《正方形的性质与判定》习题

1.3正方形的性质与判定1、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BDB. AB∥CD，AC＝BDC. AD∥BC，∠A＝∠CD. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC2、在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A. 12+122B. 12+62C. 12+2D. 24+623、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE交CD•于点F，•则∠AFC的度数是（）．（A）150°（B）125°（C）135°（D）112．5°4、已知正方形的面积为4，则正方形的边长为________，对角线长为________．5、如左下图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠AED＝______，∠AEB＝______．6、如右上图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，求∠AEB的度数.7、已知：如左下图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，•BF与AD交于点F，求证：AE＝BF．8、如图，正方形ABCD，AB＝a，M为AB的中点，ED＝3AE，（1）求ME的长；（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？9、如左下图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊的四边形，你是如何判断的？10、如右上图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．试说明AE ＝FG ．11、以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE 、CF.（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由。

（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角。

正方形(1)练一练:1、已知：如图，正方形ABCD 中，CM=CD MN 丄AC,连结CN ,则/ DCN=/ B.2.在正方形ABCD 中, AB=12 cm ,对角线AC BD 相交于0,则^ ABO的周长是3、下面的命题是真命题的有A 、有一组邻边相等的平行四边形是正方形；B 、有一组邻边相等且有一角为直 角的四边形为正方形；C 、正方形是一组邻边相等的矩形；D 、正方形是有一个 角为直角的菱形。

精讲精练例1、在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点 E,使CE=CA 连接AE 交CD 于变式：1、已知如下图，正方形 ABCD 中，E 是CD 边上的一点，F 为BC 延长线上 一点，CE=CF ⑴求证：△ BEC^A DFC; (2)若/ BEC=60°，求/ EFD 的度数.()+12J2 +6^2+72 +6^2/ B,/ MND=F ,求AFD 的度数。

例2:如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分/ DCF,连结AE,并在CG上取一点G,使EGAE求证：AEX EG例3、P 为正方形ABCD内一点，PA=1, PB=2, PC=3,用中学1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE CE 与DB 相交于点F，AFD =求/APB的度数.则E32、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3, M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE 则BM的长为3.正方形的面积是3，则其对角线长是.为正方形ABCD内一点，且△ EBC是等边三角形，求/ EAD的度数.<31、已知RtVABC 中， 精讲精练C 90 , CD 平分 ACB ,交 AB 于 D , DFEF CD,EG AD, 边形ABCD 中, AC 、BD 相交于点 0, 能判别这个四边形是正方形的条件是（=0B=0C=0D , AC 丄 BD ； // BC, / A=/ C ； （上海市）如图,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC , BD 交于点0, E 是 BD 延长线上的点,且△ ACE 是等边三角形.（1） 求证：四边形ABCD 是菱形； （2） 若 AED 2 EAD ,求证：四边形 ABCD 是正方形.// CD, AC=BD ；=0C, 0B=0D , AB=BC 疋菱 正方形（2）练一练：1 .不能判定四边形是正方形的是（） A .对角线互相垂直且相等的四边形；B •对角线互相垂直的矩形；C •对角线相等的菱形；D .对角线互相垂直平分且相等的四边形。

