08高等数学(上)期末复习题

西南财经大学2008——2009学年第一学期 《高等数学》期末闭卷考试题参考解答一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题2分，共20分）：1．设已知12(log )1,a f x x -=+则()f x ＝1log (1)(1)2a x x ->.2．0limx +→=3．若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.4．.函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点是x 0 = 0 , 补充定义f (x 0) = – 2 ,则函数f (x )在x 0处连续.5．设函数)sin 1ln()(2x x f -=，则=)4('πf – 2 .6．设五次方程54320123450a x a x a x a x a x a +++++=有五个不同的实根，则方程4320123454320a x a x a x a x a ++++=最多有 4 个实根. 7．设函数()() ()1n xf x f x x=+、则＝1(1)(1)!(1)n n n x +-+-+ . 8．已知f (x )的一个原函数为ln 2 x ，则()xf x dx '=⎰ 2ln x - ln 2 x + C .9．300()(),10,()aaf x x f x dx a f x dx =-+≠=⎰⎰设 则44(1)a a +. 10．2lim ().a xt x x a te dt a x a-∞→+∞+==-⎰若,则常数52.二、单项选择题（每小题2分，共10分）：1．设函数y =的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则()g x =（ ① ）.① sin x ② cos x ③ tan x ④cot x2．“0()x x f x A →当时，－为无穷小量”是“0lim ()x x f x A →=”的( ③ ) .① 充分但非必要 ② 必要但非充分③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要 3．设()x y f e -=, 则dy = ( ④ ) .① '()x x f e de --- ② '()()x f e d x --③'()x x f e e dx -- ④'()x x f e de -- 4．1()()()(01).1n f x n R x xθ==<<-的阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项 ①111(1)(1)n n x n x θ+++- ② 11(1)(1)(1)n n n x n x θ++-+- ③ 121(1)n n x x θ++- ④ 12(1)(1)n n n x x θ++-- 5．在开区间),(b a 内，)(x f 和)(x g 满足)()(''x g x f =，则一定有（ ④ ）① )()(x g x f =； ② 1)()(+=x g x f ； ③ ⎰⎰='')]([])([x g dx x f ； ④ ⎰⎰=)()(x dg x df .三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：1．求极限01lim sin x x x e xe x x→-+.解：2001(1)lim lim sin ()x x x x x x e xe e xe x x x →→'-+-+='3分 0l i m 2x x xx e e x e x→-++= 6分 1.2= 7分2. 已知arccos ,0(),0x x f x ax b x ≥⎧⎪=⎨+>⎪⎩在x = 0处可导，求常数b a ,.解：因为f (x )在x = 0处可导必连续，所以00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 2分 2b π=得 3分又因为f (x )在x = 0处可导，所以0()(0)limx f x f x→-存在 4分000arccos 2lim lim 1()2lim , 1(0).x x x x x ax b a a f xππ→→→-=-=-+-'=∴=-=＋＋－7分3.arctan'"y xe y x y y =确定是的函数,求与.解：arctan221'1()y xy x yey x x-=⋅⋅+ 2分arctan((')'y xx yy e y x y x yy x y+=-+∴=-化简得 4分22222(1')()()(1')2(')"()()2()'"()y x y x y y xy y y x y x y x y y y x y +--+--==--+=-又将代入上式化简得 7分4. dx t A dy t A t f y ex t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设. 解：22()()sin ()2()'()2()sin ()()'() f t f t dy f t f t f t f t f t A t dx e f t e--==＝ 5分 2()2()sin ()f t f t f t dy dx e-∴= 7分5. 求⎰+dx x xx 2ln . 解： 22ln ln ln x x xdx x dx x x+=+⎰⎰ 2分 1ln ln x xd x -⎰＝ 4分2ln 1ln x x dx x x -+⎰＝ 6分 l n 1ln x x x x--＝＋C 7分 6. 22(),(1)();(2)()x t F x e dt F x y F x -==⎰设试求：的极值曲线的拐点的横坐标22444(1)'()[]'200"()2(14),"(0)200()()(0)0.x t x x F x e dt e x x F x x e F x F x F x F ---==⋅⇒==-=>∴==⎰解： 令是的极小值点,的极小值为 3分4412 (2)"()2(14)0 "()0,"()0,"()0,() x F x x e x x x F x x F x x F x y F x x -=-⇒==∞<<<<<><<+∞<∴==又令当-时, 当时, 当时,曲线拐点的横坐标为 7分7．计算2121sin ()1x xf x dx x -+=+⎰. 解：22112211sin 11()11x xx f x dx dx x x --++-==++⎰⎰ 3分 1211(1)1dx x-=-+⎰ 5分 1022arctan 22x π=-=-7分 四、应用题（每小题8分，共16分）：1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设截面的周长为 l , 已知22xl x y π=++ 1分截面的面积为2()522x xy π+=,即 58xy x π=- 3分故10,()4x l x x xπ=++∈ 4分因为221020'1,"4l l x x π=+-=， 令'0l =得驻点x = 6分又因为"0l >，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分所以截面积的底宽为x =从而使建造时所用的材料最省. 8分2. 求抛物线243y x x =--及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .解：03'(42)4,'2 x x x y x y ====-==- 2分所以抛物线243y x x =--在点(0,3)-和(3,0)处的切线方程分别为43,26y x y x =-=-+ 2分且这两条切线的交点为3(,3)2，则所求图形的面积为332223029(4343)(2643)4S x x x dx x x x dx =--+++-+-++=⎰⎰ 8分五、证明题（5分）：证明：当x > 0时，xxx x +>+1ln )1ln(. 证明 令()ln f t t t =， 1分()f t 在区间]1,[x x +上满足拉格朗日中值定理，于是在)1,(x x +中存在至少一点ξ，使得 xx xx x x f -+-++=+=1ln )1ln()1(1ln )(ξξ即 1ln ln )1ln()1(+=-++ξx x x x 2分 而x x +<<<11ξ，又因为01ln >+ξ，所以x x x x ln )1ln()1(>++， 即 xxx x +>+1ln )1ln(.（ x > 0） 2分。

08高等数学（一）期末复习题一、填空题=β→xax x cos ln cos ln lim.10。

2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1)(x x x x a x xx x f 若要使)(x f 在),(+∞-∞上连续，则=a 。

3．设A ax b x f ax =--→)(lim,则 =--→ax bx f ax sin )(sin lim。

4．设)(x f 在a x =可导，0)(>a f ，则nn a f n a f ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()1(lim = 。

5．=-⎰dx x x 213 。

6．设)(x f 是连续可导的函数，且1)0(=f ，则满足方程20)()(x x xf dx x f x-=⎰的函数=)(x f 。

7．曲线)0(1>-=x xx y 与x 轴交点处的切线方程为 ;法线方程为 8．函数)(x f 满足4513)(x x dt t f x +=⎰+，则=)9(f 。

9．设xex f -=)(,则⎰=dx xx f )(ln ' 。

10．dx e x x x⎰--+11)(= 。

11.设函数)(x f 在],[a a -上连续，则dx x x f x f a a⎰--+sin )]()([= 。

12．设)sin(ln x x y =(0>x ),则dy =13.⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12,则=22dx yd14. 设xex f -=)(,则⎰dx xx f )('=15. 设)(x f 的一个原函数为x sin ，则：dx x f x ⎰)("2=___ __。

16. 函数xx x x f -=2sin )(的第一类间断点为： 。

17.微分方程0)(2=-+-xdy dx e x y x的通解为=y 。

二、单选题1. 下列极限中极限值为e 的是：（ ）A xx x 1)1(lim -→+； B xx x-∞→+)11(lim ； C 21)1(lim +∞→-xx x ； D xx x 1)1(lim -→-。

南昌大学2007～2008学年第一学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =。

2. 设'()f a 存在，则 0()()limx f a x f a x x→+--=。

3. 函数 23()(1)1f x x =-+ 的极小值等于 ，单调增加区间为。

4. 设()f x 是可导函数，则'(2)baf x dx =⎰。

二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 0x = 是函数 2ln ,0,(),x x f x x x >⎧=⎨≤⎩ 的( )。

(A) 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； (D) 振荡间断点。

2．设函数arctan y = 则dy =（ ）. （A ）dx ； （B ）；（C ）dx ； （D ）dx 。

3．函数()sin f x x = 在区间 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上 （ ）。

