2021年高三上学期四调考试 数学理试题 含答案

2021年高三上学期第四次月考数学（理）含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22—24题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则等于（）A．-i B．i C．2i D．1+i2. 如果，那么，下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.3. 已知表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“”是“”的（ )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知||=3，||=5，且，则向量在向量上的投影为（ ） A ．B ．3C ．4D ．55.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (-3,m )到焦点距离为5，则抛物线方程为( )A. B. C. D.6.已知曲线1,27)1(,13)0(,)(24=-=-'-='++=x f f bx ax x x f 则曲线在且处切线的倾斜角为（ ）A ．B ．－C ．D ．7.数列的通项公式，则该数列的前（ ）项之和等于。

A ． B ． C ． D ．8．在棱长为1的正方体 中，M 和N 分别是中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是（ ）A B C D 9．若，，且，则实数的值为 （ ）A. B. C.或 D.或 10.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（ ） A.条 B.条 C.条 D.条 11.在中，,，则面积为( ) A ．B ．C ．D ．12. 设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为( ) A ． B. C. D. 4第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22—24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 .14. 圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 .15. 已知集合，且下列三个关系：①②③有且只有一个正确，则 . 16．某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积F CEDG B为 .三、解答题（本大题含6个小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17 （本题12分）已知函数 （1）求的单调递增区间；（2）在中，内角A,B,C 的对边分别为，已知，成等差数列，且，求边的值.18.（本题共12分）设数列是公比为正数的等比数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和.19 （本题共12分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，，.是的中点，（Ⅰ）求证：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值20．（本题共12分）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点， (1) 若的周长为16，求； (2) 若，求椭圆的离心率. 21．（本题共12分） 已知函数，（其中为常数）；（I ）如果函数和有相同的极值点，求的值；（II ）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD ，求证：AB=ED.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求｜PA｜·｜PB｜的值．24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)．(1)当m＝5时，求函数f(x)的定义域；(2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R，求m的取值范围．银川九中xx届高三第四次模拟考试试卷理科数学答案李淑萍13、 14、(x-2)2+(y-1)2=4 15、201 16、8三、解答题：17、（每小题6分，共12分）18、（每小题6分，共12分）18、（每小题4分，共12分）（Ⅲ）延长，过作垂直于，连结，解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) , (0，0，2) .∴＝(2，0，0) , ＝(0，4，0) , ＝(0，0，2) , ＝(－2，0，0) ,＝(0，2，1) , ＝(2，4，0) .（Ⅰ）, .又, .,,而,∴平面⊥平面.20、（每小题6分，共12分）21、（每小题6分，共12分）22、（每小题5分，共10分）23、（每小题5分，共10分）24、（每小题5分，共10分）解：(1)由题意知，|x＋1|＋|x－2|>5，精品文档实用文档 则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2>5，解得x <－2或x >3.∴函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)由对数函数的性质知，f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )≥1＝log 22，不等式f (x )≥1等价于不等式|x ＋1|＋|x －2|≥2＋m ，∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，而不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴m ＋2≤3，故m 的取值范围是(－∞，1]．'26841 68D9 棙40683 9EEB 黫30051 7563 畣29074 7192 熒39874 9BC2 鯂39428 9A04 騄35409 8A51 詑 !22823 5927 大5 35240 89A8 覨。

