2016广东高考理数大二轮 专项训练 解析几何(含答案)

推理与证明考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示．肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p，又綈q”为假→“若p，则q”为真5．数学归纳法数学归纳法证明的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．热点一归纳推理例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A．48,49 B．62,63C．75,76 D．84,85思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.答案(1)B(2)D解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．第三次A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________________．答案 (1)B (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．热点二 类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x －e －x 2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论________． 思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．答案 (1)127(2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y解析 (1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.(2)ch x ch y －sh x shy ＝e x ＋e －x 2·e y ＋e －y 2－e x －e －x 2·e y －e －y2＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －y ) ＝14(2e x －y ＋2e －(x －y ))＝e x －y＋e －(x －y )2＝ch(x －y )，故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ， 或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ， 或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝D ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________. 答案 (1)D (2)b 2a2解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －12d ，又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，则d n ＝nc 1·c 2·…·c n c 112n q-，故选D.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2a 2， 即k OM ·k AB ＝b 2a2.热点三 直接证明和间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a 2n }；(2)否定性结论的证明可用反证法．(1)解 已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n＝23， 而1－a 21＝34，所以数列{1－a 2n}是首项为34，公比为23的等比数列，则1－a 2n ＝34×⎝⎛⎭⎫23n －1，则a 2n＝1－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， 由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现， 因此a n ＝(－1)n ＋11－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝－34×⎝⎛⎭⎫23n ＋34×⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1. (2)证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m <n <p ，而b n ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1随n 的增大而减小，那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，可得2×14×⎝⎛⎭⎫23n －1＝14×⎝⎛⎭⎫23m －1＋14×⎝⎛⎭⎫23p －1，则2×⎝⎛⎭⎫23n －m＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m .(*) 当n －m ≥2时，2×⎝⎛⎭⎫23n －m ≤2×⎝⎛⎭⎫232＝89，(*)式不可能成立，则只能有n －m ＝1， 此时等式为43＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m ， 即13＝⎝⎛⎭⎫23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等． 所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ≠q ≠r )成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．。

圆锥曲线一、选择题1、设椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y +=B ．2211216x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=答案：A2、若双曲线22221x y a b-=-A.2±B.12± D.答案：B3、与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都相外切的圆的圆心在(A)一个椭圆上 (B) 一支双曲线上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 答案：B4、已知点)2 , 1(A ，)1 , 2(B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．03=-+y xB ．01=+-y xC ．0=-y xD ．0=+y x 答案：C5、平面直角坐标系中，抛物线x y 212=与函数x y ln =图象的交点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D 二、填空题1、设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________ 答案：242、已知直线:l x p =过抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 与抛物线C 围成的平面区域的面积为,S则p =______ ，S = . 答案：81,.3三、解答题 1、如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x --=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM的最大值为,求t.(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>),依题意,19242b -==, …………………………………………1分 所以2b = ……………………………………2分 又1c =, ……………………………………3分 所以2225a b c =+=, ………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. ……………………………………………………5分(Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………6分圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………7分 因为PM QM ⊥,=…………………………………8分= ……………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………10分且max QM ==解得3182t =<(舍去). ……………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, ……………………12分且max QM ==解得218t =,又102t <<,所以t =………13分综上,当t =时,QM 的最大值为. ……………………………………14分图72如图7，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ．过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A ，B ．（1）若1l 与2l 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程； （2）求||||AP FA 的最大值． 解：（1）因为双曲线方程为12222=-by a x ，所以双曲线的渐近线方程为x aby ±=．………………………………………………1分 因为两渐近线的夹角为60 且1<ab，所以30POF ∠= ． 所以abtan 30== ．…………………………………………………………2分 所以b a 3=．因为2c =，所以2222=+b a ，所以a =1b =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=．…………………………………………4分（2）因为1l l ⊥，所以直线l 与的方程为()ay x c b=-，其中c =．………………5分因为直线2l 的方程为by x a=， 联立直线l 与2l 的方程解得点2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………6分 设||||FA AP λ=，则FA AP λ= ．……………………………………………………7分 因为点(),0F c ，设点()00,A x y ，则有()20000,,a abx c y x y c c λ⎛⎫-=--⎪⎝⎭． 解得()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+．………………………………………………8分因为点()00,A x y 在椭圆22221x y a b +=上，所以()()()()2222222222111c a ab a c b c λλλλ++=++．即()()222224221c aa a c λλλ++=+．等式两边同除以4a 得22222()(1),(0,1).e e e λλλ++=+∈……………………10分所以24222222322e e e e e λ-⎛⎫==--++ ⎪--⎝⎭………………………………………11分)2331≤-=-=-．………………………12分所以当22222e e -=-，即e =时，λ1-． (13)分故||||AP FA 1-．………………………………………14分 3、已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM,BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过定点（0,1）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q，求直线PQ 的方程.（1）解：设M(x,y), 1分 则(),,111MA Mb y y k k x x x ==≠±+- 3分 ∴211y y x x ⨯=-+- 4分 ∴2212y x +=()1x ≠± 6分（条件1分） （2）当直线PQ 的斜率不存在时，即PQ 是椭圆的长轴，其长为，显然不合，即直线PQ 的斜率存在， 7分 设直线PQ 的方程是y=kx+1,()()1122,,,,P x y Q x y则1212()y y k x x -=-， 8分联立22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222210k x kx ++-= 9分 ∵()()()222442810k k k ∆=++=+>，∴k R ∈, 10分12122221,22k x x x x k k +=-=-++ 11分==， 12分=22,k k ==， 13分所以直线PQ 的方程是y=。

专题复习检测卷(五) 解析几何一、选择题1．(2015·广东高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y24＝1 2．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝13．若椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率e ＝23，则实数k 的取值是( )A.209 B.365 C.209或525 D.209或3654．(2015·兖州模拟)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|＋|＝|－|(其中O 为坐标原点)，则实数a 的值为( )A ．2B ． 6C ．2或－2D ．6或－ 65．(2015·四川高考)过双曲线x 2－y23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB|＝( )A ．433B ．2 3C ．6D ．4 36．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P(1，5)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF|＋|BF|＝( )A ．12B ．8C ．4D ．27．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 28．(2015·丰台模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK⊥l 于K ，如果|AF|＝|BF|，那么△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．89．设椭圆x 24＋y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3B ．3或32C ．32D ．6或310．设F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线x ＝2a 上一点，若△PF 1F 2是底角为15°的等腰三角形，则C 的离心率为( )A.3－12 B.3－1 C.12 D.3211．(2015·赣州模拟)已知椭圆E 的中心在原点，一个焦点为F(1，0)，定点A(－1，1)在E 的内部，若椭圆E 上存在一点P 使得|PA|＋|PF|＝7，则椭圆E 的方程可以是( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 24＋y23＝1 C.x 28＋y 27＝1 D.x 29＋y28＝1 12．抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN||AB|的最大值为( )A ．33 B ．1 C ．233D ．2 二、填空题13．(2015·苏锡常镇联考)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．14．(2015·重庆高考)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．15．(2015·开封模拟)椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是－14，则直线PM 的斜率为________．16．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的准线L ，过M(1，0)且斜率为3的直线与L 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若＝，则p ＝________．三、解答题17．已知圆C 经过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l∥PQ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．18．设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，M∈C，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为3p ，E(5，0)是圆M 与x 轴除F 外的另一个交点．(1)求抛物线C 与圆M 的方程；(2)已知直线n ：y ＝k(x －1)(k>0)，n 与C 交于A ，B 两点，n 与l 交于点D ，且|FA|＝|FD|，求△ABQ 的面积．19．如图，A ，B 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点，F 为其右焦点，2是|AF|与|BF|的等差中项，3是|AF|与|BF|的等比中项．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，过点F 作直线FQ 垂直于AP ，交直线l 于点Q.证明：Q ，P ，B 三点共线．20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，P 为椭圆上任一点，且△PF 1F 2的最大面积为1.(1)求椭圆C 的方程； (2)设斜率为22的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恒过原点O ，求△OAB 的面积．21．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a>1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且·＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．22．设椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m ，0)，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，说明理由．答案 一、选择题1．解析：选C ∵e＝c a ＝54，F 2(5，0)，∴c＝5，∴a＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴双曲线C 的标准方程为x 216－y29＝1.2．解析：选B 设圆心C 1(－1，1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(a ，b)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 3．解析：选D 当k>4时，有e ＝1－4k ＝23，解得k ＝365；当0<k<4时，有e ＝1－k4＝23，解得k ＝209. 4．解析：选C 因为|＋|＝|－|，所以·＝0，⊥，得(0，0)到x ＋y ＝a 的距离为2，即|a|2＝2，得a ＝±2. 5．解析：选D 由题意知，双曲线x 2－y23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝4 3.6．解析：选A 设点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，因为点P 为AB 的中点，所以y 1＋y 2＝2×5＝10，又抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，所以|AF|＋|BF|＝[y 1－(－1)]＋[y 2－(－1)]＝y 1＋y 2＋2＝10＋2＝12.7．解析：选C 由题意，得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，F(c ，0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a .不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2a c ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b2a c －a ＝－1，整理得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.8．解析：选C 如图，由条件知△AKF 是等边三角形，设A(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤32（x ＋1）2＝4x ，解得x ＝3或x ＝13(舍去)，所以S △AKF ＝12×4×4×32＝4 3.9．解析：选C 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P 不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF 1F 2的面积为12×2c×b 2a ＝32.10．解析：选B 如图，设直线x ＝2a 与x 轴的交点为M ，由题意得∠F 1F 2P ＝150°，∠MF 2P ＝30°.在直角三角形MF 2P 中，|F 2M|＝2a －c ，|PM|＝|F 2M|·tan 30°＝233a －33c ，|PF 2|＝2|PM|＝433a －233c ，又|F 1F 2|＝2c ＝|PF 2|，故(3＋1)c ＝2a ，e ＝c a ＝23＋1＝3－1.11．解析：选D 设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1，则c ＝1，则|PF′|＋|PF|＝2a ， 即|PF|＝2a －|PF′|，∵椭圆E 上存在一点P ，满足|PA|＋|PF|＝7， ∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a －|PF′|＝7， 即|PA|－|PF′|＝7－2a ，∵－|AF′|≤||PA|－|PF′||≤|AF′|， ∴－1≤|PA|－|PF′|≤1，即－1≤7－2a≤1， 解得3≤a≤4，即9≤a 2≤16，当a 2＝9时，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，故此时椭圆的方程为x 29＋y 28＝1，故E 的方程可以是x29＋y28＝1. 12．解析：选A 过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，P ，设|AF|＝a ，|BF|＝b ，则|AQ|＝|AF|＝a ，|BP|＝|BF|＝b ，在梯形ABPQ 中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a ＋b.由余弦定理得|AB|2＝a 2＋b 2－2abcos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b)2－ab≥(a＋b)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b)2，即|AB|≥32(a ＋b)，所以|MN||AB|≤12（a ＋b ）32（a ＋b ）＝33. 二、填空题13．解析：由题可得e ＝ca ＝2，则c ＝2a ，设其一焦点为F(c ，0)，渐近线方程为bx±ay＝0，那么d ＝bcb 2＋a2＝bc c ＝b ＝1，而c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝13，那么所求的双曲线方程为3x 2－y 2＝1.答案：3x 2－y 2＝114．解析：∵以原点O 为圆心的圆过点P(1，2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝015．解析：设P(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，直线PM 的斜率k PM ＝y 0x 0＋2，直线PN 的斜率k PN ＝y 0x 0－2，可得k PM ·k PN ＝y 20x 20－4＝－34，故k PM ＝－34·1k PN＝3.答案：3 16．解析：过点B 作准线l 的垂线，垂足为D ，因为∠DAB＝π6，所以BD ＝12AB ＝BM ，所以M为抛物线的焦点，所以p2＝1，即p ＝2.答案：2 三、解答题17．解：(1)直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0，设圆心C(a ，b)，半径为r ， 由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，易知圆心在线段PQ 的垂直平分线上，所以b ＝a －1.① 又由圆C 在y 轴上截得的线段长为43，知(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2.② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意， 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， A(x 1，m －x 1)，B(x 2，m －x 2)，由题意可知OA⊥OB，即OA ―→·OB―→＝0， 所以x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 整理得m 2－m(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0， 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13， 可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，Δ＝－4(m 2－2m －25)>0，即m 2－m·(1＋m)＋m 2－12＝0，∴m＝4或m ＝－3，满足Δ>0， ∴y＝－x ＋4或y ＝－x －3.18．解：(1)由抛物线的定义知，圆M 经过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p ， 点M 的纵坐标为3p ，又M∈C，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p ，|MF|＝2p.由题意，M 是线段EF 的垂直平分线上的点， 故3p 2＝p 2＋52，解得p ＝2， 故抛物线C ：y 2＝4x ，圆M ：(x －3)2＋(y －23)2＝16.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x ＝－1得y ＝－2k ，则D(－1，－2k)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1）得ky 2－4y －4k ＝0(k>0)， 即y ＝2＋21＋k 2k 或y ＝2－21＋k 2k.∵|FA|＝|FD|，则A 的纵坐标为2＋21＋k 2k ，且2＋21＋k2k ＝2k ，解得k ＝ 3.∴A(3，23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，直线n ：y ＝3(x －1)，Q(－1，23)，则|AB|＝163，点Q到直线n 的距离d ＝23，△ABQ 的面积S ＝12|AB|·d＝1633.19．解：(1)不妨设椭圆C 的右焦点为F(c ，0)， 则由题意可得|AF|＝a ＋c ，|BF|＝a －c ，故⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋c ）＋（a －c ）＝2a ＝4，（a ＋c ）·（a －c ）＝a 2－c 2＝3， 解得a ＝2，c ＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)法一：由(1)知直线l 的方程为x ＝－2，由题意易知直线AP 的斜率存在且不为0， 设直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)(k≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，故x P ＋x A ＝x P －2＝－16k23＋4k2，所以x P ＝6－8k 23＋4k 2，y P ＝12k 3＋4k 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，又QF⊥AP，所以k QF ＝－1k ，故直线QF 的方程为y ＝－1k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），x ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3k，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3k ，所以k PQ ＝12k 3＋4k 2－3k 6－8k 23＋4k 2＋2＝－34k ，k BQ ＝3k －0－2－2＝－34k， 所以k PQ ＝k BQ ，即Q ，P ，B 三点共线．法二：设动点P 的坐标为(x 0，y 0)，则y 0≠0且x 0≠±2. 又点P 在椭圆上，由(1)可得x 204＋y 203＝1，所以y 20＝3（4－x 20）4.①又A(－2，0)，F(1，0)，所以直线AP 的斜率k AP ＝y 0x 0＋2，又QF⊥AP，所以k QF ＝－1k AP ＝－x 0＋2y 0，故直线QF 的方程为y ＝－x 0＋2y 0(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 0＋2y 0（x －1），x ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3（x 0＋2）y 0，故点Q 的坐标为(－2，3（x 0＋2）y 0)，所以直线PQ 的斜率为k PQ ＝y 0－3（x 0＋2）y 0x 0＋2＝y 20－3（x 0＋2）y 0（x 0＋2）.②将①代入②，整理可得k PQ ＝－3（x 0＋2）4y 0，又直线PB 的斜率为k PB ＝y 0x 0－2， 所以k PQ －k PB ＝－3（x 0＋2）4y 0－y 0x 0－2＝－3（x 20－4）＋4y 24y 0（x 0－2）.③将①代入③可得k PQ －k PB ＝0，即k PQ ＝k PB ， 故Q ，P ，B 三点共线． 20．解：(1)e ＝c a ＝22，设P(x 0，y 0)，△PF 1F 2的面积S ＝|y 0|c ，又|y 0|≤b， 所以最大面积为bc ＝1， 则b ＝c ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，消去y 得2x 2＋22mx ＋2m 2－2＝0， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝m 2－1.由题意知·＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫22x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫22x 2＋m ＝12x 1x 2＋22m(x 1＋x 2)＋m 2，所以·＝32x 1x 2＋22m(x 1＋x 2)＋m 2＝32m 2－32＝0，解得m ＝±1，则|AB|＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 3. 因为原点到直线l 的距离为|m|1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝63， 所以S △AOB ＝12×3×63＝22.21．解：(1)由题意知圆M 的圆心坐标为(3，1)，半径r ＝ 3. A(0，1)，F(c ，0)(c ＝a 2－1)．直线AF 的方程为xc ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0.由直线AF 与圆M 相切得|3＋c －c|c 2＋1＝3， 解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3. 故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)法一：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1kx ＋1，将y ＝kx ＋1代入椭圆C 的方程， 整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝－6k1＋3k2，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋3k 2，1－3k 21＋3k 2.同理，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3. 所以直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k21＋3k 26k k 2＋3－－6k 1＋3k 2＝k 2－14k.则直线l 的方程为y ＝k 2－14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6k k 2＋3＋k 2－3k 2＋3，即y ＝k 2－14k x －12. 所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12. 法二：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t(t≠1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1 整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2，x 1x 2＝3（t 2－1）1＋3k 2，(*) 由Δ＝(6kt)2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得3k 2>t 2－1.由·＝0，得·＝0＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2＝0，将(*)代入，得t ＝－12， ∴直线l 过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12. 22．解：(1)设Q(x 0，0)．由F 2(c ，0)，A(0，b)知＝(－c ，b)，＝(x 0，－b)． ∵⊥，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c ， 由于＝0，即F 1是F 2Q 的中点，故－b 2c＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2. 故椭圆的离心率e ＝12. (2)由(1)知c a ＝12，∴a＝2c ，于是F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0， 所以△AQF 2的外接圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，0，半径r ＝12|F 2Q|＝a ， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a ，解得a ＝2，∴c＝1，b ＝3，所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (3)由(2)知F 2(1，0)，设直线l ：y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)． ＋＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)， 由于菱形对角线垂直，则(＋)·＝0，故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0， 所以k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件知k≠0且k∈R，∴m＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m<14. 故存在满足题意的点P ，且m 的取值范围是m∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.。

