数列的概念与表示法(一轮复习学案)

广东饶平二中2011高考第一轮学案：数列的概念一、知识归纳：1．数列的定义：数列是一类离散函数，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。

在直角坐标系中，其图象是一些离散的点，数列的能项公式就是相应函数的解析式。

2．数列的分类：（1）按数列的项数分是有限数列还是无限数列； （2）按数列的任意相邻两项之间的大小关系分类：有递增数列（n n a a ≥+1）；递减数列（n n a a ≤+1）；摆动数列；常数数列（各项都相等） 3．数列的通项公式：如果数列}{n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列的通项公式)(n f a n =揭示了数列}{n a 的第n 项n a 与n 的函数关系。

4．数列的递推公式：如果已知数列}{n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式叫这个数列的递推公式。

递推公式是数列特有的表示法，它包含两个部分：一是递推关系，二是初始条件。

两者缺一不可。

5．数列}{n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系：设数列}{n a 的前n 项和为n S ，即n n a a a S +++= 21，那么n S 与n a 有如下关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 二、学习要点：1． 通过对数列前几项的观察、分析，可以寻找第n 项n a 与n 的函数关系，归纳出数列的一个通项公式，这种方法叫不完全归纳法，用这种法求数列的通项时通常要联系到一些基本数列，如})1{(n-、}2{n、{21}n -等。

2．数列是一种特殊的函数，其图象是由离散的点组成，用函数观点证明数列的单调性只要比较1+n a 与n a 的大小关系则可。

3．理解数列}{n a 的前n 项和n S 的定义，正确掌握n S 与n a 的关系。

2022版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版第一节数列的概念与简单表示法[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念概念数列数列的项数列的通项通项公式前n项和2.数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．3．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，含义按照一定顺序排列的一列数数列中的每一个数数列{an}的第n项an数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n 项和Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分分类标准项数类型有穷数列无穷数列递增数列项与项间的大小关系[常用结论]an≥an－1，求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用an≥an＋1.an≤an－1，或an≤an＋1满足条件项数有限项数无限an＋1＞anan＋1＜anan＋1＝an其中n∈N某递减数列常数列(n≥2，n∈N)某(n≥2，n∈N)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．[基础自测]某1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“某”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(2)一个数列中的数是不可以重复的．(3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．[答案](1)某(2)某(3)某(4)√1112．已知数列，，，…，1某22某33某4nA.n＋，…，下列各数中是此数列中的项的是()()()()()1111B．C.D．35424854nn＋2B[该数列的通项an＝，结合选项可知B正确．]3．设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64A[a8＝S8－S7＝8－7＝15.故选A.]4．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋3582A.B．C.D．2353D[∵a1＝1，∴a2＝1＋－222－nan－1(n≥2)，则a5等于()a1＝1＋1＝2；a3＝1－＝1－＝；a222a4＝1＋＝1＋2＝3；a3a5＝1－＝1－＝.]a4335．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.21115n－4[{an}是以1为首项，5为公差的等差数列，∴an＝1＋(n－1)某5＝5n－4.]由an与Sn的关系求通项公式1221．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n＋n＋3，则数列{an}的通项公式an＝________.434712，n＝1152n＋12，n≥21247[当n＝1时，a1＝S1＝＋＋3＝.4312又当n≥2时，an＝Sn－Sn－11221n－＝n＋n＋3－43415＝n＋.2124712，n＝1，∴a＝15n＋212，n≥2.n22＋n－3＋3]212．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.33(－2)n－121[由Sn＝an＋得3321当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，331212∴an＝Sn－Sn－1＝an＋－an－1＋333322＝an－an－1.33即an＝－2an－1，(n≥2)．21又a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.33∴数列{an}是以首项为1，公比为－2的等比数列，∴an＝(－2) n－1.]23．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n－2n＋1，求an.[解]设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，当n＝1时，a1＝T1＝3某1－2某1＋1＝2，当n≥2时，2nan＝Tn－Tn－1＝3n－2n＋1－[3(n－1)－2(n－1)＋1]＝6n－5，226n－5因此an＝，n显然当n＝1时，不满足上式．2，n＝1，故数列的通项公式为an＝6n－5，n≥2.n[规律方法]已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式．易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．由递推关系式求数列的通项公式【例1】分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N)；(2)a1＝1，an＝某nn－1an－1(n≥2，n∈N某)；某(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N)．[解](1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝nn＋2(n≥2)．当n＝1时，a1＝某(3某1＋1)＝2符合公式，232n∴an＝n＋.22(2)当n≥2，n∈N时，某a2a3anan＝a1某某某…某a1a2an－123n－2n－1n＝1某某某…某某某＝n，12n－3n－2n－1当n＝1时，也符合上式，∴该数列的通项公式为an＝n.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3－1.[规律方法]由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且an＝f(n)，可用“累乘法”求an.an－1(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an ＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列．易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式．1(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋，则an等于() nA．2＋lnnC．2＋nlnn(2)若a1＝1，an＋1＝3an＋3(1)A(2)n·3－2·3nn－1n＋1B．2＋(n－1)lnnD．1＋n＋lnn，则an＝________.1n＋1，[(1)∵an＋1－an＝ln1＋＝lnnn23n，n≥2，∴a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，…，an－an－1＝ln12n－1∴a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝ln某某…某＝lnn，n－112∴an－a1＝lnnan＝2＋lnn(n≥2)．将n＝1代入检验有a1＝2＋ln1＝2与已知符合，故an＝2＋lnn.(2)因为an＋1＝3an＋3n＋1，所以n＋1＝n＋1，33an＋1anan＋1ana11所以n＋1－n＝1，又＝，3333an1所以数列n是以为首项，1为公差的等差数列．33an12所以n＝＋(n－1)＝n－，333所以an＝n·3－2·3数列的性质nn－1.]。

§6.1数列的概念及简单表示法命题趋势基础知识知识点数列的概念1.数列的定义按照排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式.4.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.递推公式如果已知数列{a n}的(或)，且任何一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n＝f(a n－1)或a n＝f(a n－1，a n－2)，那么这个式子叫做数列{a n}的递推公式.6.数列的前n项和S n与通项a n的关系(1)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ；巧学妙用两个易错点：单调性；最值.数列是自变量为正整数的特殊函数，利用函数思想求解数列问题应注意定义域的限制』 (1)已知数列{a n }的通项公式a n ＝7－3n ，则数列{a n }有最大值为________. (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，则S n 的最小值为________. 数列的两种表示方法：通项公式；递推公式.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.(3)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5…的一个通项公式a n ＝________.(4)数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，且a 1＝1，a 2＝2，则a 4＝________. 方法1·由数列递推关系式求通项公式的方法突破 方法归纳由递推公式求数列通项的常用方法(1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法.即利用恒等式a n ＝a 1＋ (a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)求通项公式.(2)形如a n ＋1＝a n f (n )，常可采用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1求通项公式.(3)形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0，1)的数列，常用构造法.其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )(其中x ＝db －1)，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n .(4)形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r (p ，q ，r 是常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp.若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为qp ，可用公式求通项；若p ≠r ，则采用(3)的办法来求.(5)形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ，q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列.将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n －a n －1＝f (n )，然后用累加法求得通项. 典例考向例1 (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.方法2·根据S n 求a n 的解题方略 方法归纳已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，则a n ＝________. 素养培养利用数列通项公式求数列最大(小)项示例 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，试问数列{a n }中有没有最大项？ 若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.——★ 参 考 答 案 ★——基础知识知识点 数列的概念 1.一定顺序 2. 有限 无限 5.第一项 前几项巧学妙用 (1)4『解析』因为{a n }是递减数列，当n ＝1时a n 有最大值为7－3×1＝4. (2)－12『解析』S n ＝⎝⎛⎭⎫n －722－494，所以当n ＝3或n ＝4时S n 取得最小值为14－494＝－12. (3) (－1)n ·1n （n ＋1）『解析』数列奇数项为负，偶数项为正，可得一个通项公式 a n ＝(－1)n ·1n （n ＋1）.(4) －1『解析』由a 2＝a 1＋a 3得a 3＝a 2－a 1＝1，由a 3＝a 2＋a 4得a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1. 典例考向例1 (1)n (2)3·2n －1－2『解析』(1)由(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴当n ≥2时，a n a n －1＝nn －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2. 将以上各式累乘求得a na 1＝n ，∴a n ＝n ，而n ＝1也适合. ∴数列的通项公式为a n ＝n .(2)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3·2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3·2n －2，…，a 3－a 2＝3·2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3·2n －2＋…＋3·2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3·2n －1－2(当n ＝1时，也满足). 方法2·根据S n 求a n 的解题方略例2(1)2n －1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2. 『解析』(1)∵S n ＝2a n －1，∴n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1(n ≥2).∵n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，∴a 1＝1. ∴数列{a n }是1为首项，2为公比的等比数列. ∴a n ＝2n －1.(2)∵a n ＋1＝3S n ，∴n ≥2时，a n ＝3S n －1， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n ， ∴a n ＋1＝4a n ，∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1. 数列{a n }从第二项起为等比数列， ∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)，a 1＝1.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2. 素养培养利用数列通项公式求数列最大(小)项 示例 解 法一 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－()n ＋1⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，即⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n≥n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1，（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n ≥（n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10. 又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.。

