高三一轮复习人教A版指数、对数及幂函数知识点小结及习题无答案

指数对数幂函数知识点总结篇一：指数、对数、幂函数知识点指数、对数、幂函数知识归纳知识要点梳理的次方根的定义：一般地，如果；当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.；，那么叫做的次方根，其中2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；(2)当为偶数时，3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3)知点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念：一般地，函数变量，函数的定义域为.叫做指数函数，其中是自1.(2022·北京理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,那么f(x)= ( )2.〔2022·上海高考文科·T8〕方程3.〔2022·湖南高考理科·Ｔ16〕设函数f(x)?ax?bx?cx,其中c?a?0,c?b?0.9x的实数解为 . ?1?3x3?1且a=b?，〔1〕记集合M??(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，那么(a,b,c)?M所对应的f(x)的零点的取值集合为____.〔2〕假设a,b,c是?ABC的三条边长，那么以下结论正确的选项是. 〔写出所有正确结论的序号〕①?x????,1?,f?x??0;②?x?R,使得ax,bx,cx不能构成一个三角形的三边长；③假设?ABC为钝角三角形，那么?x??1,2?,使f?x??0.知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)假设叫做底数，叫做真数.，那么叫做以为底的对数，记作，(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：2.几个重要的对数恒等式：，，..3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).①加法：，那么②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：一般地，函数数的定义域.叫做对数函数，其中是自变量，函2.对数函数性质：4.〔2022·广东高考理科·Ｔ2〕函数f(x)?的定义域是〔〕 x?1A．(?1,??) B．[?1,??) C．(?1,1)(1,??) D．[?1,1)(1,??)5.〔2022·陕西高考文科·Ｔ3〕设a, b, c均为不等于1的正实数, 那么以下等式中恒成立的是 ( ) A．logab·logcb?logcaB. logab?logca?logcb篇二：指数_对数_幂函数必备知识点几种特殊的函数知识点一：指数及指数幂的运算的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)意义：；注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算(1)假设，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.，，.常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点五：反函数设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)假设在原函数的图象上，那么在反函数的图象上.(4)一般地，函数要有反函数那么它必须为单调函数.(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数式中反解出；(3)将改写成，并注明反函数的定义域.知识点六：幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，那么幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，那么幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，假设为奇数为奇数时，那么是奇函数，假设为奇数为偶数时，那么是偶函数，假设为偶数为奇数时，那么是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，假设，其图象在直线下方，假设，其图象在直线上方，当时，假设，其图象在直线上方，假设,其图象在直线下方.篇三：指数对数幂函数知识点汇总知识点一：根式、指数幂的运算1、根式的概念：假设x?a，那么x叫做a的次方根， n?1,n?Nn???〔1〕当n为奇数时，正数的n次方根为正，负数的n次方根为负，记作na；〔2〕当n为偶数时，正数的n次方根有两个〔互为相反数〕，记作〔3〕负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2、n次方根的性质：〔1〕n?an为奇数． ?a；〔2???|a|n为偶数3、分数指数幂的意义：〔1〕a?；〔2〕amnm?n?1amn?a?0,m,n?N?,n?1?．注意：0的正指数幂等于0，负指数幂没有意义. 4、指数幂的运算性质：?a?0,b?0,r,s?R?rrs)ras?a? (1a；(2)a??s?ars； (3)?ab??arbrr知识点二：对数与对数运算b1、指数式与对数式的互化：a?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)2、几个重要的对数恒等式〔1〕负数和0没有对数；〔2〕loga1?0〔a?1〕〔3〕logaa?1〔a?a〕；〔4〕对数恒等式：a3、对数的运算性质〔1〕loga(MN)?logaM?logaN；〔2〕logan1logaN?NM?logaM-logaN； NlogmN；logma〔3〕logaM?nlogaM(n?R)；〔4〕换底公式：logaN?〔5〕logab?logba?1 ；〔6〕logab?logbc?logac ；〔7〕logab?logbc?logcd?logad ；〔8〕logambn?nlogab；m知识点四：对数函数及其性质x注：指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数〔1〕互为反函数的两函数图象关于y?x对称，即(a,b)在原函数图象上，那么(b,a)在其反函数图象上；〔2〕互为反函数的两函数在各自的定义域上单调性相同。