限时规范训练二十三[单独成册](建议用时45分钟)1．(2015·高考浙江卷)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解：(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k(x －t)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切Δ＝0，得k ＝t. 因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D(0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知|AP|＝t·1＋t 2， 直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0. 点B 到直线PA 的距离是d ＝t21＋t2.设△PAB 的面积为S(t)，则S(t)＝12|AP|·d＝t32.2．(2016·广东惠州调研)已知椭圆C 过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62，点F(－2，0)是椭圆的左焦点，点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一定点A.解：(1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)． 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋64b2＝1，a 2－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y22＝1.(2)证明：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 由椭圆C 的标准方程为x 24＋y22＝1，可知|PF|＝1＋22＋y 21＝()x 1＋22＋2－x 212＝2＋22x 1，同理|QF|＝2＋22x 2， |MF|＝＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫622＝2＋22. ∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)，∴x 1＋x 2＝2. ①当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，得x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点为N(1，n)，由k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n，得线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n(x－1)，即(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.②当x 1＝x 2时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－62，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62或P ⎝⎛⎭⎪⎫1，62，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－62. 线段PQ 的垂直平分线是x 轴，也过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.综上，线段PQ 的垂直平分线过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 3.如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点(2，2)，四边形ABCD 的顶点在椭圆E 上，且对角线AC ，BD 过原点O ，k AC ·k BD ＝－b2a2.(1)求OA →·OB →的取值范围；(2)求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，∴x 28＋y24＝1. 当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋2y 2＝8⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2.y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2·2m 2－81＋2k 2＋km·－4km 1＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2.∵k OA ·k OB ＝－b 2a 2⇒y 1x 1·y 2x 2＝－12，∴m 2－8k 21＋2k 2＝－12·2m 2－81＋2k2⇒m 2＝4k 2＋2. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k 2＝4k 2－22k 2＋1＝2－42k 2＋1， ∴－2≤OA →·OB →<2，当k ＝0时，OA →·OB →＝－2， 当k 不存在，即AB ⊥x 轴时，OA →·OB →＝2， ∴OA →·OB →的取值范围是[－2,2]． (2)由题意知S 四边形ABCD ＝4S △AOB . ∵S △AOB ＝12·1＋k 2·1＋x 22－4x 1x 2·|m|1＋k2＝24k 2＋21＋2k2＝22， ∴S △四边形ABCD ＝8 2.4．已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．(1)证法一：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4，k 28. ∵(2x 2)′＝4x ，∴(2x 2)′|x＝k 4＝k ，即抛物线在点N 处的切线的斜率为k.∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴切线平行于AB.证法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中得2x 2－kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4，k 28. 设抛物线在点N 处的切线l 1的方程为y －k 28＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k28＝0，∵直线l 1与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k)2＝0，∴m ＝k ，即l 1∥AB.(2)解：假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N. ∵M 是AB 的中点，∴|MN|＝12|AB|.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k(x 1＋x 2)＋4]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22＋4＝k 24＋2， ∵MN ⊥x 轴，∴|MN|＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.∵|AB|＝1＋k 2×1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22－－＝12k 2＋1×k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1×k 2＋16，∴k ＝±2，∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.。

第1讲 圆与圆锥曲线的基本问题一、选择题1.(2015·广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析 设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选D. 答案 D2.(2015·安徽卷)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1D.y 2－x 24＝1解析 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C. 答案 C3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0).因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6，0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.故选B. 答案 B4.(2015·浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析 由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A ，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A. 答案 A5.(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r ＝1.(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3).如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k 存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43. 答案 D 二、填空题6.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________.解析设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝(3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案(x－2)2＋(y－1)2＝47.(2015·湖南卷)设F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________.解析不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入x2a2－y2b2＝1得c2a2＝5，∴e＝ 5. 答案 58.(2015·青岛模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________.解析∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3，0).又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3，0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.答案x25－y24＝1三、解答题9.已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(－1，0)的距离与到定点B(1，0)的距离之比为 2.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(1，2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|＝4，求直线l的方程.解 (1)由题意得|PA |＝2|PB |， 故（x ＋1）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求. (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1. 将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2， 所以|MN |＝4，满足题意. 当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2， 由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2，解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.10.(2015·安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b＋yb ＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.11.(2015·重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)连接F 1Q ，法一 如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2.＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，(2＋2)|PF1|＝4a，即(2＋2)(a＋a2－2b2)＝4a，于是(2＋2)(1＋2e2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，得|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca＝|PF1|2＋|PF2|22a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3.。

二项式定理一、选择题1. 若n xx )2(2+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ )A ．45B ．90C ．180D ．360 2.12*()()n x n N x -∈的展开式中的 135(21),!n a n ⋅⋅⋅-⋅常数项为则 （ )A 、1=aB 、n a 2=C 、n a )2(.-=D 、n a )1(-=3。

若对于任意的实数x ，有x 3 = a 0 + a 1(x – 2) + a 2 （x – 2）2 + a 3 (x – 2）3,则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．124。

在(2n x -的展开式中,只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ． 7-B ．7C ．28-D ．285。

设()22011n n n x x a a x a x ++=++⋅⋅⋅+，求242n a a a ++⋅⋅⋅+的值为 A 312n + B312n - C 32n - D 3n 6。

若51n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中不含有常数项，那么n 的取值可以是A ．６B ．8C ．１２D ．１８7。

已知21n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中x 系数为（ ）5.A 10.B20.C 40.D 8. 已知21n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中x 系数为（ )5.A 10.B 20.C40.D 9. 12x ⎛ ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220二、填空题10。

m x )1(+展开式中2x 项的系数等于数列}{n a ：305+=n a n 的第三项，则=m （用数字作答）。

11。

10mx⎛ ⎝的展开式中4x 项的系数为210，则实数m 的值为______________12。

2x）6的展开式中的常数项是 （用数字作答） .13.设10321221010++3+2+++++=+1a a a a ,x a x a x a a )x (n n n 则=。

2016广东高考理数大二轮 专项训练第3讲 平面向量考情解读 (1)平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查．(2)平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力．1．平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.热点一 平面向量的概念及线性运算例1 (1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)(2)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)思维启迪 (1)根据平面向量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与OC →＝mOA →＋nOB →对应． 答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．(2)依题意，由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ.故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．故选D.思维升华 对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．(1)(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tanθ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.答案 (1)12 (2)－12解析 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF .因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．方法一 因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点，所以AD →＝12(a ＋b )．所以AE →＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.方法二 易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.热点二 平面向量的数量积例2 (1)如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49(2)(2013·重庆)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，52B.⎝⎛⎦⎤52，72C.⎝⎛⎦⎤52，2D.⎝⎛⎦⎤72，2思维启迪 (1)图O 的半径为1，可对题中向量进行转化FD →＝FO →＋OD →，FE →＝FO →＋OE →；(2)利用|OP →|<12，寻找OP →，OA →的关系．答案 (1)B (2)D解析 (1)∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2＋0－1＝－89.(2)∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →) ＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA →2. ∵AP →＝AB 1→＋AB 2→.∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →. ∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OB 2→·OA →) ＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2， ∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA →2<14，∴74<OA →2≤2，即|OA →|∈⎝⎛⎦⎤72，2. 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．(1)(2014·江苏) 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)已知点G 是△ABC 的重心，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是________．答案 (1)22 (2)23解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB→2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)在△ABC 中，延长AG 交BC 于D ，∵点G 是△ABC 的重心，∴AD 是BC 边上的中线，且AG ＝23AD ，∵AB →·AC →＝|AB →|×|AC →|×cos 120°＝－2，∴|AB →|×|AC →|＝4，∵AG →＝23AD →，2AD →＝AB →＋AC →，∴AG →＝13(AB →＋AC →)，∴AG →2＝[13(AB →＋AC →)]2＝19[AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2]≥19[2|AB →|×|AC →|＋2×(－2)]＝49，∴AG →2≥49，∴|AG →|≥23，∴|AG →|的最小值是23.热点三 平面向量与三角函数的综合例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π. (1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．思维启迪 (1)应用向量的数量积公式可得f (x )的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值．(2)由夹角公式及a ⊥c 可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π， 则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋222－32，－1<t <2，∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， ∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. 思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围． 解 (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34.∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝22，∴A ＝π4.∴f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12， ∵x ∈[0，π3]，∴2x ＋π4∈[π4，11π12]．∴32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 故所求范围为[32－1，2－12]．1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB →＝OB →－OA →(其中O 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．2．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直． 3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．4．平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.真题感悟1．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7， 故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.2．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 答案 C解析 ∵AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋μDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋μDC →) ＝AB →·AD →＋μAB →·DC →＋λBC →·AD →＋λμBC →·DC →＝2×2×(－12)＋4μ＋4λ＋2×2×(－12)λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.∴2(λ＋μ)－λμ＝32.①∵CE →·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD →＝(λμ－λ－μ＋1)CB →·CD →＝2×2×(－12)(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－23，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝13，即λμ－(λ＋μ)＝－23.②由①②解得λ＋μ＝56.押题精练1．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥P A →·PB →，则λ的取值范围是( )A ．[12，1] B ．[2－22，1]C ．[12，1＋22] D ．[1－22，1＋22]解析 因为CP →·AB →＝(AP →－AC →)·AB →＝AP →·AB →－AC →·AB →＝λAB →·AB →－AC →·AB →＝2λ－1×2×cos π4＝2λ－1，P A →·PB →＝－AP →·PB →＝－λAB →·(1－λ)AB →＝2λ(λ－1)，因为CP →·AB →≥P A →·PB →，所以2λ－1≥2λ(λ－1)，解得2－22≤λ≤2＋22，又因为P 为AB 边上的点，所以0≤λ≤1，所以2－22≤λ≤1，故选B.2．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →最小值是_______________________________________．答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋(BP →)2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝60°.OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP →|－14)2－116≥－116.故当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →最小值是－116.3．已知向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝(32，32)，x ∈R ，函数f (x )＝m ·n .(1)求f (x )的最大值；(2)在△ABC 中，设角A ，B 的对边分别为a ，b ，若B ＝2A ，且b ＝2af (A －π6)，求角C 的大小．解 (1)f (x )＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π6)，所以f (x )的最大值为 3.(2)因为b ＝2af (A －π6)，由(1)和正弦定理，得sin B ＝23sin 2A .又B ＝2A ，所以sin 2A ＝23sin 2A ， 即sin A cos A ＝3sin 2A ， 而A 是三角形的内角，所以sin A ≠0，故cos A ＝3sin A ，tan A ＝33， 所以A ＝π6，B ＝2A ＝π3，C ＝π－A －B ＝π2.(推荐时间：60分钟)1．设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是a ∥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设向量a ，b 的夹角为θ，若|a ·b |＝||a ||b |cos θ|＝|a ||b |，cos θ＝±1，则a ∥b ；若a ∥b ，则cos θ＝±1，从而|a ·b |＝||a ||b |cos θ|＝|a ||b |，“|a ·b |＝|a ||b |”是a ∥b 的充要条件．2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，AP →·BP →取最小值时P 点坐标是( ) A ．(－3,0) B ．(1,0) C ．(2,0) D ．(3,0) 答案 D解析 依题意设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时AP →·BP →取得最小值1.此时P 点坐标为(3,0)．3．已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝π3，则|a ＋b |为( )A ．9B ．7C ．3 D.7 答案 D解析 |a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝5＋2×1×2×12＝7，所以|a ＋b |＝7.4．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 答案 C解析 ∵AC →·BD →＝0， ∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5. 5．等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－2,0]答案 D解析 以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，M (1,1)．设P (x ，y )，由于点P 在△ABC 内部或其边界上运动，故x ≥0，y ≥0且x ＋y ≤2，BP →·AM →＝(x －2，y )·(1,1)＝x －2＋y ，所以BP →·AM →的取值范围是[－2,0]．6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( ) A.15 B.25 C.35 D.925 答案 C解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →， 即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线， 且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.二、填空题7．在Rt △ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，D 在边BC 上，BD ＝23，则AB →·AD →＝________.答案 23解析 ∵Rt △ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，∴∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，∵BD ＝23，BC ＝2，得到BD BC ＝13，∴BD →＝13BC →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →， ∴AB →·AD →＝AB →·(13AC →＋23AB →)＝13AB →·AC →＋23AB →2＝0＋23×12＝23.8．(2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________． 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.9．已知e 1，e 2为相互垂直的单位向量，若向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的夹角等于60°，则实数λ＝________. 答案 2±3解析 因为e 1，e 2为相互垂直的单位向量，则不妨设e 1，e 2分别为直角坐标系中x ，y 轴的正方向的单位向量，则向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的坐标为(λ，1)，(1，λ)，因为向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的夹角等于60°，所以由向量数量积的定义可得cos 60°＝(λe 1＋e 2)·(e 1＋λe 2)|λe 1＋e 2|·|e 1＋λe 2|⇒12＝2λλ2＋1λ2＋1⇒λ＝2±3.10.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x 、y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．答案2解析 设∠AOC ＝α，则∠COB ＝90°－α，∴OC →＝cos α·OA →＋sin α·OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝sin α.∴x ＋y ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤ 2. 三、解答题11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4.(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值．解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ.由正弦定理，得|OB |sinπ4＝|OA |sin B ，即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35.又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. 12．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)与向量n ＝(2a －b ，c )共线． (1)求角C 的大小；(2)若c ＝23，S △ABC ＝23，求a ，b 的值．解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a －b ，c )，m ∥n ， ∴c cos B ＝(2a －b )cos C ，∴sin C cos B ＝(2sin A －sin B )cos C ，sin A ＝2sin A cos C ，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2＋b 2－ab ＝12，①∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2.13．在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x·y ，求k 的最小值．解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75， 在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14.由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80. 由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。

