2012-2013学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量a →=(1, x, −2)，b →=(2, 1, x)，且a →⊥b →，则x 的值为（ ） A.−1 B.0 C.1 D.22. 曲线f(x)=1x 在点（1, f(1)）处的切线的倾斜角为（ ）A.π4 B.π3C.2π3D.3π43. 函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y =f′(x)的图象可能为（ ）A. B.C. D.4. 观察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52013的末四位数字是（ ） A.3125 B.5625C.8125D.06255. 已知下列命题： ①√7−√5<√10−√2；②三角形ABC 的三个内角满足sin A +sin B >sin C ； ③存在等比数列{a n }满足a 1+a 3=2a 2成立． 其中所有正确命题的序号是（ ） A.① B.①②C.②③D.①②③6. 若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入图的容器，则容器中水的高度ℎ与时间t 的函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.7. 若函数f(x)=x 3+ax +b 有三个零点，分别为x 1，x 2，x 3，且满足x 1<1，x 2=1，x 3>1，则实数a 的取值范围是（ ）A.(−∞, 0)B.(−∞, −1)C.(−∞, −2)D.(−∞, −3)8. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是截面A 1BD 内（包括边界）的动点，则C 1P →⋅C 1B →的值不可能是（ ） A.0.9 B.1.2C.1.5D.1.8二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.已知三个点A(1, −1, b)，B(2, a, 1)，O(0, 0, 0)在同一条直线上，则a =________，b =________．函数y =ax −sin x 是单调递增函数，则实数a 的取值范围________．由曲线y=x2，y=2x围成的封闭图形的面积为________．如图所示，已知三棱柱A′B′C′−ABC的侧棱垂直于底面，AC⊥CB，且AC=CB=CC′=2．若点E为A′B′中点，则CE与底面ABC所成角的余弦值为________．若函数f(x)=(x2−3)e x，给出下面四个结论：①f(−3)是f(x)的极大值，f(1)是f(x)的极小值；②f(x)<0的解集为{x|−√3<x<√3}；③f(x)没有最小值，也没有最大值；④f(x)有最小值，没有最大值，其中正确结论的序号有________．已知函数f(x)=xx+3，构造如下函数序列f n(x)：f n(x)=f[f n−1(x)](x∈N∗，且n≥2)，其中f1(x)=f(x)，(x>0)，则f3(x)=________，函数f n(x)的值域为________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知函数f(x)=a23x3−2ax2+bx其中a，b∈R，且曲线y=f(x)在点（0, f(0)）处的切线斜率为3．（1）求b的值；（2）若函数f(x)在x=1处取得极大值，求a的值．已知点的序列A n(x n, 0)，n∈N∗，其中x l=0，x2=a(a>0)，A3是线段A l A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，A n是线段A n−2A n−1的中点，…．（1）写出x n与x n−1、x n−2之间的关系式(n≥3)；（2）设a n=x n+1−x n，计算a l，a2，a3，由此推测数列{a n}的通项公式，并加以证明．已知平面ADEF⊥平面ABCD，其中ADEF为矩形，AB // CD，AB⊥AD，且AB=2CD=2DE=4，AD=2√2，如图所示．（1）求证：BE⊥AC；（2）求二面角B−CE−D的余弦值；（3）在线段AF上是否存在点P，使得BP // 平面ACE，若存在，确定点P的位置，若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+ln x．（1）当a=−2时，判断函数f(x)零点的个数；（2）求函数f(x)的单调区间．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 D【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】根据向量的数量积与垂直之间的关系建立方程，利用方程解x 即可． 【解答】解：因为向量a →=(1, x, −2)，b →=(2, 1, x)，且a →⊥b →， 所以a →⋅b →=0，即(1, x, −2)⋅(2, 1, x)=2+x −2x =0， 解得x =2． 