第六节 对数与对数函数对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，且a ≠1)． 知识点一 对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a _N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log aMN＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(4)换底公式log a b ＝log m blog m a (a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1).必记结论1．指数式与对数式互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2．对数运算的一些结论：①log am b n ＝nm log a b .②log a b ·log b a ＝1.③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .易误提醒 在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M ＞0.[自测练习]1．(2015·临川一中模拟)计算⎝⎛⎭⎫lg 1125－lg 82÷4－12＝________. 解析：本题考查指数和对数的运算性质．由题意知原式＝(lg 5－3－lg 23)2÷2－1＝(－3lg 5－3lg 2)2×2＝9×2＝18.答案：18 2．lg427－lg 823＋lg 75＝________. 解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：12知识点二 对数函数定义、图象与性质定义函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫作对数函数图 象a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)当0<x <1时， y ∈(－∞，0)； 当x >1时， y ∈(0，＋∞) 当0<x <1时， y ∈(0，＋∞)； 当x >1时， y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数易误提醒 解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 必记结论1．底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．[自测练习]3．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B. 答案：B4．函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2. (2)当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12.由(1)(2)知a ＝2或a ＝12.答案：2或12考点一 对数式的化简与求值|1．(2015·内江三模)lg51 000－823＝( )A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4 解析：lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175.答案：B2.(log 23)2－4log 23＋4＋log 2 13＝( )A ．2B ．2－2log 2 3C ．－2D ．2log 2 3－2解析：(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23，又log 213＝－log 23，两者相加即为B.答案：B3．(2015·高考浙江卷)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 解析：原式＝2log 4 3＋2－log 4 3＝3＋13＝433.答案：433对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点二 对数函数图象及应用|(1)(2016·福州模拟)函数y ＝lg |x －1|的图象是( )[解析] 因为y ＝lg |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x ＞1，lg (1－x )，x ＜1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． [答案] A(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 法一：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知，f ⎝⎛⎭⎫12＜g ⎝⎛⎭⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x ＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 12 12＝1，显然4x ＜log a x 不成立，排除选项A.[答案] B应用对数型函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：作出f (x )的大致图象，不妨设a ＜b ＜c ，因为a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，由函数的图象可知10＜c ＜12，且|lg a |＝|lg b |，因为a ≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．答案：C考点三 对数函数性质及应用|已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． [解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数， 所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．2．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )＞1， 解之得1＜a ＜83.若0＜a ＜1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 5.插值法比较幂、对数大小【典例】 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.3 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b(2)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b[思路点拨] (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 3 0.3＝log 3 103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解． [解析] (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5＜0.50.5＜10.5＝1，即b ＜a ＜1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性， 可得log 0.30.2＞log 0.30.3＝1，即c ＞1. 所以b ＜a ＜c .(2)c ＝⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3＝5－log 3 0.3＝5log 3 103. 法一：在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2 x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 2 3.4＞log 3 103＞log 43.6. 法二：∵log 3 103＞log 33＝1，且103＜3.4， ∴log 3103＜log 3 3.4＜log 2 3.4. ∵log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3103＞1，∴log 4 3.6＜log 3 103. ∴log 2 3.4＞log 3103＞log 4 3.6. 由于y ＝5x 为增函数，∴5log 2 3.4＞5log 3103＞5log 4 3.6. 即5log 2 3.4＞⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3＞5log 4 3.6，故a ＞c ＞b . (3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称， 所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时， [xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π 3＜20.2＜log 3 9，所以b ＞a ＞c ，选A. [答案] (1)C (2)C (3)A[方法点评] (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[跟踪练习] 设a ＞b ＞0，a ＋b ＝1且x ＝⎝⎛⎭⎫1a b，y ＝log ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ab ，z ＝log 1b a ，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．y ＜x ＜zB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．x ＜y ＜z解析：用中间量比较大小．由a ＞b ＞0，a ＋b ＝1，可得0＜b ＜12＜a ＜1，所以1b ＞2＞1a ＞1，所以x ＝⎝⎛⎭⎫1a b＞1，y ＝log ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ab ＝log ⎝⎛⎭⎫1ab ab ＝－1,0＞z ＝log 1b a ＞log 1bb ＝－1，则y＜z ＜x ，故选C.答案：CA 组 考点能力演练1．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.答案：A2．设a ＝30.5，b ＝0.53，c ＝log 0.5 3，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝30.5＞30＝1,0＜b ＝0.53＜0.50＝1，c ＝log 0.5 3＜log 0.5 1＝0，所以c ＜0＜b ＜1＜a ，故选C.答案：C3．(2015·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6 (a ＋b )，则1a ＋1b 的值为( )A ．36B ．72C ．108D.172解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6k 2k －23k －3＝108.所以选C. 答案：C4．(2015·长春质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)． 又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)． 答案：B5．已知函数f (x )＝log 2 ⎝⎛⎭⎫21－x ＋t 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由f (－x )＝－f (x )得log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋t ＝－log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋t ，所以21＋x ＋t ＝121－x ＋t，整理得1－x 2＝(2＋t )2－t 2x 2，可得t 2＝1且(t ＋2)2＝1，所以t ＝－1，则f (x )＝log 21＋x1－x＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1－x＞01＋x 1－x ＜1，解得－1＜x ＜0.答案：A6．(2015·深圳一模)lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝________. 解析：lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132. 答案：1327．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵a 2＋1＞1，log a ()a 2＋1＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.答案：⎝⎛⎭⎫12，18．(2015·成都摸底)关于函数f (x )＝lg x 2＋1x，有下列结论： ①函数f (x )的定义域是(0，＋∞)；②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的最小值为lg 2；④当x ＞0时，函数f (x )是增函数．其中正确结论的序号是________(写出所有你认为正确的结论的序号)．解析：函数f (x )＝lg x 2＋1x的定义域为(0，＋∞)，其为非奇非偶函数，即得①正确，②不正确；由f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥lg ⎝⎛⎭⎫2 x ×1x ＝lg 2，得③正确；函数u ＝x ＋1x 在x ∈(0,1)时为减函数，在x ∈(1，＋∞)时为增函数，函数y ＝lg u 为增函数，所以函数f (x )在x ∈(0,1)时为减函数，在x ∈(1，＋∞)时为增函数，即得命题④不正确．故应填①③.答案：①③9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求a的取值范围．解：由已知f (x )＝log a x ，当0＜a ＜1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a 23＞0， 当a ＞1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23＞0，故⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13＞|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图． 要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． B 组 高考题型专练1．(2014·高考福建卷)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析：由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.答案：B2．(2014·高考山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1.又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1.答案：D3.(2015·高考北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2 (x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：在平面直角坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示．所以f (x )≥log 2 (x ＋1)的解集是{x |－1＜x ≤1}，所以选C.答案：C4．(2015·高考浙江卷)log 2 22＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________. 解析：log 222＝log 22－12＝－12，2log 2 3＋log 4 3＝232log 2 3＝2log 2 332＝27＝3 3. 答案：－12 3 3 5．(2015·高考北京卷)2－3,312，log 25三个数中最大的数是________． 解析：因为2－3＝123＝18，312＝3≈1.732，而log 24＜log 25，即log 25＞2，所以三个数中最大的数是log 25.答案：log 25。

