直线与圆的位置关系,切线及三角形内切圆

第十四讲直线与圆的位置关系、三角形的内切圆知识点一、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线.这个公共点叫做切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r.知识点二、切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．常见解题方法：①有交点，连半径，证垂直②无交点，作垂直，证半径（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中,OD垂直于切线.知识点三、切线长定理（1）切线长：切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.如图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明.CABD知识点四、三角形的内切圆（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.（2）性质：1、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等.2、连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角.题型一、直线与圆的位置关系例1、若⊙O 半径是2，点A 在直线l 上，且OA=2，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．相切或相交例2、已知同一平面内有⊙O 和点A 与点B ，如果O 的半径为3cm ，线段OA ＝5cm ，线段OB ＝3cm ，那么直线AB 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．相交或相切例3、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=8cm ，BC=6cm.若要以B 为圆心，r 为半径画圆B ，请根据下列条件,求半径r 的值或取值范围：（1）直线AC 与圆B 相离；（2）直线AC 与圆B 相切；（3）直线AC 与圆B 相交.BCA知识点二、切线的判定例1、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ：（1）求证：BC 是△ADC 的外接圆的切线；（2）△BDC 的外接圆的切线是哪一条？为什么？（3）若AC=5，BC=12，以C 为圆心作圆C ，使圆C 与AB 相切，则圆C 的半径是多少？例2、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠CAD ＝∠ABC,判断直线AD 与⊙O 的位置关系,并说明理由.例3、如图，已知：O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 于D ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O. 求证：⊙O 与AC 相切。

《直线和圆的位置关系》教学设计【课标分析】理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系：了解切线的概念。

【教材分析】这部分内容包括直线和圆的三种关系，探索圆的切线的性质，探索圆的切线的判定方法，以及作三角形内切圆的方法。

探索并证明切线长定理，并运用切线长定理进行有关的论证和计算。

本节课主要研究直线和圆的三种位置关系。

【学生分析】首先让学生感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，然后让学生动手操作，在这一过程中引导学生归纳出直线与圆的几种位置关系，进一步归纳出直线与圆的不同位置关系中d与r的大小关系，然后对d=r的情形特别关注，这就是圆和直线的相切关系，从而讨论得出切线的性质，再通过旋转实验的办法探索切线的判定条件。

在此基础上能做出三角形的内切圆。

在教学中主要让学生探索归纳，当遇到困难时教师给予适当指导，这样可以充分发挥学生的主观能动性，还能增进同学们的友谊，培养学生的合作能力。

【教学过程】教学流程教师活动设计设计目的学生活动设计二次备课一、导入新课（2分钟）我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些?(1)点在圆外d＞r；(2)点在圆上d= r；(3)点在圆内d＜r。

直线与圆的位置关系有哪些情况呢？本节课我们类比着来学习。

（板书课题:《直线和圆的位置关系》）复习引入为本节课的学习打好基础学生思考并回答问题让学生举出生活中的实例，有助于学生对于三种位置关系的理解。

位置关系转化为数量关系。

从自己的生活体验中举出满足条件的实例。

类比点和圆的位置归纳直线和圆的公共点的个数有三种情况：两个，一个，没有直线和圆有三种位置关系，如下图：它们分别是相交、相切、相离．(1)当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．(2)当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线．这个唯一的公共点叫做切点.(3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．议一议：你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?举例：如（1）把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；（2）自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切；（3）杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离．等等。

《直线与圆的位置关系》知识全解课标要求了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.知识结构在本小节主要研究直线和圆的不同位置关系以及切线的判定和性质，切线长定理等，其中切线的判定和性质是本节的重点内容.其中直线与圆的位置关系与前一节点与圆的位置关系有类似的地方，还是要抓住“数量”与“位置”之间的对应关系.本节先介绍切线的判定，再学习切线的性质，掌握切线的判定方法是一个基础知识点，我们往往是先判定一条直线是圆的切线，然后再利用圆的切线的性质得出新的结论.切线长定理也是圆中一个重要的定理，它是进行证明或计算的一个重要依据，在切线长定理的基础上，学习三角形的内切圆，引出三角形的内心，内心与外心的性质要避免概念的混淆.内容解析直线与圆的位置关系：相切、相交、相离，位置关系决定圆心到直线的距离；反过来，圆心到直线的距离也决定直线与圆的位置关系.同样具备一种等价关系：相交⇔d＜r；相切⇔d=r；相离⇔d＞r.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.这个定理的题设是：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径.这两个条件缺一不可，证明“垂直”是判定切线的一个重要途径.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.运用切线的判定定理与性质定理时，往往需要添加辅助线.有以下几种情况：（1）当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，则半径垂直于切线.（2）当要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径.一般地，判定切线有三种方法：（1）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（2）和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质有三个：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心且垂直于切线的直线；（5）过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线长定理的证明用到圆的轴对称性，这个定理为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它也是本节的一个重点内容.重点难点重点：直线与圆的关系，切线的判定与性质，切线长定理.难点：切线的判定与性质的运用.教法导引本节内容较多，要循序渐进，多举例，多练习.学法建议对各个知识点要梳理清楚，有条理地把握，通过对比区别易混淆的知识，加强练习.。