故选D ． 2.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的倾斜角【解析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求切线的斜率，进而利用斜率和倾斜角之间的关系求切线的倾斜角． 【解答】解：因为f(x)=1x ，所以f′(x)=−1x 2，所以函数在点（1, f(1)）处的切线斜率k =f ′(1)=−1， 由k =tan α=−1，解得α=3π4，即切线的倾斜角为3π4．故选D ． 3.【答案】 C【考点】函数的图象变换 【解析】根据函数的单调性确定f ′(x)的符号即可． 【解答】解：由函数f(x)的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当x >0时，函数单调递增，所以导数f ′(x)的符号是正，负，正，正．对应的图象为C ． 故选C ． 4.【答案】 A【考点】进行简单的合情推理 【解析】由上述的几个例子可以看出末四位数字的变化，3125，5625，8125，0625即末四位的数字是以4为周期的变化的，故2013除以4余1，即末四位数为3125． 【解答】解：55=3125的末四位数字为3125，56=15625的末四位数字为5625，57=78125的末四位数字为8125，58=390625的末四位数字为0625，59=1953125的末四位数字为3125…， 根据末四位数字的变化，3125，5625，8125，0625即末四位的数字是以4为周期的变化的， 故2013除以4余1，即末四位数为3125．则52013的末四位数字为3125． 故选A ． 5.【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①利用平方法进行判断大小．②利用诱导公式和两角和的正弦公式判断．③利用等比数列的通项公式，举常数数列即可． 【解答】解：①因为√7−√5>0，√10−√2>0，所以(√7−√5)2=12−2√35，(√10−√2)2=12−2√20，所以√7−√5<√10−√2，所以①正确．②因为sin C =sin (π−A −B)=sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B <sin A +sin B ，所以②正确． ③若数列{a n }为非零的常数列，比如a n =1，则满足a 1+a 3=2a 2成立，所以③正确． 故选D ． 6.【答案】 C【考点】进行简单的合情推理 【解析】考查容器的形状来确定其高度的变化规律，选择图形即可． 【解答】解：此容器从下往上口径先由小、变大，再由大变小， 故等速注入液体其高度增加先是越来越慢，再变快， 只有C 满足条件， 故选C ．7.【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】利用函数零点的取值可以判断， 【解答】解：因为x 2=1，所以f(1)=a +b =0，即b =−a ， 所以f(x)=x 3+ax +b =x 3+ax +−a ．函数导数为f ′(x)=3x 2+a ，因为f(x)=x 3+ax +b 有三个零点，所以f ′(x)=0，有两个不等的实根，所以a <0．则由f ′(x)=0得x =±√−a3．即当x =−√−a3函数取得极大值，当x =√−a3时，函数取得极小值． 因为x 1<1，x 3>1， 所以√−a3>1，解得a <−3． 故选D ． 8.【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算 【解析】将P 点在截面A 1BD 内（包括边界）运动，结合正方体的性质加以观察可得：当P 与点B 重合时C 1P →⋅C 1B →达到最大值；当P 点与D 点或A 1点重合时，C 1P →⋅C 1B →达到最小值．再由题中的数据加以计算，可得积C 1P →⋅C 1B →的范围为[1, 2]，对照各个选项可得本题答案． 【解答】解：∵ 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为截面A 1BD 内（包括边界）的动点， ∴ 运动点P ，可得①当P 与点B 重合时，C 1P →⋅C 1B →=|C 1B|→2=2，达到最大值； ②当P 点与D 点或A 1点重合时，C 1P →⋅C 1B →达到最小值 ∵ C 1P →⋅C 1B →=(BD →−BC 1→)⋅C 1B →=BD →⋅C 1B →−BC 1→⋅C 1B →BD →⋅C 1B →=−|BD|→⋅|C 1B|→cos 60∘=−1，且BC 1→⋅C 1B →=−|C 1B|→2=−2 ∴ C 1P →⋅C 1B →最小值为−1−(−2)=1综上所述，数量积C 1P →⋅C 1B →的范围为[1, 2]由此可得C 1P →⋅C 1B →的值不可能小于1，A 项不符合题意故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 【答案】 −2,12【考点】共线向量与共面向量 【解析】先根据三个点A(1, −1, b)，B(2, a, 1)，O(0, 0, 0)在同一条直线上，转化为向量OA →与OB →共线，再利用向量共线的基本定理得存在λ，使得OA →=λOB →，从而建立方程求解即可． 