自主梳理1．数列的定义按照________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．1．一定顺序排列 每一个数 定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n 2．通项公式：如果数列{a n }的______与____之间的关系可以____________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．2.第n 项 n 用一个公式3．数列有三种表示法：它们分别是_________、________、________. .解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法 4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、__________；按项的增减规律分为________、________、__________和__________． 递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1______a n ；常数列⇔a n ＋1______a n . 按其他标准分类 有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列 a n 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < ＝ 5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1，，n ≥2.S 1 S n －S n －11.对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现.(3)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 2.数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *).自我检测1．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大 ( ) A ．10 B ．11 C ．10或11 D ．122.已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋156n(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是 ( )A.a 12B.a 13 C .a 12或a 13 D.不存在3.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于 ( )A.1B .－1C.5D.－54．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于 ( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21 5．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ·n 2＋n 2n ＋1 B ．a n ＝(－1)n·n n ＋32n ＋1C ．a n ＝(－1)n ·n ＋12－12n ＋1D ．a n ＝(－1)n·n n ＋22n ＋36．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是 ( )A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④7.已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__ a n ＝2n－1 (n ∈N *)________.8.已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第___7_____项. 9.若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝___.2n －11_______；数列{na n }中数值最小的项是第________项.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝___1n___.题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式探究点一 由数列前几项求数列通项例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…. (6)23，415，635，863，1099，…；解题导引 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5). (2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1， 因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n2或a n ＝1＋cos n π2.(6)原数列为222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…，∴a n ＝2n (2n )2－1＝2n4n 2－1.探究提高 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的各部分特征； ④各项符号特征等，并对此应多进行对比分析、从整体到局部多角度观察、归纳、联想..(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整.变式训练1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)2，5，22，11，…；(4)3,5,7,9，…；(5)12，34，78，1516，3132，…；(6)－1，32，－13，34，－15，36，…；(7)3,33,333,3 333，…. 解 (1)∵a 1＝3＝21＋1，a 2＝5＝22＋1，a 3＝9＝23＋1，…，∴a n ＝2n＋1.(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得 12，42，92，162，252，…， 观察知，各项的分子是对应项数的平方， ∴数列通项公式是a n ＝n 22.(3)将数列各项统一成f (n )的形式得 2，5，8，11，…；观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是a n ＝3n －1.(4)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(5)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(6)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3， 即奇数项为2－1，偶数项为2＋1， 所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1nn 为正奇数3nn 为正偶数.(7)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n－1).题型二 已知数列的递推公式求通项公式 例2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，(3)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．(4)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)；(5)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；解 (1)当n ＝1,2,3，…，n －1时，可得n －1个等式，a n －a n －1＝n －1，a n －1－a n －2＝n －2，…，a 2－a 1＝1，将其相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)．∴a n ＝a 1＋(1＋n －1)(n －1)2＝2＋n (n －1)2.(2)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1 (n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n2.(3)方法一 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2. 方法二 由2n －1a n ＝a n －1，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a n －1.∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2a n －2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫121a 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2 (4)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .(5)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.探究提高 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解. 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解. 变式训练2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式.(1) a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n .(2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3) 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1；(4)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3； (5) 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1；(6) 在数列{a n }中，a 1＝8，a 2＝2，且满足a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0.(7) 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n <12，2a n－112≤a n <1，若a 1＝67，则a 2 010的值为__37__．解 (1) ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n.∴a n －a n －1＝lnnn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……a 2－a 1＝ln 21，累加可得，a n －a 1＝ln nn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n .又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2.(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1a n＝n ＋1. ∴a n a n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1， ……a 3a 2＝3， a 2a 1＝2， a 1＝1.累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n ！. 故a n ＝n ！. (3) 将a n ＋1＝a n2a n ＋1取倒数得： 1a n ＋1＝2＋1a n，∴1a n ＋1－1a n＝2，又1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列.∴1a n ＝1＋2(n －1)，∴a n ＝12n －1.(4)由已知a n >0，在递推关系式两边取对数. 有lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 3， 令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 3， ∴b n ＋1＋lg 3＝2(b n ＋lg 3)， ∴{b n ＋lg 3}是等比数列， ∴b n ＋lg 3＝2n －1·2lg 3＝2nlg 3，∴b n ＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg a n ， ∴a n ＝32n－1.(5) 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列，∴a n －n ＝(a 1－1)4n －1，∴a n ＝4n －1＋n .(6) 将a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0变形为a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )，则数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝－6为首项，3为公比的等比数列，则a n ＋1－a n ＝－6·3n－1，利用累加法可得a n ＝11－3n.题型三 由a n 与S n 的关系求通项a n例3 （1）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，求{a n }的通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5； 又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝1，4n －5， n ≥2.（2） 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.求{a n }的通项公式.解 由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去. 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.探究提高 (1)已知{a n }的前n 项和S n ，求a n 时应注意以下三点：① a n 与S n 的关系式a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，求a n 时切勿漏掉n ＝1，即a 1＝S 1的情况．②由S n －S n －1＝a n 推得的a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”. ③由S n －S n －1＝a n 推得的a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2.(2)利用S n 与a n 的关系求通项是一个重要内容，应注意S n 与a n 间关系的灵活运用. 变式训练3 (1)已知{a n }的前n 项和S n ＝3n＋b ，求{a n }的通项公式．(2)已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n . 解 (1)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b (n ＝1)2·3n －1(n ≥2). (2)由2S n ＝a n ＋1，得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋122，当n ＝1时，a 1＝S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋122，得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋122， 整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵数列{a n }各项为正，∴a n ＋a n －1>0. ∴a n －a n －1－2＝0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1.(3) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2 (n －1) (n ∈N *). ①求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；②是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由.解 ①由a n ＝S n n＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1) (n ∈N *).当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)·a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，4为公差的等差数列. 于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n2＝2n 2－n (n ∈N *).②由S n ＝na n －2n (n －1)，得S nn＝2n －1 (n ∈N *)，∴S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1.令2n －1＝2 013，得n ＝1 007， 即存在满足条件的自然数n ＝1 007.题型四 用函数的思想方法解决数列问题数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性. 例4已知数列{a n }. (1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立.求实数k 的取值范围. (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值.(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，但自变量不连续. 解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N *上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决. (2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取. (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.(3)已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)，试问该数列{a n}有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．解 方法一 令⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧10n ＋10≥11n 11n ＋11≥10n ＋20⇔⎩⎪⎨⎪⎧n ≤10n ≥9，∴n ＝9或n ＝10时，a n 最大，即数列{a n }有最大项，此时n ＝9或n ＝10. 方法二 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，∴数列{a n }中有最大项，为第9、10项．有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法．求最大项时也可用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n≥a n －1；若求最小项，则用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1.数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值．方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1S n －S n －1 n ≥2.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法.数列的概念与简单表示法一、选择题1.下列说法正确的是( )A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C .数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D.数列0,2,4,6，…可记为{2n } 2.数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对所有正整数n 都成立，则a 10等于( ) A.34B .55C.89D.1003.如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A.a n ＝2(n 2＋n ＋1) B.a n ＝3·2nC.a n ＝3n ＋1 D .a n ＝2·3n二、填空题4.已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，a 36＝__4______.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1<S k <9 (k ∈N *)，则a 1的值为___－1_____，k 的值为__4____.6.已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝_ n 2＋1_______. 三、解答题7.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项.(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍).∴从第7项起各项都是正数. 一、选择题1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·…·a 2 011的值为 ( )A.－3B.1C.2D .32.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A.5B .72C.92D.1323.数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A .6116B.259C.2516D.31151．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．642．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是 ( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于 ( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2 4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于 ( ) A ．13B.113C ．11D.1115．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B .72 C.92 D.132二、填空题4.已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝__12______.5.数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )是______⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112________.6.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝__4______.7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝__________⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)2n －1 (n ≥2，n ∈N *)________. 8．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是__n 2－n ＋62__________．三、解答题7.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 7.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9. 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性.可知1>a 1>a 2>a 3>a 4； a 5>a 6>a 7>…>a n >1 (n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.9．写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…； (2)－1，32，－13，34，－15，36.9．解 (1)∵a 1＝1＋12，a 2＝2＋23，a 3＝3＋34，…，∴a n ＝n ＋n n ＋1(n ∈N *)．(2)∵a 1＝－2－11，a 2＝2＋12，a 3＝－2－13， a 4＝2＋14，…，∴a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn(n ∈N *)10．由下列数列{a n }递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)； (2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n(n ≥2)；(3)a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)．10．解 (1)由题意得，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2. 将上述各式等号两边累加得， a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2，故a n ＝n (n ＋1)2.(2)由题意得，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12.将上述各式累乘得，a n a 1＝1n，故a n ＝1n(3)由a n ＝2a n －1＋1，得a n ＋1＝2(a n －1＋1)， 又a 1＋1＝2≠0，所以a n ＋1a n －1＋1＝2，即数列{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n－111．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n . 11．(1)解 a 1＝S 1＝4对于n ≥2有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .a 1也适合， ∴{a n }的通项公式a n ＝4n将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1 (求b n 方法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1， T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，∴b n ＝12b n －1，b n ＝21－n(求b n 方法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n 得 T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n(T 1－2)＝－21－n ， T n ＝2－21－n ， b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n . b 1＝1也适合综上，{b n }的通项公式b n ＝21－n . (2)证明 方法一 由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n， 得c n ＋1c n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，∴c n ＋1c n <12·(2)2＝1，又c n ＝n 2·25－n >0，即c n ＋1<c n 方法二 由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2] ＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1< c n .。