正方形的性质与判定一、填空题1．正方形的一边长5cm，则周长为cm，面积为cm22．E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠ABE＝3．E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等边三角形，则∠ADE＝4．正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于cm5．正方形有条对称轴．6．如图（1），在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝(1) (2)7．如图(2)，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么∠DCE＝，如果DE的延长线交BC于G，则∠BEG＝8．F是正方形ABCD的对角线AC上一点，AF＝AD，FG⊥AC于F，交CD于G，那么∠DFG＝9．如图(3)，截去正方形ABCD的∠A、∠C后，∠ 1、∠2、∠3、∠4的和为（3）（4）10．如图（4），正方形的对角线相交于O，∠BAC的平分线交BD于E，若正方形的周长是20cm，则DE＝二、选择题1．正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2．如图（5），在正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于E 点，则∠BEC＝( ) A．45°B．60°C． 70°D．75°(5) (6)3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．平行四边形B．等腰三角形C．等边三角形D．菱形4．如图(6)，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )A．30 B．34 C．36 D．405．如右图，以A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可以作( )A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题(每题12分，共24分)1.图中的矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，求这个矩形的长和宽各是多少？2.如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数．四、对于周长为20的矩形，通过填写下表，研究它的长、宽的变化对面积的影响．矩形的长……8 7 6 5 4 3 2 ……矩形的宽…………矩形的面积……观察数据，你有什么结论？五、如图，△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设Mn交∠ACB的平分线于点E，交∠ACH的平分线于点F．⑴说明：EO＝FO；⑵当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形；⑶当O是AC上怎样的点，且AC与BC具有什么关系时，四边形AECF是正方形？参考答案一、1．20，25；2．°；3．75°；4．8；5．4；6．°7．15°，45°；8．° 9．540°10．5二、三、1．设中间最小正方形的边长为，则右下方正方形的边长为，左下方正方形的边长为，左上方正方形的边长为，右上方正方形的边长为，根据长方形的对边相等可列方程2(1)(2)(4)(3)x x x x+++=+++，解这个方程得，∴长方形的长为13，宽为11，面积为243；2．∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝1(1802°°)30=°四、在周长一定的情况下，当长方形的长与宽的差的绝对值越小，长方形的面积越大，当长与宽相等时，长方形的面积最大．五、⑴证OE OC OF==；⑵AC的中点；⑶当O是AC的中点，且AC⊥BC时，四边形AECF 是正方形．。

正方形性质与判定练习题例1、在正方形ABCD中，以AB为边向外作等腰三角形ABE，连接CE，交BD于F，若BE=2，则CF=______.变式：如图，正方形ABCD中，以AB为边向外作等腰三角形ABE，交CE于F，若BE=2，则.例2、如图，ABCD为正方形，E为AB边上一点，连接CE，交BD于F，若BE=2，则CF=______.例3、如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，CE=CF.求证：AE=AF.用中学1、如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，以AE 为边向外作等腰三角形AEF，交CD于G，若AE=2，则CG=______.2、如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，以AE 为边向外作等腰三角形AEF，交CD于G，若AE=2，则.3、如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，以AE 为边向外作等腰三角形AEF，交CD于G，若AE=2，则△AEG的周长为______.CD=DA。

3.已知RtABC中，CD平分∠ACB，交AB于D，DF//BC，DE//AC，∠C=90°，要证明四边形DECF为正方形。

首先，连接CE，CF。

因为CD平分∠ACB，所以∠DCF=∠ACF，又因为DF//BC，所以∠DCF=∠C，因此∠ACF=∠C。

同理可得∠XXX∠C。

因为∠C=90°，所以∠ACF+∠XXX°，即∠AEC=90°，所以四边形DECF的两条对角线互相垂直。

又因为DE//AC，CF//AB，所以∠DEC=∠A，∠XXX∠B，又因为∠A+∠B=90°，所以∠DEC+∠CFE=90°，即四边形DECF的四个内角都是直角，因此四边形DECF为正方形。

4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F、G。

要证明BE=FG。

首先，连接BF、CG。

因为正方形ABCD是等边等角的，所以AB=BC=CD=DA，AC=BD=2AB。

18.2.3正方形的性质与判定练习题一、填空题1、如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，则∠ACE＝ °. 2、如图，四边形ABDC 是正方形，延长CD 到点E ，使CE=CB ，则∠AEC ＝ °.3、如图，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°； ②∠AFC=112.5°； ③∠ACE=135°；④AC=CE ；⑤AD ∶CE=1∶ 2. 其中正确的有 个.4、如图，等边△EDC 在正方形ABCD 内，连结EA 、EB ，则∠AEB ＝°；∠ACE ＝ °.5、已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 °.6、如图，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED 重合，则θ值为 °.第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 7、已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.8、如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 .9、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则CN= ；AM 的长是 .10、正方形的面积是31，则其对角线长是________. 11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .12、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为 .第12题图 第13题图 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图O 2O 1第11题图 第14题图13、边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积是.14、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是.15、如右图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确的结论是.（填序号）16、如右图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边△ABE，CE与DB= 。