2021年高三（上）第四次调研数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应的位置上.1．（5分）（xx•青浦区一模）全集U={1，2，3，4}，若A={1，2}，B={1，4}，则（CuA）∩B{4} ．考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={1，4}，可得CuA={3，4}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．解答：解：∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴CuA={3，4}，∵B={1，4}，∴（CuA）∩B={4}，故答案为{4}．点评：此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．（5分）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=1，则复数z的虚部为0．考点：复数的基本概念；复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的模的求法直接求出b的值，即可得到复数的虚部．解答：解：复数z=1+bi（b∈R）且|z|=1，所以=1，解得b=0．故答案为：0．点评：本题是基础题，考查复数的基本运算，复数的基本概念，常考题型．3．（5分）（xx•锦州二模）某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为38辆．考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：根据频率分步直方图看出时速超过60km/h的汽车的频率比组距的值，用这个值乘以组距，得到这个范围中的频率，用频率当概率，乘以100，得到时速超过60km/h的汽车数量．解答：解：根据频率分步直方图可知时速超过60km/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，∵共有100辆车，∴时速超过60km/h的汽车数量为0.38×100=38（辆）故答案为：38．点评：本题考查用样本的频率估计总体分布，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中．4．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是120．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S=5×4×3×2的值，计算后易给出答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S=5×4×3×2的值，∵S=5×4×3×2=120故答案为：120．点评：本题考查的知识点是循环结构，其中根据已知的程序流程图分析出程序的功能是解答本题的关键．5．（5分）（xx•盐城三模）在等比数列{a n}中，若a2=﹣2，a6=﹣32，则a4=﹣8．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：因为数列为等比数列，则由“间隔相同的项也成等比数列”，得到a2，a4，a6成等比数列，再由等比中项求解即可．解答：解：∵数列为等比数列∴a2，a4，a6成等比数列，∴a42=a2a6∴a4=﹣8或8（舍去）故答案为：﹣8点本题主要考查等比数列的性质，用的比较多就是等差中项及其推广，即：下标之和评：相等，则对应项的积相等，等差数列也有类似的性质，即：下标之和相等，则对应项的和相等．6．（5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于．考点：几何概型．专题：计算题．分析：利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．解答：解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故答案为．点评：本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，同时考查了题型的面积公式，属于基础题．7．（5分）（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．解答：解：因为f（x）==，所以f（）=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题：①若m∥β，m∥α，α∩β=n，则m∥n；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若α⊥β，m⊥β，则m∥α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．真命题的有①④．（填序号）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：规律型；空间位置关系与距离．分析：根据题意，依次分析选项，①利用直线与平面的平行的性质与判定可以判断；②用长方体中的线线，线面，面面关系验证；③用长方体中的线线，线面，面面关系验证；④由用长方体中的线线，线面，面面关系验证得到结论．解答：解：对于①，过m作平面γ∩α=a，∵m∥α，∴m∥a，同理过m作平面γ′∩β=b，则m∥b，∴a∥b，∴a∥β，∵α∩β=n，∴a∥n，∵m∥a，∴m∥n，故①正确；对于②，用长方体验证．如图，设A1B1为m，平面AC为α，平面A1B为β，显然有m∥α，α⊥β，但得不到m⊥β，不正确；对于③，可设A1A为m，平面AC为β，平面A1D或平面B1C为α，满足选项C的条件且得到m∥α或m⊂α，故③不正确；对于④，可设A1B1为m，平面A1D为α，A1A为n，平面AC为β，满足选项D的条件且得到α⊥β，故④正确；综上知，真命题有①④故答案为：①④点评：本题考查空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，着重考查线面垂直与线面平行的判定与性质及面面平行与垂直判定与性质，属于中档题．9．（5分）（xx•盐城三模）由“若直角三角形两直角边的长分别为a，b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为”．对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R=．考点：归纳推理．专题：分割补形法．分析：直角三角形对应三棱锥三条侧棱两两垂直，直角三角形补成一个矩形可类比空间三棱锥补一个长方体，而球的内接长方体的体对角线就是球的直径．解答：解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，而体对角线就是外接球的直径，故答案为．点评：本题考查了类比推理，由平面性质类比空间性质10．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2+2）＜f（3x），则实数x的取值范围是（1，2）．．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：求导确定函数在定义域上是单调的，再将不等式转化为关于x的一元二次不等式，解之得实数x的取值范围．解答：解：函数的定义域为（0，+∞）∵f′（x）=+2x ln2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（x2+2）＜f（3x），∴x2+2＜3x，∴1＜x＜2，∴实数X的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：此题是知函数值的大小来求自变量的取值范围，就需知函数的单调性，用导数来判断．11．（5分）（xx•烟台一模）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为6．考点：基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量垂直的充要条件列出方程求出x，y满足的方程；利用基本不等式得到函数的最值，检验等号何时取得．解答：解：由已知⊥⇒=0⇒（x﹣1，2）•（4，y）=0⇒2x+y=2 则9x+3y=，当且仅当32x=3y，即时取得等号．故答案为：6点评：本题考查向量垂直的充要条件：坐标交叉相乘相等、考查利用基本不等式求函数的最值需满足的条件：一正、二定、三相等．12．（5分）已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为9．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：计算题．分析：先利用响亮的三角形法则将用表达，再由数量积的坐标运算得到关于t的式子求最值即可．解答：解：•=====（1﹣t）9 因为0≤t≤1，所以（1﹣t）9≤9，最大值为9，所以•的最大值为9故答案为：9点评：本题考查向量的表示、数量积运算等知识，属基本运算运算的考查．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A 角大小为．考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．解答：解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．14．（5分）定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论错误的有③．（填序号）①x12+x22+x32=14；②a+b=2；③x1+x3＞2x2；④x1+x3=4．考点：函数的值；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：令x=3得到f（3）=1代入到方程中得到a+b=2，则②正确；令x=4得到f（4）=代入方程得到a+2b=11与a+b=2联立解得a=﹣7，b=9，则方程变为f2（x）﹣7f（x）+9=3即f2（x）﹣7f（x）+6=0得到f（x）=1或f（x）=6，则有一个解为2，另一解为，第三解为，则①，④正确；③错误．解答：解：令x=4，得：f（4）=，代入方程得到a+2b=11；令x=3得到f（3）=1代入到方程中得到a+b=2．所以②正确；求出a=﹣7，b=9，则代入到关于x的方程f2（x）+af（x）+b=3得：f2（x）﹣7f（x）+6=0解得：f（x）=1或f（x）=6，则三个解分别为，2，．∴①，④正确，③错误．故答案③．点评：本题考查了函数与方程的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地进行等价转化．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）（xx•山东）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=﹣，且C为非钝角，求sinA．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．分析：（1）利用余弦的和角公式及正弦的倍角公式，把已知函数转化为y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式即可；（2）先由（1）与f（）=﹣求得C，再由正余弦互化公式求得答案．解答：解：（1）f（x）=cos（2x+）+sin2x=∴函数f（x）的最大值为，最小正周期π．（2）f（）==﹣，∴，∵C为三角形内角，∴，∴，∴sinA=cosB=．点评：本题考查和角公式、倍角公式及正余弦互化公式，同时考查形如y=Asin（ωx+φ）+B 的函数的性质．16．（14分）如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B1D1的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面D1AC；（Ⅱ）求证：D1O⊥平面AB1C．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：（Ⅰ）欲证BM∥平面D1AC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BM与平面D1AC内一直线平行，连接D1O，易证四边形D1OBM是平行四边形，则D1O∥BM，D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，满足定理所需条件；（Ⅱ）欲证D1O⊥平面AB1C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证D1O与平面AB1C内两相交直线垂直，连接OB1，根据勾股定理可知OB1⊥D1O，AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，满足定理所需条件．解答：解：（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BDD1B1是矩形，∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM．（3分）∵D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，∴BM∥平面D1AC．（7分）（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，，∴，OB1=2，D1O=2，则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．（10分）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，∴D1O⊥平面AB1C．（14分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．17．（15分）（xx•烟台三模）现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成、轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元，（1）把全程运输费用y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（2）为了使全程运输成本最低，轮船应以多大速度行驶？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的表示方法．专题：应用题．分析：（1）全程运输费用y（元）包括燃料费用和其余费用，每小时燃料费用m=0.6x2（0＜x≤35）、其余费用每小时960元，两项相加即为每小时的费用，全程的时间与每小时费用的乘积即全程费用．（2）全程运输费用y（元）关于速度x（海里/小时）的函数是，x∈（0，35]，求函数的最小值时因为基本不等式等号成立的条件不足备，所以用单调性来最小值，用导数判断函数的单调性比较快捷．解答：解：（1）设每小时燃料费用为m元，则m=0.6x2（0＜x≤35）、由题意，全程所用的时间为小时，所以，xÎ（0，35]，故所求的函数为，x∈（0，35]，（2）以下讨论函数，x∈（0，35]的单调性：，x∈（0，35]时，y/＜0，∴函数，x∈（0，35]是减函数，故当轮船速度为35海里/小时，所需成本最低．点评：本题考查应用题的转化能力及考查基本不等式求最值的条件，以及用导数法判断函数在某个区间上的单调性．用单调性求最值．18．（15分）设f（x）=ax3+bx2+4x，其导函数y=f′（x）的图象经过点，（2，0），（1）求函数f（x）的解析式和极值；（2）对x∈[0，3]都有f（x）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）先求出f′（x）=3ax2+2bx+4，把点，（2，0）代入f′（x）求出a，b，就得到f （x）．再令f′（x）=0，得，x2=2，列表讨论能求出f（x）的极值．（2）对x∈[0，3]都有f（x）≥mx2恒成立，等价于对x∈[0，3]都有f（x）min≥（mx2）max．由此能求出实数m的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+4x，∴f′（x）=3ax2+2bx+4，∵y=f′（x）的图象经过点，（2，0），∴，解得a=1，b=﹣4，∴f（x）=x3﹣4x2+4x，f′（x）=3x2﹣8x+4．令f′（x）=0，得，x2=2，列表讨论：x （﹣∞，）（，2） 2 （2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑∴在x=处，f（x）取极大值f（）=（）3﹣4×（）2+4×=．在x=2处，f（x）取极小值f（2）=23﹣4×22+4×2=0．（2）∵对x∈[0，3]都有f（x）≥mx2恒成立，∴对x∈[0，3]都有f（x）min≥（mx2）max．当x∈[0，3]时，令f′（x）=0，得，x2=2，∵f（0）=0，f（）=，f（2）=0，f（3）=33﹣4×32+4×3=3．∴当x∈[0，3]时，f（x）min=0．当m＞0时，mx2在[0，3]内是增函数，当x=3时，（mx2）max=9m，∵f（x）min≥（mx2）max，∴9m≤0，解得m≤0，不成立；当m＜0时，mx2在[0，3]内是减函数，当x=0时，（mx2）max=0，∵f（x）min≥（mx2）max，∴0≥0，成立．∴m＜0．当m=0时，mx2=0，满足f（x）min≥（mx2）max，∴m=0成立．综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，0]．点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数的极值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．19．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：S3=15，a2+a5=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n}是等差数列，且，求非零常数c．（3）若（2）中的{b n}的前n项和为T n，求证：．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的性质可得，求出a1，d代入等差数列的通项公式可求a n．（2）代入等差数列的前n项和公式可求S n，进一步可得b n，然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3，从而可求c．（3）先由配方法导出2T n﹣3b n﹣1＞4，再由均值定理导出≤4，由此能证明．解答：解：（1）∵等差数列{a n}中，S3=15，a2+a5=22，∴，解得a1=1，d=4．∴a n=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．（2）∵a1=1，d=4，∴S n=n+=2n2﹣n，∵数列{b n}是等差数列，且，∴2（）=+，整理，得2c2+c=0，∵c是非零常数，∴解得c=﹣．（3）由（2）得bn==2n，∴{b n}的前n项和为T n=2（1+2+3+…+n）=（n+1）n=n2+n，∴2T n﹣3b n﹣1=2（n2+n）﹣3（2n﹣2）=2（n﹣1）2+4≥4，但由于n=1时取等号，从而等号取不到，∴2T n﹣3b n﹣1=2（n2+n）﹣3（2n﹣2）=2（n﹣1）2+4＞4，∴===≤4，n=3时取等号．∴．点评：本题考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的综合运用，考查了不等式的证明，解题时要认真审题，注意配方法和均值定理的合理运用．20．（16分）（xx•盐城三模）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若|f（x）|=g（x）有两个不同的解，求a的值；（Ⅱ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求h（x）=|f（x）|+g（x）在[﹣2，2]上的最大值．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）解方程|f（x）|=g（x），根据积商符号法则转化为两个绝对值不等式的根的问题；（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）恒成立即（x2﹣1）≥a|x﹣1|对x∈R恒成立，对x进行讨论，分离参数，转化为函数的最值问题求解；（Ⅲ）去绝对值，分段求函数的最值．解答：解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|x+1|=a“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1”得a=0或a=2（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R②当x≠1时，（*）可变形为，令，因为当x＞1时，φ（x）＞2；而当x＜1时，φ（x）＞﹣2．所以g（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2综合①②，得所求a的取值范围是a≤﹣2（Ⅲ）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2﹣1|+a|x﹣1|=，1）当，即a＞2时，h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+32）当，即0≤a≤2时，h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，在上[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+33）当，即﹣2≤a＜0时，h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，经比较知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+34）当，即﹣3≤a＜﹣2时，h（x）在，上递减，在，上递增，且h（﹣2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，经比较知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+35）当，即a＜﹣3时，h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，故此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为h（1）=0综上所述，当a≥0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3；当﹣3≤a＜0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3；当a＜﹣3时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为0．点考查绝对值方程、不等式和最值问题的求法，体现了分类讨论、等价转化的数学思评：想方法，特别是（Ⅲ）难度较大，很好的考查分析问题、解决问题的能力．属难题．34076 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2021-2021学年度高三年级上学期四调考试制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