2016年广东省湛江市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|x2≥4}，集合B={x|x＞1}，则∁U（A∪B）=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|﹣2≤x＜1}2．已知i是虚数单位，a∈R，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若z1•z2是纯虚数，则a=（）A．﹣B．C．﹣6 D．63．某中学共有学生2000名，校卫生室为了解学生身体健康状况，对全校学生按性别分别采用分层抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生107人，则该中学共有女生（）A．1070人B．1030人C．930人D．970人4．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出的结果为（）A．2 B．5 C．11 D．235．给出以下四个结论：①a+b=0的充要条件是=﹣1；②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”；③∀x＞0，2x＞x2；④一组数据的方差越大，则这组数据的波动越小．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=﹣cos2x C．y=sin D．y=cos2x7．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，圆柱侧面积为16π，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为（）A．6 B．12 C．12D．168．若a=，则二项式（a﹣）6的展开式中含x项的系数是（）A．210 B．﹣210 C．240 D．﹣2409．已知实数x，y满足，如果目标函数z=y﹣x的最大值为1，则实数m等于（）A．6 B．5 C．4 D．310．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于M，N两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△MON的面积为，则P的值为（）A．B．3 C．4 D．211．设数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为（）A．1+2B．3+2C．3﹣2D．2﹣112．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），如对任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+1为奇函数，则不等式f（x）+e x＜0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）二、填空题13．已知数列{a n}满足a1=1，且对于任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则+…+=．14．已知平面向量，是单位向量，且•=，若平面向量满足：•=•=，则||=．15．若∀x∈（0，），9x＜log a x（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．16．已知圆O：x2+y2=9，点A（2，0），点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是．三、解答题17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，向量=（2sinA，﹣），=（cos2A，2cos2﹣1），且∥．（1）求A的大小；（2）如果a=2，求△ABC面积的最大值．18．某校数学文化节同时安排A、B两场讲座，已知甲、乙两寝室各有6位同学，甲寝室1人选择听A 讲座，其余5人选择听B讲座，乙寝室2人选择听A讲座，其余4人选择听B讲座，现从甲、乙两寝室中各任选2人．（1）求选出的4人均选择听B讲座的概率；（2）设ξ为选出的4人中选择听A讲座的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．如图，已知ABCDEF是正六边形，GA、ND都垂直于平面ABCDEF，平面FGN交线段DE于点R，点M是CD的中点，AB=DN=1，AG=2．（1）求证：AM∥平面GFRN；（2）求二面角A﹣GF﹣N的余弦值．20．如图，已知抛物线C以坐标原点O为顶点，焦点F在x轴的正半轴上，且|OF|=．（1）求抛物线C的方程；（2）过定点N（x0，y0）的动直线l与抛物线C相交于A、B两点（A、B异于点O），设OA、OB的倾斜角分别为α、β，若α+β（α+β∈（0，π））为定值，求x0的值．21．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣xlna．（1）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）讨论f（x）的零点个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB为⊙O的切线，切点为B，点C、D在圆上，DB=DC，作BE⊥BD交圆于点E．（1）证明：∠CBE=∠ABE；（2）设⊙O的半径为2，BC=2，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的参数方程为=（t为参数），求圆C上的点到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）求函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积S．2016年广东省湛江市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|x2≥4}，集合B={x|x＞1}，则∁U（A∪B）=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|﹣2≤x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：由A={x|x2≥4}，得A={x|x≥2或x≤﹣2}，则A∪B={x|x＞1或x≤﹣2}，则∁U（A∪B）={x|﹣2＜x≤1}，故选：C．2．已知i是虚数单位，a∈R，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若z1•z2是纯虚数，则a=（）A．﹣B．C．﹣6 D．6【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，∴z1•z2=（3﹣ai）（1+2i）=3+2a+（6﹣a）i是纯虚数，∴，解得a=﹣．故选：A．3．某中学共有学生2000名，校卫生室为了解学生身体健康状况，对全校学生按性别分别采用分层抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生107人，则该中学共有女生（）A．1070人B．1030人C．930人D．970人【考点】分层抽样方法．【分析】设女生有x人，根据分层抽样比例相同，列出方程求出x的值即可．【解答】解：设女生有x人，则=，解得x=930，所以该校女生有930人．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出的结果为（）A．2 B．5 C．11 D．23【考点】程序框图．【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，即可求出满足题意时的y的值．【解答】解：模拟执行程序，可得本程序框图为计算并输出y的值，循环体为“直到型”循环结构，由框图，可得：x=2y=5不满足条件|x﹣y|＞8，执行循环体，x=5，y=11，不满足条件|x﹣y|＞8，执行循环体，x=11，y=23，满足条件|x﹣y|＞8，退出循环，输出y的值为23．故选：D．5．给出以下四个结论：①a+b=0的充要条件是=﹣1；②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”；③∀x＞0，2x＞x2；④一组数据的方差越大，则这组数据的波动越小．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据充分条件和必要条件的定义进行判断．②根据全称命题的否定是特称命题进行判断．③根据全称命题的定义进行判断．④根据方差的意义进行判断．【解答】解：①当a=b=0时，=﹣1不成立，∴充分性不成立，即a+b=0的充要条件是=﹣1错误，②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”；正确，③当x=2时，2x=x2；∴∀x＞0，2x＞x2；错误，④一组数据的方差越大，则这组数据的波动越大．故④错误，故正确的是②，故选：B6．函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=﹣cos2x C．y=sin D．y=cos2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据f（x）的最小正周期为π，求得ω，将x代换成x﹣，利用诱导公式化简得到答案．【解答】解：由T==π，ω=2，f（x）=sin（2x+），将其图象向右平移个单位后，f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），∴f（x）=﹣cos2x，故答案为：B．7．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，圆柱侧面积为16π，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为（）A．6B．12 C．12D．16【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆柱的侧面积计算圆柱的底面半径和高，得出三棱柱的底面边长，求出棱柱的体积．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，=2πr•2r=16π，解得r=2．∴S侧∴正三棱柱的底面边长为2．棱柱的高为4．∴棱柱的体积V==12．故选：C．8．若a=，则二项式（a﹣）6的展开式中含x项的系数是（）A．210 B．﹣210 C．240 D．﹣240【考点】二项式系数的性质．【分析】利用定积分求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于1，求出系数即可．【解答】解：a==﹣cosx=2∴（a﹣）6=（2﹣）6展开式的通项为T r+1=（﹣1）r26﹣r C6r x3﹣r令3﹣r=1得r=2，故展开式中含x项的系数是16C62=240故选C．9．已知实数x，y满足，如果目标函数z=y﹣x的最大值为1，则实数m等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组对应的平面区域，利用z=y﹣x的最大值为1，建立条件关系即可求实数m的值．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，由图象可知要使z=y﹣x的最大值为1即y=x+1，此时直线y=x+1对应区域的截距最大，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B．10．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于M，N两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△MON的面积为，则P的值为（）A．B．3 C．4 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的离心率公式及a，b，c的关系可得b=a，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得M，N，求出三角形MON的面积，进而解得p=2．【解答】解：由e====2，可得=．由，求得M（﹣，），N（﹣，﹣），所以S△MON=••=．将=代入，得p2=4，解得p=2．故选D．11．设数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为（）A．1+2B．3+2C．3﹣2D．2﹣1【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】由{b n}为等比数列可得（a22）2=b22=b1b3=（a3a1）2，从而可得a22=±a3a1，再讨论求解即可．【解答】解：由题意可得，（a22）2=b22=b1b3=（a3a1）2，∴a22=±a3a1，若a22=a3a1，则d=0，故不成立；若a22=﹣a3a1，则（）2=﹣a3a1，即+6a3a1+=0，即（）2+6+1=0，故=﹣3±2，又∵q2=（）2，且q＞1，∴q=3+2，故选B．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），如对任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+1为奇函数，则不等式f（x）+e x＜0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，（x∈R），从而求导g′（x）＜0，从而可判断y=g（x）单调递减，从而可得到不等式的解集．【解答】解：设g（x）=，由f（x）＞f′（x），得：g′（x）=＜0，故函数g（x）在R递减，由f（x）+1为奇函数，得f（0）=﹣1，∴g（0）=﹣1，∵f（x）+e x＜0，∴＜﹣1，即g（x）＜g（0），结合函数的单调性得：x＞0，故不等式f（x）+e x＜0的解集是（0，+∞）．二、填空题13．已知数列{a n }满足a 1=1，且对于任意n ∈N *都有a n+1=a n +n +1，则+…+=．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】对于任意n ∈N *都有a n+1=a n +n +1，即a n+1﹣a n =n +1，利用“累加求和”与“裂项求和”即可得出． 【解答】解：∵对于任意n ∈N *都有a n+1=a n +n +1，即a n+1﹣a n =n +1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=n +（n ﹣1）+…+2+1=，∴=． ∴+…+=2+…+=2=．故答案为：．14．已知平面向量，是单位向量，且•=，若平面向量满足： •=•=，则||= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】求出的夹角，由•=•=可知平分的夹角，根据数量积的定义列方程解出||． 【解答】解：∵，是单位向量，，∴平面向量的夹角为60°，∵•=•=，∴为＜＞的角平分线，∴cos30°=，∴||=2． 故答案为：2．15．若∀x ∈（0，），9x ＜log a x （a ＞0且a ≠1），则实数a 的取值范围是 ．【考点】全称命题．【分析】∀x ∈（0，），9x ＜log a x （a ＞0且a ≠1），可得：0＜a ＜1，≥=3，解出即可得出．【解答】解：∀x ∈（0，），9x ＜log a x （a ＞0且a ≠1）， ∴0＜a ＜1，≥=3，∴≤a ＜1，即≤a ＜1．则实数a 的取值范围是≤a ＜1．故答案为：≤a＜1．16．已知圆O：x2+y2=9，点A（2，0），点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是+=1．【考点】轨迹方程．【分析】设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，通过|OM|+|MN|=|ON|=3，推出|OM|+|MN|=3．说明点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为6的椭圆．然后求解动点P的轨迹方程．【解答】解：设AP的中点为M，切点为N，连OM，MN，则|OM|+|MN|=|ON|=3，取A关于y轴的对称点A′，连A′B，故|A′B|+|AB|=2（|OM|+|MN|）=6．所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为6的椭圆．其中，a=3，c=2，b=，则动点P的轨迹方程是+=1．故答案为： +=1．三、解答题17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，向量=（2sinA，﹣），=（cos2A，2cos2﹣1），且∥．（1）求A的大小；（2）如果a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由条件利用两个向量共线的性质，二倍角公式求得tan2A的值，可得A的值．（2）由条件利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sinA的最大值．【解答】解：（1）∵△ABC中，向量=（2sinA，﹣），=（cos2A，2cos2﹣1），且∥，∴2sinA•（2cos2﹣1）+cos2A=0，即2sinA•（cosA）+cos2A=0，即sin2A=﹣cos2A，即tan2A=﹣．∵A为锐角，故0°＜2A＜180°，∴2A=120°，A=60°．（2）如果a=2，△ABC中，由余弦定理可得a2=4=b2+c2﹣2bc•cosA≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，故△ABC面积bc•sinA的最大值为•4•=．18．某校数学文化节同时安排A、B两场讲座，已知甲、乙两寝室各有6位同学，甲寝室1人选择听A 讲座，其余5人选择听B讲座，乙寝室2人选择听A讲座，其余4人选择听B讲座，现从甲、乙两寝室中各任选2人．（1）求选出的4人均选择听B讲座的概率；（2）设ξ为选出的4人中选择听A讲座的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出选出的4人均选择听B讲座的概率．（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵甲、乙两寝室各有6位同学，甲寝室1人选择听A讲座，其余5人选择听B讲座，乙寝室2人选择听A讲座，其余4人选择听B讲座，现从甲、乙两寝室中各任选2人，∴选出的4人均选择听B讲座的概率：p==．（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==1．19．如图，已知ABCDEF是正六边形，GA、ND都垂直于平面ABCDEF，平面FGN交线段DE于点R，点M是CD的中点，AB=DN=1，AG=2．（1）求证：AM∥平面GFRN；（2）求二面角A﹣GF﹣N的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以A为原点，直线AF，AC，AG分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用和向量法能证明AM∥平面GFRN．（2）求出平面FRNG的法向量和平面AGF的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣GF﹣N的余弦值．【解答】证明：（1）由正六边形的性质得AF⊥AC，以A为原点，直线AF，AC，AG分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，，0），D（﹣1，，0），N（﹣1，，1），F（﹣1，0，0），G（0，0，2），M（﹣，，0），∴=（﹣，，0），=（1，0，2），=（0，，1），设平面FRNG的法向量=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，），∵=6×，∴⊥，∵AM⊄平面FRNG，∴AM∥平面GFRN．解：（2）由（1）得平面FRNG的法向量=（6，，﹣3），平面AGF的一个法向量=（0，1，0），cos＜＞===，由图形知二面角A﹣GF﹣N的平面角为钝角，∴二面角A﹣GF﹣N的余弦值为﹣．20．如图，已知抛物线C以坐标原点O为顶点，焦点F在x轴的正半轴上，且|OF|=．（1）求抛物线C的方程；（2）过定点N（x0，y0）的动直线l与抛物线C相交于A、B两点（A、B异于点O），设OA、OB的倾斜角分别为α、β，若α+β（α+β∈（0，π））为定值，求x0的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据抛物线的几何性质得p=2|0F|=2×=1，问题得以解决；（2））设A（x1，y1），B（x2，y2），设l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），与抛物线方程联立，根据韦达定理表示出y1+y2，y1•y2，分若a+β≠，和若a+β=，求得直线方程，进而求出N（x0，y0）的值．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的方程为y2=2px，（p＞0），∴根据抛物线的几何性质得p=2|0F|=2×=1，∴抛物线C的方程是y2=2x，（2）当直线l斜率不存在时，A，B关于x轴对称，此时α+β=π，不符合题意，设l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则x=（y﹣y0）+x0，代入y2=2x，得y2﹣y+2（y0﹣x0）=0，∴y1y2=2（﹣x0），y1+y2=，①由题意知α，β均不为，即tanα=k1，tanβ=k2，（i）若a+β≠，则tan（α+β）=，又k1===，k2=，代入上式得，tan（α+β）=，②，将①代入②，化简得tan（α+β）=，∵上式左边是定值，且y0，x0为定值，k是变量，∴x0+2=0，即x0=﹣2，（ii）若a+β=，则tanαtanβ=1，即k1k2=1，∵k1k2===，∴﹣x0=2，即y0﹣（x0+2）k=0，∴x0=﹣2，y0=0，∴综上可知，符合题目的点N的横坐标为x0=﹣2．21．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣xlna．（1）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）讨论f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，得到e x+e﹣x≥lna恒成立，结合基本不等式的性质，从而求出a的范围即可；（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的零点的个数即可．【解答】解：（1）由题意得：f′（x）=e x+e﹣x﹣lna≥0对x∈R恒成立，即e x+e﹣x≥lna恒成立，而e x+e﹣x≥2=2，（当且仅当x=0时“=”成立），∴lna≤2，故0＜a≤e2，故a的范围是（0，e2]；（2）0＜a≤e2时：由（1）得f（x）在R递增，f（x）至多有1个零点，∵f（0）=0，∴0＜a≤e2时，f（x）有且只有一个零点x0=0，a＞e2时，先考察x＞0时函数f（x）的零点个数，由（1）f′（x））=e x+e﹣x﹣lna，记ω（x）=）=e x+e﹣x﹣lna，x＞0，则ω′（x）=）=e x﹣e﹣x＞0，∴ω（x）在（0，+∞）单调递增，∵a＞e2，∴f′（0）=2﹣lna＜0，又ω（ln（lna））=e ln（lna））+e﹣ln（lna））﹣lna=＞0，即f′（ln（lna））＞0，∴存在x0∈（0，ln（lna）），使得f′（x0）=0，∴当0＜x＜x0时，有f′（x）＜0，当x＞x0时，有f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上有极小值f（x0），且f（x0）＜f（0）=0，以下先证明对任意x＞0，x＞lnx，令t（x）=x﹣lnx，则t′（x）=1﹣=，得x＞1时，t′（x）＞0，0＜x＜1时，t′（x）＜0，∴t（x）min=t（1）=1＞0，∴x﹣lnx＞0成立，即x＞lnx，取x=3lna，则f（3lna）=e3lna﹣e﹣3lna﹣3（lna）2=a3﹣3（lna）2﹣＞a3﹣3a2﹣=a2（a﹣3）﹣，∵a＞e2＞4，∴a2（a﹣3）﹣＞0，即f（3lna）＞0，f（x）在（x0，3lna）上存在零点，∵f（x）在（x0，+∞）单调递增，∴f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点，另f（﹣x）=﹣f（x），f（x）在R上是奇函数，根据函数的对称性得f（x）在（﹣∞，﹣x0）上也存在唯一零点，∵f（0）=0，∴a＞e2时，函数f（x）有3个零点，综上，0＜a≤e2时，f（x）有且只有一个零点，a＞e2时，函数f（x）有3个零点．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB为⊙O的切线，切点为B，点C、D在圆上，DB=DC，作BE⊥BD交圆于点E．（1）证明：∠CBE=∠ABE；（2）设⊙O的半径为2，BC=2，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）构造辅助线DE，交BC于点G．由DB=DC，BE⊥BD，得出∠CBE=∠BCE，由弦切角定理，可以得知∠CBE=∠BCE，即可证得：∠CBE=∠ABE；（2）由（1）可得DG是BC的中垂线，即可求得BG的长度．设DE的中点为O，连结BO，求得∠BOG=60°，可得CF⊥BF，即可求得Rt△BCF外接圆的半径．【解答】（1）证明：连结DE，交BC于点G．∵BE⊥BD，∴DE是直径．∵BE2=DE2﹣DB2，CE2=DE2﹣DC2，DB=DC，∴BE=CE，故∠CBE=∠BCE，由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．∴∠ABE=∠CBE．（2）解：由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂线，所以BG=．设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的参数方程为=（t为参数），求圆C上的点到直线l的距离的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，展开化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，把代入可得极坐标方程．（2）直线l的参数方程为=（t为参数），化为直角坐标方程：﹣1=0，圆C的圆心C到直线l的距离d即可得出圆C上的点到直线l的距离的取值范围是[d﹣r，d+r]．【解答】解：（1）圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，展开化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，把代入可得：极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0．（2）直线l的参数方程为=（t为参数），化为直角坐标方程：﹣1=0，圆C的圆心C （1，2），圆心到直线l的距离d==．∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）求函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积S．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）画出函数的图象，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）x≥1时：x+1﹣2（x﹣1）≥1，解得：1≤x≤2，﹣1＜x＜1时：x+1+2（x﹣1）≥1，解得：≤x＜1，x≤﹣1时：﹣（x+1）+2（x﹣1）≥1，解得：x≥4，不合题意，综上，不等式的解集是[，2]；（2）f（x）=，如图示：显然A（1，2），B（，0），C（3，0），故S△ABC=××2=．2016年8月20日。

