数的整除与位值原理

第九讲整除和位值原理整除问题整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：1.整除的概念b ，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且没有余数，那么a，b，c为整数，且0称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a的约数．2.整除的基本性质①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除；⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．4.位值原理同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。

也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。

这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。

例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。

高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一第十五讲数论综合提高本讲知识点汇总：一. 整除1. 整除的定义如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a .如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b 不整除a.2. 整除判定(1)尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被& 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.(2)截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征.(3)截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征.(4)分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性.3. 常用整除性质(1)已知 a | b、a |c，则a | b c 以及a| b c . ( b>c)(2)已知ab |ac，则b |c .(3)已知 a | bc 且a,b 1，则 a | c ?(4)已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c .4. 整除的一些基本方法：(1)分解法：①分解得到的数有整除特性；②两两互质.(2)数字谜法：①被除数的末位已知；②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.(3)试除法：①除数比较大；②被除数的首位已知(4) 同除法：①被除数与除数同时除以相同的数；②简化后的除数有整除特性?二、质数与合数1. 质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数.2. 分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口：100 225 , 28 0 235 7 ?典型题型一.整除1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；(1)9的考点：乱切法；(2)11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和.2. 整除性质的使用；3. 整除与位值原理；4. 整除方法在数字谜中的应用.二.质数合数1. 质数合数填数字：注意2和5的特殊性;2. 判断大数是否为质数：逐一试除法；3. 末尾0的个数问题：层除法.例1. ( 1)五位数3口6口5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少?(2)如果六位数387□匚|□能被624整除，则三个方格中的数是多少？(3)末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？「分析」（1）75可以分解为3和25; （2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答.练习1、（1）六位数10 37 没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374□□口能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例 2.将自然数1, 2, 3,…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键.练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3.已知3a7 bOc是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字.请问：三位数abc 是多少？「分析」分解495=5 X 9X 11,可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可, 分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知aOOb 3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字.请问:位数abc是多少?例4. 一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位,然后根据9的整除特性确定其余数字.练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除,去掉末两位之后形成的两位数可以被29 整除,这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例5. 72 乘以一个三位数后,正好得到一个立方数? 这个三位数最大是多少？「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数,分解72可以确定质因数的种类, 满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数.例6.在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前n 1个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？「分析」末尾0 的个数决定于2和5的对数,有一对2、5就可以确定一个0,而题目数列中2的个数一定多于5的个数,所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可.数学王国里的一颗明珠一一梅森素数早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2P 1是素数，则（2p- 1）2（P1）是完美数（Perfect number）.1640年6月，费马在给马林梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质.我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”.这封信讨论了形如2P1的数（其中p为素数）.梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2 , 3, 5, 7, 13 ,17, 19, 31, 67, 127, 257时，2p1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2p1是合数.前面的7个数（即2, 3, 5, 7, 13, 17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31, 67, 127和257）属于被猜测的部分. 不过，人们对其断言仍深信不疑.虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2p1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位.梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑.由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2p1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp 2p1 .如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p1 型素数）.2300多年来，人类仅发现47个梅森素数.由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为数海明珠”.自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程.作业1.五位数3口0口5没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少?2. (1)已知六位数2口01口2是99的倍数，那么这个六位数是多少?(2)已知六位数19 49 是72的倍数，那么这个六位数是多少?3. 201 202 203 L 500的末尾有多少个连续的0?4. 两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少?5. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，…，颗颗炼成不老长生丹.然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干.已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？第十五讲数论综合提高一例7.答案：(1) 30675、38625、39675; (2) 504; (3) 26999详解：(1)据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7,填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625,填7时，满足条件是30675或39675,所以答案是30675、38625、39675.(2)将六位数补成387999 , 387999除以624余495，所以387999减去495的差387504 一定是624的倍数，所以答案是504.(3)改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931 等于26999.例&答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可.9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+ N是9的倍数，即N N 1是9的倍数，即N或N 1是9的倍数，所以2满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36,写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36.例9.答案：865详解：495 5 9 11，即只要满足是5、9、11的倍数即可?对肓，不论a取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0C 一定是11和5的倍数，即是605.于是307是9的倍数，所以a是8,所以a、b、c组成的三位数是865.例10 . 答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806 ;最大且数字不同，则前三位只能是943,再根据9的整除特性，所以最大是94365. 例11 . 答案：648例12 . 答案：83详解：这是一个首项为1,公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数,即3n 1 125k，可知k取2时符合要求，此时n为83.练习：练习1、答案：(1) 105372; (2) 220、544 或868; (3) 20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即a00b 3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表不同数字可知^0b与3c5分别要被(4、9)与11整除，所以可求得abc是548或908.练习4、答案：最小值是2907;最大是8793作业6. 答案：38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025.7. 答案：(1) 260172 ； (2) 197496简答：(1)设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a 1 b2能被99整除，又a、b为个位数，所以易知a 6, b 7，所以该六位数为260172 ； (2)能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496.8. 答案：75简答：500!所含0的个数减去200!所含0的个数即可，答案为75.9. 答案：34简答：易知3421190 352,所以可估算出所求的数为34.10. 答案：900简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5,于是当n 235 30时，n2900为所求答案.。

