广东省深圳外国语学校2019-2020年初三下3月月考数学试卷

广东省深圳市2019-2020学年中考数学三月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60°C ．75°D ．105° 2．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）A ．5B ．35C ．22D ．233．在平面直角坐标系中，将点P （4，﹣3）绕原点旋转90°得到P 1，则P 1的坐标为（ ） A ．（﹣3，﹣4）或（3，4）B ．（﹣4，﹣3）C ．（﹣4，﹣3）或（4，3）D ．（﹣3，﹣4）4．如图，AB ∥CD ，DE ⊥BE ，BF 、DF 分别为∠ABE 、∠CDE 的角平分线，则∠BFD ＝（ ）A ．110°B ．120°C ．125°D ．135°5．将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）A ．10cmB ．30cmC ．45cmD ．300cm6．如图，左、右并排的两棵树AB 和CD ，小树的高AB=6m ，大树的高CD=9m ，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m ，当他站在F 点时恰好看到大树顶端C 点．已知此时他与小树的距离BF=2m ，则两棵树之间的距离BD 是（ ）A ．1mB ．43mC ．3mD ．103m 7．在平面直角坐标系中，将点P （﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（ ）A ．（2，4）B ．（1，5）C ．（1，-3）D ．（-5，5）8．如图，在⊙O 中，O 为圆心，点A ，B ，C 在圆上，若OA=AB ，则∠ACB=（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =-+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．如图是由4个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（ ）A．B．C．D．11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞112．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为（）A．116B．18C．316D．14二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是_____．14．计算12-3的结果是______.15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上kyx，则k值为_____．16．在一个不透明的空袋子里放入3个白球和2个红球，每个球除颜色外完全相同，小乐从中任意摸出1个球，摸出的球是红球，放回后充分摇匀，又从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ____ ．17．如图，在反比例函数y=10x（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，它们的横坐标依次为2，4，6，8，…分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1+S2+S3+…+S n=_____（用含n的代数式表示）18．已知a+＝3，则的值是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，抛物线y=ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m （m＞4）．（1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；（2）如图2，若∠ACP=45°，求m的值；（3）如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．20．（6分）如图，A，B，C 三个粮仓的位置如图所示，A 粮仓在B 粮仓北偏东26°，180 千米处；C 粮仓在 B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A，B两个粮仓原有存粮共450 吨，根据灾情需要，现从 A 粮仓运出该粮仓存粮的35支援 C 粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的25支援 C 粮仓，这时A，B两处粮仓的存粮吨数相等．（tan26°＝0.44，cos26°＝0.90，tan26°＝0.49）（1）A，B 两处粮仓原有存粮各多少吨？（2）C 粮仓至少需要支援200 吨粮食，问此调拨计划能满足C 粮仓的需求吗？（3）由于气象条件恶劣，从 B 处出发到 C 处的车队来回都限速以每小时35 公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶 4 小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到B 地？请你说明理由．21．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．22．（8分）计算（﹣12）﹣2﹣（π﹣3）0+|3﹣2|+2sin60°；23．（8分）如图所示，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A(2，n)，与x轴交于点C．求双曲线解析式；点P在x轴上，如果△ACP的面积为5，求点P的坐标.24．（10分）某厂按用户的月需求量(件)完成一种产品的生产，其中．每件的售价为18万元，每件的成本(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量(件)成反比．经市场调研发现，月需求量与月份(为整数，)符合关系式(为常数)，且得到了表中的数据．月份(月) 1 2成本(万元/件) 11 12需求量(件/月) 120 100(1)求与满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第个月和第个月的利润相差最大，求．25．（10分）如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：2EF=4BP•QP．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B与原点O重合，点C在x轴上，点C坐标为（6，0），等边三角形ABC的三边上有三个动点D、E、F（不考虑与A、B、C重合），点D从A向B运动，点E从B向C运动，点F从C向A运动，三点同时运动，到终点结束，且速度均为1cm/s，设运动的时间为ts，解答下列问题：（1）求证：如图①，不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形．（2）如图②过点E作EQ∥AB，交AC于点Q，设△AEQ的面积为S，求S与t的函数关系式及t为何值时△AEQ的面积最大？求出这个最大值．（3）在（2）的条件下，当△AEQ的面积最大时，平面内是否存在一点P，使A、D、Q、P构成的四边形是菱形，若存在请直接写出P坐标，若不存在请说明理由？27．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．（1）求证：BP平分∠ABC；（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C．2．B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解．【详解】∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，∴∠BED=∠CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，∴DF=FA=2-x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2-x）2，解得：x=34，∴sin∠BED=sin∠CDF=35 CFDF．故选B．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．3．A【解析】【分析】分顺时针旋转，逆时针旋转两种情形求解即可.【详解】解：如图,分两种情形旋转可得P′(3,4),P″(−3,−4)，故选A.【点睛】本题考查坐标与图形变换——旋转，解题的关键是利用空间想象能力.4．D【解析】【分析】【详解】如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，∴∠FBE+∠FDE=12（∠ABE+∠CDE）=12（360°﹣90°）=135°，∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．5．A【解析】【分析】根据已知得出直径是60cm 的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120︒半径是30cm 的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案。

深圳外国语学校初三年级第二次月考数学试卷说明：1．全卷共23题，试卷2页，答卷2页，考试时间90分钟，总分值100分。

2．解答全部做在答卷中规定的位置，做在其它地方无效。

答题前，将座位号、姓名、班级写在答卷密封线内，不得在答卷上作任何标记。

一、选择题〔每题3分，共30分，每个小题只有一个选项是符合题目要求的，请把所选答案前的字母填写在答题表一内，否那么不给分〕 1．cos30°的值是 A ．21B ．33C ．22D ．232．方程x x =2的解是A ．1=xB ．0=xC ．11=x ，12-=xD ．11=x ，02=x 3．△ABC 中，AB=10，BC=8，AC=6，那么△ABC 的面积是A ．24B ．30C ．40D ．484．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，那么以下式子中错误的选项是A ．sinA=AC BC B ．sinB=AB AC C ．cosA=AB AC D ．tanA=ACBC6．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2 个红球，1个黑球，搅匀后从布袋里随机摸出两个球，两个球都是红球的概率是 A ．31 B ．94 C ．21 D ．32 7．一个矩形相邻两边的长分别为x 、y ，其面积为2，那么y 与x 之间的关系用图象表示大致为8．以下说法中正确的选项是A ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形的三边的距离相等C ．垂直于弦的直径平分弦D ．平分弦的直径垂直于弦9．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是 A ．20% B ．27% C ．28% D ．32%10．如图是二次函数c bx ax y ++=2〔0≠a 〕的图象的一局部，对称轴为x = 1，给出以下结论：①0<a ，0<b ，0>c ；②042>-ac b ；③假设〔1x ，1y 〕、〔2x ，2y 〕是该函数图象上的两点， 且121>>x x 时，那么21y y >；④方程02=++c bx ax 的根为11-=x ，32=x 。

2019-2020学年九年级下学期数学3月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：（3×12） (共12题；共31分)1. （3分） (2017九上·满洲里期末) 一元二次方程根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 无实数根D . 无法确定2. （3分）若方程x2=m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（）A . 1B . 4C .D .3. （2分） (2017九上·福州期末) 若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A . 0B . 2C . 7D . 2或74. （3分）(2018·娄底模拟) 下列结论中错误的是（）A . 四边形的内角和等于它的外角和B . 点P（-2，-3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（-3，0）C . 方程x2+x-2=0的两根之积是-2D . 函数y= 的自变量x的取值范围是x＞35. （3分） (2019七下·淮滨月考) 如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，将三角形ABC 沿直线BC向右平移2.5个单位长度得到三角形DEF，连接AD，AE.有下列结论：①AC∥DF；②AD∥BE，AD＝BE；③∠ABE ＝∠DEF；④ED⊥AC.其中正确的结论有（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个6. （2分）如图，是一个由3个相同的正方体组成的立体图形，则从正面看到的平面图形为（）A .B .C .D .7. （3分） (2016九上·临河期中) 在下面的四个三角形中，不能由如图的三角形经过旋转或平移得到的是（）A .B .C .D .8. （3分）二次函数y=x2-2x+2与y轴交点坐标为（）A . （0，1）B . （0，2）C . （0，-1）D . （0，-2）9. （2分）若二次函数的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（， 0），（， 0），且，图象上有一点M（）在x轴下方，则下列判断中正确的是（）．A .B .C .D .10. （2分）将长为14cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形=（）A . 12cm2B . 10cm2C . 8cm2D . 6cm211. （3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（）A .B .C .D .12. （2分）如果反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（2，-3），那么k的值为（）A . -6B . 6C . －D .二、填空题（4×6） (共6题；共20分)13. （4分） (2016七上·微山期中) 如图，半圆的半径为r，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则图中阴影部分的面积是________．14. （4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为________.15. （4分）(2018·广水模拟) 如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2+PF2=8，则AB等于________16. （4分） (2018九上·湖州期中) 若二次函数y=x2-6x+c的图象经过A(﹣1，y1)、B(2，y2)、C(3+ ，y3)三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是________17. （2分） (2016八上·平谷期末) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC= ，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=2，则BC=________．18. （2分）(2019·江海模拟) 如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，E为⊙O上一点，连结CE，过C作CD⊥CE，交BE于点D，已知tanA＝，AB＝2 ，DE＝5，则tan∠ACE＝________．三、解答题 (共6题；共52分)19. （8分） (2018九上·镇海期末) 计算：20. （8分） (2018八上·江汉期中) 已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0.（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F 点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值.21. （10.0分）(2017·古田模拟) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D （3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为________；抛物线的解析式为________．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E 以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？22. （2分）(2017·枣庄模拟) 如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB 的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．（1）求证：OF= BG；（2）若AB=4，求DC的长．23. （12分） (2019九上·宁波期中) 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…830﹣10…（1）当ax2+bx+c＝3时，则方程的解为________；（2）求该二次函数的表达式；（3）将该函数的图象向上（或向下）平移，使图象与直线y＝4只有一个公共点，直接写出平移后的函数表达式．24. （12分） (2017八下·启东期中) 如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．（1）请补全表：α30°45°60°90°120°135°150°S________________1________________（2）填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S（α）．例如：当α=30°时，S=S（30°）= ；当α=135°时，S=S= ．由上表可以得到S（60°）=S（________°）；S（30°）=S（________°），…，由此可以归纳出S（α）=（________°）．（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD= ，∠AOB=α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．参考答案一、选择题：（3×12） (共12题；共31分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题（4×6） (共6题；共20分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共6题；共52分)19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略21-1、21-2、答案：略21-3、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、第11 页共11 页。