数学〔理科〕试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1.集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，假设AB A =，那么实数a 的取值范围为〔 〕A. (),0-∞B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据AB A =得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】此题考察了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，那么AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，那么1202x x x +=，因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 应选B【点睛】此题主要考察抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于根底题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，那么异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为〔 〕35 C.306D.66【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，那么异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠= 设2,AB =那么1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD 中6cos 6226EAD ∠==⨯⨯ 应选:D【点睛】此题主要考察异面直线所成角的计算，考察余弦定理，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能. 4.α、β都为锐角，且217sin α=2114cos β=，那么α﹣β＝〔 〕A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解. 【详解】因为α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，所以27cos α=57sin β=，由()21212757491sin sin cos cos sin 982αβαβαβ-=-=-=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-应选：C【点睛】此题主要考察同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于根底题.a R ∈，[0,2]b π∈.假设对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，那么满足条件的有序实数对〔a,b 〕的对数为〔 〕. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．应选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】此题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.此题主要考察考生的逻辑思维才能、根本运算求解才能、数形结合思想、分类讨论思想等.【此处有视频，请去附件查看】6.F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，假设=OP OF ，那么OPF △的面积为〔 〕A. 32B. 52C. 72D. 92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，那么2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =， 即053y =，0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=， 应选B ．【点睛】此题易错在无视圆锥曲线方程和两点间的间隔 公式的联络导致求解不畅． 7.等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，假设3S ，9S ，27S 成等比数列，那么93S S =〔〕 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 应选C.【点睛】此题主要考察了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中纯熟应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，假设AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，那么λμ+的最小值为〔 〕A.212+ B.312+ C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1344AP AB AC =+，再由AM AB λ=，AN AC μ=，可得出1344AP AM AN λμ=+，由三点一共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用根本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如以下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC ∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC AN μ=，1344AP AM AN λμ∴=+，M 、P 、N 三点一共线，那么13144λμ+=. ()1333312114444442λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪⎝⎭，当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，应选B. 【点睛】此题考察三点一共线结论的应用，同时也考察了利用根本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点一共线得出定值条件，考察运算求解才能，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，那么以下四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的间隔 均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，那么三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 假设1DP BC ⊥，那么1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，那么P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的断定知，故④正确． 应选C ．【点睛】此题考察命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的断定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于〔 〕A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为〔a ，-2〕，再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，那么可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为〔a,-2〕，那么r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P 〔1，-2〕.又直线过定点Q 〔-2，0〕，当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为应选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B = E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两局部，假设底面ABC 的面积为6，那么较大局部的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大局部的体积．【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，111A C 3DC =，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下局部体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQDNC 11111hV V V V S h h Sh S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭下． 应选B ．【点睛】此题考察几何体中两局部体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规那么几何体体积的求解方法的培养． 12.设()()22D 22xx a e aa =-+-+,其中 2.71828e ≈，那么D 的最小值为( )232131【答案】C 【解析】分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的间隔 ，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，那么D 表示A 与C 的间隔 和A 与准线的间隔 的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的间隔 和加上1，画出图象，当,,F A C 三点一共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++，由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的间隔 ， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 那么D 表示A 与C 的间隔 和A 与准线的间隔 的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的间隔 和加上1，由图象可知,,F A C 三点一共线时，且QF 为曲线xy e =的垂线，此时D 获得最小值， 即Q 为切点，设(,)m m e ，由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，设()2mg m m e=+，那么()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有112FQ +==，那么D 的最小值为21+，应选C.点睛：此题考察直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的间隔 公式和抛物线的定义，以及三点一共线等知识综合运用，着重考察了转化与化归思想，以及推理与运算才能，属于中档试题. 二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，那么18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4【解析】【分析】 先求18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩， 那么211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】此题考察了分段函数求值，属于简单题型.14.1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，假设AM 为12F AF ∠的角平分线，那么2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==，故答案为：52． 【点睛】此题考察椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于根本知识的考察．15.如图〔1〕，在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图〔2〕所示的三棱锥C A BD '-，假设三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5，那么A DB '∠=_________. 图〔1〕 图〔2〕【答案】23π 【解析】【分析】5决．【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的间隔 相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，那么球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，那么OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=， ∴A 'F 2251R OF =-=-=2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE 2251R DE =-=-=2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】此题考察了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决此题的关键．属于中档题．16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，假设0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，那么称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点〞，那么函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点〞的坐标是________. 【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f 〔x 〕的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g 〔x 〕，设F 〔x 〕＝f 〔x 〕﹣g 〔x 〕，求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F 〔x 〕的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点〞的定义确定“类对称中心点〞的坐标． 【详解】解：由题意得，f ′〔x 〕21x e x =+，f 〔x 0〕20022x lnx e=+〔x ＞0〕， 即函数y ＝f 〔x 〕的定义域D ＝〔0，+∞〕，所以函数y ＝f 〔x 〕在点P 〔x 0，f 〔x 0〕〕处的切线方程l 方程为：y ﹣〔20022x lnx e +〕＝〔0201x e x +〕〔x ﹣x 0〕， 那么g 〔x 〕＝〔0201x e x +〕〔x ﹣x 0〕+〔20022x lnx e+〕， 设F 〔x 〕＝f 〔x 〕﹣g 〔x 〕222x e =+lnx ﹣[〔0201x e x +〕〔x ﹣x 0〕+〔20022x lnx e+〕]， 那么F 〔x 0〕＝0，所以F ′〔x 〕＝f ′x 〕﹣g ′〔x 〕21x e x=+-〔0201x e x +〕02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F 〔x 〕在〔x 0，2e x 〕上递减， ∴x ∈〔x 0，20e x 〕时，F 〔x 〕＜F 〔x 0〕＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F 〔x 〕在〔2e x ，x 0〕上递减； ∴x ∈〔20e x ，x 0〕时，F 〔x 〕＞F 〔x 0〕＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F 〔x 〕在〔0，e 〕∪〔e ，+∞〕上不存在“类对称点〞．假设x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，那么F 〔x 〕在〔0，+∞〕上是增函数， 当x ＞x 0时，F 〔x 〕＞F 〔x 0〕＝0，当x ＜x 0时，F 〔x 〕＜F 〔x 0〕＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f 〔x 〕的“类对称点〞，综上可得，y ＝F 〔x 〕存在“类对称点〞，e 是一个“类对称点〞的横坐标，又f 〔e 〕22322e lne e =+=，所以函数f 〔x 〕的“类对称中心点〞的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】此题考察利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考察了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形才能，此题是难题．三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.〔1〕求C ∠；〔2〕假设E 是BD 的中点，求CE .【答案】〔1〕60C =；〔2〕CE =【解析】【分析】〔1〕利用余弦定理进展化简，求出C ；〔2〕利用向量法求出CE ．【详解】〔1〕由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=， 60C ∴=；〔2〕由1()2CE CD CB =+，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以192CE =.【点睛】此题考察余弦定理的应用，考察了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.〔Ⅰ〕证明：G 是AB 的中点；〔Ⅱ〕在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F 〔说明作法及理由〕，并求四面体PDEF 的体积．【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.〔Ⅱ〕在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 6PA =，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 试题解析：〔Ⅰ〕因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.〔Ⅱ〕在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影. 理由如下：由可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由〔Ⅰ〕知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC 由，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2, 2.==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考察线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象才能进展推理,注意防止步骤不完好或者考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B 513AB = 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．假设BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．【答案】〔1〕22194x y +=；(2)12-． 【解析】分析：〔I 〕由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.那么椭圆的方程为22194x y +=. 〔II 〕设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或者12k =-.经检验k 的值是12-. 详解：〔I 〕设椭圆的焦距为2c ，由得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． 〔II 〕设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =．由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或者12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值是12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算才能，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.〔1〕求证：平面BED ⊥平面AED ；〔2〕求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕56【解析】【分析】〔1〕根据余弦定理求出BD 3=BD ⊥AD ，再根据面面垂直的断定定理即可证明；〔2〕先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【详解】〔1〕证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得3BD =，进而90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，平面AED 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .〔2〕∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED 平面AED ED =，由〔1〕知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，6AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=， ∴5sin 3ADE ∠=，∴53AH AD =⋅，在Rt AHB ∆中，5sin 6AH ABH AB ∠==， ∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值56.【点睛】此题考察了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考察了空间想象才能，运算才能和推理论证才能，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.〔1〕设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值； 〔2〕设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，假设点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程.【答案】〔12；〔2〕23y x =-【解析】【分析】〔1〕求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k 〔x 2p +〕，k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；〔2〕求得F 〔1，0〕，设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，C 〔x 3，y 3〕，D 〔x 4，y 4〕，G 〔x ，y 〕，设l 1：y ＝k 〔x ﹣1〕，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】〔1〕A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -， 设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=， 联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF ； 〔2〕由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 即有12242x x k +=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k -，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++， 即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+， 可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，那么G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】此题考察抛物线的定义和方程、性质，考察直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考察向量的坐标表示，以及化简运算才能，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ≤.函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =. 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕函数()y g x =和x y e =的图象在公一共点〔x 0，y 0〕处有一样的切线，〔i 〕求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；〔ii 〕假设关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】〔I 〕单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -.〔II 〕〔i 〕见解析.〔ii 〕[7,1]-.【解析】 试题分析：求导数后因式分解根据1a ≤，得出4a a <-，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对()g x 求导，根据函数()y g x =和x y e =的图象在公一共点〔x 0，y 0〕处有一样的切线，解得0()0f x '=，根据()f x 的单调性可知()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，得出32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤，求出()f a 的范围，得出b 的范围.试题解析：〔I 〕由()()32634f x x x a a x b =---+，可得 ()()()()()2'3123434f x x x a a x a x a =---=---，令()'0f x =，解得x a =，或者4x a =-.由1a ≤，得4a a <-.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为(),a -∞，()4,a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.〔II 〕〔i 〕因为()()()()''xg x e f x f x =+，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以()()()()0000000'x x x x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.〔ii 〕因为()x g x e ≤，[]001,1x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤.又因为()01f x =，()0'0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由〔I 〕知0x a =. 另一方面，由于1a ≤，故14a a +<-，由〔I 〕知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[]1,1a a -+上恒成立，从而()x g x e ≤在[]001,1x x -+上恒成立.由()()326341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤. 令()32261t x x x =-+，[]1,1x ∈-，所以()2'612t x x x =-， 令()'0t x =，解得2x =〔舍去〕，或者0x =.因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]7,1-.所以，b 的取值范围是[]7,1-.【考点】导数的应用【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或者最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，此题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵敏思维巧妙，匠心独运.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

2021届高三入学调研数学试卷（四）（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．2．命题：“，”的否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．， 3．已知命题：对任意，总有；：“”是“，”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．下列命题中正确的是（ ）A ．“”是“”的充分条件B ．命题“，”的否定是“，”C ．使函数是奇函数D ．设，是简单命题，若是真命题，则也是真命题5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．设，，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 7．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A ． B ． C ．D ． 8．函数的部分图象大致为（ ） {2,1,0,1,2}A =--2{|2}B x x =<AB ={0,1}{1,1}-{1,0,1}-{0}p 0x ∃∈R 00212x x +<p ⌝x ∀∈R 212x x +≥x ∀∈R 212x x +<0x ∃∈R 00212x x +≥0x ∃∈R 00212x x +>p x ∈R 22x x >q 4ab >2a >2b >p q ∧p q ⌝∧p q ∧⌝p q ⌝∧⌝3x >5x >x ∀∈R 210x x ∃∉R 210x +≤m ∃∈R 2()()f x x mx x =+∈R p q p q ∧p q ∨()f x R 0x >()ln 1f x x =+(1)f -=ln 2-1-0121log a e =11()e b e-=lg 2c =b a c >>c b a >>b c a >>c a b >>()f x [0,2](2)()1f x g x x =-[0,1)(1,2][0,1)(1,4][0,1)(1,4]()f x =。

