人教版第二十二章 一元二次方程基础知识

第二十二章 一元二次方程及单元测试：1.一元二次方程：定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次项都是2的方程。

一般式ax 2+bx+c=0(a ≠0)2.一元二次方程的解法：（降元——二次转化为一次）①直接开平方法 ； ②配方法：把方程整理成（x+a ）2=b （b ≥0）；③公式法：x=(-b ±√b 2-4ac)/2a.（b 2-4ac ≥0）；④因式分解：把方程化成两个一次项的积，右边是0的形式，然后转化为求两个一元二次方程的解。

3.根与系数的关系：已知ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a —，x 1·x 2=ca4.根的判别式与方程根的关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根， ②当△=0时，方程有两个相等的实数根， ③当△＜0时，方程没有实数根。

注意：应用的前提条件是：a ≠0.5.实际问题与一元二次方程：（1）列一元二次方程解应用题的一般步骤：审，设，列，解，验，答。

（2）几种常见类型题：数字问题，几何图形问题，平均增长率（降低率）问题，利润问题。

化归思想：1.解方程：x 3=2x xx —2—22.已知实数a ，b 满足等式111+=a b a b—，求b a 的值。

方程思想：1.春秋旅行社为了吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下的收费标准，如果不超过25人，人均旅游费用为1000元，如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元。

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅游社旅游费用27000元，则该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？中考考点：1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A. x2+1／x2=0B.ax2+bx+c=0C. （x—1）（x+2）=0D.3x2—2xy—5y2=02.若x=2是一元二次方程x2—mx+8=0的一个解，则m的值时（）A. 6B. 5C. 2D. —63.方程（x+1）（x—2）=x+1的解是（）A. 2B. 3C.—1,2D.—1,34.一元二次方程a2—4a—7=0的解是5.关于x的方程x2+2kx+k—1=0,的根的情况描述正确的是（）A.k为任何实数，方程都没有实数根B.k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k的情况不同，方程根的取值也不同6.如果关于x的方程x2—2x+m=0，（m为常数）有两个相等的实数根，那么m=7.已知一元二次方程y2—3y+1=0，的两个实数根分别为y1，y2，则（y1—1）（y2—1）的值为8.2010年政府共投资2亿人民币建设廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同。

第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程【知识点梳理】1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点为(________________)。

2.抛物线与x轴的交点: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0 的_______________________。

3.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点____________；②有一个交点(顶点在轴上)_____________；③没有交点______________。

4.抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为A(x1,0)、B(x2,0)，由于x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，故_____________________,AB=_______________________________________。

A.基础过关1. 抛物线y=x2+x-6的图象与x轴的交点坐标为（）。

A. 1个B. 2个C.3个D.4个2.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的根的情况（）。

A. 有两个正根B. 有两个负根C. 有一正根一负根D.无法确定第2题图第7题图3.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴的交点的判断（）。

A.没有交点B. 只有一个交点，且它们位于y轴右侧C. 有两个交点，且它们位于y轴左侧 D有两个交点，且它们位于y轴右侧4.关于x的一元二次方程x2-x–n=0没有实数根，则抛物线y=x2-x–n的顶点在（）。

A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两根是（）。

A. x1=1,x2=-1 B. x1=1,x2=2 C. x1=1,x2=0 D. x1=1,x2=36. 函数y=mx2+2x+1（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是________________。