数列的概念与简单表示法1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系； 3． 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n 项和的问题。

1．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想． 2．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．3．考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知S n 与a n 的关系求a n 等．1．数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．n S 与n a 的关系：若123n n S a a a a =++++ ，则n a =11,(1),,(2).n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩．6．数列是特殊的函数：在数列{}n a 中，对于 每一个正整数n 都有一个数n a 与之对应，因此，数列可以看成 定义域为自然数集或自然数集的子集 ，当自变量照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数()y f x =，如果(),(1,2,3,)f i i = 有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，(3)f ，．．．，()f n ，．．．．（强调有序性)．1. 已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的是( )．A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sin n π2 C ．a n ＝1－cos n π D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数0，n 为偶数解析 根据数列的前4项验证．答案 B2. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( )A ．1B ．9C ．10D ．55【解析】∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，∴S 1＋S 9＝S 10，整理得S 10－S 9＝a 10＝S 1＝a 1＝1.故选A.3.已知数列{a n }的前n 项和a n ＝n 2+kn ，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，则实数k 的取值范围是________． 答案 k>-3.4. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.5. 已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =3-。

§6.1数列的概念及简单表示法知识清单 1.数列的相关概念2.数列的表示方法{列表法:列表格表示n 与a n 的对应关系图象法:把点(n ,a n )画在平面直角坐标系中公式法{通项公式法:用公式表示数列的通项递推公式法:利用数列第n 项与它前一项或几项的关系表示数列 3.数列通项a n 与S n 之间的关系 (1)S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =∑i=1na i ;(2)a n ={a 1 (n =1),S n -S n -1 (n ≥2).4.数列的两个常用性质(1)单调性①递增数列:若∀n∈N*,a n+1>a n,则{a n}为;②递减数列:若∀n∈N*,a n+1<a n,则{a n}为;③常数列:若∀n∈N*,a n+1=a n,则{a n}为常数列;④摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.(2)周期性若a n+k=a n(n∈N*,k为正整数常数),则{a n}为,k为{a n}的一个周期.5.数列的函数特征数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2,3,4,…,n})的函数a n=f(n),当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数,数列的通项公式是相应函数的解析式,它的图象是_____________________.6.常用的数学方法与思想分类讨论思想、等价转化思想、函数与方程思想.基础自测1.已知数列的通项公式a n=n2-3n-1,n∈N*,则:(1)这个数列的首项是;(2)17是这个数列的第项;(3)这个数列的第项最小;(4)这个数列是不是一个等差数列(填“是”或“否”).2.数列√3,-2,√5,-√6,…的第10项为()A.-2√3B.2√3C.√11D.-√133.设等差数列{a n}的公差为d,若数列{2a1a n}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<04.设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=.考点1由数列的前几项归纳出数列的通项公式典例1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…(2)0.7,0.77,0.777,… (3)1,0,13,0,15,0,17,0,… (4)32,1,710,917,…考点2 数列通项a n 与S n 之间的关系典例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2(a n +1),则a 5= ( )A .-16B .-32C .32D .-64(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,Snn )(n ∈N *)均在函数y=12x+12的图象上,则a 2016= ( )A .2016B .2014C .1013D .1012考点3 由递推公式求通项公式典例3 (1)数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列且b n =a n+1-a n (n ∈N *).若b 3=-2,b 10=12,则a 8= ( ) A.0B.3C.8D.11(2)数列{a n }满足:a 1=1,且当n ≥2时,a n =n -1na n -1,则a 5=( )A.15B.16C.5D.6考点4 数列的性质典例4 (1)已知函数f (x )={(4-a2)x +4 (x ≤6),a x -5 (x >6)(a>0,a ≠1),数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),且{a n }是单调递增数列,则实数a 的取值范围是 ( )A.『7,8)B.(1,8)C.(4,8)D.(4,7)(2)数列{a n}满足:a1=3,a n-a n a n+1=1,A n表示{a n}前n项之积,则A2016=.数列的函数特性的应用,其中a,b,c均为正数,那么a n与a n+1的大小是典例1已知数列{a n}的通项公式为a n=anbn+c()A.a n>a n+1B.a n<a n+1C.a n=a n+1D.与n的取值有关——★参考答案★——知识清单4. (1) ①递增数列(2)周期数列5.一群孤立的点基础自测1.(1)-3 (2)6 (3)1或2 (4)否2.A『解析』观察得数列的通项公式为a n=(−1)n+1√n+2,当n=10时,a10=(−1)10+1√10+2=−2√3.3.D『解析』由数列{2a1a n}为递减数列可知:2a1a n+1<2a1a n⇒a1a n+1-a1a n<0⇒a1(a n+1-a n)<0,又等差数列{a n}的公差为d,所以a n+1-a n=d,从而有a1d<0.4.-1n『解析』因为a n+1=S n+1−S n,所以S n+1−S n=S n+1·S n,所以1S n+1−1S n=−1,即数列{1S n}是以−1为公差的等差数列,又1S1=1a1=−1,故1S n=−1+(n−1)(−1)=−n,所以S n=−1n.考点1由数列的前几项归纳出数列的通项公式典例1解观察数列各项与对应项号的关系,可从符号、分子、分母、平方关系等方面考查.(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为a n=(-1)n(6n-5).(2)将数列变形为79(1−0.1),79(1−0.01),…,∴a n=79(1-110n).(3)把数列改写成11,2,13,4,15,6,17,8,…,分母依次为1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列的通项可表示为an=1+(-1)n+12n.(4)将数列统一为32,55,710,917,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为b n=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为可得它的一个通项公式为a n=2n+1n2+1.考点2数列通项a n与S n之间的关系典例2(1)B『解析』利用a n={S1(n=1),S n-S n-1(n≥2)关系求解.当n=1时,a1=S1=2(a1+1)⇒a1=-2,当n≥2时,由S n=2(a n+1),得S n-1=2(a n-1+1),两式相减得a n=2a n-2a n-1⇒a n=2a n-1,所以数列{a n}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以a n=-2×2n-1=-2n,因此a5=-32.(2)A『解题思路』利用点在函数的曲线上构造关系式.由题可知S nn =12n+12,且S11=12+12=1,所以{S nn}是以1为首项,12为公差的等差数列,因此S n=12n2+12n,当n=1,a1=S1=1,当n≥2时,S n−1=12(n−1)2+12(n-1),两式相减得a n=n,从而得a2016=2016.考点3由递推公式求通项公式典例3(1)B『解析』∵{b n}为等差数列且b3=-2,b10=12,则b10-b3=7d=14,∴d=2,∴b n=b3+(n-3)d=2n-8,∴a n+1-a n=2n-8,故a8-a7=6,a7-a6=4,…,a2-a1=-6,把这7个式子进行累加得a8-a1=7(6-6)2=0,∴a8=a1=3.(2)A『解析』因为a1=1,且当n≥2时,a n=n-1n a n−1,则a na n-1=n-1n,所以a5=a5a4·a4a3·a3a2·a2a1·a1.即a5=45×34×23×12×1=15.考点4数列的性质典例4(1)C『解析』∵{a n }是单调递增数列, ∴{4-a2>0,a >1,f (6)=6(4-a2)+4<a 2,解得4<a<8.(2) 1『解析』利用关系式a n -a n a n +1=1求出前几项,观察找出周期再求解.由题意a 1=3,a n -a n a n +1=1得a 2=23,a 3=−12,a4=3,所以数列{a n }是以3为周期的数列,且a 1a 2a 3=-1,又2016=3×672,所以A 2016=(-1)672=1.数列的函数特性的应用典例1 B 『解析』由a n =an bn+c,可联想到函数f (x )=axbx+c的单调性来求解.由函数f (x )=axbx+c(a ,b ,c>0),当x>0时,f (x )可转化为f (x )=ab+cx,因为函数g (x )=cx (c>0)在(0,+∞)上单调递减,所以f (x )=a b+c x在区间(0,+∞)上单调递增,即函数f (x )=ax bx+c在区间(0,+∞)上单调递增,因此f (n+1)>f (n ),从而a n+1>a n .。