2021年高三上学期第四次调研考试数学（理）试题含答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合且，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.2.复数是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是( )A. B. C. D.3.设是实数，命题“都有”的否定是 ( )A.,使得B. ,使得或C.,使得D. ,使得或4.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.5.已知△ABC 中，，则 ( )A. B. C. D.6．等差数列中，，若数列的前项和为，则＝（ ）A.14B.15C.16D.187.已知是三角形的内角，，则 ( )A. B. C. D.8.命题:定积分1；命题:若数列是等比数列,则数列也一定是等比数列.则下列命题:(1),(2),(3),(4),(5)中是真命题个数是( )A.1B.2C.3D.49.设,)23(),3(log ),7((log 214-===f c f b f a ,则 （ ）A.＜＜B. ＜＜C. ＜＜D. ＜＜10.在△ABC 中，角A,B,C 成等差数列，，点M 是△ABC 外一点，，且MA ＝2MB ＝2，则四边形AMBC 面积的最大值为 ( )A. B. C. D.11.若定义域为G,设,动点P 的轨迹围成的图形是正方形,则值为A ．－1 B.－2 C.－3 D.－412.已知直线分别与曲线交于点A,B ，则|AB |的最小值为( )A.3B.C.D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.数列}是公差不为零的等差数列，若成等比数列，则公比_______.14.若函数的图像向右平移(个单位，得到的图像恰好关于直线对称，则的最小值是________.15.下列结论正确的是___________________.(1)函数在第一象限是增函数；(2)△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；(3) 设是非零向量，命题则，使得”的否命题和逆否命题都是真命题；(4) 函数f()＝23－32,[－2,](－2＜＜1)的最大值为0.16.已知函数在区间单调递增,则实数的取值范围是______.三、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每小题12分，共70分17（本小题满分10分）已知定义在R上的函数的图像关于原点对称，,当时,.若“”是假命题,求实数的取值范围.18（本小题满分12分）已知是公差为正的等差数列,且.（1）求数列{n}的通项公式；（2）已知…，求数列的前项和S n.19（本小题满分12分）已知外接圆半径为，，，记.（1）求关于的表达式；（2）求的值域及单调区间..20．（本小题满分12分）已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，，若．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：数列是等差数列；（Ⅲ）设数列满足，求的前n项和．21.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为, 向量cbaA--=,满足.+=c(sin Bsinsin),(,),C(1) 求角B 的大小；(2)设k A k C ⋅>=+=),1)(2cos ,2(),21),3(sin(π有最大值为，求的值. （3）设△ABC 为锐角三角形，，求△ABC 周长的取值范围.22.（本小题12分）设直线:与曲线相切于点．（1）求的值；（2）若直线与曲线有且只有一个公共点，求的值．理科数学参考答案一．选择题：CADCC ADABC DD二．填空题：13. 14. 15. （2）（3） 16.三．解答题17解：若“”是假命题,则若“”是真命题,由已知函数是奇函数 ∴∵当时,∴当时，∵是奇函数，∴3(767||679)(2a x a a x a x x f -=--=-≥-+=当时等号成立）综上所述：18.解（1）∵是公差为正的等差数列,∴由解得（舍去）∴，（2）∵…∴…相减得当时，∴∴时…时综上所述：19解（1）∵，∴由正弦定理有：，∴，；∴………7分（2）∵，∴的值域为当时是增函数，当时是增函数，∴的递增区间是，递减区间是20.解：（Ⅰ）∵成等差数列， ∴212112212-=⇒-=⇒-=-+++++q a a S S S S n n n n n n又，∴∴（Ⅱ）∵， ∴，∴数列是首项1，公差3的等差数列.（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n ）∴. ∴n n n n n S )41()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-，① 于是1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S② 两式①-②相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S=∴21.解：(Ⅰ)由条件|p +q |=| p －q |，两边平方得p·q ＝0，又p =(sinA,b+c),q =(a －c,sinC －sinB),代入得（a －c ）sinA ＋（b+c ）（sinC －sinB ）＝0， 根据正弦定理，可化为a(a －c)+(b+c)(c －b)=0,即，又由余弦定理＝2cosB,所以cosB ＝，B ＝.(Ⅱ)m =(sin(C+),),n =(2k,cos2A) (k>1),m·n =2ksin(C+)+cos2A=2ksin(C+B) +cos2A＝－+2ksinA+=－+ (k>1).而0<A<,sinA ∈(0,1],故当sinA ＝1时，m·n 取最大值为.（3）由正弦定理得)3sin(332sin 332,sin 332π+===A C c A a ∴△ABC 周长)3sin(332sin 33211π+++=++=A A c a p∵△ABC 为锐角三角形，∴∴，△ABC 周长22.解(1)由已知1122)(,2)0(++-='-==x b ax x f k b f ∴，联立解得(2)由已知方程2＋2－1＋ln(＋1)＝3－1即2－＋ln(＋1)＝0只有一根，设g()＝2－＋ln(＋1),定义域(－1,＋∞)，显然＝0是方程的一根.1)122(1112)(+-+=++-='x a ax x x ax x g ,令得， 当＝1/2时,1＝2＝0 ,g 丿()＞0,g()在(－1,＋∞)递增,g()＝0有唯一解＝0；当0＜＜1/2时,1＜2,在(－1,0),(x 2,＋∞) 时g 丿()＞0,g()递增,在(0,x 2), 时g 丿()＜0,g()递减，g(x 2)＜g(0)＝0，x →＋∞时g(x)→＋∞g(x)在(x 2,＋∞)必有一根，不合题意。

2021年高三上学期第四次阶段检测数学（理）试题含答案一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，则等于（）A. B. C. D.2.已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.下列说法正确的是（）A. 命题“使得”的否定是：“”B. “”是“在上为增函数”的充要条件C. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件D. 命题p：“”，则p是真命题4．等差数列中，，则（）A．10 B．20 C．40 D．2+log255.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（）6.如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．7.设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（）A. 是偶函数B. 最小正周期为πC. 图象关于点对称D. 在区间上是增函数8.如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．9.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,则该双曲线离心率等于( )A. B. C. D.10.若a,b,c均为单位向量，a·b，c=x a + y b ，则的最大值是( )A． B. C． D.11.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A． B. C． D.12.已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列的前项和为，，，则.14.设ΔABC的三边长分别为，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P －ABC的体积为V，则R＝.15.已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的最小值是.16.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，若，则直线的斜率.三、解答题：本大题共6道题，共70分。

2021年高三上学期教学质量调研考试数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案编号，答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么；如果事件A,B独立，那么.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若（i是虚数单位），则（A） (B) (C) (D)(2)设集合，则（A） (B) (C) (D)(3)在中，是的（A）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)要得到函数的图像，只要将函数的图象（A）向左平移个单位 (B) 向右平移个单位(C) 向左平移个单位 (D) 向右平移个单位(5)一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（A） (B) (C) (D)(6)已知满足约束条件，则的最大值为（A） 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12(7)过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（A ） (B) (C) 2 (D)(8)已知向量的夹角为，且，当取得最小值时，实数的值为（A ）2 (B) - 2 (C) 1 (D) -1(9)设等差数列的前项和为，且满足对任意正整数，都有，则的值为（A ）1006 (B) 1007 (C) 1008 (D)1009(10)已知R 上的奇函数满足，则不等式的解集是（A ） (B) (C) (D)第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.(11)某高校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师年龄分组，分组区间为[)[)[)[)[]35,4040,4545,5050,5555,60，，，，，由此得到频率分布直方图，则这80名教师中年龄小于45岁的教师有 .（12）执行右图的程序框图，则输出的 .（13）二项式的展开式中，的系数为，则 . (14)已知M,N 是圆与圆的公共点，则的面积为 .(15)对于函数，有下列5个结论：①任取，都有②函数在区间上单调递增；③,对一切恒成立；④函数有3个零点；⑤若关于的方程有且只有两个不同实根，则则其中所有正确结论的序号是 .(请写出全部正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分.(16)（本小题满分12分） 已知向量(3sinx,cosx),(cosx,cosx),x R,m n ==∈，设（Ⅰ）求函数的解析式及单调区间；（Ⅱ）在中，分别为内角的对边，且，求的面积.(17)(本小题满分12分)如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB//CD，，点M在线段EC上;（Ⅰ）证明：平面平面ADEF;（Ⅱ）若，求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的大小.(18)(本小题满分12分)某卫视的大型娱乐节目现场，所有参演的节目都有甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两种“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”.（Ⅰ）求某节目的投票结果获“通过”的概率；（Ⅱ）记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为X，求X的分布列和数学期望.(19)(本小题满分12分)设等差数列的前项和为，且（Ⅰ）求数列的的通项公式；（Ⅱ）记，求.(20)(本小题满分13分)已知椭圆的离心率为，且过点，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A,B两点，且A,B两点的“椭点”分别为P,Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值;若不为定值，说明理由.(21)(本小题满分14分)已知函数（Ⅰ）当时，求函数的零点个数；（Ⅱ）当时，若函数在区间上的最小值为-2，求的值；（Ⅲ）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：39785 9B69 魩vB 23180 5A8C 媌26836 68D4 棔40147 9CD3 鳓R -31217 79F1 秱21116 527C 剼20670 50BE 傾]。

2021届高三数学四月调研考试试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.设i为虚数单位，那么复数的一共轭复数〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法那么，分子分母同时乘以，得出，再利用一共轭复数的定义即可得出。

