3.4 第三章 小结(习题课)解析

北师大版数学七年级上册3.4《整式的加减》（第3课时）教学设计一. 教材分析《整式的加减》是北师大版数学七年级上册第3.4节的内容，本节课主要介绍整式的加减运算。

学生在之前的学习中已经掌握了整式的概念和基本运算，本节课将进一步深入学习整式的加减运算，为后续学习更复杂的代数式打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于整式的概念和基本运算已经有了一定的了解。

但学生在进行整式的加减运算时，可能会遇到一些困难，如合并同类项的方法不够熟练，对于复杂的式子缺乏运算技巧等。

因此，在教学过程中，需要引导学生回顾和巩固已学的知识，提供适当的例子和练习，帮助学生掌握整式的加减运算方法。

三. 教学目标1.理解整式加减的概念和意义。

2.掌握整式加减的运算方法，能够正确进行整式的加减运算。

3.能够运用整式加减解决实际问题，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：整式加减的概念和意义，整式加减的运算方法。

2.难点：整式加减的运算方法，特别是合并同类项的方法和技巧。

五. 教学方法采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等教学方法。

通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和积极性。

同时，通过合作交流，让学生互相学习和帮助，提高学生的合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括整式的加减运算的定义、方法和例子等。

2.练习题：准备一些整式的加减运算的练习题，包括不同难度的题目。

3.黑板：准备黑板，用于板书和展示解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式回顾整式的概念和基本运算，引导学生思考整式的加减运算的意义和必要性。

2.呈现（15分钟）展示一些实际的例子，让学生观察和分析整式的加减运算的过程和结果。

引导学生总结整式加减的运算方法。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，进行一些整式的加减运算的练习题。

教师巡回指导，解答学生的问题，并及时给予反馈和评价。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些整式的加减运算的练习题，巩固所学的知识。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆周角和圆心角的关系》的内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的度量等知识的基础上进行教授的。

这一节内容主要介绍了圆周角和圆心角的关系，即圆周角等于其所对圆心角的一半。

这是圆的重要性质之一，对于学生理解圆的性质和应用具有重要的意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的基本概念和度量知识有一定的了解。

但是，对于圆周角和圆心角的关系的理解，可能还需要进一步的引导和解释。

因此，在教学过程中，我将会注重学生的参与和实践，通过举例和练习，让学生深入理解圆周角和圆心角的关系。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.过程与方法：学生通过观察、实践和思考，培养观察能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，提高自信心，培养合作和探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.教学难点：学生能够理解和证明圆周角等于其所对圆心角的一半。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法和案例教学法。

通过提问和举例，引导学生思考和探索圆周角和圆心角的关系。

同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT 和动画，来辅助解释和展示圆周角和圆心角的关系。

六. 说教学过程1.导入：通过提问和回顾，引导学生回顾已知的圆的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.讲解：详细讲解圆周角和圆心角的关系，通过图示和实例，让学生直观地理解这一性质。

3.练习：给出一些练习题，让学生运用圆周角和圆心角的关系解决问题，巩固所学知识。

4.拓展：给出一些拓展题，让学生进一步思考和探索圆周角和圆心角的关系的应用。

5.小结：对本节课的内容进行总结，强调圆周角和圆心角的关系的重要性。

第三章一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程第3课时球赛积分表问题学习目标：1. 结合球赛积分表，掌握从图表中获取信息的方法，培养观察与推理能力；2．增强运用数学知识解决实际问题的意识，激发学生学习数学的热情；3．认识到由实际问题得到的方程的解要符合实际意义。

学习重点：从表格中获取有关数据信息，利用方程进行计算、推理、判断。

学习难点：从图表中获取有关信息，寻找数量之间的隐蔽关系，正确建立方程。

学习要求：1. 阅读教材P106的探究3；2．限时25分钟完成本导学案；（独立或合作）3．课前在组内交流展示。

4．组长根据组员完成情况进行等级评价。

一、自主学习：1．篮球比赛积分中，胜一场积几分？负一场积几分？这与足球比赛的积分制是否相同？2．足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

“猛虎”队赛了9场，共得17分，已知这个队只输2场，问这个队胜几场？又平几场？二、合作探究：1．认真阅读P106探究.（1）要解决探究中的问题，必须先求出胜一场积几分，负一场积几分。