（A ）满足罗尔定理条件，但无法求ξ； （B ）满足罗尔定理条件，且0ξ=； （C ）不满足罗尔定理条件；（D ）不满足罗尔定理条件，但有ξ能满足此定理的结论。

4． 在积分曲线族 sin3y xdx =⎰ 中，过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭的曲线方程是（ ）。

（A ） 1cos33y x =-； （B ） 1cos33y x =；（C ） 1cos313y x =-+； （D ） cos3y x C =+。

5． 已知10ln ()xe tf x dt t=⎰，则'()f x =（ ）。

（A ） x ； （B ） x e ； （C ） e ； （D ） ln x 。

三、计算题（共2小题，每小题 8分，共 16 分）1．已知 lim 9,xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭求常数a . 2．求极限 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 四、求下列导数（共2小题，每小题 7分，共 14 分） 1． 设 arcsin(ln ),y x x = 求'y .2．求由方程 2cos 10xy ye x x -+= 所确定的隐函数()y y x = 在0x =处的导数'(0)y .五、解下列各题（共2小题，每小题 7 分，共 14 分）1． 计算由参数方程arctan x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所确定的函数的二阶导数22d ydx.2．求不定积分11x xe dx e -+⎰. 六、计算下列积分（共2小题，每小题 7 分，共 14 分） 1． 求不定积分cos(ln )x dx ⎰.2．计算定积分()2||2||x x x e dx --+⎰.七、解下列各题(共2小题, 第1小题7分, 第2小题5分, 共12分)1. 设2()(),xax F x f t dt x a=-⎰其中()f x 为连续函数,求lim ()x aF x →.2. 设不恒等于常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且()()f a f b =, 证明在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使得'()0f ξ>.南昌大学2007～2008学年第一学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =12。