2019-2020学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）一．选择题（共10小题）1．的相反数是（）A．8B．﹣8C．4D．﹣42．2019年10月1日，天安门广场迎来新中国成立以来的第15次国庆阅兵．据统计，截止至当天下午6点，央视新闻置顶的“国庆阅兵”阅读数已超过34亿．数据34亿用科学记数法表示为（）A．0.34×1010B．3.4×109C．3.4×108D．34×1083．如图所示几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕着点A旋转至△ADE，点B的对应点点D 恰好落在BC边上，若AC＝2，∠B＝60°，则CD的长为（）A．2B．3C．2D．45．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝CA，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD7．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°8．若反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m 的图象上，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜﹣2C．m＞2或m＜﹣2D．﹣2＜m＜29．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD 组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）10．小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④二．填空题（共6小题）11．若式子x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是．13．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为．14．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于cm．15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为．16．如图，在反比例函数y＝﹣的图象上有一点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，若tan∠CAB＝3，则k＝．三．解答题（共9小题）17．用配方法解方程：x2+8x﹣4＝0．18．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．19．某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在170≤x＜175（cm）的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．20．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．21．自2016年1月10日零时起，金丽温高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．（1）如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用元；（2）现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？22．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．23．阅读下面材料：学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例如求不等式x﹣3＞的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线y1＝x﹣3与函数y2＝的图象（如图1），观察图象可知：它们交于点A（﹣1，﹣4），B（4，1）．当﹣1＜x ＜0，或x＞4时，y1＞y2，即不等式x﹣3＞的解集为﹣1＜x＜0，或x＞4．小东根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）将不等式按条件进行转化当x＝0时，原不等式不成立；x＞0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＞；当x＜0时，原不等式转化为；（2）构造函数，画出图象设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系（图2）中分别画出这两个函数的图象．（3）借助图象，写出解集观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合（1）的讨论结果，可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为．24．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC 于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB＝4，且点E是的中点，求DF的长为；②取的中点H，当∠EAB的度数为30°时，求证：四边形OBEH为菱形．25．已知抛物线G：y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；（2）若抛物线G的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的对等值．若函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k有两相异的对等值x1，x2，且x1＜2＜x2，求k的最大整数值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．的相反数是（）A．8B．﹣8C．4D．﹣4【分析】先根据立方根的定义求出＝﹣4，再根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：∵＝﹣4，∴的相反数是4．故选：C．2．2019年10月1日，天安门广场迎来新中国成立以来的第15次国庆阅兵．据统计，截止至当天下午6点，央视新闻置顶的“国庆阅兵”阅读数已超过34亿．数据34亿用科学记数法表示为（）A．0.34×1010B．3.4×109C．3.4×108D．34×108【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：34亿＝3400000000＝3.4×109．故选：B．3．如图所示几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】先细心观察原立体图形和正方体的位置关系，结合四个选项选出答案．【解答】解：由图可知，主视图有二行，最下一层3个小正方体，上面左侧有一个．故选：A．4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕着点A旋转至△ADE，点B的对应点点D 恰好落在BC边上，若AC＝2，∠B＝60°，则CD的长为（）A．2B．3C．2D．4【分析】先在直角三角形ABC中，求出AB，BC，然后判断出BD＝AB＝2，简单计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝60°，∴AB＝2，BC＝4，由旋转得，AD＝AB，∵∠B＝60°，∴BD＝AB＝2，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣2＝2，故选：A．5．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝CA，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【分析】想办法求出∠B，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，∴∠B＝∠DCB，∵CD＝CA，∴∠A＝∠CDA＝50°，∵∠CDA＝∠B+∠DCB，∴∠B＝∠DCB＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣50°＝105°，故选：D．6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD【分析】由条件OA＝OC，OB＝OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．7．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°，故选：B．8．若反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m 的图象上，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜﹣2C．m＞2或m＜﹣2D．﹣2＜m＜2【分析】根据反比例函数图形上点的坐标特征得到反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数y＝的图象上，解方程组得x2﹣mx+2＝0，根据y＝的图象与一次函数y＝﹣x+m的图象有两个不同的交点，得到方程x2﹣mx+2＝0有两个不同的实数根，于是得到结论．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数y＝的图象上，∴解方程组得x2﹣mx+2＝0，∵y＝的图象与一次函数y＝﹣x+m有两个不同的交点，∴方程x2﹣mx+2＝0有两个不同的实数根，∴△＝m2﹣8＞0，∴m＞2或m＜﹣2，故选：C．9．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD 组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10．小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1解得：x1＝m﹣，x2＝m+∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|解得：m＝0或1，当m＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m＝0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x1+x2＞2m∴∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离∵x1＜x2，且a＝﹣1＜0∴y1＞y2故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．二．填空题（共6小题）11．若式子x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，解得x≥1，故答案为：x≥1．12．中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是．【分析】根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等，根据概率公式计算即可．【解答】解：∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称，∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等，∴在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是，故答案为：．13．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为x＜2．【分析】直接利用图象把（﹣6，0）代入，进而得出k，b之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．【解答】解：∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，则b＝6k，故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，∵k＜0，∴x﹣2＜0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．14．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于2cm．【分析】能组合成圆锥体，那么扇形的弧长等于圆形纸片的周长．应先利用扇形的面积＝圆锥的弧长×母线长÷2，得到圆锥的弧长＝2扇形的面积÷母线长，进而根据圆锥的底面半径＝圆锥的弧长÷2π求解．【解答】解：∵圆锥的弧长＝2×12π÷6＝4π，∴圆锥的底面半径＝4π÷2π＝2cm，故答案为2．15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为32°．【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°．故答案为：32°．16．如图，在反比例函数y＝﹣的图象上有一点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，若tan∠CAB＝3，则k＝18．【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出＝＝，再由tan∠CAB＝＝3，可得出CF•OF＝18，由此即可得出结论．【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．由直线AB与反比例函数y＝﹣的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO＝BO．又∵AC＝BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE∽△COF，∴＝＝，∵tan∠CAB＝＝3，∴CF＝3AE，OF＝3OE．又∵AE•OE＝|﹣2|＝2，CF•OF＝|k|，∴k＝±18．∵点C在第一象限，∴k＝18．故答案为：18．三．解答题（共9小题）17．用配方法解方程：x2+8x﹣4＝0．【分析】根据配方法的基本步骤依次进行即可．【解答】解：x2+8x＝4，x2+8x+16＝4+16，即（x+4）2＝20，∴x+4＝±2，∴x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．18．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠C＝∠E19．某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在170≤x＜175（cm）的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．【分析】（1）根据D部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，（2）用总人数乘以C、E所占的百分比求得C、E部分人数，从而补全条形图；（3）用360°乘以E部分所占百分比即可求解；（4）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）总人数为13÷26%＝50人，答：两个班共有女生50人；（2）C部分对应的人数为50×28%＝14人，E部分所对应的人数为50﹣2﹣6﹣13﹣14﹣5＝10；频数分布直方图补充如下：（3）扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为×360°＝72°；（4）画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，所以这两人来自同一班级的概率是＝．20．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴＝，解得：x＝2，∴AE＝2．21．自2016年1月10日零时起，金丽温高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．（1）如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用2280元；（2）现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【分析】（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元求解；（2）设这次旅游可以安排x人参加，就有10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则：（10+x）（200﹣5x）＝2625．【解答】解：（1）依题意得：10×2000+2×（200﹣5）＝2280（元）；故答案是：2280；（2）因为10×200＝2000＜2625．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x人，由题意得：（10+x）（200﹣5x）＝2625．解得x1＝5 x2＝25，∵200﹣5x≥150，∴0＜x≤10，经检验x1＝5是方程的解且符合题意，x2＝25 （舍去）．10+x＝10+5＝15答：该单位共有15名员工参加旅游．22．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【分析】（1）先由旋转的性质得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，则∠EAF+∠BAF ＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠F AC，利用AB＝AC可得AE＝AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE＝CD；（2）由菱形的性质得到DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB＝∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE＝∠BAC＝45°，所以∠AEB＝∠ABE＝45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AC＝，于是利用BD＝BE﹣DE 求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠F AC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE＝CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AC＝，∴BD＝BE﹣DE＝﹣1．23．阅读下面材料：学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例如求不等式x﹣3＞的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线y1＝x﹣3与函数y2＝的图象（如图1），观察图象可知：它们交于点A（﹣1，﹣4），B（4，1）．当﹣1＜x ＜0，或x＞4时，y1＞y2，即不等式x﹣3＞的解集为﹣1＜x＜0，或x＞4．小东根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）将不等式按条件进行转化当x＝0时，原不等式不成立；x＞0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＞；当x＜0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＜；（2）构造函数，画出图象设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系（图2）中分别画出这两个函数的图象．（3）借助图象，写出解集观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合（1）的讨论结果，可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为﹣3＜x＜﹣1或x＞1．【分析】（1）由题意得：x2+3x﹣1＜，即可求解；（2）画出y3＝x2+3x﹣1与y4＝的图象如图所示；（3）由图象可得：﹣3＜x＜﹣1或x＞1．【解答】解：（1）由题意得：x2+3x﹣1＜，故答案为：x2+3x﹣1＜；（2）画出y3＝x2+3x﹣1与y4＝的图象如图所示：（3）由图象可得：﹣3＜x＜﹣1或x＞1；故答案为：﹣3＜x＜﹣1或x＞1．24．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC 于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB＝4，且点E是的中点，求DF的长为4﹣2；②取的中点H，当∠EAB的度数为30°时，求证：四边形OBEH为菱形．【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝∠AEB＝90°，再应用同角的余角相等可得∠DAF＝∠DBG，易得AD＝BD，△ADF≌△BDG可得证；（2）①作FH⊥AB，应用等弧所对的圆周角相等得∠BAE＝∠DAE，则DF＝FH，求出BD＝2，则BF+FD＝2，可求出DF的长；②证得△OEH和△OBE都是等边三角形，则OB＝OH＝HE＝BE，可得出结论．【解答】解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴∠ADF＝∠BDG＝90°∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°∴∠DAF＝∠DBG∵∠ABD+∠BAC＝90°∴∠ABD＝∠BAC＝45°∴AD＝BD∴△ADF≌△BDG（ASA）；（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE∵FD⊥AD，FH⊥AB∴FH＝DF，∵sin∠ABD＝＝sin45°＝，∴，即BF＝FD，∵AB＝4，∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，∴，∴＝4﹣2．故答案为：4﹣2．②证明：如图3，连接OH，EH，OE，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，∴∠ABE＝60°，∵点H是的中点，∴∠AOH＝∠HOE＝60°，∵OH＝OE＝OB，∴△OEH和△OBE都是等边三角形，∴OB＝OH＝HE＝BE，∴四边形OBEH为菱形．25．已知抛物线G：y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；（2）若抛物线G的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的对等值．若函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k有两相异的对等值x1，x2，且x1＜2＜x2，求k的最大整数值．【分析】（1）求出△＝（k﹣3）2+12＞0，即可判断抛物线G总与x轴有两个交点；（2）由已知可得：x1+x2＝5﹣k＞0，x1x2＝1﹣k≥0，根据韦达定理即可求k的范围；（3）依题意，得：x2+（k﹣5）x+1﹣k＝x，所以x2+（k﹣6）x+1﹣k＝0，由△＝（k﹣4）2+16＞0，x1+x2＝6﹣k，x1x2＝1﹣k，所以（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，即可求k．【解答】解：（1）∵△＝（k﹣5）2 ﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+21＝（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；（2）∵y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，又a＝1＞0，△＝（k﹣5）2﹣4（1﹣k）＝（k﹣3）2+12，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2＝5﹣k＞0，x1x2＝1﹣k≥0，解得k≤1，∴k的取值范围为k≤1；（3）依题意，得：x2+（k﹣5）x+1﹣k＝x，∴x2+（k﹣6）x+1﹣k＝0，∵△＝（k﹣4）2+16＞0，∴k为任意实数，又x1+x2＝6﹣k，x1x2＝1﹣k，∵（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＜0，∴1﹣k﹣2（6﹣k）+4＜0，∴k＜7，∴综上，k的最大整数值为6．。