小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。

其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。

首先，奇偶性是整数的基本属性之一，一个整数要么是奇数，要么是偶数。

对于奇偶数的运算性质，有以下规律：（1）奇数加减奇数得偶数，偶数加减偶数得偶数，奇数加减偶数得奇数，偶数加减奇数得奇数；（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数，任意多个偶数的和或差总是偶数；（3）奇数乘奇数得奇数，偶数乘偶数得偶数，奇数乘偶数得偶数；（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数；（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.总之，几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。

其次，整除是数论中的重要概念。

要掌握能被30以下质数整除的数的特征。

例如，被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除，被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除，被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。

而对于被7、11、13整除的数的特征，可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除，只需把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。

此法则可以连续使用。

最后，还有进制和位值等方面的内容。

其中，进制是指计数的基数，如十进制、二进制、八进制和十六进制等。

而位值则是指数位所代表的数值大小，如十进制数中的个位、十位、百位等。

掌握进制和位值的概念，可以更好地理解数的表示和计算方法。

总之，数论是一门重要的数学学科，涉及到整数及其性质的多个方面。

掌握数论的基本概念和规律，可以更好地理解和应用数学知识。

N=xxxxxxxx，判断N能否被17整除。

由于429=25×17+4，所以N不能被17整除。

N=xxxxxxx，判断N能否被17整除。

第九讲 整除和位值原理例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。

例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。

求原来的两位数。

例3： a ，b ，c 是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c ）的多少倍？例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。

例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。

A1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 ．2.有三个正整数a 、b 、c 其中a 与b 互质且b 与c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b 整除，②a 2+c 2不能被b 整除：③(a+b)2不能被c 整除；④a 2+b 2不能被c 整除，其中，不正确的判断有( )．A ．4个B ．3个C 2个D ．1个3.已知7位数61287xy 是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．4.(1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是 ．(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．A ．15B ．1C ．164D ．174(“五羊杯”竞赛题)(3)设N=个1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)5.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )A ．1990个B ．1991个C 1992个D ．1993个B6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．8.写出都是合数的13个连续自然数．9.已知定由“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式20+5b=c ，则a+b+c 是整数n 的倍数”．试问：这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．10.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．11.设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．C12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cba cab bca bac abc、、、、的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc ．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数abc 来．14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A 、B 、C 三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．(1)这三个旅游团各有多少人?(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A 和B 乘积的最大值．16.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：N N '-能被9整数．17.证明：111111+112112十113113能被10整除．1.在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？28、96、120、225、540、768、423、224、2922.（1）五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B 能被12整除，求这两个五位数。

数的整除特征一、整除特征------尾数分析法1、尾数分析法判断整除性（1）一个数的末一位能被2或者说整除，这个数就能被2或5整除。

（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。

（3）一个数的末三位数能被8或者125整除，这个数就能被8或是25整除。

2、被25或125整除的数的特点（1）被25整除的数必须是以25、75、00结尾的数（2）被125整除的数必须是以125、250、375、500、625、750、875、000结尾的数。

二、整除特征-----数位和分析法1、数位和分析法判断整除性（1）一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数能被3整除。

（2）一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除.2、数位和分析法原理数位和分析法同样是根据位值原理推导出来的，举例：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1=1×（999+1）+2×（99+1）+3（9+1）+4×1=1×999+2×99+3×9+（1+2+3+4）其中999、99、9都能被3或9整除，所以只需要看1234的各位数字和1+2+3+4能否被3或9整除即可，用这种方法同样能求出1234除以3或9的余数。

3、弃9法“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘计算的结果是否错误，把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数。

三、整除特征---数位差分析法1、 11的整除特征：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

2、 7、11、13的整除特征如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11、或者3整除，那么这个数能被7、11、或者3整除。

