六年级数学下册方程、计数、最值、行程等问题中的数论综合(上)

小学数学必考的四类行程问题，解题就按这个思路来！行程问题是小学数学考试的四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。

今天我们一起学习一下如何解决这一类问题！1【一般相遇追及问题】包括一人或者二人时(同时、异时)、地(同地、异地)、向(同向、相向)的时间和距离等条件混合出现的行程问题。

建议熟练应用标准解法，即s=v×t结合标准线段画图(基本功)解答。

由于只用到相遇追及的基本公式即可解决，在解题的时候，一旦出现比较多的情况变化时，结合自己画出的图分段去分析情况。

例题甲乙两人相距200米，甲每分钟走45米，乙每分钟行55米。

几分钟后两人相距500米？分析与解：1.反方向运动：相背：(500-200)÷(45+55)=300/100=3（分钟）相遇再相背：(500+200)÷(45+55)=700/100=7（分钟）2.同方向运动：追上再超过：(500+200)÷(55-45)=700/10=70（分钟）追不上：(500-200)÷(55-45)=300/10=30（分钟）展开剩余84%2【复杂相遇追及问题】（1）多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

比一般相遇追及问题多了一个运动对象，即一般我们能碰到的是三人相遇追及问题。

解题思路完全一样，只是相对复杂点，关键是标准画图的能力能否清楚表明三者的运动状态。

例题有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?（2）多次相遇追及问题即两个人在一段路程中同时同地或者同时异地反复相遇和追及，俗称“反复折腾型问题”。

分为标准型(如已知两地距离和两者速度，求n次相遇或者追及点距特定地点的距离或者在规定时间内的相遇或追及次数)和纯周期问题(少见，如已知两者速度，求一个周期后，即两者都回到初始点时相遇、追及的次数)。

第9讲小升初专项复习（6）——数论综合思维启航一、训练目标知识传递：掌握数论的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。

能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。

思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。

二、知识与方法归纳1．数的整除（1）熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。

（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。

（4×25=100）（3）一个数的末三位数能被8或125整除。

那么这个数就能被8或125整除。

（8×125=1000）（4）一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。

另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。

（很常用，请牢记。

）（7×11×13=1001）（5）如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。

即如果c︱a，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。

（6）如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。

即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。

（7）如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。

即如果a︱b，b︱c，则a︱c。

（8）如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。

即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。

2．奇数和偶数（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。

反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。

第二十一讲数论综合数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。

由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。

数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。

作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。

基本公式1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。

2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。

3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a× p22a×...×p k k a（#)其中p1<p2<...<p k为质数，a1,a2,....a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

该式称为n的质因子分解式。

4.约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(a k+1)所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+P k+P k2+…p k k a）5.用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。