广东省深圳市2019-2020学年中考第三次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm 2，高为8cm ，乙圆柱型容器底面积为xcm 2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y （cm ）与x （cm 2）之间的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若代数式21x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x≥0 C ．x≠0 D ．任意实数3．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1：3，则AB 的长为A ．12米B ．43米C ．53米D ．63米4．用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法错误的是 （ ）A ．B ．C ．D ． 5．函数y ＝ax 2与y ＝﹣ax+b 的图象可能是（ ）A ．B ．C．D．6．如图，O为坐标原点，四边彤OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，删△AOF的面积等于（）A．10 B．9 C．8 D．67221)的结果是（）A．221B．22C．12D．2+28．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．摸出的是3个白球B．摸出的是3个黑球C．摸出的是2个白球、1个黑球D．摸出的是2个黑球、1个白球9．对于反比例函数y=kx（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）也在其图象上B．当k＞0时，y随x的增大而减小C．过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为k D．反比例函数的图象关于直线y=﹣x成轴对称10．已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=2x-的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（）A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（）A ．B ．C ．D ．12．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）A ．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B ．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．分解因式：3a 2﹣12=___．14．规定：()a b a b b ⊗=+，如：()2323315⊗=+⨯=，若23x ⊗=，则x ＝__.15．2的平方根是_________.16．已知，则=_____．17．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．18．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，7，CD ⊥AB ，垂足为点D ，以点D 为圆心作⊙D ，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是_________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，连接EF．（1）如图，点D在线段CB上时，①求证：△AEF≌△ADC；②连接BE，设线段CD=x，BE=y，求y2﹣x2的值；（2）当∠DAB=15°时，求△ADE的面积．20．（6分）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC 交AC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．求DE的长．21．（6分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线；若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求⊙O直径的长．23．（8分）如图，已知△ABC，分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD,CE交于点F，设AB=m，BC=n.（1）求证：∠BDA=∠ECA．（2）若m=2，n=3，∠ABC=75°，求BD的长.（3）当∠ABC=____时，BD最大，最大值为____（用含m，n的代数式表示）（4）试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。

2020年广东省深圳市福田外国语学校中考数学模拟试卷（3月份）一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．3B．﹣3C．﹣D．2．（3分）某活动中，共募得捐款32000000元，将32000000用科学记数法表示为（）A．0.32×108B．3.2×106C．3.2×107D．32×1063．（3分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算错误的是（）A．a•a＝a2B．2a+a＝3a C．（a3）2＝a5D．a3÷a﹣1＝a45．（3分）下列主视图正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）在﹣2，1，2，1，4，6中正确的是（）A．平均数3B．众数是﹣2C．中位数是1D．极差为87．（3分）不等式组的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣1或x＞3D．﹣1＜x＜38．（3分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（）A．∠2＝60°B．∠3＝60°C．∠4＝120°D．∠5＝40°9．（3分）下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017 对称轴为直线x＝210．（3分）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A．20B．30C．30D．4011．（3分）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y＝（x＞0）上，若图中S△OBP＝4，则k的值为（）A．B．﹣C．﹣4D．412．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF 沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确都有（）个．①QB＝QF；②AE⊥BF；③BG＝；④sin∠BQP＝；④S四边形ECFG＝2S△BGEA．5B．4C．3D．2二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：4x2﹣8x+4＝．14．（3分）在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是．15．（3分）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．16．（3分）如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，以点C为圆心，4为半径作圆．点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值为．三．解答题（共7小题，共52分）17．（3分）计算：|﹣2|﹣2cos45°+（﹣1）﹣2+．18．（6分）分先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣119．（7分）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好；并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次研究中，一共调查了名学生；若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生共有名．（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是度．（3）若该校九年级爱好阅读的学生有150人，估计九年级有多少学生？20．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若cos∠BAE＝，AB＝5，求OE的长．21．（8分）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．A，B两种型号车的进货和销售价格表：A型车B型车进货价格（元/辆）11001400销售价格（元/辆）今年的销售价格2400（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元；（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？22．（10分）如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以AB为直径的⊙M交y轴于C，D两点，C为的中点，弦AE交y轴于点F，且点A的坐标为（﹣2，0），CD＝8．（1）求⊙M的半径；（2）动点P在⊙M的圆周上运动．①如图1，当EP平分∠AEB时，求PN•EP的值；②如图2，过点D作⊙M的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．23．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD＝3，请求出点P的坐标．（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．2020年广东省深圳市福田外国语学校中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．【解答】解：﹣3的绝对值是3．故选：A．2．【解答】解：32 000 000＝3.2×107，故选：C．3．【解答】解：A、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；B、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；D、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；故选：B．4．【解答】解：A、a•a＝a2，正确，故本选项错误；B、2a+a＝3a，正确，故本选项错误；C、（a3）2＝a3×2＝a6，故本选项正确；D、a3÷a﹣1＝a3﹣（﹣1）＝a4，正确，故本选项错误．故选：C．5．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．故选：A．6．【解答】解：A、这组数据的平均数为：（﹣2+1+2+1+4+6）÷6＝12÷6＝2，故A选项错误；B、在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1，故B选项错误；C、将这组数据从小到大的顺序排列为：﹣2，1，1，2，4，6，处于中间位置的两个数是1，2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是：（1+2）÷2＝1.5，故C选项错误；D、极差6﹣（﹣2）＝8，故D选项正确．故选：D．7．【解答】解：解不等式3﹣2x＜5，得：x＞﹣1，解不等式x﹣2＜1，得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，8．【解答】解：∵a∥b，∠1＝60°，∴∠3＝∠1＝60°，∠2＝∠1＝60°，∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣60°＝120°，∵三角板为直角三角板，∴∠5＝90°﹣∠3＝90°﹣60°＝30°．故选：D．9．【解答】解：五边形外角和为360°，A是真命题；切线垂直于经过切点的半径，B是真命题；（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，﹣2），C是假命题；抛物线y＝x2﹣4x+2017 对称轴为直线x＝﹣＝2，D是真命题；故选：C．10．【解答】解：在Rt△CDE中，∵CD＝20m，DE＝10m，∴sin∠DCE＝＝，∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝20m，∴AB＝BC•sin60°＝20×＝30m．故选：B．方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF＝DC＝20，所以AB＝20+10＝30，11．【解答】解：如图：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB＝∠CAD＝60°，∴AD∥OB，∴S△ABP＝S△AOP，∴S△AOB＝S△OBP＝4，过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE＝S△AOB＝2，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBE＝k，∴k＝4故选：D．12．【解答】解：①根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故正确；②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故正确；③由②知，△ABE≌△BCF，则AE＝BF＝＝，∵AE⊥BF∴AB•BE＝AE•BG，故BG＝＝＝．故错误；④由①知，QF＝QB，令PF＝k（k＞0），则PB＝2k在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣k）2+4k2，∴x＝，∴sin∠BQP＝＝，故正确；⑤∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故错误．综上所述，共有3个结论正确．故选：C．二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）13．【解答】解：4x2﹣8x+4＝4（x2﹣2x+1）＝4（x﹣1）2．故答案为：4（x﹣1）2．14．【解答】解：依题意画树状图得：∵共有6种等可能的结果，所摸到的球恰好为1黑1白的有4种情况，∴所摸到的球恰好为1黑1白的概率是：＝．故答案为：．15．【解答】解：设空调的标价为x元，由题意，得80%x﹣2000＝2000×10%，解得：x＝2750．故答案为：2750．16．【解答】解：如图，在CB上取一点E，使CE＝2，连接CD、DE、AE．∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，所以AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CD＝4，∴＝＝，∴△CED∼△CDB，∴＝＝，∴ED＝BD，∴AD+BD＝AD+ED≥AE，当且仅当E、D、A三点共线时，AD+BD取得最小值AE＝＝2．三．解答题（共7小题，共52分）17．【解答】解：|﹣2|﹣2cos45°+（﹣1）﹣2+，＝2﹣﹣2×+1+2，＝2﹣﹣+1+2，＝3．18．【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，当x＝﹣1时，原式＝﹣．19．【解答】解：（1）总人数＝20÷20%＝100（名），若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生有1500×＝600（名）．故答案为100，600．（2）圆心角＝360°×108°，条形图如图所示：故答案为108．（3）150÷30%＝500（名），答：估计九年级有500名学生．20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECF是矩形；（2）解：∵cos∠BAE＝，AB＝5，∴AE＝4，BE＝3，∵AB＝BC＝5，∴CE＝8，∴AC＝4，∴AO＝CO＝2，∵四边形AECF是矩形，∴OE＝OA＝2．21．【解答】解：（1）设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售（x+400）元，根据题意得＝，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是方程的解．x＝1600时，x+400═2000．答：今年6月份A型车每辆销售价2000元．（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，根据题意得50﹣m≤2m，解得：m≥16，∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，∴y随m的增大而减小，∴当m＝17时，可以获得最大利润．答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．22．【解答】解：（1）如图1中，连接CM．∵AM⊥CD，∴OC＝OD＝4，设CM＝AM＝r，在Rt△CMO中，∵CM2＝OC2+OM2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴⊙M的半径为5．（2）①如图2中，连接AP，BP．∵AB是直径，∴∠APB＝∠AEB＝90°，∵PE平分∠AEP，∴∠AEP＝∠PEB＝45°，∴＝，∴P A＝PB，∵AB＝10，∠APB＝90°，∴P A＝PB＝×AB＝5，∵∠P AN＝∠AEP＝45°，∠APN＝∠APE，∴△APN∽△EP A，∴＝，∴PN•PE＝P A2＝50．②如图3中，连接PM，DM．∵DQ是⊙M的切线，∴DQ⊥DM，∴∠MDQ＝∠MOD＝90°，∵∠DMO＝∠QMD，∴△DMO∽△QMD，∴＝，∴DM2＝MO•MQ，∵MP＝MD，∴MP2＝MO•MQ，∴＝，∵∠PMO＝∠PMQ，∴△PMO∽△QMP，∴＝，∵DM2＝MO•MQ，∴25＝3MQ，∴MQ＝，∴＝＝．23．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△AMD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．。

