绝密★启用前西南大学附属中学校高2020级第五次月考文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}|1A x x =>-，{}*2|60B x N x x =∈--<，则AB =（ ）A ．{}|13x x -<<B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,2 【答案】 D【解析】由题意可得{}1,2B =，则{}1,2AB =，故选D ．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(12)()z i a i =-+在复平面内对应的点为M ，则“12a >”是“点M 在第四象限”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也必要条件【答案】：C.【解析】：(12)()2(12)z i a i a a i =-+=++-，当12a >时，20a +>，120a -<⇒点M 在第四象限，当点M 在第四象限时有2011202a a a +>⎧⇒>⎨-<⎩，故“12a >”是“点M 在第四象限”的充要条件，选C 选项。
3.本次高三数学考试有1万人次参加，成绩ξ服从正太分布，平均成绩为118分，标准差为10分，则分数在(98,138]内的人数约为（ ）(参考数据()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈)(A).6667人 (B) .6827人 (C) .9545人 (D) .9973人【答案】：C【解析】：100000.9545=9545⨯4．已知)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象关于直线6π=x 对称，若存在,,21R x x ∈使得)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，且21x x -的最小值为，2π则ϕ等于（ ）12.πA 6.πB 4.πC 3.πD【答案】B【解析】 由题意得：)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，且21x x -的最小值为，2π,2T πω==根据三角函数的图像对称轴方程为2,(k )2x k Z πϕπ+=+∈，因为6π=x=6πϕ∴.5已知由不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤-≥≤04,2,0,0x y kx y y x 确定的平面区域Ω的面积为，7则k 的值为（ ） 3.A 1.B 1.-C 3.-D【答案】C6. 已知A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若P 的坐标为()2,0，则|++|PA PB PC 的最大值为（ ）7.Α 8.Β 9.C 10.D【答案】A【解析】由题意得：设()()()1,0,1,0,cos ,sin A B C θθ-，()()()()|++|=|3,0+1,0+cos 2,sin |=|cos 6,sin |PA PB PC θθθθ----，所以最大值是77.一个三位数：个位，十位，百位上的数字为,,x y z ，当且仅当,y z y x >>时，称这样的数为凸数，现从集合{}5,6,7,8中取出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是凸数的概率为（ ）32.Α 31.Β 61.C 121.D 【答案】B【解析】由题意得：343421==3C P A8. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，已知3AB =, 4BC =,5AC =,若阳马111C ABB A -的外接球的表面积等于50π，则鳖臑1C ABC -的所有棱中，最长的棱的棱长为（ ）A.5 41 C.2 D.8【答案】：C.【解析】：解法一：设线段1AA x =，外接求的半径为r ，由于已知得1111111111,,C B A B C B B B A B B B ⊥⊥⊥,所以22223425x x r +++=，所以外接球的表面积为 ()2222542550x x πππ+=+=⎝⎭，解得5x =.由于AC BC >，所以鳖臑1C ABC -的所有棱中，最长的棱的棱长为1AC ，2222115552AC AC CC +=+.故选C.解法二：……通过割补法知1AC 为外球球的直径，所以1AC 最长，因为214502AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以152AC =【点评】 通过外接球的直径最长，直接求值.9.设函数22()lg(2)1||f x x x =+-+，已知40.30.31000.3,log ,47a b c ===，则( ) (A) ()()()f a f b f c << (B) ()()()f a f c f b <<(C) ()()()f c f b f a << (D) ()()()f b f a f c <<【答案】：B【解析】：()f x 为R 上的偶函数，且[0,)+∞在上是增函数，又40.30.50.30.30.31000.31,|||log |log 0.07log 0.092,14427a b c =<==>=<=<=， 所以()()()f a f c f b <<10.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且21122n n n S a a =+ ，若数列21(1)2n n nn b S +=-，数列{}n b 的前2020项和为( )(A )20192020 (B) 20192020- (C) 20202021 (D) 20202021- 【答案】D【解析】：由21122n n n S a a =+得221111112222n n n n n n n a S S a a a a --⎛⎫=-=+-+ ⎪⎝⎭，整理得111()22n n n n n n a a a a a a ---+-=+因为0n a >所以11,n n a a --=当1n =时2112n n a a n S n n =∴=⇒=+ 所以，2212111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n b n n n n n n ++=-=-=-++++12320201111111112020(1)()(1)()(1)()(1)()11223342020202120212021n T =-++-++-+++-+=-=-11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，对任意的实数x 都有1'()42f x x +<，若3(1)()32f m f m m +≤-++．