6.自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。

7.平方数的总结：①平方差：A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。

④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。

8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。

9.周期性数字：abab=ab×1011.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。

数论是研究自然数规律的学科，至今我们已经学过了整除、同余、约数、倍数等许许多多的数论知识，了解了很多与自然数有关的现象与规律．这些规律都颇为优美而实用，帮我们解决了很多问题．为了进一步挖掘这些规律的本质，我们需要引进用字母表示数的想法，将数论与代数，尤其是方程结合起来．2的个位数字是多少，考虑数列2，22，32，42，…，用余数可替代性比如，求100结合找规律的想法，发现该数列每一项的个位数字组成的数列是以4为周期的：2，4，8，6，2，4，8，6，…，因而1002的个位数字与42的个位数字相同，故个位数字为6．那么为什么会有“4”这一个周期呢？用代数方法很容易说明：对任意正整数n ，由于()4422221215n n n n +−=−=×（其中15是5的倍数，2n 是2的倍数），故422n n +−一定是10的倍数，所以42n +与2n 个位数字相同．引入代数思想，能帮助我们很好地解释数论中存在的各种规律．当然，要熟练地应用代数思想来解释数论规律并不是一件容易的事情．在这一讲，我们只学习几个典型问题，目的在于实现小学数论到初中数论知识的过渡．分析 2n 可以用来表示所有偶数，21n −可以表示所有奇数，如n 取2时，22×是第2个正偶数，221×−是第二个正奇数．那么能否用一个类似的式子来表示出所给数列的每一项呢？练习1. 在数列5，10，15，20，25，…中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前2n +个数的乘积的末尾0的个数少5个，那么n 最小是多少？分析 要了解什么样的数是智慧数，不妨先计算一些智慧数，看看其中藏着什么玄机，有什么规律？的乘积的末尾最小是多少？练习2. 一只乌龟，它10年前的年龄是完全平方数，10年后的年龄也是完全平方数，这只乌龟今年几岁？分析 小高扔的石子总数与扔石子次数之间是什么关系呢？练习3. 卡莉娅天天吃零食，第一天吃了100颗巧克力豆，第二天吃了99颗，第三天吃了98颗，……，不到60天，所有巧克力豆都被吃光了．已知开始时，这些巧克力豆都是装在袋子里的，每个袋子30颗，那么卡莉娅共吃了多少袋巧克力豆？分析 设与4相邻的数为a ，则4a 要是4a +的倍数．这里的自然数a 有哪些可能取值？2颗石子，第三次扔子总数是练习4. 有甲、乙两个自然数，甲是乙的10倍，甲与乙的乘积能被甲与乙的和整除，那么甲数最小是多少？分析 不妨设小高、小娅分别胜了m 局和n 局，那么最后的得分之差怎么表示？它要是110的倍数，意味着什么？练习5. 墨莫和萱萱玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变．最后墨莫获胜，他比萱萱多的分数是39的倍数，那么他们最少玩了多少局？每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以最后小高获胜，连续自然数．现在设置指针第一秒转动的角度为的整数）如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么置方法？最小可以被设成多少？本讲知识点汇总一、复习所学过的各种数论知识，初步学会用代数思想来解释余数的周期性．二、学习用代数方法来表示数列的通项．三、用代数思想来处理一些特殊的不定方程问题：1. 平方差问题：两个正整数的平方差要么是奇数，要么是4的倍数； 2.二次不定方程及指数不定方程问题．这类问题常结合整除、余数知识来进行处理．作业1. 在数列2，5，8，11，14，17，20，…中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前1n +个数的乘积的末尾0的个数少2个，那么n 最小是多少？2.“勾三、股四、弦五”是一组勾股数，满足：222345+=且3、4、5都是正整数．当“勾七”时，股和弦各是多少？3. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹， ，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼多少仙丹？4. 请你在5与6之间插入两个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的乘积．5. 一只怪兽的现在的攻击力是1点．该怪兽带着一枚硬币，硬币有正反两面．每次投掷硬币，如果投到正面，则现有攻击力翻倍；如果投到反面，则现有攻击力减11，如果不够减，则怪兽死亡．已知这只怪兽投掷了若干次（至少一次）硬币之后，依然活着，而且攻击力依然为1点，那么它最少掷了多少次硬币？。

小学数学六年级知识点：数论综合基本公式1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。

2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。

3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a× p22a×...×p k k a（#)其中p1<p2<...<p k为质数，a1,a2,....a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

该式称为n的质因子分解式。

4.约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(a k+1)所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+P k+P k2+…p k k a）5.用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。

6.自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。

7.平方数的总结：①平方差：A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。

④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。

8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。

9.周期性数字：abab=ab×101例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。

将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。

请求出这24个四位数中最大的一个。

例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？例3：由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？例4：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．所以两位幸运数只有14．4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=5×111×1001=3×5×7×11×13×37显然其最大的三位数约数为777．5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．【分析与解】设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=23×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．所以，至少要分成3组．8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．小圆周长为π×30=307r，大圆周长为48π，一半便是24π，30与24的最小公倍数时120．120÷30=4．120÷24=5．所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个12圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时两只甲虫相距最远．9．设a与b是两个不相等的非零自然数．(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b．：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10；：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3；: 当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?【分析与解】由于3128÷142=114，3128÷324=92．所以狐狸跳4个3128米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个3128米的距离时，将掉进陷阱．又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.距离为9×142=40.5(米)．11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【分析与解】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数．即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51．于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍)．当A为51时，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不满足；当A为17时，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；满足．所以，除数4为17．13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．4n+4n+1，显然除以4余1．评注：设奇数为2n+1，则它的平方为214．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?【分析与解】 10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的160作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位．不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个．由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2．同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4．由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点．沿这些刻度点把木棍锯成28段．。

六年级数学专题思维训练—数论综合1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．2 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？4宫格 9宫格5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．6 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出种不同的挑法来（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）．7 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有 个8 不大于2009的自然数中，被3整除且恰有一个数码是6的有 个9 试说明，将1+21+31+。

