【人教版】八年级数学下册：专题9《一次函数与几何结合、全等问题、最小值问题》课件

一次函数综合题型归纳类型一：一次函数与最值问题例题1.如图，平面直角坐标系中，直线y=2x+my轴交于点A，与直线y=−x+5交于点B(4，n)，P为直线y=−x+5上一点．(1)求m，n的值；(2)求线段AP的最小值，并求此时点P的坐标．例题2.如图，直线l1：y=−x+3与x轴相交于点A，直线l2：y=kx+b经过点(3，−1)，与x轴交于点B(6，0)，与y轴交于点C，与直线l1相交于点D．(1)求直线l2的函数关系式；(2)点P是l2上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标；(3)设点Q的坐标为(m，3)，是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例题3.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．(Ⅰ)直接写出点E.F的坐标；(Ⅱ)若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M、N 的坐标，并求出周长的最小值．变式练习：1.如图，正方形ABOD的边长为2，OB在x轴上，OD在y轴上，且AD//OB，AB//OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F．(1)求直线CD的函数关系式；(2)过点C作CE⊥DF且交于点E，求证：∠ADC=∠EDC；(3)求点E坐标；(4)点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值．类型二一次函数与几何问题例题1.如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A.B两点(OA<OB)且OA.OB的长分别是一元二次方程x2−(√3+1)x+√3=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2(1)求A.C两点的坐标；(2)若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A.B.P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．例题2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA.OB的长分别是一元二次方程x2−7x+12=0的两个根(OA>OB)．(1)求点D的坐标．(2)求直线BC的解析式．(3)在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．例题3.如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，−1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C.D，且点D的坐标为(1，n)，(1)则n=______ ，k=______ ，b=______ ；(2)函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值，则x的取值范围是______(3)求四边形AOCD的面积；(4)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，直线CD与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于点D，C，AB与CD相交于点E，点A，B，C，D的坐标分别为(8，0)、(0，6)、(0，−3)、(4，0)，点M是OB的中点，点P在直线AB上，过点P作PQ//y轴，交直线CD于点Q，设点P的横坐标为m．(1)求直线AB，CD对应的函数关系式；(2)用含m的代数式表示PQ的长；(3)若以点M，O，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出相应的m的值．2.已知一次函数y=kx+b的图象经过点M(−1，3)、N(1，5).直线MN与坐标轴相交于点A.B两点．(1)求一次函数的解析式．(2)如图1，点C与点B关于x轴对称，点D在线段OA上，连结BD，把线段BD顺时针方向的值．旋转90∘得到线段DE，作直线CE交x轴于点F，求DF−DAEF(3)如图2，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQ的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，OP请说明理由．类型三一次函数与面积问题例题1.如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=−x+2.5与x轴交于C点，与y轴交于A点，直线AB与x轴交于C点，与y轴交于A点，已知B(−3，0)．(1)求直线AB的解析式．(2)直线AD过点A，交线段BC于点D，把s△ABC的面积分为1：2两部分；求出此时的点D的坐标．x+2与x轴、y轴交于A.B两点，在y轴上有一个点C(0，4)，例题2.已知直线L：y=−12动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．(1)求A.B两点的坐标．(2)求△COM的面积S与点M移动的时间t之间的函数关系式．(3)当t=6时，①求直线CM所对应的解析式．②问直线CM与直线L有怎样的位置关系？为什么？变式练习：平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(m+1，m−1)．(1)试判断点P是否在一次函数y=x−2的图象上，并说明理由；(2)如图，一次函数y=−1x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A.B，若点2P在△AOB的内部，求m的取值范围．x+m的图象交于P(n，−2)．如图，函数y=−2x+3与y=−12(1)求出m、n的值；(2)求出△ABP的面积．类型四、一次函数与方程不等式例题1.如图，已知函数y1=2x+b和y2=ax−3的图象交于点P (−2，−5)，这两个函数的图象与x轴分别交于点A.B．(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)求△ABP的面积；(3)根据图象直接写出不等式2x+b<ax−3的解集．例题2.如图，函数y=−2x+3与y=−12x+m的图象交于P(n，−2)．(1)求出m、n的值；(2)直接写出不等式−12x+m>−2x+3的解集；(3)求出△ABP的面积．变式练习：1.在同一坐标系中画出了三个一次函数的图象：y=1−x，y=x+1和y=3x−1(1)求y=1−x和y=3x−1的交点A的坐标；(2)根据图象填空：①当x______ 时3x−1>x+1；②当x______ 时1−x>x+1；(3)对于三个实数a，b，c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，如max{−1，2，3}=3，max{−1，2，a}={2(当a≤2时)a(当a>2时)，请观察三个函数的图象，直接写出max{1−x，x+1，3x−1}的最小值．。

一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。

注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小4．求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：①利用一次函数的定义构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