一．选择题（共11小题） 1．（2014•南充）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点C 的坐标为（ ），，2．（2014•山西）如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ ）a 2a 2a 2．a 23．（2014•台州）如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连接BE ，FE ，则∠EBF 的度数是（ ）4．（2014•郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都5．（2014•来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）46．（2014•福州）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE相交于点F ，则∠BFC 为（ ）7．（2014•来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四9．（2014•株洲）已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正10．（2014•红桥区三模）如图，在正方形ABCD 中，CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 等于（ ）11．（2014•四会市一模）如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=5，则以AC 为边长的正方形ACEF 的面积为（ ）二．填空题（共5小题）12．（2009•江西模拟）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB=_________度．13．（2008•佛山）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是_________度．14．（2007•吉林）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE 为等边三角形．AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC= _________度．15．（2006•昆明）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．16．（2005•常州）如图所示，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于_________ cm，四边形EFGH的面积等于_________cm．三．解答题（共6小题）17．（2014•泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．18．（2014•广安）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．19．（2014•自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．20．（2014•鄂州）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH 如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．21．（2014•青岛）已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=_________°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．22．（2014•随州）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）填空：当AB：AD=_________时，四边形MENF 是正方形．一．选择题（共11小题）1．（2014•南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C 的坐标为（），，，，2．（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）a2a2a2a2答：aEC=a a ×a=a 3．（2014•台州）如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连接BE ，FE ，则∠EBF 的度数是（ ）4．（2014•郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都5．（2014•来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正4=6．（2014•福州）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）7．（2014•来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四9．（2014•株洲）已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正10．（2014•红桥区三模）如图，在正方形ABCD 中，CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 等于（ ）11．（2014•四会市一模）如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=5，则以AC 为边长的正方形ACEF 的面积为（ ）二．填空题（共5小题） 12．（2009•江西模拟）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠AEB= 15 度．13．（2008•佛山）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP=BC ，则∠ACP 度数是 22.5 度．（14．（2007•吉林）如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形．AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠EAC= 105 度．15．（2006•昆明）已知：如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 16 ．16．（2005•常州）如图所示，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长等于 8 cm ，四边形EFGH 的面积等于 8 cm ．42．由正方形的定义可知四边形三．解答题（共6小题） 17．（2014•泸州）如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且AE ⊥BF ，垂足为点G ． 求证：AE=BF ．18．（2014•广安）如图，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，连接BP 、DP ，延长BC 到E ，使PB=PE ．求证：∠PDC=∠PEC ．19．（2014•自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．20．（2014•鄂州）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH 如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．21．（2014•青岛）已知：如图，▱ABCD 中，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ． （1）求证：△AOD ≌△EOC ； （2）连接AC ，DE ，当∠B=∠AEB= 45 °时，四边形ACED 是正方形？请说明理由．22．（2014•随州）已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点． （1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）填空：当AB ：AD= 1：2 时，四边形MENF 是正方形．。