高等数学(上)期末试题集01-08级—昆明理工大学2001级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每小题3分、共24分）1、01lim sinx x x→=; 2、2 dx dx =;3、设)(x f 在[,]a a -连续并且为偶函数,则⎰-=aadx x f )(;4、⎰= nxdx;5、过点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程是 ;*6、已知级数1n n u S ∞==∑,则级数11()n n n u u ∞+=+∑的和是 ;*7、.曲线x x y ln 2-=在1=x 点处的曲率是 ;8、函数, 0(), 0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在点0=x 处的导数为 ;二、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、240ln(13)lim ln(3)x x x →++ 2、)arcsin(ln x x y =求y '.3、求由方程sin ()0y x xcos x y -+=所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.4、⎰++dx x x 1322 5、⎰三、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、dx x ⎰--)1(112、⎰-xe dx1323、判别级数∑∞=+1311n n 的敛散性 4、求幂级数∑∞=+1212n nn n x 的收敛区间 5、设点A,B,C 的坐标分别为A(2,3,-1),B(1,1,1)及C(0,4,-3)求23,,- 及C AB A ⋅.四、(7分)求幂级数∑∞=----112112)1(n n n n x 的收敛区间,并求和函数. 五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742:z y x z y x L 垂直的平面方程.六、(6分)求由曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形的面积. 七、(6分)讨论x x x f ln )(=在其定义域上的最大值与最小值.2002级高等数学（上）期末试题一、填空题（3分×10=30分） 1、若s 2lim23x inax x →∞=,则a = .2、函数1,1,1x x y a x x -≥⎧=⎨-<⎩,当a = 时连续.3、设⎰=Φ,sin )(2dt t t x b x则=Φdxd . 4、曲线sint cos 2x y t=⎧⎨=⎩在4π=t 处的法线方程为 .5、当a 时,点(1, 3)为3232y x ax =-+的拐点. 6、设cos x 是)(x f 的一个原函数,则)('x f = .7、⎰=--dx xx221211arcsin .8、设+-=+-=2,53，则a b ⋅=.*9、级数∑∞=+1)1(1n pn 当p 时发散. 10、2332)(x x x f -=在[1-4]上的最小值为 . 二、试解下列各题（5分×3=15分）1、02sin limx x tdt x→⎰.2、设)()(x f xee f y =，其中)(x f 可导，求dxdy .3、设x x y cos =，（0x >），求dy . 三、求积分（5分×4=20分）1、⎰dx e e x x )sin( 2、3、⎰-221xxdx4、1arctan x xdx ⎰*四、[9分]设平面图由xy x y 1,2==及x=2所围成，求： 1）平面图形的面积A （要求作草图）; 2）平面图形绕x 轴旋转的体积x V .五、[9分]一直线过点（0，2，4）且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行，求直线方程.六、[5分]判断级数∑∞=12!n n n 的收敛性.七、[8分]设幂级数 ++++753753x x x x 1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域. 八、[4分]证明：当1>x 时ex e x>2003级高等数学（上）期末试卷一、填空题：（共10题，每题3分）1、数列6661,1010,10n n x n n ⎧ < ⎪=⎨⎪ ≥ ⎩，则lim n n x →∞=___________________________.2、()f x 在0x 的某去心邻域内无界是0lim ()x x f x →=∞的___________________条件.3、0x =是1()sinf x x xα=的可去间断点,则常数α的取值范围是____________________.4、()f x 可导, 0(1)(1)lim12x f f x x→--=-, 则曲线()y f x =在点[1,(1)]f 处的切线斜率是____________________.5、()(),(),y f x x f x dy f x x ∆=+∆-=∆′则y ∆与dy之间的关系是________________________.6、可导函数()f x 在点0x 处取得极值的必要条件是___________________________.7、使公式()()k f x dx k f x dx =⎰⎰成立的常数k 应满足的条件是 .8、设物体以速度()v t 做直线运动, 则[0,]T 上物体经过的路程是___________________.9、投影Pr 2,3,bj a b ==则a b ⋅= ______________________.10、a b +与a b -平行的充要条件是________________________.二.计算题（共8题，每题5分）1、求 2arctan lim 1ln(1)x x x x→∞+ 2、求 02lim 1cos x x x e e x -→+--3、ln (),()y f x fx ''=存在, 求y '' 4、求2ln xxedx+⎰5、求2tan x xdx ⎰6、求11(1sin x -+⎰7、求1010x y x y z ++=⎧⎨-++=⎩的对称式方程.8、求到220xy z ++=的距离为1的动点轨迹.三、设2,0()(1),0axe xf x b x x ⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩，在0x =处可导，求11()f x dx -⎰.（8分）四、设0()(2)(),()0xF x t x f t dt f x =- >⎰′，试问点(0,0)是否是曲线()y F x =的拐点，为什么？（8分）*五、设抛物线20(01),y ax bx x =+≥ ≤≤ 试确定,a b 之值，使抛物线与直线1,0x y ==所围面积为13，并且绕x 轴旋转的体积最小.（8分）六、设()()()0xaF x f t dt F b =, ≠ , ⎰且()0F x ≠′，试证：方程()()x baxf t dt f t dt =⎰⎰ 在(,)a b 内有且只有一根.（6分）2004级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1、设x 1f (x)=,x 0,x 1,x-≠≠则1f[]f (x)= .2、若sin ax 3lim ,x 0sin 5x 4=→则a = .3、函数n x nf (x)=lim ()n 2n +=→∞- .4、x 1=是函数1x-1f (x)=e的第 类间断点.5、函数32y 2x 3x 12x 1=+-+在(2,1)-内单调 .6、曲线2y ln(1x )=+在区间 上是凸的，在 上是凹的， 拐点是 .7、设函数f (x)在[a,a]-上连续，g(x)f (x)f (x)=--，则aa g(x)dx -⎰= . 8、当k 时，反常积分akdx x(ln x)⎰收敛.9、a (2,3,1),b (113)c (120)→→→-=-=-=，，，，，，则a b (b c )()→→→→=++ . 10、过点(3,0,-1)且与向量a 3i 7j 5k →→→→=-+垂直的平面方程为 .二、计算下列各题（每题6分，共48分）1、计算极限：x2limx (arctan t ⎰） 2、设x y xy e e =0-+，求dy3、设2x ln(1t y arctan t ⎧=+⎨=⎩），求dy dx 和22d y dx 4、求 x1dx 1-e ⎰ 5、求 2dx x sin x⎰6、计算定积分20I x =⎰ 7、求过点(0,2,4) 且与两平面x 2z 1,y 3z 2+=-=平行直线方程.8、设x 220 F(x)tf(x t )dt -=⎰，求F (x)''三、（9分）设有位于曲线xy e =的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形：（1）求切线方程；（2）求平面图形的面积；（3）求此平面图形围绕x 轴旋转的旋转体的体积.四、（8分）讨论a,b 为何值时，函数2f (x)ln(a+x ),x>1x b,x 1=⎧⎨+≤⎩在x 1=处可导.五、（5分）设f(x)在区间I 上可导，证明在f(x)的任意两个零点之间必有方程f (x)xf (x)0'+=的实根.2005级高等数学（上）期末试卷一、填空题(每题3分,共30分)1、3321lim 1x x x x →∞-++= .2、21lim()x x x x→∞+= . 3、0(),0,x e x f x a x x <=+≥⎧⎨⎩，若)(x f 在),(+∞-∞连续，则a = .4、曲线x y sin =在点)22,4(π的切线方程为___________________.5、函数()()820f x x x x =+>的单调增加区间为 .6、曲线3129223-+-x x x 的拐点为 .7、532425sin _________21x xdx x x -=++⎰. 8、⎰+∞+0211dx x = . 9、设()3,1,2a =--，()1,2,1b =-，则_______)(=⋅-b a32.*10、当_______a 时，级数11(0)1nn a a ∞=>+∑收敛. 二、计算下列各题（每题6分，共42分）1、计算极限()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰. 2、21sin xy e-=，求y '.3、设函数)(x f y =由方程y x e xy +=确定，求dxdy .4、问函数()2540y x x x=-<在何处取得最小值. 5、计算⎰-+dx e e xx 1 6、计算⎰1dx e x 7、过点),,(420P 且与两平面2312=-=+z y z x ,垂直的平面方程.三、（8分）设 ⎩⎨⎧>+≤=11 ,2x b ax x x x f ,)(为了使()f x 在1x =连续可导函数，,a b 应取什么值？四、（8分）求幂级数2111(1)21n n n x n -∞-=--∑的收敛域,并求和函数. 五、(8分)由直线y x =及抛物线2y x =围成一个平面图形1．求平面图形的面积A.2．求平面图形绕x 轴旋转的旋转体体积x V .六、(4分)设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对于任意0021>>x x ,有 )()()(2121x f x f x x f +<+2006级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、使函数xxx f 32sin )(=在0=x 处连续，应补充定义 . 2、极限____________3lim 3=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x x .3、)('0x f 存在，则极限________)()(lim000=--+→hh x f h x f h .4、线xe y =在点（1，e ）处的切线方程为 . 5、线xxey -=的拐点是________________.6、用奇偶性计算定积分_______________11sin 11223=++⎰-dx xx x . 7、计算反常积分x xe dx +∞-⎰=__________________.8、向量(2,1,2),(1,,2),a b λ=-=且满足a b ⊥，则数____=λ.9、过点（4，-1，3）且平行于直线51123+==-z y x 的直线方程是_____________. 10、级数⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn 1232的敛散性为______________.二、 计算下列各题：（每小题6分，共42分） 1、求极限2arctan limxdttt xx ⎰+∞→.2、求由参数方程⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x 确定的函数)(x y y =的导数22,dx yd dx dy . 3、设函数)(x y y =由方程0333=-+axy y x 确定，求dy . 4、7186223+--=x x x y 的极值. 5、计算不定积分xdx x cos 2⎰.6、计算定积分21e ⎰7、证明：当1>x 时，不等式ex e x>成立. 8、写出直线241312-=-=-z y x 的参数方程并求此直线与平面062=-++z y x 的交点.三、（8分）求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径、收敛区间与收敛域，并求其和函数. 四、（8分）由曲线xy 1=与直线2,==x x y 及x 轴围成一个平面图形， 1、求此平面图形的面积A ；2、求此平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积x V . 五、（4分）设函数)(x f 在区间[0，1]上连续，且1)(<x f ，证明1)(20=-⎰dt t f x x在区间（0，1）内仅有唯一实根.2007级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分）1、22lim()kxx x e x→∞-=,则 k =2、点1x =是函数1,13,1x x y x x - ≤⎧=⎨- >⎩的第一类间断点中的 间断点3、设(sin )y f x =，f 可导，则dy = 4、定积分0=⎰5、曲线y =的拐点坐标是6、设sin x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰7、设22,410,,a i j k b i j k c b a c a λ=++ =-+ =- ⊥，则λ=8、xoz 面上的曲线：2z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为9、正项级数211n n n ∞=+∑的敛散性为 10、幂级数nn ∞=的收敛区间为 二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）1、计算极限3113lim()11x x x→---. 2、设3ln x tx y e dt =⎰，求dy dx.3、设函数()y f x =由方程0xyxy e e -+=确定，求dy . 