高三第一轮复习资料（注意保密）引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们经常出现在各种高考试题中。

下面对高中人教A版必修一中的指数函数和对数函数的知识点进行总结：一、指数函数的定义和性质：1.指数函数的定义：设a是一个正数且不等于1，x是任意实数，则形如y=a^x的函数称为指数函数。

2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数y=a^x是递增函数。

(2)当0<a<1时，指数函数y=a^x是递减函数。

(3)当a>0且不等于1时，指数函数y=a^x的图象经过点(0,1)。

(4)当a>1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无上界，且在x轴的左半部分无下界；当0<a<1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无下界，且在x轴的左半部分无上界。

(5)指数函数y=a^x的图象经过点(1,a)。

二、对数函数的定义和性质：1. 对数函数的定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，b是一个正数，则形如y=log_a^b的函数称为对数函数。

2.对数函数的性质：(1) 对数函数y=log_a^b的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。

(2) 当0<a<1时，对数函数y=log_a^b是递增函数。

(3) 当a>1时，对数函数y=log_a^b是递减函数。

(4) 对数函数y=log_a^b的图象经过点(a,1)。

(5) 对数函数y=log_a^b是指数函数y=a^x的反函数，即y=log_a^b等价于b=a^y。

三、指数方程和对数方程：1.指数方程：形如a^x=b的等式称为指数方程。

(1)指数方程的解法：当指数方程左右两边的底数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解；当指数方程左右两边的指数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解。

2. 对数方程：形如log_a^b=c的等式称为对数方程。

(1)对数方程的解法：根据对数的定义，可将对数方程化为指数方程，再解指数方程得到解。

高三数学理第一轮复习：指数、对数函数人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：高三第一轮复习：指数、对数函数二. 教学重、难点：理解分数指数幂的概念，掌握指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；能运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单实际问题。

【典型例题】[例1] 要使函数a y xx⋅++=421在]1,(-∞上0>y 恒成立，求a 的取值范围。

解：由题意，得0421>⋅++a xx在]1,(-∞上恒成立，即xxa 421+->在]1,(-∞∈x 上恒成立又 ∵ x x xx )21()21(4212--=+-41]21)21[(2++-=x 当]1,(-∞∈x 时，值域为]43,(--∞ ∴ 43->a[例2] 已知])1(3[log )(231--=x x f ，求)(x f 的值域及单调区间。

解：∵ 真数3)1(32≤--x ∴ 13log ])1(3[log 31231-=≥--x即)(x f 的值域是),1[+∞-又0)1(32>--x ，得3131+<<-x∴ ]1,31(-∈x 时，2)1(3--x 单调递增，从而)(x f 单调递减；)31,1[+∈x 时，)(x f 单调递增[例3] 已知函数11log )(--=x mxx f a是奇函数（0>a ，1≠a ） （1）求m 的值；（2）判断)(x f 在区间（1，∞+）上的单调性并加以证明；（3）当1>a ，)2,(-∈a r x 时，)(x f 的值域是（1，+∞），求a 与r 的值。

解析：（1）∵ )(x f 是奇函数 ∴ )()(x f x f -=-在其定义域内恒成立即11log --+x mx a 11log ---=x mx a∴ 22211x x m -=-恒成立 ∴ 1-=m 或m 1=（舍去） ∴ 1-=m（2）由（1）得)1,0(11log )(≠>-+=a a x x x f a任取21x x 、),1(+∞∈ 设21x x <，令11)(-+=x x x t则11)(111-+=x x x t ，11)(222-+=x x x t ∴ )1)(1()(21111)()(2112221121---=-+--+=-x x x x x x x x x t x t ∵ 2121,1,1x x x x <>> ∴ 0,01,011221>->->-x x x x ∴ )()(21x t x t >，即11112211-+>-+x x x x ∴ 当1>a 时，11log 11log 2211-+>-+x x x x a a)(x f 在（1，∞+）上是减函数当10<<a 时，)(x f 在（1，+∞）上是增函数（3）当a 1>时，要使)(x f 的值域是（1，+∞），则111log >-+x x a∴a x x >-+11，即011)1(>-++-x a x a 而1>a ∴ 上式化为0111<--+-x a a x ① 又)121(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a∴ 当1>x 时，0)(>x f 当1-<x 时，0)(<x f 因而，欲使)(x f 的值域是（1，+∞），必须1>x∴ 对不等式①，当且仅当111-+<<a a x 时成立 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+=-=11121a a a a r ∴ 1=r ，32+=a[例4] 设b a ,分别是方程03log 2=-+x x 和032=-+x x的根，求b a +及ba 2log 2+的值。

人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数的概念与性质：指数函数是以一个常数为底数，自变量是指数的函数，可以表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠11.指数函数的定义域为全体实数集，值域为(0,+∞)。

2.当a>1时，指数函数呈现递增趋势；当0<a<1时，指数函数呈现递减趋势。

3.a^0=1，a^1=a。

4.任意幂指数函数a^x是定义在R上的连续函数。

5.两个指数函数相等的充分必要条件是它们的底数相等且指数相等。

二、对数函数的概念与性质：对数函数是指以一个常数为底数，自变量是正数的函数，可以表示为y = loga(x)，其中 a 为底数，x 为正数，a>0 且a≠11.对数函数的定义域是正数集，值域是全体实数集。