【详解】解：，应选：A．【点睛】此题考察了复数的运算法那么、一共轭复数的定义。

假设，，，，在进展复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的一共轭复数。

，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出集合，进而计算与，分析选项即可得答案【详解】解：根据题意，，那么，那么A、C、D都错误，B正确；应选：B．【点睛】此题考察集合的运用，关键是掌握集合交集、并集的定义，属于根底题．的向量与满足，且向量为非零向量，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可对的两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出．【详解】解：∵；∴；∴；∴；∵为非零向量；∴．应选：B．【点睛】考察向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．的一条渐近线与直线垂直，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】渐近线与直线垂直，得、关系，再由双曲线根本量的平方关系，得出、的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为，∴，得，，此时，离心率．应选：C．【点睛】此题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考察了双曲线的HY方程与简单几何性质等知识，属于根底题．满足：，，那么使成立的的最大值为〔〕A. 3B. 4C. 24D. 25【解析】【分析】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，可求得，所以，带入不等式。

2021年高三上学期调研测试数学理试题 含答案注意事项：1．第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II 卷（非选择题）答案写在答卷上。

参考公式：,3114,,(),333V Sh V Sh V S S h V R π'====柱锥台球如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么.第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则= （A ） {5} （B ） {2,4} （C ）{2,4,5} （D ）{2,4,6}2.下列函数中与函数f()=相同的是 （A ） (B) (C) (D)3.复平面内复数对应的点在（A ）第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 4.计算（A ）6 (B) (C) (D) 3 5. 已知两个平面垂直，下列命题中：（1）一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； （2）一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； （3）一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；（4）过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有（A ）. 1 （B ）. 2 （C ）. 3 （D ）. 4 6.与圆及圆都相外切的圆的圆心在(A)一个椭圆上 (B) 一支双曲线上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 7.已知函数的定义域是R ，则实数的取值范围是 (A) （0,2） (B) （-2,2） (C) [-2,2] (D)8.已知，则（A ） （B ） （C ） （D ）第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（9～13题）9.已知，且与共线，则y= . 10.如图1，是一问题的程序框图，则输出的结果是 . 16．二项式的展开式中常数项是 .17．设函数，对任意，恒有，其中M 是常数，则M 的最小值是 .18．要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类型AB C 第一2 1 1 第二1 2 3 今需要A,B,C 三种规格的成品分别是15,18, 27块，至少需要这两种钢板共是 张.（二）选做题（14、15题）14（几何证明选讲选做题）如图2，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= .15（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为，则圆的圆心的极坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）已知函数（1）当时，求的最大值及相应的x 值； （2）利用函数y=sin 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.17（12分）在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品. （1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；（2）从盒子里任取3枝，设为取出的3枝里一等品的枝数，求的分布列及数学期望.18（14分）如图3，边长为2的正方形ABCD ，E,F 分别是AB,BC 的中点，将△AED ， △DCF 分别沿DE,DF 折起，使A,C 两点重合于。

2021年高三数学上学期第四次段考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知+是实数，其中i为虚数单位，则实数a等于（）A．1B．C．D．2．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2π+8B．8π+8C．4π+8D．6π+83．（5分）运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（）A．B．C．D．4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题5．（5分）已知点A（3，），O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足则向量在向量方向上的投影的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）已知点M是直线3x+4y﹣2=0上的动点，点N为圆（x+1）2+（y+1）2=1上的动点，则|MN|的最小值为（）A．B．1 C．D．7．（5分）函数f（x）=cos（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到f（x）的图象，只需将函数g（x）=sin（ωx+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知向量，满足，，（λ，μ∈R），若M为AB的中点，并且，则点（λ，μ）在（）A．以（，）为圆心，半径为1的圆上B．以（，）为圆心，半径为1的圆上C．以（，）为圆心，半径为1的圆上D．以（，）为圆心，半径为1的圆上10．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x），当x∈时，f（x）=2x，若方程ax﹣a﹣f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1） B．C．（1，2）D．；②函数g（x）在上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在内恒有解；④若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．三、本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）﹣2+1（ω＞0）．直线与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC外接圆的面积．17．（12分）乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的分布列与数学期望．18．（12分）如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如图2．（Ⅰ）求三棱椎D﹣PAB的体积；（Ⅱ）求证：AP∥平面EFG；（Ⅲ）求二面角G﹣EF﹣D的大小．19．（13分）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间上的减函数．（1）求g（x）在x∈上的最大值；（2）若g（x）≤t2+λt+1对∀x∈及λ∈（﹣∞，﹣1]恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程=x2﹣2ex+m的根的个数．20．（13分）已知数列{d n}满足d n=n，等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令c n=1﹣（﹣1）n a n，不等式c k≥xx（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有d k+a k （k∈M）的和．21．（13分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．安徽省合肥八中xx届高三上学期第四次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知+是实数，其中i为虚数单位，则实数a等于（）A．1 B．C．D．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简+为a+bi（a、b∈R）的形式，再由已知复数是实数，得出虚部等于0，即可求出a的值．解答：解：+==，∵+是实数，∴，则a=1．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2π+8B．8π+8C．4π+8D．6π+8考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，从而求出它的体积是多少．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体底部为四棱柱，上部为平放的两个半圆柱的组合体，该几何体的体积为V几何体=V底部+V上部=2×（2+2）×1+π•12×2=8+2π．故选：A．点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题时根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形，从而解答问题．3．（5分）运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，n，m的值，当i=4时不满足条件i ＜4，退出循环，输出n的值为．解答：解：执行程序框图，有i=1，m=0，n=0满足条件i＜4，i=2，m=1，n=满足条件i＜4，i=3，m=2，n=满足条件i＜4，i=4，m=3，n=+=不满足条件i＜4，退出循环，输出n的值为．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．解答：解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．点评：此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．5．（5分）已知点A（3，），O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足则向量在向量方向上的投影的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义；简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：由题意由于O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足，画出可行域，在利用．解答：解：画出可行域为：有图可知．故选A点评：此题考查了有不等式組准确画出可行域，还考查了一个向量在另外一个向量上的投影的概念及向量夹角的概念．6．（5分）已知点M是直线3x+4y﹣2=0上的动点，点N为圆（x+1）2+（y+1）2=1上的动点，则|MN|的最小值为（）A．B．1 C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：解三角形．分析：求出圆心到直线的距离d，由d﹣r即可求出|MN|的最小值．解答：解：∵圆心（﹣1，﹣1）到直线3x+4y﹣2=0的距离d==，r=1，∴|MN|min=d﹣r=﹣1=．故选C．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，根据题意得出d﹣r为|MN|最小值是解本题的关键．7．（5分）函数f（x）=cos（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到f（x）的图象，只需将函数g（x）=sin（ωx+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先由周期求得ω，再利用诱导公式、函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于函数f（x）=cos（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π=，∴ω=2，f（x）=cos（2x+），故g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）=cos（2x+﹣）=cos（2x﹣）．把函数g（x）=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，可得y=cos=cos（2x+）=f（x）的图象，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式、余弦函数的周期性，属于基础题．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质；圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；压轴题．分析：根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2﹣b2=m2+n2=c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．解答：解：由题意：∴，∴，∴a2=4c2，∴．故选D．点评：本题主要考查了椭圆的性质，属基础题．9．（5分）已知向量，满足，，（λ，μ∈R），若M为AB的中点，并且，则点（λ，μ）在（）A．以（，）为圆心，半径为1的圆上B．以（，）为圆心，半径为1的圆上C．以（，）为圆心，半径为1的圆上D．以（，）为圆心，半径为1的圆上考点：平面向量的正交分解及坐标表示；向量的模．专题：计算题．分析：由题意分别以OA、OB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则点M（，），C（λ，μ），故此题为求C点的轨迹问题，由知C点轨迹是以M（，）为圆心，以1为半径的圆．解答：解：分别以OA、OB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则点M（，）．由得C（λ，μ）点的轨迹为以M（，）为圆心，以1为半径的圆故选D点评：本题考查向量的坐标运算、向量的模的含义及求轨迹问题．10．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x），当x∈时，f（x）=2x，若方程ax﹣a﹣f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1） B．C．（1，2）D．∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2＞0，∴c＞a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．15．（5分）已知函数f（x）=g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：结论：①函数f（x）的值域为；②函数g（x）在上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在内恒有解；④若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是①②④．考点：分段函数的应用．专题：阅读型；函数的性质及应用．分析：求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；求出g（x）在的值域，求出方程f（x）=g（x）在内无解的a的范围，即可判断③；由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．解答：解：当x∈时，f（x）=﹣x是递减函数，则f（x）∈，当x∈（，1]时，f（x）==2（x+2）+﹣8，f′（x）=2﹣＞0，则f（x）在（，1]上递增，则f（x）∈（，]．则x∈时，f（x）∈，故①正确；当x∈时，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0）=﹣acosx﹣2a+2，由a＞0，0≤x≤，则g（x）在上是递增函数，故②正确；由②知，a＞0，x∈时g（x）∈，若2﹣3a＞或2﹣＜0，即0＜a＜或a＞，方程f（x）=g（x）在内无解，故③错；故存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得≤a≤．故④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题．三、本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）﹣2+1（ω＞0）．直线与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC外接圆的面积．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性．专题：计算题；综合题．分析：（I）将函数表达式展开，再用辅助角公式合并，可得f（x）=，结合题意知它的周期是π，利用三角函数的周期公式，可得ω=2．（II）因为点是函数图象的一个对称中心，所以f（）=0，结合三角形内角的范围，可得B=，最后用正弦定理可以算出外接圆半径R，从而得到△ABC外接圆的面积．解答：解：（Ⅰ）==…（4分）∴函数的最大值为∵直线与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π∴，得ω=2…（6分）（Ⅱ）由（I），得∵点是函数y=f（x）图象的一个对称中心∴f（）==0，可得，即因为0＜B＜π，所以取k=0，得…（9分）根据正弦定理，得△ABC外接圆直径，所以，∴△ABC外接圆的面积S=πR2=3π …（12分）点评：本题着重考查了两角差的正弦公式、三角函数的降次公式、三角函数的图象与性质和正弦定理等知识，属于中档题，是一道不错的综合题．17．（12分）乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）记A i为事件“第i次发球，甲胜”，i=1，2，3，则P（A1）=P（A2）=，P（A3）=．“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为事件+A2+，由此能求出开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率．（2）由题意ξ=0，1，2，3．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出Eξ．解答：解：（1）记A i为事件“第i次发球，甲胜”，i=1，2，3，则P（A1）=P（A2）=，P（A3）=．“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为事件+A2+，其概率为P（+A2+）=2×××+××=，即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为．…（6分）（2）由题意ξ=0，1，2，3．P（ξ=0）=××=，P（ξ=1）=2×××+（）3=，P（ξ=2）=2×××+××=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以Eξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年xx届高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．18．（12分）如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如图2．（Ⅰ）求三棱椎D﹣PAB的体积；（Ⅱ）求证：AP∥平面EFG；（Ⅲ）求二面角G﹣EF﹣D的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据要求的三棱锥的体积与已知底面和高的三棱锥的体积相等，写出体积的表示式，得到结果．（Ⅱ）建立坐标系，写出要用的点的坐标，进而写出向量，设出平面的法向量，求出法向量，根据法向量与直线的方向向量垂直，得到线面平行．（Ⅲ）两个平面的法向量一个已经求出，另一个在图形中存在，这样根据两个平面的法向量所成的角，得到两个平面的二面角．解答：解：（Ⅰ）．（Ⅱ）证明：如图以D为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系D﹣xyz．则有关点及向量的坐标为：设平面EFG的法向量为∴．取．∵，∴，又AP⊄平面EFG．∴AP∥平面EFG（Ⅲ）由已知底面ABCD是正方形∴AD⊥DC，又∵PD⊥面ABCD∴AD⊥PD又PD∩CD=D∴AD⊥平面PCD，∴向量是平面PCD的一个法向量，=（2，0，0）平面EFG的法向量为∴．结合图知二面角G﹣EF﹣D的平面角为450．点评：本题考查立体几何的综合题目，本题解题的关键是建立坐标系，把一些理论性的证明转化成运算，降低了题目的难度．19．（13分）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间上的减函数．（1）求g（x）在x∈上的最大值；（2）若g（x）≤t2+λt+1对∀x∈及λ∈（﹣∞，﹣1]恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程=x2﹣2ex+m的根的个数．考点：根的存在性及根的个数判断；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；奇函数；函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：（1）先利用f（x）是实数集R上的奇函数求出a，再利用g（x）=λf（x）+sinx 是区间上的减函数求出g（﹣1）即可．（2）利用（1）的结论把问题转化为（t+1）λ+t2+sin1+1≥0在λ∈（﹣∞，﹣1]恒成立，再利用图形找到t满足的条件即可．（3）把研究根的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，借助于图形可得结论．解答：解：（1）∵函数f（x）=ln（e x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=ln（e0+a）=0，∴e0+a=1．∴a=0．又∵g（x）在上单调递减，∴g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1．（2）只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1在λ∈（﹣∞，﹣1]上恒成立，∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0在λ∈（﹣∞，﹣1]恒成立．令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1（λ≤﹣1），则∴而t2﹣t+sin1≥0恒成立，∴t≤﹣1．（3）由（1）知f（x）=x，∴方程为，令，∵，当x∈（0，e）时，f′1（x）≥0，f1（x）在x∈（0，e]上为增函数；x∈专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x﹣2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，得，又2a+2c=，所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设点P（x0，y0），则k1=，k2=，∴k1•k2==，又点P（x0，y0）在双曲线上，∴，即y02=x02﹣4，∴k1•k2==1．（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，则由（II）知k1•k2=1，∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得，，∴AB==，同理可得CD===，∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴λ==﹣==，∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．( 30254 762E 瘮39462 9A26 騦^36059 8CDB 賛7R33742 83CE 菎LE29361 72B1 犱G3。