第6章 数列第一节 数列的概念与简单表示法[最新考纲] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法． 2．数列的分类 分类 标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限 无穷数列项数无限单调性递增数列 a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n 常数列 a n ＋1＝a n ＝c (常数)摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．5．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.[常用结论]1．数列{a n }是递增数列⇔a n ＋1＞a n 恒成立．2．数列{a n }是递减数列⇔a n ＋1＜a n 恒成立．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )(4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、教材改编1．数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝±1nB ．a n ＝(－1)n·1nC ．a n ＝(－1)n ＋11nD ．a n ＝1nB [由a 1＝－1，代入检验可知选B.]2．在数列{a n }中，已知a 1＝－14，a n ＋1＝1－1a n ，则a 3＝( )A ．－3 B.23 C ．5 D.45D [a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝1－15＝45.]3．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第6个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)给出，则a 5＝________.8 [a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝8.] ⊙考点1 由数列的前n 项归纳数列的通项公式解答具体策略：①相邻项的变化规律；②各项的符号规律和其绝对值的变化规律；③分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；④合理拆项；⑤结构不同的项，化异为同．根据下面各数列前n 项的值，写出数列的一个通项公式． (1)12，－34，78，－1516，3132，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)5,55,555,5555，…； (4)1,3,1,3，…；(5)23，415，635，863，1099，…； (6)－1,1，－2,2，－3,3，…. [解](1)数列中各项的符号可通过(－1)n ＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝(－1)n ＋12n－12n . (2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1)．(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是3，所以数列的一个通项公式为a n ＝2＋(－1)n.(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n －12n ＋1.(6)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n ＋12表示，数列的偶数项为1,2,3，…可用n2表示．因此a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12n 为奇数，n2n 为偶数.(1)记住常见数列的通项公式，有些数列可用常见数列表示，如T (3)．(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如T (6)． ⊙考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式 已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1，求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________.(1)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2 (2)－63 (3)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1n，n ≥2 [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝2a n ＋1得S 1＝2a 1＋1，即a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 又S n －1＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.所以数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列，所以S 6＝－1×1－261－2＝1－26＝－63.(3)当n ＝1时，由已知， 可得a 1＝21＝2，∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n， ① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n(n ≥2)．显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2.]a n ＝S n －S n －1只适用于n ≥2的情形，易忽略求a 1，造成错解，如T (1)，T (3)． 1.(2019·郑州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n，n ≥2 [由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，即S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，显然a 1＝3不满足上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.]2．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有2S n ＝a 2n ＋a n ，则a n ＝________.n [由2S n ＝a 2n ＋a n 得2S n －1＝a 2n －1＋a n －1， ∴2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， 即a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，又a n ＞0， ∴a n －a n －1＝1，又2S 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .]⊙考点3 由递推公式求数列的通项公式 由数列的递推公式求通项公式的常用方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，可用累加法求a n . (2)形如a n ＋1＝a n f (n )，可用累乘法求a n .(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，可构造等比数列求a n . (4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C，可通过两边同时取倒数，构造新数列求解． 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋8＋5＋2 ＝n 3n ＋12，∴a n ＝32n 2＋n 2.求解时，易错误地认为a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)造成错解．形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝nn ＋2a n ，求数列{a n }的通项公式．[解] 由a n ＋1＝nn ＋2a n 得a n ＋1a n ＝n n ＋2， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·4 ＝1n ＋1×1n ×2×1×4＝8nn ＋1， 即a n ＝8nn ＋1. 求解时易错误地认为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1，造成错解． 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.a n ＋1＝Aa n ＋B 可转化为a n ＋1＋k ＝A (a n ＋k )的形式，其中k 可用待定系数法求出．1.(2019·泰安模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则a n ＝________.2n －1＋n [由a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1得a n ＋1－a n ＝2n －1＋1，∴a n －a n －1＝2n －2＋1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋(n －1)＋2＝1－2n －11－2＋n ＋1＝2n －1＋n ，即a n ＝2n －1＋n .]2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则a n ＝________. 2 [∵a n ＋1＝2na n ，∴a n ＋1a n ＝2n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2，即a n ＝2.]3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________. 2n ＋1－3 [由a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．又a 1＝1，∴a 1＋3＝4.故数列{a n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.]⊙考点4 数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值．(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第 2 020项为________．(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n，则S 2 020＝________.(1)45 (2)0 [(1)因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝25，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 020＝a 505×4＝a 4＝45.(2)∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n ，∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3， a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }是周期为3的周期数列， 且a 1＋a 2＋a 3＝0，则S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.]求解时，易算错数列的周期，可计算数列的前几项，直至找到和a1相同的项a k，则数列的周期为k－1.n1n＋1n n 2 0200 [∵a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1＝(a n－1)2，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的周期数列，∴a2 020＝a2＝0.]2．(2019·青岛模拟)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 020项之和S2 020＝________.2 010 [由题意知a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，因此数列是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，∴S2 020＝S6×336＋4＝336×0＋a1＋a2＋a3＋a4＝2 010.]。

城东蜊市阳光实验学校教案57数列的概念与简单表示法〔1〕一、课前检测〔5m 〕1.〔2021年东城期末5〕在ABC ∆中，假设sin A C =， 30B =，那么角A等于〔〕A ．30B ．45C ．60D ．120考点：正、余弦定理〔处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180︒,一般用正、余弦定理施行边角互化〕 ⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===〔R 2是ABC ∆外接圆直径〕注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

⑵余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=等三个；bca cb A 2cos 222-+=等三个。

考点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.考点：同角三角函数的根本关系1cos sin 22=+αα，αααcos sin tan =，1cot tan =αα考点：特殊角的三角函数值考点：等边对等角〔初中几何定理〕略解：方法1由于sin A C =， 30B =，所以A)-sin(1503sinA =所以，A=120 方法2由sinC c sinA a =得c 3a 3sinCsinAc a =⇒==故22222222c 3c -4c cos30c c 32-c 3c 2accosB -c a b ==⨯⨯⨯+=+=即 120A 30C B c b=⇒==⇒=〔或者者用余弦定理求21-cosB =也行〕。

高三数学一轮复习学案：数列的基本概念一、考试要求：（1）掌握数列及通项公式的概念（2）理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系二、知识梳理①数列的定义②数列的通项公式③数列的分类④数列可以看作是一个定义域为 的函数当自变量从 到 依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一串 的点。