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。

关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

直线与圆的位置关系（复习）张家坡镇中学 杨艳霞 王增成 宋光智学习目标：1、掌握直线和圆的位置关系，并会判定直线和圆的位置关系；2、会运用切线的判定定理、性质定理、切线长定理进行计算和证明，理解三角形的内心；3、经历探究的过程，感受数形结合、类比、化归、分类讨论等数学思想在数学问题中的重要作用；通过题目变式练习，培养发散思维能力和综合运用能力。

学习重难点：重点：切线的判定定理、性质定理难点：灵活运用相关定理进行计算和证明 学习过程：一、情景引入 整体感知 1.欣赏视频：海上日出看完视频后你能回想起直线和圆有哪几种位置关系？ 2.3.(一）直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的方法：①_________________；②_________________ （二）切线的判定与性质 1.切线的判定：①________________________________________是圆的切线；②________________________________________________是圆的切线；③判定定理：经过半径的_______并且________这条半径的直线是圆的切线。

2.切线的性质：①圆的切线_______________________________________________； ②圆的切线_______________________________________________； ③性质定理：圆的切线__________过_______的半径。

3.定理的应用： 4.证明切线的两种思路：①已知公共点，连 __；证_________；②不知公共点，作 __；证_________。

（三）切线长定理与三角形的内切圆： 1.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__，这一点和圆心的连线 __ _两条切线的夹角。

2.定理的应用：3.三角形的内切圆：与三角形各边都_______的圆叫三角形的内切圆；它的圆心是三角形的_____心；三角形的内心是_______的交点，到_______的距离相等。

【例题解析】1. 已知⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO=2，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相离 C ．相离或相切 D ．相切或相交第3题 第4题 第5题3. 如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB=AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值（ ）A ．30° B．45° C．60° D．90°4. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=120°，OC=3，则BC 的长为（ ）A.33B.6C.23D.365. 如图，AB 是⊙0的弦，BC 与⊙0相切于点B ，连接OA 、OB ．若∠ABC=70°，则∠A 等于（ ）A ．15°B ．20° C．30° D．70° 6.如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成300的角，AC=CD 。

（1）求证：CD 是⊙O 的切线 （2）若OA=2，求AC 的长。

【对应练习】1. 在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（ ） A ．23 B ．1 C ．2 D ．32 2. 如图，在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=5，AC=12，则它的内切圆周长是（ ） A ．5π B．4π C．2π D．π第1题 第2题3、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°．求∠P 的度数．4.如图，在△ABC 中，AB=AC ，内切圆O 与边BC 、AC 、AB 分别切与点D 、E 、F 。

（1）求证：BF=CE(2)若∠C=300，CE=23，求AC5、已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．知识点三、求概率的方法：（一）用列举法求概率（列表法、画树形图法）当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树形图法,当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便.１．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是( )买该种地板砖__________块．3．据统计，英文著作中字母Ｅ使用的频率大约在0.105附近，而字母Ｊ使用的频率大约为0.001，那么一篇幅约300000字母的英文文章，大约有字母E和J各多少个?4. 小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．4题图六、本课小结1、圆的切线的性质2、树状图求概率七、课堂小测1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC长为________．2．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，弦AB 与PO 交于C ，⊙O 半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，•已知PA=7cm ，则△PCD 的周长等于_________．4. 袋中放着型号、大小相同的红、白、黑三种颜色的衣服各一件，小明随意从袋中取出一件衣服，则取出白色衣服的概率是 ．5. 在等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为__________.6．一个袋子中装有6个球，其中4个黑球2个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个球为白球的概率是 ．7、随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为 ．八、作业布置1．下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．BA CPO B A C DPO。