你能从积分表中选出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？能否求出胜一场得几分？又如何检验结论的正确性呢？① 观察积分榜，从________行的数据可以发现负一场积______ 分；②设胜一场积x分，则从表中任何一行都可以列出方程，求出x的值。

若选第三行数据，则列方程为：_________________________ ，由此得 x＝________ ，若选第5行呢？再试一试，又会怎样？③ 用表中其他行可以验证，得出此次比赛的积分规则：负一场积_____ 分，胜一场积______分。

（2）如何计算积分？你能否列一个式子来表示积分与胜负场数之间的关系？① 要弄清两个关系：★ 总积分＝_______积分＋_______积分；★ 总场数＝__________ ＋___________。

②如果设一个队胜a场，则负______场，胜场积分为__________，负场积分为_______ ，总积分为：_____________________ 。

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理习题理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式∑=-ni i f n ab 1)(ξ．当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作__________，即⎠⎛abf (x )d x ＝∑=∞→-ni i n f nab 1)(limξ．其中f(x)称为________，x 称为__________，f(x)dx 称为__________，[a ，b]为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、___________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝____________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝____________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作__________，即⎠⎛ab f (x )d x＝__________＝__________.4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f(x)在区间[a ，b]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f(x)在区间[a ，b]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________.(3)当x∈[a，b]有f(x)＞g(x)＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛abf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f(x)是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)；若f(x)是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝____________(其中a >0)．5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b]上所经过的路程S ＝____________.(2)在变力F ＝F(x)的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b(a ＜b)，则力F 对物体所做的功W ＝____________.(3)在变力F ＝F(x)的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b(a ＜b)，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠1．(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F(b)－F(a) F(x)|b a F(b)－F(a) F(x)|ba 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋1)＝e.故选C .已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ＜1，2，1≤x ≤2. 则⎠⎛02f (x )dx ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛011d x ＋⎠⎛122d x ＝x |10＋2x |21＝(1－0)＋(4－2)＝3.故选D .(2014·江西)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解：⎠⎛01f (x )d x 为常数，不妨设a ＝⎠⎛01f (x )d x . 则f (x )＝x 2＋2a ，∴a ＝⎠⎛01(x 2＋2a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2ax |10，∴a ＝13＋2a ，∴a ＝－13.故选B .(2015·天津)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解：由题意画出图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0，因此直线y ＝x 与曲线y ＝x 2所围图形的面积S＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝12－13＝16.故填16.从平衡位置开始，如果1 N 能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，需做功________ J. 解：设F (x )＝kx ，又F (0.01)＝1，∴k ＝100，W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝100×12x 2|0.060＝0.18 J ，故填0.18.类型一 计算简单函数的定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ；(3)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x .解：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x ) |3－1＝24.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x |21＝32－ln2.(3)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2.【点拨】求定积分的步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；④利用牛顿一莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．计算下列定积分：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ； (3)⎠⎛0π(1－cos x )d x .解：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ＝⎠⎛02(x 2＋x )d x＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛02x d x ＝13x 3|20＋12x 2|20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143. (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ＝⎠⎛12e x d x ＋⎠⎛121xd x ＝e x |21＋ln x |21 ＝e 2－e ＋ln2.(3)⎠⎛0π(1－cos x )d x ＝⎠⎛0π1d x －⎠⎛0πcos x d x＝x |π0－sin x |π0 ＝π.类型二 计算分段函数的定积分求⎠⎛－22|x 2－2x |d x .解：∵|x 2－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2|20＝8. 【点拨】对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x 求解．求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x|≤2，1＋x 2，2＜x≤4 在区间[－2，4]上的定积分． 解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x ) |2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ＝________.解：根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.故填π4.(2)由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________． 解：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1，0)．所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2.故填2. 【点拨】用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(2013·北京)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2C.83D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3|20＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.故选C .类型四 定积分在物理中的简单应用一质点在直线上从时刻t ＝0开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)做减速运动，则质点初次减速到0时经过的路程为________ m.解：由v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)＝0，得t ＝1或3(舍去)．所以路程s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |10＝43(m)．故填43.【点拨】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．(2015·杭州模拟)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J)．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为( )A ．3B ．1C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C .2.⎠⎛－21|x |d x 等于( )A ．－1B ．1C.32D.52解：⎠⎛－21|x |d x ＝⎠⎛－20(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝－12x 2|0－2＋12x 2|1＝2＋12＝52.故选D .3．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围成图形的面积为( )A.154B.174 C.12ln2 D ．