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数论模块数论题的特点就就是简洁明了,信息量瞧起来往往比较少,所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手,因此,做数论题时很重要的一点就就是寻找突破口,走对方向。

另外,数论模块的另一个特点就就是:知识点非常多。

但相比组合而言,数论至少显得更“有法可依”,考场上一定要敢去思考数论题,“战略上藐视,战术上重视”,战略上要相信,考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴,而考前我们能做的,就就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。

我就不详细讲每一个知识点(确实非常之多,关键在于平常积累),在这里,我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。

还就是那个我在课堂上讲过很多遍的例子:任意找一个数,我们都可以从三个角度去分析它, 例如154:(1)我们可以说它就是一百五十四,在这里,1就是百位上的数字,它代表1个100,5代表5个10,4代表4个1,这可以说就是位值原理的角度;(2)154＝2×7×11,分解质因数;(3)154除以5余4,除以9余1,我们可以研究它除以任意一个数所得的商与余数;以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容,同时也就是我们分析数论问题的三种方式,三个突破口。

下面我来详细讲讲每一个角度。

一、位值原理与整除。

其实所有数字的整除特性都就是利用位值原理推导出来的,从这个也反映出了学习数论的一个策略:找到知识点的源头,知道它们就是怎么来的,这样就不用背那么多知识点了。

言归正传,什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显,就不用多说了,举个最简单的例子:55□39能被11整除,请问□就是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。

考得比较多的,比如这样的题目:“一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍就是数A,这个三位数A就是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的,可以考虑用位值原理。

利用位值原理对题目进行“翻译”——也就就是把文字翻译成数学语言(数学式子),再结合其她的知识点去“加工”,一步步地解答它。

数论是什么？ 可以理解为是关于整数的一些结论、论断、定论、推论，比如： 一个数的末尾数如果能被 2 或者 5 整除，那么这个数就能被 2 或者 5 整除， 偶数加偶数一定等于偶数，奇数乘以奇数一定等于奇数， 如果两个数除以同一个数得到的余数相同，那么这两个数的差一定能被这个数整除， ……， 等等。

数论在数学中的地位是很独特的，享有“数学王子”之称的德国著名数学家高斯就曾说过 “如果说数学是科学的皇后，那么数论就是数学中的皇冠”，历史上的一些悬而未决的数论疑 难问题，常被人们称为“皇冠上的明珠”，而“摘取”这些明珠的人往往会获得极其崇高的荣 誉并名载史册。

数论是数学的一个重要分支，位值原理（有的书称为位值原则）属于数论的一部分。

位值原理是什么咱们暂且不用理会，咱们从一道例题开始。

例题 ：有三个不同的数（都不为 0）组成的所有的三位数的和是 1332，这样的三位数中最大的数是多少？（2001 年·小学数学奥林匹克预赛试题）临□题□分□析□试题中只有一个数字，是什么样的三位数是未知的，那么要计算出每位数字吗？信息似乎太 少了，可能不是的。

关键在于试题给出的信息，“三个不同数组成的所有三位数字的和是 1332”、 “三位数中最大数”，主要是这两个条件，你能从这两条信息中提炼出什么？可能因此要得出 三位数字之间的关系，进而要做一些推导才能得到答案。

从题目得信息中理出解题头绪，需要靠你平时的训练积累，一般的数论试题都需要做一些推 导和推理才能得出所要的答案。

解□题□过□程□_____ _____假设这三个不为零的不同的数分别是 a、b、c，根据题目描述所有的三位数的和 a b c + a c b_____ _____ _____ _____+ b a c + b c a + c a b + c b a = 1332。

即 （100×a + 10×b + c） + （100×a + 10×c + b） + （100×b + 10×a + c） + （100×b + 10×c + a） + （100×c + 10×a + b） + （100×c + 10×b + a）=1332进一步 222×a + 222×b + 222×c=1332222×（a + b + c）=1332所以a + b + c=6因为 a、b、c 各不相同，所以 a、b、c 只能是 1、2、3 这三个数，那么组成的最大三位数就是 321。