九年级数学上册：第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2axy =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧，“左同右异”.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121中考回顾1.(2017天津中考)已知抛物线y=x 2-4x+3与x 轴相交于点A ,B (点A 在点B 左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M 平移后的对应点M'落在x 轴上,点B 平移后的对应点B'落在y 轴上,则平移后的抛物线解析式为( A )A.y=x 2+2x+1B.y=x 2+2x-1C.y=x 2-2x+1D.y=x 2-2x-12.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列说法正确的是( B )A. abc<0, b 2-4ac>0B. abc>0, b 2-4ac>0C. abc<0, b 2-4ac<0D. abc>0, b 2-4ac<03.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x 的方程x 2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m 的取值范围是 m<2 .4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点D ,点B 的坐标为(3,0),顶点C 的坐标为(1,4).备用图(1)求二次函数的解析式和直线BD 的解析式;(2)点P 是直线BD 上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点M ,当点P 在第一象限时,求线段PM 长度的最大值;(3)在抛物线上是否存在异于B ,D 的点Q ,使△BDQ 中BD 边上的高为2,若存在求出点Q 的坐标;若不存在请说明理由.解:(1)设二次函数的解析式为y=a (x-1)2+4.∵点B (3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a (3-1)2+4,解得:a=-1.∴二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3.∵点D 在y 轴上,所以可令x=0,解得:y=3. ∴点D 的坐标为(0,3).设直线BD 的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1. ∴直线BD 的解析式为y=-x+3.（2）设点P 的横坐标为m (m>0), 则P (m ,-m+3), M (m ,-m 2+2m+3),PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-, PM最大值为(3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3),QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|.∵△DOB是等腰直角三角形,∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°.∴sin∠1=,∴QG=4.得|-x2+3x|=4,当-x2+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根.当-x2+3x=-4时,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模拟预测1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(D)A.k<3B.k<3,且k≠0C.k≤3D.k≤3,且k≠02.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-x2+2x上,则下列结论正确的是(C)A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2解:x=-2时,y1=-x2+2x=-(-2)2+2×(-2)=-2-4=-6,x=-1时,y2=-x2+2x=-(-1)2+2×(-1)=--2=-2,x=8时,y3=-x2+2x=-82+2×8=-32+16=-16.∵-16<-6<-2,∴y3<y1<y2.故选C.3.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是()解析:∵x1+x2=4,∴-=4.∴二次函数的对称轴为x=-=2.∵x1·x2=3,=3.当a>0时,c>0,∴二次函数图象交于y轴的正半轴.4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:x…-2 -1 0 1 2 …y…-6-4 -2-2 -2…根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=-4.5.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为k=0或k=-1.6.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的解析式为.解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以- =1,即b=2.把点(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.故原图象的解析式为y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x. 答案:y=-x2-2x7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.解:(1)∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,∴y=2(x-2)2-4.∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2,设x=0,则y=4,∴C(0,4).∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),∴L4的解析式为y=-2(x-4)2+4.∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.(3)a1=-a2,理由如下:∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上,∴可以列出两个方程由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.。

2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。

这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。

三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。

2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。

二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。

开口方向与大小：由二次项系数a决定。

当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。

|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。

2. 顶点式：对称轴为直线x = h。

3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。

顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。

2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。

最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。

2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。

三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。

函数图像与x轴的交点即为该方程的根。

根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。

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下册数学第22章知识点备考：一元二次方程，热烈欢迎参照!
1.一元二次方程的一般形式:a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究
一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的数学分析:一元二次方程的四种数学分析建议灵活运用，其中轻易
开平方法虽然直观，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围小，但排序较繁，极易出现
计算错误;因式分解法适用范围很大，且排序方便快捷，就是新宠方法;分体式方法采用较少.
3.一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0(a≠0)时，δ=b2-4ac叫一元二次方程根
的判别式.请注意以下等价命题：
δ=存有两个左右的实根;δ=0存有两个成正比的实根;δ=并无实根;
4.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x)：
(1)第一年为a，第二年为a(1+x)，第三年为a(1+x)2.
(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和。