5 解析几何时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 ( 本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(20152XX 市质检 ) “a ＝1”是“直线ax ＋ y ＋1＝0与直线( a ＋2) x －3y －2＝0垂直”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案]B[ 解析 ]两直线垂直的充要条件为a ( a ＋2)－3＝0，解得 a ＝－3或 a ＝1，故选B ．2．( 文 ) 已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，则过点 M (3,0)的最短弦所在的直线方程是 ( )A ．x ＋y － 3＝ 0B ．x －y － 3＝ 0C ．2 － －6＝0D ． 2 x ＋ －6＝ 0x yy[答案]A[解析]圆 O 的方程是 x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即( x －4)2＋( y －1)2＝7，圆心 O (4,1)，设过点M (3,0)的最短弦所在的直线为l ，∵ k OM ＝1，∴ k l ＝－1，∴ l 的方程为： y ＝－12(x －3)，即 x ＋ y －3＝0.( 理 ) 已知动圆C 经过点 F (0,1)并且与直线y ＝－1相切，若直线3x － 4y ＋ 20＝0 与圆C有公共点，则圆C 的面积()A ．有最大值为πB ．有最小值为πC ．有最大值为 4πD ．有最小值为4π[答案]D[ 解析 ]如图所示，由圆C 经过点 F (0,1)，并且与直线y ＝－1相切，可得点 C 的轨迹为抛物线 x 2＝4y ，显然以抛物线x 2＝4y 上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x － 4y ＋ 20＝ 0 相交，且此圆可无限大，即圆 C 的面积不存在最大值，设圆C 与3x －4y ＋20＝0相切于点 A ，其3x－4 0＋2000y＋ 1( 点 C 在直线圆心为 ( x ，y ) ，则由AC ＝PC 可得d ＝5＝ y2＋20 12103x － 4y ＋ 20＝ 0 的右方 ) ，即3x 0－x 0＋ 1，解得x ＝－ 2 或x ＝5＝4x3 ( 舍去 ) ，当x ＝－0 0 02 时，圆心C 坐标为 ( －2,1)，此时圆 C 的半径为 2，即可得圆C 的面积的最小值为4π，故应选 D ．x2y23． ( 文)(20152 XXXX三模) 已知点M( － 6,5)在双曲线 C：a2－b2＝1( a>0， b>0)上，双曲线 C的焦距为12，则它的渐近线方程为()A．y＝±25x B．y＝±255x23C．y＝±3x D．y＝±2x [答案]A3625＝1，a＝4，22[解析]由条件知a－b∴b＝2 5，222，a ＋b ＝ cc＝6.c＝6，∴渐近线方程为y5.＝±2x( 理)(20152 新课标Ⅱ理，11) 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在 E 上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 ()A.5B． 2C.3D． 2[答案]D[解析]考查双曲线的标准方程和简单几何性质．设双曲线方程为x222－y2＝1(>0，>0) ，如图所示， | | ＝ | | ，∠＝120°，过点M a b a b AB BM ABM作⊥轴，垂足为，在 Rt △中， || ＝， || ＝ 3，故点的坐标为(2， 3 MN x N BMN BN a MN a M M a a)，代入双曲线方程得a2＝ b2＝ c2－ a2，即 c2＝2a2，所以e＝2，故选 D．4．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－＝ 0 与抛物线C交于、B两点，y A若 P(1,1)为线段 AB的中点，则抛物线C的方程为() A．y＝2x2B．y2＝ 2xC．x2＝ 2y D．y2＝－ 2x [答案] B2y ＝ 2px1[解析]设 A ( x) ，抛物线方程为2＝ 2px ，则111222，两式相减， y )， B ( x， yyy 2＝2px2可得 2p ＝y1－2y 1 ＋ y 2)＝k AB 32＝2，即可得 p ＝1，∴抛物线 C 的方程为 y 2＝2x ，故应选y 3(x 1 －x 2B ．15． ( 文)(20152 新课标Ⅰ文， 5) 已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为2， E 的右焦点与抛物线 C ： y 2＝8x 的焦点重合， A ， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则| AB |＝()A ． 3B ． 6C ． 9D ． 12[答案] B[解析]抛物线 y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)．因为 E 的右焦点与抛物线焦点重合，所以c 1椭圆中 c ＝2，离心率e ＝a ＝2，所以 a ＝4，222x 2 y 2x ＝－2，所以 b＝a－ c ＝16－4，则椭圆方程为＋＝ 1，因为抛物线的准线方程为16 12当 x ＝－2时， y ＝±3，则| AB |＝233＝6. 故本题正确答案为 B ．22( 理) 过原点O 作直线l 交椭圆x2＋ y2＝1(> >0) 于点、，椭圆的右焦点为2，离心率aba bA BF为 e. 若以AB 为直径的圆过点F ，且sin ∠ ABF ＝e ，则e ＝()22A.122B ．223C. 3D ．2[答案]B[解析]记椭圆的左焦点为F 1，依题意得| AB |＝2c ，四边形 AF 1BF 2为矩形，sin ∠ ABF 2|2| | 2|22 2222＝ AF ＝ A F ＝ e ，| AF 2| ＝ 2c e ，| AF 1| ＝ (2 a － | AF 2|)＝ (2 a － 2c e) ，| AF 1| ＋ | AF 2| ＝ | F 1F 2| ，| AB | 2c 2222(2 a － 2c e) ＋(2 c e) ＝ (2 c ) ，由此解得 e ＝2 ，选 B ．6．半径不等的两定圆 1、 2 没有公共点，且圆心不重合，动圆 与定圆1 和定圆2都O OOOO内切，则圆心 O 的轨迹是()A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．双曲线的一支或椭圆D ．双曲线或椭圆[答案] C[解析]设⊙ O 、⊙ O 、⊙ O 的半径分别为r 、r 、R ，且 r >r >0，当⊙ O 与⊙ O 外离时，由条件知⊙ O 1 与⊙ O 2 都内切于⊙ O ，∴| OO 1| ＝ R － r 1，| OO 2|＝ R － r 2，∴| OO 2| － | OO 1| ＝ r 1－r 2,0< r 1－r 2<| 1 2|，∴点O 的轨迹是以1、 2 为焦点的双曲线靠近1点的一支；当⊙2内含OOO OOO于⊙ O 时，应有⊙ O 内切于⊙ O ，⊙ O 内切于⊙ O ，112∴ | OO 1| ＝r 1－R ， | OO 2|＝ R － r 2，∴| OO 1|＋| OO 2|＝ r 1－ r 2，∵ O 1与 O 2不重合，且r 1>r 2，∴ 1－ 2>|1 2|，∴点的轨迹为以1、 2 为焦点的椭圆，故选C. rrOOOO O7． ( 文) 已知方程 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值X 围是2－k 2k －1()A ． ( 1， 2) B ． (1 ，＋∞)2C ． (1,2)D ．( 1，1)2[答案] C[解析]由题意可得， 2k － 1>2－k >0，即 2k － 1>2－k ， 解得 1<k <2，故选 C.2－k >0，x 2 y 2x 2 y 2( 理)(20142 XX 文，8) 若实数k 满足 0<k <5，则曲线16－5－k ＝ 1 与曲线16－k －5＝ 1的()A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[答案]D[解析] ∵ 0<k <5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中 c 2＝ a 2＋b 2得其焦距相等，选D ．228．(20142大纲全国理，6) 已知椭圆：x2＋y2＝1(> >0) 的左、右焦点为 1、 2，离心C aba bF F3率为3，过 F 2的直线 l 交 C 于 A 、 B 两点，若△ AF 1 B 的周长为43，则C 的方程为 ()x 2＋y 2x 22A.3 ＝1B ．＋y＝ 123x 2 y 2x 2 y 2C.12＋8＝1 D ．12＋4＝1[答案]A32[解析]根据条件可知 c ＝3，∴a ＝ 3，c ＝ 1，b 2＝2，椭圆的方程为x，且 4a ＝4a33y 2＋ 2＝ 1.222 2x 2 y 29．( 文 ) 已知P 点是x ＋y ＝a ＋b 与双曲线 C ：a 2－b 2＝1( a >0，b >0)在第一象限内的交点， 1、 2 分别是 C 的左、右焦点，且满足 | 1 | ＝3| 2|，则双曲线的离心率 e 为 ()F FPFPF6A ． 2B ．2105C. 2D ．2[答案]C[ 解析 ]设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝3x ，∴ | F 1F 2| 2＝ | PF 1| 2＋ | PF 2| 2＝ 10x 2＝ 4c 2，10∴ c ＝2 x ，由双曲线的定义知，2a ＝| PF 1| － | PF 2| ＝ 2x ，c10∴ a ＝ x ，∴e ＝a ＝2，故选C.22( 理 ) 已知双曲线x2－y2＝ 1(>0，>0) 的左、右焦点分别为1、 2，点A 在双曲线上，且ababF F| AF 1|5()AF 2⊥x 轴，若|2|＝3，则双曲线的离心率等于AFA ． 2B ． 3 C. 2 D ． 3[答案] A[ 解析 ]设|AF 2|＝3x ，则|AF 1|＝5x ，∴ | F 1F 2| ＝4x ，∴c ＝2x ，由双曲线的定义知， 2a ＝| AF 1| － | AF 2| ＝ 2x ，c∴ a ＝ x ，∴e ＝a ＝2.10．( 文 ) 过抛物线2＝ 2( p >0) 的焦点F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 ，直y pxA线 l 与抛物线的准线的交点为 B ，点 A 在抛物线的准线上的射影为→→ → →C ，若 AF ＝ FB ， B A 2 BC ＝36，则抛物线的方程为 ()A ．y 2＝ 6xB ．y 2＝ 3xC ．y 2＝ 12xD ．y 2＝ 2 3x[答案] D[解析]pp) ，由条件知p∵ F( 2， 0) ，设 A( x ， y) ， y >0，则 C( －2，y ) ，B( p － x ，－ yp3p－ x 0＝－2，∴ x 0＝2，23 p2p3p→ →p∴ y 0 ＝ 2p 22＝ 3p ，∴y 0＝ 3p ，∴B ( －2，－ 3p ) ，A ( 2， 3p ) ，C ( －2， 3p ) ，∴BA 2BC＝(2 p, 2 3p )2(0,23p ) ＝12p 2＝ 36，∴p ＝ 3，∴抛物线方程为 y 2＝2 3x .2y 2( 理 ) 过双曲线M ：x －b 2＝1的左顶点A 作斜率为2的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点、，且 →＝2→ ，则双曲线的离心率是 ()B CBC ABMA. 5B ． 10 C. 17D ． 37[答案] C[解析] 由条件知 A (－ 1,0) ，∴ l ：y ＝2( x ＋1)，双曲线渐近线方程为→y ＝± bx ，∵ BC ＝→y ＝2 x ＋12 2b2AB ，∴B 在A ，C 之间，∴由y ＝－ bx ，得 B (－b ＋2，b ＋2)，由 y ＝2x ＋1得 ( 2 ， 2b ) ，y ＝bx ，Cb － 2 b － 2再由 → ＝ 2→得b ＝4，∴ e ＝ 17.BCAB11．若抛物线y 2＝2px 上恒有关于直线x ＋ y －1＝0对称的两点 A 、 B ，则 p 的取值X 围是()23A ．( －3，0)B ．(0 ，2)22C ．(0， )D ． ( －∞， 0) ∪ ( ，＋∞)33[答案] C[解析]设直线 AB ： y ＝x ＋ b ，代入 y 2＝2px 中消去 x 得， y 2－2py ＋2pb ＝0，∴ y 1＋ y 2＝2p ，x 1＋x 2＝y 1＋y 2－ 2b ＝2p － 2b ，由条件知线段x 1＋ x 2 y 1＋ y 2AB 的中点(，) ，22即 ( p － b ， )在直线 x ＋ y －1＝ 0 上，∴ b ＝ 2 － 1， ＝ 4 2 －8 ＝42－8 (2 －1) ＝－ppppb pp p2212p ＋ 8p >0，∴ 0<p <3.x 2y212．(20152XX 市质检 ) 已知椭圆a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的两焦点分别是 F 1， F 2，过 F 1的直线交椭圆于 ， Q 两点，若 | 2|＝| 1 2|，且2| 1|＝3| 1|，则椭圆的离心率为( )PPFF FPF QF34 A. 5B ． 5 C. 3D ． 3 245[答案]A[ 解析 ]由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴ | PF 1| ＝2a － | PF 2 | ＝ 2a － 2c ，24224 | QF | ＝3| PF | ＝3( a －c ) ， | QF | ＝ 2a － | QF | ＝ 2a －3(2 a － 2c ) ＝3a ＋3c112110| PQ | ＝3 ( a －c )在△ PF 1F 2和△ PF 2Q 中，由余弦定理得：1 2 2 2 － | 1 2 22| PF | ＋| PF | F F |cos ∠F PQ ＝2| PF 1|2|PF 2|22 22 2| PQ| ＋| PF|－| QF|＝2| PQ |2| PF 2|a －2c 2 c 2c 2即2 － 2 c ca10 － 10222 ＋ 4c 23 a 3 cc－3a 3＝ 103a －103c2c整理得 5c 2－ 8ac ＋3a 2＝ 0，即 5e 2－ 8e ＋ 3＝ 0，3∴ e ＝5或 e ＝ 1( 舍 ) ．二、填空题 ( 本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，将正确答案填在题中横线上)x 2 y 2213． ( 文 ) 已知双曲线a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 与抛物线y ＝8x 有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________．[答案]2222xy[ 解析 ]∵抛物线y ＝8x 的焦点为(2,0)，∴双曲线a 2－b 2＝1( a >0，b >0)中 c ＝2，c又 a ＝1，∴e ＝a ＝2.x 2 y 2＝ 1( a >0，b >0) 的一个焦点作一条渐近线的垂线，( 理 ) 过双曲线a 2 －b 2 垂足恰好落在曲线x 2y 2b 2＋a 2＝1上，则双曲线的离心率为________．[答案]2b[解析]不妨设双曲线的一个焦点为( c, 0) ， ( c >0) ，一条渐近线方程为y ＝a x ，由ay －0＝－bx －ca 2 abx 2 y 2 a 4b得垂足的坐标为 ( c ，c ) ，把此点坐标代入方程b 2＋a 2＝1，得b 2c 2y ＝a xa 2b 2222c＋a 2c 2＝1，化简，并由 c ＝ a ＋ b 得 a ＝b ，∴e ＝a ＝2.14．( 文 ) 设抛物线x 2＝ 4y 的焦点为F ，经过点P (1,4) 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点 P 恰为 的中点，则 | →|＋| →| ＝ ________.ABAFBF[答案] 10[解析]22设 A ( x 1，y 1)，B ( x 2，y 2)，由题意知 x 1＋ x 2＝2，且 x 1＝4y 1， x 2＝4y 2，两式相减1－ 2x 1＋ x 2 1 2yy ＝2，所以直线整理得，x 1－x 2＝ 4AB 的方程为 x －2y ＋7＝0，将 x ＝2y －7代入 x ＝4y212→ → 1 2整理得 4y － 32y ＋ 49＝0，所以y ＋y ＝ 8，又由抛物线定义得 | AF | ＋ | BF | ＝y ＋ y ＋2＝10.x2y2( 理 ) 椭圆Γ：a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，若直线y ＝ 3( x ＋c ) 与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝ 2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________．[答案] 3 －1[解析]本题考查了椭圆离心率的求解．1212c2如图，由题意易知 F M ⊥ F M 且| MF | ＝ c ，| MF |＝3c ，∴2a ＝( 3＋ 1) c ，∴a ＝3＋ 1 ＝3－ 1.15．(20152潍坊市模拟 ) 抛物线C ：y 2＝ 2px ( p >0) 的焦点为F ，点 O 是坐标原点，过点 O 、F 的圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．[ 答案 ]y 2＝16xp p[ 解析 ] 由圆的面积为 36π，得圆的半径r ＝ 6，圆心到准线的距离为2＋4＝ 6，得p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝ 16x .16．( 文)(20152 XX 市诊断) 椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率12等于 2，且它的一个顶点恰好是抛物线 x ＝8 3y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为________．[答案]x2y2＝1＋16 12c1[解析] 由题设知抛物线的焦点为 (0,23) ，所以椭圆中b ＝2 3.因为e ＝a ＝2，所以 ＝ 2c ，又因为a 2b2c 2c ＝ 2，＝ 4，所以椭圆C 的标准方程为x 2y 2－＝，联立解得＋＝1.aa1612( 理)(20142 XX 理，1 22y 214) 若F 、F 分别是椭圆E ： x＋b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点 F 的直线交椭圆E 于 A 、B 两点．若| AF |＝3| F B |，AF ⊥ x 轴，则椭圆 E 的方程为________．111 2[答案]x 2＋ 3 2 ＝ 12y[解析] 如图，由题意， A 点横坐标为 c ，2∴ c 2＋y 2＝1，b又 b 2＋ c 2＝1，∴ y 2＝b 4，∴| AF 2|＝b 2，又∵ | AF 1| ＝ 3| BF 1| ，51 2∴ B 点坐标为(－3c ，－3b )，12 25 23b代入椭圆方程得，3c＋b 2＝ 1，b 2＝1－c 2，21c＝，3∴3 222方程为 x ＋ y＝ 1.22b ＝3三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17．( 本题满分 10 分)(20152 XX 市二模 ) 已知抛物线E ：x 2＝ 4y ，m ，n 是过点A ( a ，－1) 且倾斜角互补的两条直线，其中与有唯一公共点 ， 与 相交于不同的两点 ，(1) 求 m 的斜率 k 的取值X 围；(2) 当n 过E 的焦点时，求 B 到 n 的距离．[解析](1) m ：y ＋ 1＝k ( x －a ) ，n ：y ＋ 1＝－k ( x －a ) ，分别代入x 2＝ 4y ，得x 2－4kx ＋4ka ＋4＝0①，x2＋ 4 －4 ka ＋ 4＝0 ②，kx由 1＝0得k 2－ka －1＝0，由2＞0得k 2＋ka －1＞0，故有 2k 2－ 2＞ 0，得k 2＞ 1，即k ＜－ 1 或k ＞ 1.－ 2(2) E 的焦点 F (0,1)， k AF ＝a ＝－ k ，所以 ak ＝2. ∴ k 2＝ ka ＋1＝3，B (2 k ， k 2)，|3 k 2－ak ＋ 1||3 k 2－ 1|所以 B 到 n 的距离 d ＝1＋k 2＝1＋k 2＝4.18． ( 本题满分 12 分)(201 52XX 市一模 ) 在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点(1,0) 且与直线x ＝－ 1 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程；π(2) 已知点A (5,0) ，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且与曲线E交于 M 、 N 两点，求△ AMN 面积的最大值，及此时直线l 的方程．[ 解析 ] (1) 由题意可知圆心到点 (1,0) 的距离等于到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y 2＝4 .x(2) 解法一：由题意，可设 l 的方程为 y ＝ x － m ，其中0＜ m ＜5y ＝x － m22由方程组y 2＝ 4 ，消去 y ，得 x －(2 m ＋ 4) x ＋m ＝ 0①x当0＜＜5时，方程①的判别式＝ (2 ＋ 4) 2－4 2＝16(1 ＋ ) ＞0 成立．mmmm112212122设 M ( x ，y )， N ( x ，y ) 则x ＋ x ＝4＋ 2m ，x 2 x ＝ m ，∴ | MN |＝ 2| x 1－x 2| ＝ 4 2＋ 2m又因为点 A 到直线 l5－m的距离为 d ＝2∴ S ＝2(5－ m ) 1＋ m ＝232m －9m ＋15m ＋25.△ AMN32令 f ( m )＝ m －9m ＋15m ＋25，(0< m <5)，2f ′(m )＝3m －18m ＋15＝3( m －1)( m －5)，(0< m <5)所以函数 f ( m )在(0,1)上单调递增，在(1,5) 上单调递减．当 m ＝1时， f ( m )有最大值32，解法二：由题意，可设l 与 x 轴相交于 B ( m,0), l 的方程为 x ＝ y ＋ m ，其中0＜m ＜5由方程组 x ＝y ＋ m，消去 x ，得 y 2－4y －4m ＝0①y 2＝4x∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M 、 N ，∴方程①的判别式＝( －4) 2＋ 16m ＝ 16(1 ＋m ) ＞ 0 必成立，设 M ( x 1，y 1)， N ( x 2，y 2)则 y 1＋ y 2＝4， y 12 y 2＝－4m .1∴ S △＝(5－ m ) | y 1－ y 2|21y ＋ y2y＝2(5 －m )2－ 4y211 ＝ 2(5 －m ) 1＋m ＝2 32m －9m ＋15m ＋25.32令 f ( m )＝ m －9m ＋15m ＋25，(0< m <5)，2f ′(m )＝3m －18m ＋15＝3( m －1)( m －5)，(0< m <5)所以函数 f ( m )在(0,1)上单调递增，在(1,5) 上单调递减．当 m ＝1时，f ( m )有最大值32，故当直线 l 的方程为 y ＝x －1时，△ AMN 的最大面积为8 2.19． ( 本题满分 12 分 )( 文 ) 设点P 是曲线C ：x 2＝ 2py ( p >0) 上的动点，点P 到点(0,1)的5距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为4.(1) 求曲线 C 的方程；(2) 若点 P 的横坐标为1，过 P 作斜率为 k ( k ≠0)的直线交 C 于点 Q ，交 x 轴于点 M ，过点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N ，问是否存在实数 k ，使得直线 MN 与曲线 C 相切？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．p 51[ 解析 ] (1) 依题意知 1＋2＝4 ，解得 p ＝2.所以曲线 C 的方程为x 2＝ y .1(2) 由题意直线PQ 的方程为： y ＝ k ( x －1)＋1，则点 M (1－k ，0)．＝x － 11联立方程组y k，消去 y 得 x 2－kx ＋ k －1＝0，得 Q ( k －1，( k －1)2)．y ＝ x 2212 21所以得直线 QN 的方程为 y －( k －1)＝－k ( x － k ＋1)．代入曲线方程y ＝ x 中，得 x ＋k12x －1＋k －(1－ k )＝0.解得 (1－1－，(1 － －1)2)．N kkk k所以直线 MN的斜率 k MN＝12k－k.＝－kk－1k2 11k－kk1过点 N的切线的斜率k′＝2(1－ k－k)．1k－k 由题意有－k 21＝2(1 －k－k) ．－1± 5解得 k＝.2－1±5故存在实数k＝使命题成立．2x2y2( 理)(20152 XX市质检) 设椭圆C：a2＋b2＝ 1( a>b>0) ，F1，F2为左、右焦点，B为短轴2端点，且 S△ BF1F2＝4，离心率为，O为坐标原点．2(1)求椭圆 C的方程；(2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恰有两个交点 M、N，→→→ →且满足 | OM＋ON|＝ | OM－ON| ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．x2y21 [解析](1)因为椭圆C：a2＋b2＝1( a>0， b>0)，由题意得S△ BF1F2＝232 c3 b＝4，e c2222a2＝8，x2y2＝a＝2， a ＝b＋ c，所以解得b2＝4.所以椭圆 C的方程为8＋4＝1.(2) 假设存在圆心在原点的圆x2＋ y2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点，，因为|→＋→| ＝|→－→| ，所以有→2→＝0，M N OM ON OM ON OM ON设 M( x1，y1)， N( x2， y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y＝ kx＋ m，由方程y＝ kx＋m组x2 y2＋＝18 422222得 x ＋2( kx＋ m)＝ 8，即 (1＋2k) x＋ 4kmx＋ 2m－ 8＝ 0，则222)(2222，＝ 16k m－ 4(1 ＋2k m－8)＝8(8 k － m＋4)>02 2即8k－m＋ 4>0，－4±16 2 2－42 22－8x 1,2 ＝kmk mkm22k 24km22m － 8∴ x 1＋ x 2＝－1＋2k 2，x 1x 2＝1＋2k 2；k 22222222m －84k m 2m －8k y 1y 2＝( kx 1＋m )( kx 2＋ m )＝ k x 1x 2＋ km ( x 1 ＋ x 2)＋ m ＝1＋2 2－1＋ 2 2＋m ＝1＋2 k 2 ，kk→ →2 2－8 2－ 8 22 2mmk要使 OM 2ON ＝0，需 x 1x 2＋ y 1y 2＝0，即1＋2k 2＋1＋2k 2＝0，所以3m －8k － 8＝ 0，所以22＝ 3m － 8k≥0，82又 22m >2，8k －m ＋ 4>0，所以23m ≥8282 62 6所以 m ≥3，即 m ≥ 3 或 m ≤－ 3 ，因为直线 y ＝ kx ＋ m 为圆的一条切线，| m|2282 6所以圆的半径为 r ＝2m 2＝ m2 y 21＋k 2，r ＝1＋k28 ＝ ，r ＝ 3 ，所求的圆为 x ＋ ＝3m －31＋ 88 3，此时圆的切线＝kx ＋都满足2 62 6，≥或 ≤－ymm3m 32 6x 2 y 2而当切线的斜率不存在时，切线为 x ＝±3与椭圆8＋4＝1的两个交点为2 6 2 6 或 － 2 6 26满足→ 2→＝ 0，综上，存在圆心在原点的圆x 2＋ 2＝ 8满3 ，±3 ，±OM ON333足条件．20． ( 本题满分 12 分)(20152 文，20) 已知椭圆C ： x 2＋3y 2＝3.过点 D (1,0)且不过点 E (2,1)的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，直线 AE 与直线 x ＝3交于点 M .(1) 求椭圆 C 的离心率；(2) 若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；(3) 试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由．[ 分析 ]本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将椭c圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用e ＝a 计算离心率；第二问，由直线AB 的特殊位置，设出 A ，B 点坐标和直线AE 的方程，由直线 AE 与 x ＝3相交于 M 点，得到 M 点坐标，利用点 B 、点 M 的坐标，求直线 BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到x1＋ 2 和 1 2，代入到BM＝1AE x x x k 中，只需计算出等于0 即可证明k＝k，即两直线平行．BM DEx22[ 解析 ] (1) 椭圆C的标准方程为3＋y ＝1.所以 a＝3，b＝ 1，c＝ 2.c6所以椭圆 C的离心率e＝a＝3.(2)因为 AB过点 D(1,0)且垂直于 x 轴，所以可设 A(1， y1)， B(1，－ y1)．直线 AE的方程为 y－1＝(1－ y1)( x－2)．令x＝3，得 M(3,2－ y1)．所以直线的斜率k BM ＝2－y1＋y1＝ 1.BM3－1(3)直线 BM与直线 DE平行．证明如下：当直线 AB的斜率不存在时，由(2)可知 k BM＝1.1－0又因为直线DE的斜率 k DE＝＝1，所以BM∥ DE.2－1当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y＝ (－ 1)(k≠1) ．k x设A( x1，y1)， B( x2，y2)，y1－1则直线 AE的方程为 y－1＝x1－2( x－2)．y1＋ x1－3令 x＝3，得点 M(3，x1－2) ．x2＋3y2＝3，由y＝k x－1得(1 ＋3k2) x2－ 6k2x＋3k2－ 3＝ 0.6k23k2－ 3所以 x1＋x2＝1＋3k2， x1x2＝1＋3k2.y1＋ x1－3x1－2－y2直线 BM的斜率 k BM＝.3－x2因为 k BM－1＝k x －1x －3－k x－ 1x －2x2x －211211x2x1－2k－1x x ＋2x＋ x23]＝121x2x1－2－ 3 k 2＋312k 2k －11＋ 3k 2＋1＋3k 2－3]＝x 2x 1－2 ＝ 0，所以 k ＝1＝ k .BMDE所以 BM ∥ DE .综上可知，直线与直线 平行．BMDE－1221．( 本题满分 12 分 )( 文)(20152 XX 市一模) 已知圆E ：x 2＋y 2＝9经过椭圆 C ：x224ay 2＋b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，且与椭圆 C 在第一象限的交点为A ，且 F 1， E ，A 三点→→共线，直线 l 交椭圆 C 于 M ，N 两点，且 MN ＝λOA (λ ≠0)．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．[ 解析 ] (1) 如图，圆E 经过椭圆 C 的左、右焦点F 1， F 2，∵ F 1， E ，A 三点共线，∴ F 1A 为圆 E 的直径，∴ AF 2⊥ F 1F 2，∴ F 2( c, 0)在圆上，21 2 9∴ c ＋0－2＝4，∵ c >0，∴ c ＝ 2，| 2|2＝| 1 | 2 － |1 2|2＝9－8＝1，∴|2|＝1,2＝ | 1|＋|2|＝3＋1＝4，∴ ＝2，AF AF F FAF a AFAFa∵ a 2 ＝ b 2＋c 2 ，解得 b ＝2，∴椭圆 C 的方程x 2＋y 2＝1.42(2) 点A 的坐标 (→→ λ ≠0) ，2， 1) ，∵MN ＝λOA (2 2所以直线 l 的斜率为2，故设直线 l 的方程为 y ＝2 x ＋ my ＝2 ＋，2 x m22由y2消去 y 得， x ＋ 2mx ＋m － 2＝0，x2＝ 1，4＋2设 M ( x 1，y 1)， N ( x 2，y 2)∴x1＋2＝－ 2 ，1 2＝ 2－ 2， ＝ 2 2－ 4 2＋8>0，x m x xmm m∴－ 2<m <2，2122|MN |＝1＋k | x 2－x 1| ＝ 1＋2x 1＋ x 2－ 4x 1x 2＝ 12－3m ，点 A 到直线 l 的距离 d ＝6| m |3 ，1|2d ＝ 1 26|△ AMN＝|212－3 3|S2 MNm3 m22 22 4－ 2＋ 2＝2mmm m ≤232＝ 2，当且仅当 4－ 2＝2，即＝± 2时，△AMN 取到最大值 2，直线l 的方程为 ＝2 ± 2.m m mSy 2 x( 理)(20142 XX 八校调研122y 2) 已知点F 、F 为双曲线C ： x －b 2＝1( b >0)的左、右焦点， 过2 作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线 C 于点 ，且∠ 1 2＝30°.圆 O 的方程是FMMFFx 2＋y 2＝ b 2.(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、 P 2，求→→PP 12 PP 2的值；(3) 过圆 O 上任意一点 Q ( x 0，y 0)作圆 O 的切线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点， AB 的中点为→ →M ，求证：| AB |＝2| OM |.[解析] (1) 设2、的坐标分别为 ( 1＋ b 2，0) ， (1＋2 ， 0)，F Mb y22y 0因为点 M 在双曲线 C 上，所以 1＋b －b 2＝ 1，即 y 0＝± b 2，所以| MF 2|＝ b 2，在 Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°， | MF 2| ＝b 2，所以 | MF 1| ＝ 2b 2，由双曲线的定义可知 | MF 1| － | MF 2| ＝b 2＝2，2 y 2故双曲线 C 的方程为 x －2＝1.(2) 由条件可知两条渐近线方程为 l 1： 2x －y ＝ 0，l 2： 2x ＋y ＝0.设双曲线 C 上的点 P ( x ， y )，两渐近线的夹角为 θ ，y ＝2x 的倾斜角为α，则sin 22α＝ 2－ 1 1cos θ＝ cos( π－ 2α ) ＝ 2α － cos 2 ＝ .sin α＋ cos α 2＋ 1 3点 P 到两条渐近线的距离分别为| 2 0－ y 0| | 2 x 0＋ 0| ，| PP 1| ＝x 3 ，| PP 2| ＝ 3 y2y 222因为 P ( x 0， y 0)在双曲线 C ： x －2＝1上，所以 2 x 0 － y 0 ＝ 2，→→|2 0－ y 0||2 x 0＋ 0|x2y cos( π －θ )所以 PP 12 PP 2＝332 2|12|2 x －y＝0 2(－3)＝－9.3(3) 证明：由题意，要证→→| AB | ＝ 2| OM |，即证OA ⊥OB ． 设 ( 1， 1)，( 2， y 2)，切线 l 的方程为 0 x＋ 0 ＝2.A x yB xx y y①当 y ≠0时，切线 l的方程代入双曲线C 的方程中，化简得 (2 y 222＋ 4x x － (2 y2－ x ) x＋4)＝0，0 04 x2＋42 0所以 x 1＋x 2＝－2， 22，x 1x 2＝－22y－ x0 2y － x又 y y2－x 0x 12－x 0x 21＋ x2＝2＝ 2[4－x (x) ＋x x x ]1 2y 0y 0y 01 2 0 1 228－ 2x 0＝22，2y 0－x 0→→28－ 2x 22y＋ 4所以 2＝12＋12＝－22＋2OA OBx x y y2y 0－x 02y 0－x 04－ 2 22x 0＋ y 0＝ 22x 2 ＝ 0；－y②当 y 0＝0时，易知上述结论也成立，→→即 OA 2 OB ＝ x 1x 2＋ y 1y 2＝0.→ →综上所述， OA ⊥OB ，所以| AB | ＝ 2| OM |.2222． ( 本题满分12 分)( 文) 已知椭圆 ： x 2＋y2＝1( >>0) 的短轴长为 2，且与抛物线y 2C ab a b＝4 3x 有共同的一个焦点，椭圆C 的左顶点为，右顶点为 ，点 P 是椭圆 C 上位于 x 轴上AB方的动点，直线AP 、 BP 与直线 y ＝3分别交于 G 、 H 两点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 求线段 GH 的长度的最小值；(3) 在线段 GH 的长度取得最小值时，椭圆 C 上是否存在一点 T ，使得△ TPA 的面积为1，若存在求出点 T 的坐标，若不存在，说明理由．[ 解析 ](1) 由已知得，抛物线的焦点为(3， 0) ，则c ＝3，又b ＝1，由a 2－b 2＝c 2，可得a 2＝ 4.2x 2故椭圆 C 的方程为＋y ＝1.43(2) 直线 AP 的斜率 k 显然存在，且 k >0，故可设直线 AP 的方程为 y ＝k ( x ＋2)，从而 G (k－ 2,3) ．y ＝kx ＋2由 x222222得(1 ＋ 4k ) x ＋16k x ＋ 16k －4＝ 0.4＋ y ＝1.16k 2－4设 P ( x 1，y 1)，则(－2) x 1＝1＋4k 2，2－ 8k 24k2－ 8k 2 4k所以 x 1＝1＋4 k 2，从而y 1＝1＋42.即P ( 1＋ 4 k 2， 1＋ 4 2)，kk1 又 B (2,0)，则直线 PB 的斜率为－4k .1得 x ＝－12由y ＝－4kx －2k ＋2，y ＝3.y ＝3.所以 H (－12k ＋2,3)．33故 | GH |＝ | k － 2＋12k － 2| ＝ | k ＋ 12k － 4|.又 k33k＝ 12.>0，＋ 12 ≥2212kkk31当且仅当k ＝ 12k ，即k ＝2时等号成立．1所以当 k ＝2时，线段 GH 的长度取最小值8.1 (3) 由 (2) 可知，当GH 的长度取最小值时，k ＝.2则直线 AP 的方程为 x －2y ＋2＝0，此时 P (0,1)，| AP |＝5.25若椭圆 C上存在点 T，使得△ TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于 5，所以T 在平行于且与距离等于25的直线l上．AP AP51设直线 l ： y＝2x＋ t .1y＝2x＋ t ，则由x22得 x2＋2tx ＋2t 2－2＝0.＋ y ＝1.4＝ 4t2－8( t2－1) ≥0. 即t2≤2.|2 － 2t |＝2 5由平行线间的距离公式，得，55解得 t ＝0或 t ＝2(舍去)．可求得 T(2)或T(－ 2，－22 ，) ．22x2y2( 理 ) 设椭圆C1：a2＋b2＝ 1( a>b>0) 的左、右焦点分别是F1、 F2，下顶点为 A，线段 OA 的中点为 B( O为坐标原点)，如图．若抛物线C2： y＝ x2－1与 y 轴的交点为 B，且经过 F1、 F2点．(1)求椭圆 C1的方程；4(2) 设M(0 ，－) ，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线 C2的切线交椭圆C1于 P、5Q两点，求△ MPQ面积的最大值．[ 解析 ] (1) 由题意可知B(0，－1)，则 A(0，－2)，故 b＝2.令y＝0得 x2－1＝0即 x＝±1，则 F1(－1,0)，F2(1,0)，故 c＝1.所以 a2＝b2＋ c2＝5，x2y2于是椭圆 C1的方程为：5＋4＝1.(2)设 N( t ， t 2－1)，由于 y′＝2x 知直线 PQ的方程为：y－( t 2－1)＝2t ( x－ t )．即y＝2tx － t 2－1.代入椭圆方程整理得：4(1 ＋ 5t2) x2－ 20t ( t2＋ 1) x＋ 5( t2＋ 1) 2－20＝ 0，＝ 400t2( t2＋ 1) 2－ 80(1 ＋ 5t2)[( t2＋ 1) 2－ 4]＝80( －t4＋ 18t2＋ 3) ，5t t 2＋1， x1x2＝5 t2＋12－ 20，x1＋ x2＝1＋ 5t245t2故| PQ| ＝ 1＋ 4t2| x1－x2|＝ 1＋ 4t22x1＋ x22－ 4x1x252 1＋ 4t22－ t 4＋18t 2＋3＝1＋ 5t2.设点 M到直线PQ的距离为 d，则4221| 5－t－ 1|| t＋5|2.d＝1＋ 4t2＝1＋ 4t所以，△的面积1|2＝ |MPQ S2PQ d1 52 1＋ 4t22－ t 4＋18t 2＋3t 2＋15＝21＋ 5t221＋ 4t2 542522＝10－ t ＋18t＋3＝10t－ 9＋ 845105≤84＝.105当 t ＝±3时取到“＝”，经检验此时>0，满足题意．综上可知，△的面积的最大值为105.MPQ5[ 方法点拨 ] 1. 涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，用根与系数的关系“整体代入设而不求”和用判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决．2．涉及圆锥曲线的焦点弦、焦点三角形问题，常结合定义，正余弦定理等知识解决．3．涉及垂直问题可结合向量的数量积解决．反馈练习一、选择题1． ( 文) “＝2”是“直线 ax ＋ 2 ＝ 0 平行于直线 x ＋ ＝1”的 ( )ayyA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]若 a ＝2，则直线 ax ＋2y ＝0 平行于直线 x ＋ y ＝1，反之也成立，即“ a ＝2”是“直线 ax ＋2y ＝0平行于直线 x ＋ y ＝1”的充要条件，故应选C.(理)若直线 2＋ 3 y ＋ 2＝0 与直线x ＋6 －2＝0 平行，则实数 t 等于()txty1 1B ．1A. 或－22211C ．－2D ．4 [答案]B2t 321[解析] 由条件知， 1＝6t ≠－2，∴ t ＝2.2．( 文 ) 若直线l 1：x －ay ＋1＝ 0 与直线l 2：( a ＋ 4) x ＋ (2 a － 1) y － 5＝ 0 互相垂直 ( a <0) ，则直线 l 1的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．60°D ．30°或 135°[答案]B[ 解析 ]∵ l 1⊥ l 2，∴ 13(a ＋4)－ a (2 a －1)＝0，∴ a ＝－1或2，∵ a <0，∴ a ＝1，∴ l 1的方程为 x ＋ y ＋1＝0，∴ l 1的倾斜角为135°.( 理 ) 若曲线y ＝2x 2的一条切线 l 与直线 x ＋4y －8＝0 垂直，则切线 l 的方程为()A ．x ＋4y ＋ 3＝ 0B ．x ＋ 4y －9＝ 0C ．4 － ＋3＝0D ． 4 x － y －2＝ 0x y[答案]D1[解析]y ′＝4x ，直线 x ＋4y －8＝0的斜率 k ＝－4，令4x ＝4得 x ＝1，∴切点 (1,2) ，∴切线l ：y － 2＝ 4( x － 1) ，即 4x －y － 2＝ 0，故选 D ．3．(20152东北三省四市第二次联考) 已知直线y ＝22( x － 1) 与抛物线C ：y 2＝ 4x 交于→→)A ，B 两点，点 M (－1， m )，若 MA 2MB ＝0，则 m ＝(2A. 2B ．21C. 2D ． 0[答案] B[解析]求出点 A ，B 的坐标，利用数量积的坐标运算建立方程求解．联立直线 y ＝2 221 ，－ → →3 ( x － 1) 和抛物线C ：y ＝ 4x ，解得A (2,22) ，B (2) ，所以MA 2MB ＝(3,2 2－ m )2(，2292－ ) ＝ 0，化简得212－ 2－ )＝＋(2 2－ )(－－ 2＋＝0，∴ ＝，故选 B ．m2mmmm 2m 2[点评]当 A 、B 坐标互换时，求得m 的另一个值，但结合选项知只能选B ．224．(20152XX 理，x 2 y 252，7) 已知双曲线C ：a －b ＝ 1 的离心率 e ＝4，且其右焦点为F (5,0) 则双曲线 C 的方程为()x 2 y 2x 2 y 2A. 4－3＝1B ．9－16＝1x 2 y 2x 2 y 2C.16－9＝1 D ．3－4＝1[答案] C[解析]本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，属于容易题．c 5222因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0) 且离心率为 e ＝a ＝4，所以c ＝ 5，a ＝ 4，b ＝ c － ax2y 2＝9，所以所求双曲线方程为16－9＝ 1，故选 C.x 2 y 25．( 文)(20142 XX 理，5) 已知双曲线a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 ( )x 2 y 2x 2 y 2A. 5－20＝1B ．20－5＝13x 2 3y 23x 23y 2C. 25－100＝ 1 D ．100－25＝ 1[答案] A[解析]由于一个焦点在直线 y ＝2x ＋10 上，则一个焦点为 ( － 5,0) ，又由渐近线平行b222于直线 y ＝2x ＋10.则a ＝2，结合 a ＋ b ＝ c ， c ＝5得，22x 2 y 2∴ a ＝ 5，b ＝ 20，双曲线标准方程为5－20＝ 1，选 A.x 2 y 2( 理)(20142 XX 文， 9) 过双曲线C ：a 2－b 2＝ 1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于 . 若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过、 O 两点 ( O 为坐标原点 ) ，则双AA曲线 C 的方程为()x 2 y 2x 2 y 2A. 4－12＝1B ．7－9＝1C. x 2－ y 2＝1D ． x 2－ y 2＝18 8124[答案]Ab[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点 B ，设渐近线 OA 方程为 y ＝a x ，由题意知，以 F 为圆心，4为半径的圆过点O ， A ，∴ | FA | ＝ | FO | ＝r ＝ 4.∵ AB ⊥x 轴， A 为 AB 与渐近线 y ＝bx 的交点，a∴可求得 A 点坐标为 A ( a ， b )．∴在 Rt △中，|| ＝2＋2＝ a 2＋ b 2＝ ＝| | ＝4，ABO OAOB ABc OF∴△ OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得| OB | ＝a ＝ 2， | AB | ＝b ＝2 3，x 2 y 2∴双曲线的方程为4－12＝ 1，故选 A.x 2y 226． ( 文) 已知双曲线a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 的两条渐近线与抛物线 y ＝2px ( p >0)的准线分别交于 A 、B 两点， O 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB 的面积为 3，则p ＝ ( )3A ． 1B ．2C ． 2D ． 3[答案]Cc2222b[解析]∵ e ＝a ＝ 2，∴b ＝c －a ＝ 3a ，∴a ＝3，双曲线的两条渐近线方程为y ＝± 3x ，不妨设 p 3p p 3p＝3 ，又三角形的高为p1 p( －，)， (－，－ ) ，则，则△AOB＝3AB33p ＝ 3，∴p 2＝4，又p >0，∴p ＝2.x 2y 2( 理 ) 已知点F 1、F 2分别为双曲线a 2－b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上2 2的任意一点，若 | PF |的最小值为 9 a ，则双曲线的离心率为()| PF 1|A ． 2B ． 5C ． 3D ．2或5[答案] B[解析]由双曲线定义得 |2| ＝2 ＋| 1|，PFaPF221|＋4a2∴ | PF 2|＝a ＋| PF 1|＝ |＋ 4 ，其中 | 1|≥ c － . 当 c － ≤2时，＝ x| PF 1| | PF 1|PFPFa ay| PF 1|4a 24a 2＋x 在 [ c －a ，＋∞ ) 上为减函数，没有最小值，故c －a >2a ，即 c >3a ? e>3，y ＝ x ＋x 在[ c2＋∞)上为增函数，故f ( x )min ＝ f ( c － a )＝ c － a ＋4a＋4a ＝9a ，化简得10a 2－7ac ＋ c 2 c － a＝0，两边同除以a 2可得e 2－7e ＋10＝0，解得e ＝5或e ＝2(舍去)．x 2 y 27．(20152XX 市二模 ) 已知点P 为椭圆4＋3＝1 上一点，点F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点 I 为△ PF 1F 2的内心，若△ PIF 1和△ PIF 2的面积和为1，则△IF 1F 2的面积为 ()11 A. 4 B ．2 C ． 1D ． 2[答案] B[解析]由椭圆方程知，＝ 2，＝ 1，设内心到三边距离为d ，则由椭圆定义及条件知，ac△PIF 1＋△PIF11|212|2 d 11|＋|2|)2d ＝ 2 ＝1，∴d12＝|＋ |＝ (|＝，∴△SS 2 PFd 2 PF2PF PFd2S11IF 1F 2＝2|F 1F 2|2 d ＝cd ＝2.8．抛物线y ＝x 2( －2≤x ≤2) 绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体， 使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是()。