2021年高三上期第四次考试—数学理 含答案第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={x|-2≤x ≤2，x ∈Z}，则P ∩（M ）等于（ ）A 、{0}B 、{1}C 、{-2，-1，0}D 、Ø2． 已知直线，直线，且，则的值为（ ） A 、-1 B 、 C 、或-2 D 、-1或-23．在数列{}中，若，且对任意的有， 则数列前15项的和为（ ）A ．B ．30C ．5D ．4．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为（ ）A.7B.C.D.5．过点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A .B .或C .D .或6．若为等差数列，是其前n 项的和，且，则=（ ）A. B. C. D. 7.若直线经过点M(cosα,sinα),则( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C. D.8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 9.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若，则( ) A.3 B.8 C.13 D.1610.若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,满足则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．11. 已知动点在椭圆上,为椭圆的右焦点,若点满足且,则的最小值为( )侧视图A．B．3 C．D． 112. 已知定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为（），且的前项和为，则（）A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

2021年高三上学期第四次调研考试理数试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则集合为（）A． B． C． D．【答案】C考点：集合运算【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.下列命题中正确的是（）A．若为真命题，则为真命题B．“，”是“”的充分必要条件C．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”D．命题，使得，则，使得【答案】D【解析】试题分析：若为真命题，则中至少一个为真命题，因此不一定为真命题；“，”时“”，充分性成立，而2()22000b a b a a baba b a b ab-+≥⇒+-≥⇒≥⇒>，即“，”不一定成立，即必要性不成立；命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”；命题“，使得”的否定，使得，所以选D.考点：充要关系，复合命题真假【名师点睛】充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．3.函数（）的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】C考点：函数图像与性质【名师点睛】函数图象的辨识可从以下几方面入手：(1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)从函数的周期性判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等．4.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A考点：等差数列与等比数列综合，基本不等式求最值【名师点睛】1.等差或等比数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d（q），n，S n，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d（q）是等差（等比）数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．5.如图，已知正方体的棱长为，动点、、分别在线段，，上．当三棱锥的俯视图如图所示时，三棱锥的正视图面积等于（）A． B． C． D．【答案】B考点：三视图【名师点睛】1.解答三视图的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6.设，满足约束条件320x yx yxy--≤⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数（）的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：可行域为三角形ABC及其内部，其中，因此目标函数（）过时取最大值，即，从而，向右平移后的表达式为，选C.考点：线性规划求最值，三角函数图像变换 【名师点睛】1.对y ＝A sin(ωx ＋φ)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x 变为x ±a (a ＞0)，变换后的函数解析式为y ＝A sin ； (2)伸缩变换时，x 变为xk (横坐标变为原来的k 倍)，变换后的函数解析式为y ＝A sin(ωkx ＋φ)． 2.两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．7.已知，，，是函数（，）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，则，的值为（ ） A ．， B ．， C ．， D ．， 【答案】A考点：三角函数解析式 【名师点睛】1.求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．2．用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0.“第二点”(即图象的“峰点”)时，ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π. 8.已知不等式对任意实数，都成立，则常数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：，而，因此，而，当且仅当时取等号，即选D.考点：基本不等式求最值【名师点睛】利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．9.如图，正方体的棱线长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（）A． B．平面C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线，所成的角为定值【答案】D考点：线面关系判定，三棱锥体积，异面直线所成角【名师点睛】1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.10.已知三棱锥，，，两两垂直且长度均为，长为的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ） A ． B ．或 C ． D ．或【答案】D考点：球体积11.设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得：使得，即值域为值域的子集，从而，即，选A. 考点：恒成立与存在性问题 【名师点睛】恒成立与存在性问题可以转化为最值问题求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解.若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上 若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D 上；若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.12.设函数满足，，则时（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值【答案】D考点：函数极值【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知数列对于任意，，有，若，则．【答案】考点：数列递推关系【名师点睛】递推式的类型则球体毛坯体积的最小值应为．【答案】【解析】试题分析：将四棱锥补成一个正方体，则球体毛坯体积的最小时应为正方体的外接球，此时直径为，体积为考点：正方体外接球体积【名师点睛】1. 某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的几何问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．15.若的内角，满足，则当取最大值时，角大小为．【答案】考点：两角和正弦公式，基本不等式求最值16.定义函数，，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的“均值”为，已知，，则函数在上的“均值”为 ． 【答案】 【解析】试题分析：由题意得：存在唯一的，满足()()2014322014222332()1()log 2014222f f x f f x x x x x ++=⇒=⇒=，而，当且仅当时取等号， 因此“均值”为 考点：新定义【名师点睛】对于新定义问题要做到以下两点1.准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆.2.方法选取:对于新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从具体处体会题意,从而找到恰当的解决方法.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在中，角，，所对的边为，，，且满足cos 2cos 22cos cos 66ππ⎛⎫⎛⎫A -B =-A +A ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围．【答案】（1）或（2）试题解析：解：（1）由已知，cos 2cos 22cos cos 66ππ⎛⎫⎛⎫A -B =-A +A⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得2222312sin 2sin 2cos sin 44⎛⎫B -A =A -A⎪⎝⎭，考点：二倍角公式、两角和与差余弦公式，正弦定理【名师点睛】正弦定理的应用技巧(1)求边:利用公式或其他相应变形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA= sinB= sinC= 或其他相应变形公式求解.(3)相同的元素归到等号的一边:即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.18.（本小题满分12分）已知四棱锥的底面是菱形，，，，与交于点，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析（2）（2）过点作，所以平面．如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．可得，，，，，．考点：线面垂直的判定与性质定理，利用空间向量求线面角【名师点睛】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．3．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．19.（本小题满分12分）已知等差数列的公差为，前项和为，且．（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由利用等差数列性质得，，再根据等差数列广义通项公式得：，最后利用等差数列和项公式求前项和，（2）先根据题意确定数列的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列通项，然后利用错位相减法求数列的前项和为，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意，而的最值，需根据数列单调性确定. 试题解析：解：（1）为等差数列，且，，即， 又公差，，．()()214592222n n n a a n n n n S ++-===-，． （3分）考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和【名师点睛】一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．(2)在写出“S n”和“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．20.（本题小满分12分）如图，在直角梯形中，，，平面，，．（1）求证：平面；（2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析（2）且，，即点在平面内．由平面，知，四边形为正方形，四边形为平行四边形，（2分）为的中点，为的中点，．平面，平面，平面．（4分）（2）法一：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．则，，，设，考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角【名师点睛】1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．21.（本小题满分12分）已知函数，．（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在试题解析：解：（1）由，得，令，得或．函数，在上的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增极大值单调递减，，．即最大值为，．（3分）（3）由条件．假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴的两侧，不妨设（），则（）．是以（是坐标原点）为直角顶点的直角三角形，，，是否存在，等价于该方程且是否有根．当时，方程可化为，化简得，此时方程无解；当时，方程为，即，设（），则（），显然，当时，，即在区间上是增函数，的值域是，即．当时方程总有解，即对于任意正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．（12分）考点：利用导数求函数最值，利用导数研究函数值域，不等式恒成立【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）如图，已知圆是的外接圆，，是边上的高，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）详见解析（2）考点：三角形相似，切割线定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．23.（本小题满分10分）已知函数，．（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：令，因为当时，；当时，，所以，故此时．（9分）综合①②，得所求实数的取值范围是．（10分）考点：含绝对值不等式37440 9240 鉀22174 569E 嚞"24853 6115 愕21897 5589 喉34145 8561 蕡37271 9197 醗23598 5C2E 尮32806 8026 耦 \22343 5747 均-31635 7B93 箓~。