2. loga(a^x) = x，a^loga(x) = x，其中 a>0 且a≠13.若a>1，则对数函数呈递增趋势；若0<a<1，则对数函数呈递减趋势。

4.对数函数的图像与指数函数的图像互为镜像。

5. loga(xy) = loga(x) + loga(y)，loga(x/y) = loga(x) -loga(y)，(loga(x))^n = nloga(x)。

三、常见指数函数与对数函数：1. y = 2^x：对数函数 y = log2(x)。

2. y = 3^x：对数函数 y = log3(x)。

4. y = 10^x：对数函数 y = log10(x)。

四、指数函数与对数函数的应用：1.物质的衰减与增长：指数函数可以用来描述放射性元素的衰变过程，而对数函数则可以用来描述人口增长、物质浓度衰减等过程。

2.科学计算与数据压缩：指数函数与对数函数在科学计算领域应用广泛，可用于求解数值问题、压缩数据等。

3.经济学与金融学：指数函数与对数函数在经济学与金融学领域有诸多应用，如利息计算、投资回报率分析等。

4.生物学与医学：指数函数与对数函数在生物学与医学领域也有广泛应用，如细胞增殖、病毒复制等。

k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。

二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。

三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。

【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =； （2）4x y =； （3）31x y =； （4）3-=x y ； （5）32x y =；（6）2-=x y ； （7）21-=x y ； （8）23x y =； （9）3x y =。

2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×） （2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√） （3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×） （4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×） （5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同； （8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。

（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。

4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。

【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意； 当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意； 当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题2-4二次函数与幂函数【核心素养分析】1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

【重点知识梳理】 知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.【典型题分析】高频考点一 幂函数的图象与性质例1.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【答案】－1【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数， ∴α<0，取α＝－1.【方法技巧】(1)幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式探究】（2020·山东临沂一中质检）幂函数y ＝x (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3＜0，即－1＜m ＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．高频考点二 求二次函数的解析式例2.（2020·河北衡水中学调研） 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 2-2-3mm法三：(利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8， 即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【方法技巧】求二次函数解析式的策略 （1）已知三点坐标，选用一般式（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式 （3）已知与x 轴两点坐标，选用零点式【变式探究】（2020·湖南湘潭二中模拟）已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.【答案】19x 2＋49x －59【解析】法一：(一般式)设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1， 将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.高频考点三 二次函数的图象及应用例3.（2020·吉林长春实验中学模拟）对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()【答案】A【解析】若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【变式探究】（2020·河南商丘一中模拟）已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()A BC D【答案】D【解析】A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D。

高考数学一轮复习---幂函数知识点与题型一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质R R R{x|x≥0}{x|x≠0}二、常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．三、考点解析考点一幂函数的图象与性质例、(1)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x23－n n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1 C．2 D．1或2[解题技法]幂函数y＝xα的主要性质及解题策略：(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．跟踪训练1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为()A．y＝x－4B．y＝x－1 C．y＝x2D．y＝x 1 32.已知当x∈(0,1)时，函数y＝x p的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．考点二比较幂值大小例、若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛，b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛，c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 跟踪训练1．若a＝5253⎪⎭⎫⎝⎛，b＝5352⎪⎭⎫⎝⎛，c＝5252⎪⎭⎫⎝⎛，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a2．若(a＋1)12<(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．课后作业1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( )A ．4 B.2 C ．22 D ．1 2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( )A ．1B ．2 C.12 D ．－13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 4．已知幂函数f (x )的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛412，，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 5．幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3 6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b 7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <z <yB ．y <x <zC ．y <z <xD ．z <y <x 8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则)91(f ＝________.10．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________． 11．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________． 12．已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．13．已知幂函数f (x )＝x()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．。