小学奥数位值原理
小学奥数-位值原理
位值原理是指一个数的每一位在数中所代表的意义。

在十进制数中，一个数的每一位可以表示从个位到千位的数值；在二进制数中，一个数的每一位可以表示从个位到二的幂次方位的数值。

例如，在十进制数295中，第三位(百位)为9，可以表示900；第二位(十位)为9，可以表示90；第一位(个位)为2，可以表
示2。

在二进制数1011中，第四位(八位)为1，可以表示8；第三位(四位)为0，可以表示0；第二位(二位)为1，可以表示2；第
一位(个位)为1，可以表示1。

位值原理在奥数中经常用于解决数字运算和问题推理等题目。

理解位值原理有助于孩子们更好地理解数的组成和运算规律，提高算术和逻辑思维能力。

除了十进制和二进制，还有其他进制的数，如八进制、十六进制等。

每一种进制的位值原理都遵循相同的规律，只是对应的基数不同而已。

通过训练和实际操作，孩子们可以进一步掌握不同进制下的位值原理，丰富数学知识和解题技巧。

13整除判定法则（最新版）目录1.13 整除判定法则的背景和意义2.13 整除判定法则的定义和原理3.13 整除判定法则的具体步骤和操作方法4.13 整除判定法则的应用案例和实际效果5.13 整除判定法则的优缺点分析正文【13 整除判定法则的背景和意义】13 整除判定法则，是一种用于判断一个整数是否能被 13 整除的数学方法。

在数学研究和实际应用中，对于能否被 13 整除的判定有着重要意义。

特别是在数论、代数和计算机科学等领域，13 整除判定法则都有着广泛的应用。

【13 整除判定法则的定义和原理】13 整除判定法则的定义是：如果一个整数的各位数字之和能被 13 整除，那么这个整数就能被 13 整除。

这个法则的原理是基于数学的整除性质和数字的位值原理。

【13 整除判定法则的具体步骤和操作方法】13 整除判定法则的具体步骤如下：1.将给定的整数写成各位数字的和的形式，例如 12345 可以写成1+2+3+4+5。

2.计算各位数字的和。

3.判断计算出的和是否能被 13 整除。

如果计算出的和能被 13 整除，那么原整数就能被 13 整除；如果不能被 13 整除，那么原整数就不能被 13 整除。

【13 整除判定法则的应用案例和实际效果】13 整除判定法则在实际应用中有很多案例，例如在计算机科学中，用于判断一个数是否能被 13 整除；在数论研究中，用于判断一个数是否是 13 的倍数等。