2021年高三上学期第四次调研考试（理）数学试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R ，函数的定义域为M ，则（）A. B. C. D.2.复数（其中i 为虚数单位）的虚部等于（）A.3B.-3C.4D.-43.已知命题p ，q ，则“为真”是“为假”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知等差数列中，，，则（）A.78B.68C.56D.526.已知向量，，且，若x ，y 满足约束条件，则z 的最小值为（）A.3B.2C.9D.47.设函数)2)(21cos(3)21sin()(πθθθ<+-+=x x x f ，且其图像关于y 轴对称，则函数y=f(x)的一个单单调递减区间是（）A. B. C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.已知函数，若对于任意的都有成立，则实数m 的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.11.设函数99,,3,2,1,0,99,)(,)(221⋅⋅⋅====i i a x x f x x f i ，记2,1,)()()()()()(98991201=-+⋅⋅⋅+-+-=k a f a f a f a f a f a f S k k k k k k k ，下列结论正确的是（）A. B. C. D.12.已知函数，e 为自然对数的底数)与的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过直线y=2与抛物线的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的方程为_________.14.已知，则的值为__________.15.在三棱锥P-ABC 中，，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积是________.16.在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，，设，则的取值范围是________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数.（1）若a=2，求函数f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程；（2）若a>0，判定函数f(x)在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数f(x)最大值或最小值.18.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.（1）若b=3，，求A 和a，c；（2）若，且△ABC的面积为，求b的大小.19.（本小题满分12分）设数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的各项均为正数，且是与的等比中项，求的前n项和为.20.（本小题满分12分）在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，∠DCF=60°，AD⊥CD，平面CDEF⊥平面ABCD.（1）证明：直线CE⊥平面ADF；（2）已知P为棱BC上的点，试确定P点位置，使二面角P—DF—A的大小为60°.21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为. （1）求椭圆的方程；（2）斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，过线段AB的中点与AB 垂直的直线交直线x=3于P点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程.22.（本小题满分12分）已知函数，e为自然对数的底数）.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点，，求证：+>2.河北武邑中学xx 学年高三年级第四次调研考试数学试题（理科）答案 一、选择题：BBADC ACCDC AB二、填空题：13. 14. 15. 16.(-5,2)三、解答题：17.解：（1）当a=2时，，（2）. .............................................................5分 令，由a>0，解得，（舍去）.当x 在上变化时，，f(x)的变化情况如下表 .........................................8分所以函数f(x)在区间上有最大值，无最小值. ...................10分18.解：（1）∵，，∴C B A B A A sin ))(sin()sin(sin 2=+-=+=π.∵，∴2a=c. ........................................3分∵，∴，∴. .......................................5分∴. ....................................................6分 或∵，∴.，∴，∴. .......................................2分∵，∴，∴. .......................................3分∵，∴. .......................................4分 ∵b=3，∴在直角△ABC 中，，. .......................................6分（2）由正弦定理：，∴，∴，∴. .......................................8分∵，∴，∴ac=8. .......................................10分∴，∴. .......................................12分19.解：（1）当时，由，得，两式相减得，. ..................3分当n=1时，，. ...................4分∵，∴. ...................5分故当时，，则数列是首项为2，公比为3的等比数列，∴. ...................................6分（2）n n n n n n n n n a n a n b 3232322112⨯=⨯⨯⨯=⨯=+-+，. .................7分 所以①，则②， ...............................................9分则①-②得：n n n n n n n n n T 323223331131133131313112132⋅+-=---=-+⋅⋅⋅++++=-. 所以. .........................................12分20.解：（1）∵CD ∥EF ，CD=EF=CF=2，∴四边形CDEF 为菱形，∴CE ⊥DF. ..........................................................1分 ∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD=CD ，∵AD ⊥CD，∴AD ⊥平面ACDEF. ....................................3分 ∴CE ⊥AD ，又∵ADDF=D ，∴直线CE ⊥平面ADF. .....................5分（2）∵∠DCF=60°，∴△DEF 为正三角形，取EF 的中点G ，连接GD ，则GD ⊥EF ，∴GD ⊥CD.∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，GD 平面CDEF ，平面CDEF 平面ABCD=CD ，∴GD ⊥平面ABCD.∵AD ⊥CD ，∴DA ，DC ，DG 两两垂直.以D 为原点，DA ，DC ，DG 的方向为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系. ...................6分∵CD=EF=CF=2，AB=AD=1，∴由（1）知是平面ADF 的法向量. ..............................7分∵，，设，，设平面PDF 的法向量为，∵，，∴，令，则，∴. .........................9分∵二面角P-DF-A 为60°，∴213)2(31234,cos 222=++-=⋅=><a a a a CE n CEn CE n ，解得. .......11分 ∴P 点在靠近B 点的CB 的三等分点处. ..............................12分21.解：（1）依题意，可得. .......2分得.所以所求椭圆方程为. .........................................5分（2）直线l 的方程为y=k(x-2)，联立方程组，消去y 并整理得.设，，得，，所以. ..............................7分设AB 的中点，得，. .........................8分得直线MP 的斜率为，又， 所以)13()1(3111222202++⋅+=-⋅+=k k k k x x k MP P . ..........................10分当△ABP 为正三角形时，，即.解得.即直线l 的方程为x-y-2=0或x+y-2=0. ...............................12分22.解：（1）， ...............................1分当时，，函数f(x)是上的单调递增函数；...............................3分当a>0时，由得x<-lna ，由得x>-lna ，所以函数f(x)是上的单调递增函数，函数f(x)是上的单调递减函数............5分（2）函数f(x)有两个零点，，所以，，因此，即， ............................7分要证明+>2，只要证明，即证：. ........9分不妨设>，记t=-，则t>0，，因此只要证明：，即， ...............................10分记，则，记，则，当t>0时，，所以，即t>0时，，所以h(t)>h(0)=0，即成立，所以+>2. ................................12分P38637 96ED 雭28729 7039 瀹 ^]33556 8314 茔27752 6C68 汨a 32832 8040 聀9-4;。

2021年高三上学期第四次（12月）联考数学（理）试题含答案第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

）1、已知复数，是的共轭复数，则 ( )Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.2、已知集合，，则( )Ａ.Ｂ. Ｃ.Ｄ.3、曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为( )Ａ.２Ｂ. －２Ｃ.Ｄ.４、已知函数，则该函数是( )Ａ.偶函数，且单调递增Ｂ.偶函数，且单调递减Ｃ.奇函数，且单调递增Ｄ.奇函数，且单调递减５、已知五个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则等于( )Ａ.Ｂ. Ｃ. Ｄ.6、一个物体的底座是两个相同的几何体，它的三视图及其尺寸（单位：ｄｍ）如图所示，则这个物体的体积为( )Ａ.Ｂ.Ｃ. Ｄ.7、若函数有两个不同的零点，且，那么在两个函数值中( )Ａ.只有一个小于1Ｂ. 至少有一个小于1Ｃ. 都小于1Ｄ. 可能都大于18、设变量满足，则的最大值为( )Ａ.Ｂ. Ｃ. Ｄ.9、函数对任意的都有成立，则的最小值为( )Ａ.Ｂ. １Ｃ. ２Ｄ. ４10、已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是( )Ａ.Ｂ. Ｃ.Ｄ.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

）11、已知偶函数满足条件，且当时，，则的值等于。

12、已知，则的值为。

13、执行如图所示的程序框图，输入N的值为xx，则输出S的值是。

14、已知点是△的外心，是三个单位向量，且2，，如图所示，△的顶点分别在轴和轴的非负半轴上移动，是坐标原点，则的最大值为。

三、选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题计分。

本题共5分。

）15、（1）已知实数满足，则的最小值为。

(2)在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为。

四、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题满分12分）设函数。

2021-2022年高三数学上学期第四次质量检测试题理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如果等差数列中，,则（）A.-1B.-2C.-3D.-42.已知向量，若与垂直，则（）A．B．C．D．43.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于（）A.6B.7C.8D.94设则“”是“为偶函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分与不必要条件5.已知{}是首项为1的等比数列，是{}的前n项和，且。