2020－2021 学年度第二学期三月月考初三年级数学试卷说明：1.答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．2.考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．3.全卷共4 页，考试时间90 分钟，满分100 分．第一部分选择题一、本部分共10 小题，每小题3 分．每小题给出4 个选项，其中只有一个选项是正．确．的．1．－2 的绝对值是（）A．－2 B．2 C．－12D．122.下列立体图形中，俯视图是正方形的是（）A.B．C．D．3.未来三年，国家将投入8450 亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”问题．将8450 亿元用科学记数法表示（）A．0.845×105亿元B．8.45×103亿元C．8.45×108亿元D．84.5×102亿元4.下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5.某市6 月份的一周气温(单位：°C)为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．2525 B．2828 C．2825 D．31286.下列命题是假命题的是（）A.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦D．同弧所对的圆周角相等．7.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5 千克，收费13 元；超过5 千克的部分每千克加收2 元．圆圆在该快递公司寄一件8 千克的物品，需要付费（）A．17 元B．19 元C．21 元D．23 元AAM B8. 如图，在△ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D ，连接 AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的度数是（ ）A. 0° B ．44° C ．34° D ．24°B D C9. 如图，是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段 AB ，PQ 相交于点 M ，则图中∠QMB 的正切值是（ ） A.12Q B ．1 C ． 3 PD ．210. 如图，在 Rt △ABC 中，CA ＝CB ，M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接 EM ．则下列结论中： ①BF ＝CE ；②∠AEM ＝∠DEM ； ③CF ·DM ＝BM ·DE ； ④DE 2＋DF 2＝2DM 2，其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4第二部分 非选择题二、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 11．分解因式：x 2－y 3＝ ．12. 有两双完全相同的运动鞋，从中任取两只，恰好是一双(一左一右)的概率为．13. 对于实数 p ，q ，我们用符号 min {p ，q }表示 p ，q 两数中较小的数，如 min {1，2}＝1，若 min {(x ﹣1)2，x }＝1，则 x ＝ ．14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P 为线段 BC 上的一动点，且和 B 、C 不重合，连接 PA ，过点 P 作 PE ⊥PA 交 CD 于 E ，将△PEC 沿 PE 翻折到平面内，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F ，则 BP长为 ．AFDEBP15.如图，平面直角坐标系中，O 为原点，点A、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上．△AOB 的两条外角平分线交于点P，P 在反比例函数y＝k(k＞0，x＞0)的图像上．PA 的延长线交x 轴于点C，PB 的延长线x交y 轴于点D，连接CD．若OD＝3，OC＝5，则k 的值为．三、解答题(本题共7 小题，其中第16 题5 分，第17 题6 分，第18 题8 分，第19 题8 分，第20 题8 分，第21 题10 分，第22 题10 分，共55 分)16．(5 分)计算：－4sin45°＋( π)0－(1) -1．217．(6 分)先化简，再求值：(2x＋x - 2x)÷x + 2xx2- 4，其中x＝－1．18 2021B D C69361518．(8 分)某校为了解本校九年级学生 2020 年适应性考试数学成绩，现从九年级学生中随机抽取部分学生的适应性考试数学成绩，按 A ，B ，C ，D 四个等级进行统计，并将统计结果绘成如图所示不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题：条形统计图 80604020AB C D 等级70~80 分，C 等级：60~70 分，D 等级：0~60 分，每组中包含最小值不包含最大值，但是 80~100 分既包含最小值又包含最大值) （1） 此次抽查的人数为 ． （2） 补全条形统计图，补充完整． （3） 扇形统计图中 D 等级所对的圆心角的度数是 ． （4） 从该校九年级的学生中随机抽查 1 人，数学成绩是 A 等级的概率是 ．19．(8 分)如图，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于 D ，分别将△ABD 、△ACD 沿 AB 、AC 对折，得到△ABE 、△ACF ，延长 EB 、FC 相交于 G 点．（1） 求证：四边形 AEGF 是正方形；A （2） 若 BD ＝2，DC ＝3，求 AD 的长．FEG扇形统计图D C 24%A 20%ByO 1BAO xNO 2MDE O20．(8 分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD (篱笆只围 AB ，BC 两边)，设 AB ＝x m ．（1） 若花园的面积为 192m 2，求 x 的值；（2） 若在 P 处有一棵树与墙 CD ，AD 的距离分别是 15m 和 6m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积 S 的最大值．21．(10 分)问题：如图 1，⊙O 中，AB 是直径，AC ＝BC ，点 D 是劣弧 BC 上任一点(不与点 B 、C 重合)，求证：AD BD 为定值．CDAB思路：和差倍半问题，可采用截长补短法,先证明△ACE ≌△BCD ．按思路完成下列证明过程． 证明：在 AD 上截取点 E ,使 AE ＝BD ，连接 CE ．运用：如图 2，在平面直角坐标系中，⊙O 1 与 x 轴相切于点 A (3，0)，与 y 轴相交于 B 、C 两点，且 BC ＝8， 连接 AB 、O 1B ．（1）(3 分)OB 的长为 . （2）(4 分)如图 3，过 A 、B 两点作⊙O 2 与 y 轴的负半轴交于点 M ，与 O 1B 的延长线交于点 N ，连接 AM 、MN ，当⊙O 2 的大小变化时，问 BM BN 的值是否变化，为什么？如果不变，请求出 BM －BN 的值．yCO 1B OAxy CQA FO EBD x22．如图1，已知抛物线y＝－3(x＋3)(x－4 9（1）(3 分)写出A、B、C 三点的坐标．)与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C．（2）(4 分)若点P 为△OBC 内一点，求OP＋BP＋CP 的最小值．（3）(3 分)如图2，点Q 为对称轴左侧抛物线上一动点，点D(4，0)，直线DQ 分别与y 轴、直线AC 交于E、F 两点，当△CEF 为等腰三角形时，请直接写出CE 的长．3yCA P BO x图12 数80 696040 3620 15302 2 2020-2021 学年度第二学期三月月考初三年级数学试卷参考答案及评分意见第一部分选择题（本部分共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BBBABABCDD第二部分非选择题 填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）题号11 12131415答案y ( x + y )(x - y )2321 1 或315 2解答题（本题共 7 小题，其中第 16 题 5 分，第 17 题 6 分，第 18 题 8 分，第 19 题 8 分， 第 20 题 8 分，第 21 题 10 分，第 22 题 10 分，共 55 分）16．解：原式= 3 - 2 +1- 2 ............................................................. 1+1+1+1 分= -1． ....................................................................5 分 17． 解：原式=2x ( x + 2) + x ( x - 2) ( x - 2)( x + 2)+ 2)………… ２ 分 = 3x +2当 x = -1时，………… ４分 原式= 3x +2= -118．解：（1）150．…………2 分………… 6 分（2）条形统计图人…………4 分ABCD等级（3）36 ..................................................... 6 分 （4）0.2 .................................................... 8 分( x - 2)( x x 扇形统计图C D 10% A 20%24%B 46%C⎩O x19．(1)证明：由题意可得：△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF ∴∠DAB ＝∠EAB ，∠DAC ＝∠FAC ，又∠BAC ＝45°，∴∠EAF ＝90°又∵AD⊥BC∴∠E ＝∠ADB ＝90°∠F ＝∠ADC ＝90°又∵AE ＝AD ，AF ＝AD ∴AE ＝AF ∴四边形 AEGF 是正方形 .............................. 4 分(2)解：设 AD ＝x ，则 AE ＝EG ＝GF ＝x ∵BD ＝2，DC ＝3∴BE ＝2，CF ＝3∴BG ＝x －2，CG ＝x －3 在 Rt△BGC 中，BG 2＋CG 2＝BC 2 ∴( x －2)2＋(x －3)2＝52 化简得，x 2－5x －6＝0解得 x 1＝6，x 2＝－1（舍）所以 AD ＝x ＝6 .......................... 8 分20．解：（1）∵AB =xm ，则 BC =（28﹣x ）m ，∴x （28﹣x ）=192，解得：x 1=12，x 2=16， 答：x 的值为 12m 或 16m ； ....................................................................................... 4 分 （2）由题意可得出：S =x （28﹣x ）=﹣x 2+28x =﹣（x ﹣14）2+196， ................. 5 分 ∵在 P 处有一棵树与墙 CD ，AD 的距离分别是 15m 和 6m ，⎧x ≥6 ∴ ⎨28 - x ≥15 ∴6≤x≤13 ............................... 6 分∴x =13 时，S 取到最大值为：S =﹣（13﹣14）2+196=195， ............................... 7 分 答：花园面积 S 的最大值为 195 平方米． ............................................................. 8 分21.证明：先证明△ACE≌△BCD(SAS) .................................. 1 分 ∴∠ACE=∠BCD CE=CD ∵AB 是直径∴∠ACB=90°∴∠ECD=90° ∴△ECD 是等腰直角三角形 ..................................................................................... 2 分AD - BD ∴CD= 2ED ∵ED=AD -BD ∴ = CD …………3 分y（1）（3 分）OB 的长为 1.（2）（4 分）BM BN 的值不变．连接 O 1A . ∵⊙O 1 与x 轴相切于点 A ∴O 1A ⊥ AO ∵OB ⊥ AO ∴O 1A ∥OB∴ ∠O 1AB ＝∠OBA ， y∵O 1A ＝O 1B ，O 1∴∠O 1BA =∠O 1AB ，∴ ∠ABO 1=∠ABO ； .............................................. 1 分 在 MB 上取一点 G ，使 MG =BN ，连接 AN 、AG ， B ∵∠ABO 1=∠ABO ，∠ABO 1=∠AMN ， A∴∠ABO =∠AMN ， G 又∵∠ABO =∠ANM ，O N∴∠AMN =∠ANM ， ∴AM =AN ，M∵∠AMG 、∠ANB 都为 AB 弧所对的圆周角，222OB 2 + B C '2 (4 3)2 +82 7 7 ⎧AM = AN ⎪∠AMG = ∠ANB ⎨ ⎪MG = BN ⎩∴∠AMG =∠ANB∵在△ AMG 和△ ANB 中，∴△ AMG ≌△ ANB （ SAS ）， ∴ AG =AB ，∵ AO ⊥ BG ， ∴ BG =2BO =2，∴ BM BN =BM MG =BG =2 ∴ BM BN 值 不 变． .................... 4 分22.解：（1）∴A （-3，0）、B （ 4 3 ，0），∴C （ 0，4 ） ........................ 3 分（2） 将ΔBPC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到ΔBP'C'，连接 PP'，CC'，∴BP =BP'，BC =BC'，∠PBP'=60°，∠CBC'=60°，PC =P'C'，∴ΔBPP'和ΔBCC'为等边三角形，∴BC’=BC,PP’=BP，当 O 、P 、P'、C'四点共线，OP +BP +CP 的最小值∵tan∠OBC = OC= OB = 3 ，∴∠OBC =30°，∴BC =2OC = 8 ，3∴BC'=BC = 8 ，∵∠OBC'=∠OBC +∠CBC'=30°+60°=90°，∴OC'= = = 4 ，∴OP +BP +CP=OP +PP'+C'P'=OC'= 4 ........................................... 7 分8 31 4（3）或 或 3 6 3① 当 CE =CF 时，作 FG ⊥CE ，易证△CFG ∽△CAO ， (10)yC Q GF E B A ODx4 4 37 + 7 7 7 31 16 ∵OA =3，OC =4，∴AC =5，∴FG :GC :FC =OA :OC :AC =3：4：5，设 FG =3m ，CG =4m ，FC =5m ，∴CE =FC =5m ，∴GE =m ，OE =4-5m ，QG EG∵△FGE ∽△DOE ，∴3m m= ， OD OE8 ∴ = ，∴ m = ， 4 4 - 5m 158∴ CE = 5m = .3②当 CE =EF 时，过点 A 作 AG ∥EF 交 y 轴于点 G ，由 EF =CE 易证 AG=CG ，设 OG =m ，则 AG =CG =4-m ，∵ OA 2 + OG 2 = AG 2 ，∴ 32 + m 2 = (4 - m )2 ，解得： m = ，8由 A (-3，0)和 G (0， 7 8 )可得直线 AG 的解析式为： y =77x ，24 8 设直线 DF 为： y = 7x + b ，将 D (4，0)代入得： b =- ， 24 6∴ E (0, - ) ，∴ CE = 4 + = 6 6 6③当 CF =EF 时，过点 C 作 CG ∥DE 交 x 轴于点 G ，易证∠GCO =∠ACO ，∴OG =OA =3，∴G （3,0），由 G (3，0)和 C (0，4)可得直线 CG 的解析式为： y = - 4 3x + 4 ，设直线 DE 为： y = - 43 x + n ，将 D (4，0)代入得： n = ，316 16 4 ∴ E (0, ) ，∴ CE = - 4 = .3 3 3。

2015-2016学年广东省深圳外国语学校、百合外国语学校九年级（下）第三次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每题只有一个正确答案，每小题3分，共36分）1．化简的结果是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．42．1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣8米B．2.5×10﹣9米C．2.5×10﹣10米D．2.5×109米3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．小慧将今年五月深圳每天的最高气温情况绘制成条形统计图，根据图中信息，五月最高气温的众数与中位数分别为（）A．33，30 B．31，30 C．31，31 D．31，335．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是（）A．AE=CF B．BE=FD C．BF=DE D．∠1=∠26．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A． B． C． D．7．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（）A．﹣=20 B．﹣=20C．﹣=0.5 D．﹣=0.58．下列说法正确有（）个①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直弦；③垂直弦的直径平分弦；④在y=中，当k＞0时，y随x的增大而减小．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，10．如图，在直角坐标系中，直线y=6﹣x与函数（x＞0）的图象相交于点A、B，设A点的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别是（）A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，611．如图，⊙O的半径OB=1，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．60° B．45° C．75° D．30°12．已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE=，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA，点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）A．3﹣3 B．3﹣C． D．3二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是．14．若二次函数y=﹣x2+bx+c图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b+c的值为．15．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．16．如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k= ．三、解答题（本题共有7小题，其中第17题6分，第18题6分，第19题5分，第20题8分，第21题9分，第22题每题8分，第23题10分，共52分）17．计算：|﹣1|﹣﹣（5﹣π）0﹣（﹣）﹣1+4cos45°．18．先化简：（1+）÷，然后选择一个合适的x的值代入求值．19．某校数学兴趣小组成员小华对本班上期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）频数、频率分布表中a= ，b= ；（2）补全频数分布直方图；（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少？分组49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5合计频数 2 a 20 16 4 50频率0.04 0.16 0.40 0.32 b 120．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．21．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？22．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1）．（1）求证：DC=FC；（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（3）求⊙P的半径的长．23．如图，抛物线y=﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交x轴于点A，交y轴于点B（0，3），顶点C 位于第二象限，连结AB，AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，求出P点坐标；（3）将△ABC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜1）时，平移后△ABC与△ABO重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．2015-2016学年广东省深圳外国语学校、百合外国语学校九年级（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题只有一个正确答案，每小题3分，共36分）1．化简的结果是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．4【考点】算术平方根．【分析】由于表示4的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：∵2的平方是4，∴4算术平方根为2．故选B．2．1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣8米B．2.5×10﹣9米C．2.5×10﹣10米D．2.5×109米【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：2.5纳米=2.5×0.000 000 001米=2.5×10﹣9米．故选B．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．故选：D．4．小慧将今年五月深圳每天的最高气温情况绘制成条形统计图，根据图中信息，五月最高气温的众数与中位数分别为（）A．33，30 B．31，30 C．31，31 D．31，33【考点】条形统计图；中位数；众数．【分析】结合图形，由众数和中位数的概念直接得出结果．【解答】解：∵五月份31℃出现的天数最多，有10天，∴五月最高气温的众数为31；∵5月份最高气温一共30个数据，∴其中位数是第15、16个数据的平均数，即=31；故选：C．5．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是（）A．AE=CF B．BE=FD C．BF=DE D．