《人教A 版必修一知识点汇总》第4章 《 指数函数与对数函数 》知识点汇总4.1 指 数1.n 次幂的概念n 个相同因子a 的连乘积称为a 的n 次幂, 记作 a n ,其中 a 称为幂的底数,简称底, n 称为幂的指数,即 a ∙a ∙a ∙⋯⋯∙a =a n .注：规定 （1）a 1=a ，即“任何一个数的1次幂都等于它本身”（2）当a ≠0时，a 0=1，即 “任何一个不为零的数的0次幂等于1”（3） a −n =(1a)n，即负指数幂满足 “底倒指反”. 例 计算下列各式：（1）5×5×5=53=125 ; （2） (−3)3=−33=−27;（3）(−3)2=+32=9; （4） a 3∙a 2=a 3+2=a 5;（5）(a 3)2=a 3×2=a 6; （6）(ab )3=a 3b 3;（7）(−3)−2=(−13)2=19 ; （8）(π−3)0=1; （9）a 10÷a 7=a 10−7=a 3;2.n 次方根（1）n 次方根的概念与分类一般地,如果数 x 的 n 次方等于a , 即 x n =a (n ∈N ∗,且n >1),那么称数x 为a 的n 次方根.①当n 为偶数时,正实数a 的n 次方根有两个,且它们互为相反数.其中正实数a 的正的n 次方根用符号√a n 表示（√a n 称为a 的n 次算术根），负的n 次方根用符号−√a n 表示，且√a n 与−√a n 可以合并写成±√a n .注：负数没有偶次方根.例如：∵(±2)4=16，∴16的4次方根为±2，记作±√164=±2 ，其中16的4次算术根为2，记作√164=2 .②当n 为奇数时,实数a 的n 次方根只有一个,且它与被开方数符号保持一致（即正数a 的n 次方根为正数，负数a 的n 次方根为负数），这时实数a 的n 次方根用符号√a n （a ∈R ）表示.例如：∵25=32,，∴32的5次方根为2，记作√325=2;∵(−2)5=−32，∴-32的5次方根为−2，记作√−325=−2;③0的任何次方根都是0（∵0n =0），记作√0n =0.3.根式的概念及性质(1)根式的定义形如√a n（n ∈N ∗,且n >1）的式子称为根式, 其中“√n”称为n 次根号，n 称为根指数, a 称为被开方数． （2）根式的性质（据n 次方根的定义可得）①性质1（还原性）：(√a n )n =a (注：还原性的被开方数为a )例如：(√5)2=5，(√−35)5=−3 .②性质2：A.当n 为奇数时，√a n n =a ；B.当n 为偶数时，√a n n =|a |={a,a >0−a,a <0(注：绝对值性的被开方数为a 2) 例如：√(−2)33=−2，√(−3)44=|−3|=3. 4.分数指数幂我们规定，（1）正数的正分数指数幂：a mn =√a m n (a >0,m,n ∈N ∗,n >1) 即正数的正分数指数幂满足： ①分数指数幂中的底数与根式中被开方数底数相同；②分数指数幂中指数的分子为根式中被开方数的指数； ③分数指数幂中指数的分母为根式中的根指数.例如：432=√432=√64=8（2）正数的负分数指数幂： a−m n =(1a )m n =1a m n =√a m n 即正数的负分数指数幂满足 ：“底倒指反” 例如：8−13=(18)13=1813=√813=√83=12 （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：特别地，1的任何次幂都为1，即 1α=1（α∈R ）5.无理数指数幂及其运算性质一般地，无理数指数幂 a x (a >0,x 为无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂 a x (a >0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数,且实数指数幂是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于∀r ，s ∈R,a >0,b >0,都有（1） a r ∙a s =a r+s ;（2）(a r )s =a r×s ；（3）(ab )r =a r b r ；（4）a r ÷a s =a r−s ；（5）a 1=a ； （6）当a ≠0时，a 0=1；a −n =(1a )n =1a n (底倒指反) （7）a r s =√a r s .4.2 指数函数1.指数函数的概念（1）定义像 y =2x 与y =(12)x 这样， 一般地，我们把形如y =a x (a >0,且a ≠1)的函数就叫做指数函数,其中x 是自变量，定义域是R . 注：①a x 的系数为1；②a x 的底数为一个常数a(a >0且a ≠1)；反例：(−2)12=√−2没有意义; 1x =1(x ∈R),此时 y =1 是一个常数函数；③a x 的指数为自变量x,且x ∈R ；④形如“y =a x ”形式.（2）实例运用例1 判断下列函数是否为指数函数：（1）y =4x ; ✔ （2）y =(−4)x ；✘底数a =−4<0.（3）y =x 4;✘,底数为自变量x ,指数为常数4，它是幂函数. （4）y =4x+1；✘不形如y =a x 形式.（5）y =3∙2x ；✘2x 的系数为3，不为1.2.指数函数的图象与性质（1）底数互为倒数的两个指数函数的图像变换底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.例如 利用函数y =2x 的图象，根据轴对称性就能画出y =(12)x 的图象.（2）指数函数的图象与性质由以上实例,可以归纳得出指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图像和性质,如表所示（3）实例运用例1 比较下列各题中两个值的大小. （1）1.72.5，1.73；解：∵ 底数1.7>1∴ 指数函数y=1.7x是增函数又∵ 2.5<3∴ 1.72.5<1.73（2）0.8−√2，0.8−√3；解：∵ 底数 0<0.8<1∴ 指数函数y=0.8x是减函数又∵ −√2>−√3∴ 0.8−√2<0.8−√3（3）1.70.3，,0.93.1；解：∵底数 1.7>1∴指数函数y=1.7x是增函数又∵ 0＜0.3∴ 1.70<1.70.3即 1<1.70.3又∵ 底数 0<0.9<1∴ 指数函数 y =0.9x 是减函数又∵ 0<3.1∴ 0.90>0.93.1即 1>0.93.1综上所述，∵1.70.3>1>0.93.1∴1.70.3>0.93.14.3 对 数1.对数的概念、分类及其性质（1）对数的概念一般地 , 如果a x =N(a >0,且a ≠1),则称x 为以a 为底N 的对数,记作x =log a N , 其中a 称为对数的底数，N 称为真数(且N >0).例如：∵ 23=8 , ∴ log 28=3;再如：∵ (12)2=14 , ∴ log 1214=2. （2）对数式与指数式的关系据对数的定义可知：当a >0,且a ≠1，N >0时，指数式a x =N 与对数式x =log a N 的关系为 ①指数式中的指数x 就是对数式的结果；②指数式的结果N 就是对数式中的真数；③指数式中的底数a就是对数式中的底数；注：由指数与对数的关系可知——指数运算与对数运算互为逆运算.（3）对数的分类①普通对数：log a N（底数a>0，且a≠1,a≠10,a≠e）；例如log28=3;（∵23=8）②常用对数：以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记作lgN，即lgN=log10N；例如 lg10=1（∵101=10），lg100=2（∵102=100）③自然对数：在科学研究和工程计算中,经常使用以无理数 e (e=2.71828…)为底的对数log e N,以e为底的对数称为自然对数,简记为lnN，即lnN=log e N.例如log e5=ln5.（4）对数的性质①性质1：log a1=0(a>0，且a≠1) （即真数为1的对数等于0）；②性质2：log a a=1(a>0，且a≠1) （即真数与底数相同的对数等于1）；③性质3：对数log a N(a>0，且a≠1) 的真数大于0，即 N>0（注：负数和零没有对数）（5）实例运用例求下列对数式的值.①log381；解：∵指数式34=81，∴对数式log81=4；3②log0.80.8；解：∵指数式0.81=0.8，∴对数式log0.8=1；0.8③lg1;解：∵指数式100=1，∴对数式lg1=0；④lne；解：∵指数式e1=e，∴对数式lne=1；2.