定 日 为 具 有 内 积 （・ ，・） 和 范 数 ｌ ｌ・Ｉ ｌ 的实 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间， Ｃ是 的一个 非空 闭 凸子 集． 并 且 Ｆ（ Ｔ ）＝｛ ∈Ｈ： Ｔ ｘ＝ ｝ 是 映象 的不 动 点 集． 假定 ， 是一恒等映象， Ⅳ 是 自然 数集 ． 用 一

Banach空间中渐近非扩张映射的强收敛定理不动点理论是泛函分析的一个重要的研究分支,它在微分方程、积分方程、数值分析、对策论、控制论以及最优化等学科中有广泛而深入的应用.不动点理论的研究起源于Banach,Banach给出了第一个不动点定理,即Banach压缩映射原理.Browder利用Banach压缩映射原理在Hilbert空间中证明了非扩张映射的不动点存在性定理.Browder定理被Reich推广至一致光滑的Banach空间中.Kirk 在具有一致正规结构的Banach空间中证明了非扩张映射的不动点存在性定理.Goebel和Kirk首先提出渐近非扩张映射,并证明了一致凸Banach空间中非空有界闭凸子集上的每个渐近非扩张映射都有不动点.Kim和Xu将该结果推广至空间具有一致正规结构的情形.2002年,Li和Sims证明了在具有一致正规结构的Banach空间中渐近非扩张型映射在适当条件下具有不动点:设E是一个具有一致正规结构的Banach空间, C是E的一个非空有界子集, T :C→C是渐近非扩张型映射且T在C上连续,若C存在非空闭凸子集K具有性质: ( )z∈K ?ωwz ? K,则T在K中具有不动点.在这些定理证明中,都是利用压缩映射的不动点直接逼近或迭代逼近非扩张映射的不动点.1998年,Shioji和Takahashi给出了Hilbert 空间中非扩张半群的隐式粘性平均迭代序列的强收敛定理.Shimizu和Takahashi在Hilbert空间中证明了非扩张半群的显式粘性平均迭代序列是强收敛的.2007年,Chen和Song研究了具有一致Gateaux可微范数的一致凸Banach 空间中的非扩张半群的隐式粘性平均迭代和显式粘性平均迭代的收敛性问题.本文主要利用Li和Sims的不动点存在性定理,研究了在具有一致Gateaux可微范数与一致正规结构的Banach空间中,渐近非扩张映射及渐近非扩张半群的粘性隐式迭代序列{ }z n和粘性显式迭代序列{ }xn的收敛性问题.在第二章中,本文研究了在具有一致Gateaux可微范数与一致正规结构的Banach空间中,由下式定义的粘性迭代序列{ }z n和{ }xn :其中f∈ΠK, K是E的非空闭凸子集, T :K →K是渐近非扩张映射且F (T )≠? ,都收敛于T的不动点p ,且p是变分不等式0的唯一解.在第三章中,本文研究了在具有一致Gateaux可微范数与一致正规结构的Banach空间中,由下式定义的粘性迭代序列{ }z n和{ }xn :其中f∈ΠK, K是E的非空闭凸子集, ?= {T (t ), t≥0}是K上渐近非扩张半群且证明了{ }z n和{ }xn都强收敛于?的公共不动点p ,且p是变分不等式本文的主要结果推广和改进了文[9,10]中的结果.。

ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ
１ 预备知识
设 日 是 实 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间， 是 上 的非 线 性 映像 ． 称 是 非扩 张 的， 如果 Ｉ 一 ｌ ｌ Ｉ ≤Ｉ Ｉ — ｙ ｌ ｌ ， Ｖ ， Ｙ ∈Ｈ． 点 ∈Ｈ是 的不 动点 ， 如果 Ｔ ｘ ＝ ｘ ． 用 Ｆ表示 的不动 点集 ， 即 ＝ ｆ ∈Ｈ： Ｔ ｘ ＝ ｝ ． 称 自映像 是 上的压缩映像， 如果存在一个常数 Ｏ Ｌ ∈ （ ０ ， １ ） 使得 Ｉ ｂ Ｓ ｘ ） － ｆ （ ｙ ） ｌ ｌ ≤ Ｉ Ｉ ｌ ｌ ， Ｖ ， Ｙ ∈ Ｈ ．
Ｖ０ １ ． ３ ２ Ｎｏ ． ２
Ｍａ ｒ ． ， ２ ０１ ３
文章编 号 ： １ ０ ０ ８ — ８ ３ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ １ ４ ４ — ０ ５
Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间非扩张 映像 的迭代算 法的收敛性
吕秉 蓉， 郝 彦
（ 浙 江海洋学 院数理与信息学院 ， 浙江舟 山 ３ １ ６ ０ ０ ４ ）
ｍ
…
Ａ ｉ ｎ１（
，
，
） 一 （ ， ６ ）
（ １ ． ２ ）
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ １ — ２ ０
基金项 目： 浙江省 自然科学基金项 目（ Ｙ ６ １ １ ０ ２ ７ ０ ）
作者 简介 ： 吕秉蓉（ １ ９ ９ ０ 一） ， 女， 浙江永康人 ， 研究方 向： 非线性泛 函分析． 通讯 作者 ： 郝彦（ １ ９ ６ ５ 一） ， 女， 黑龙江齐齐哈尔人 ， 教授 ， 研究方 向： 非线性泛 函分析
第 ２期
吕秉蓉等 ： Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ａ空间非扩张映像的迭代算法的收敛性

记映象 Ｔ ： — Ｅ 的不动 点集为 Ｆ（） ｛ Ｃ Ｔ ＝ ｚ∈Ｃ ： ｚ＝Ｔ ｝ ０７ Ｗａ ｇｅｒｅ 研 究并 ｘ ．２０ 年 ｎ ｋｅｅ［ ］ 获得 了以下 Ｃ ｓｒ ｅ￣ｏ均值迭 代算法 的强收敛 结果
Ｘ＋ ｎ ＋１ ） １ Ｚ （ ） ｎｌ ｕ （ ｎ 凡Ｐ ～ Ｔ
且 是弱 一 弱 连续 的 ．严格 凸 Ｂ ｎｃ 间的 白反性 保证 Ｌ是 Ｅ 到 上 的一 对一 的满射 ． ａａｈ空 ， ∑ 本 文假 设 是 Ｅ 的 非空 闭 凸集 ， ｛ １Ｔ ， ， ， １ ｃ 到 Ｅ 中的无 限族 非 扩张 映象 ． Ｔ ， ２… … 是 Ｐ ，表示 恒等 映象 ， Ｎ 表示 全体 正整 数集 ， Ｆ ） ∈ ： ＝（ Ｚ＝Ｔ ｝表 示映象 Ｔ： — 的 ｘ Ｃ 不动 点集 ． 一 和 一 分别 表示 强收 敛和 弱收 敛号 ． 定 义 ２１ 映象 Ｔ： — 是非 扩张 非 自射 映 象，如果 ．
ｚ １ Ｐ １ ＿ ＋ 一 ＇（ ＋ ｕ＋ （ 一 － ） ￣ ｘ ） Ｖ ０ １ ｒ １ ， ｎ － １ ， （． １） ６
再 由此给 出迭代 算法 （．） （．） １ 和 １ 的强 收敛结果 ３ ４
一
Байду номын сангаас
卜
２ 预 备
本 文 假 设 Ｅ 是 具 弱 序列 连 续 的正 规 对 偶 映 象 的 严 格 凸 的 自反 Ｂ ｎ ｃ 空 问．由 ａａｈ Ｂ ｏ ｄ ｒ 】知， Ｂ ｎ ｃ ｒｗ ｅ［ ａ ａｈ空 间 Ｅ 具 有弱 序 列 连续 的 正规 对偶 映象 ， 指 是 单值 的 ， 是
摘要 ：该文在严 格凸的自反 Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空 间引进并研 究了关于无限族 非扩 张非 自射映象的迭代
算 法 ，获 一强 收 敛结 果 ．应 用这 个 结 果 又 获得 了 Ｃｅｇｏ型均 值 迭 代 算法 的强 收 敛性 结 果 ．所 ｓｒ 获主 要 结 果将 ２ ０ ０ ７年 Ｚ ａ ｇＬ ｅＣｈ ｎ 获 得 的 主要 结 果 从 Ｈｉ ｅｔ空 间推 广 到 Ｂａ ａｈ 空 ｈ ｎ － ｅ— ａ ｌ ｒ ｂ ｎｃ