【解答】解：∵ 三个点A(1, −1, b)，B(2, a, 1)，O(0, 0, 0)在同一条直线上， ∴ 向量OA →与OB →共线， 即存在λ，使得OA →=λOB →， 即(1, −1, b)=λ(2, a, 1) ∴ {2λ=1aλ=−1λ=b ，解得{λ=12a =−2b =12故答案为：−2，12．【答案】 a ≥1 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】求函数的导数，要使函数单调递增，则y ′≥0成立，然后求出实数a 的取值范围． 【解答】解：因为y =ax −sin x ，所以y ′=a −cos x ． 要使函数单调递增，则y ′≥0成立． 即a −cos x ≥0恒成立． 所以a ≥cos x ，因为−1≤cos x ≤1， 所以a ≥1．故答案为；a ≥1． 【答案】 43【考点】定积分【解析】联立解曲线y=x2及直线y=2x，得它们的交点是O(0, 0)和A(2, 2)，由此可得两个图象围成的面积等于函数y=2x−x2在[0, 2]上的积分值，根据定义分计算公式加以计算，即可得到所求面积．【解答】解：由{y=x2y=2x，解得曲线y=x2及直线y=2x的交点为O(0, 0)和A(2, 2)因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是S=∫(202x−x2)dx=(x2−13x3)|02=43．故答案为：43．【答案】√3【考点】直线与平面所成的角【解析】利用线面所成角的定义先确定线面所成的角然后求出线面所成的角即可．【解答】解：过E做EF⊥AB于F，则F为AB的中点．连结CF，则∠ECF为CE与底面ABC所成的角．所以CF=√2，EF=2，所以CE=√6，所以cos∠ECF=CFCE =√2√6=√33．故答案为：√33．【答案】①②④【考点】命题的真假判断与应用【解析】①求函数的导数，判断函数的极值．②由f(x)<0，解不等式即可．③利用函数的单调性和最值之间的关系判断函数的最值情况．④利用导数研究函数的最值．【解答】解：函数的导数为f′(x)=2xe x+(x2−3)e x=(x2+2x−3)e x．①由f′(x)>0得，x>1或x<−3，此时函数单调递增．由f′(x)<0得−3<x<1，此时函数单调递减，所以f(−3)是f(x)的极大值，f(1)是f(x)的极小值，所以①正确．②由f(x)<0，得(x2−3)e x<0，即x2−3<0，解得−√3<x<√3，所以②正确．③由①知，函数在(1, +∞)和(−∞, −3)上单调递增，在(−3, 1)上单调递减，强当x<1时，函数f(x)>0，函数f(x)在x=1时取得极小值同时也是最小值，但没有最大值，所以③错误．④由③(x)有最小值，没有最大值，所以④正确．故答案为：①②④．【答案】x13x+27,(0, 23n−1)【考点】函数的求值函数的值域及其求法归纳推理【解析】根据定义分别计算f1(x)，f2(x)，f3(x)，然后根据前三个函数的值域归纳出f n(x)的表达式，然后利用分式函数求函数的值域即可．【解答】解：根据定义可知f2(x)=f[f1(x)]=xx+3xx+3+3=x4x+9，f3(x)=f[f2(x)]=x4x+9x4x+9+3=x13x+27，f4(x)=x40x+81，所以f n(x)=x12(3n−1)x+3n=23n−1⋅xx+2⋅3n3n−1<23n−1，所以f n(x)的值域为(0, 23n−1)．故答案为：x13x+27，(0, 23n−1)．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】解：（1）f′(x)=a2x2−4ax+b，由题意可得f′(0)=b=3．∴b=3．（2）由函数f(x)在x=1处取得极大值，∴f′(1)=a2−4a+3=0，解得a=1或3．①当a=1时，f′(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)．列表如下：由表格可知：函数f(x)在x=1处取得极大值，满足题意．②同理可得：当a=3时，函数f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．综上所述：当a=1时，函数f(x)在x=1处取得极大值．【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】（1）利用f′(0)=3即可解出；（2）由函数f(x)在x=1处取得极大值，可得f′(1)=a2−4a+3=0，解得a=1或3．再分别讨论是否符合取得极大值的充分条件即可．【解答】解：（1）f′(x)=a2x2−4ax+b，由题意可得f′(0)=b=3．