2016广东高考理数大二轮 专项训练第3讲 统计与统计案例考情解读 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．1．随机抽样(1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．2．常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1组距.(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数(2)方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 4．变量的相关性与最小二乘法(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝∑i ＝1n(y i－a －bx i )2最小时，得到线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的方法叫做最小二乘法． 5．独立性检验对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是则K 2(χ2)＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．热点一 抽样方法例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14(2)(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例． 答案 (1)B (2)200解析 (1)由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12.(2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x，所以1603 200＝160－150x，所以x＝200.思维升华(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为()A．15 B．16 C．17 D．18(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200,20 B．100,20C．200,10 D．100,10答案(1)C(2)A解析(1)由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17，故选C.(2)该地区中、小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.热点二用样本估计总体例2(1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8 C．12 D．18(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是()A．甲B．乙C．甲乙相等D．无法确定甲乙20.04123 6930.0596210.06293310.079640.08770.09246思维启迪(1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；(2)直接根据公式计算方差．答案(1)C(2)A解析(1)志愿者的总人数为20(0.16＋0.24)×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.(2)x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)÷12≈0.068 9，x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)÷12≈0.067 5，s2＝112[(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212.s2＝112[(0.041－0.067 5)2＋(0.042－0.067 5)2＋…＋(0.096－0.067 5)2]≈0.000 429.所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地．思维升华(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等． (2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．(1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．(2)(2014·陕西)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4D ．1,4＋a答案 (1)10 (2)A解析 (1)由频率分布直方图可知： 0.100.40＝2.5x，所以x ＝10. (2)x 1＋x 2＋…＋x 1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4. 故选A.热点三 统计案例例3 (1)以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据.根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝0.196 2，则面积为150 m 2的房屋的销售价格约为________万元．(2)(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表4A.成绩 B ．视力 C 思维启迪 (1)回归直线过样本点中心(x ，y )； (2)根据列联表，计算K 2的值 答案 (1)31.244 2 (2)D解析 (1)由表格可知x ＝15(115＋110＋80＋135＋105)＝109，y ＝15(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.所以a ^＝y －b ^x ＝23.2－0.196 2×109＝1.814 2.所以所求线性回归方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.故当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．(2)A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×(6×22－14×10)220×32×16×36＝131 440.B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(4×20－16×12)220×32×16×36＝637360.C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(8×24－12×8)220×32×16×36＝1310.D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(14×30－6×2)220×32×16×36＝3 757160.∵131 440<1310<637360<3 757160， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．思维升华 (1)线性回归方程求解的关键在于准确求出样本点中心．回归系数的求解可直接把相应数据代入公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心点在回归直线上建立方程求解；(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K 2(χ2)计算公式求其值，根据K 2(χ2)取值范围求解即可．(1)已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 等于( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80(2)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”．得以下2×2列联表：则在犯错误的概率不超过 (附：P (K 2>k ) 0.05 0.01 0.001 k3.8416.63510.828)答案 (1)B (2)0.01解析 (1)依题意得，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝16(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；又直线y ^＝0.95x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )，即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ^，由此解得a ^＝1.45. (2)由题意得K 2＝20×(5×12－1×2)26×14×7×13≈8.802>6.635.而K 2>6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系．1．随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量明显较多时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．系统抽样最重要的特征是“等距”，分层抽样，最重要的是各层的“比例”． 2．用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1. (2)众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布．①总体期望的估计，计算样本平均值x ＝1n ∑n i ＝1x i .②总体方差(标准差)的估计：方差＝1n ∑ni ＝1 (x i －x )2，标准差＝方差，方差(标准差)较小者较稳定．3．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^过样本点中心(x ，y )，这为求线性回归方程带来很多方便． 4．独立性检验(1)作出2×2列联表．(2)计算随机变量K 2(χ2)的值．(3)查临界值，检验作答．真题感悟1．(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.答案 24解析 底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15， 底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.2．(2014·重庆)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4答案 A解析 因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的线性回归方程进行检验，可以排除B ，故选A. 押题精练1．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有________辆．答案 20解析 时速在70 km/h 以下的汽车所占的频率为0.01×10＋0.03×10＝0.4，共有0.4×50＝20(辆)．2．某教育出版社在高三期末考试结束后，从某市参与考试的考生中选取600名学生对在此期间购买教辅资料的情况进行调研，得到如下数据：的学生应抽取的人数为________． 答案 24解析 只买试题类的学生应抽取的人数为60×240600＝24.3．下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________． 答案 3解析 ∵样本点中心为⎝⎛⎭⎫4.5，11＋t 4，∴11＋t 4＝0.7×4.5＋0.35，解得t ＝3.4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 答案 C解析 由公式可计算K 2的观测值k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(45×15－30×10)255×45×75×25≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.(推荐时间：40分钟)一、选择题1．(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则() A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3答案 D解析由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.2．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为()A．28 B．32C．40 D．64答案 D解析由已知，得样本容量为400＋320＋280＝1 000，所以，高中二年级被抽取的人数为2001 000×320＝64，选D.3．(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()A.08C．02 D．01答案 D解析从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.4．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是()A ．240B ．280C ．320D ．480答案 D解析 由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg 的频率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25， 则学生的体重在50～65 kg 的频率为1－0.25＝0.75. 从左到右第2个小组的频率为0.75×26＝0.25.所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480.5．某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a 中的b ＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( ) A ．48个 B ．49个 C ．50个 D ．51个答案 B解析 由题意知x ＝17.5，y ＝39，代入线性回归方程得a ^＝109,109－15×4＝49，故选B. 6．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持的两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系．”( ) 附：A.0.1% C ．99% D ．99.9%答案 C解析 因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”，选C.7.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x 甲，x 乙和中位数y 甲，y 乙进行比较，下面结论正确的是( ) A.x 甲>x 乙，y 甲>y 乙 B.x 甲<x 乙，y 甲<y 乙 C.x 甲<x 乙，y 甲>y 乙 D.x 甲>x 乙，y 甲<y 乙 答案 B 二、填空题8．从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)．则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为________．答案 125,124解析 由图可知(a ＋a －0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a ＝0.025，则x ＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x －120)＝0.5，解得x ＝124.9.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是__________． 答案 1解析 当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x ＝1.10．(2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 答案 10解析 设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20， 五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20， 由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4. 由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6.由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10， 故最大值为10. 三、解答题11．(2014·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(1)求(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17＝(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求线性回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的线性回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．12．某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：式为：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0≤w ≤1004w －400，100<w ≤3002 000， w >300，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附： K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ， 由200<S ≤600，得150<w ≤250，频数为39， 所以P (A )＝39100.(2)根据以上数据得到如下列联表：K 2的观测值k ＝100×(63×8－22×7)85×15×30×70≈4.575>3.841.所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．。

