嘉兴一中2012学年高一数学期末复习（二）——函数的定义域、值域、解析式组题人：吴献超 审题人：胡刚知识梳理: 【考试说明】1．了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域． 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 【概念梳理】函数定义:一般地，我们有：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中都有 确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作: y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域（range ）．、 与 统称为函数的三要素．映射定义：一般地，我们有：设A 、B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．区间的概念:设,a b 是两个实数，而且.a b <我们规定：(1)满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为 (2)满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为 (3)满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点，其中实数a 叫做区间的左端点，实数b 叫做区间的右端点，b a -叫做区间的长度. 区间意义与使用规则：区间是集合的另外一种表示方法，在用区间表示集合时应注意区的使用规则: (1)区间的左端点必须小于其右端点;(2)区间中的元素都表示数轴上的点,可以用数字表示出来; (3)任何区间均可在数轴上表示出来;(4)以“-∞”或“+∞”为区间的一端点时，这一端必须是小括号.函数的表示方法: 、 、分段函数： 已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数. 分段函数是一个函数，而不是几个函数；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应将几种不同的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 【题型与方法】1．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：定义域是自变量x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题．忽视函数的定义域，我们将“寸步难行”，由此，我们也往往将函数的定义域称之为函数的“灵魂”．函数的定义域，就是使给出的解析式有意义的自变量的取值集合，具体来说有以下几种情况：(1)若()f x 是整式，则其定义域为全体实数集R ；(2)若()f x 是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；(3)若()f x 是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合； (4)如果函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本初等函数定义域的交集； (5)复合函数定义域求法：①若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出； ②若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域. (6)由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量的实际意义给出.(7)分段函数定义域是各段函数定义域的并集，对数函数底数大于零不等1，真数大于零. 2．相等函数的判断:两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数），而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．求函数值域的常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.具体方法： (1)直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y =ax +b (a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为 ，值域为 ； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为 ， 当a >0时，值域为 ；当a <0时，值域为 .(2)配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；(3)分式转化法（或改为“分离常数法”），如求函数3243x y x +=-的值域(4)换元法(特别注意新元的范围)：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解.(5)判别式法（可转化为双钩函数形式）如求函数22122+-+=x x x y 的值域 (6)单调性法(7)数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域. (8)分段函数的值域是各段函数值域的并集. 3．求函数解析式的常用方法⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组； (4)已知函数的奇偶性和部分解析式，求函数的完整解析式；(5)赋值法（抽象函数）基础练习：1．下列对应关系是集合P 上的函数是有 ．（1）*,PZ Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2,,y x x P y Q =∈∈；（3）{P=三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．” 2．下列说法中正确的有 ．A.()y f x =与()y f t =表示同一个函数 B. ()y f x =与(1)y f x =+不可能是同一函数 C.()1f x =与0()f x x =表示同一函数 D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数3. (1)函数y ＝16－4x 的值域是 ．(2)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x ).则f (x )的值域是 ．4.函数lg 3y x =-____________5. 设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且()1()1f xg x x +=-,则()f x =____________，()g x = ． 典型例题例1．(1)已知f (x )＝e(x ∈R)，则f (e 2)等于( )A ．e 2B ．e C. eD ．不确定(2) 如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量,x y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有 ．(3)函数)2()21()1(22)(2≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x x f ，则3()____2f -=，若21)(<a f ，则实数a 的取值范围是____ 例2．（1）若3311()f x x xx +=+，则()f x = ．（2）若2(1)lg f x x+=，则()f x = ． （3）若()f x 满足12()()3f x f x x+=，则()f x = ．（4）已知二次函数()f x 同时满足条件:①(1)(1)f x f x +=-; ②()f x 的最大值为15;③()0f x =的两根的立方和等于17.求函数()f x 的解析式.例3． （1）求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域． （2）若函数y ＝f (x )的定义域是[0,4]，求函数g (x )＝f (12x )x －1的定义域．例4．求下列函数的值域：⑴函数22211xx y +-= ⑵函数3log 3log 2x y x =++ ⑶xx y +-=112⑷y x =嘉兴一中2012学年高一数学期末练习（二）——函数的定义域、值域、解析式组题人：吴献超 审题人：胡刚班级：___________ 姓名：__________ 学号：____________一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴ 3)5)(3()(+-+=x x x x f ，5)(-=x x g ；⑵ 11)(-+=x x x f ，)1)(1()(-+=x x x g ；⑶ x x f =)(，2)(x x g =； ⑷0)(x x f =，xx x g =)(； ⑸ 2)52()(-=x x f ，52)(-=x x gA. ⑴、⑵B. ⑵、⑶ C ． ⑷ D. ⑶、⑸ 2．函数2()lg(31)f x x =+的定义域是（ ）A. 1(,)3-∞-B.11(,)33- C ．1(,1)3- D.1(,)3-+∞3．若函数[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x）（，则=)3(log 4f （ ） A.31 B. 3 C. 41D. 4 4．