∠1=∠2【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定．【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．【解答】解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选：A．6．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．故选：A．7．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（）A．﹣=20 B．﹣=20C．﹣=0.5 D．﹣=0.5【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设原价每瓶x元，根据某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，可列方程．【解答】解：设原价每瓶x元，﹣=20．故选B．8．下列说法正确有（）个①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直弦；③垂直弦的直径平分弦；④在y=中，当k＞0时，y随x的增大而减小．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】确定圆的条件；反比例函数的性质；垂径定理．【分析】分别利用确定圆的条件以及垂径定理和垂径定理的推论、反比例函数的性质分析得出答案．【解答】解：①三个不在同一直线的点确定一个圆，故此选项错误；②平分弦（弦不是直径）的直径垂直弦，故此选项错误；③垂直弦的直径平分弦，正确；④在y=中，当k＞0时，每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：A．9．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形．【分析】先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF 是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，∴S阴影=DF×CF=×=．故选C．10．如图，在直角坐标系中，直线y=6﹣x与函数（x＞0）的图象相交于点A、B，设A点的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别是（）A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】先根据两函数图象的交点在第一象限可知x＞0，y＞0，再根据两函数有交点可列出关于x、y的方程组，求出x，y的值，再根据矩形的面积及周长公式进行解答即可．【解答】解：∵两函数图象的交点在第一象限，∴x＞0，y＞0，∴，∴=6﹣x，∴x2﹣6x+4=0，解得x=3±，∵A在B的左边，∴x=3﹣，y=3+，即A（3﹣，3+），∴矩形的面积=（3﹣）（3+）=4；矩形的周长=2（3﹣）+2（3+）=12．故选A．11．如图，⊙O的半径OB=1，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．60° B．45° C．75° D．30°【考点】圆周角定理．【分析】求出圆的直径BC的长，然后根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC=90°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠C=30°，最后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠C．【解答】解：∵⊙O的半径OB=1，∴直径BC=2×1=2，∵∠BAC是直径BC所对的圆周角，∴∠BAC=90°，∵AC=1，∴BC=2AC，∴∠C=30°，∵点D在⊙O上，∠C、∠D都是所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°．故选D．12．已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE=，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA，点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）A．3﹣3 B．3﹣C． D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先求得AE和CE的长，然后由翻折的性质得到PE=EC，最后根据当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值求解即可．【解答】解：如图所示：在Rt△ABE中，AE===2．∵BC=3，BE=，∴EC=3﹣．由翻折的性质可知：PE=CE=3﹣．∵AP+PE≥AE，∴AP≥AE﹣PE．∴当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值．∴AP=AE﹣PE=2﹣（3﹣）=3﹣3．故选：A．二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是k＜﹣1 ．【考点】根的判别式．【分析】若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则△=b2﹣4ac＜0，列出关于k 的不等式，求得k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，∴△=b2﹣4ac＜0，即22﹣4×1×（﹣k）＜0，解这个不等式得：k＜﹣1．故答案为：k＜﹣1．14．若二次函数y=﹣x2+bx+c图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b+c的值为﹣6 ．【考点】二次函数的最值．【分析】根据抛物线y=﹣x2+bx+c的最高点为（﹣1，﹣3）可知x=﹣=﹣1，当x=﹣1时，y=﹣3，分别求出b、c的值，进而可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c的最高点为（﹣1，﹣3），∴，解得，∴b+c=﹣6．故答案为﹣6．15．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n ．【考点】多边形．【分析】第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．【解答】解：第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n．故答案为：n2+2n．16．如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k= 2 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．【解答】解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∴DE∥AB，∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，∴DE为Rt△OAB的中位线，∴DE∥AB，∴△OED∽△OAB，∴两三角形的相似比为： =∵双曲线y=（k＞0），可知S△AOC=S△DOE=k，∴S△AOB=4S△DOE=2k，由S△AOB﹣S△AOC=S△OBC=3，得2k﹣k=3，解得k=2．故本题答案为：2．三、解答题（本题共有7小题，其中第17题6分，第18题6分，第19题5分，第20题8分，第21题9分，第22题每题8分，第23题10分，共52分）17．计算：|﹣1|﹣﹣（5﹣π）0﹣（﹣）﹣1+4cos45°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据绝对值、二次根式、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值化简各式，再进行四则运算即可．【解答】解：原式=1﹣2﹣1+2016+2=201618．先化简：（1+）÷，然后选择一个合适的x的值代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】利用平方差公式、通分和分解因式等方法将原分式化简成，并找出x的取值范围，随便选取一个使原分式有意义的数，代入化简后的分式中即可得出结论．【解答】解：原式=÷，=•，=．∵x（x﹣2）（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠2且x≠0且x≠±1．∴取x=3，原式==．19．某校数学兴趣小组成员小华对本班上期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）频数、频率分布表中a= 8 ，b= 0.08 ；（2）补全频数分布直方图；（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少？分组49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5合计频数 2 a 20 16 4 50频率0.04 0.16 0.40 0.32 b 1【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；概率公式．【分析】（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，得到总人数，再计算故a的值；根据频率=频数÷数据总数计算b的值；（2）据（1）补全直方图；（3）不低于90分的学生中共4人，小华是其中一个，故小华被选上的概率是：．【解答】解：（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，且知总人数为50人，故a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=8，根据频数与频率的关系可得：b==0.08；（2）如图：（3）小华得了93分，不低于90分的学生中共4人，故小华被选上的概率是：．20．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）利用两角对应相等可证出△ABE∽△ADF；（2）利用（1）的结论，先证出△ABG≌△ADH，得到AB=AD，那么平行四边形ABCD是菱形．【解答】证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90度．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF．∴△ABE∽△ADF．（2）∵△ABE∽△ADF，∴∠BAG=∠DAH．∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，从而∠AGB=∠AHD，∴△ABG≌△ADH，∴AB=AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．21．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，然后根据利润4000元和3500元列出方程组，然后求解即可；（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，根据题意得，解得．答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①据题意得，y=100x+150，即y=﹣50x+15000，②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y=﹣50x+15000，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．22．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1）．（1）求证：DC=FC；（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（3）求⊙P的半径的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）过点D作DH⊥x轴于点H，则∠CHD=∠COF=90°，根据点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1），得到DH=OF，证得△FOC≌△DHC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图，连接CP．根据AP=PD，DC=CF，得到CP∥AF，根据平行线的性质得到∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x轴．根据切线的判定即可得到结论；（3）根据三角形的中位线的性质得到AF=2CP，由AD=2CP，等量代换得到AD=AF，连接BD．根据圆周角定理得到BD=OH=6，OB=DH=FO=1，设AD的长为x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：过点D作DH⊥x轴于点H，则∠CHD=∠COF=90°，∵点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1），∴DH=OF，∵在△FOC与△DHC中，，∴△FOC≌△DHC（AAS），∴DC=FC；（2）⊙P与x轴相切，理由如下：如图，连接CP．∵AP=PD，DC=CF，∴CP∥AF，∴∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x轴．又PC是半径，∴⊙P与x轴相切；（3）解：由（2）可知，CP是△DFA的中位线，∴AF=2CP，∵AD=2CP，∴AD=AF．连接BD．∵AD是⊙P的直径，∴∠ABD=90°，∴BD=OH=6，OB=DH=FO=1，设AD的长为x，则在直角△ABD中，由勾股定理，得x2=62+（x﹣2）2，解得 x=10，∴⊙P的半径为5．23．如图，抛物线y=﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交x轴于点A，交y轴于点B（0，3），顶点C 位于第二象限，连结AB，AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，求出P点坐标；（3）将△ABC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜1）时，平移后△ABC与△ABO重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把B坐标代入抛物线解析式求出m的值，确定出抛物线解析式即可；（2）由抛物线解析式确定出A，B，C的坐标，进而求出AC，BC，AB的长，利用勾股定理的逆定理确定出三角形ABC为直角三角形，由三角形PAB与三角形ABC面积相等求出AP的长，确定出P坐标即可；（3）如图所示，画出平移后的三角形为△A′B′C′，A′C′与AB交于M点，A′B′与y 轴交于N点，根据A′坐标及A′C′∥AC，得到两直线斜率相等，表示出直线A′C′解析式，与直线AB联立求出M坐标，进而表示出三角形AA′M面积，再求出三角形A′ON面积，由三角形AOB面积减去三角形AA′M，再减去三角形A′ON面积，求出重叠部分面积即可．【解答】解：（1）把B（0，3）代入解析式得：﹣m2+12=3，解得：m=3或m=﹣3，∵1﹣m＜0，∴m=3，则抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）由抛物线解析式可得A（﹣3，0），C（﹣1，4），B（0，3），∴AC=2，BC=，AB=3，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°，∴S△PAB=S△ABC=×AB×BC=×AP×OB，解得：AP=×3÷3=2，则P（﹣1，0）或P（﹣5，0）；（3）如图所示，记平移后的三角形为△A′B′C′，A′C′与AB交于M点，A′B′与y轴交于N点，∵A′（﹣3+t，0），A′C′∥AC，k AC=2，∴直线A′C′解析式为y=2x+6﹣2t，∵直线AB解析式为y=x+3，∴M（﹣3+2t，2t），∴S△AA′M=×AA′×y M=t×2t=t2，∵A′B′∥AB，∴S△OA′N=OA′2=（3﹣t）2，∴S重叠=S△ABO﹣S△A′NO﹣S△AA′M=﹣t2+3t．。

深圳外国语学校初中部2019-2020学年第二学期九年级第六次月考数学试卷一、选择题（共12题，每题3分，共36分）1. x 是任意实数，则下列各式中一定表示正数的是（ ） A. 2020xB.x +2020C. |2020x |D. |x |+20202．目前，我国已经逐渐控制了新冠肺炎的传播，治愈人数越来越多.截止北京时间2020年4月25日中午12时，全国现存确诊病例不到1400名，已累计治愈了78374名病例.将数78374用科学记数法可表示为（ ） A ．78.374×103B ．7.8374×103C ．7.8374×104D ．0.78374×1053. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A. B. C. D.4．下列各式计算正确的是（ ） A ．m 2•m 3＝m 6B ．33431163116=⋅= C ．53232323=+=+D.a aa a a --=-⋅--=--111)1(11)1(2（a <1） 5．某同学对数据18，28，48，5□，57进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数6. 有五张背面相同的卡片，正面分别印有圆、矩形、等边三角形、菱形、平行四边形（邻边不相等且不垂直），现将五张卡片正面朝下洗匀任意摆放，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上都恰好．．．印的既是中心对称又是轴对称的图形．．．．．．．．．．．．．．的概率为（ ） A.256B.103 C.2011 D.53 7．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB ＝a ，AD ＝b ，⊥BCO ＝x ，则点D 到OB 的距离等于（ ） A ．a sin x +b sin x B ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin xo.8．若关于x 的不等式组{3−2x ≤1x −m <0的所有整数解的和是6，则m 的取值范围是（ ）A ．3＜m ＜4B ．3≤m ＜4C ．3＜m ≤4D ．3≤m ≤49. 某商户用700元购进单价相同的毛巾一批，留下10条自已用，而将其余的毛巾每条加价1元出售，售完后盈利155元，求他购进这批毛巾共几条?若设这批毛巾共有x 条，下面所列方程正确的是（ ）A.155)10)(1700(=-+x xB.155700)10)(1700(+=-+x xC. 15510700)10(1=⨯+-⨯xxD. 155)10(1=-⨯x10. 如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6．经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA ，CB 分别相交于点P ，Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ） A.4.75 B.4.8C.5D.4√211．在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y ＝（x +a ）（x +b ）的图象与x 轴有M 个交点，函数y ＝（ax +1）（bx +1）的图象与x 轴有N 个交点，则（ ） A ．M ＝N ﹣1或M ＝N +1 B ．M ＝N ﹣1或M ＝N +2C ．M ＝N 或M ＝N +1D ．M ＝N 或M ＝N ﹣112．已知抛物线y ＝ax 2+ (a +1)x +7a 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜1＜x 2，则a 的取值范围是（ ） A ．−13<a <1 B ．﹣1＜a ＜0C ．−13<a <0D ．−19<a <0二、填空题（共4题，每题3分，共12分）13．在直角三角形ABC 中，若2AB ＝AC ，则cosC ＝ ．14．如图，P A 、PB 是⊥O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊥O 上．若⊥P ＝102°，则⊥A +⊥C ＝ ．15．如图，反比例函数y ＝3x （x ＞0）的图象与矩形ABCO 的边AB 交于点G ，与边BC 交于点D ，过点A ，D 作DE //AF ，交直线y ＝kx （k ＜0）于点E ，F ，若OE ＝OF ，BG ＝2GA ，则四边形ADEF 的面积为 ．16．如图，正方形ABCD 中，AD ＝6，点E 是对角线AC 上 一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ， 交AC 于点G ，将⊥EFG 沿EF 翻折，得到⊥EFM ，连接DM ， 交EF 于点N ，若AF =2，则MN 的长为 ．三、解答题（共7题，共52分） 17.(5分)计算：(−12)−2+(2020−π)0−√(1−√2)2+2cos45°18. (6分)先化简，再求值：x 2−4x 2+2x ÷(x 2+4x−4)，其中x =√219. (7分)某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理和分析．部分信息如下： a.七年级成绩频数分布直方图：b.