实际效果是提高了计算效率和准确性。

【13 整除判定法则的优缺点分析】13 整除判定法则的优点是计算简便、效率高，特别是在大数据和大规模计算中，其优势更加明显。

第十五讲数论综合提高本讲知识点汇总：一. 整除1. 整除的定义如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a .如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不整除a.2. 整除判定(1)尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被& 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.(2)截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征.(3)截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征.(4)分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性.3. 常用整除性质(1)已知 a | b、a |c，则a | b c 以及a| b c . ( b>c)(2)已知ab |ac，则b |c .(3)已知 a | bc 且a,b 1，则 a | c •(4)已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c .4. 整除的一些基本方法：(1)分解法：①分解得到的数有整除特性；②两两互质.(2)数字谜法：①被除数的末位已知；②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.(3)试除法：①除数比较大；②被除数的首位已知(4) 同除法：①被除数与除数同时除以相同的数；②简化后的除数有整除特性•二、质数与合数1. 质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数.2. 分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口：100 225 , 28 0 235 7 •典型题型一.整除1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；(1)9的考点：乱切法；(2)11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和.2. 整除性质的使用；3. 整除与位值原理；4. 整除方法在数字谜中的应用.二.质数合数1. 质数合数填数字：注意2和5的特殊性;2. 判断大数是否为质数：逐一试除法；3. 末尾0的个数问题：层除法.例1. ( 1)五位数3口6口5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少?(2)如果六位数387□匚|□能被624整除，则三个方格中的数是多少？(3)末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？「分析」（1）75可以分解为3和25; （2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答.练习1、（1）六位数10 37 没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374□□口能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例2.将自然数1, 2, 3,…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键.练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3.已知3a7 bOc是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字.请问：三位数abc 是多少？「分析」分解495=5 X 9X 11,可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可, 分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知aOOb 3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字.请问:位数abc是多少?例4. 一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位,然后根据9的整除特性确定其余数字.练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除,去掉末两位之后形成的两位数可以被29 整除,这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例5. 72 乘以一个三位数后,正好得到一个立方数• 这个三位数最大是多少？「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数,分解72可以确定质因数的种类, 满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数.例6.在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前n 1个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？「分析」末尾0 的个数决定于2和5的对数,有一对2、5就可以确定一个0,而题目数列中2的个数一定多于5的个数,所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可.数学王国里的一颗明珠一一梅森素数早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2P 1是素数，则（2p- 1）2（P1）是完美数（Perfect number）.1640年6月，费马在给马林梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质.我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”.这封信讨论了形如2P1的数（其中p为素数）.梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2 , 3, 5, 7, 13 ,17, 19, 31, 67, 127, 257时，2p1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2p1是合数.前面的7个数（即2, 3, 5, 7, 13, 17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31, 67, 127和257）属于被猜测的部分. 不过，人们对其断言仍深信不疑.虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2p1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位.梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑.由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2p1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp 2p1 .如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p1 型素数）.2300多年来，人类仅发现47个梅森素数.由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为数海明珠”.自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程.作业1.五位数3口0口5没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少?2. (1)已知六位数2口01口2是99的倍数，那么这个六位数是多少?(2)已知六位数19 49 是72的倍数，那么这个六位数是多少?3. 201 202 203 L 500的末尾有多少个连续的0?4. 两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少?5. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，…，颗颗炼成不老长生丹.然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干.已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？第十五讲数论综合提高一例7.答案：(1) 30675、38625、39675; (2) 504; (3) 26999详解：(1)据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7,填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625,填7时，满足条件是30675或39675,所以答案是30675、38625、39675.(2)将六位数补成387999 , 387999除以624余495，所以387999减去495的差387504 一定是624的倍数，所以答案是504.(3)改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931 等于26999.例&答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可.9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+ N是9的倍数，即N N 1是9的倍数，即N或N 1是9的倍数，所以2满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36,写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36.例9.答案：865详解：495 5 9 11，即只要满足是5、9、11的倍数即可•对肓，不论a取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0C 一定是11和5的倍数，即是605.于是307是9的倍数，所以a是8,所以a、b、c组成的三位数是865.例10 . 答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806 ;最大且数字不同，则前三位只能是943,再根据9的整除特性，所以最大是94365. 例11 . 答案：648例12 . 答案：83详解：这是一个首项为1,公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数,即3n 1 125k，可知k取2时符合要求，此时n为83.练习：练习1、答案：(1) 105372; (2) 220、544 或868; (3) 20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即a00b 3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表不同数字可知^0b与3c5分别要被(4、9)与11整除，所以可求得abc是548或908.练习4、答案：最小值是2907;最大是8793作业6. 答案：38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025.7. 答案：(1) 260172 ； (2) 197496简答：(1)设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a 1 b2能被99整除，又a、b为个位数，所以易知 a 6, b 7，所以该六位数为260172 ； (2)能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496.8. 答案：75简答：500!所含0的个数减去200!所含0的个数即可，答案为75.9. 答案：34简答：易知3421190 352,所以可估算出所求的数为34.10. 答案：900简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5,于是当n 235 30时，n2900为所求答案.。