4、求32()23f x x x =-的极值. 5、计算不定积分11cos dx x +⎰.6、计算41ln ⎰. 7、计算21(1)x x dx -+⎰.8、求过点(1,2,4)P 且与两平面23x y +=，42y z -=平行的直线方程. 三 (9分)、(1)、求曲线3y x =在点(2,8) 处的切线方程；(*2)、求曲线3y x = 与直线2,0x y = =所围成平面图形A 的面积； (*3)、求（2）中的平面图形A 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.四 (9分)、利用x e 幂级数的展开式：(2)、写出e 的无穷级数展开式；(3)、再利用数e 的无穷级数的展开式，求数项级数21!n n n ∞=∑的和.五（4分）、设()f x 可导，(0)0f =，10()(),xn n n F x t f x t dt -=-⎰n 为正整数，证明：20()1lim(0)2n x F x f x n→'=.2008级高等数学（上）试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1.2.(1)(23)lim6n kn n n→∞+-=则k = . ２. 1lim(1-sin2)xx x →= .３. 曲线3y x =上经过点0-2（，）的切线方程为 . ４.arctan cot x arc x += . ５. 已知()f x的一个原函数为ln(x ，则'()xf x dx =⎰ .６.-((0aa x dx a >⎰为常数）= .7.设()y x 由方程2201y t e dt x y +=⎰所确定，则'y = .8. 设向量,(3,5,),(2,1,4)a x b == 且2a b +与z 轴垂直，则x = .9.经过点(0,3,0)且与平面0y =垂直的直线方程是 .*10. 设22ln y x u +=，则du = .二、计算下列各题（每题7分，共14分）1. 设221x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩==-求22,dx y d dx dy . 2.已知()f x 连续，求lim ().xx a a x f t dt x a →-⎰三、计算下列各题（每题7分，共28分）1.求函数2y x =-. 2.x ⎰.3.12arcsin xdx ⎰. *4.设23222.,,xz u v u e v x y ===+求2.,z zx x y∂∂∂∂∂ 四、计算下列各题（每题9分，共18分） 1．（1）求过点(0,1,1)M -且与直线20,:270y L x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=垂直的平面方程，（2）求点M 到直线L 的距离.*2.将已知正数a 分解为三个正数之和，并使它们的倒数之和为最小.五、（6分）已知()f x 连续，1.()()(),lim x f x x f xt dt A xϕ→==⎰（A 为常数） 求（1）(0),(0)f ϕ;（2）'()x ϕ;（3）讨论'()x ϕ在0x =处的连续性.六、（4分）设()f x 在0,1⎡⎤⎣⎦上可微，且120(1)2().f xf x dx =⎰证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()()0.f f ξξξ+=试题参考解答2001级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分） 1.0; 2.2x ; 3. 02()af x dx ⎰; 4.11n n n x n --； 5.12421x y z +-==--； 6.2S ；7.略； 8.不存在.二. 计算下列各题(每小题5分,共25分)1、[解]：240ln(13)0lim 0ln(3)ln 3x x x →+==+.2、[解]：1arcsin(ln )arcsin(ln )y x x x x '=+= . 3、[解]：sin cos ()sin()(1)0y x y x cos x y x x y y ''+-++++=()sin()cos sin()sin cos x y x x y y x y x x y x+-+-'=++.4、[解]：2232arctan 1x dx x x c x +=+++⎰.5、 [解]t =，2sin 2cos 2(cos cos )t tdt td t t t tdt ==-=--⎰⎰⎰⎰2(cos sin )t t t c =--=-+.三.计算下列各题(每小题5分,共25分) 1、[解]：111(1)221x dx xdx --=-=⎰⎰.2、[解]：23332232(1)1ln(1)ln 111x xx x dx d e e e e e e -------=-=--=---⎰⎰. 3、[解]：321,n故∑∞=+1311n n 收敛.4、[解]：12221(1)1lim 2,221n n n n R n ρ+→∞++==∴=+ ，收敛区间为11(,)22-.5、[解]{1,2,2},{2,1,2},32{1,8,10}AB AC AB AC =--=---=-，4AB AC ⋅=-四、解：令2111222111()(1),()(1)211n n n n n n x S x S x x n x -∞∞---=='=-=-=-+∑∑， 21()arctan 1xS x dx x x ∴==+⎰，收敛区间为（-1，1）. 五、解：平面,0742:1=-+-z y x π法向量{}4,2,11-=n ，平面,01253:2=+-+z y x π法向量{}2,5,32-=n..取所求平面的法向量 {}1212424,14,11352i j kn s n n ==⨯=-=--....由点法式方程可得所求平面方程为 24(2)14(0)11(3)x y z --+-++=,即241411810x y z ---=.六、解：曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形为无界区域，其面积为(ln ln )ln ln bbS b x dx b b x x b b +=-=-+=⎰.七、解：x x x f ln )(=的定义域为0x >，令()l n 10,f x x '=+=得驻点1x e =，当1x e< 时，()ln 10,f x x '=+<当1x e>时，()ln 10,f x x '=+>故x x x f ln )(=在其定义域上的最小值为111()ln f x e e e==-，无最大值.2002级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分） 1．34 ；2．1；3．2sin x x -；4．)22(221-=x y ；5．29；6．x cos -；7．0；8．12；9．≤1；10．(1)5f -=-二、试解下列各题(每小题5分,共15分)1．解：原式0sin lim 2x x x →=21=.2．解：()()[()]'()[]x f x x f x dyf e e f e e dx'=+ )()()()(')('x f x x f xxe ef x f ee f e +=.3．解：取对数 cos ln lny x x =，两边关于x 求导得1cos .sin dy xxlnx y dx x=-+， 故 cos cos (sin )xxdy x xlnx dx x=-+. 三、求积分(每小题5分,共20分)1、解：原式⎰=x x de e )sin(c e x+-=)cos(.2、解：原式=⎰2)(arcsin )(arcsin x x d c x+-=arcsin 1. 3、解：令sin x t =,cos dx tdt =,原式2cos c sin cos tdttgt c t t ==-+⎰c xx +--=21. 4、解：原式21arctan ()2x xd =⎰21122001[c tan ]221x dx ar x xx =-+⎰. 120111.(1)2421dx x π=--+⎰101[c tan ]82x ar x π=--2148218-=+-=πππ.四、解：1）2211()dx A x x =-⎰2311[ln ]3x x =-7ln 23=-.2）24211()dx x V x xπ=-⎰521157[]5100x x ππ=+=. 五、解：设求直线的方向向量为,由于{}2,0,1⊥且{}3,1,0-⊥，则j 1 0 2 2 i 3 j k 0 1 -3i ks ==-++ ,故直线方程为143220-=-=--z y x . 六、解:用比值法 10)1()1(lim lim221<=++=∞→+∞→n n n U U n nn n ,故原级数收敛. 七、解：1）一般项为121n a n =-. 2）121limlim 12(1)1n n n n a n a n ρ+→∞→∞-===+-，收敛半径11==ρR ,当1x =时，幂级数为1121n n ∞=-∑发散,1x =-时，幂级数为1121n n ∞=--∑发散,故收敛域为（-1，1）. 八、证明：设ex e x f x -=)(，e e x f x -=)('，故当1>x 时0)('>x f ，即1>x 时)(x f 单增，故当1>x 时，0)1()(=>f x f ，从而1>x ，ex e x >.2003级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1、610 ； 2、必要； 3、0a >； 4、2- ； 5、()y dy x ο∆=+∆6、0()0f x '= ；7、0k ≠；8、0()Tt dt ν⎰； 9、6； 10、//a b.二、计算题（共8题，每题5分） 1、因为arctan 2x π<,11ln(1)~x x+（2分） 故原式=arctan lim 0x xx→∞= （5分）2、原式=0lim sin x xx e e x -→- （2分）= 0lim 2cos x xx e e x-→+= （5分）3、()()f x y f x ''=（2分） 22()()()()f x f x f x y f x '''-''= （5分） 4、原式 = 2x e xdx ⎰（2分）= 212x ec + （5分）5、原式 = 2sec x xdx xdx -⎰⎰（2分）= 2tan ln cos 2x x x x c +-+ （5分）6、因为11sin 0x -=⎰（2分）12-=⎰⎰sin x t =2202cos 2tdt ππ=⎰ （4分）故原式022ππ=+=（5分）7、直线过点(1,0,0)- （2分）其方向向量 1{1,1,2}1i j k s= 1 0=-- -1 1（4分）故所求的对称式方程为 112x y +=-=-（5分） 8、解法一：由于动点平行于平面220x y z ++=，故可设所求的 动点轨迹方程为220x y z D +++= （2分）又220x y z ++=过点(0,0,0)，故有 （3分）13D =⇒=±⇒动点轨迹方程为2230x y z ++±= （5分）解法二：动点(,,)x y z 到平面220x y z ++=，即1= （3分）故动点轨迹方程为 2230x y z ++±= （5分）三、解：0lim ()lim ()1x x f x f x b +-→→=⇒= （2分） (0)(0)2f f a +-''=⇒=-，22,0()(1),0xe xf x x x -⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩ （4分）112211()(1)xf x dx edx x dx ---=+-⎰⎰⎰ （6分）21126e =- （8分） 四、解：0()2()()xxF x tf t dt x f t dt =-⎰⎰ （2分）()()()x F x xf x f t dt '=-⎰ （4分）()()F x xf x '''= （6分）0()0()x F x F x ''>⇒>⇒凹，0()0(x F x F x ''<⇒<⇒凸，故(0,0)是()y F x =的拐点. (8分)五、解：1201a b 2(ax +bx)dx b (1a)3323==+⇒=-⎰ （4分） 122220111V (ax +bx)dx (a ab b )523ππ==++⎰ （6分）25(2a 5a 20),V 0a 1354π'=+-=⇒=-令,5V ()04''>,所以5V()4最小.故 53,42a b =-=. （8分）六、证明：存在性：令xb axG(x)f (t)dt-f (t)dt =⎰⎰，则baG(a)f (t)dt=-F(b)=-⎰，baG(b)f (t)dt=F(b)=⎰，2G(a)G(b)F (b)0⋅=-<，由零点存在定理，G(x)在(a,b)内有存在零点; （3分）唯一性：如若G(x)在(a,b)内必有两个零点12,ξξ，由罗尔定理，存在12(,)ξξξ∈,使得()2()2()0G f F ξξξ''===,此与题设矛盾.因此G(x)在(a,b)内仅有一零点. （3分）2004级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1.1x ;2.154; 3.x 2e+; 4. 二; 5.减少;6.11111ln2∞∞±（-，-）（，+），（-，+），（,）; 7. 0 ; 8.>1 9.30; 10.3x 7y 5z-40-+=.二、计算下列各题（每题6分，共48分）1．原式=222lim x (arctan ()24x ππ→∞==）.2.xyydx xdy e dx e dy 0+-+=，所以x y e ydy dx e x-=+.3.221dy 11t 2t dx 2t 1t +==+； 222223d y 11t 1t dx 2t 2t 4t ++=-=-4.原式=x x x x x x1e e d(1-e )dx x x ln 1e c 1e 1e-+=-=--+--⎰⎰ 5.原式=ln sin xdctgx xctgx ctgxdx xctgx x c =-=-+=-++⎰⎰6令x=2sint .dx=2costdt,当x 0,t 0;x 2,t=2π===，22222200I=4sin t 4cos tdt=16sin t(1sin t)dt ππ⋅-⎰⎰2420131=16(sin t sin t)dt=16()2422πππ⨯--⋅=⎰⨯.7.取12ijks n n 1022i 3j k 013→→→→→→→→→=⨯==-++-,所求直线方程为 x y 2z 4231--==-. 8.令221u x t .du 2tdt.dt du 2t=-=-∴=-,当2t 0u x =⇒=,当t=x u=0⇒,220x x 011F(x)t f(u)()du f(u)du 2t 2∴=⋅-=⎰⎰,221F (x)f (x )2x xf (x )2'∴=⋅=.三、解：.(1)、xy e '= ,设00p(x ,y )为切点,切线方程为:00xx0y e =e (x x )--,切线过原点(0,0)得:00x 1,y e ==, ∴切线方程为: y e=e(x 1)--,即y ex =.