2ln2解：因为所围图形在x 轴的上方，所以S ＝∫2121x d x ＝ln x |212＝ln2－ln 12＝2ln2.故选D .4．(2015·大庆检测)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v (t )＝5－t ＋551＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．55ln10 mB ．55ln11 mC ．12＋55ln7 mD ．12＋55ln6 m解：令5－t ＋551＋t ＝0，注意到t >0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝⎠⎛010⎝ ⎛⎭⎪⎫5－t ＋551＋t d t ＝[5t －12t 2＋55ln(t ＋1)]|100＝55ln11，即紧急刹车后火车继续行驶的路程为55ln11 m ．故选B .5．若y ＝⎠⎛0x (sint ＋costsint)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．0解：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t ＝⎠⎛0x sin t d t ＋12⎠⎛0x sin2t d t ＝(－cos t ) |x0＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos2t |x 0＝－cos x ＋1－14cos2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.故选B .6．(2015·衡水调研)在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机投一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34解：令x －x 2＝0得x ＝0或x ＝1，令kx ＝x －x 2得x ＝0或x ＝1－k .∴M 的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16，A 的面积为⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝(12x 2－13x 3－k 2x 2)|1－k 0＝16(1－k )3，∴16（1－k ）316＝827，∴k ＝13.故选A . 7．(2014·河南月考)设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛03f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0＝________.解：因为⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛03(ax 2＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋bx |30＝9a ＋3b ，3f (x 0)＝3ax 20＋3b ，所以9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，所以x 20＝3，x 0＝± 3.故填±3.8.⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝________. 解：⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以计算结果是π＋14.故填π＋14. 9．计算下列定积分的值：(1)⎠⎛－111－x 2d x ；(2)⎠⎛－12|x 2－x |d x .解：(1)被积函数y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1，y ≥0.根据定积分的几何意义，所围成的图形如图所示，⎠⎛－111－x2d x ＝π2.(2)⎠⎛－12|x 2－x |d x＝⎠⎛－10(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22|21 ＝56＋16＋56＝116. 10．有一动点P ，在时间t 时的速度为v(t)＝8t －2t 2(m /s )．求从t ＝0到t ＝4时，点P 经过的路程． 解：由v(t)＝8t －2t 2＝2t(4－t)， 可知当0≤t≤4时，v (t)≥0.因此，路程S ＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3|40＝643(m)． 11．在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解：如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S 曲边△AOB ＝⎰02x x d x ＝13x 3x ＝13x 30， S △ABC ＝12||BC ·||AB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点A (1，1)，切线方程为y ＝2x －1.抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．解：如图所示，所求面积S ＝S A ＋S B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ， 得交点坐标为(2，2)，(8，－4)．A 部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以：S A ＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x＝22·23x 32|20＝163.B 部分：S B ＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －12x 2＋223x 32|82＝383.于是S ＝163＋383＝18.故填18.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(教材习题改编题)函数f (x )＝cos π2x ，则f ′(1)＝( )A ．－π2B ．－π4C ．0 D.π2解：f ′(x )＝－sin π2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ′＝－π2sin π2x .∴f ′(1)＝－π2.故选A .2．已知曲线y ＝x 24－ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解：y ′＝x 2－1x ，令x 2－1x ＝－12，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)．故选C .3．(2015·皖南八校联考)函数f (x )＝x e x－e x ＋1的单调递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)解：f ′(x )＝e x＋x e x－e x ＋1＝e x(1＋x －e)，由f ′(x )>0得x >e －1.故选D .4．(教材习题改编题)函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或2.∴f (x )在[－1，0)上是增函数，在(0，1]上是减函数．∴f (x )在区间[－1，1]上的最大值为f (0)＝2.故选C .5．(2014·湖北八校第二次联考)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解：f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，令g (x )＝f ′(x )，则g (x )为奇函数，排除B ，D ；由g ′(x )＝12－cos x 知g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，排除C.故选A .6．定积分⎠⎛04π(16－x 2)d x 的值等于( )A ．半径为4的球的体积B ．半径为4的四分之一球的体积C ．半径为4的半球的体积D ．半径为4的球的表面积解：⎠⎛04π(16－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x －x 33π|40＝128π3，等于半径为4的半球的体积，故选C . 7．(2015·韶关联考)设a∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R ，有大于－1的极值点，则( ) A ．a <－1B ．a >－1C ．a <－1eD ．a >－1e解：由y ′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ，∵函数有大于－1的极值点，∴a ＝－e x<－1e .故选C .8．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(2)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＞f (1) C ．f (－1)＜f (1)D ．以上答案都不对解：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，得f ′(2)＝－4， ∴f (x )＝x 2－8x ，∴f (－1)＝9，f (1)＝－7，f (－1)＞f (1)．故选B .9．一质点运动时速度(v )与时间(t )的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点直线运动，则此质点在时间[1，2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解：质点在时间[1，2]内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t |21＝176.故选A .10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解：因为函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(－2＜b ＜0)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在x ∈(a ，－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )内的函数值为负，由排除法可得只有选项C 符合，故选C .11．(2015·福建)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误．．的是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解：令h (x )＝f (x )－kx ＋1，则h ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，即h (x )在R 上单调递增，而h (0)＝0，1k －1＞0，∴h ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1，∴C 项一定错误．也可用特值法(如令f (x )＝2x －1及f (x )＝10x －1等排除A ，B ，D)．故选C . 12．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1解：由a ＜1，易知存在整数x 0＝0，使得e x 0(2x 0－1)＜ax 0－a .设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，则g ′(x )＝e x(2x ＋1)．