只要这样踏踏实实顺利完成每天的计划和小目标，就可以自如地应付崭新自学，达至
长远目标。

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第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1．二次函数的概念：一般地，形如y ax 2bx c （a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．a 02.二次函数 y ax 2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．22.1.2 二次函数y ax 2的图象和性质1. 二次函数基本形式：y ax 2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x a0向上0 ，0y轴x0时，y有最小值 0．的增大而减小；x0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x a0向下0 ，0y轴x0时，y有最大值 0．的增大而增大；例 1．若抛物线y=ax2经过 P（ 1，﹣ 2），则它也经过()A ．（ 2，1） B．（﹣ 1， 2） C．（ 1， 2） D．（﹣ 1，﹣ 2）【答案】【解析】试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点 P（ 1， -2），∴x=-1 时的函数值也是 -2，即它也经过点（ -1， -2）．故选 D．考点：二次函数图象上点的坐标特征．例 2．若点 (2，-1) 在抛物线y ax2上，那么，当x=2 时， y=_________【答案】 -1【解析】试题分析：先把 (2， -1)直接代入yax2即可得到解析式，再把x=2 代入即可 .由题意得 4a 1 ，a 1，则 y1x 2，44当 x 2 时，y 14 1. 4考点：本题考查的是二次函数点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式.2. y ax 2 c 的性质：上加下减 .a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0 时，y随a0向上0 ，c y轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值c．x0 时，y随x的增大而减小；x 0 时，y a0向下0 ，c y 轴x 0 时，y有最大值c．随 x 的增大而增大；例 1．若抛物线 y=ax 2+c 经过点 P （ l，－ 2），则它也经过（）A．P1（－ 1，－ 2 ） B ．P2（－ l， 2 ）C． P3（ l ， 2）D． P4（ 2， 1）【答案】 A【解析】试题分析：因为抛物线y=ax2 +c 经过点 P （ l ，－ 2），且对称轴是y 轴，所以点 P （ l ，－ 2）的对称点是（－1，－2），所以 P1（－ 1，－ 2）在抛物线上，故选： A.考点：抛物线的性质 .例 2．已知函数 y=ax+b 经过（ 1， 3），（ 0，﹣ 2），则 a﹣ b=（）A．﹣ 1B．﹣ 3C． 3D． 7【答案】 D．【解析】试题分析：∵函数y=ax+b 经过（ 1， 3），（0，﹣ 2），a b 3a5∴，解得b ．b22∴ a﹣ b=5+2=7 ．故选 D．考点： 1．直线上点的坐标与方程的关系；2．求代数式的值．例 3．两条直线 y1＝ ax＋b 与 y2＝ bx＋ a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的()【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a，b 的值，看看是否矛盾即可．解： A 、由 y1的图象可知， a＜ 0， b＜ 0；由 y2的图象可知， a>0，b<0 ，两结论矛盾，故错误；B、由 y1的图象可知， a＞0， b＞ 0；由 y2的图象可知， a＞ 0， b<0 ，两结论相矛盾，故错误；C、由 y1的图象可知， a>0，b<0；由 y2的图象可知， a＜ 0， b＜ 0，两结论相矛盾，故错误；D、由 y1的图象可知， a＞0， b＞ 0；由 y2的图象可知， a<0， b<0 ，两结论相矛盾，故错误．故无正确答案．点评：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当 k＞ 0， b＞ 0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当 k＞ 0， b＜ 0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当 k＜ 0， b＞ 0 时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当 k＜ 0， b＜ 0 时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．22.1.3 二次函数y a x h2k 的图象和性质左加右减 .a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h，0x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，ya0向上X=hx h 时，y有最小值 0 ．随 x 的增大而减小；a0h，0x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y向下X=hx h 时，y有最大值 0 ．随 x 的增大而增大；2y a x hk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h，k x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，ya0向上X=hx h 时，y有最小值 k ．随 x 的增大而减小；h，k x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，ya0向下X=hx h 时，y有最大值 k ．随 x 的增大而增大；例 1．将二次函数y=x2﹣ 2x﹣ 3化成 y= （ x﹣ h）2+k 形式，则 h+k 结果为（）A．﹣ 5 B．5C． 3D．﹣3【答案】 D．【解析】试题分析： y=x 2-2x-3= （ x2-2x+1 ） -1-3= （ x-1）2-4．则h=1 ，k=-4 ，∴ h+k=-3 ．故选 D．考点 : 二次函数的三种形式．例2．把二次函数 y=x2+6x+4 配方成 y=a（ x-h）2+k 的形式，得 y=___ ，它的顶点坐标是 ___．【答案】（ x+3）2-5，（ -3， -5）【解析】试题分析： y= x2 +6x+4= ( x + 3)2-5 ，则顶点坐标为（－3，－ 5）．考点：二次函数的顶点式．3y 1 x23x4配方成y a x k2＋h的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴.例．把二次函数2＝（－）【答案】y=顶点坐标（3，-），对称轴方程x＝ 3【解析】试题分析： y= x2﹣ 3x+4=（x﹣3）2﹣，则顶点坐标（ 3，﹣），对称轴方程 x=3 ，考点：二次函数的图像及性质1、二次函数图象的平移（ 1）平移步骤：方法一：（ 1）将抛物线解析式转化成顶点式2h ，k ；y a x hk ，确定其顶点坐标 （2）保持抛物线 y ax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 ( k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0) 【或左 ( h<0)】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 ( h<0) 】平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k| 个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k（ 2）平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减 ”．方法二：（ 1） yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位， yax 2 bxc 变成yax 2 bx cm （或 y ax 2 bx c m ）2 y ax2 bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax2bx c变成（ ）ya( x m)2b(x m) c （或ya( x m) 2 b( x m) c ）例 1．将二次函数 y ＝ x 2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为()A ． y ＝ x 2－ 1B ． y ＝ x 2＋ 1C ． y ＝(x －1) 2D ． y ＝ (x ＋ 1)2【答案】 A【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数y ＝x 2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为： y ＝ x 2－ 1.故选 A.例 2．将二次函数y=x 2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移2 个单位后，所得图象的函数表达式是2B ． y=(x+1) 2+2A ． y=(x – 1)+22D ． y=(x+1) 2–2C ． y=(x – 1)– 2【答案】 A ．【解析】试题分析：原抛物线的顶点为（ 0，0），向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y= （ x﹣ h）2+k ，代入得 y= （ x﹣ 1）2+2．故选 A．考点：二次函数图象与几何变换．例 3．将二次函数y x2的图象如何平移可得到y x 2 4 x 3 的图象（）A ．向右平移 2 个单位，向上平移一个单位B．向右平移 2 个单位，向下平移一个单位C．向左平移 2 个单位，向下平移一个单位D．向左平移 2 个单位，向上平移一个单位【答案】 C【解析】 y x24x 3 ( x 2) 21，根据二次函数的平移性质得：向左平移 2 个单位，向下平移一个单位.故选C.例 4．已知点 P（﹣ 1，m）在二次函数y=x 2﹣1 的图象上，则m 的值为；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为．【答案】 0， y=x 2﹣ 2x．【解析】∵点 P（﹣ 1， m）在二次函数y=x2﹣1 的图象上，∴（﹣ 1）2﹣ 1=m，解得 m=0，平移方法为向右平移 1 个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣ 1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（ x﹣ 1）2﹣1=x 2﹣ 2x，即y=x 2﹣ 2x．故答案为： 0， y=x 2﹣ 2x．2、二次函数y a x2k 与 y ax2bx c 的比较h从解析式上看，y a x h 2ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即k 与 y2b2b，k4ac b2y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a3、二次函数y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式y a(x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0，c 、以及 0 ，c 关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.4、二次函数y ax2bx c 的性质b ，4ac 21. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为b．2a2a4a当 x b时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 随x的增大而增大；当x b时， y 有最小值2a 2 a 2 a4ac b2．