对数的运算法则如果a>0，且a≠1,M>0,N>0, 那么（1）法则1：积化和公式log a MN=log a M+log a N 注：注意运用时公式的逆用（和化积公式）log a M+log a N=log a MN （2）法则2：商化差公式log a MN=log a M−log a N注：注意运用时公式的逆用（差化商公式）log a M−log a N=log a M N（3）法则3：幂的对数公式（指数提前性）log a M n=nlog a M(n∈R)注：注意运用时公式的逆用（系数置后指数性）nlog a M=log a M n(n∈R)（4）法则4：换底公式log a b=log c a log c b注：注意运用时公式的逆用log c alog c b=log a b（5）法则5：倒数性log a b=1log b a, 或log a b∙log b a=1例1 求下列各式的值.①lg √1005=lg10015=15lg100=15×2=25 ; ②log 2(47×25)=log 247+log 225=7log 24+5log 22=7×2+5×1=19. 例2 用lnx,lny,lnz 表示2√y√z 3 , 其中x >0,y >0,z >0.解：∵ 已知x >0,y >0,z >0,∴ 2√y √z 3=lnx 2√y −ln √z 3(商化差公式)=lnx 2+ln √y −ln √z 3（积化和公式）=lnx 2+lny 12−lnz 13=2lnx +12lny −13lnz (指数提前性)4.4 对数函数1.对数函数的概念像y =log 2x(x >0) ,y =log 12x (x >0) 这样， 一般地，我们把形如 y =log a x (a >0,且a ≠1) 的函数就叫做对数函数,其中x 是自变量，定义域是 (0，+∞) .注：（1）log a x 的底数为一个常数 a(a >0,且a ≠1) ；（2）log a x 的真数为自变量x , 且 x >0；（3） 形如“ y =log a x”形式例1 判断下列函数是否为对数函数：（1）y =log 3x （x >0); ✔（2） y =log 13x (x >0) ； ✔ （3）y =log −2x （x >0); ✘,底数a =−2<0（4）y=log x2. ✘,底数为自变量x,真数为常数2例2 求下列函数的定义域：（1）y=log3x2;解：∵已知y=log3x2∴真数x2>0∴√x2>√0∴|x|>0∴x<0或x>0（即x≠0）故函数y=log3x2的定义域为 (−∞，0)∪(0，+∞)（2）y=log a(4−x)（a>0,且a≠1)解：∵y=log a(4−x)（a>0,且a≠1)∴真数4−x>0∴x<4故函数y=log a(4−x)的定义域为 (−∞，4).2.对数函数的图象与性质（1）底数互为倒数的两个对数函数的图像变换答：由图可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.例如利用函数y=log2x（x>0）的图象，根据轴对称性就能x (x>0)的图象画出y=log12（2）对数函数的图象与性质由以上实例,可以归纳得出对数函数 y=且a≠log a x (a>0,1)的图像和性质,如表所示.（3）实例运用例比较下列各题中两个值的大小.①log3.4，log28.5；2解：∵底数 2>1∴对数函数y=log2x是增函数又∵ 3.4＜8.5∴log23.4<log28.5②log1.8，log0.32.7；0.3解：∵底数 0<0.3<1∴对数函数y=log0.3x是减函数又∵ 1.8<2.7∴log0.31.8>log0.32.7③log5.1，log a5.9(a>0,a≠1)；a解：log5.1，log a5.9可以看作函数y=log a x 的两个函数值，a∵已知底数a>0,a≠1∴可分如下两种情况来讨论：情况1：当底数0<a<1时∵对数函数y=log a x是减函数又∵5.1＜5.9∴log a5.1>log a5.9情况2：当底数 a>1时∵对数函数y=log a x是增函数又∵ 5.1＜5.9∴log a5.1<log a5.93.反函数的概念及图象特征（1）反函数的概念与图象特征像指数函数y=2x(x∈R)与对数函数y=log2x(x>0)这样，一般地，如果一个函数的定义域与值域分别是另一个函数的值域与定义域，那么就称这样的两个函数互为反函数，其中一个函数叫做另一个函数的反函数, 即函数y =f(x)与x =g(y)互为反函数.为了书写方便，常将函数y =f(x)的反函数记作y =f −1(x).注：互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称.例如：指数函数y =2x (x ∈R)与对数函数y =log 2x(x >0)互为反函数，它们的图象关于直线y =x 对称.（2）指数函数与对数函数的关系由反函数的定义可知：指数函数y =a x (a >0且a ≠1,x ∈R )与对数函数y =log a x (a >0且a ≠1,x >0)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换，且它们的图像关于直线y =x 对称.例 若函数y =f(x)是函数y =(13)x 的反函数，则f(3)= . 解：∵已知函数y =f(x)是函数y =(13)x 的反函数 ∴ f(x)=log 13x,(x >0) 故f(3)=log 133=−1. 4.5 函数的应用（二）——函数的零点与方程的根1.函数的零点与零点存在定理（1）函数的零点像上面问题中二次函数这样，对于函数 y=f(x) ,当 x=c 时，使得f(c)=0成立，我们就称x=c 为函数 y=f(x)的零点.注：①求方程f(x)=0的实数解，就是确定函数 y=f(x)的零点.②对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数 y=f(x)联系起来，利用函数的图象与x轴的交点找出零点，从而得到方程的解.例如 x1=−1,x2=3叫做二次函数f(x)=x2−2x−3的2个零点.（2）零点存在性定理一般地，①如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②且有f(a)·f(b)<0（即 f(a)与f(b)异号）；那么，函数 y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个 x=c 也就是方程f(x)=0的解.注：零点存在定理只能说明函数 y=f(x)在区间(a，b)内有零点，而不能确定函数 y=f(x)在区间(a，b)内零点的个数.（3）实例运用例1 函数f(x)=log2(2x−1)的零点是；解：∵已知f(x)=log2(2x−1)∴可令 f(x)=0，则有log2(2x−1)=0∴2x−1=202x−1=12x=2x=1故函数f(x)=log2(2x−1)的零点是x=1.例2 函数f(x)=x3−3x−3有零点的区间为（）A.(−1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解：∵已知f(x)=x3−3x−3∴f(x)的定义域为R,即函数 f(x)的图象在（−∞，+∞）上连续不断，据零点存在定理可做如下判断：又∵ f(−1)=(−1)3−3×(−1)−3=−1<0f(0)=03−3×0−3=−3<0f(1)=13−3×1−3=−5<0f(2)=23−3×2−3=−1<0f(3)=33−3×3−3=15>0即 f(2)∙f(3)<0∴据零点存在性定理可知函数f(x)=x3−3x−3有零点的区间为(2,3),故选D.2.用二分法求方程的近似解（1）用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)∙f(b)<0（即验证是否满足零点存在定理）②求区间(a，b)的中点 c ,且c=a+b(区间中点坐标公式) ;2③计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间:i.若f(c)=0，则x=c 就是函数的零点;ii.若{f(a)∙f(c)<0,则f(x)在区间（a,c）上存在零点(即此时零点x0∈（a,c）)，区间（c,b）舍去；f(c)∙f(b)>0iii.若{f(a)∙f(c)>0∈(c,b))，区f(c)∙f(b)<0,则f(c)∙f(b)<0),则f(x)在区间（c,b）上存在零点(即此时零点x0间（a,c）舍去；iv.不断重复1、2、3的过程，直到区间的中点c i能使f(c i)=0或f(c i)≈0，则x=c i即为函数y=f(x)的零点或零点的近似值.例已知函数f(x)=8x3−16x+7 在区间(−1,1)上有一个零点，试求方程f(x)=0在区间(−1,1)上的根.解：∵ 区间(−1,1)的中点为 x=(−1)+1=02又 f(−1)=8×(−1)3−16×(−1)+7=−8+16+7=15>0f(0)=8×03−16×0+7=7>0f(1)=8×13−16×1+7=−1<0∴ 据零点存在定理可知f(x)的零点在区间（0,1）上 又∵ 区间(0,1)的中点为 x =0+12=12而 f(12)=8×(12)3−16×12+7=0又 ∵ 已知函数 f(x)=8x 3−16x +7 在区间(−1,1)上只有一个零点 ∴方程f(x)=0在区间(−1,1)上的根为x =12.。