∴b=3．（2）由函数f(x)在x=1处取得极大值，∴f′(1)=a2−4a+3=0，解得a=1或3．①当a=1时，f′(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)．列表如下：由表格可知：函数f(x)在x=1处取得极大值，满足题意．②同理可得：当a=3时，函数f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．综上所述：当a=1时，函数f(x)在x=1处取得极大值．【答案】解：（1）根据题意，A n是线段A n−2A n−1的中点，则有当n≥3时，x n=x n−1+x n−22．（2）a1=x2−x1=a，a2=x3−x2=x2+x12−x2=−12(x2−x1)=−12a，a3=x4−x3=x3+x22−x3=−12(x3−x2)=−12(−12a)=14a，由此推测：a n=(−12)n−1a(n∈N∗)．证明如下：因为a1=a>0，且a n=x n+1−x n=x n+x n−12−x n=x n−1−x n2=−12(x n−x n−1)=−12a n−1(n≥2)，所以a n=(−12)n−1a．【考点】数列的应用【解析】（1）根据题意，A n是线段A n−2A n−1的中点，可得x n与x n−1、x n−2之间的关系式，（2）由题意知a1=a，a2=−12a，a3=14a，由此推测：a n=(−12)n−1a(n∈N∗)再进行证明．【解答】解：（1）根据题意，A n是线段A n−2A n−1的中点，则有当n≥3时，x n=x n−1+x n−22．（2）a1=x2−x1=a，a2=x3−x2=x2+x12−x2=−12(x2−x1)=−12a，a3=x4−x3=x3+x22−x3=−12(x3−x2)=−12(−12a)=14a，由此推测：a n=(−12)n−1a(n∈N∗)．证明如下：因为a1=a>0，且a n=x n+1−x n=x n+x n−12−x n=x n−1−x n2=−12(x n−x n−1)=−12a n−1(n≥2)，所以a n=(−12)n−1a．【答案】解：（1）证明：平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，由已知可得AF⊥AD，且AF⊂面ADEF，所以AF⊥平面ABCD，又AB⊥AD，如图，以A为原点建立空间直角坐标系A−xyx，则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(2, 2√2, 0)，E(0, 2√2, 2)，所以BE→=(−4,2√2,2)，AC→=(2,2√2,0)，所以BE→⋅AC→=0，所以BE⊥AC．（2）由已知可得AD⊥CD，AD⊥DE，设平面CED的一个法向量为n1→=(0,1,0)，平面BCE的法向量为n2→=(x,y,z)，则有{n2→⋅BE→=0n2→⋅BC→=0，即{−4x+2√2y+2z=0−2x+2√2y=0，令y=1，所以平面BCE的一个法向量为n2→=(√2,1,√2)，所以cos <n 1→，n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√55，所以二面角B −CE −D 的余弦值为−√55． （3）设P(0, 0, z)，0≤z ≤2，BP →=(−4,0,z)，设平面ACE 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅AE →=0n →⋅AC →=0，即{2√2y +2z =02x +2√2y =0，不妨设y =1，则平面ACE 的法向量为n →=(−√2,1,−√2)， 由BP →⋅n →=(−4,0,z)⋅(−√2,1,−√2)=0，解得z =4，不符合题意， 即线段AF 上不存在点P ，使BP // 平面ACE ． 【考点】二面角的平面角及求法 用空间向量求平面间的夹角 两条直线垂直的判定 直线与平面垂直的性质 直线与平面平行的判定【解析】（1）建立空间坐标系，利用线面垂直的性质证明BE ⊥AC ； （2）利用向量法求二面角B −CE −D 的余弦值； （3）根据线面平行的判定定理和性质定理确定P 的位置．【解答】 解：（1）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，由已知可得AF ⊥AD ，且AF ⊂面ADEF ， 所以AF ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyx ，则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(2, 2√2, 0)， E(0, 2√2, 2)，所以BE →=(−4,2√2,2)，AC →=(2,2√2,0)， 所以BE →⋅AC →=0，所以BE ⊥AC ．