第十五讲 数论综合提高一本讲知识点汇总：一． 整除1． 整除的定义如果整数a 除以整数b ，所得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作． 如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不整除a ．2． 整除判定（1） 尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．（2） 截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征．（3） 截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．（4） 分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．3． 常用整除性质（1） 已知、，则以及．（b ＞c ） （2） 已知，则． （3） 已知且，则． （4） 已知且，则．4． 整除的一些基本方法：（1） 分解法：①分解得到的数有整除特性；②两两互质.（2） 数字谜法：①被除数的末位已知；②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.（3） 试除法：[],a b c |b c |a c |a c (),1a b = |a bc|b c |ab ac()|a b c - ()|a b c +|a c |a b |b a()0b ≠①除数比较大；②被除数的首位已知.（4） 同除法：①被除数与除数同时除以相同的数；②简化后的除数有整除特性.二、质数与合数1． 质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．2． 分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，． 典型题型一．整除1． 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；（1） 9的考点：乱切法；（2） 11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和．2． 整除性质的使用；3． 整除与位值原理；4． 整除方法在数字谜中的应用．二．质数合数1． 质数合数填数字：注意2和5的特殊性；2． 判断大数是否为质数：逐一试除法；3． 末尾0的个数问题：层除法．例1． （1）五位数365没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？（2）如果六位数387能被624整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？3280257=⨯⨯ 2210025=⨯「分析」（1）75可以分解为3和25；（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答．练习1、（1）六位数1037没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例2．将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键．练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3．已知370⨯是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数abca b c是多少？「分析」分解495=5×9×11，可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可，分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知0035⨯是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三a b c位数abc是多少？例4．一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位，然后根据9的整除特性确定其余数字．练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例5．72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？ 「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数，分解72可以确定质因数的种类，满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数．例6．在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n 最小是多少？「分析」末尾0的个数决定于2和5的对数，有一对2、5就可以确定一个0，而题目数列中2的个数一定多于5的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可．1n数学王国里的一颗明珠——梅森素数 早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果是素数，则是完美数（Perfect number ）．1640年6月，费马在给马林·梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质．我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”．这封信讨论了形如的数（其中p 为素数）．梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p =2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数；而对于其他所有小于257的数时，是合数．前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分．不过，人们对其断言仍深信不疑．虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位．梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑．由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp 记之（其中M 为梅森姓名的首字母），即．如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即型素数）．2300多年来，人类仅发现47个梅森素数．由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程．21p - 21p Mp =- 21p - 21p - 21p - 21p - 21p - 21p - (1)22p p -⋅（-1） 21p - 21p -作业1.五位数305没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少？2.（1）已知六位数2012是99的倍数，那么这个六位数是多少？（2）已知六位数1949是72的倍数，那么这个六位数是多少？3.201202203500L的末尾有多少个连续的0？⨯⨯⨯⨯4.两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少？5.太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，……，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？第十五讲 数论综合提高一例7． 答案：（1）30675、38625、39675；（2）504；（3）26999详解：（1）据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7，填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625，填7时，满足条件是30675或39675，所以答案是30675、38625、39675．（2）将六位数补成387999，387999除以624余495，所以387999减去495的差387504一定是624的倍数，所以答案是504．（3）改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931等于26999．例8． 答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可．9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+N 是9的倍数，即()12N N +是9的倍数，即N 或1N +是9的倍数，所以满足条件的N 是8、9、17、18、26、27、35、36，写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N 最小是36．例9．答案：865 详解：，即只要满足是5、9、11的倍数即可．对，不论a 取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以一定是11和5的倍数，即是605．于是是9的倍数，所以a 是8，所以a 、b 、c 组成的三位数是865．例10． 答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806；最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9的整除特性，所以最大是94365．37a 0b c 37a 4955911=⨯⨯例11． 答案：648例12． 答案：83详解：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第个数应为125的倍数，即，可知k 取2时符合要求，此时n 为83．练习：练习1、答案：（1）105372；（2）220、544或868；（3）20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即0035a b c ⨯要分别被4、9和11整除，由00a b 与35c 整除特性且a 、b 、c 代表不同数字可知00a b 与35c 分别要被（4、9）与11整除，所以可求得abc 是548或908． 练习4、答案：最小值是2907；最大是879331125n k += 1n +作业6. 答案： 38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025．7. 答案：（1）260172；（2）197496 简答：（1）设该六位数为2012a b ，其为99的倍数，即212a b ++能被99整除，又a 、b 为个位数，所以易知67a b ==，，所以该六位数为260172；（2）能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496．8. 答案：75简答：500！所含0的个数减去200！所含0的个数即可，答案为75．9. 答案：34简答：易知2234119035<<，所以可估算出所求的数为34．10. 答案：900简答：前n 次共炼制n 2颗仙丹，且n 2是60的倍数，所以n 含有质因数2、3和5，于是当23530n =⨯⨯=时，2900n =为所求答案．。

第2讲整除性与位值原理重点摘要1、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例，abcdef＝a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

2、数的整除我们学习过的常见整除判定方法有：（1）能被2、4、8整除的数，根据这个数的末一位、两位、三位判断；（2）能被5、25、125整除的数，根据这个数的末一位、两位、三位判断；（3）能被3、9整除的数，根据这个数各个数位上的数字和判断；（4）能被7、11、13整除的数，将这个数三位分段相减求差后判断。

精讲精练例题1、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得到的三位数恰是4的倍数，这样的四位数中最大一个的末位数字是几？练习1、有一种四位数，这种四位数能被7整除，把它前后分成两部分，前两位数可以被3整除，后两位可以被5整除。

这种四位数最小的是几？例题2、证明：当a c>时，abc cba-必能被9整除？练习2、证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。

例题3、三位数abc比三位数cba小99，若a、b、c互不相同，则abc最大是几？练习3、一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有多少个？例题4、在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得的三位数是原数的9倍，求这个两位数。

练习4、在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。

这样的三位数有多少个？例题5、用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？练习5、a，b，c是1～9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a＋b＋c)的多少倍？例题6、已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少。