七年级成绩在70≤m<80这一组的是：70，72，72，75，76，76，77，77，78，79，79c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七76.9a八79.279.5根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在70分以上的有人，表格中a的值为；（2）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是79分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前；（3）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请你估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝mx +n （m ≠0）的图象与反比例函数xk y（k ≠0）的图象交于第一、三象限内的A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，BM ＝OM ，OB ＝22，点A 的纵坐标为4． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接AO ，求⊥AOB 的面积.21. (8分)某农经公司以40元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调查，发现该产品日销售量p （千克）与销售价格x （元/千克）之间满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x (元/千克) 40 50 60 70 80 日销售量p (千克)120100806040（1）求p 与x 之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大?（3）若农经公司每销售．．．1．千克．．这种农产品需支出m 元（m >0）的相关费用，当70≤x ≤75时，农经公司的日获利的最大值为1682元，求m 的值．（日获利日销售利润日支出费用）22. (9分)已知：AB 为⊥O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊥O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE 为⊥DAM 的平分线，交CD 于点E. (1)如图1，连接BE ，若⊥ACD=22°，求⊥MBE 的度数；(2) 如图2，连接DO 并延长，交⊥O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N . ⊥求证：DM 2+CN 2=CM 2；⊥如图3，当AD=1，AB=√10 时，请直接写出．．．．线段ME 的长.AO BCDE M图1A OBC DMFNE图2A OBCDM F NE 图323. (9分)在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝﹣x +4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1． (1)该抛物线的解析式为；(2)如图1，Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点（不与B 、A 重合），过Q 作QP ⊥x 轴，交x 轴于P ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN 并延长，交y 轴于E ，连接AE ，求t 为何值时，MN ⊥AE ．(3)如图3，将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ，点T 为线段OA 上的一动点（不与O 、A 重合），以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ，以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ，连接DF ．在点T 运动的过程中，四边形ODF A 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．BAOxyNP QM图1B AOxyNP EQM图2OATC DF xy图32019-2020学年第二学期初三第六次月考（数学）试卷参考答案及评分参考一、选择题（每题3分，共36分）DCDDB BCCDB CD二、填空题（每题3分，共12分）13. 或；14.219°；15. 9 16.√17010三、解答题（共52分）17.解：原式=6 …………………………………………………………5分18.解：原式=1x−2…………………………………………………………3分当x=√2时，……………………………………………………………………4分原式=√2−2=−√2+22……………………………………………6分19.解：（1）在这次测试中，七年级在70分以上的有10+15+8＝33（人），七年级抽查了50名学生，⊥a＝（78+79）÷2＝78.5，故答案为：33，78.5……………………………………………3分(错一空扣2分)（2）⊥七年级的中位数是78.5，八年级的中位数是79.5，79＞78.5，79＜79.5，⊥在这次测试中，七年级学生甲在本年级的排名谁更靠前；………………4分（3）500×＝280（人）……………………………………………………6分答：七年级成绩超过平均数76.9分的有280人．………………………………7分20.解：（1）由题意可得，BM＝OM，OB＝2，⊥BM＝OM＝2，⊥点B的坐标为（﹣2，﹣2），设反比例函数的解析式为y＝，则﹣2＝，得k ＝4，⊥反比例函数的解析式为y ＝， ……………………………………2分 ⊥点A 的纵坐标是4， ⊥4＝，得x ＝1， ⊥点A 的坐标为（1，4），⊥一次函数y ＝mx +n （m ≠0）的图象过点A （1，4）、点B （﹣2，﹣2）， ⊥，得，即一次函数的解析式为y ＝2x +2； ……………………………………4分 （2）过点A 作AD⊥y 轴，垂足为D ， 过点B 作BE⊥y 轴，垂足为E ， ⊥y ＝2x +2与y 轴交于点C ， ⊥点C 的坐标为（0，2），⊥OC ＝2，……………………………………5分 ⊥点A 的坐标为（1，4），点B 的坐标为（﹣2，﹣2） ⊥AD ＝1，BE=2 ……………………………………6分 ⊥⊥AOB 的面积为：AD∙CO 2+BE∙CO 2=3……………………………………8分21. 解：（1） ∵ 与 成一次函数关系，设函数关系式为 ，可选择x=40，y=120和x=50，y=100代入则{40k +b =12050k +b =100解得：k =−2，b =200， ∴所求的函数关系为p =−2x +200 ……………………………………2分 （2） 设日销售利润为w 元∴w =p (x −40)=(−2x +200)(x −40)即w =−2x 2+280x −8000 ， ……………………………………3分 当x =−2802×(−2)=70时，w 有最大值 1800，答：这批农产品的销售价格定为70元/千克时日销售利润有最大，这个最大日销售利润为1800元…………………………………………………………………4分（3） 日获利w =p (x −40−m )=(−2x +200)(x −40−m ) ，即 w =−2x 2+(280+2m)x −(8000+200m)， 对称轴为直线x =−280+2m 2×(−2)=70+m2 ，DE若m>10，则当x=75时，w有最大值，………………………………………5分即w=(−2×75+200)(75−40−m)=1750−50m<1682 (不合题意，舍去)；…6分若0<m≤10，则当x=70+m2时，w有最大值，……………………………7分将x=70+m2代入，可得w=[−2×(70+m2)+200](70+m2−40−m)=m22−60m+1800，当w=1682时，m 22−60m+1800=1682，解得m1=2，m2=118（舍去），综上所述，m的值为2．…………………………………………………………………8分22解：（1）⊥AB是⊥O的直径⊥⊥ACB=90°⊥点C为弧AB中点⊥AĈ=BĈ⊥⊥CAB=⊥ABC=⊥ADC= 45°，AC=BC⊥⊥ACB是等腰直角三角形⊥AE为⊥DAM的平分线⊥⊥MAE=⊥EAD⊥⊥CAE=⊥CAB+⊥MAE，⊥CEA=⊥ADC+⊥EAD⊥⊥CAE=⊥CEA⊥AC=CE=BC …………………………………………1分⊥⊥CBE=⊥CBM+⊥MBE=180°−∠BCE2⊥⊥ACD=22° ∴∠BCE=68°又⊥⊥CBM=45°⊥MBE=180°−68°2−45°=11°……………………………………3分（2）证明：将⊥ADM绕点A逆时针旋转90°，得到⊥AD’M’，连接CM’，⊥DF是⊥O的直径,⊥⊥DAF=90°⊥⊥ADC＝45°⊥⊥AND为等腰三角形，AD=AN⊥AD’和AN重合⊥⊥ADM⊥⊥ANM’⊥DM= NM’，AM=A M’，⊥M’NA=⊥ADC＝45°……………………………………4分⊥⊥M’ AM=90°，⊥CAB=45°⊥⊥M’ AC=45°⊥⊥M’ AC ⊥MAC （SAS ），⊥C M’=CM ……………………………………5分 ⊥⊥M’NA =⊥ADC ＝⊥AND ＝45°，⊥⊥M’ND ＝⊥M’NC ＝90°，⊥M’ N 2+ CN 2＝C M’ 2，⊥MD 2+ CN 2＝C M 2 …………………………………………6分（3）√5−5√24 ……………………………………9分23.解：（1）抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ． ………………………2分（2）如图1，过点M 作MG ⊥x 轴于G ，NH ⊥GM ，于H ．⊥OA ＝OB ，⊥AOB ＝90°，⊥⊥P AN ＝45°，⊥⊥NMP ＝90°，⊥⊥P AN ＝⊥NMP ，⊥N 、P 、A 三点在以M 为圆心MA 为半径的⊥M 上， ………………………3分 ⊥MN ＝MP ，⊥⊥NHM ＝⊥PGM ＝⊥NMP ＝90°，⊥⊥NMH +⊥PMG ＝90°，⊥PMG +⊥MPG ＝90°，⊥⊥NMH ＝⊥MPG ，⊥⊥NMH ⊥⊥MPG ，⊥NH ＝MG ，HM ＝PG ，⊥P （t ，0），⊥Q （t ，﹣t 2+4t ），M （4+t 2，−t 2+4t 2）⊥MG ＝NHA OBC DM FN(D’) E M ’⊥4+t 2﹣n ＝−t 2+4t2⊥n ＝t 2−3t+42，（0＜t ＜3）． …………………………………………4分 ⊥MN ⊥AE ，QM ＝MA ，⊥EN ＝QN ，⊥N 为EQ 中点，即N x =Q x +E x 2 ⊥t 2−3t+42＝，⊥t 2﹣4t+4＝0，解得t ＝2⊥t ＝2时，MN ⊥AE ． …………………………………………5分（3）四边形ODF A 的面积有最小值．设OT ＝m ，四边形ODF A 的面积为S⊥C 是抛物线对称上一点，⊥CO ＝CA ．⊥直线AB 绕A 点旋转15°，⊥⊥OAC=60°⊥⊥OAC 是等边三角形⊥OA ＝4，S ⊥OAC ＝×42＝4， ⊥CD ＝AF ＝AT ＝4﹣m ，CF ＝OT ＝m ，过D 作DR ⊥AC ，垂足为R ，则DR ＝DC •sin60°＝（4﹣m ）， …………………………………………6分⊥S ⊥CDF ＝CF •DR ＝m •（4﹣m ）＝﹣m 2+m ， ⊥S ＝S ⊥OAC ﹣S ⊥CDF＝4﹣（﹣m 2+m ） ＝（m ﹣2）2+3． …………………………………………7分⊥在点T 运动的过程中，四边形ODF A 的面积有最小值为3．……………………8分O A T C D F x y 图3 R。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B 【解析】仔细观察图象，①k 的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a ，b 看y 2=x+a ，y 1=kx+b 与y 轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大．【详解】①∵y 1=kx+b 的图象从左向右呈下降趋势，∴k ＜0正确；②∵y 2=x+a ，与y 轴的交点在负半轴上，∴a<0，故②错误；③当x<3时，y 1>y 2错误；故正确的判断是①．故选B ．【点睛】本题考查一次函数性质的应用.正确理解一次函数的解析式：y=kx+b （k≠0）y 随x 的变化趋势：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小.2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．84B ．336C ．510D ．1326【答案】C 【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，故选：C．点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.3．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是()A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n【答案】D【解析】试题分析：由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．解：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．故选D．考点：规律型：图形的变化类．4．如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（）A．95B．185C．165D．125【答案】B【解析】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH=125，即可得BF=245，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF=185．【详解】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE=222243AB BE +=+=5， ∵1122AB BE AE BH ⋅=⋅， ∴1134522BH ⨯⨯=⨯⨯， ∴BH=125，则BF=245， ∵FE=BE=EC ，∴∠BFC=90°，∴CF=2222246()5BC BF -=-=185 ． 故选B ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质及勾股定理的应用，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5．如图是二次函数y =ax 2+bx + c(a≠0)图象如图所示，则下列结论，①c<0，②2a + b=0；③a+b+c=0，④b 2–4ac<0，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【答案】B 【解析】由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜1，故①正确；②对称轴x 2b a=-=1，则2a+b=1．故②正确； ③由图可知：当x=1时，y=a+b+c ＜1．故③错误；④由图可知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则b 2﹣4ac ＞1．故④错误．综上所述：正确的结论有2个．故选B ．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的值求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．6．如图,在△ABC 中,点D 是AB 边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC 的面积为1,则△BCD 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴12AC AD AB AC ==， ∴2ACDABC S AD SAC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2112ABCS ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △ABC =4，∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.7．一、单选题小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x 个/分钟，则列方程正确的是（ ）A ．1201806x x =+B ．1201806x x =-C ．1201806x x =+D ．1201806x x=- 【答案】C【解析】解：因为设小明打字速度为x 个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，可列方程得1201806x x =+， 故选C ．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．8．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为倒数的点是（ ）A ．点A 与点BB ．点A 与点DC ．点B 与点D D ．点B 与点C 【答案】A【解析】试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数定义可知，-2的倒数是-12，有数轴可知A对应的数为-2，B对应的数为-12，所以A与B是互为倒数．故选A．考点：1．倒数的定义；2．数轴．9．下列各式中的变形，错误的是（（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案．【详解】A、，故A正确；B、分子、分母同时乘以﹣1，分式的值不发生变化，故B正确；C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确；D、≠，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变．10．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是A．B．C．D．【答案】C【解析】分三段讨论：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选C．二、填空题（本题包括8个小题）11．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的处，则AP的长为__________．【答案】32或94【解析】①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=32，∴AP=32；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴AD ABAP BC=，∴AP=AD BCAB =334⨯=94．故答案为32或94．12．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠2=55°，则∠1=____．【答案】1【解析】由折叠可得∠3=180°﹣2∠2，进而可得∠3的度数，然后再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠1+∠3=180°，进而可得∠1的度数．【详解】解：由折叠可得∠3=180°﹣2∠2=180°﹣1°=70°，∵AB∥CD，∴∠1+∠3=180°，∴∠1=180°﹣70°=1°，故答案为1．13．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若AC＝3DF，则OE：EB＝_____．【答案】1:2【解析】△ABC与△DEF是位似三角形，则DF∥AC，EF∥BC，先证明△OAC∽△ODF，利用相似比求得AC ＝3DF，所以可求OE：OB＝DF：AC＝1：3，据此可得答案．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，∴DF∥AC，EF∥BC∴△OAC∽△ODF，OE：OB＝OF：OC∴OF：OC＝DF：AC∵AC＝3DF∴OE：OB＝DF：AC＝1：3，则OE：EB＝1：2故答案为：1：2【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线．14．某种水果的售价为每千克a 元，用面值为50元的人民币购买了3千克这种水果，应找回 元（用含a 的代数式表示）．【答案】（50-3a ）.【解析】试题解析：∵购买这种售价是每千克a 元的水果3千克需3a 元，∴根据题意，应找回（50-3a ）元．考点：列代数式.15．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧离地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_______m .（精确到0.1m ）【答案】9.1【解析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标【详解】如图，以地面为x 轴，门洞中点为O 点，画出y 轴，建立直角坐标系由题意可知各点坐标为A （-4,0）B （4,0）D （-3,4）设抛物线解析式为y=ax 2+c （a≠0）把B 、D 两点带入解析式可得解析式为2464y 77x =-+，则C （0，647） 所以门洞高度为647m≈9.1m【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键16．已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所能取到的整数值为________．