+401的和写成一个最简分数nm 时，m 不会是5的倍数10 数89之数码和为17．请问1、2、3、…、2008这2008个数之数码和的总和为多少？11 21ab 是一个四位数，由四个阿拉伯数字a 、b ，1，2组成的其他23个四位数的和等于 90669，求a 和6的值．12 N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是13 在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3_』-6=9，9可以整除3×6；再如，6__-30=36，36可以整除6×30）．请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．4、_ ___、____、____、314 N为自然数，且N+l、N+2、…、N+9与690都有大于1的公因数.N的最小值为15 写一个首位数字比末位数字大2的n位数（n大于或等于3）A，交换首位数字和末尾数字，得n位数B，A、B相减（大数减小数），所得的差为n位数C，把C的首位数字和末尾数字互换得D，C和D的和是S，不论写怎样的符合要求的数A，所得S都是一个常数K的倍数，则K的最大值是参考答案及解析1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．【答案】68097【分析】17+4×20+10×202+8×203=680972 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．【答案】36126或54189【分析】这个五位数为abcde，由题意abcde= 2007 (a+b+c+d +e）由于9¦ 2007，可得9¦abcde，则有9¦(a+b+c+d+e)， 2007×9=18063，这个五位数是18063的倍数，只可能为：18063,36126,54189,7225290315.经检验，36126和54189符合题意．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？【答案】 (1)999个，(2)999个．【分析】(l)由于每连续4个自然数中必有一个能被4整除，3998÷4=999……2．因此从1到3998这3998个自然数中能被4整除的一共有999个‘(2)为了方便，将0到3999这4000个整数都看成四位数abcd（不是四位则在前面补零，如12=0012）．由于b.c，d各有10种数字可任意选择，而且当b.c.d选定后．为满足a+b+c+d 能被4整除，千位数字“必唯一确定．事实上，若b+c+d=4K时，则a=o；若b+c+d=4K+l 时．则a=3 ：若b+c+d=4K+2时，则a=2；若b+C+d=4K+3，则a=1．（K为整数）综上所述，在o到3999这4000个整数中有1×10 ×10×10=1000（个）数的各位数字之和能被4整除．因此，从1到3998这3998个自然数中有1ooo-1=999(个）数的各位数字之和能被4整除，4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？76田4宫格 9宫格【答案】25【分析】m2向的火柴棒有m+1列，每列有m根，也共有m(m+1)根．所以，摆放”，m2宫格”共用了2m( m+1) 根火柴棒．由2m(m+ l) =1300，得到m(m+1)=650=2×52×13=25×26．因此m=25 ．5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．【答案】24【分析】情况一：．．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友不报数而是拍手．再下一个小朋友报8．此时，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数（报出来或者拍手跳过）之间的差等于总人数．小明本次应当拍手，而不是报出91．所以”总人数是91—19=72的约数．有72．36．24，18，……，其中是“二十多”的只有24．情况二：，．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友直接报8．此时．把所有i 的倍数和带有数字7的数去掉之后，剩余的数排成一列，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数在这个数列中的位置号之差等于总人数．从19到90这72个数中，含有数字7的有27,37,47,57,67,70到79.87．共16个．是i 的倍数且不含有数字7的有21,28,35,42,49,56,63,84共8令，所以排除掉之后剩下48个．总人数应当是48的约数，有48,24,16，……，其中是“二十多”的也只有24。

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

综合训练之数论2一、约数与倍数1、几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数.几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数.自然数a与b的最大公因数记作（a,b）.2、如果两个自然数的最大公约数是1，那么就称这两个数互质.对于自然数a、b，有［a，b］×（a，b）＝a×b3、几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数几个自然数的公倍数有无限多个，所以不存在最大公倍数，除零外，其中最小的只有一个，这个数就叫做这几个数的最小公倍数.自然数a和b的最小公倍数记作［ａ，b］4、将一个自然数分解质因数比较困难时，可运用辗转相除法求两自然数的最大公约数.即一个较大自然数与另一个自然数的最大公约数，等于较大数除以另一个数所得的余数与另一个数的最大公约数.5、约数个数与约数和：设自然数n的质因子分解式如n= p m11 p m22 ...p mk k，那么：①n的约数个数：（指数＋1）相乘。