4a2b时， y 随x的增2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b．当x2a2a4a2a大而增大；当x b时， y 随x的增大而减小；当xb时， y 有最大值4acb2．2a2a4a例 1．当 a < 0 时，方程 ax2+bx+c=0 无实数根，则二次函数y=ax2 +bx+c 的图像一定在（）A 、 x 轴上方B、 x 轴下方C、 y 轴右侧D、 y 轴左侧【答案】 B【解析】试题分析：∵方程 ax2+bx+c=0 无实数根，∴ b2 +4ac<0，即函数图形与 x 轴没有交点又∵a < 0，∴二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像一定在 x 轴下方故选 B．考点：二次函数的性质例 2．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，则a、 b、 c 满足（）A、 a＜ 0， b＜ 0，c＞ 0 C、 a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0B、a＜ 0， b＜0， c＜ 0 D 、a＞ 0， b＜0， c＞ 0【答案】 A 【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a＜ 0，由与 y 轴交于正半轴得到c＞ 0，又由于对称轴x=-b＜0，可以得到b＜2a0，所以可以找到结果．试题解析：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜ 0，∵与 y 轴交于正半轴，∴c＞ 0，又∵对称轴x=-b＜0，2a∴b＜ 0，所以 A 正确．考点：二次函数图象与系数的关系．例 3．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x= ﹣ 1，给出下列结果：①b2＞ 4ac；② abc＞ 0；③ 2a+b=0；④ a+b+c＞ 0；⑤ a﹣ b+c＜ 0，则正确的结论是（）A. ①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线与x 轴有两个交点，可得△=b2﹣ 4ac＞ 0，即b2＞ 4ac，故①正确；根据抛物线对称轴为x= ﹣b＜ 0，与y 轴交于负半轴，因此可知ab＞ 0， c＜ 0， abc＜ 0，故②错误；根据抛物线对称轴为x= ﹣2ab=﹣ 1，∴ 2a﹣b=0 ，故③错误；2a当x=1 时， y＞ 0，即 a+b+c＞ 0，故④正确；当x= ﹣ 1 时，y＜0，即 a﹣ b+c＜0，故⑤正确；正确的是①④⑤．故选 D．考点：二次函数图象与系数的关系例 4．如果二次函数y＝ ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，那么（）A． a＜ 0， b＞ 0，c＞ 0 B． a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0 C． a＞ 0， b＞ 0， c＜ 0 D． a＞ 0， b＜ 0，c＜ 0 【答案】 D【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，所以a＞ 0，又对称轴在y 轴右侧，所以b＞0，所以b＜0，又因为抛物线与y 2a轴的交点在x 轴下方，所以c＜0，所以 a＞ 0， b＜ 0， c＜ 0，故选： D．考点：抛物线的性质．例 5．已知抛物线y=ax2 +bx+c 与 x 轴的公共点是（﹣ 4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．【答案】 x=-1．【解析】试题分析：因为点（-4，0）和（ 2， 0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=x1x2求解即可．2试题解析：∵抛物线与x 轴的交点为（-4，0），（ 2， 0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x=考点：抛物线与x 轴的交点．4221，即x=-1．5、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；ax2.顶点式： y a( x2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；h)3.两根式： y a( x x1)( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .6、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2bx c中，a作为二次项系数，显然a0 ．⑴当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在 a0 的前提下，当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x b0 ，概括的说就是“左同右在 y 轴左边则ab 0，在 y 轴的右侧则ab2a异”总结：3.常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．7、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y2bx c 关于x轴对称后，得到的解析式是y2bx c ；ax axy a x h 2y a x h2 k 关于x轴对称后，得到的解析式是k ；2.关于 y 轴对称y ax2bx c 关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2bx c 关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h2y a x h2 k 关于原点对称后，得到的解析式是k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 °）y ax2bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2bx c b2；2ay a x h 2y a x h2 k 关于顶点对称后，得到的解析式是k ．5. 关于点m，n 对称y a x 22k hk 关于点m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．22.2 二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2bx c 0 是二次函数y ax2bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与 x 轴的交点个数：① 当b 24ac 0 时，图象与x 轴交于两点1，02，0( x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程A x，B xax 2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2 x1b24ac .a②当0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与 x 轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2. 抛物线 y2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；ax3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y2c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象ax bx的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2ax bx c(a 0) 本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与x 轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0抛物线与x 轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .交点例．已知函数 y3x2 6 x k （k 为常数）的图象经过点A（．，y1），B（1．1， y2），10 8C（2，y3），则有（）A ．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2【答案】 C【解析】试题分析：因为函数y3x26x k 的对称轴是 x b6 1 ，且抛物线开口向上，所以可以画出函数图2a6象的草图，观察图象可得：y3＞y1＞y2，故选：C．考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点．例 2．已知二次函数y=x 2＋ 2mx ＋ 2，当 x＞ 2 时， y 的值随 x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是.【答案】 m≥-2．【解析】试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于 2 列式计算即可得解．试题解析：抛物线的对称轴为直线x=- 2m=-m ，2 1∵当 x＞ 2 时， y 的值随 x 值的增大而增大，∴-m≤2，解得 m≥-2．考点：二次函数的性质．例 3．函数y x2bx c 的图象经过点（1， 2），则 b-c 的值为．【答案】 1【解析】试题分析：把点（1， 2）代入y x2bx c ，得：1 b c 2 ，所以 b c 1 .考点：函数图象上的点.例4．已知抛物线 y=ax2+bx+3 的对称轴是直线 x=1 ．（ 1）求证： 2a+b=0；（ 2）若关于 x 的方程 ax2+bx ﹣ 8=0 的一个根为 4，求方程的另一个根．【答案】（ 1）见解析；（ 2） x=－ 2【解析】试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（ 1）中所求，再将 x=4 代入方程求出 a， b 的值，进而解方程得出即可．试题解析：（ 1）证明：∵对称轴是直线x=1= ﹣b，∴ b=－2a∴ 2a+b=0；2a（2）∵ ax2+bx﹣ 8=0 的一个根为 4，∴ 16a+4b﹣ 8=0 ，∵ b= ﹣ 2a，∴ 16a﹣ 8a﹣ 8=0 ，解得： a=1，则 b=﹣ 2，∴ a x2 +bx ﹣ 8=0 为：x2﹣ 2x ﹣ 8=0，则（ x﹣ 4）（ x+2 ） =0，解得：x1 =4，x2 =﹣ 2，故方程的另一个根为：﹣2．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点例 5．已知函数y x2bx1的图象经过点（3， 2）．（ 1）求这个函数的解析式；（ 2）当x 0时，求使y 2 的x的取值范围．【答案】（ 1）y x22x1；（2）x 3 ．【解析】试题分析：（ 1）把（ 3， 2）代入函数解析式求出 b 的值，即可确定出解析式；（ 2）利用二次函数的性质求出满足题意x 的范围即可．试题解析：（ 1）∵函数y x2bx 1的图象经过点（3， 2），∴9 3b1 2 ，解得： b 2 ，则函数解析式为： y x22x1；（ 2）当x 3时，y 2 ，根据二次函数性质当x 3时， y2，则当 x0时，使 y 2的x的取值范围是x 3．考点：待定系数法求二次函数解析式．22.3 实际问题与二次函数例 1．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（）【答案】 C【解析】试题分析： A 、对于一次函数 a＜ 0，对于二次函数 a＞ 0，则不正确； B 、对于一次函数 b＜ 0，对于二次函数 b＞ 0，则不正确； C、正确； D、对于一次函数 b＜ 0，对于二次函数 b＞ 0，则不正确．考点：函数图象例 2．学生校服原来每套的售价是100 元，后经连续两次降价，现在的售价是81 元，则平均每次降价的百分数是（）A．9%B．8．5%C． 9．5% D ．10%【答案】D．【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，根据等量关系“校服原来每套的售价是100 元×（ 1-下降率）2=每套校服现在的售价是81 元”，列出方程100（ 1-x）2 = 81元，解得x 即可，故答案选 D ．考点：一元二次方程的应用．。