则数列的前5项和为（）A 或5B 或5C D6.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )A．B．C．D．7.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（ ）A. B. C. D.8.在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若，则AB 的长为（ ）A ．1B ．-1C ．D ．-9.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10已知),3,sin 2(),2,(cos x b x a ==且与共线，则=（ ）A. B. C. D. —11下列区间中，函数在其上为增函数的是（ ）A ．（-B ．C ．D ．12函数223)(a bx ax x x f +--=在处有极值10, 则点为( )A. B. C.或 D.不存在二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列的前项和为，则数列的通项公式是 ．14．已知，且，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为 ． 15．设a ＝（cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b (t ∈R )，u 的模的最小值为 ．16．已知函数，的递减区间为则函)(,0x f k > ．三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（10分）已知a 和b 的夹角为，|a |＝5，|b |＝4，求：（1）|a ＋b |；（2）求向量a ＋b 在a 方向上的投影18．（12分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x-= （1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间．19．（12分） 在ABC 中，三个内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,已知B C B C cos )sin(2sin +=(1)判断ABC 的形状（2）设向量),(),,(a c b a n b c a m -+=+=,若与共线，求20．（12分）已知是等差数列，其前n 项和为S n ，是等比数列，且，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记……，，证明（）.21．（12分）已知等差数列满足：，，的前项和为（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（），求数列的前项和为。

2021年高三数学上学期第四次质检试卷理（含解析）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知函数y=lgx的定义域为M，集合N={x|x2﹣4＞0}，则集合M∩（∁RN）=( )A．（0，2）B．（0，2] C．[0，2] D．[2，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由函数y=lgx的定义域为M，知M={x|x＞0}，由N={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2，或x＜﹣2}，先求出CR N，再求M∩（CRN）．解答：解：∵函数y=lgx的定义域为M，∴M={x|x＞0}，∵N={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2，或x＜﹣2}，∴C R N={x|﹣2≤x≤2}，∴M∩（C R N）={x|0＜x≤2}．故选B．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A．y=x3+x B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=考点：奇偶性与单调性的综合．分析：由函数单调性与奇偶性的定义逐一分析选项．解答：解：A．定义域为x∈R且f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）故为奇函数又随着x的增大y值也在增大，所以为增函数．B．由对数的真数大于0可知，函数的定义域为x∈（0，+∞），定义域不关于原点对称，所以不是奇函数．C．由指数函数的图象可知：y=x3是增函数，但却不是奇函数．D．易知该函数为减函数．故选A点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性的定义，在这里要注意在判断函数的奇偶性时首先要先判断函数的定义域是否关于原点对称．3．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．解答：解：（1）中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．（2）中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．（3）中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．（4）中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．4．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的( ) A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：两条直线垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0的根是否只有．解答：解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0的斜率是，∴满足k1•k2=﹣1，∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0得：m=或m=﹣2．∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．点评：本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．5．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相反的直线方程是( )A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0C．x﹣y+1=0或x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=0或3x﹣2y=0考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：当直线经过原点时，直线方程为．当直线不经过原点时，设直线方程为x﹣y=a，即可得出．解答：解：当直线经过原点时，直线方程为，即3x﹣2y=0．当直线不经过原点时，设直线方程为x﹣y=a，把点P（2， 3）代入可得2﹣3=a，∴a=﹣1．∴直线的方程为x﹣y+1=0．综上可得：直线的方程为x﹣y+1=0或3x﹣2y=0．故选：D．点评：本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题．7．函数的零点的个数是( )A．3个B．2个C．1个D．0个考点：函数的零点．专题：数形结合．分析：由于函数f（x）在定义域内不是连续的，所以并不能通过求导递增来直接判断零点的个数，利用数形结合法解决．解答：解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）令，可知分别画出函数y=lnx与∴函数在（0，1）之间有一个零点，在x＞1有一个零点故选B．点评：本题考查函数的零点，考查数形结合思想的运用，应注意函数f（x）在定义域内不是连续的，所以并不能通过求导递增来直接判断零点的个数．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为 ( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．解答：解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．9．若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为( )A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；直线与圆．分析：利用对称知识，求出直线的斜率，对称轴经过圆的圆心即可求出b．解答：解：因为直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为﹣2，所以k=．并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=﹣4．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力．10．设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是( )A．[0，] B．[，] C．[0，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，几何意义是点（x，y）与点A（﹣3，0）的连线的斜率，从而由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，几何意义是点（x，y）与点A（﹣3，0）的连线的斜率，且直线j的斜率为=；直线k的斜率为；故的取值范围是[，]；故选B．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．与直线x﹣y﹣2=0平行，且经过直线x﹣2=0与直线x+y﹣1=0的交点的直线方程是x ﹣y﹣3=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：解方程组求得交点坐标，设与直线x﹣y﹣2=0平行的直线一般式方程为x﹣y+C=0，把交点代入可得C的值，从而求得所求的直线方程．解答：解：由．求得，∴直线x﹣2=0与直线x+y﹣1=0的交点为（2，﹣1），设与直线x﹣y﹣2=0平行的直线一般式方程为x﹣y+C=0，把点（2，﹣1）代入可得λ=﹣3，故所求的直线方程为x﹣y﹣3=0．故答案为：x﹣y﹣3=0点评：本题主要考求两直线交点的坐标，用待定系数法求直线方程，属于基础题．12．曲线y=x2+1与直线x=0，x=1及x轴所围成的图形的面积是．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：确定积分公式中x的取值范围，根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可解答：解：由题意，S=（x2+1）dx=（）=，故答案为：．点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．13．在正方体AC1中，直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值为．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体AC1的棱长为1，则B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），=（1，0，1），=（1，1，0），设平面DBA1的法向量=（x，y，z），，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），设直线BC1与平面A1BD夹角为θ，又=（﹣1，0，1），则sinθ=|cos＜＞|=||=，∴cosθ==．∴直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值为．点评：本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．14．观察下列等式，照此规律，第6个等式应为6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=121．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由图知，第n个等式左边是2n﹣1个连续整数的和，第一个数是n，右边是2n﹣1的平方．再将n=5代入即可得结果．解答：解：由图知，第n个等式左边是2n﹣1个连续整数的和，第一个数是n，右边是2n﹣1的平方．所以第6个等式是：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=121．故答案为：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=121．点评：本题考查归纳推理，解题的关键是归纳出规律：第n个等式左边是2n﹣1个连续整数的和，第一个数是n，右边是2n﹣1的平方．15．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：由题意可知截面圆的半径为：r，所以πr2=2π，r=，由球的半径，球心到截面圆的距离，截面圆的半径，满足勾股定理，所以球的半径为：R==．所求球的表面积为：4πR2=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球与球的截面以及球心到截面的距离的关系，是本题的解题的关键，考查计算能力．三、解答题：（共6道题，合计75分.请在答题卡上相应位置写出解题过程.）16．已知函数（Ⅰ）若x∈[0，π]，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）=0，求的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值．分析：f（x）解析式提取4变形后，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，（Ⅰ）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可求出f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）根据f（x）=0求出tanx的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值．解答：解：f（x）=4（sinx﹣cosx）=4sin（x﹣），（Ⅰ）∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴﹣≤sin（x﹣）≤1，即﹣2≤4sin（x﹣）≤4，则f（x）的最大值为4，最小值为﹣2；（Ⅱ）∵f（x）=2sinx﹣2cosx=0，即tanx=，∴原式====2﹣．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的化简求值，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．17．已知：等差数列{a n}中，a4=14，前10项和S10=185．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）将{a n}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n项和G n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据题意，利用等差数列的通项公式与求和公式将a4与s10列方程组即可求得其首项与公差，从而可求得a n；（Ⅱ）根据题意，新数列为{b n}的通项为b n=3•2n+2，利用分组求和的方法即可求得G n．解答：解：（Ⅰ）由∴，…由a n=5+（n﹣1）•3∴a n=3n+2…（Ⅱ）设新数列为{b n}，由已知，b n=3•2n+2…∴G n=3（21+22+23+…+2n）+2n=6（2n﹣1）+2n．∴G n=3•2n+1+2n﹣6，（n∈N*）…点评：本题考查数列的通项与求和，重点考查等差数列的通项公式与求和公式及分组求和法的应用，是基础题．18．一个圆切直线l1：x﹣6y﹣10=0于点P（4，﹣1），且圆心在直线l2：5x﹣3y=0上．（Ⅰ）求该圆的方程；（Ⅱ）求经过原点的直线被圆截得的最短弦的长．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）设圆心坐标为（x，y），求出过P点的半径所在的直线，进而可得圆心与半径，即可求该圆的方程；（Ⅱ）经过原点的最短弦就是圆心与原点连线垂直的直线．解答：解：（Ⅰ）设圆心坐标为（x，y），则设过P点的半径所在的直线为：6x+y+c=0，代入P（4，﹣1），可得c=﹣23由，解得，∴r2=（4﹣3）2+（﹣1﹣5）2=37∴圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣5）2=37；（Ⅱ）经过原点的最短弦就是圆心与原点连线垂直的直线，此时弦心距为=，∴经过原点的直线被圆截得的最短弦的长为2=2．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想、计算能力，确定圆心与半径是关键．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABC，则：（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由余弦定理得BD=，从而BD⊥AD，由线面垂直得BD⊥PD，由此能证明PA⊥BD．（Ⅱ）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD．（Ⅱ）解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1），=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（），设平面PBC的法向量为=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，），∴cos＜＞==，∵二面角A﹣PB﹣C的平面角是钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．解答：解：对f（x）求导得f′（x）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x2﹣8x+3=0，解得结合①，可知所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，因此△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．精品文档点评：本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解．21．设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若•+•=8，求k的值．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得•+•，利用•+•=8，即可求得k的值．解答：解：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为．∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴•+•=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=±．点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．n 34691 8783 螃\y20487 5007 倇 33351 8247 艇O31927 7CB7 粷CS实用文档。