专题03 正方形的性质与判定（八大类型）【题型1 正方形的性质】【题型2 正方形的判定】【题型3 矩形的性质与判定综合运用】【题型4 正方形中最小值问题】【题型5 正方形-对角互模型】【题型6 正方形-半角互模型】【题型7 正方形-手拉手模型】【题型8 正方形-十字架模型】【题型1 正方形的性质】1．（2023春•增城区期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB度数为（）A．10°B．15°C．22.5°D．30°2．（2023春•鼓楼区期中）矩形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．邻边相等C．对角线互相垂直D．对角线平分对角3．（2023春•张北县校级期中）四边形ABCD是正方形，E为CD．上一点，连接AE，过B作BF⊥AE于E，∠ABF＝30°且，则正方形ABCD的周长为（）A．B．C．24D．6 4．（2023•官渡区校级模拟）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得BD＝10cm，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A＝120°，则图（2）中BD的长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm 5．（2023•龙川县一模）如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB 同侧作正方形APCD、正方形PBEF，连接AF，BC，设∠CBE＝x°，∠AFP ＝y°，则y与x的关系为（）A．y＝x B．y＝2x C．y＝180﹣x D．y＝90﹣x 6．（2023•巧家县一模）如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F为线段BC的中点，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．C．1D．2 7．（2023•新华区模拟）一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣45°B．α﹣90°C．270°﹣αD．180°﹣α8．（2023春•苏州期中）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝35°，则∠CFD的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°9．（2023•碑林区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若AP＝5，则EF＝（）A．5B．5C．2.5D．10．（2023•五华区校级模拟）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（）A．cm2B．50cm2C．cm2D．25cm2 11．（2023春•天津期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，点F分别是BC，AB上的点，连接DE，DF，EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（）A．B．C．D．12．（2022春•汉阴县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个13．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为.（将正确的序号都填入）14．（2022春•长春期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为cm．【题型2 正方形的判定】15．（2023春•黄埔区期中）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线垂直且相等的四边形是正方形16．（2023•雁塔区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（）A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60°17．（2022春•铁岭县期中）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法你认为错误的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④18．（2022•鼓楼区校级开学）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，则四边形EFMN的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形19．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半20．（2023•莱西市一模）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点，AC ＝EC．（1）求证：△BCD≌△CBE；（2）△ACE添加一个条件，矩形ABCD为正方形．请说明理由．21．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．22．（2022秋•皇姑区期末）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝35°，当∠C＝度时，四边形AEDF为正方形（直接填空）．23．（2022秋•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB 的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE，BE交于点E．（1）判断四边形CDBE是什么特殊的四边形，并证明；（2）直接写出当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形．24．（2022春•隆阳区期中）如图，点B，C，F在同一条直线上，AC⊥BF于点C，且AC＝BC，连接AB，取AB的中点D，连接CD，过点A作CE的垂线，垂足为E，已知点E到直线AC和CF的距离相等．求证：四边形ADCE是正方形．25．（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC 的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【题型3 正方形的性质与判定综合运用】26．（2023春•任城区校级月考）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长．27．（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．28．（2022春•海阳市期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．（1）求证：矩形ABCD为正方形：（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．29．（2022春•关岭县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F．（1）求证：四边形AFDE是正方形；（2）若AD＝3，求四边形AFDE的面积．30．（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．31．（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．【题型4 正方形中最小值问题】32.（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A．B．C．4D．333.（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（）A．2B．4C．D．234．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．35．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为．36．（2021秋•江汉区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并证明；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值为．【题型5 正方形-对角互模型】37.（2021秋•锦江区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC 于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）A．6B．7C．8D．938.（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1B．C．2D．2 39．（2022春•龙胜县期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大D．不断增大40．（2021春•正阳县期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…A n分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形形成的重叠部分的面积和为（）A．cm2 B．505cm2C．cm2 D．（）2021cm2 41.（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．42.（2021•深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON；（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．【题型6 正方形-半角互模型】43．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF ＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN ＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长．44．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）45．把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN＝BM+DN．（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN 之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．【题型7 正方形-手拉手模型】46．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB＝GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝3，AG＝，求EB的长．47.点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE 和BCFG，连接AF、BD．（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为，；（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由；②若AC＝4，BC＝，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．【题型8 正方形-十字架模型】48.（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°49.（2022•灞桥区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1B．2C．D．250．（2022春•孝南区期中）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P 与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD 之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．51．（2021春•船营区校级期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．（1）求证：CE＝DF；（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为，CG+DG的长为．52．（2020秋•莲湖区期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．。

正方形的性质与判定经典例题练习1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：- 所有边长相等- 所有角都是90度- 对角线相等且垂直2. 正方形的性质2.1. 边长和角度关系假设正方形的边长为a，根据正方形的定义，可以得到以下关系：- 正方形的周长为4a- 正方形的面积为a^2- 正方形的任意一个内角为90度- 正方形的任意一个外角为270度2.2. 对角线关系对角线是指连接正方形两个非相邻顶点的线段，根据正方形的定义，可以得到以下关系：- 正方形的对角线长度为a√2- 正方形的两条对角线相等- 正方形的两条对角线相交于90度角3. 正方形的判定方法在判定一个四边形是否为正方形时，可以使用以下方法：3.1. 边长相等如果一个四边形的四条边长都相等，则可以判定为正方形。