【培优奥数专题】五年级下册数学-位值原理（解析版）一、知识点1、定义认识位值原理是一种将数字和数位结合起来表示数的记数法则2、表达形式完全拆分：d=10100+1000bcaabcd++部分拆分：d=1001000bc+abcd+a3、组数求和用完全拆分证明用数字组成的所有数之和一定是某个数的倍数例如：用数字a、b和c组成的６个无重复数字的三个数之和一定是222的倍数4、解题方法竖式谜法方程法二、学习目标1、我能够了解位值原理的定义，并能清楚表述数字与数位之间的关系。

2、我能够灵活运用竖式谜法和方程法解决位值原理的基本类型题。

三、课前练习1.489＝×100＋×10＋×1；【解答】4，8，92.235813＝×10000＋×100＋×1；【解答】23，58，133.3x＝×10000＋×100＋×1；6812y【解答】x12，68，3y4.c12＝×1000000＋×10000＋×100＋×1；34a56b【解答】a12，34，5b，c6四、典型例题思路点拨1.位值原理是一种将数字与数位结合起来表示数的记数法则。

它规定每一个数都是由数字与数位两部分共同组成的，记数时，同一个数字由于所在的数位不同，表示的数也不同。

如在十进制中“3”记在个位上表示3个1，在百位上就表示3个100。

2.也可以利用加减法竖式谜的方式来解题。

例题1（1）将一个小数的小数点向右移动两位之后得到一个四位整数，这个四位整数比原来的小数大1999.8。

原来的小数是。

【解答】因为小数点向右移动了两位，即扩大到原来的100倍，多了99倍。

则有：1999.8÷（100－1）＝20.20。

故原来的小数是20.20。

（2）把6写在某个四位数的左端得到一个五位数，把6写在这个数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是32157。

整除和位值原理是数学中的基本概念之一，它们在解题中起着重要的作用。

接下来，我将详细介绍整除和位值原理，包括相关定义、性质以及解题方法。

一、整除与倍数在数学中，如果一个数能够被另一个数整除，那么我们称这个数为整除数，另一个数为除数。

具体地说，如果一个数a能够整除另一个数b，那么b就是a的倍数，而a是b的约数。

1.整除的定义：对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得b=ac，我们就说a能够整除b，记作a，b。

2.整除的性质：①若a，b且b，c，则a，c（传递性）② 若a，b，b，c，则a，（dx+ey），其中d、e为任意整数。

3.整除的判定：① 对于整数a和b，如果存在整数x，使得b=ax，则a能够整除b。

例如，4能够整除12，因为12=4*3②对于不为0的整数a和b，如果a能够整除b，则b/a的余数为0。

4.整除与素数：整除与素数的关系密切。

素数是指除了1和自身之外没有其他的因数的数。

任何一个整数都可以分解为素数的乘积。

这个分解的过程叫做素因数分解。

例如，12=2*2*35.整除与公约数：对于两个数a和b，如果同时整除a和b的数中最大的那个数为d，我们称d为a和b的最大公约数，记作gcd(a,b)。

例如，gcd(8,12)=4二、位值原理位值原理又称作辗转相除法、短除法等。

它是帮助我们进行大数除法的一种方法，通过重复进行整除与余数的计算，逐步得到商和余数。

1.位值原理的定义：对于两个整数a和b，如果a>b，并且存在一个整数q和r，满足a=q*b+r，并且0≤r<b，则可以说a和b满足位值原理。

2.位值原理的步骤：当进行位值运算时①将a进行标记，拆分成a=n*（q*b+r）；②再将q*b进行拆分，直到无法再次进行拆分；③进行计算，得到最终结果。

3.位值原理的应用：位值原理在解题中非常常用，可以帮助我们进行大数除法、求最大公约数等。

结语整除和位值原理是六年级数学中的重要内容，通过理解和掌握它们的定义、性质和应用，我们可以更好地解决相关问题。

第九讲整除和位值原理整除问题整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：1.整除的概念b ，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且a，b，c为整数，且0没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a 的约数．2.整除的基本性质①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除；⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．4.位值原理同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。

也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。

这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。

例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。

整除的特征、三位截断法的原理对于数的整除特征大家都比较熟悉：比如4看后两位（因为100是4的倍数），8看后三位（因为1000是8的倍数），5末尾是0或5，3与9看各位数字和等等，今天重点研究一下3,9,7,11,13的整除特征（重点是三位截断法的原理）。