⑤递推公式的定义是三、基础检测：1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的( )A ．第18项B ．第19项C ．第17项D ．第20项2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)23．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 17＝( ) A ．1 B ．2 C.12 D ．2－9874．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞0B ．k ＞－1C ．k ＞－2D ．k ＞－35．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n ≤2的正整数n 的集合为A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4} 6．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝( ) A.40202011 B.40182010 C.20102011 D.200920107．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{ a n }的通项公式是________．8．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝________，S 2010＝________.10．已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n ，若b n ＝a n n ，试求数列{b n }的通项公式．12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式．(2)求n 为何值时a n 最小．。

豐【考纲点击】1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2. 了解数列是白变量为正整数的一类特殊函数.*【考点梳理】 I 1. 数列的定义 ；按 ___________ 着的一列数叫数列，数列中的 _________ 都叫这个数列的I 项；在函数意义下，数列是 ________________ 的函数，数列的一般形；式为： _________________________ ，简记为｛%｝,其中an 是数列的第__项・1 2. 通项公式： ；如杲数列｛知｝的 _____ 与—之间的关系可以 ________________ 来表示，I 那么这个式子叫做数列的通项公式.但并非每个数列都有通项公式，也并非: 都是唯一的.3. 数列常用表示法有： _____________4. 数列的分类:数列按项数来分，分为 ___________为 ____________ 、 ___________ 、 ____递增数列。

如+|—a n ；递减数列O 如+1 5. an 与Sn 的关系:*【考点自测】 Q ] 5741. 已知数列一1, |, -y, y,…按此规律，则这个数列的通项公式是5.1数列的概念与简单表示 学习笔记；按项的增减规律分; ___ 和 ________ . a n ;常数列 <=>如+1 __ a n已知Sn ，则a n =,n=l,【典例精析】例1写出下列数列的一•个通项公式, 使它的前几项分别是下列各数:八2 4 6 ⑴予I?务8 10 63J莎_8, 25例2根据下列条件，写出该数列的通项公式.(1)Q] = 1, ci n+\ —3a H-\-2(2)。

1=2, a n+1=a n+n；(3)di = l,2" b“ = d“_](/?22).例3.(1)已知数列｛如｝的前兀项和S“=2/_3H +1,求｛切｝的通项公式.学习笔记(2)已知仏｝的前料项和S n=3n+b9求｛如｝的通项公式.1.写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33,・・・(2)72,诉，2品・・・(3)1,0,1,0,…2.根据下列条件，确定数列｛為｝的通项公式. (1 )a 1 = 1, 2a n+ j =ci n— I ；(2)a i = l, a“+i = (M + 1 )cin；(n(3)d] =2, a n+\=a“+ln 1 «3.(1)已知数列⑺｝的前71项和s n=2n2-3n+k9求｛给｝的通项公式.(2)已知在正项数列｛给｝中，S”表示前死项和且2血=為+1,求切一、填空题（每小题6分，共48分）1. （2010-安徽改编）设数列｛如的前〃项和S 产汽 则心的值为 _______ ・2. （2009-北京）已知数列｛。

城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学一轮复习精品教案――数列〔附高考预测〕一、本章知识构造： 二、重点知识回忆 １．数列的概念及表示方法〔１〕定义：按照一定顺序排列着的一列数．〔２〕表示方法：列表法、解析法〔通项公式法和递推公式法〕、图象法．〔３〕分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．〔４〕n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．2．等差数列和等比数列的比较〔１〕定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数〔不为0〕的数列叫做等比数列． 〔２〕递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，．〔３〕通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．〔４〕性质等差数列的主要性质：①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列．②假设m n p q +=+，那么()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．③()()nm a a n m d m n *-=-∈N ，．④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列．等比数列的主要性质：①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或者者101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或者者1001a q >⎧⎨<<⎩时，为递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列．②假设m n p q +=+，那么()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，假设2m n p +=，那么2m n p a a a =·．③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ，，． ④232k kk k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，假设k 为偶数，不是等比数列．假设k 为奇数，是公比为1-的等比数列．三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1.〔2021模拟〕数列.12}{2n n S n a nn -=项和的前〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕求数列.|}{|n n T n a 项和的前解：〔1〕当111112,1211=-⨯===S a n时；、当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、〔2〕令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；当||||||||||,67621n n a a a a a T n++++++=> 时综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n点评：此题考察了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。

第1节数列的概念与简单表示法考试要求1。

了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。

知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

（2）递推公式：如果已知数列{a n｝的第1项（或前几项），且从第二项(或某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[常用结论与微点提醒]1。

数列的最大（小)项，可以用错误!(n≥2，n∈N＊）错误!求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解.2.数列是按一定“次序"排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数"的排列顺序有关。

3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。

诊断自测1。

判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”)（1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()（2)1，1，1，1,…，不能构成一个数列.（)（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列。

（）（4）如果数列｛a n｝的前n项和为S n，则对任意n∈N＊,都有a n＋1＝S n＋1－S n。

（）解析（1）数列:1,2,3和数列：3，2,1是不同的数列.(2）数列中的数是可以重复的,可以构成数列.(3）数列可以是常数列或摆动数列.答案（1)×(2)×（3)×（4）√2。