【答案】-2【解析】试题分析：根据题意可得2k+3＞2，k ＜2，解得﹣＜k ＜2．因k 为整数，所以k=﹣2． 考点：一次函数图象与系数的关系．17．如图，直线123y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在x 轴的正半轴上，OD OA =，过点D 作CD x ⊥轴交直线AB 于点C ，若反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点C ，则k 的值为_________________．【答案】1 【解析】先求出直线y=13x+2与坐标轴的交点坐标，再由三角形的中位线定理求出CD ，得到C 点坐标． 【详解】解：令x=0，得y=13x+2=0+2=2， ∴B （0，2），∴OB=2，令y=0，得0=13x+2，解得，x=-6， ∴A （-6，0），∴OA=OD=6，∵OB ∥CD ，∴CD=2OB=4，∴C （6，4），把c （6，4）代入y=k x（k≠0）中，得k=1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，需要掌握求函数图象与坐标轴的交点坐标方法，三角形的中位线定理，待定系数法．本题的关键是求出C 点坐标．18．小明和小亮分别从A 、B 两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C ，小明先到达奶茶店C ，并在C 地休息了一小时，然后按原速度前往B 地，小亮从B 地直达A 地，结果还是小明先到达目的地，如图是小明和小亮两人之间的距离y(千米)与小亮出发时间x(时)的函数的图象，请问当小明到达B 地时，小亮距离A 地_____千米．【答案】1【解析】根据题意设小明的速度为akm/h，小亮的速度为bkm/h，求出a,b的值，再代入方程即可解答. 【详解】设小明的速度为akm/h，小亮的速度为bkm/h，23.5 2.5(3.52)(3.5 2.5)210bab a⎧=-⎪⎨⎪-+-=⎩，解得，12060ab=⎧⎨=⎩，当小明到达B地时，小亮距离A地的距离是：120×(3.5﹣1)﹣60×3.5＝1(千米)，故答案为1．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．求证：△BDE≌△BCE；试判断四边形ABED的形状，并说明理由．【答案】证明见解析.【解析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED 为菱形．【详解】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥EC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵DB CBDBE CBE BE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△BCE；（2）四边形ABED为菱形；由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，∴BA=BE=ED= AD∴四边形ABED为菱形．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．20．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E．若∠AOD＝45°，求证：CE2ED；（2）若AE＝EO，求tan∠AOD的值．【答案】（1）见解析；（2）tan∠AOD＝3 4 .【解析】（1）作DF⊥AB于F，连接OC，则△ODF是等腰直角三角形，得出2DF，由垂径定理得出∠COE=90°，证明△DEF∽△CEO得出22 ED OC DFCE DF DF===（2）由题意得OE=12OA=12OC，同（1）得△DEF∽△CEO，得出12EF EODF OC==，设⊙O的半径为2a（a＞0），则OD=2a，EO=a，设EF=x，则DF=2x，在Rt△ODF中，由勾股定理求出x=35a，得出DF=65a，OF=EF+EO=85a，由三角函数定义即可得出结果．【详解】（1）证明：作DF⊥AB于F，连接OC，如图所示：则∠DFE ＝90°，∵∠AOD ＝45°，∴△ODF 是等腰直角三角形，∴OC ＝OD 2DF ，∵C 是弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∴∠COE ＝90°，∵∠DEF ＝∠CEO ，∴△DEF ∽△CEO ， ∴22ED OC DF CE DF DF=== ∴CE 2；（2）如图所示：∵AE ＝EO ，∴OE=12OA=12OC ， 同（1）得：，△DEF ∽△CEO ， ∴12EF EO DF OC ==， 设⊙O 的半径为2a （a ＞0），则OD ＝2a ，EO ＝a ，设EF ＝x ，则DF ＝2x ，在Rt △ODF 中，由勾股定理得：（2x ）2+（x+a ）2＝（2a ）2，解得：x ＝35a ，或x ＝﹣a （舍去）， ∴DF ＝65a ，OF ＝EF+EO ＝85a ， ∴DF 3tan AOD OF 4∠==． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键．21．如图，抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ．求抛物线的解析式；抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长；在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为248y x x 433=-++；（2）PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）；（3）存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 【解析】（1）将A （3，0），C （0，4）代入2y ax 2ax c =-+，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长．（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC ∽△AEM ，②△CFP ∽△AEM ；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4）， ∴，解得4a {3c 4=-=． ∴抛物线的解析式为248y x x 433=-++． （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，∵A （3，0），点C （0，4），∴3k b 0{b 4+==，解得4k {3b 4=-=．∴直线AC 的解析式为4y x 43=-+． ∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m ，4m 43-+）． ∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线248y x x 433=-++上， ∴点P 的坐标为（m ，248m m 433-++）． ∴PM=PE －ME=（248m m 433-++）－（4m 43-+）=24m 4m 3-+． ∴PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）． （3）在（2）的条件下，连接PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=4m 43-+，CF=m ，PF=248m m 4433-++-=248m m 33-+， 若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况： ①若△PFC ∽△AEM ，则PF ：AE=FC ：EM ，即（248m m 33-+）：（3－m ）=m ：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=2316． ∵△PFC ∽△AEM ，∴∠PCF=∠AME ．∵∠AME=∠CMF ，∴∠PCF=∠CMF ．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．∴△PCM 为直角三角形．②若△CFP ∽△AEM ，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3－m ）=（248m m 33-+）：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP ∽△AEM ，∴∠CPF=∠AME ．∵∠AME=∠CMF ，∴∠CPF=∠CMF ．∴CP=CM ．∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 22．解不等式组22(4)113x x x x -≤+⎧⎪-⎨+⎪⎩＜，并写出该不等式组的最大整数解． 【答案】﹣2，﹣1，0【解析】分析：先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．本题解析：()224113x x x x ⎧-≤+⎪⎨-<+⎪⎩①②， 解不等式①得，x≥−2，解不等式②得，x<1，∴不等式组的解集为−2≤x<1.∴不等式组的最大整数解为x=0，23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B ：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【答案】 (1) w ＝－10x 2＋700x －10000;(2) 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大;(3) A 方案利润更高.【解析】试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可.（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.（3）分别求出方案A 、B 中x 的取值范围，然后分别求出A 、B 方案的最大利润，然后进行比较.【详解】解：（1）w ＝（x －20）（250－10x ＋250）＝－10x 2＋700x －10000.（2）∵w ＝－10x 2＋700x －10000＝－10（x －35）2＋2250∴当x ＝35时，w 有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.（3）A 方案利润高,理由如下：A 方案中：20＜x≤30，函数w ＝－10（x －35）2＋2250随x 的增大而增大，∴当x=30时，w 有最大值，此时，最大值为2000元.B 方案中：10x 50010x 2025-+≥⎧⎨-≥⎩，解得x 的取值范围为：45≤x≤49. ∵45≤x≤49时，函数w ＝－10（x －35）2＋2250随x 的增大而减小，∴当x=45时，w 有最大值，此时，最大值为1250元.∵2000＞1250，∴A 方案利润更高24．顶点为D的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B(3，0)，交y轴于点C，直线y＝﹣x+m经过点C，交x轴于E(4，0)．求出抛物线的解析式；如图1，点M为线段BD上不与B、D重合的一个动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，设点M的横坐标为x，四边形OCMN 的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；点P为x轴的正半轴上一个动点，过P作x轴的垂线，交直线y＝﹣34x+m于G，交抛物线于H，连接CH，将△CGH沿CH翻折，若点G的对应点F恰好落在y轴上时，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)S＝﹣(x﹣94)2+8116；当x＝94时，S有最大值，最大值为8116；(3)存在，点P的坐标为(4，0)或(32，0).【解析】（1）将点E代入直线解析式中，可求出点C的坐标，将点C、B代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式．（2）将抛物线解析式配成顶点式，可求出点D的坐标，设直线BD的解析式，代入点B、D，可求出直线BD的解析式，则MN可表示，则S可表示．（3）设点P的坐标，则点G的坐标可表示，点H的坐标可表示，HG长度可表示，利用翻折推出CG＝HG，列等式求解即可．【详解】（1）将点E代入直线解析式中，0＝﹣34×4+m，解得m＝3，∴解析式为y＝﹣34x+3，∴C(0，3)，∵B(3，0)，则有3093cb c=⎧⎨=-++⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3；（2）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣(x ﹣1)2+4，∴D(1，4)，设直线BD 的解析式为y ＝kx+b ，代入点B 、D ，304k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的解析式为y ＝﹣2x+6，则点M 的坐标为(x ，﹣2x+6)，∴S ＝(3+6﹣2x)•x•12＝﹣(x ﹣94)2+8116， ∴当x ＝94时，S 有最大值，最大值为8116． (3)存在，如图所示，设点P 的坐标为(t ，0)，则点G(t ，﹣34t+3)，H(t ，﹣t 2+2t+3)， ∴HG ＝|﹣t 2+2t+3﹣(﹣34t+3)|＝|t 2﹣114t| CG 223(33)4t t +-+-54t ，∵△CGH沿GH翻折，G的对应点为点F，F落在y轴上，而HG∥y轴，∴HG∥CF，HG＝HF，CG＝CF，∠GHC＝∠CHF，∴∠FCH＝∠CHG，∴∠FCH＝∠FHC，∴∠GCH＝∠GHC，∴CG＝HG，∴|t2﹣114t|＝54t，当t2﹣114t＝54t时，解得t1＝0(舍)，t2＝4，此时点P(4，0)．当t2﹣114t＝﹣54t时，解得t1＝0(舍)，t2＝32，此时点P(32，0)．综上，点P的坐标为(4，0)或(32，0)．【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，最后一问推出CG＝HG为解题关键．25．如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．【答案】20°【解析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．【详解】∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG 是△EFH 的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．26．如图，建筑物AB 的高为6cm ，在其正东方向有个通信塔CD ，在它们之间的地面点M （B ，M ，D 三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A 、塔项C 的仰角分别为37°和60°，在A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3=1.73，精确到0.1m ）【答案】通信塔CD 的高度约为15.9cm ．【解析】过点A 作AE ⊥CD 于E ，设CE=xm ，解直角三角形求出AE ，解直角三角形求出BM 、DM ，即可得出关于x 的方程，求出方程的解即可．【详解】过点A 作AE ⊥CD 于E ，则四边形ABDE 是矩形，设CE=xcm ，在Rt △AEC 中，∠AEC=90°，∠CAE=30°， 所以AE=330CE tan =︒xcm ， 在Rt △CDM 中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm ， DM=)36603x CD tan +=︒cm ， 在Rt △ABM 中，BM=63737AB tan tan =︒︒cm ， ∵AE=BD ，∴)66373xtan+=+︒，解得：，∴（cm），答：通信塔CD的高度约为15.9cm．【点睛】本题考查了解直角三角形，能通过解直角三角形求出AE、BM的长度是解此题的关键．。

2019-2020学年初三第五次月考(数学)试卷一、选择题(共12小题，共36分)1. -3 的倒数的相反数是（ ） A. 13 B. 3 C. -3 D. 13- 【答案】A【解析】【分析】根据倒数及相反数的定义，求解即可．【详解】解：∵−3的倒数为13-， 13-的相反数为13， ∴−3 的倒数的相反数是13， 故选：A ．【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，属于基础题．2. 新型冠状病毒非常小，其半径约为 0.00000016m ，用科学记数法可以表示为（ ）A. 61.610⨯mB. -61.610⨯mC. -71.610⨯mD. -81.610⨯m 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】解：0.00000016m=1.6×10-7m ，故选C ．【点睛】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a |<10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．3. 如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4. 下列图形中，为轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义即可判断.【详解】A是中心对称图形，不是轴对称图形；B不是轴对称图形；C不是轴对称图形，没有对称轴；D是轴对称图形，故选D．【点睛】此题主要考查轴对称图形的定义，解题的关键是熟知轴对称图形的定义.5. 一个袋子中装有6个红球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同. 在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）A. 19B.13C.12D.23【答案】B【解析】试题分析：让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是39=13．故选B．考点：概率公式．6. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了 一觉. 当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终 点……. 用 s 1 、s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程， t 为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，兔子的路程随时间的变化分为3个阶段，由此即可求出答案．【详解】解：根据题意：s 1一直增加；s 2有三个阶段，第一阶段：s 2增加；第二阶段，由于睡了一觉，所以s 2不变；第三阶段，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，s 2增加；∵乌龟先到达终点，即s 1在s 2的上方．故选：A ．【点睛】本题考查变量之间的关系．能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．7. 若A 11()a b ,，B 22()a b ,是反比例函数2y =图像上两个点，12a a <，则b 1 与 b 2的大小关系是（ ） A. b 1 < b 2B. b 1 = b 2C. b 1 > b 2D. 大小不确定【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的解析式，取特殊值代入计算即可得出结论． 【详解】解：当12=-a 21a =时，11b =，22=-b ，此时12b b >， 当12=-a 21a =-时，11b =，22=b ，此时12<b b ，∴1b 与2b 的大小不确定，故选：D ．【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征．8. 如果圆锥的母线长为 10cm ，高为 8cm ，那么它的侧面积等于（ ）cm ²A. 80πB. 60πC. 40πD. 30π 【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【详解】解：∵圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，∴圆锥的底面半径为6cm ，∴圆锥的侧面积=π×6×10=60π（cm 2），故答案为：B ．【点睛】考查圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式是解决本题的关键．用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形．9. 函数2y x =-，1y x=，2y x =-的共同性质是（ ） A. 它们的图像都经过原点B. 它们的图像都不经过第二象限C. 在 x > 0 的条件下， y 都随 x 的增大而增大D. 在 x > 0 的条件下， y 都随 x 的增大而减小【答案】D【解析】【分析】根据题目中各个函数解析式的性质，可对每个选项进行分析，即可得出答案．【详解】解： 1y x=的图象不经过原点，A 选项不符合题意； 函数2y x =-，2y x =-的图象都经过第二象限，B 选项不符合题意；函数2y x =-，2y x =- 中，在 x > 0 的条件下，y 都随 x 的增大而减小，C 选项不符合题意， 函数2y x =-，1y x=，2y x =- 中，在 x > 0 的条件下，y 都随 x 的增大而减小，D 选项符合题意； 故选D ．