即（m1+1）(m2+1) （m3+1）……(m k+1)②n的所有约数和：指数递减，相加相乘。

即（p m11 + p m1-11 +p m1-21 +…+ p1 +p01）（p m22 + p m2-12 +p m2-22 +…+ p2 +p02）（p m33 + p m3-13 +p m3-23+…+ p3 +p03）……（p mk k + p mk-1k +p mk-2k +…+ p k +p0k）6、完全平方数性质①平方差： A2–B2 =（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解：把数分解，使他满足积是平方数。

④奇数的平方被4除余1，偶数的平方能被4或8整除。

⑤任何两个整数的平方和被4除一定不余3.⑥任何两个整数的平方差被4除一定不余2.二、余数与同余在有余数的除法里被除数=除数×商+余数。

第二十一讲数论综合数论是历年小升初的考试难点,各学校都把数论当压轴题处理。

由于行程题的类型较多,题型多样,变化众多,所以对学生来说处理起来很头疼。

数论内容包括：整数的整除性,同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。

作为一个理论性比较强的专题,数论在各种杯赛中都会占不小的比重,而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。

基本公式1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地,若(a,b)=1,则有ab|c。

2.已知c|ab,(b,c)=1,则c|a。

3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即n= p11a× p22a×...×p k k a(#)其中p1<p2<...<p k为质数,a1,a2,....a k为自然数,并且这种表示是唯一的。

该式称为n的质因子分解式。

4.约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如(#)那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(a k+1)所有约数和：(1+P1+P12+…p11a)(1+P2+P22+…p22a)…(1+P k+P k2+…p k k a)5.用[a,b]表示a和b的最小公倍数,(a,b)表示a和b的最大公约数,那么有ab=[a,b]×(a,b)。

6.自然数是否能被3,4,25,8,125,5,7,9,11,13等数整除的判别方法。

7.平方数的总结：①平方差：A2-B2=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B, A-B同奇偶性。

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分答案：把数字分答案,使他满足积是平方数。

④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。

8.十进制自然数表示法,十进制和二进制,八进制,五进制等的相互转化。

9.周期性数字：abab=ab×1011.全面掌握数论的几大知识点,能否在考试中取得高分,解出数论的压轴大题是关键。

六年级数学下册综合算式专项练习题解方程法则解方程法则是在数学中解决方程的一种方法，它可以帮助我们找到方程的解。

在六年级数学下册中，综合算式专项练习题是一个重要的学习内容，通过解方程法则来解决这些题目，可以帮助我们巩固知识，提高解题能力。

接下来，我将通过几个具体的例子来详细介绍解方程法则的应用。

例1：甲、乙、丙三个人相约上学，甲先乘公交车到学校，用时21分钟；乙先骑自行车，用时28分钟；丙先步行，用时56分钟。

如果步行的速度是骑自行车的0.6倍，骑自行车的速度是乘公交车的1.5倍，求乙的自行车速度。

解题思路：设甲、乙、丙分别的速度为x,y,z，单位为m/min。

根据题目中的条件，我们可以列出以下方程：21x = 28y = 56zy = 0.6zy = 1.5x解方程：将第二个方程代入第一个方程，得到：21x = 28(0.6z) = 16.8z将第三个方程代入第一个方程，得到：21x = 1.5x化简得：19.5x = 16.8z由此得到：x = 16.8z / 19.5答案：乙的自行车速度为16.8z / 19.5，即16.8乘以步行速度，再除以19.5。

例2：某个数去掉百位后变成原来的十位数的5倍，去掉十位后又变成原来的个位数的8倍，这个数是多少？解题思路：设这个数为百位数a、十位数b、个位数c，那么原数可以表示为100a + 10b + c。

根据题目中的条件，我们可以列出以下方程：10b + c = 5(10a + c)c = 8(10a + b)解方程：将第二个方程代入第一个方程，得到：10b + 8(10a + b) = 5(10a + 8(10a + b))化简得：10b + 80a + 8b = 50a + 40b化简得：80a - 40b = 40b - 10a化简得：80a + 10a = 80b + 40b化简得：90a = 120b由此得到：a = 4b / 3答案：根据题目要求，a、b、c都是整数，所以我们可以试着取a为3，b为4，那么c就可以通过第二个方程计算出来：c = 8(10a + b) = 8(30 + 4) = 272所以这个数是327。