知识点考纲下载数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.了解数列是自变量为正整数的一类函数.等差数列理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系.等比数列理解等比数列的概念.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.了解等比数列与指数函数的关系.１．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{a n}中，S n＝a１＋a２＋…＋a n列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点（n，a n）画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a１和a n与a n＋１的关系式或a１，a２和a n—１，a n，a n＋１的关系式等表示数列的方法３．n n若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝错误!４．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋１>a n其中n∈N*递减数列a n＋１<a n常数列a n＋１＝a n按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．（）（２）所有数列的第n项都能使用通项公式表示．（）（３）数列{a n}和集合{a１，a２，a３，…，a n}是一回事．（）（４）若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．（）（５）一个确定的数列，它的通项公式只有一个．（）（6）若数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＝S n—S n—１.（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√（５）×（6）×在数列{a n}中，a１＝１，a n＝１＋错误!（n≥２），则a４＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意知，a１＝１，a２＝１＋错误!＝２，a３＝１＋错误!＝错误!，a４＝１＋错误!＝错误!.已知数列{a n}的通项公式为a n＝n２—8n＋１５，则３（）A．不是数列{a n}中的项Ｂ．只是数列{a n}中的第２项Ｃ．只是数列{a n}中的第6项Ｄ．是数列{a n}中的第２项或第6项解析：选Ｄ．令a n＝３，即n２—8n＋１５＝３，解得n＝２或n＝6，故３是数列{a n}中的第２项或第6项．若数列{a n}的通项公式为a n＝错误!，那么这个数列是__________数列．（填“递增”或“递减”或“摆动”）解析：法一：令f（x）＝错误!，则f（x）＝１—错误!在（0，＋∞）上是增函数，则数列{a n}是递增数列．法二：因为a n＋１—a n＝错误!—错误!＝错误!＞0，所以a n＋１＞a n，所以数列{a n}是递增数列．答案：递增数列１，错误!，错误!，错误!，错误!，…的一个通项公式a n＝________．解析：由已知得，数列可写成错误!，错误!，错误!，…，故通项公式可以为错误!.答案：错误!由a n与S n的关系求通项公式a n（高频考点）a n与S n关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．高考对a n与S n关系的考查主要有以下两个命题角度：（１）利用a n与S n的关系求通项公式a n；（２）利用a n与S n的关系求S n.角度一利用a n与S n的关系求通项公式a n已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，且对任意n∈N*，均有a n，S n，a错误!成等差数列，则a n＝________．【解析】因为a n，S n，a错误!成等差数列，所以２S n＝a n＋a错误!，当n＝１时，２S１＝２a１＝a１＋a错误!，又a１>0，所以a１＝１，当n≥２时，２a n＝２（S n—S n—１）＝a n＋a错误!—a n—１—a错误!，所以（a错误!—a错误!）—（a n＋a n—１）＝0，所以（a n＋a n—１）（a n—a n—１—１）＝0，又a n＋a n—１>0，n≥２，所以a n—a n—１＝１，n≥２，所以{a n}是等差数列，其公差为１，因为a１＝１，所以a n＝n（n∈N*）．【答案】n角度二利用a n与S n的关系求S n设S n是数列{a n}的前n项和，且a１＝—１，a n＋１＝S n S n＋１，则S n＝________．【解析】由已知得a n＋１＝S n＋１—S n＝S n＋１S n，两边同时除以S n＋１S n，得错误!—错误!＝—１，故数列错误!是以—１为首项，—１为公差的等差数列，则错误!＝—１—（n—１）＝—n，所以S n＝—错误!.【答案】—错误!错误!（１）已知S n求a n的三个步骤１先利用a１＝S１求出a１.２用n—１替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n—S n—１（n≥２）便可求出当n≥２时a n的表达式．３注意检验n＝１时的表达式是否可以与n≥２的表达式合并．（２）S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．１利用a n＝S n—S n—１（n≥２）转化为只含S n，S n—１的关系式，再求解．２利用S n—S n—１＝a n（n≥２）转化为只含a n，a n—１的关系式，再求解．１．已知数列{a n}的前n项和S n＝３n＋１，则a n＝________．解析：当n＝１时，a１＝S１＝３＋１＝４；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋１）—（３n—１＋１）＝２·３n—１.当n＝１时，２×３１—１＝２≠a１，所以a n＝错误!答案：错误!２．已知数列{a n}的前n项和为S n，a１＝１，S n＝２a n＋１，则S n＝________．解析：法一：因为S n＝２a n＋１，所以当n≥２时，S n—１＝２a n，所以a n＝S n—S n—１＝２a n＋１—２a n（n≥２），即错误!＝错误!（n≥２），又a２＝错误!，所以a n＝错误!×错误!错误!（n≥２）．当n＝１时，a１＝１≠错误!×错误!错误!＝错误!，所以a n＝错误!所以S n＝２a n＋１＝２×错误!×错误!错误!＝错误!错误!.法二：因为S１＝a１，a n＋１＝S n＋１—S n，则S n＝２（S n＋１—S n），所以S n＋１＝错误!S n，所以数列{S n}是首项为１，公比为错误!的等比数列，所以S n＝错误!错误!.答案：错误!错误!３．已知数列{a n}满足a１＋２a２＋３a３＋４a４＋…＋na n＝３n２—２n＋１，求a n.解：设a１＋２a２＋３a３＋４a４＋…＋na n＝T n，当n＝１时，a１＝T１＝３×１２—２×１＋１＝２，当n≥２时，na n＝T n—T n—１＝３n２—２n＋１—＝6n—５，因此a n＝错误!，显然当n＝１时，不满足上式．故数列的通项公式为a n＝错误!由递推关系求数列的通项公式分别求出满足下列条件的数列的通项公式．（１）a１＝0，a n＋１＝a n＋（２n—１）（n∈N*）；（２）a１＝１，a n＝错误!a n—１（n≥２，n∈N*）；（３）a１＝１，a n＋１＝３a n＋２（n∈N*）．【解】（１）a n＝a１＋（a２—a１）＋…＋（a n—a n—１）＝0＋１＋３＋…＋（２n—５）＋（２n—３）＝（n—１）２，所以数列的通项公式为a n＝（n—１）２.（２）当n≥２，n∈N*时，a n＝a１×错误!×错误!×…×错误!＝１×错误!×错误!×…×错误!×错误!×错误!＝n，当n＝１时，也符合上式，所以该数列的通项公式为a n＝n.（３）因为a n＋１＝３a n＋２，所以a n＋１＋１＝３（a n＋１），所以错误!＝３，所以数列{a n＋１}为等比数列，公比q＝３，又a１＋１＝２，所以a n＋１＝２·３n—１，所以该数列的通项公式为a n＝２·３n—１—１．若本例（３）条件a n＋１＝３a n＋２变为a n＋１＝３a n＋３n＋１，求a n.解：因为a n＋１＝３a n＋３n＋１，所以错误!＝错误!＋１，所以数列{错误!}是以错误!为首项，１为公差的等差数列．所以错误!＝错误!＋（n—１）＝n—错误!，所以a n＝n·３n—２·３n—１.错误!由数列递推式求通项公式的常用方法１．（２0１8·兰州市诊断考试）已知数列{a n}，{b n}，若b１＝0，a n＝错误!，当n≥２时，有b n＝b n—１＋a n—１，则b２0１7＝________．解析：由b n＝b n—１＋a n—１得b n—b n—１＝a n—１，所以b２—b１＝a１，b３—b２＝a２，…，b n—b n—１＝a n—１，所以b２—b１＋b３—b２＋…＋b n—b n—１＝a１＋a２＋…＋a n—１＝错误!＋错误!＋…＋错误!，即b n—b１＝a１＋a２＋…＋a n—１＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝１—错误!＝错误!，因为b１＝0，所以b n＝错误!，所以b２0１7＝错误!.答案：错误!２．在数列{a n}中，a１＝１，a n＋１＝２n a n，则a n＝________．解析：由于错误!＝２n，故错误!＝２１，错误!＝２２，…，错误!＝２n—１，将这n—１个等式叠乘，得错误!＝２１＋２＋…＋（n—１）＝２错误!，故a n＝２错误!.答案：２错误!数列的性质（高频考点）数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度：（１）数列的单调性；（２）数列的周期性；（３）数列的最值．角度一数列的单调性已知{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n＝n２＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】{a n}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有a n＋１＞a n，即（n＋１）２＋λ（n＋１）＞n２＋λn，整理，得２n＋１＋λ＞0，即λ＞—（２n＋１）．（*）因为n≥１，所以—（２n＋１）≤—３，要使不等式（*）恒成立，只需λ＞—３．【答案】（—３，＋∞）角度二数列的周期性设数列{a n}满足：a n＋１＝错误!，a２0１8＝３，那么a１＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!【解析】设a１＝x，由a n＋１＝错误!，得a２＝错误!，a３＝错误!＝错误!＝—错误!，a４＝错误!＝错误!＝错误!，a５＝错误!＝错误!＝x＝a１，所以数列{a n}是周期为４的周期数列．所以a２0１8＝a５0４×４＋２＝a２＝错误!＝３．解得x＝错误!.【答案】B角度三数列的最值已知数列{a n}的前n项和S n＝—错误!n２＋kn，k∈N*，且S n的最大值为8．试确定常数k，并求数列{a n}的通项公式．【解】因为S n＝—错误!n２＋kn＝—错误!（n—k）２＋错误!k２，其中k是常数，且k∈N*，所以当n ＝k时，S n取最大值错误!k２，故错误!k２＝8，k２＝１6，因此k＝４，从而S n＝—错误!n２＋４n.当n＝１时，a１＝S１＝—错误!＋４＝错误!；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝错误!—错误!＝错误!—n.当n＝１时，错误!—１＝错误!＝a１，所以a n＝错误!—n.错误!（１）利用递推公式探求数列的周期性的两种思想思想１：根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后，利用a n＋T＝a n写出周期（n＋T）—n ＝T.思想２：利用递推公式“逐级”递推，直到出现a n＋T＝a n，即得周期T＝（n＋T）—n.（２）判断数列的单调性的两种方法１．已知数列{a n}满足a n＋１＝a n＋２n，且a１＝３３，则错误!的最小值为（）Ａ．２１Ｂ．１0Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由已知条件可知，当n≥２时，a n＝a１＋（a２—a１）＋（a３—a２）＋…＋（a n—a n—１）＝３３＋２＋４＋…＋２（n—１）＝n２—n＋３３，又n＝１时，a１＝３３满足此式．所以错误!＝n＋错误!—１．令f（n）＝错误!＝n＋错误!—１，则f（n）在上为减函数，在（２0１7·高考全国卷Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了３8１盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的２倍，则塔的顶层共有灯（）A．１盏Ｂ．３盏C．５盏Ｄ．9盏【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝３8１，公比q＝２，依题意，得错误!＝３8１，解得a１＝３．【答案】B错误!解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，即数列问题，利用数列的通项公式及求和公式求解．１．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分５钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）Ａ．错误!钱Ｂ．错误!钱Ｃ．错误!钱Ｄ．错误!钱解析：选Ｄ．设等差数列{a n}的首项为a１，公差为d，依题意有错误!解得错误!２．（２0１8·新疆第二次适应性检测）《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第２２题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈”（注：从第２天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织５尺布，现一月（按３0天计）共织３90尺布，则第３0天比第一天多织布的尺数是（）Ａ．１9 Ｂ．１8Ｃ．１7 Ｄ．１6解析：选Ｄ．依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{a n}，其中a１＝５，S３0＝错误!＝３90，a１＋a３0＝２6，a３0＝２6—a１＝２１，a３0—a１＝１6．错误!数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．数列的单调性的判断（１）作差比较法．a n＋１—a n>0⇔数列{a n}是递增数列；a n＋１—a n<0⇔数列{a n}是递减数列；a n＋１—a n ＝0⇔数列{a n}是常数列．（２）作商比较法．当a n>0时，则错误!>１⇔数列{a n}是递增数列；错误!<１⇔数列{a n}是递减数列；错误!＝１⇔数列{a n}是常数列．当a n<0时，则错误!>１⇔数列{a n}是递减数列；错误!<１⇔数列{a n}是递增数列；错误!＝１⇔数列{a n}是常数列．易错防范（１）数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．（２）易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．１．已知数列１，２，错误!，错误!，错误!，…，则２错误!在这个数列中的项数是（）Ａ．１6 Ｂ．２４Ｃ．２6 Ｄ．２8解析：选Ｃ．因为a１＝１＝错误!，a２＝２＝错误!，a３＝错误!，a４＝错误!，a５＝错误!，…，所以a n＝错误!.令a n＝错误!＝２错误!＝错误!，解得n＝２6．２．在数列{a n}中，a１＝１，a n a n—１＝a n—１＋（—１）n（n≥２，n∈N*），则错误!的值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由已知得a２＝１＋（—１）２＝２，所以２a３＝２＋（—１）３，a３＝错误!，所以错误!a＝错误!＋（—１）４，a４＝３，所以３a５＝３＋（—１）５，所以a５＝错误!，所以错误!＝错误!×错误!４＝错误!.３．（２0１8·长沙市统一模拟考试）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了２４6个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为３升，下面三节的容积之和为４升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第２节，第３节，第8节竹子的容积之和为（）Ａ．错误!升Ｂ．错误!升Ｃ．错误!升Ｄ．错误!升解析：选Ａ．自上而下依次设各节竹子的容积分别为a１，a２，…，a9，依题意有错误!，因为a２＋a３＝a＋a４，a7＋a9＝２a8，故a２＋a３＋a8＝错误!＋错误!＝错误!.选Ａ．１４．数列{a n}中，如果存在a k，使得a k＞a k—１且a k＞a k＋１成立（其中k≥２，k∈N*），则称a k为数列{a n}的峰值．若a n＝—３n２＋１５n—１8，则{a n}的峰值为（）Ａ．0 Ｂ．４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为a n＝—３错误!错误!＋错误!，且n∈N*，所以当n＝２或n＝３时，a n取最大值，最大值为a２＝a３＝0．故选Ａ．５．（２0１8·广东省五校协作体第一次诊断考试）数列{a n}满足a１＝１，且a n＋１＝a１＋a n＋n（n∈N*），则错误!＋错误!＋…＋错误!等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由a１＝１，a n＋１＝a１＋a n＋n可得a n＋１—a n＝n＋１，利用累加法可得a n—a１＝错误!，所以a n＝错误!，所以错误!＝错误!＝２错误!，故错误!＋错误!＋…＋错误!＝２错误!＝２错误!＝错误!，选Ａ．6．已知数列{a n}为错误!，错误!，—错误!，错误!，—错误!，错误!，…，则数列{a n}的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为２１，２２，２３，２４，…，易看出从第２项起，每一项的分子都比分母少３，且第１项可变为—错误!，故原数列可变为—错误!，错误!，—错误!，错误!，…，故其通项公式可以为a n ＝（—１）n·错误!.答案：a n＝（—１）n·错误!7．若数列{a n}满足a１·a２·a３·…·a n＝n２＋３n＋２，则数列{a n}的通项公式为________．解析：a１·a２·a３·…·a n＝（n＋１）（n＋２），当n＝１时，a１＝6；当n≥２时，错误!故当n≥２时，a n＝错误!，所以a n＝错误!答案：a n＝错误!8．已知数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a错误!—２a n＋１（n∈N*），则a２0１8＝________．解析：因为a１＝１，所以a２＝（a１—１）２＝0，a３＝（a２—１）２＝１，a４＝（a３—１）２＝0，…，可知数列{a n}是以２为周期的周期数列，所以a２0１8＝a２＝0．答案：09．已知数列{a n}的前n项和S n＝２n＋１—２．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）设b n＝a n＋a n＋１，求数列{b n}的通项公式．解：（１）当n＝１时，a１＝S１＝２２—２＝２；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２n＋１—２—（２n—２）＝２n＋１—２n＝２n.因为a１也适合此等式，所以a n＝２n（n∈N*）．（２）因为b n＝a n＋a n＋１，且a n＝２n，a n＋１＝２n＋１，所以b n＝２n＋２n＋１＝３·２n.１0．已知数列{a n}满足前n项和S n＝n２＋１，数列{b n}满足b n＝错误!且前n项和为T n，设c n＝T２n＋１—T n.（１）求数列{b n}的通项公式；（２）判断数列{c n}的增减性．解：（１）a１＝２，a n＝S n—S n—１＝２n—１（n≥２）．所以b n＝错误!（２）因为c n＝b n＋１＋b n＋２＋…＋b２n＋１＝错误!＋错误!＋…＋错误!，所以c n＋１—c n＝错误!＋错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＜0，所以c n＋１＜c n，所以数列{c n}为递减数列．１．（２0１8·湖南岳阳模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a１＝１，S n＝错误!，则a２0１7＝（）Ａ．２0１6 Ｂ．２0１7Ｃ．４0３２Ｄ．４0３４解析：选Ｂ．由题意知n≥２时，a n＝S n—S n—１＝错误!—错误!，化为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝…＝错误!＝１，所以a n＝n.则a２0１7＝２0１7．故选Ｂ．２．（２0１8·湖北六校模拟）已知数列{a n}满足：a１＝１，a n＋１＝错误!（n∈N*）．若b n＋１＝（n—２λ）·错误!（n∈N*），b１＝—错误!λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）Ａ．λ<错误!Ｂ．λ<１Ｃ．λ<错误!Ｄ．λ<错误!解析：选Ａ．因为数列{a n}满足：a１＝１，a n＋１＝错误!（n∈N*），所以a n>0，错误!＝错误!＋１，则错误!＋１＝２错误!，所以数列错误!是等比数列，且首项为错误!＋１＝２，公比为２，所以错误!＋１＝２n.所以b n＋１＝（n—２λ）错误!＝（n—２λ）·２n（n∈N*），所以b n＝（n—１—２λ）·２n—１（n≥２），因为数列{b n}是单调递增数列，所以b n＋１>b n，所以（n—２λ）·２n>（n—１—２λ）·２n—１（n≥２），可得λ<错误!（n≥２），所以λ<错误!，又当n＝１时，b２>b１，所以（１—２λ）·２>—错误!λ，解得λ<错误!，综上，λ的取值范围是λ<错误!，故选Ａ．３．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝１时，有１个，n＝２时，有３个；n＝３时，有6个；n＝４时，有１0个；…，所以a n＝１＋２＋３＋４＋…＋n＝错误!.答案：a n＝错误!４．（２0１8·成都市第二次诊断性检测）在数列{a n}中，a１＝１，a n＝错误!a n—１（n≥２，n∈N*），则数列错误!的前n项和T n＝________．解析：由题意知错误!＝错误!＝错误!，所以a n＝a１×错误!×错误!×…×错误!＝１×错误!×错误!×…×错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝２错误!，所以数列错误!的前n项和T n＝２（错误!—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＋错误!—错误!）＝２错误!＝错误!.答案：错误!５．已知数列{a n}满足a１＝１，a２＝—１３，a n＋２—２a n＋１＋a n＝２n—6．（１）设b n＝a n＋１—a n，求数列{b n}的通项公式；（２）求n为何值时，a n最小．解：（１）由错误!得b n＋１—b n＝２n—6，b１＝a２—a１＝—１４．当n≥２时，b n＝b１＋（b２—b１）＋（b３—b２）＋（b４—b３）＋…＋（b n—b n—１）＝—１４＋（２×１—6）＋（２×２—6）＋（２×３—6）＋…＋＝—１４＋２×错误!—6（n—１）＝n２—7n—8，当n＝１时，上式也成立．所以数列{b n}的通项公式为b n＝n２—7n—8．（２）由（１）可知a n＋１—a n＝n２—7n—8＝（n＋１）（n—8），当n<8时，a n＋１<a n，即a１>a２>a３>…>a8，当n＝8时，a9＝a8，当n>8时，a n＋１>a n，即a9<a１0<a１１<…所以当n＝8或n＝9时，a n的值最小．6．设数列{a n}的前n项和为S n.已知a１＝a（a≠３），a n＋１＝S n＋３n，n∈N*.（１）设b n＝S n—３n，求数列{b n}的通项公式；（２）若a n＋１≥a n，n∈N*，求a的取值范围．解：（１）依题意得S n＋１—S n＝a n＋１＝S n＋３n，即S n＋１＝２S n＋３n，由此得S n＋１—３n＋１＝２（S n—３n），即b n＋１＝２b n，又b１＝S１—３＝a—３，因此，所求通项公式为b n＝（a—３）２n—１，n∈N*.（２）由（１）可知S n＝３n＋（a—３）２n—１，n∈N*，于是，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝３n＋（a—３）２n—１—３n—１—（a—３）２n—２＝２×３n—１＋（a—３）２n—２，a n＋１—a n＝４×３n—１＋（a—３）２n—２＝２n—２错误!，所以，当n≥２时，a n＋１≥a n⇒１２错误!错误!＋a—３≥0⇒a≥—9，又a２＝a１＋３＞a１，a≠３．所以，所求的a的取值范围是[—9，３）∪（３，＋∞）．。