(2)、面积1111xx 200e e A e dx exdx=e x 22-∞-∞⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. (3)、体积221111x2x 232x 00V (e )dx (ex)dx=e e x e 236πππππ-∞-∞⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. 四、解：由连续性+f (1)1b=f (1)ln(1a),b ln(1a)-1=+=+∴=+，又'x 1x 1f (x)f (1)x b 1b(1)lim lim 1x 1x 1f ---→→-+--===--,+22'x 1x 1x 12xf (x)f (1)ln(a+x )-(1+b)2a x (1)lim lim lim x 1x 11a 1f +++→→→-+====--+ 由''2(1)(1)1,a 1,b ln 21a 1f f -+=⇒=∴==-+.五、证明：令F(x)xf (x)=，设12x ,x 为f (x)的任意两个零点.即12f (x )0,f (x )0,==则F(x) 在[]12x ,x 上连续，在()12x ,x 内可导，且12F(x )F(x )0,==由Rolle 定理可知至少存在一点12(x ,x )ξ∈使得F ()0ξ'=，即F ()F ()0ξξξ''+=，因此，在()f x 的任意两个零点之间必须有方程f (x)xf (x)0'+=的实根.2005级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1．2; 2. 2e 3. 1; 4. )4y x π=-, 5．2x >; 6.32;7.0; 8.2π;9. 18-; 10.1a >. 二、计算下列各题（每题6分，共42分）1.解：原式()222222022limlimxxt xt xxx x e dt e e dxxe xe →→==⎰⎰222202lim2xx xx e e x e →=+=202lim212x x →=+.2.解：21sin 2111(2sin )(cos )()xy ex x x-'=⋅-⋅⋅- 21sin 212sin x ex x -= 3.解：两边对x 求导得 (1)x yy xy ey +''+=+ ,解得xe e y y yx yx --=++' 4.解：232272542xx x x y )('+=+=，令0y '= 得驻点3x =-,当3x <-时0<'y ，当30x -<<时0>'y ，故3x =-为极小点,极小值为(3)27y -=.5.解：⎰-+dx e e x x 1=⎰+dx e e x x12=⎰+21)(x x e de =arctan x e c + 6.解：令tdt dx t x 2,==原式：=⎰102dt te t=)(21010dt e tett ⎰-=1220t e e -=2.7.解：所求直线的方向向量s 垂直于两已知平面的法向量21n n, ,故取21n n s⨯=310201-=kj i=k j i132++-所求直线方程为：14322-=-=-z y x . 三．（8分）解：11=)(f ，1(10)lim x f ax b a b +→+=+=+, 故当 1=+b a 时，)(x f在 1=x处连续.又2'1111(0)lim lim 211x x x x f x ---→→-+===-'11(0)lim 1x ax b f x ++→+-==-1(1)1lim 1x ax a a x +→+--=- 故当2=a 时，)()()('''111f f f ⇒=+-存在,即当 12-==b a , 时，)(x f 在 1=x 处连续可导.四．（8分）解：221n n 12(1)1 lim lim x 121n nu n x u n ρ+→+∞→+∞+-===- 当12<x ,即11<<-x 时原级数收敛，当12>x ,即11>-<x x 或时原级数发散,故收敛半径1R =，当1±=x 原级数为收敛的交错级数，收敛域为],[11-.设2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑ ∑∞=---'-='1121121n n n n x x s )()()(=∑∞=---12211n n n x )( 246221111()1x x x x x=-+-==--+ 故 dx x s x s x⎰'=0)()(=dx x x⎰+0211=arctan x . 五．(8分)解：求交点得),(),,(11001．A=⎰-102dx x x )(=61321032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x .2．1525310105342πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x V x )(. 六．(4分)证明：不妨设210x x ≤<，分别在区间1112[0,],[,]x x x x +上使用拉格朗日中值定理存在),(110x ∈ξ,2112(,)x x x ξ∈+使：=11x x f )()(')()(11100ξf x f x f =-- )(')()()()(22221221221ξf x x f x x f x x x x f x x f =-+=-+-+因为12ξξ<,又"()0f x <,故'()f x 单调减，所以)(')('21ξξf f >,故)()()()()()(2211122111x f x x f x f x x f x x f x x f -+>⇒-+> 即 1212()()()f x f x f x x +>+.2006级高等数学（上）期末试题答案及评分细则一、填空题：（每小题3分，共30分）1. 2/3;2. e ;3. )('20x f ;4. y ex =;5. )2,2(2e; 6.2π; 7. 1; 8. 2; 9. 531124-=+=-z y x ; 10. 发散. 二、计算下列各题：（每小题6分，共48分） 1、解:原式=)'2......(42arctan lim )'4........(2arctan limπ==+∞→+∞→x x x x x x2、解: )'2)....(1(2112);.....'4.......(21112222222t tdx y d t t t t dx dy +=+==++= 3、解:在方程两端求微分得:)'4......(0)(33322=+-+xdy ydx a dy y dx x ，)'2......(22dx axy x ay dy --=.4、解:令0)3)(1(6)32(6'2=-+=--=x x x x y 得)'2......(3,1=-=x x ,)'2......(0)3('',0)1(''),1(12''><--=y y x y ,极大值,17)1(=-y 极小值)'2......(47)3(-=y . 5、解:原式22sin sin 2sin .......(3')x d x x x x xdx ==-⎰⎰22sin 2cos sin 2cos 2cos x x xd x x x x x xdx =+=+-⎰⎰2sin 2cos 2sin .......(3')x x x x x c =+-+6、解:原式=[])'3).......(13(2ln 12)'3.........(ln 1)ln 1(2211-=+=++⎰e e x xx d7.证明：令)1(0)(',)(>>-=-=x e e x f ex e x f x x ……(4’))(x f 单调增加, 当1>x 时, 0)1()(=>f x f 成立 …..(2’)即当1>x 时，不等式ex e x>成立.8、解：直线的参数方程为2342x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩........(4')代入平面方程解出 )'2......(1-=t ， 所求交点为（1，2，2） (2’). 三、解: 11lim lim1=+=∞→+∞→n na a n nn n ,收敛半径1R =,收敛区间为(-1,1) (3’)；1-=x 时,原级数为∑∞=-11n n,发散, 1=x 时,原级数为111(1)!n n n ∞-=-∑收敛,故收敛域为(]1,1-….. (2’)；由级数xx n n n +=-∑∞=--11)1(111两端积分得:)1ln(11)1(101x dx x n x n x nn +=+=-∑⎰∞=-为所求的和函数 (3’). 四、解:(1) )'4......(2ln 2111021+=+=⎰⎰dx x xdx A ； (2) 12220115()......(4')6x V x dx dx x πππ=+=⎰⎰.五、证明：令1)(2)(0--=⎰dt t f x x F x，则)(x F 在区间[0，1]上连续，0)(11)(2)1(,01)0(10>-=--=<-=⎰ξf dt t f F F ，由零点定理知存在),1,0(0∈x 使0)(0=x F ……. (2’) 又0)(2)('>-=x f x F ，)(x F 在区间[0，1]上是严格单调增加的，从而零点唯一.(2’).2007级高等数学（上）期末试题答案二、填空题：（每小题3分，共30分）1． 1- ； 2． 跳跃 ； 3．(sin )cos f x xdx '； 4． π； 5．(0,0) ；6．cos sin x x x C -+； 7． 3 ； 8．22z x y =+； 9． 收敛 ；10．(0,2) ；二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）1、[解]：原式=2321113(2)lim lim 111x x x x x x x x →→++--+==--++2、[解]：33321()()31x lnx x dy e x e x e dx x'=⋅-=- 3、[解]：两边对x 求导得0x x xyy y e y e yy xy e e y y dy dx e x e x--'''+-+= ⇒ = ∴=++4、[解]：2()666(1)f x x x x x '=-=-，()1266(21)f x x x ''=-=-由(0)0f '=得驻点0,1x = ，(0)60f ''=-<，(1)60f ''=>，所以 极大值：(0)0f =，极小值(1)1f =- 5、[解]：法一：2211sec tan 1cos 222cos2x x dx dx dx C x x ===++⎰⎰⎰ 法二：原积分2221cos 1cos 1cot 1cos sin sin sin x x dx dx dx x C x x x x-==-=-++-⎰⎰⎰ 6、[解]：原式=4141113ln 4ln 21222x x x dx x -=-⎰7、[解]：原式=323202221002()()()()103232x x x x x x dx x x dx --+++=-+++-⎰⎰629456== 8、[解]:所求直线的方向向量s 垂直于已知平面的法向量12,n n，所以：1224//{2,4,1}0i j s n n i j κ=⨯ = 1 0=- +8 + 2κ - 1 -4所求直线的方程为：124241x y z ---==- 三、（9分）[解]:（1）23y x '=，12k =，则切线方程为：812(2)y x -=-即：12160y x -+=； （2）42302404x S x dx ===⎰； （3）258233083642832055y V y dy y πππππ=⋅⋅-=-=⎰四、（9分）[解]: （1）0!n xn x e n ∞==∑，所以：01!n e n ∞==∑；（2）2012101111122!(1)!(2)!(1)!!n n n n k n n e n n n n k ∞∞∞∞∞=====-+==+==---∑∑∑∑∑五、（4分）[证明]: 记0011,()()()nn x nnx x t u F x f u du f u du n n -= ⇒ =-=⎰⎰，12212100001()()()11()lim lim lim lim 222n n n n n n n x x x x f x nxF x F x f x n x nx n x n x---→→→→'=== 01()(0)1lim (0)202n t f t f x t f n t n→-'==-2008级高等数学（上）期末试题答案一、填空题(每题3分)1.k =3；2.-2e ；3..320y x -+=；4.2π；ln(x c +；6.22a π；7.2'22y xy y e x -=+；8. 2x =-；9. 00x z ⎧⎪⎨⎪⎩==；10.22xdx ydydu x y+=+ 二、1解：1,dy dx t=- 4分 222311dy d y dt t dx t dx t dt'=== 7分 2.解：原式=lim(()())xx a a f t dt xf x →+⎰ 5分()af a = 7分三、1. 解： 1'322yx -=- 3分得驻点1x =及0x =为不可导点 5分(0)0y =(极大值) 1=-1y （）（极小值） 7分2. 解：令2sin x t =原式2sin 2=4tdt ⎰2分2=4sin 2(1cos4)2tdt t dt =-⎰⎰ 5分12sin42t t c =-+ 6分12arcsin sin4arcsin 222x xc =-+ 7分3.解：原式11220[arcsin ]x x =-⎰4分120]11212ππ=+= 7分4. 解：4223222(4()6())xz e x y x x y x∂=+++∂ 4分 422222422222(24()24())24()()x x e y x y xy x y ye x y x y x z x y=+++=+++∂∂∂ 7分 四、 1. 解：（1）直线L 的方向向量010102ij ks =2分(2,0,1)=- 4分过点(0,1,1)M -且与直线L 垂直的平面方程为：2(0)0(1)1(1)0210x y z x z -++-+=⇔-+= 5分（2）联立20,270210y x z x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=-+=得垂足(1,2,3)N - 7分所以，d MN =分2.解：设,(,,0)x y z a x y z ++=> 111(,,)f x y z x y z=++ (,,)(,,)()F x y z f x y z x y z a λ=+++- 4分222000xy z F x F y F z x y z aλλλ---⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=-==-==-=++= 7分 得3ax y z ===9分 五、解：由已知及0()lim x f x A x→=得(0)0,f =(0)0ϕ= 2分 010()(0)()()xf u du x xx f xt dt ϕ≠==⎰⎰ 4分'02'02()()()(0)lim 2(0)()xxx xf x f u duxf u du Axx x ϕϕ→-==≠=⎰⎰ 5分又'0lim ()2x Ax ϕ→=故()x ϕ连续 6分 六、证明：设()()x xf x ϕ= 1分 则11111(1)(1)()()(0,)2f f ϕξξϕξξ===∈ 3分故在1[,1]ξ上由罗尔定理得至少有一点ξ使'1()0(,1)(0,1)ϕξξξ=∈⊂即存在(0,1)ξ∈使得'()()0.f f ξξξ+= 4分。