二、例题举例：例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。

证明：∵与成正比例，设=a(a≠0的常数),∵y=, =(k≠0的常数),∴y=·a=akx，其中ak≠0的常数，∴y与x也成正比例。

例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

∴当y＝0，即kx＋b＝0时，x＝－2，故D选项符合题意.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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STEP2 能力提升与素养
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3.利用函数y＝ax＋b的图象解得ax＋b＜0的解集是x＜－2，则y＝ax＋b
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的图象是（ C ）
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解析：∵不等式ax＋b＜0的解集是x＜－2，∴当x＜－2时，函数y＝
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
STEP1 知识理解与运用
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知识点三 一次函数与二元一次方程(组)
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8.若直线y＝3x＋6与直线y＝2x＋4的交点坐标为(a，b)，则解为
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的方程组是（ C ）
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
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STEP1 知识理解与运用
D.x≤2
19.2.3 一次函数与方程、不等式
STEP1 知识理解与运用
1
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5.[2022上海期中]一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当kx＋b＞3时，x
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的取值范围是（ B ）
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A.x＞0
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B.x＜0
C.x＜2
D.x＞2
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
STEP1 知识理解与运用
9
ax＋b的函数值为负数，即直线y＝ax＋b的图象在x轴下方.故C选项符
合题意.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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】一次函数的图象与性质（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的.2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；【：391659 一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式】要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此b ＝2，可以设函数的解析式为2y kx =+，再利用过点（1.5，0），求出相应k 的值.【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.解：设函数的解析式为y kx b =+.Q 它的图象过点（1.5，0），（0，2）41.50322k b k b b ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩∴∴ ∴该函数的解析式为423y x =-+. 【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.举一反三：【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数2y x =的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．【答案】 23y x =-；提示：设一次函数的解析式为y kx b =+，它的图象与2y x =的图象平行，则2k =，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋b ．解得3b =-． ∴ 一次函数解析式为23y x =-．【变式2】（2015春•广安校级月考）已知函数y1=2x﹣3，y2=﹣x+3．（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象．（2）求出函数图象与x轴围成三角形的面积．【答案】解：（1）函数y1=2x﹣3与x轴和y轴的交点是（1.5，0）和（0，﹣3），y2=﹣x+3与x轴和y轴的交点是（3，0）和（0，3），其图象如图：（2）设y1=2x﹣3，y2=﹣x+3的交点为点A，可得：，可得：，S△ABC=BC•1=×（3﹣1.5）×1=．类型二、一次函数图象的应用2、（2016春•南昌期末）电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费的办法，已知某户居民每月应缴电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解答下列问题．（1）分别写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x之间的函数关系式；（2）若该用户某月用电80度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少度电？【思路点拨】（1）对0≤x≤100段，列出正比例函数y=kx，对x≥100段，列出一次函数y=kx+b；将坐标点代入即可求出．（2）根据（1）的函数解析式以及图标即可解答即可．【答案与解析】解：（1）当0≤x≤100时，设y=kx，则有65=100k，解得k=0.65．∴y=0.65x ．当x ＞100时，设y=ax +b ，则有， 解得 ∴y=0.8x ﹣15．（2）当用户用电80度时，该月应缴电费0.65×80=52（元）．当用户缴费105元时，由105=0.8x ﹣15，解得x=150．∴该用户该月用电150度．【总结升华】本题主要考查一次函数的应用，关键考查从一次函数的图象上获取信息的能力． 举一反三：【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校C ，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟【答案】D ；提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.类型三、一次函数的性质3、已知一次函数()()243y m x n =++-．（1）当m 、n 是什么数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m 、n 是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求m 、n 的取值范围.【答案与解析】解：（1）240m +>，即m ＞－2，n 为任何实数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m 、n 是满足24030m n +≠⎧⎨-=⎩即23m n ≠-⎧⎨=⎩时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，则24030mn+>⎧⎨->⎩，即23mn>-⎧⎨<⎩．【总结升华】一次函数y kx b=+的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0时，函数y kx b=+的图象经过第一、二、三象限，y的值随x 的值增大而增大；②当k＞0，b＜0时，函数y kx b=+的图象经过第一、三、四象限，y的值随x 的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y kx b=+的图象经过第一、二、四象限，y的值随x 的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y kx b=+的图象经过第二、三、四象限，y的值随x 的值增大而减小．4、（2015春•咸丰县期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=4时，求P点的坐标．【思路点拨】（1）根据题意画出图形，由x+y=5可知y=5﹣x，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）由点P（x，y）在第一象限，且x+y=5得出x的取值范围即可；（3）把S=4代入（1）中的关系式求出x的值，进而可得出y的值．【答案与解析】解：（1）如图所示，∵x+y=5，∴y=5﹣x，∴S=×4×（5﹣x）=10﹣2x；（2）∵点P（x，y）在第一象限，且x+y=5，∴0＜x＜5；（3）∵由（1）知，S=10﹣2x，∴10﹣2x=4，解得x=3，∴y=2，∴P（3，2）．【总结升华】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．举一反三： 【变式】函数(0)y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是（ ）．【答案】B ；提示：不论k 为正还是为负，k 都大于0，图象应该交于x 轴上方,故选B.。