则实数m 的取值范围是（ ） A ．1[,)2-+∞ B ．3[,)2-+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞ 【答案】A【解析】：令21()()22g x f x x x =-+，则1'()'()40()2g x f x x g x =-+≤⇒不增 又3(1)()(1)()32g m g m f m f m m +--=+----故所求不等式即1(1)()12g m g m m m m +≤-⇒+≥-⇒≥-，故选A ． 12．在△ABC 中，A >B ，BC=10，37sin 32C =，1cos()8A B -=，若点P 是△ABC 所在平面内任意一点，则PA PC -的取值范围是（ ）A ．[5,5]-B ．[6,6]-C ．[7,7]-D ．[8,8]- 【答案】D【解析】：如图，作DAB B =∠，D 在边BC 上，则CAD A B =-∠在△ACD 中，1cos 8CAD =∠，则37sin 4sin 8CAD C ==∠ 由正弦定理知：CD=4AD=4BD ，则BC=CD+BD=5BD=10 故BD=AD=2，CD=8，又sin sin CAD C >∠，故(0,)2C π∈，则31cos 32C =37sin sin sin()88sin AD ADCADC CAD C AC Cπ⇒=--=⇒==∠∠∠ 又AC PA PC AC -≤-≤，即[8,8]PA PC -∈-，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积是____【答案】16【解析】考查定积分：()23121001=|236x x S x x dx -=-=⎰14．已知函数21,02()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若2(x)(x)4(x)m g f f =-+有4个零点，则m 的取值范围是____【答案】[)3,4=1640(1)14m 0m g ∆->⎧∴⎨=-+≥⎩，所以m 的取值范围是[)3,4 15．已知函数|x|2(x)e ,f x =-下列说法中正确的是____①(x)f 的值域是[)1+∞，；②当1a =时，方程(x)ax 10f --=有两个不等的实根； ③若函数(x)ax 1y f =--有三个零点时，则()|a|2,1e ∈-； ④经过()0,1有三条直线与(x)y f =相切. 【答案】①②③ 【解析】：由图可得16. 如图，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F .若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D .则 （1）双曲线的离心率____e =；（2）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12____S S =.【答案】（1）12；（2）22. 【解析】【方法一】（1）直线21B F 的方程为0bx cy bc -+=，点O 到直线的距离为a，所以222222422442()(2)301310(1).2a c a c c a a c a c a e e e e =⇒-=-⇒-+=⇒-+=⇒=>，（2）12S bc =，设222222222222222112222222,2,,,,,4124,.,,2222m c ac ab BC m BA n m n a m n n b b c b cS S a bc b c b c S mn bc a c b b c b c S a bc S ==∴=+=∴==++++∴======-∴=∴=+【方法二】（1）直线21B F 的方程为0bx cy bc -+=，点O 到直线的距离为a，所以222222422442()(2)301310(1).2a c a c c a a c a c a e e e e =⇒-=-⇒-+=⇒-+=⇒=>，（2）12S bc =，设222222222222222112222222,2,,,,,4124,.,,2222m c ac ab BC m BA n m n a m n n b b c b cS S a bc b c b c S mn bc a c b b c b c S a bc S ==∴=+=∴==++++∴======-∴=∴=+三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当*n N ∈时，n S 是12n +与2m 的等差中项（m 为实数）.()Ⅰ求m 的值及数列{}n a 的通项公式；()Ⅱ令*21log (),n n b a n N =+∈是否存在正整数k ,使得1111210n n n kbb b n +++>+++对任意正整数n 均成立？若存在,求出k 的最大值,若不存在,说明理由.【答案】()Ⅰ1m =-,12(1)n n a n -=≥.()Ⅱ4. 【解析】()Ⅰ11111222,222(2)2(1)1,2421n n n n n n S m S m n a n a a m m +--=+=+≥⇒=≥⇒==+⇒=-()Ⅱmax 11111,412210n kb n n k n n n n n n =+++>⋅=>⇒=++++18.如图，BD 是平面四边形ABCD 的一条对角线，已知BD AD DB AB ⋅=⋅,且DB AD AB =+.（1）求证：ABD ∆是等腰直角三角形；（2）若1,2==CD BC ,求四边形ABCD 面积的最大值。