如果函数|)|1()1()(x x x f -⋅+=的图象在x 轴上方，那么此函数的定义域为（ ）A. ()1,1- B. ()(),11,-∞-⋃+∞ C . ()(),11,1-∞-⋃- D. ()()1,11,-⋃+∞ 5．函数}3,2,1{}3,2,1{:→f 满足)())((x f x f f =，则这样的函数个数共有（ ）A. 1个B.4个 C ．8个 D.10个 6．函数344)(23++-=ax ax x x f 的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是（ ）A. (－∞，+∞)B. (0，43) C ．(－43，+∞) D.)43,0[ 7．设函数2()272f x x x =-+-，对于实数(03)m m <<，若()f x 的定义域和值域分别为[,3]m 和[1，3]，则m 的值为（ ）A. 1B.5/2 C ．611 D.8118．函数()31log f x x =+的定义域是(]1,9，则函数()()()22g x f x f x =+的值域是（ ） A ．(]2,14 B.[)2,-+∞ C ．(]2,7 D.[]2,79．设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][)11--+ ∞，，∞B ．(][)10--+ ∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞ 二、填空题10．若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++则()f x = . 11．如果函数f （x ）=ax -1的定义域为[－21，+)∞，那么实数a 的取值范围是 .12．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)1f x x x =-+，则()f x = 13．函数xax y 213-+=的值域为()(),22,-∞-⋃-+∞，则实数a = .14．函数x a a x y -+-=的定义域为 .15．函数)(x f =x 2＋x ＋21的定义域是[n ，n ＋1]（n 是自然数），则此函数值域中的整数的个数为 .16．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 三、解答题17．对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()()f g f g f gf xg x x D x Dh x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且．（1）若函数1()1f x x =-，2()g x x =，写出函数()h x 的解析式；（2）求问题（1）中函数()h x 的值域.18．求函数3512+-+=x x x y 的值域（至少两种方法）.19．已知函数ϕ(x)=f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16，ϕ(1)=8． （1）求ϕ(x)的解析式，并指出定义域；（2）求ϕ(x)的值域.20．已知函数()2x f x ax b=+（a ，b 为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式()()12k x k f x x+-<-.21．已知二次函数()2f x ax bx =+ (),0a b a ≠是常数，且满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．答案：任意，唯一，函数值的集合{f (x )| x ∈A }，定义域、值域与对应关系[],;a b (,);a b [,),(,].a b a b解析法、图象法、列表法 {x |x ≠0}，{y |y ≠0}； Rab ac y y 4)4(|2-≥，{ ab ac y y 4)4(|2-≤}. 基础练习：1．【研析】由于（1）中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且（3）中集合P 不是数集，从而知只有（2）正确．2．【研析】A 两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同. 2．(]0,3 3．()9,02,4⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦4．[)()()0,22,33,4⋃⋃ 5．221,11xx x -- 典型例题 例1 （1）B（2）【研析】由函数定义可知，任意作一条直线x a =，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当11a -≤≤时，直线x a =与函数的图象仅有一个交点，当1a >或1a <-时，直线x a =与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有（2）（3）．（3）12，3(,)(2-∞- 例2 【研析】（1）∵3331111()()3()f x x x x xx x x+=+=+-+， 又1(,2][2,)x x+∈-∞-+∞ ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-（3）12()()3f x f x x+= ①，把①中的x 换成1x，得132()()ff x x x += ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-(4) 【研析】从所给条件知()f x 的图象关于1x =对称,且最大值为15,故设二次函数的顶点式,利用韦达定理得到关于系数a 的方程.依条件可设2()(1)15(0)f x a x a =-+<,即2()215f x ax ax a =-++,令()0f x =即22150ax ax a -++=,并设12,x x 为该方程的两个根,由韦达定理知:12122151x x x x a +=⎧⎪⎨⋅=+⎪⎩,从而3333121212121590()3()232(1)2.x x x x x x x x a a +=+-⋅+=-⨯⨯+=-90217a∴-=,故 6.a =- 所以函数()f x 的解析式为2()6129.f x x x =-++例3 (1) 解：(1)要使f (x )有意义， 则只需⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≥1或x ≤－1，x ≠4，∴x ≥1且x ≠2且x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.故函数的定义域为{x |x <－2或－2<x ≤－1或1≤x <2或2<x <4或x >4}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤4，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ≠1，∴0≤x ≤8且x ≠1.故定义域为[0,1)∪(1,8]． 例4 （1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ (2) (][),04,-∞⋃+∞ (3) 110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4) 5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭练习卷：1-9：CCBCD DCCC10. ()21, 0421,0x f x x x x=⎧⎪=⎨++≠⎪⎩11.-212. ()221,00, 01,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++>⎩13.4 14. {}a 15.2n+1 16. ]310,2[ 17. 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h 18. (]1,1,13⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭19. 解析： (1)设f(x)=ax ，g(x)=x b ，a 、b 为比例常数，则ϕ(x)=f(x)＋g(x)=ax ＋xb由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧==8163318)1(,16)31(b a b a 得ϕϕ，解得⎩⎨⎧==53b a ∴ϕ(x)=3x ＋x 5，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)由y =3x ＋x5， 得3x 2－yx ＋5=0(x ≠0)∵x ∈R 且x ≠0， ∴Δ=y 2－60≥0，∴y ≥215或y ≤－215[来源:学&科&网] ∴ϕ(x) 的值域为(－∞，－215]∪［215，＋∞)20.解析：（1）将得（2）不等式即为即[来源:][来源:学#科#网Z#X#X#K]①当②当③.21. 解：(1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.① 由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x .(2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1，∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎨⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0..故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．。