（2）由已知可得AD ⊥CD ，AD ⊥DE ，设平面CED 的一个法向量为n 1→=(0,1,0)，平面BCE 的法向量为n 2→=(x,y,z)，则有{n 2→⋅BE →=0n 2→⋅BC →=0，即{−4x +2√2y +2z =0−2x +2√2y =0， 令y =1，所以平面BCE 的一个法向量为n 2→=(√2,1,√2)， 所以cos <n 1→，n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√55，所以二面角B −CE −D 的余弦值为−√55． （3）设P(0, 0, z)，0≤z ≤2，BP →=(−4,0,z)，设平面ACE 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅AE →=0n →⋅AC →=0，即{2√2y +2z =02x +2√2y =0，不妨设y =1，则平面ACE 的法向量为n →=(−√2,1,−√2)， 由BP →⋅n →=(−4,0,z)⋅(−√2,1,−√2)=0，解得z =4，不符合题意， 即线段AF 上不存在点P ，使BP // 平面ACE ． 【答案】 解：（1）函数的定义域：(0, +∞)， 当a =−2时，f′(x)=1−4x 22，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)<0，函数是减函数．因为f(12)=−12−ln 2<0，所以此时在定义域上f(x)<0， s 所以函数f(x)零点的个数为0．； （2）f′(x)=2ax −(a +2)+1x =(ax−1)(2x−1)x，①当a ≤0时，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)<0，函数是减函数． ②当0<a <2时，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数；当x ∈(12, 1a )时，f′(x)<0，函数是减函数； 当x ∈(1a , +∞)时，f′(x)>0，函数是增函数． ③当a =2时，f′(x)=(2x−1)2x≥0，对一切x ∈(0, +∞)恒成立，当且仅当x =1时f′(x)=0，函数是单调增函数，单调增区间(0, +∞) ④当a >2时，当x ∈(0, 1a )时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(1a , 12)时，f′(x)<0，函数是减函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)>0，函数是增函数．综上：当a ≤0时，函数f(x)的单调增区间(0, 12)，单调减区间是(12,+∞)．当0<a <2时，函数f(x)的单调增区间(0, 12)和(1a ,+∞)，单调减区间是(12,1a )． 当a =2时，函数的单调增区间(0, +∞)当a >2时，函数f(x)的单调增区间(0, 1a )和(12,+∞)，单调减区间是(1a ,12)． 【考点】函数单调性的判断与证明 根的存在性及根的个数判断 利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的定义域，通过a =−2时，求出函数的导函数，判断函数f(x)的极大值，然后推出函数的零点的个数；（2）通过求解函数的导函数，通过：当a ≤0，0<a <2，a =2，a >2，分别通过函数的导数列表，然后求函数f(x)的单调区间．【解答】 解：（1）函数的定义域：(0, +∞)， 当a =−2时，f′(x)=1−4x 22，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)<0，函数是减函数．因为f(12)=−12−ln 2<0，所以此时在定义域上f(x)<0， s 所以函数f(x)零点的个数为0．； （2）f′(x)=2ax −(a +2)+1x =(ax−1)(2x−1)x，①当a ≤0时，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)<0，函数是减函数．②当0<a <2时，当x ∈(0, 12)时，f′(x)>0，函数是增函数；当x ∈(12, 1a )时，f′(x)<0，函数是减函数； 当x ∈(1a , +∞)时，f′(x)>0，函数是增函数． ③当a =2时，f′(x)=(2x−1)2x≥0，对一切x ∈(0, +∞)恒成立，当且仅当x =1时f′(x)=0，函数是单调增函数，单调增区间(0, +∞) ④当a >2时，当x ∈(0, 1a )时，f′(x)>0，函数是增函数； 当x ∈(1a , 12)时，f′(x)<0，函数是减函数； 当x ∈(12, +∞)时，f′(x)>0，函数是增函数．综上：当a ≤0时，函数f(x)的单调增区间(0, 12)，单调减区间是(12,+∞)．当0<a <2时，函数f(x)的单调增区间(0, 12)和(1a,+∞)，单调减区间是(12,1a)．当a =2时，函数的单调增区间(0, +∞)当a >2时，函数f(x)的单调增区间(0, 1a )和(12,+∞)，单调减区间是(1a ,12)．。