第二十二章 一元二次方程小结与复习（分3课时完成）一、知识结构二、知识点归纳1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；（•4）•求根公式法，•求根公式是3．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．4.一元二次方程的根与系数的关系：（根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么： 结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ． 5.一元二次方程应用题．三、典型习题(一)一元二次方程概念1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．方程2x 2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）．A ．2，3，-6B ．2，-3，18C ．2，-3，6D ．2，3，6 3．方程x （x-1）=2的两根为（ ）．acx x a b x x =⋅-=+2121,5xA ．x 1=0，x 2=1B ．x 1=0，x 2=-1C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=-1，x 2=2 4．已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0），则（ ）． A ．1B ．-1C ．0D ．25．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 6．一元二次方程的一般形式是 ．7．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________． 8．已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．9．a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）x-（x+1）是一元二次方程？10．关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？11．如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．（二）解一元二次方程的方法：1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-3 2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-11 3．方程x 2+4x-5=0的解是________．4．代数式的值为0，则x 的值为________． 5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数． 6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．7．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 8．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．9．已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实数，则p 与q 的关系是________．10．已知b ≠0，不解方程，试判定关于x 的一元二次方程x 2-（2a+b ）x+（a+ab-2b 2）•=0的根的情况是________． 11．如果x 2-4x+y 2+13=0，则（xy ）z •=2221x x x ---12.某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元一次方程m 是否存在？若存在，请求出．13.用直接开平方法解下列方程（1）3x 2+9=0 （2）8x 2-16=0 （3）（x-）2=2（x-3）2=7214．用配方法解下列方程 （1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-=0 （3）9y 2-18y-4=0 （4）x 215.用公式法解下列方程．（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x 2x+=0 （4）4x 2-3x+2=016．用因式分解法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）25y 2-16=0 （3）x 2-12x-28=0 （4）x 2-12x+35=017.不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0 18.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：22m x+13891212013)1(2=--x x 0532)2(2=-+x x 02231)3(=-x x。