§6.1数列的概念及简单表示法知识梳理1．数列的有关概念(1)数列的定义按照_____________排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的______．(2)数列的分类数列有三种表示法，它们分别是_________、__________和_______________．2．数列的通项公式 (1)数列的通项公式如果数列{}a n 的第n 项与____________之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧______，n ＝1，_________，n ≥2.对点检测1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)数列{}a n 和集合{}a 1，a 2，a 3，…，a n 表达的意义相同．( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)如果数列{}a n 的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )(4)在数列{}a n 中，如果对于任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a mn ＋1，则当a 1＝1时，a 2＝2.( ) (5)若已知数列{}a n 的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1则可以写出数列{}a n 的任何一项．( )2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{}a n 中的项 B ．只是数列{}a n 中的第2项 C ．只是数列{}a n 中的第6项 D ．是数列{}a n 中的第2项或第6项3．数列{}a n 中，a 1＝1，对所有的n ∈N *，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A ．259B ．2516C ．3115D ．6116考点一 由数列的前几项求数列的通项公式 归纳总结求数列的通项公式应关注的四个特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号的特征．再依据这些特征进行归纳、化归、联想． 例1 (1)已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1(1)2n+-，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④(2)写出下面各数列的一个通项公式：①3,5,7,9，…；②12，34，78，1516，3132，…； ③－1，32，－13，34，－15，36，…；④3,33,333,3 333，….考点二 由递推公式求通项公式 解题技巧由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .(3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{}a n ＋k .(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．(5)形如a n ＋1＋a n ＝f (n )的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后按奇偶分类讨论即可． 例2 根据下列条件，确定数列{}a n 的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)；(2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.考点三 a n 与S n 关系的应用 归纳总结数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．画龙点睛：若S 0＝0，则a n 不用分段函数的形式表示；若S 0≠0，则a n 一定是用分段函数的形式表示．例3 (1)数列的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝____________. (2)已知数列的前n 项和为S n ，求的通项公式． ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n ＋b .例4 (1)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B ．⎝⎛⎭⎫32n －1 C ．⎝⎛⎭⎫23n －1 D ．12n －1(2)设S n 是正项数列{}a n 的前n 项和，且a n 和S n 满足4S n ＝(a n ＋1)2(n ＝1,2,3，…)， 则S n ＝______.——★ 参 考 答 案 ★——知识梳理1． (1) 一定顺序 项 (2)有限 无限 > <(3) 列表法 图象法 通项公式法 2．(1) 序号n (2)S 1 S n －S n －1对点检测1． (1)× (2)√(3)√(4)√(5)√『解析』(1)错误．数列{a n }是表示按照一定顺序排列的一列数，为a 1，a 2，a 3，…，a n ，而集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }只表明该集合中有n 个元素，数列中的项有顺序，集合中的元素没有顺序．(2)正确．根据数列的前几项归纳出数列的通项公式不一定唯一，可以有多个，有的数列没有通项公式．(3)正确．根据数列的前n 项和的定义可知．(4)正确．在a m ＋n ＝a mn ＋1中，令m ＝n ＝1得a 2＝a 1＋1＝1＋1＝2.(5)正确．在已知递推公式中，令n ＝1得a 2＝12a 1－1，而a 2＝1解得a 1＝1，同理可得a n ＝1. 2． D『解析』令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项，故选D ． 3． D『解析』∵a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1a 2a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝a 1a 2a 3·…·a n a 1a 2a 3·…·a n －1＝22(1)n n - (n ≥2)，∴a 3＝94，a 5＝2516， ∴a 3＋a 5＝94＋2516＝3616＋2516＝6116.例1 (1)A『解析』(1)检验知①②③都是所给数列的通项公式． (2)解 ①各项式减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1. ②每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,5，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.④将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．例2 解 (1)∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘，得 a n ＝a 1×12×23×…×n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(31)2n n + (n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合上式，∴a n ＝32n 2＋n 2.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3.∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.例3 (1) ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.『解析』当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－『(n －1)2＋1』＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－『2(n －1)2－3(n －1)』＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.例4 (1)B(2) n 2『解析』(1)由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1. (2)由题意，可知S n ＝⎝⎛⎭⎫a n 2＋122，当n ＝1时，a 1＝1. a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫a n 2＋122－⎝⎛⎭⎫a n －12＋122 ＝⎝⎛⎭⎫a n 2＋a n －12＋1·⎝⎛⎭⎫a n 2－a n －12 ＝⎝⎛⎭⎫a 2n －a 2n －14＋⎝⎛⎭⎫a n 2－a n －12，整理得a n ＋a n －12＝a 2n －a 2n －14⇒a n －a n －1＝2.所以a n ＝2n －1，解得S n ＝(121)2n n +-＝n 2.。