继续用字母来代替数来推导公式，弄清原理又锻炼代数与证明问题能力。

①3，9的整除特征（各位数字和）设三位数abc（a,b,c等代表0-9的数字，以下同样），用位值原理拆开100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=99a+9b+a+b+c由于前两项都是9的倍数，不影响除以9的余数，所以a+b+c就是这个数除以9的余数。

如果除以9余0，那么这个数就是9的倍数。

②11的整除特征（奇位数字和与偶位数字和的差）把一个数由右边向左边数,如果奇位上数字和与偶位上数字和的差,是11的倍数(包括0)，那么这个数就是11的倍数。

首先10的奇数次方减去1就是11的倍数，例如10000-1=9999,100-1=99其次10的偶数次方加上1也是11的倍数，例如1000+1=1001,10+1=11 设五位数abcde，用位值原理拆开10000a+1000b+100c+10d+e=9999a+1001b+99c+11d+a-b+c-d+e前4项都是11的倍数，不影响除以11的余数。

所以如果a-b+c-d+e是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

（由于是减法，可能出现负数，可以加上11的倍数变成非负的再判断；或者用偶数位和减去奇数位和，用它们的差判断就可以）③三位截断法（后三位截断作差）的原理（7,11,13）这种方法利用1001=7×11×13设六位数abcdef，用位值原理拆开1000abc+def=1001abc-abc+def第一项是1001的倍数，可以不考虑它。

只看def-abc即可（如果为负数，可以用abc-def来判断，即def与abc的差）例如def与abc的差是13的倍数，那么abcdef就是13的倍数。

精心整理数论模块数论题的特点就是简洁明了，信息量看起来往往比较少，所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要的一点就是寻找突破口，走对方向。

另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。

但相比组合而言，数论至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战略上藐视，战术上重视”，战略上要相信，考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。

我就不详细讲每一个知识点（确实非常之多，关键在于平常积累），在这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。

还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从三个角度去分析它，例如154：（1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个100，5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度；（2）154＝2×7×11，分解质因数；（3）154除以5余4，除以9余1，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和余数；以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数论问题的三种方式，三个突破口。

下面我来详细讲讲每一个角度。

一、位值原理和整除。

其实所有数字的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头，知道它们是怎么来的，这样就不用背那么多知识点了。

言归正传，什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，就不用多说了，举个最简单的例子：55□39能被11整除，请问□是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。

考得比较多的，比如这样的题目：“一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用位值原理。

利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把文字翻译成数学语言（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。

教你轻松理解除法的原理与方法除法是数学中的一种基本运算，用于求解整数或实数的商。

它是数学学习中的重要环节，也是应用于日常生活中的常见运算。

本文将为您详细介绍除法的原理与方法，帮助您轻松理解并运用除法。

一、除法的原理除法的基本原理是通过将被除数分成若干等分，找出能够整除的那个数。

在计算过程中，我们用除数去依次尝试被除数，直到找到一个能够整除的除数为止。

该除数与被除数的商即为所求的商。

例如，当我们计算12除以3时，可以将12分成3个相等的部分，每个部分的数值都是3。

因此，我们得出12÷3=4，即12除以3等于4。

二、整除的概念在除法运算中，当被除数能够被除数整除时，我们称之为整除。

整除的结果是整数，没有余数。

若被除数不能被除数整除，则除法运算结果为带余数的数。

三、带余除法的方法当被除数不能被除数整除时，除法运算结果为带余数。

带余除法的计算方法如下：1. 取出被除数的第一位数字，与除数进行除法运算。

如：99÷8，取出99的第一位数字9，用9除以8，商为1，余数为1。

2. 将余数与下一位数字合并，再与除数进行除法运算。

如：将1和9合并得到19，用19除以8，商为2，余数为3。

3. 不断重复上述步骤，直到所有数字均运算完毕。

如：将余数3和9合并得到39，用39除以8，商为4，余数为7。

最终得到99÷8=12余7，即99除以8等于12余7。

四、除法的进位与借位在除法运算过程中，可能会出现进位或借位的情况。

进位和借位是为了保证每一位数字的除法运算都能够正确进行。

1. 进位当被除数的某一位数字小于除数时，需要向前一位借位。

借位后再进行除法运算，商的结果将受到借位的影响。

进位规则如下：如除法运算中，计算199÷80，由于9小于80，需要向前一位借位。

借位后得到199→1990（借一位）继续运算。

2. 借位当被除数的某一位数字大于等于除数时，可以向后一位进位。

借位后再进行除法运算，商的结果将受到借位的影响。