第二十二章 二次函数一、二次函数的有关概念： 1、二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

2、二次函数解析式的表示方法（1） 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2） 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.二、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1.基本方法：描点法注：五点绘图法。

利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.2.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 三、二次函数的图像和性质1.二次函数2y ax bx c =++的性质 （1）. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． （2）. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 2.二次函数()2y a x h k=-+ 的性质：四、二次函数图象的平移 概括成八个字“左加右减，上加下减”．五、二次函数与一元二次方程：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A xB x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．六、二次函数中的符号问题 1. 二次项系数aa 决定了抛物线开口大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 七、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．。

二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验与方法.3.理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根.4.进一步发展学生的估算能力,体会数形结合思想.教学重难点理解一元二次方程与函数的关系.教学过程与方法1.自主阅读课本(10分钟)2.交流互动(10分钟)知识点一:二次函数与一元二次方程之间的关系知识点二:抛物线与x轴的交点个数同一元二次方程的根的情况之间的关系抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0知识点三:求方程的近似解3.课堂练习(11分钟)习题第2题(1)、(2).4.拓展性练习(11分钟)(1)已知二次函数y=-x2+4x+k的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+4x+k=0的两根为x1=-1,x2=5 .(2)抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为( C )D.以上都不对(3)下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列选项正确的是( C )xyA.1.6<x1< 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是( C )A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根5.小结升华(5分钟)学生小结,教师补充总结:(1)二次函数与一元二次方程的关系.(2)二次函数与一元二次方程根的情况的关系.(3)事物是普遍联系的.运用方程知识可以解决函数问题,同样运用函数知识又可以解决方程的根的相关问题.6.独立作业(10分钟)(1)必做题:①已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c的值是( A )②若一元二次方程x2-mx+n=0无实数根,则抛物线y=-x2+mx-n的图象位于( C )轴上方 B.第一、二、三象限轴下方 D.第二、三、四象限(2)备用题:已知二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,求△ABC的面积.解:S△ABC=.第2课时二次函数与不等关系教学目标1.经历探索二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系,体会数形结合思想,培养观察能力.2.通过学习,感受学习数学知识之间联系与转化的无穷乐趣.教学重难点重点:根据函数图象观察方程的解和不等式的解集.难点:观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况.教学过程与方法1.出示例题供学生合作学习,教师进行矫正与强化(15分钟)【例】如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解是x>3或x<-1.2.学习独立完成如下习题(25分钟)(1)若二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围为( B )>-≥-且k≠0≥->-且k≠0(2)已知二次函数y=x2-2ax+(b+c)2,其中a、b、c是△ABC的边长,则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )A.无交点B.有一个交点C.有两个交点D.交点个数无法确定(3)若二次函数y=x2+mx+m-3的图象与x轴交于A、B两点,则A、B两点的距离的最小值是( C )D.无法确定(4)已知抛物线y=-3(x-1)(x+2),则当x ≤-2或x≥1 时,y≤0.(5)如图,请根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的图象信息回答:①不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为x<-2或x>1 .②方程ax2+bx+c=mx+n的解为 x1=1,x2=-2 .(6)若抛物线y=(m-1)x2+2mx+m+2的图象恒在x轴的上方,则m的取值范围是m>2 .(7)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,请根据图象信息回答问题:①写出方程ax2+bx+c=0的两根;②写出不等式ax2+bx+c>0的解集;③写出方程ax2+bx+c=的两根;④写出不等式ax2+bx+c<的解集;⑤若方程ax2+bx+c+1-k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:①0,4 ②x<0或x>4 ③5,-1 ④-1<x<5 ⑤k>-13.课堂小结(5分钟)本节课有哪些收获与困惑?。