2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（）A．A∩B=∅B．A∩B=A C．A=B D．A∩B=B2．在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知条件p：|x+1|＜2，条件q：3x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．正态分布ξ～N（a，32），且P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．1 D．45．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+π B．8+4πC．16+4πD．16+π6．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知正数组成的等比数列{a n}，若a2•a19=100，那么a8+a13的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在8．已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1） B．（0，）∪（1，+∞） C．（，e） D．（0，1）∪（e，+∞）9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．1710．已知k∈Z， =（k，1），=（k﹣2，﹣3），若||≤，则△ABC是直角三角形的概率是（）A．B．C．D．11．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．π D．12．已知0＜θ＜，f（θ）=1+m+m（）+（m＞0），则使得f（θ）有最大值时的m的取值范围是（）A．（，2） B．（，3） C．[1，3] D．[，1]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知变量x，y满足，则u=log2（2x+y）的最大值为_______．14．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是_______．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于P （x1，2），Q（x2，y2）两点，则抛物线的准线方程为_______．16．已知数列{a n}的首项a1=1，且满足a n+1﹣a n≤2n，a n﹣a n+2≤﹣3×2n，则a2016=_______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=cosA，a=2，4S△ABC=a2+b2﹣c2．（1）求角A；（2）求△ABC的面积．18．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数 525 3025 15表2：女生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数10 2040 2010（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上午时间与性别有关”；（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，再从中任取2人，记被抽取的2人中上午时间少于60分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．表3上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：k2=，其中n=a+b+c+d． P（k2≥k0） 0.50 0.400.25 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.0763.845.0246.6357.87910.82819．如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．PA=OC，OP=OC．（1）证明：AB⊥平面POC；（2）求二面角P﹣OA﹣B的余弦值．20．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2： +=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx﹣x（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣2a﹣，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=AP．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）证明PC=PA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，曲线C2：（θ为参数），曲线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7．（1）以t为参数将C1的方程写成含t的参数方程，化C2的方程为普通方程，化C3的方程为直角坐标方程；（2）若Q为C2上的动点，求点Q到曲线C3的距离的最大值．[选修4-5：不等式证明选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞a+2x﹣x2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（）A．A∩B=∅B．A∩B=A C．A=B D．A∩B=B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】求解一元二次函数的定义域化简集合A，求解值域化简集合B，再逐一判断则答案可求．【解答】解：集合A={x|y=x2+1}=R，B={y|y=x2+1}=[1，+∞），则A∩B=B，故A，B不正确，则A≠B，故C不正确，则A∩B=B，故D正确．故选：D．2．在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．【解答】解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．3．已知条件p：|x+1|＜2，条件q：3x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵p：|x+1|＜2，∴﹣3＜x＜1，∵q：3x＜3，∴x＜1，∴p⇒q，∴p是q的充分不必要条件，故选A4．正态分布ξ～N（a，32），且P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．1 D．4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意和正态分布曲线的对称性可得2a﹣3+a+2=2a，解方程可得．【解答】解：∵正态分布ξ～N（a，32），且P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴由图象的对称性可得2a﹣3+a+2=2a，解得a=1，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+π B．8+4πC．16+4πD．16+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，圆柱的底面圆半径是1、母线长是1，长方体的长、宽、高分别是4、2、2，∴该几何体的体积V=π×12×1+4×2×2=16+π，故选：D．6．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线和直线平行，求出渐近线方程，得到a，b的关系，结合离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：由双曲线的渐近线与直线x﹣2y+1=0平行知，双曲线的渐近线方程为x﹣2y=0，即y=x，∵双曲线的渐近线为y=±，即=，离心率e======，故选：B．7．已知正数组成的等比数列{a n}，若a2•a19=100，那么a8+a13的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正数组成的等比数列{a n}，可得a2•a19=100=a8a13，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正数组成的等比数列{a n}，∵a2•a19=100，∴a2•a19=100=a8a13，∴a8+a13≥2=20，当且仅当a8=a13=10时，a8+a13的最小值为20，故选：A．8．已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1） B．（0，）∪（1，+∞） C．（，e） D．（0，1）∪（e，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】由已知中函数f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，函数单调递减，可得，当x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，进而将不等式f（ln（x））＞f（1），转化为一个对数不等式，再根据对数的单调性，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上偶函数，当x＞0时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，则x＜0时，函数为增函数，若f（lnx）＞f（1），∴|lnx|＜1，∴﹣1＜lnx＜1，即＜x＜e，故答案选：C．9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．10．已知k∈Z， =（k，1），=（k﹣2，﹣3），若||≤，则△ABC是直角三角形的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据向量模长公式求出满足条件的k的个数，分类讨论，求得k的值，再根据古典概型的计算公式进行求解．【解答】解：||≤，k∈Z，知知k∈{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，由=（k，1），=（k﹣2，﹣3）垂直，求得k=﹣1，3；=（k，1）与=（2，4），k=﹣2，所以△ABC是直角三角形的概率是，故答案选：B．11．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．π D．【考点】球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接球的体积．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=r，四棱锥的体积为=，解得r=，四棱锥的外接球的体积为：V==，故选：B．12．已知0＜θ＜，f（θ）=1+m+m（）+（m＞0），则使得f（θ）有最大值时的m的取值范围是（）A．（，2） B．（，3） C．[1，3] D．[，1]【考点】三角函数的最值．【分析】利用三角函数的诱导公式把已知函数化成正切函数，令（0＜t＜1），构造一个新函数g（t），再根据不等式的基本性质得到g（t）在（0，1）上必有最大值，然后求出m的取值范围．【解答】解：f（θ）=1+m+m（）+=，令（0＜t＜1），则=，当且仅当时等号成立，即g（t）在（0，1）上必有最大值，∴m的范围为（，2）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知变量x，y满足，则u=log2（2x+y）的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象先求出2x+y的最大值，从而求出u的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：易知可行域为一个三角形，由，解得A（1，2），令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过A（1，2）时，z最大，z的最大值是4，此时u==2，故答案为：2．14．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是60°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意求得和的值，可得||的值，再求出（）•=2．设除与的夹角是θ，则由两个向量的数量积得定义求得（）•=2•2•cosθ，从而得到 2•2•cosθ=2，解得cosθ 的值，可得θ的值．【解答】解：由题意可得=2×2×cos120°=﹣2，又=++2=4，∴||=2，∴（）•=+=2．设与的夹角是θ，则（）•=||•||=2•2•cosθ，∴2•2•cosθ=2，解得cosθ=．再由 0≤θ≤π，可得θ=60°，故答案为60°．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于P （x1，2），Q（x2，y2）两点，则抛物线的准线方程为x=﹣2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得P的坐标为（，2），抛物线的焦点为F（，0），运用直线的斜率公式，可得p的方程，解得p=4﹣2，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：将y=2，代入抛物线的方程可得x1==，即有P（，2），抛物线y2=2px的焦点F（，0），由斜率为1的直线l，可得=1，化为p2+4p﹣8=0，解得p=4﹣2，则抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2．16．已知数列{a n}的首项a1=1，且满足a n+1﹣a n≤2n，a n﹣a n+2≤﹣3×2n，则a2016= 22016﹣1 ．【考点】数列递推式．【分析】a n+1﹣a n≤2n，可得a n+2﹣a n+1≤2n+1，又a n﹣a n+2≤﹣3×2n，可得a n+1﹣a n≥2n，于是a n+1﹣a n=2n，再利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：∵a n+1﹣a n≤2n，∴a n+2﹣a n+1≤2n+1，又a n﹣a n+2≤﹣3×2n，∴a n+1﹣a n≥2n，∴2n≤a n+1﹣a n≤2n，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣1+…+2+1==2n﹣1．∴a2016=22016﹣1．故答案为：22016﹣1．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=cosA，a=2，4S△ABC=a2+b2﹣c2．（1）求角A；（2）求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由条件利用二倍角的余弦公式，求得cosA的值，可得A的值．（2）由条件利用余弦定理求得tanC的值，可得C的值，利用正弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积S=ac•sinB，计算求得结果．【解答】解：（1）△ABC中，由cos2A=cosA得 2cos2A﹣cosA﹣1=0，所以，cosA=﹣，或cosA=1．因为0＜A＜π，所以，cosA=﹣，A=．（2）由a=2，4S△ABC =ab•sinC=a2+b2﹣c2，可得2ab•sinC=a2+b2﹣c2，即sinC=cosC，即tanC=，∴C=．又由正弦定理有=，可得c=2，又sinB=sin （π﹣﹣）=，∴△ABC的面积S=ac•sinB=．18．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数 525 3025 15表2：女生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数10 2040 2010（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上午时间与性别有关”；（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，再从中任取2人，记被抽取的2人中上午时间少于60分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．表3上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：k2=，其中n=a+b+c+d． P（k2≥k0） 0.50 0.400.25 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.0763.845.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，依据题意有，求解即可得出结论；（2）根据所给数据完成表3的2×2列联表，利用公式求出k2，与临界值比较，可得结论；（3）因男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，得到10人中上网时间少于60分钟的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，代入公式即可求出X的分布列和数学期望．【解答】解．（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，依据题意有，解得x=180，∴估计其中上网时间不少于60分钟的有180人；（2）根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生6040100女生7030100合计13070200其中k2==＜2.706，故不能有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”；（3）因男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，∴10人中上网时间少于60分钟的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，则，，，所求分布列为X012P数学期望为．19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．PA=OC，OP=OC．（1）证明：AB⊥平面POC；（2）求二面角P﹣OA﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出OC⊥平面OAB，从而AB⊥OC，取AB中点D，连结OD，PD．则AB⊥OD，AB⊥PD，从而AB⊥PO，由此能证明AB⊥平面POC．（2）过点P作PH⊥平面OAB，且交OD的延长线于点H，连接AH，则∠PAH为二面角P﹣OA ﹣B的平面角，由此能求出二面角P﹣OA﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，∴OC⊥OA，OC⊥OB，又OA∩OB=O，∴OC⊥平面OAB，又AB⊂平面OAB，∴AB⊥OC．…取AB中点D，连结OD，PD．则AB⊥OD，AB⊥PD．…∵OD∩PD=D，∴AB⊥平面POD，∵PO⊂平面POD，∴AB⊥PO．…AB⊥OC，OC∩PO=O，∴AB⊥平面POC．…解：（2）由（1）知AB⊥平面POD，∴平面OAB⊥平面POD，且平面OAB∩平面POD=OD，过点P作PH⊥平面OAB，且交OD的延长线于点H，连接AH，PA=，OP=，由OA=OB=OC，在△POA中，OP2=PA2+OA2，∴OA⊥PA，又PH⊥OA，∴OA⊥平面PAH，∴∠PAH为二面角P﹣OA﹣B的平面角，…在直角△PHA中，cos，…由（1）知∠AOD=45°，∴△OAH为等腰直角三角形，∴AH=OA=OC，∴cos=，∴二面角P﹣OA﹣B的余弦值为．…20．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2： +=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为，利用曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，求出a，b，即可求曲线C1的方程；（Ⅱ）由于研究直线恒过定点，求出AC的方程，令y=0，求出x可得（x与直线AB斜率k 无关），可证直线AC恒过定点就可解决．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…令y=0，可得x===…∴直线AC过定点（，0）．…21．已知函数f（x）=x2﹣alnx﹣x（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣2a﹣，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f′（x）=2x﹣﹣1，分情况讨论，即可求函数f（x）的单调区间；（2）求出k==（x2+x1）﹣﹣1=﹣2a﹣，进而ln=，可得=0，a=﹣与a＞﹣矛盾，即可得出结论．【解答】解：（1）依题意知函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣﹣1=，t=2x2﹣x﹣a，△=1+8a≤0，a≤﹣，f′（x）≥0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞﹣时，令f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞，故函数f（x）的单调递增区间为（0，），（，+∞）；令f′（x）＜0，得0＜x＜，故函数f（x）的单调递减区间为（，）．（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴x2+x1=，x2x1=﹣，x1=，x2=∵k==（x2+x1）﹣﹣1=﹣2a﹣，∴=2，∴ln=，设t=，则y=ln﹣t，∴y′=﹣1=＞0，∴函数在（﹣1，1）上单调递增，∴=0，a=﹣与a＞﹣矛盾，故不存在．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=AP．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）证明PC=PA．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（2）通过内角相等证明出△APC∽△BPA，根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得∠C=∠APC=∠BAP=30°．利用直角三角形中正切的定义，得到=，即可证明结论．【解答】证明：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE∴∠ADE=∠AED；…（2）由（1）知∠BAP=∠C，又∠APC=∠BPA，∴△APC∽△BPA，∴，∵AC=AP，∠BAP=∠C=∠APC，由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180°，∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°∴∠C+∠APC+∠BAP=90°，∴∠C=∠APC=∠BAP=30°，在Rt△ABC中， =，∴=，∴PC=PA …[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，曲线C2：（θ为参数），曲线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7．（1）以t为参数将C1的方程写成含t的参数方程，化C2的方程为普通方程，化C3的方程为直角坐标方程；（2）若Q为C2上的动点，求点Q到曲线C3的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，利用cos2t+sin2t=1可得参数方程．由曲线C2：（θ为参数），利用平方关系消去参数θ，可得普通方程．由曲线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7，利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．（2）设Q（4cosθ，3sinθ），Q到曲线C3的距离为d==（其中tanφ=）．利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，可得参数方程：（t为参数）．由曲线C2：（θ为参数），消去参数θ，可得普通方程： =1．由曲线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7，可化为直角坐标方程：x﹣2y﹣7=0．（2）设Q（4cosθ，3sinθ），Q到曲线C3的距离为d==（其中tanφ=）．∵θ∈[0，2π），∴当sin（θ﹣φ）=﹣1时取得最大值，∴d的最大值为．[选修4-5：不等式证明选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞a+2x﹣x2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得|x﹣1|+|x+1|﹣2x+x2＞a 恒成立，令g（x）=|x﹣1|+|x+1|+x2﹣2x，依据单调性求得g（x）的最小值，可得a的范围．【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或．解①x≤﹣求得，解求得 x∈∅，解求得 x≥，∴不等式的解集为{x|x≤﹣，或 x≥}．（2）f（x）＞a+2x﹣x2在R上恒成立，即|x﹣1|+|x+1|﹣2x+x2＞a 恒成立，令g（x）=|x﹣1|+|x+1|+x2﹣2x=，当x∈（﹣∞，1]时，g（x）单调递减，当x∈[1，+∞）时，g（x）单调递增，…所以当x=1时，g（x）的最小值为1．由题意可得1＞a，即a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）．。