可得g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，若存在唯一整数x 0，使得f (x 0)＜0，还须满足⎩⎪⎨⎪⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1）， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，－2a ≤－3e ， ∴32e ≤a ＜1.故选D .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2015·江西检测)已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．解：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2，解之得a ＝ln22.故填ln22.14．(2014·抚顺联考)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )＞0的解集为________．解：由y ＝f (x )的图象可得y ＝f ′(x )的大致图象如图．f ′(x )＞0⇔x ＞1或x ＜－1； f ′(x )＜0⇔－1＜x ＜1.而x 2－2x －3＞0的解为x ＞3或x ＜－1；x 2－2x －3＜0的解为－1＜x ＜3. ∴原不等式的解为x ＞3或x ＜－1或－1＜x ＜1. 故填(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)．15．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1，0)，函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解：根据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12＜x ≤1，从而得到y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12＜x ≤1，所以函数y ＝xf (x )与x 轴围成的图形面积为S ＝∫12010x 2d x ＋∫112(－10x 2＋10x )d x＝103x 3|120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3|112＝54.故填54.16．(2015·福州质量检测)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是____________．解：若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0或f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，易得y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 上有极值点，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.故填⎝⎛⎭⎪⎫2，103.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，求实数a 的值；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，求实数a 的值．解：(1)f ′(x )＝2x （x ＋1）－x 2－a （x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，则f ′(1)＝12.所以f ′(1)＝3－a 4＝12，得a ＝1.(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，则f ′(1)＝0，即3－a4＝0，得a ＝3，经检验，合题意．18．(12分)已知函数y ＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线斜率为－3. (1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差． 解：(1)∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ， 由题意得y ′|x ＝2＝12＋12a ＋3b ＝0，y ′|x ＝1＝3＋6a ＋3b ＝－3，解得a ＝－1，b ＝0，所以y ＝x 3－3x 2＋c ，y ′＝3x 2－6x . 令y ′＞0，得x ＜0或x ＞2，∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(0，2)．(2)由(1)可知函数在x ＝0处取得极大值c ， 在x ＝2处取得极小值c －4，∴函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4.19．(12分)(2015·重庆)设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）ex（e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a ex， ∵f (x )在x ＝0处取得极值，∴f ′(0)＝0，解得a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6xex， ∴f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化为3x －e y ＝0.(2)解法一：由(1)可得f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数； 当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，此时函数f (x )为增函数； 当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数． 由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，可知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 解法二：由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在[3，＋∞)上恒成立， 可得a ≥－3x 2＋6xx －1，在[3，＋∞)上恒成立．令u (x )＝－3x 2＋6x x －1，u ′(x )＝－3[（x －1）2＋1]（x －1）2＜0，∴u (x )在[3，＋∞)上单调递减，a ≥u (x )max ＝u (3)＝－92，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 20．(12分)某景区为提高经济效益，现对景区进行升级改造，经过市场调查，旅游收入增加y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝20万元时，y ＝35.7万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点升级改造后利润增加的最大值(利润增加值＝旅游收入增加值－投入)．解：(1)由条件⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×202＋10150×20－b ln2＝35.7.解得a ＝－1100，b ＝1.则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)设T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)．则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－（x －1）（x －50）50x.令T ′(x )＝0，得x ＝1(舍)或x ＝50.T (x )在[10，50)上是增函数；在(50，＋∞)上是减函数，∴x ＝50为T (x )的极大值点．即该景点改造升级后利润T (x )的最大值为T (50)＝24.4万元．21．(12分)(2015·北京)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1.因此f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)证明：令g (x )＝f (x )－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x41－x2，因为g ′(x )＞0(0＜x ＜1)，所以g (x )在区间(0，1)上单调递增．所以g (x )＞g (0)＝0，x ∈(0，1)，即当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立． 当k ＞2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－（k －2）1－x2， 所以当0＜x ＜4k －2k时，h ′(x )＜0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，4k －2k 上单调递减．当0＜x ＜4k －2k 时，h (x )＜h (0)＝0，即f (x )＜k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.所以当k ＞2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33并非对x ∈(0，1)恒成立．综上可知，k 的最大值为2.22．(12分)(2015·宜昌模拟)已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解：(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)假设存在x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max (x ∈[0，1])．∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋（1－t ）x ＋1ex， ∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －tex＝－（x －t ）（x －1）ex. ①当t ≥1时，在[0，1]上φ′(x )≤0，φ(x )在[0，1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1.②当t ≤0时，在[0，1]上φ′(x )≥0，φ(x )在[0，1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减；若x ∈(t ，1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1]上单调递增，所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e ，(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et 在[0，1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，所以不等式(*)无解． 综上所述，t 的取值范围是(－∞，3－2e )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞.第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．3．解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． (2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．。