x > 0 x<05) 高数B 、C 试题(A 套)一、填空题(每小题1分共10分)1) 设加 可导，且y=e"+E.f(L),X贝 U dy= _________________2) 设 加在(—oo,+oo)内连续，则 |^[/(%) + f(-x)]x 3dx =3) 设母)连续，且 F(x) = 当x 丰 0 时，F ，(x) = 4) 设/(x)在 x=l 处可导，则limx[f(l--)-/(1)]=XTOO Xsin 尤 ,1---------- x cos sin—, x x2 ,尤+Q, 则当 时,yw 在村0处连续.6) 设犬尤)是以2008为周期的可导的偶函数，人一1)=5,/(2007 + x)-/(l)且 lim ----------------- = -o,1。

%则Ax)在(2009^2009))处的切线方程为7) 设/(x)的导数是则=8) J 2(X + cos x)dx =…. ..Z1 2009、9) hmxsin ln(l d ---- ) = ____x —>00 JQ10) 设Ax)=[x], M 表示不超过X 的最大整数，则X = 0是fix)的 间断点。

二、选择题(每小题2分共10分)1)设/)=3—1)lx —11,则广⑴= (A)3 (B)2 (C)l (D)0 2)当x->0时，与ln(l+xsinr)等价的无穷小量是 (A) x 4 (B) x 3 (C) x (D)x3) 下列等式正确的是(A) d ^f(x)dx=f(x) (B) J/'(x)dx =f (x)(C) ^df(x) =f(x) +C (D) £ Jf(x)dx=f(x)+C* F(x)=x, x>0 J 】1) 则F(x)在x=0处(A)极限不存在 (B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导且矿(0) = 05) __________________________________________ 设limf(W — f ，a)=-2009，则在x=a 处 ______________________________________________(x-a)~(A)位)的导数存在,且f'(a)?0 (B)» 取得极大值(C)»取得极小值 (D)犬X)的导数不存在三、(每小题5分共20分) ,,Vl + sin 2.r -1lim----- --- —— XT O ln(l + x 2)2) lim(l-sinx)sin2XT O3) lim( --------- sinxsin —)io 、 e x -l x4) 设在 x=0 处连续，且 lim 2008 - 2009 ,求 », f'(0)四、 (6+5+5+6)共 22 分1) 设 f(x)=ln\nx + x tanx,求 f'(x)2) 设/(%)=(% +sinx)C0SX ,求 /r (x)3) 设在x=0的某邻域内有\f{x)\<e x -I,证明汽工)在x=0出连续4) f(x) = < sin x sin sin I ，x N 0,讨论汽乃在x=0处的连续性和可导性0, 尤=0五、 (每小题4分共16分)/ x=21 + z2 d 2y= £ sinudu ， dx-2) 设 y=y(x)由方程 e xy -x+y 3=0 确定，求 y'(0)3) 设为)连续，且./(X)的一个原函数为/•+sinx,求Jy(x)dxp+oo 1 4) 证明反常积分［ ——dx (a>0)当p>l 时收敛，当p Ml 时发散。