立体几何011。

已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V ． 【答案】33正三棱柱的底面面积为12222⨯⨯⨯= 2.若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ． 【答案】π2设圆柱的底面半径为r ,母线为l ，则2l r π=，所以2lr π=。

3.若圆椎的母线cm 10=l ，母线与旋转轴的夹角030=α，则该圆椎的侧面积为 2cm .【答案】50π因为线与旋转轴的夹角030=α，设底面圆的半径为r ,则010sin305r ==。

所以底面圆的周长210c r ππ==，所以该圆锥的侧面积1110105022lc ππ=⨯⨯=。

4。

已知123,,l l l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A.如果1223,l l l l ⊥,则13l l ⊥ B.如果1223,ll l l ，则123,,l l l 共面C.如果1223,l l l l ⊥⊥，则13l l ⊥D.如果123,,l l l 共点,则123,,l l l 共面【答案】A根据线面垂直和平行的性质可知，A 正确,所以选A.5.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 【答案】24R π因为圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆,所以圆锥的,母线l R =,设圆锥底面圆的半径为r ，则2r R ππ=,即2R r =,所以圆锥的底面积是222()24R R r πππ==。

6.已知,,,A B C D 是空间四点，命题甲：,,,A B C D 四点不共面,命题乙：直线AC 和BD 不相交，则甲是乙成立的 ［答］（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 (D ）既不充分也不必要条件 【答案】A若,,,A B C D 四点不共面,则直线AC 和BD 不共面，所以AC 和BD 不相交。

若直线AC和BD 不相交，AC 和BD 平行时，,,,A B C D 四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件，选A.7。

第1页（共21页）2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一•选择题：本大题共12小题，每小题5M= {x| — 1 v x v 1}, N= {x| x 2v 2, x € Z}，则( B . N? M2.已知复数V3Hz=其中 i 为虚数单位，则|z| =（3.已知 cos0) 1 nt =—，则1B 迟C .-—3 3 3sin 哥0 ）的值是（D*),且 P (x w 4)=0.84,贝U P (2 v x v 4)=(5.不等式组的解集记为 D ，若（a, b ） € D ，则z=2a - 3b 的最小值是（C . 126.使(x 2+n （ n € N ）展开式中含有常数项的 n 的最小值是（C . 5D . 67.已知函数 f (x ) =sin (2x+0) 0v兀~2 3兀兀兀5兀A . [2k 冗-, 2k n + :] ( k € Z ) B .[2k n+ .., 2k n+ 'C . [k n-3兀"T7T，kn+_8 ](k € Z )D .兀 [k n — 5兀,kn+ir](k € Z ),0）,则函已知球O 的半径为R , A , B , C 三点在球O 的球面上，球心 O 到平面ABC 的距离为 ，则球O 的表面积为（16 IE 6464j n B . :nC .「D .::n)X ，命题 q : ?中为真命题的是（A . p A qB .厂 p ）A 10.如图，网格纸上的小正方形的边长为 体的体积是（）） q C . p A （「q ） D .厂 p ）A （「q ）1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何A .4.已知随机变量x 服从正态分布 N ( 3, A . 0.84 B . 0.68 C . 0.32 D . 0.16 ）的图象的一个对称中心为（X数f （x ）的单调递减区间是（ )](k €Z )O.AB=AC=2，/ BAC=120A .* 9.已知命题 p ： ? x € N *,(寺‘分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合C. M n N={ 0} D . M U N=NA. M? NA . 4+6 n B. 8+6 n C. 4+12 n D . 8+12 n2 211. 已知点o为坐标原点，点M在双曲线C: x - y =入(入为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则| ON| ?|MN |的值为( )k I XA.—…B. —-C.入 D .无法确定12. 设函数f (x)的定义域为R, f (- x) =f (x), f (x) =f (2- x),当x € ［ 0, 1］时，fo 11. B(x) =x3.则函数g (x) =| cos ( nc) | - f (x)在区间［-q■，专］上的所有零点的和为() A . 7 B. 6 C. 3 D. 2二•填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. _____________________________________________________ 曲线f (x) =^+3x在点(1, f (1))处的切线方程为___________________________________________ .Tf —”14. 已知平面向量■与n的夹角为_____________________ ，■! = (1, . ：), |.1 - 2.| =2 ::.则「・|= .15. 已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F ( 1, 0),点F关于直线y*x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_________ .16. 在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角A , B , C 的对边，a+c=4, (2 - cosA) ta =si nA, 则厶ABC的面积的最大值为 ________ .三•解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设S n是数列｛a n｝的前n 项和，已知a1=3, a n+1=2S n+3 (n€ N)(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n )令b n= (2n- 1) a n,求数列｛b n｝的前n项和T n.18. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(I)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果) (n )如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩(单位：分)对应如表：学生序号i1234567数学成绩60657075858790 x i物理成绩70778085908693y i(i)若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为&求E的分布列和数学期望；(ii )根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？E _ s) (y t _ v) y=bx+a|，其中 b_-L 心广i=l19•如图，在多面体 ABCDM 中，△ BCD 是等边三角形，△ CMD 是等腰直角三角形，/ CMD=90 °平面 CMD 丄平面 BCD , AB 丄平面 BCD • (I )求证：CD 丄AM ;(n )若AM=BC=2，求直线AM 与平面BDM 所成角的正弦值.20. 已知点F (1 , 0),点A 是直线11： x= - 1上的动点，过 A 作直线12, I l 丄12，线段AF 的垂直平分线与I 2交于点P .(I )求点P 的轨迹C 的方程；(n )若点M , N 是直线I 1上两个不同的点，且△ PMN 的内切圆方程为21. 已知函数 f (x ) =e -x - ax (x € R ).(I )当a=- 1时，求函数f (x )的最小值；(n ) 若x >0时，f (- x ) +ln (x+1)> 1，求实数a 的取值范围; (in )求证£ 匚 ~.四•请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答 时请写清题号.［选修4-1 :几何证明选讲］22. 如图，四边形 ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 是圆O 的直径，BC=CD , AD 的延长 线与BC 的延长线交于点 E ，过C 作CF 丄AE ，垂足为点F . (I )证明：CF 是圆O 的切线； (n )若 BC=4 , AE=9，求 CF 的长.附：回归直线的方程是:2冋7T_ _E (叮/E (x L - y) (y- - y)1=1 i=l的斜率为 k ,求Ikl | W I 的取值范围.x 2+y 2=1，直线 PF812526点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为 psin ((I )将曲线C 和直线I 化为直角坐标方程；(H)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线 I 的距离的最大值.［选修4-5 :不等式选讲］24.已知函数 f (x ) =Iog 2 (|x+1|+| x - 2| - a ). (I )当a=7时，求函数f (x )的定义域；(n )若关于x 的不等式f (x )> 3的解集是R ，求实数a 的最大值.［选修4-4 :坐标系与参数方程］23.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 y=sin 9(B 为参数).以2016年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一•选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.21 .已知集合 M={x| - 1 v x v 1}, N={x| x v 2, x € Z}，则()A . M? NB . N? MC . M A N={ 0}D . M U N=N 【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】N={x|x 2v 2, x € Z}={ - 1, 0, 1}，从而解得. 【解答】解：N={X |X 2V 2, x € Z}={ - 1, 0, 1}, 故 M A N={0}, 故选：C .z=.，其中i 为虚数单位，则| z| =(11+1 )复数求模.先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可.•- |z|=1 , 故选：B . 故选：A .4.已知随机变量x 服从正态分布 N ( 3, d 2),且P (x w 4) =0.84,则P (2 v x v 4)=( )A . 0.84B . 0.68C . 0.32D . 0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】 根据对称性，由 P (x w 4) =0.84的概率可求出 P (x v 2) =P (x >4) =0.16，即可 求出 P (2v x v 4).【解答】 解：I P (x w 4) =0.84,2.已知复数 12【考点】 【解答】Vs+iClH)2 2i ]-2 2 3.已知 cos13【考点】 兀L迅3 \0)1 ntl ，贝U sin1C.巧 D .的值是(【解答】三角函数的化简求值. 由已知及诱导公式即可计算求值. 兀12解：cos (-0) =sin[兀120) ] =sin (5兀12解: z=/• P (x > 4) =1 - 0.84=0.16 P (x v 2) =P (x >4) =0.16,/• P (2 v x v 4) =P (x W 4)- P (x v 2) =0.84 - 0.16=0.68 故选B .、-y<05.不等式组- 2的解集记为K - 2y> - 2A . - 4B . - 1C . 1D . 4 【考点】简单线性规划.【分析】由题意作平面区域，从而可得当 【解答】 解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当a= - 2, b=0，即过点A 时, z=2a - 3b 有最小值为-4, 故选：A .6 •使（x 2+「- ） n （ n € N ）展开式中含有常数项的 n 的最小值是（）2 zA . 3B . 4C . 5D . 6 【考点】二项式定理的应用.【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幕指数等于0，求出n 与r 的关系值，即可求 得n 的最小值.【解答】解：（X 2+*T ） n （n € N ）展开式的通项公式为 T r +仁C ：?（*）'?x 2n -5r ,令2n - 5r=0 ,求得2n=5r ，可得含有常数项的 n 的最小值是5, 故选：C .D ，若（a, b ） € D ，则z=2a - 3b 的最小值是（a=- 2, b=0时有最小值，从而求得.37.已知函数 f (x ) =sin (2x+0) O v （））＜ ）的图象的一个对称中心为（ ,0）,则函数f (x )的单调递减区间是( ,2k n +丄](k € Z ) 7T I ,k n^] (k € Z ) A . [ 2k n — C . [ k n — 3兀 V 3兀 B . D . 兀 兀 [k n — [2k n 5兀 ，2k — 5兀，kr ](k €Z ) ](k € Z )【考点】【分析】 正弦函数的图象. 由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间.【解答】 解：由题意可得sin （2X 解得0=k n — 3J T ~T 丄+■：兀 7T—可得0= • f (x ) =sin (2x+ 7T T 兀7),可得k 函数 f (x ) 的单凋递减区间为 [k,kn- 8 故选：D . 0=k n &已知球O 11—R . AB=AC=2，/ BAC=120 .16g 【考点】 球的体积和表面积. 【分析】利用余弦定理求出 BC 的长，进而由正弦定理求出平面ABC 截球所得圆的半径, 结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案. 【解答】解：在△ ABC 中， •/ AB=AC=2，/ BAC=120 ° • BC=』4+「2X2X2X （-寺）=2岳, 由正弦定理可得平面 ABC 截球所得圆的半径（即△ ABC 的外接圆半径）， 2/3 的半径为R , A , B , C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为，则球O 的表面积为（ IE 3 64 964 ::nr= 又•••球心到平面 ABC 的距离 •••球O 的半径R= , 5丄声 • •• R2= IS第9页(共21页)9.已知命题p ： ? x € N *,（寺）x 》（寺）x ，命题q : ? x € N *, 2x +21 x =£，则下列命题 中为真命题的是（ ）A . p A qB .厂 p ）A qC . p A （^ q ）D .厂 p ）A （「q ）【考点】复合命题的真假.【分析】命题p :利用指数函数的性质可得：是真命题；命题 q :由2L21 — x =2一］,化为: （2x ） 2 -2「?2x +2=0，解得2x = .x=」-，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.命题 q ：由 2x +21-x =2 ［，化为:（2x ） 2-2 T2x +2=0，解得 2x = ［ ，因此 q 是假命题.则下列命题中为真命题的是 P A （「q ）, 故选：C .A . 4+6 nB . 8+6 nC . 4+12 nD . 8+12 n 【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图知几何体是组合体： 下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的 四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可. 【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为 2,母线长为3;四棱锥的高是2,底面是边长为4、3的矩形， •••该几何体的体积 V== X 冗天/ x 汁gx 3 x 4 x 2=6 n +8, 故选：B .11. 已知点O 为坐标原点，点 M 在双曲线C : x 2- y 2=入（入为正常数）上，过点 M 作双曲 线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为 N ，则| ON| ?|MN |的值为（ ）X XA . ——B . ——C .入D .无法确定故球0的表面积S=4【解答】解:命题p ： ? x € N *,（寺）x 》（舟）x，利用指数函数的性质可得：是真命题;1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何第10页（共21页）【考点】双曲线的简单性质.【分析】设M (m , n ),即有m 2-n 2=入，求出双曲线的渐近线为 离公式，结合勾股定理可得 |0N|，化简整理计算即可得到所求值. 【解答】 解：设M (m , n ),即有m 2-n 2=人 双曲线的渐近线为 y= ± x ,由勾股定理可得|0N|=二吩-故选：B .12. 设函数 f (x )的定义域为 R , f (- x ) =f (x ) , f (x ) =f (2- x ),当 x € ［0, 1］时，f (x ) =x 3.则函数g (x ) =| cos (nc) | - f (x )在区间［-£ ,寺］上的所有零点的和为 ()A . 7B . 6C . 3D . 2【考点】函数零点的判定定理.1 5【分析】根据f (x )的对称性和奇偶性可知 f (x )在［-耳，耳］上共有3条对称轴，x=0 , y= | cos ( n ) | 也关于 x=0 , x=1 , x=2 对称，故而 f (x )和y=| cos ( nc) |在［0, 1］上的函数图象，15判断g (x )在［-二-，二］上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和. 【解答】解：••• f (x ) =f (2-x ), ••• f (x )关于x=1对称,••• f (- x ) =f (x ), • f (x )根与 x=0 对称, •/f (x ) =f (2- x ) =f (x - 2), ••• f (x ) =f (x+2), • f (x )是以2为周期的函数，i R• f (x )在［-〒，豆］上共有3条对称轴，分别为 x=0 , x=1 , x=2 , 又 y=| cos ( nc)关于 x=0, x=1 , x=2 对称，• x=0 , x=1 , x=2 为 g ( x )的对称轴.作出y=|cos (n <) |和y=x 3在［0, 1］上的函数图象如图所示：y= ± x ,运用点到直线的距 可得| MN | =x=1 , x=2，根据三角函数的对称性可知 (x )在［-「二］上3条对称轴，根据可得 | 0N| ?|设这6个零点从小到大依次为X1, X2, X3, ••X6,则X1，X2关于X=0对称，X3, X4关于X=1对称，X5，X6关于X=2对称.• X1+X2+X +X4+X5+X6=6.故选：B.二•填空题：本大题共4小题，每小题5分.|'2|13. 曲线f （X） =^+3x在点（1, f （1））处的切线方程为y=x+4 .【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可.\2\【解答】解：函数的导数f' （X）=-丁+3,则f' （1）= - 2+3=1，即切线斜率k=1 ,••• f （1）=2+3=5,「.切点坐标为（1, 5）,则切线方程为y - 5=X - 1，即y=x+4,故答案为：y=x+414•已知平面向量占与b的夹角为丁，n= （1,體），-乐|=2S% •则|b|=_2_ 【考点】平面向量数量积的运算.【分析】对| .:- 2「」=2 . 一；两边平方得出关于| |',|的方程，即可解出.兀【解答】解：|£|=2,；斥=|?|| £|co g = |駐| ,丨3 —2M =2V^,•（色°2b）2=『- 4了"二12, 1522二X[+X2=0, X+X4=2, X5+X6=4,,1）上各有1个零点.••• g (x)在[-］上共有6个零点,第12页（共21页）即 4| i.|2- 4| 订+4=12,解得 =2 • 故答案为：2.C 的右焦点为F ( 1，0)，点F 关于直线y 令X 的对称点在【考点】椭圆的简单性质.c=1，设点F (1 , 0)关于直线y=±x 的对称点为(m , n ),由两直线垂直的条件：斜率之积为- 解方程可得a , b ,进而得到椭圆方程.【解答】解：设椭圆的方程为 —+ =1 (a > b > 0),由题意可得c=1，即a 2 - b 2=1,设点F (1, 0)关于直线讨=x 的对称点为(m , n ),_ 2 J可得椭圆的方程为「=1.故答案为：詈+詈=「16. 在△ ABC 中，a, b , c 分别为内角 A , B , C 的对边，a+c=4, (2 -cosA ) tan_ =si nA , 则厶ABC 的面积的最大值为 •'；.【考点】 余弦定理；正弦定理.【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出 a , b , c 的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值.【解答】 解：在△ ABC 中，•.•( 2 - cosA ) ta^-=sinA ,「.( 2 - cosA )・—一=sinA ,H1+COSD即 2sinB=sinA +sinAcosB+cosAsinB=sinA +sinC , 2b=a+c=4b=2 .2 K 1 2y 2a b15.已知中心在坐标原点的椭圆椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 _ 2 27>■ + T =1门q1，以及中点坐标公式,可得1解得m=7?=-2，且十门=丄2 -5'n=" ，即对称点为(K,).代入椭圆方程可得 解得迸,b 2=9 1 &-+25a 2 25b z 4=1,【分析】设椭圆的方程为=1 (a > b > 0),由题意可得T a+c=4,「. a=4 - c..S= I ；］ : / ..■=〔匸二：一1•••( 3-c) (c- 1 )w (3 _ u；c _ 1 )2=1,.S w ；故答案为：.-.三•解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设S n是数列｛a n｝的前n 项和，已知a i=3, a n+i=2S n+3 (n€ N)(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n )令b n= (2n - 1) a n,求数列｛ b n｝的前n项和T n.【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(I)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；(II)利用错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出.【解答】解：(I)T a n+1=2S n+3 ,•••当n> 2时，a n=2S n-1+3, .a n+1 - a n=2 ( S n - S n -1)=2a n,化为a n+1=3a n.••数列｛a n｝是等比数列，首项为3，公比为3.• a n=3n.(II) b n= (2n- 1) a n= (2n - 1) ?3n,•数列｛b n｝的前n 项和T n=3+3X 32+5X 33卄+ (2n - 1) ?3n, 3T n=32+3X 33+" (2n- 3) ?3n+ (2n - 1) ?3n+1,•- 2T n=3+2 (32+33+"+3n)-( 2n - 1) ?3n+1=2X ―-——-3 -( 2n- 1) ?3n+1= (2 -3 - 12n) ?3n+1- 6,n+1• T n= (n - 1) ?3 +3.18. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(I)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)(n)如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩(单位：分)对应如表：学生序号i123 4 567数学成绩X i60657075 858790物理成绩y i(i)若规定70778085 908693 85分以上(包括85分)为优秀，从这7名冋学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为g求E的分布列和数学期望；(ii)根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01)；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列. 【分析】(I )根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.(D) (i ) E 的取值为0, 1, 2, 3,计算出相应的概率，即可得E 的分布列和数学期望.(ii )根据条件求出线性回归方程，进行求解即可.7【解答】(I )解：依据分层抽样的方法， 24名女同学中应抽取的人数为 -T -X24=4名,故不同的样本的个数为瑕C 器 (n )( i )解：••• 7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 3名,••• E 的取值为0, 1, 2, 3.• E 的分布列为526 — — r 0.65, a=" -「“=83 - 0.65 X 75=33.60 . oL z•••线性回归方程为 =0.65x +33.60 当 x=96 时，2 =0.65 X 96+33.60=96. 可预测该同学的物理成绩为96分.19•如图，在多面体 ABCDM 中，△ BCD 是等边三角形，△ CMD 是等腰直角三角形，/ CMD=90 °平面 CMD 丄平面 BCD , AB 丄平面 BCD . (I )求证：CD 丄AM ；(n )若AM=BC=2，求直线AM 与平面BDM 所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系.76 y837T_ _E (珥-/E_y)_ y)1=1 i=l'18名男同学中应抽取的人数为 18=3 名,旦 J 4,P ( e=1)18飞_35=也. 11_35>3C 3=35E 0 4 35 E =0 X1 23 18121353354| 丽+1 X 18 _ 12 …1 | 9 35 +2X 35 +3 X 35' _7(ii )解：I b= 附：回归直线的方程是:812 526,P ( =2),P (=3)【分析】(I)取CD的中点0,连接OB , OM，则可证0M // AB，由CD丄OM , CD丄OB 得出CD丄平面AB0M，于是CD丄AM ；(II )以0为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量厂则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为| cosv,|> | .【解答】(I )证明：取CD的中点0,连接OB, 0M .•••△ BCD是等边三角形，•••0B 丄CD .•••△ CMD是等腰直角三角形，/ CMD=90 °•••0M 丄CD .•••平面CMD丄平面BCD，平面CMD门平面BCD=CD , 0M ?平面CMD ,• 0M丄平面BCD .又••• AB丄平面BCD ,• 0M // AB .• 0 , M , A , B四点共面.•/ 0B A0M=0 , 0B?平面0MAB , 0M?平面0MAB ,• CD 丄平面0MAB .I AM?平面0MAB ,• CD 丄AM .(n )作MN丄AB，垂足为N，贝y MN=0B .•••△ BCD是等边三角形，BC=2 ,•••"=叮尺，CD=2 .在Rt△ ANM中，二「汕■叮…7」< —..•/△ CMD是等腰直角三角形，/ CMD=90 °• AB=AN +NB=AN +0M=2 .以点0为坐标原点，以0C, B0 , 0M为坐标轴轴建立空间直角坐标系0- xyz, 则M (0, 0, 1), B© -听，0), D (- 1, 0, 0),A(h 2).晶 1),匱0).•両二4 価，-1),丽二©设平面BDM的法向量为.；=(x, y, z),由n?T| i, n? i,令y=1，得|j= ：J r --设直线AM与平面BDM所成角为0,20. 已知点F (1 , 0),点A 是直线11： x= - 1上的动点，过 A 作直线12, 11丄12，线段AF 的垂直平分线与12交于点P .(I )求点P 的轨迹C 的方程;【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(I )点P 到点F (1 , 0)的距离等于它到直线 11的距离，从而点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线11： x= - 1为准线的抛物线，由此能求出曲线C 的方程.(n )设 P (x o , y o )，点 M (- 1, m ),点 N (- 1, n ),直线 PM 的方程为(y o - m ) x - (x o +1) y+ (y o - m ) +m (x °+1) =0, △ PMN 的内切圆的方程为 x 2+y 2=1，圆心(0, 0)到 直线 PM 的距离为 1,由 X 0> 1，得(X 0-1) m 2+2y °m -( X 0+1) =0，同理，- l)n 2+2y Q n- (x Q 41)=0，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知(n )若点M , N 是直线11上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF的斜率为 k ,求十「的取值范围.【解答】 解：(I )T 点F ( 1 , 0),点A 是直线11： x= - 1上的动点，过 A 作直线12, 11丄 12,线段AF 的垂直平分线与12交于点P ,•••点P 到点F (1, 0)的距离等于它到直线 11的距离，•••点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线1仁x= - 1为准线的抛物线, •曲线C 的方程为y 2=4x .(n )设 P (X 0, y 0),点 M (- 1, m ),点 N (- 1, n ), 直线PM 的方程为：y -m=「_ (x+1),化简，得(y o - m ) x -(x o +1) y+ •/△ PMN 的内切圆的方程为 x 2+y 2=1 ,(y o - m ) +m (x °+1) =0,•圆心(0, 0)到直线PM 的距离为1,即Y Q ~ nr+in(iJ | y 0 Jnr) 2+(x 0+l )2=1,-y,' 1= I] “I 二.’一1 丁 ！ JT * 丁,条件能求出由题意得 x o > 1，二上式化简，得(X 0- 1) m 2+2y o m -( x o +1) =0, 同理，有 - l)n 2+2y o n _ 6十1)二。