3-1（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。

已知全部初始条件为零。

解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。

若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。

视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ⎩⎨⎧==11v T K用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。

解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。

第三章一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程课时3 积分问题与行程问题【知识与技能】1.学会解决图表信息问题的方法，用方程解决行程问题中的相遇水流等行程问题，会根据实际问题中的数量关系列方程解决问题，掌握用方程计算球赛积分问题和行程问题的方法.2.进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，明确用方程解决实际问题时，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.3.培养学生形成良好的学习习惯和学习态度，借助学生身边熟悉的例子认识数学的应用价值.【过程与方法】经历积分问题和行程问题应用题的解答过程，体验抽象、归纳的思想和方法.【情感态度与价值观】学习过程中，体验数学知识中的逻辑美，体会数学知识与.实际生活之间的密切联系，培养解决问题的能力.会用一元一次方程解决实际问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断．把实际问题转化为解一元一次方程的过程.多媒体课件情景1：很多男生喜欢看NBA，激烈的对抗中比分交替上升，最终由积分显示牌上的各队积分进行排位.你了解积分表吗？通过本节课的学习，相信同学们一定会有所收获.情境2：教师操作课件，播放篮球赛片段.学生欣赏球赛.师生活动教师提出问题，学生思考，教师对学生的回答给予提示.在学生充分思考、合作交流后，教师引导学生分析．一、思考探究，获取新知探究1：比赛问题投影仪出示问题：下面是某次篮球联赛的积分表，请认真观察后回答问题（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系.（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由.学生思考，教师引导：（1）如果一个队胜x场，根据比赛场次为16，可得该队负（16-x）场，根据总积分＝胜场的积分+负场的积分即可求解.（2）先假设某队的胜场总积分能等于它的负场总积分，列出方程，解出x的值，再结合实际进行判断即可.【解】（1）由H队的得分可知，负一场积1分.再根据表中其他队的比分可知，胜一场积2分.若一个队胜x场，则负（16-x）场，胜场积分为2x，负场积分为16-x，总积分为2x+（16-x）＝16+x.故总积分与胜、负场数之间的数量关系为16+x.（2）设某队胜x场时，胜场总积分等于它的负场总积分.根据题意，得2x＝16-x，解得x＝163，不是正整数，所以某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分.师生共同总结：解答此题的关键是根据表格得出胜一场、负一场各自所得的积分.探究2 行程问题甲、乙两人相距4km,以各自的速度同时出发。