高中数学新教材人教A版必修第一册知识点总结专题01 集合与常用的逻辑用语 (3)知识点一集合的概念 (3)知识点二集合间的关系 (4)知识点三集合的基本运算 (5)知识点四充分条件与必要条件 (5)知识点五全称量词与存在量词 (6)专题02 一元二次方程、函数与不等式 (7)知识点一不等式的性质 (7)知识点二基本不等式 (7)知识点三二次函数与一元二次方程、不等式 (8)专题03 函数的概念与性质 (9)知识点一函数的概念与分段函数 (9)知识点二函数的三要素 (10)知识点三函数的单调性 (12)知识点四函数的奇偶性 (14)知识点六幂函数 (16)专题04指数函数与对数函数的概念、简单性质 (17)知识点一指数运算、对数运算与幂运算 (17)知识点二指数函数与对数函数的概念及图像 (18)知识点三比较大小（常与0、1、-1作比较） (18)知识点四函数的零点 (19)专题05 指数型与对数型复合函数的性质 (20)知识点一复合函数简单的单调性与奇偶性问题 (20)知识点二复合函数的单调性 (20)知识点三复合函数的最大值与最小值 (21)知识点四最值问题（含有参数） (22)知识点五恒成立问题 (22)专题06 三角函数的图像与性质 (23)知识点一任意角和弧度制 (23)知识点二常用的角的集合表示方法 (23)知识点三弧度与弧度制 (24)知识点四三角函数定义 (25)知识点五三角函数在各象限的符号 (26)知识点六特殊角的三角函数值： (26)知识点七同角三角函数的关系与诱导公式 (26)知识点八两角和与差公式的基本应用 (27)知识点九辅助角公式 (27)知识点十二倍角公式 (27)知识点十一降幂公式 (27)知识点十二基本三角函数的图像与性质（正弦、余弦与正切） (28)知识点十三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 (29)知识点十四三角函数的实际应用 (30)专题07 三角函数的综合运用 (30)专题01 集合与常用的逻辑用语知识点一集合的概念1．集合的有关概念(1)集合的描述：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.元素通常用小写字母a,b,c,⋯表示，集合通常用大写字母A,B,C,⋯表示.(2)集合元素的特性：确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个元素可以判断该元素在或者不在该集合中。