2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．12．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．25．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．106．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f （x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．1612．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为（结果用数值表示）．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级优秀合格不合格男生（人）15 x 5女生（人）15 3 y根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？优秀男生女生总计非优秀总计（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）k019．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，即z=﹣i．则|z|=1．故选：D．2．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x∈（A∩B），可得x∈A，则反之不一定成立，即可判断出关系．【解答】解：x∈（A∩B）⇒x∈A，则反之不一定成立．∴“x∈A”是“x∈（A∩B）”的必要不充分条件．故选：B．3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用二倍角的余弦得答案．【解答】解：由cos（﹣α）=，得cos（π﹣2α）=cos2（）==．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．5．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．10【考点】程序框图．【分析】根据已知及程序框图，判断执行语句x=lga+lgc，从而计算求值得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出x的值，由题意，a=2，b=4，c=5，不满足条件a＞b且a＞c，不满足条件b＞c，执行x=lg2+lg5=lg10=1．故选：A．6．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f （x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=cos（x﹣）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ，可得f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，结合所给的选项，故选：A．7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上，设出双曲线的标准方程，求得渐近线方程，运用双曲线的基本量的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有b=a，c==2a，离心率为e==2；当双曲线的焦点在y轴上时，设方程为﹣=1（a'，b'＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有a'=b'，c'==a'，离心率为e==．综上可得离心率为2或．故选：C．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出3位女生中有且只有两位女生相邻的概率．【解答】解：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，基本事件总数n==120，3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数m==72，∴3位女生中有且只有两位女生相邻的概率p==．故选：B．9．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】分段函数的应用．【分析】可判断f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．【解答】解：当x＞0时，f（﹣x）=﹣ln（﹣（﹣x））﹣x=﹣lnx﹣x=f（x），故f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数；当x＞0时，f（x）=﹣lnx﹣x为减函数，而ln=﹣ln2﹣2=f（2），故f（）＜ln=f（2），故＞2，故0＜m＜；由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数知，﹣＜m＜0；综上所述，m∈（﹣，0）∪（0，），故选C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6==，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V===16，故选：B．12．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由xf′（x）﹣f（x）=xlnx，得到=，求出的原函数，得到f（x）=+cx，由f（）=，解出c的值，从而得到f（x）=+x，通过求导判断函数f（x）的单调性，进而判断函数的极值即可．【解答】解：∵xf′（x）﹣f（x）=xlnx，∴=，∴=，而=，∴=+c，∴f（x）=+cx，由f（）=，解得c=，∴f（x）=+x，∴f′（x）=（1+lnx）2≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故函数f（x）无极值，故选：D．二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为6π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据棱柱的体积计算底面半径，则侧面展开图矩形的边长为圆柱的底面周长和高．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的体积V=πr2•π=π2，∴r=1．∴圆柱的底面周长为2πr=2π．∴侧面展开图的周长为2π×2+π×2=6π．故答案为：6π．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意结合图象可得当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式和直线的垂直关系可得．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为180（结果用数值表示）．【考点】二项式定理的应用．【分析】通过分析只需考虑（2+﹣）10展开式中的第二项，进而只需考查的展开式中通项T k+1=210﹣k•中含x4的项，比较可得k=8，进而计算可得结论．【解答】解：（2+﹣）10==，依题意，只需考虑r=0时，即只需中x4项的系数，∵的展开式中通项T k+1=210﹣k •，令=x 4，可得k=8，∴所求系数为210﹣8=180，故答案为：180．16．如图，在凸四边形ABCD 中，AB=1，BC=，AC ⊥CD ，AC=CD ，当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为+1 ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC ，sin β，利用余弦定理，即可求出对角线BD 的最大值．【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC 2=4﹣2cos α， 由正弦定理可得sin β=，∴BD 2=3+4﹣2cos α﹣2×××cos （90°+β）=7﹣2cos α+2sin α=7+2sin （α﹣45°）， ∴α=135°时，BD 取得最大值+1． 故答案为： +1．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过等差中项的性质可知2a n =S n +1，并与2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2）作差，进而整理可知数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论． 【解答】解：（1）∵a n 是S n 和1的等差中项， ∴2a n =S n +1，2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得：2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，即a n =2a n ﹣1， 又∵2a 1=S 1+1，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列， ∴a n =2n ﹣1；（2）由（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1， 2T n =1•21+2•22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ， 两式相减得：﹣T n =1+21+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =﹣n •2n=﹣1﹣（n﹣1）•2n，∴T n=1+（n﹣1）•2n．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级优秀合格不合格男生（人）15 x 5女生（人）15 3 y根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？优秀男生女生总计非优秀总计（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）k0【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）先求出从高一年级男生中抽出人数及x，y，作出2×2列联表，求出K2＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为，从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．由此能求出所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生的概率．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），由此能求出X的数学期望．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则，解得m=25．∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2．∴2×2列联表为：男生女生总计优秀15 15 30非优秀10 5 15总计25 20 45∴K2=45（15×5﹣10×15）230×15×25×20＜2.706，∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为=，∴从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，则事件A发生的概率为：P（A）==．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），∴X的数学期望E（X）=3×=2．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF．设AC=a，计算CE，EF，CF，CD，DF，利用勾股定理的逆定理得出CD⊥DF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，从而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF 所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF．∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．∴AE=，EF==，DF==．设AC=a，则CE=，CD=．∵CE⊥EF，∴CF2=CE2+EF2=a2++=a2+．∵CD2+DF2=a2﹣1+=a2+．∴CD2+DF2=CF2，∴CD⊥DF．又AB⊂平面ABB1A1，DF⊂平面ABB1A1，AB∩DF=D，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴cos＜＞==．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①，抛物线C的准线方程为，x=﹣1②，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+与抛物线的方程联立，得y2﹣2mpy﹣p2=0，∴y1•y2=﹣p2=﹣4，解得p=±2，∵p＞0，∴p=2，（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线C的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得P的坐标为（﹣1，﹣）由（1）可得y1y2=4，∴P的坐标可化为（﹣1，），∴k AP==，∴直线AP的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=﹣=∴直线AP与x轴交于定点（，0）．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x﹣在x＞0的图象，可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，设切点为（m，n），即有n=，n=m，可得ame=e m，①由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，②由①②解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），由f（x）=的导数为f′（x）=，当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．对x﹣在x＞0递增，设y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），由f（1）﹣（1﹣1）=＞0，f（2）﹣（2﹣）=﹣＜0，即有1＜x0＜2，当0＜x＜x0时，g（x）=x﹣，h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣﹣cx2，h′（x）=1+﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，即有2c≤+，由y=+在（0，x0）递减，可得2c≤+①当x≥x0时，g（x）=，h（x）=g（x）﹣cx2=﹣cx2，h′（x）=﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，即有2c≤，由y=，可得y′=，可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值﹣．可得2c≤﹣②，由①②可得2c≤﹣，解得c≤﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）连接OC，AC，证明△AOC为等边三角形，利用CF⊥AB，得出CF为△AOC中AO边上的中线，即可证明结论；（2）证明B，E，D，F四点共圆，利用割线定理，求AD•AE的值．【解答】（1）证明：连接OC，AC，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°．∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形．∵CF⊥AB，∴CF为△AOC中AO边上的中线，即AF=FO．（2）解：连接BE，∵CF=，△AOC为等边三角形，∴AF=1，AB=4．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFD．∴B，E，D，F四点共圆∴AD•AE=AB•AF=4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，把代入即可得出直角坐标方程．（2）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C（3，0）到直线l的距离d，即可得出切线长的最小值=．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得：（x ﹣3）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣6x+5=0，∴极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（2）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1，展开为：（ρsinθ﹣ρcosθ）=1，可得y﹣x=1．圆心C（3，0）到直线l的距离d==2．∴切线长的最小值===2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．WORD完整版----可编辑----教育资料分享2016年8月24日----完整版学习资料分享----。