3.2. 内角为90度如果一个四边形的任意一个内角都为90度，则可以判定为正方形。

3.3. 对角线相等且垂直如果一个四边形的对角线相等且垂直，则可以判定为正方形。

4. 经典例题练4.1. 例题一已知一个四边形的边长都为5cm，可以判断它是否为正方形吗？4.2. 例题二已知一个四边形的内角都为90度，可以判断它是否为正方形吗？4.3. 例题三已知一个四边形的对角线相等且垂直，可以判断它是否为正方形吗？以上的例题将帮助读者巩固对正方形性质和判定方法的理解，并提供实际应用的训练。

---希望这份文档能帮助你了解正方形的性质和判定方法，并通过经典例题练习加深对该主题的理解。

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正方形的性质及判定练习题一、知识梳理：1、定义：一组邻边相等的矩形是正方形．2、正方形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形．3、判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（3）有一个是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形是正方形总结：矩形+（或）=正方形菱形+（或）=正方形二、基础训练：性质：1、如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．（1）一条对角线把它分成_______个全等的________ 三角形；（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；图中一共有________个等腰直角三角形；（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．（4）AB: AO: AC=________．2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A、四个角相等B、对角线互相垂直平分C、对角互补D、对角线相等.3、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分C、对角线平分一组对角D、对角线相等.4、正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________．5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．求证：△ABF≌△DAE．判定：F A B C D 1. 下列说法错误的是（ ）Ａ．两条对角线相等的菱形是正方形 Ｂ．两条对角线相等且垂直平分的四边形是正方形Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ． 两条对角线垂直的矩形是正方形2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形3.已知在□ABCD 中，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A ．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD4.四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）A. OA=OB=OC=OD ，AC ⊥BDB. AB ∥CD ，AC=BDC. AD ∥BC ，∠A=∠CD. OA=OC ，OB=OD ，AB=BC5.能使平行四边形ABCD 为正方形的两个条件是 ________ _________ ___________________________________________________________ ．（最少填三组）三、【聚焦“中考”】例：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ． （1）求证：DE=DF ．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）自我检测：1.如图，在ABC 中∠ACB=90°，CD 平分∠ACB，DE ⊥BC ，DF⊥AC,垂足分别为E 、F ， 求证：四边形CFDE 为正方形2. 如图所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明四边形CEDF 为正方形。

正方形的性质与判定综合练习题一、判断题（每题4分，共20分）1. 正方形的边长相等。

2. 正方形的对角线长相等。

3. 正方形的对边平行。

4. 正方形的内角都是直角。

5. 正方形的内角和等于360°。

二、选择题（每题4分，共20分）1. 设一个正方形的边长为a，则其对角线的长度为：A. aB. a/2C. a√2D. a²2. 若一个四边形的内角和为360°，则它一定是一个：A. 正方形B. 长方形C. 钝角四边形D. 平行四边形3. 下列说法中正确的是：A. 所有正方形都是长方形B. 所有长方形都是正方形C. 正方形和长方形没有交集D. 正方形和长方形都是平行四边形4. 若一个四边形的内角都是直角，且对边相等，则它一定是一个：A. 正方形B. 长方形C. 菱形D. 三角形5. 如果一个几何图形的边长均相等，对角线长度也相等，且相邻边垂直，则它一定是一个：A. 正方形B. 长方形C. 菱形D. 梯形三、计算题（每题10分，共30分）1. 已知一个正方形的对角线长为10cm，求其边长。

2. 一个正方形的内角和为240°，求其边长。

3. 一个四边形的内角分别是120°、90°、90°和x°，求x的值。

四、解答题（每题20分，共30分）1. 证明：正方形的对边平行。

2. 解答：一个四边形的内角分别是90°、60°、90°和90°，它是什么类型的四边形？3. 解答：一个几何图形的边长均为6cm，它的对角线长度为6√2 cm，它是什么类型的图形？以上是关于正方形的性质与判定的综合练习题，请同学们认真思考并回答。