一元二次方程是初中数学中一个重要的知识点，也是高中数学的基础。

在九年级上册的第22章中，我们将深入学习一元二次方程的概念、性质和解法。

一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$，其中$a\neq0$，$a,b,c$为已知实数，$x$为未知数。

方程中的二次项、一次项和常数项分别是$ax^2$、$bx$和$c$。

首先我们来了解一元二次方程的四个基本形态：1. 当$b^2-4ac>0$时，方程有两个不等实根；2. 当$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等实根；3. 当$b^2-4ac<0$时，方程没有实根，但有两个共轭复根；4.当$a=0$时，方程成为一元一次方程。

接下来，我们将学习如何求解一元二次方程。

一般可以通过以下两种方法来解方程：1.因式分解法：当一元二次方程可以因式分解成两个一次因式的乘积形式时，可以利用零因子法将方程求解到原方程的解；2.公式法：利用求根公式，可以直接求解一元二次方程。

在使用求根公式解一元二次方程时，我们首先要求得方程的判别式$\Delta$，判别式的公式为$\Delta=b^2-4ac$。

根据判别式的值，我们可以判断方程的根的个数和性质。

当$\Delta>0$时，方程有两个不等实根，可以直接利用求根公式求解。

求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，其中$±$表示两个不等的根。

当$\Delta=0$时，方程有两个相等实根，也可以利用求根公式求解。

此时，求根公式中的$\pm$变成相同的符号$+$。

当$\Delta<0$时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

此时求根公式中的$\sqrt{\Delta}$是虚数，可以用复数单位$i$来表示，即$x=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$。

在九年级上册的同步练习中，我们将通过一系列的习题来巩固和运用所学的知识。

习题1：解方程$2x^2+3x-2=0$所以，方程$2x^2+3x-2=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$。