本试卷共 4 页, 第 1 页一、选择题（本题共7小题，每小题4 分，共28分）1、函数(,),x yf x y xy +=则(,)f x y x y +-= （ ） ①22x x y- ②222x y x- ③222x x y- ④22x y x-2、二元函数z =的定义域是 （ ）①221x y -≥ ②220x y -≥ ③221x y -> ④220x y -> 3、函数22ln(1)z x y =++在点(1,2)处的全微分12x y dz===（ ） ① 1233dx dy + ②1133dx dy + ③ 3dx dy + ④ dx dy - 4、设积分区域D 是圆环：2214x y ≤+≤，则二重积分D=⎰⎰（ ） ① 2421d r dr πθ⎰⎰ ②241d rdr πθ⎰⎰③2221d r dr πθ⎰⎰ ④2201d rdr πθ⎰⎰5、微分方程tanyxy y x x'-=的通解是 （ ）① arcsin y x x = ② arccos y x Cx =③ arcsin y x Cx = ④ arctan y x Cx =6、设向量(1,3,2)a =- (2,6,)b k = 若a 与b垂直，则常数k 为 （ ） ① 1 ② 5 ③ 10 ④ 07、下列级数是条件收敛的为 （ ）① 1(1)1n n n n ∞=-+∑②11(1)n n ∞=-∑③ 3211(1)nn n∞=-∑ ④1(1)nn ∞=-∑二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）本试卷共 4 页, 第 2 页1、00limx y xy→→= .2、过两点1(3,2,1)M -和2(1,0,2)M -的直线方程为 .3、设3()z x xy =+，则zx∂=∂ .4、微分方程230y y y '''--=的通解是 .5、幂级数012nnn x ∞=∑的收敛区域是 . 6、过点(0,5,0)且与平面xoz 平行的平面方程为 . 三、计算题（本题共5小题，每小题8 分，共42分） 1、求方程522(1)1dy y x dx x -=++的通解。

第1页 共4页 第2页 共4页班级： 姓名：密 封 线08—–09学年上学期期末考试卷课程： 高 等 数 学(考试时间：100分钟 满分：100分)一、单项选择题（每小题3分，共45分）1、极限201limcos 1x x e x →-=- （ ） A 0 B ∞ C 2- D 2 2、0lim (),lim ()x x x x f x f x -+→→都存在是0lim ()x x f x →存在的 （ ）A 充分但非必要条件B 充分且必要条件C 必要但非充分条件D 既非充分也非必要条件3、设22log y x =，则y '= （ ）A21xB 212xC 2ln 2xD 22ln 2x 4、设函数()f x 在区间(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''><，则曲线()y f x =在(,)a b 内 （ ）A 单调增加且凹B 单调增加且凸C 单调减少且凹D 单调减少且凸 5、设()f x 的一个原函数为cos2x ，则()f x dx '=⎰ （ ）A cos2xB cos2x c +C 2sin 2x c -+D 2sin 2x -6、下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是 （ ）A 2xy y x '+= B sin y xy x '+= C yy x '= D 20y xy '+=7、反常积分211dx x +∞=⎰ （ ）A ∞B 1C 13D -18、设函数sin ,0()1,0xx f x x x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩，则函数间断点0x =为 （ ）A 跳跃间断点B 可去间断点C 无穷间断点D 振荡间断点9、下列命题中正确的是 （ ）A 若()f x 在[,]a b 中有界，则()f x 在[,]a b 上连续B 若()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值，则()f x 在[,]a b 上连续C 若()f x 在[,]a b 无界，则()f x 在[,]a b 上不连续D 若()f x 在(,)a b 内连续，则()f x 在(,)a b 内有最大值与最小值10、设A 是一个三阶方阵，λ是一个实数，则下列各式成立的是 （ ） AA A λλ=B A A λλ=C 3A A λλ=D 3A A λλ=11、设A 为三阶方阵，且AA E '=,则 （ ） A 1A = B 1A =- C 11A =-或 D 0A =12、设111213212223(,1,2,3)313233,ij i j a a a A a a a A a a a =⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是A 的元素ij a 的代数余子式，则A 的伴随矩阵（ ）A 111213212223313233A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 112131122232132333A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C1112132122233132331A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D 1121311222321323331A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦13、1cos ()txd e dt dx -=⎰ （ ） A cos xe- B cos xe-- C cos sin xex - D cos sin x e x --14、设()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 的平均数为 （ ）第3页 共4页 第4页 共4页班级： 姓名：密 封 线A()()2f b f a + B()baf x dx ⎰C1()b a f x dx b a -⎰ D ()()f b f a b a+- 15、设级数1():nn u∞=I ∑和级数1():121000nn u∞=∏++⋅⋅⋅++∑，则下列正确的是 （ ）A 若()I 收敛，则()∏发散B 若()I 发散，则()∏收敛C 若()∏收敛，则()I 发散D 若()∏发散，则()I 发散 二、填空题（每小题2分，共10分） 1、函数lg(1)y x =-+的定义域为2、曲线1xy e-=的渐近线为3、设函数sin y x =，则dy =4、若1(2)2x k dx +=⎰，则k =5、矩阵132013001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为三、计算题（共45分）1、计算积分（8分）（1）3sin xdx ⎰（2）1⎰2、求直线y x =与抛物线2y x =所围成的平面图形的面积（8分）3、设cos ,sin ttx e t y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩求22d y dx （9分）4、求微分方程xy y e -'-=的通解（10分）5、用克莱姆法则解线性方程组（10分）12312123218x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩。

高等数学A （1）复习题一、函数与极限1．判断下列每个命题是否正确（1）若数列{}n x 满足a x n n =∞→lim ，则数列{}n x 在a 的任一ε邻域之外（其中0>ε），数列中的点至多只有有限多个。

（2）若数列{}n x 满足:+∈>N n x n ,0，且a x n n =∞→lim ，则0>a 。

（3）设a x n n =∞→lim ，且0>a ，则存在0>N ，当N n >时，有4ax n >。

（4）若函数)(x f 的极限)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在0x 的任一邻域内一定有界。

（5）若函数)(x f 在0x 处没有定义，则极限)(lim 0x f x x →一定不存在。

解 正确的是（1），（3） 2．设极限 xx ax a x )2(lim -+∞→= 5，求a 。

解 5=a xa x aa a x x e ax a 333)31(lim =-+⋅-⋅-∞→，5ln 31=a 。

3．求极限（1）231sin 2cos 23lim 3223=+-++∞→x x x x x x ； （2）1111lim )11(lim 222222-+++-+=--++∞→+∞→x x x x xx x x x x111112lim22=-++=+∞→x x x ；（3）1)sin 11sin(lim 0-=-→x xx x x ； （4）212sin lim 2cos lim 1sin lim 2111sin lim00202=+=-=--=----→→→→x e x x e xx e x x e x x x x x x x x ； （5）xx x e x x arctan 1)1ln(lim 0---+→()()()21!3213121!31!211lim333323320-=⎪⎭⎫⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+++++=→x o x x x x o x x x x o x x x x ；（6）)ln(cos sin 1sin 1lim )(cos lim x xx xx e x ⋅→→++=0cos sin lim )ln(cos 1lim )ln(cos sin 1lim 000=-=⋅=⋅+++→→→xxx x x x x x x 1)(cos lim sin 10=+→xx x ；（7）)cos 1(2)211(lim )cos 1()211(lim220002x x xx x dtt t dtt t x x x x ---+=---+++→→⎰⎰ 621)211(2lim 2220=--+=+→x x x x ； （8）()3ln 5ln 21235lim )1ln()35(lim00-=-=+-→→⎰x x x dtx x x x t t x 。

宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分． 考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数)2)(1(i ai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于 （A ）1- （B（C ）21（D ）1 2．已知三个集合U ，A ，B 及元素间的关系如图所示，则()U C A B =（A ）{5，6} （B ）{3，5，6} （C ）{3}（D ）{0，4，5，6，7，8}3．如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （A ） 84，4.84 （B ） 84，1.6 （C ） 85，1.6（D ） 85，44．已知点(,)x y 满足x +y ≤6，y >0，x -2y ≥0，则4y x -的最大值为（A ）12-（B ）23-（C ）0 （D ）不存在5．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“α⊥l ”是“n l m l ⊥⊥且”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知定义在R 上的函数 f ( x ) = (x 2 – 3x + 2) g ( x ) + 3x – 4 , 其中函数)(x g y =的图象 是一条连续曲线，则方程f ( x ) = 0在下面哪个范围内必有实数根 （A ）( 0, 1 )（B ） (1, 2 )（C ） ( 2 , 3 )（D ）(3, 4 )77．已知21,F F 是双曲线的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于实轴的弦，若2PQF ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （A ）2（B ）12+（C ）12-（D ）412-8．函数)(x f 的定义域为（a,b ），其导函数),()(b a x f y 在'=内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间（a,b ）内极小值点的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）49．由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,则19a = （Ａ）2014（Ｂ）2034（Ｃ）1432（Ｄ）143010．△ABC 满足23AB AC ⋅=，︒=∠30BAC ，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义),,()(z y x M f =，其中z y x ,,分别表示△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积，若)21,,()(y x M f =，则14x y +的最小值为（A ）8（B ）9（C ）16（D ）18第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11．满足6,2,45==︒=c a A 的ABC ∆的个数为 ▲ .12．已知1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*)(N n ∈,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象如图所示，则实数a 的值为_____▲_______.13．若命题“∃x ∈R , 使x 2+ax +1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围为 ▲ .14．已知在平面直角坐标系中，)3,1(),0,2(B A -，OB OA OM βα+=（其中O 为原点，实数βα,满足1=+βα），若N （1，0），则||MN 的最小值是____▲____.15．如图，下列程序框图可以用来估计π的值（假设函数CONRND （-1，1）是产生随机数的函数，它能随机产生（-1，1）内的任何一个实数）．如果输入1000，输出的结果是786，则运用此方法估计π的近似值为 ▲ （保留四位有效数字）. 16．等差数列{}n a 中首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ．则下列命题中正确的有 ▲ （填上所有正确命题的序号）. ①数列{2}na 为等比数列；②若310=a ，77-=S ，则1313=S ； ③d n n na S n n 2)1(--=. 17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n （n ≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行(n ≥2)中第2个数是____▲____（用n 表示）.1223434774511141156162525166三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题14分）设函数23cos sin cos 3)(2-+=x x x x f ． （1）求函数)(x f 的最小正周期T ，并求出函数)(x f 的单调递增区间； （2）求在[0,3)π内使()f x 取到最大值的所有x 的和.19．（本题14分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（本题15分）已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． （1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A -ED -B 的正弦值； （3）求此几何体的体积V 的大小.21．（本题15分）如图，椭圆长轴端点为B A ,，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点,且1=⋅FB AF ，1=OF ．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由.22．（本题14分）已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为),(11y x M 、),(22y x N ． （1）求证：21,x x 为关于x 的方程022=-+t tx x 的两根； （2）设)(t g MN =，求函数)(t g 的表达式；（3）在（2）的条件下，若在区间]16, 2[内总存在1+m 个实数121,,,m a a a +（可以相同），使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．2008学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. B2. A3. C4. A5. A6. B7. B8. A9. A 10.D 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 11. 2 12.1313. 22a a <->或3.144 16. ①②③ 17.222n n -+ 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 18、（1）()sin(2)3f x x π=+ ……………………………………3分故Tπ=，……………………………………………………5分单调递增区间为：5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ …………7分 （2）()1f x = 即sin(2)13x π+=，则2232x k πππ+=+于是()12x k k Z ππ=+∈ …………………………………………10分∵π30<≤x ∴0,1,2k = ………………………………12分∴在[0,3)π内使()f x 取到最大值的所有x 的和为134π. …………14分 19、（Ⅰ）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． …………4分 因此，随机变量ξ的最大值为3．有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． …………………………………………7分（Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．…………………………………8分 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． …………11分则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望914923922941910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．…………14分 20．（本题15分）证明：（1）取EC 的中点是F ，连结BF ，则BF //DE ，∴∠FBA 或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角．在△BAF 中，AB =BF =AF =cos 5ABF ∠=．∴异面直线DE 与AB ………5分 （2）AC ⊥平面BCE ，过C 作CG ⊥DE 交DE 于G ，连AG ． 可得DE ⊥平面ACG ，从而AG ⊥DE ∴∠AGC 为二面角A -ED -B 的平面角．在△ACG 中，∠ACG =90°，AC =4，ＣG∴5tan 2AGC ∠=．∴5sin 3AGC ∠=． ∴二面角A -ED -B 的的正弦值为53．…………………………10分 （3）1163BCED V S AC =⋅⋅= ∴几何体的体积V 为16．………………………………………15分方法二：（坐标法）（1）以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系．则A （4，0，0），B （0，4，0），D （0，4，2），E （0，0，4）(0,4,2),(4,4,0)DE AB =-=-，∴10cos ,5DE AB <>=-∴异面直线DE 与AB 所成的角的余弦值为105．………5分 （2）平面BDE 的一个法向量为(4,0,0)CA =，设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =，,,n AD n DE ⊥⊥(4,4,2),(0,4,2)AD DE =-=-∴0,0n AD n DE ==从而4420,420x y z y z -++=-+=, 令1y =，则(2,1,2)n =, 2cos ,3CA n <>=∴二面角A -ED -B 的的正弦值为53．…………………………10分 （3）1163BCED V S AC =⋅⋅=，∴几何体的体积V 为16．……………15分 21解：（1）如图建系，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则1c =又∵1=⋅FB AF 即 22()()1a c a c a c +⋅-==-∴22a=故椭圆方程为2212x y += …………6分（2）假设存在直线l 交椭圆于Q P ,两点，且F 恰为PQM ∆的垂心，则 设1122(,),(,)P x y Q x y ，∵(0,1),(1,0)M F ，故1=PQ k ， ……8分于是设直线l 为 y x m =+，由2222y x mx y =+⎧⎨+=⎩得 2234220x mx m ++-= …………………………………10分∵12210(1)(1)MP FQ x x y y ⋅==-+- 又(1,2)i i y x m i =+=得1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-= 即212122()(1)0x x x x m m m ++-+-= 由韦达定理得 222242(1)033m m m m m -⋅--+-=解得43m =-或1m =（舍） 经检验43m =-符合条件………15分22. （1）由题意可知：112212,t ty x y x x x =+=+ ∵ 21)(xtx f -='， ……2分 ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x tx t x y --=+-， 又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x tx t x --=+-， 即02121=-+t tx x ， ①同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．②由①、②，可得21,x x 是方程022=-+t tx x （ * ）的两根……5分（2）由（ * ）知. ⎩⎨⎧-=⋅-=+. ,22121t x x t x x22211221)()(x tx x t x x x MN --++-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=t t 20202+=，∴ )0( 2020)(2>+=t t t t g ．……………………9分（3）易知)(t g 在区间]16,2[上为增函数，∴)16()()2(g a g g i ≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)16()()()()()2(121g a g a g a g a g g m m m ≤<+++≤⋅+ ．…11分 即)16()2(g g m <⋅，即16206120 22022022⋅+⋅<⋅+⋅m ，所以3136<m ，由于m 为正整数，所以6≤m . 又当6=m 时，存在2621====a a a ，167=a 满足条件，所以m 的最大值为6. ……………14分。

08级期末复习题同学们好，以下是针对08级本学期课程的期末复习题，希望可以帮助大家更好地复习和准备即将到来的期末考试。

请认真对待，确保理解每个题目的要点。

一、选择题1. 下列哪个选项不是本学期课程的重点内容？A. 微积分基础B. 线性代数C. 概率论与数理统计D. 计算机编程2. 在微积分中，下列哪个公式是错误的？A. \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (n≠-1)B. \( \int e^x dx = e^x + C \)C. \( \int \sin x dx = \cos x + C \)D. \( \int \log x dx = x \log x - x + C \)3. 线性代数中，矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行数或列数的最大值D. 矩阵的对角线元素的个数4. 概率论中，下列哪个事件是必然事件？A. 抛硬币出现正面B. 抛硬币出现反面C. 抛硬币出现立着D. 抛硬币出现正面或反面5. 数理统计中，下列哪个概念是用来衡量数据的集中趋势？A. 方差B. 标准差C. 均值D. 众数二、简答题1. 解释什么是导数，并给出一个具体函数的导数计算过程。

2. 线性代数中，矩阵的逆矩阵有什么意义？请给出一个2x2矩阵求逆的例子。

3. 描述概率论中条件概率的概念，并给出一个条件概率的计算例子。

4. 数理统计中，什么是正态分布？请描述其特点。

三、计算题1. 计算下列定积分的值：\( \int_{0}^{1} (2x + 1) dx \)。

2. 给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的行列式。

3. 抛一枚均匀硬币两次，计算出现两次正面的概率。

4. 给定一组数据 \( x = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)，计算其均值和标准差。