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确它们各自的性质．10. 如图，在等边ABC ∆中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60得到线段OD ，若要使点D 恰好在BC 上，则AP 的长为（）．A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】 先计算出OC=6，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再根据旋转的性质得OD=OP ，∠POD=60°，根据三角形内角和和平角定义得∠1+∠2+∠A=180°，∠1+∠3+∠POD=180°，利用等量代换可得∠2=∠3，然后根据“AAS”判断△AOP ≌△CDO ，则AP=CO=6． 【详解】∵AC=9，AO=3，∴OC=6，∵△ABC 为等边三角形，∴∠A=∠C=60°，∵线段OP 绕点D 逆时针旋转60゜得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，∴OD=OP,∠POD=60°，∵∠1+∠2+∠A=180°,∠1+∠3+∠POD=180°，∴∠1+∠2=120°,∠1+∠3=120°，∴∠2=∠3，在△AOP 和△CDO 中∵23A C OP OD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AOP ≌△CDO ，∴AP=CO=6故选C【点睛】此题考查等边三角形的性质、旋转的性质、三角形内角和、平角定义和等量代换，解题关键在于根据“AAS”判断△AOP ≌△CDO11. 花园内有一块边长为的正方形土地，园艺师设计了四种不同图案，其中的阴影部分用于种植花草，种植花草面积最大的是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】【详解】解：将第2个图形中的半圆的面积相加为以半径为2a 的圆；第3个图形中4个扇形的面积相加为以半径为2a 的圆；故第1，2，3个图形阴影的面积为正方形的面积减去以2a 为半径的圆的面积；第4个图形的面积为两个扇形的面积减去正方形的面积，第4个图形的面积为：22290213602a a a ππ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，由（1-4π）a 2＜（2π-1）a 2，可知第4个阴影部分的面积最大． 故选D ．【点睛】本题考查阴影部分的面积，掌握面积计算公式正确计算是解题关键．12. 下列结论正确的是（ ）A. 对任意实数a ，01a =B. 211x +≥C. 两个正无理数之和一定是个正无理数D. 211111x x x x x ++=++--是整式方程 【答案】B【解析】【分析】根据零指数幂的性质、偶次方的非负性、无理数的概念和整式方程的定义逐项判断即可．【详解】解：A. 由零指数幂的性质可知，a≠0，故错误；B. ∵20x≥，∴211x+≥，故正确；C. 33D. 由整式方程的定义可知，分母不能含有未知数，故错误；故选：B.【点睛】本题考查了零指数幂的性质、偶次方的非负性、无理数的概念和整式方程的定义，熟练掌握基础知识是解题关键．二、填空题(共4小题，共12分)．13. 的平方根是．【答案】±2．【解析】【分析】±2．故答案为±2．14. 函数y=的自变量x 的取值范围是________．x≥【答案】2【解析】【分析】根据二次根式的定义得出x−2≥0，求解即可．【详解】解：根据二次根式定义可得：x−2≥0，x≥，解得：2x≥．故答案为：2【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数．15. 请你仔细观察下面一组图形，依据其变化规律推断第（5）个图形中所有正方形面积之和为____________（其中图中出现的三角形均是直角三角形，四边形均是正方形）．【答案】5【解析】【分析】根据勾股定理，第（2）个图形中两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，图形（2）中所有正方形的积和等于2；依此类推，可发现第（n）个图形中所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的n倍，进而得问题答案．【详解】解：设第（2）个图形中直角三角形的是三条边分别是a，b，c，根据勾股定理，得a2+b2=c2，即S2+S3=S1=1；∴第（2）个图形中所有正方形的面积之和为S1+S2+S3=2，同理可得：第（3）个图形中所有正方形的面积之和为3，可得规律：第（n）个图形中所有正方形的面积之和为n，∴第（5）个图形中所有正方形的面积之和为5，故答案为：5．【点睛】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．16. 有一边长为2 的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF（如图①）；再沿过D 的折痕将角A 反折，使得点A 落在EF 上的H 处（如图②），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度为__________．【答案】23-3【解析】【分析】根据翻折变换的特点分别用EG 表示出GH ，EH 的长度，用勾股定理作为相等关系解方程即可．【详解】解：设EG x =，则根据翻折变换的特点可知：1==-AG GH x ，2DH AD ==， ∴223-==FH DH DF ， ∴23EH =-，在Rt EGH ∆中，由勾股定理得：222=+GH EH EG ，即222(1)(23)-=-+x x ，解得：233x =-，故答案为：233-．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．三、解答题(共7小题，共52分)17. 计算：02(51)133tan 60248-+-+--【答案】-4【解析】【分析】根据实数的混合运算法则进行计算即可．【详解】解：原式1(31)33443=+-+⨯-- 13133443=+-+--=4【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．18. 著名台湾魔术师刘谦发明了一个道具，他把下图①中的正方形，分割成两个全等的直角三角形和直角梯形，然后拼成图②中的长方形．图① 图②通过计算这两个图形的面积，证明了 64=65，请你用学过的数学知识，找到刘谦的破绽．【答案】答案见解析．【解析】【分析】要找出破绽，就要证明中间有一条小缝隙，可证明B 、C 、E 不在同一条直线上即可，利用解直角三角形求∠BCF 和∠E 的三角函数值即可判断．【详解】解：如图，过C 作CF AB ⊥垂足为F ，则532tan 55-∠===BF BCF CF ， 而3tan 8CD E DE ∠==， 即tan tan BCF E ∠>∠，∴BCF E ∠>∠，∴B 、C 、E 三点不共线，事实上，180BCD DCE ∠+∠>︒，因而图②中间有一条缝，它实际上是个平行四边形，其面积为1.【点睛】此题主要考查了矩形的性质，解直角三角形等知识，此题的难点不算太大，解题的关键是理解题意．19. 某大型超市国庆期间举行促销活动. 假定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物金额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过300元部分按8折优惠. 小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，应付款多少元．【答案】358.4元或366.8元．【解析】【分析】因为小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，所以要分情况讨论：①小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元；②小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元．分别列出代数式求解．【详解】解：因为100×0.9=90＜94.5＜100，300×0.9=270＜282.8， 设小美第二次购物的原价为x 元，则（x-300）×0.8+300×0.9=282.8解得，x=316 所以有两种情况：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元则小丽应付（316+94.5-300）×0.8+300×0.9=358.4（元） 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；则第一次购物原价为：94.5÷0.9=105（元） 所以小丽应付（316+105-300）×0.8+300×0.9=366.8（元）．答：小丽应该付款358.4元或366.8元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，注意分情况讨论．20. 设x 是12,,...n x x x 的平均数，即12...n x x x x n++=，则方差2222121()()...()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，它反映了这组数的波动性， （1）证明：对任意实数a ，x 1−a ，x 2−a ，…，x n −a ，与x 1，x 2，…，x n 方差相同；（2）证明22222121...n s x x x x n ⎡⎤=+++-⎣⎦；（3）以下是我校初三（1）班 10 位同学的身高（单位：厘米）：169，172，163，173，175，168，170，167，170，171，计算这组数的方差．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10.16【解析】【分析】（1）根据方差的计算公式分别求出两组数据的方程进行比较即可；（2）利用完全平方差公式对式子进行整理即可证得结论；（3）根据（1）和（2）的结论进行计算即可．【详解】（1）证明：设1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S ；x 1−a ，x 2−a ，…，x n −a 的平均数为x '，方差为2S '. 则：2S 22212n 1[()()()]=-++⋅⋅⋅-+-x x x x x x n ， 1212()()()---++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+='=-=-n n x a x a x a x x x x a x a n n， ∴2S '{}22212n 1[()][()][()]=-+-+⋅'''--⋅⋅+--x a x x a x x a x n{}22212n 1[()()][()()][()()]=--+--+⋅---⋅⋅+--x a x a x a x a x a x a n22212n 1[()()()]=-++⋅⋅⋅-+-x x x x x x n 2=S ，∴对任意实数a ，x 1−a ，x 2−a ，…，x n −a 与x 1，x 2，…，x n 方差相同；（2）证明如下：222212n 1[()()()]--=++⋅⋅⋅+-S x x x x x x n222212121[()2()]=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++n n x x x x x x x nx n222212121()2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-⋅⋅+n n x x x x x x x x n n22222121()2=++⋅⋅⋅+-+n x x x x x n2222121()=++⋅⋅⋅+-n x x x x n（3）解：根据（1）的结论，将这10个数都减去170，得：−1 2 −7 3 5 −2 0 −3 0 1则0.2x =-，再由（2）得：22222222221(1)2(7)35(2)0(3)01(0.2)10⎡⎤=-++-+++-++-++--⎣⎦s 10.16= 【点睛】此题考查了方差，用到的知识点是方差的计算及变化特点，是一个统计问题，熟练掌握方差的运算公式是解题的关键．21. 已知：如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，AC 和 BD 相交于E ， BC = CD = 4 ， AE = 6 ，且 BE 和 DE 的长是正整数，求 BD 的 长．【答案】7【解析】【分析】根据已知条件，易证△ABC ∽△BEC ，所以BC 2=CE •AC ，即可求得EC =2，再证△BCE ∽△ADE ，可得BE•DE 的值，又线段BE 、ED 为正整数，且在△BCD 中，BC+CD >BE+DE ，所以可得BE 、DE 的长，即可得BD 的长．【详解】解：∵BC=CD ，∴∠BAC =∠DAC ，∵∠DBC =∠DAC ，∴∠BAC =∠DBC ，又∵∠BCE =∠ACB ，∴△ABC ∽△BEC ， ∴=BC AC EC BC， ∴BC 2=CE •AC ，∵BC=CD =4，AE =6，∴EC =2，∵∠DBC =∠DAC ，∠CEB =∠DEA ，∴△BCE ∽△ADE ， ∴=BE CE AE DE， ∴BE•DE=AE•EC ，即BE•DE =12，又线段BE 、ED 为正整数，且在△BCD 中，BC+CD >BE+DE ，所以可得BE =3、DE =4或BE =4、DE =3，所以BD=BE+DE =7．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等和相似三角形的判定与性质，并综合运用了三角形的三边关系，熟记并灵活应用定理是解题的关键．22. 某同学在研究二次函数及其图像性质的问题时，发现了两个重要结论：①抛物线 y = ax 2 − 2x + 3（a ≠0) ，不论 a 为何值时，它的顶点都在某条直线上；②抛物线 y = ax 2 − 2x + 3（a ≠0)，其顶点的横坐标减少1a ，纵坐标增加1a得到A 点，若把顶点的横坐标增加1a ，纵坐标增加1a，得到B 点，则A ，B 两点一定在抛物线y = ax 2 − 2x + 3上． （1）请你帮忙求出抛物线 y = ax 2 − 2x + 3的顶点所在直线的解析式，并证明结论②是正确的； （2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗，并说明理由；（3）你能把结论①或②（选择其中之一）推广到一般情况吗，请用数学语言表述你的成 果，并给予严格的证明．【答案】（1）3y x =-+，证明见解析；（2）（0,3），理由见解析；（3）①的推广：若b 、c 是常数，对任意的实数0a ≠，抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线2b y x c =+上；②的推广：抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠，将其顶点的横坐标增加或减少1a ，纵坐标增加1a ，所得到的两个点一定仍在抛物线上；证明见解析．【解析】【分析】（1）首先将抛物线y =ax 2+2x +3转化成顶点式，写出用a 表示的顶点坐标，消去a 写出y 关于x 的表达式； （2）观察（1）中的顶点坐标11(,3)-a a ，因为0a ≠，即横坐标10≠a ，纵坐标133-≠a，即可求得结果； （3）首先写出抛物线的一般形式，再转化成顶点式，将顶点的横坐标增加代入一般式，验证纵坐标也增加．【详解】解：（1）方法一：当1a =时，223y ax x =-+的顶点坐标为(1,2)，当1a =-时，223y ax x =-+的顶点坐标为(−1,4)，设抛物线223y ax x =-+的顶点在直线y kx m =+上，将(1,2)，(−1,4)代入，得：24k m k m =+⎧⎨=-+⎩，解得：13k m =-⎧⎨=⎩， 所以3y x =-+，即抛物线223ax x =-+的顶点在直线3y x =-+；方法二：易知223y ax x =-+的顶点是11(,3)-a a，即1x a =，13y a=-， 消去a 得：3y x =-+，即抛物线223y ax x =-+的顶点在直线3y x =-+；证明：抛物线223y ax x =-+的顶点是11(,3)-a a ，由题意得：A (0,3)，B (2a,3)， 当x =0时，y =3，则点A 在抛物线223y ax x =-+上，当x =2a 时，222()233=-⋅+=y a a a，则点B 抛物线223y ax x =-+上， （2）直线3y x =-+上有一点(0,3)不是该抛物线的顶点，抛物线223y ax x =-+的顶点是11(,3)-a a ， 当0a ≠时，横坐标10a≠，即(0,3)不是抛物线的顶点； （3）①的推广 若b 、c 是常数，对任意的实数0a ≠，抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线2b y xc =+上. 当1a =时，则2y x bx c =++的顶点为24(,)24--b c b ， 当1a =-时，则2-y x bx c =++的顶点为24(,)24+b c b ， 将它们代入y kx m =+得：22442442c b b k m c b b k m ⎧-=-+⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩， 解得：2b k m c⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则直线为2b y xc =+， 事实上，2b x a =-时，24()224-=⋅-+=b b ac b y c a a ， 即抛物线顶点24(,)24b ac b a a--在直线2b y x c =+上； ②的推广猜想：抛物线y = ax 2 − 2x + 3（a ≠0) ，将其顶点的横坐标增加或减少1a ，纵坐标增加1a，所得到的两个点一定仍在抛物线上. 证明：抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为24(,)24b ac b a a --， 将其横坐标增加或减少1a ，纵坐标增加1a，得到 2244(,)24+-+-b ac b A a a ，2244(,)24--+-b ac b B a a将22+=-b x a代入2y ax bx c =++得 222()()22++=⋅-+⋅-+b b y a b c a a=2244242+++-+b b b b c a a=2444-+ac b a∴点A 抛物线2y ax bx c =++上，同理可证点B 也在抛物线上.【点睛】本题是二次函数的综合问题．主要考查学生对二次函数顶点式的理解，即灵活运用能力，属于一道开发性题目．23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点C 坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M 、N （点M 在点N 的上方）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设OMN 的面积为S ，直线l 运动时间为t 秒（0 ≤t ≤6），试求S 与t 的函数表达式；（3）在题（2）的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少．【答案】（1）A(2,23)，B(6,23)；（2）当02t ≤≤时，23t S =；当24t ≤≤，=3S t ；当46t ≤≤时，23-33S t t =+；（3）4t =秒时，43S =最大． 【解析】【分析】 （1）根菱形性质得出OA=AB=BC=CO =4，过A 作AD ⊥OC 于D ，求出AD 、OD ，即可得出答案；（2）依题意可分为三种情况：①当0≤t≤2时，直线l 与OA 、OC 两边相交，②当2＜t≤4时，直线l 与AB 、OC 两边相交，③当4＜t≤6时，直线l 与AB 、BC 两边相交，画出图形求出即可；（3）根据（2）中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出S 的最大值及对应的t 的值．【详解】解：（1）∵四边形OABC 为菱形，点C 的坐标为(4,0)，∴4OA AB BC CO ====过点A 作AD OC ⊥于D .∵60AOC ∠=︒∴2OD =,23AD =∴A(2,23)，B(6,23).（2）∵MN OD ⊥，∴ON t =，直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向运动与菱形OABC 的两边相交有三种情况：①当02t ≤≤时，直线l 与直线OA ，OC 两边相交，∴tan603=⋅︒=MN ON t ，则21322SON MN t =⋅=；②当24t <≤时，直线l 与AB 、OC 两边相交， 则1123322=⋅=⨯⨯=S ON MN t t ； ③当46t <≤时，直线l 与AB 、BC 两边相交，设直线l 与x 轴相交于H 点，∵)2334633MN t t =-=，∴()21136333322=⋅=⋅=+S MN OH t t t ； 综上所述：223(02)3(24)333(46)t S t t t t ≤≤=<≤⎪+<≤⎪⎩，（3）由（2）知，当02t ≤≤时，23223S ==最大 当24t <≤时，43S =最大∵23332S t =-+的对称轴为3x =， ∴函数2333S t =+，当46t <≤时，S 随t 的增大而减小，即4t =时，S 取得最大值：244+=综上所述，当4t =秒时，S =最大【点睛】本题是特殊平行四边形的运动性问题，考查了菱形的性质、二次函数的性质等知识．考查学生分类讨论、数形结合的方法．。