一、 幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()n na a a a n N =∈ 零指数幂：01(0)a a =≠负整数指数幂：1(0,)p p a a p N a -=≠∈分数指数幂:正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n =>∈>且 负分数指数幂的意义是:11(0,,,1)mnm nmnaa m n N n aa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地,函数ay x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数（我们只讨论a 是有理数的情况）． 3、幂函数的图象幂函数a y x =当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当12,1,2a =---时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质:（1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时:①图象都通过点(1,1);②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。

4)有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=(0a >，1a ≠，0N >）．1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-． log log n a a M n M =．(00M N >>，，0a >,1a ≠)b mnb a n am log log =（ a, b 〉 0且均不为1） 2．换底公式：log log log m a m NN a = ( a 〉 0 , a ¹ 1 ；0,1m m >≠)常用的推论：(1)log log 1a b b a ⨯= ；1log log log =⋅⋅a c b c b a ．（2)log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1)．1log log 1N N a a mn n m==． （3）01log =a ,1log =a a (4）对数恒等式N a N a =log ．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞; 值域：R; 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0,+∞）上是增函数；当01a <<时,在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法)()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>(转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法）。

高中数学人教A版2019必修一指数函数与对数函数知识点总结重点梳理： 一、指数1.n 次方根与分数指数幂 （1）方根如果nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈.①当n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 方根是负数.这时，a 的n 方根用符号na 表示.②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示. 正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成n a ±（0a >）. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作00n =.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 关于根式有下面两个等式：()n n a a =；,,nn a n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂（1）正分数指数幂mn m n a a =（0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的正分数指数幂等于0.（2）负分数指数幂11=m nmnmnaaa-=（0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质①rsr sa a a+=（0a >，r ，s Q ∈）；②()r s rsa a =（0a >，r ，s Q ∈）； ③()r r rab a b =（0a >，0b >，r Q ∈）.3. 无理数指数幂及其运算性质 （1）无理数指数幂的概念当x 是无理数时，xa 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x 的不足近似值m 和过剩近似值n 逐渐逼近x 时，m a 和n a 都趋向于同一个数，这个数就是x a .所以无理数指数幂x a （0a >，x 是无理数）是一个确定的数.（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ，s ，均有下面的运算性质.①rsr sa a a+=（0a >，r ，s R ∈）；②()r srsa a =（0a >，r ，s R ∈）； ③()r rrab a b =（0a >，0b >，r R ∈）.二、指数函数1.指数函数的概念函数xy a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R . 2.指数函数的图象和性质一般地，指数函数xy a =（0a >，且1a ≠）的图象和性质如下表所示01a <<1a >图 象定义域 R值 域(0,)+∞性 质（1）过定点(0,1)，即0x =时，1y =（2）在R 上是减函数（2）在R 上是增函数与指数函数有关的复合函数单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．y = 1y = ax(0,1)Oyxy = 1y = a x(0,1)Oyx三、对数1.对数的概念一般地，如果xa N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 当0a >，且1a ≠时，log N xa a N x =⇔=. 2. 两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .（2）自然对数：以e （e 是无理数， 2.71828e =…）为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N .3. 关于对数的几个结论 （1）负数和0没有对数； （2）log 10a =； （3）log 1a a =.4. 对数的运算如果0a >，且1a ≠，0M >，0N >，那么（1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log log a a a M M N N=-；（3）log log na a M n M =（n R ∈）.5. 换底公式log log log c a c bb a =（0a >，且1a ≠，0b >，0c >，1c ≠）.四、对数函数1. 对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0,)+∞.2.对数函数的图象和性质3. 反函数指数函数xy a =（0a >，且1a ≠）与对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.4. 不同函数增长的差异对于对数函数log a y x =（1a >）、一次函数y kx =（0k >）、指数函数xy b =（1b >）来说，尽管它们在(0,)+∞上都是增函数，但是随着x 的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数log a y x =（1a >）的增长速度越来越慢；一次函数y kx =（0k >）增长的速度始终不变；指数函数xy b =（1b >）增长的速度越来越快.总之来说，不管a （1a >），k （0k >），b （1b >）的大小关系如何，x y b =（1b >）的增长速度最终都会大大超过y kx =（0k >）的增长速度；y kx =（0k >）的增长速度最终都会大大超过log a y x =（1a >）的增长速度.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，恒有log xa b kx x >>.五、函数的应用（二）1. 函数的零点与方程的解01a <<1a >图 象定义域 (0,)+∞值域 R性 质（1）过定点(1,0)，即当1x =时，0y =. （2）增函数（2）减函数(1,0)Oyxy = log a xx = 1(1,0)Oyxy = log a xx = 1（1）函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解，也是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标.所以方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点. （2）函数零点存在定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解. 2. 用二分法求方程的近似解对于在区间[,]a b 上图象连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精确度ε，用二分法求函数()y f x =零点0x 的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点0x 的初始区间[,]a b ，验证()()0f a f b <. （2）求区间(,)a b 的中点c .（3）计算()f c ，并进一步确定零点所在的区间： ①若()0f c =（此时0x c =），则c 就是函数的零点； ②若()()0f a f c <（此时0(,)x a c ∈），则令b c =； ③若()()0f c f b <（此时0(,)x c b ∈），则令a c =.（4）判断是否达到精确度ε：若a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ）；否则重复步骤（2）~（4）.由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解. 3. 函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本:分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.。