§6.1 数列的概念及简单表示法学习目标：1.以数列前几项为背景求数列的通项；2.由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项或通项；3. 通过S n 求a n ，要对n ＝1和n ≥2两种情况进行讨论；知识要点：1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 项．（数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．）2.数列的分类：按项数分类： 有穷数列 无穷数列 ；按项与项间的大小关系分类：递 增数列，递减数列，常数列； 按其他标准分类：有界数列，摆动数列；3.数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4.数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式 a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．如：a n ＝3n+1.5.已知数列和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2). 基础自测：1． 已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__________．2．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，则35 是它的第 项.3. 如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是a n ＝______.4．已知数列{a n }中, a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝____________.5． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8 = . 典例分析：由数列的递推关系求通项公式例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n .变式训练：(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，求a n ；(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，求a n .(3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)；小结：已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列； 当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解； 当出现a n a n －1＝f (n )时，用累乘法求解． 题型二：由数列的前n 项和求通项公式例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，求{a n }的通项公式：变式训练：(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ；求{a n }的通项公式：（2） 已知数列{a n }的前n 项和S n ，S n ＝3n ＋b .求{a n }的通项公式：课堂达标：1.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.则这个数列的第4项是______.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，则a 1的值为________.3.已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝________.4.在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是________. 学后反思：1. 基础知识：2. 学习方法：。

数列的概念与简单表示法1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类：分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n(3)数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． [试一试]1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为________．2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________.1．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 2．明确a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).[练一练]1．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是________．2．(2014·苏锡常镇调研)设u (n )表示正整数n 的个位数，a n ＝u (n 2)－u (n )，则数列{a n }的前2 014项和等于________．考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.(2014·南通二模)将正偶数按如下所示的规律排列：2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …则第n (n ≥4)行从左向右的第4个数为________．2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9 999，….[类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二由an与S n的关系求通项a n[典例]已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式：(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n＋b.[类题通法]已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式； (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写． [针对训练]已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，求{a n }的通项公式．考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，归纳起来常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . 角度一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n1．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[课堂练通考点]1．(2014·苏北四市质检)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2014＝________.2．(2013·盐城三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．3．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }前n 项的和，则S 2 013＝____________.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．。