22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标（一）学习目标1．了解一元二次方程的根的几何意义，知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. （二）学习重点：1. 二次函数与一元二次方程之间的联系.2. 用图象法求一元二次方程的近似根并且估算.（三）学习难点：1. 理解一元二次方程的根在二次函数中的意义.2．用函数观点看一元二次方程，二次函数与一元二次方程的区别与联系. 3. 体会数形结合解决问题的思想方法.二、教学设计（一）课前设计 1. 预习任务: 二次函数2yax bx c 的图象与x 轴的交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：①有两个不相等的实数根，②有两个相等的实数根，③没有实数根(二)课堂设计1. 知识回顾（1）二次函数的定义：形如20yax bx c a b c a（、、为常数，）的函数，叫做二次函数.（2）二次函数的图象和性质：二次函数2y ax bx c 的图象是一条抛物线，当0a 时，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小，当2bx a时，y 随着x 的增大而增大； 当0a 时，当2bxa时，y 随着x 的增大而增大，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小. （3）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）（4）一元二次方程20ax bx c 的根的情况怎样判定：用根的判别式：ac b d 42-= ①当d ＞0时，方程20ax bx c 有两个不相等的实数根； ②当d=0时，方程20ax bx c 有两个相等的实数根； ③当d<0时，方程20ax bx c 没有实数根. 2. 问题探究探究一 二次函数与一元二次方程之间的联系 重点、难点知识★▲ ●活动① 通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系问题 如图，以40m s 的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位: m ）与飞行时间t （单位: s ）之间具有函数关系 师问：考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20m ？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 一般地，我们可以利用二次函数2y ax bx c 深入讨论一元二次方程20ax bx c . 师问：二次函数223yx x ，221yx x ，222yx x 的图象如下图所示，每个图象与x 轴有几个交点？223yx x 的图象 221yx x 的图象 222y x x 的图象师问：一元二次方程2230x x ，2210x x 有几个实数根？用判别式验证一下. 一元二次方程2220x x 有实数根吗？.师问：二次函数2yax bx c 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程20ax bx c 的根有什么关系？ 总结：一般地，从二次函数2y ax bx c 的图象可得如下结论：（1）抛物线2yax bx c 与x 轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.反之亦然.（即：由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系） （2）如果抛物线2y ax bx c 与x 轴有交点，交点的横坐标是0x ，那么当0xx 时，函数值是0，因此0xx 是一元二次方程20ax bx c 的一个根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的. 探究二 利用二次函数的图象求一元二次方程的根 ●活动② 通过例子，解决问题例 利用函数图象求方程2220x x 的实数根（结果保留小数点后一位）.解：画出函数222yx x 的图象（图22.2－3），它与x 轴的公共点的横坐标大约是7.0-、2.7，所以方程2220x x 的实数根为7.01-≈x ，7.22≈x（图22.2－3）我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 观察函数222yx x 的图象，可以发现，当自变量为2时函数值小于0（点(2,2)在x 轴的下方），当自变量是3时函数值大于0，（点(3,1)在x 轴的上方）.所以抛物线222yx x 在23x 这一段经过x 轴.（抛物线没有间断点，因而抛物线从x 轴下方通过x 轴上方时一定经过x 轴.）也就是说，当自变量取2,3之间的某个值时，函数值为0，即方程2220x x 在23，之间有根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.（每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半.）例如，取2,3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0,0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5,2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.5625,2.75之间，在2.6875,2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在的范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于2.6875 2.750.06250.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.你能用这种方法得出方程2220x x 的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？这种求根的近似值的方法也适用于更高的一元方程.【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： （1） 画出函数的图象（可用计算机画）；（2）根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间； 可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. （3）确定方程的近似根.探究三 例题讲解 学以致用 ●活动① 基础性例题例1：抢答：判断下列抛物线与x 轴的交点个数. （1）2242yx x （2）2621yx x （3） 2324y x x【答案】一个交点，没有交点，两个交点． 练习：二次函数2340y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，则线段AB 长为 ．【答案】13例2 （1）已知二次函数277y kx x 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围为（ ）A ．74kB ．047≠-≥k k 且 C ．74k D ．704k k -≠＞且 【答案】B （2）若二次函数23yx x m 的图象全部在x 轴的下方，则m 的取值范围为 ． 【答案】94m． 练习：抛物线2yx x b 的图象全部在x 轴的上方，则b 的取值范围为 ．【知识点】抛物线与x 轴的交点问题 【答案】14b●活动② 提升型例题 例3 下表是一组二次函数235yx x 的自变量x 与函数值y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y﹣1﹣0.490.040.591.16那么方程2350x x 的一个近似根是（ ） A ．1 B ．1.1 C ．1.2 D ．1.3【答案】C练习：在平面直角坐标系中，抛物线20yax bx c a （）的部分图象如图所示，直线1x 是它的对称轴．若一元二次方程20ax bx c 的一个根1x 的取值范围是123x ，则它的另一个根2x 的取值范围是 ．【答案】210x●活动③ 探究型例题例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233yx x 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ．（1）填空：点A 的坐标为（ ， ），点B 的坐标为（ ， ），点C 的坐标为（ ， ），点D 的坐标为（ ， ）； （2）点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；【答案】(1) 0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、83；（2）① 35(,)22E -，② 3522EF =或；练习：如图，抛物线2y ax bx =+过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标． 【答案】24y x x =-+,3 , （5，﹣5） 3. 课堂总结 【知识梳理】（1）填表：二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=的关系：判别24b ac - 0∆> 0∆= 0∆<函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象0a >0a <20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根12,x x有两个相等的实数根122b x x a==-没有实数根抛物线与x 轴 的交点情况有两个交点 有一个交点 无交点（2）一般地：已知二次函数2y ax bx c =++的函数值为m ，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程2ax bx c m ++=．反之，解一元二次方程2ax bx c m ++=又可以看作已知二次函数2y ax bx c =++的值为m 的自变量x 的值．（3）利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： ①画出函数的图象（可用计算机画）；②根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；③可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. ④确定方程的近似根. 【重难点归纳】1. 注意抛物线与x 轴的交点与抛物线的对称轴之间的关系：当已知方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x 时，那么抛物线2y ax bx c =++的对称轴为122x x x +=. 2. 注意四个“二次”之间的区别与联系，即二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次三项式；利用他们之间的转化解决问题.（1）二次三项式2ax bx c ++恒正⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴上方0a ⇔>且0∆<； （2）二次三项式2ax bx c ++恒负⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴下方0a ⇔<且0∆<. 3. 利用二次函数图象求不等式解集的方法：“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“0,0y y ><或0,0y y ≥≤”，从图象看是指曲线在x 轴上方或x 轴下方时的x 值（对应的自变量x 的取值范围）。