步步高2014版《考前三个月》高考物理(通用)大二轮专题复习题型冲刺练：平抛运动与圆周运动

训练2 经典小题强化练内容：三角函数、平面向量、解三角形 一、选择题1． (2013·课标全国Ⅱ改编)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ等于( ) A ．－105 B.105 C.255 D ．－255答案 A解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010.∴sin θ＋cos θ＝－105.2． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－3，－5)B ．(3,5)C ．(2,4)D ．(－2，－4)答案 A解析 BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，BD →＝BC →－AB →＝(－3，－5)，故选A. 3． 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A.13B.135C.65D.655答案 D解析 依题意得，向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝655，故选D.4． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析 根据正弦定理及sin C ＝23sin B 得c ＝23b .因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－(a 2－b 2)2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，所以A ＝30°.5． 已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上三点，OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OA →等于( )A.32 B ．－32 C ．－32 D.12答案 C解析 ∵OA →＋OB →＝OC →，∴OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →＝OC →2，∴OA →·OB →＝－12，∴AB →·OA →＝(OB →－OA →)·OA →＝OA →·OB →－OA →2＝－32.6． (2012·浙江)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 ( )答案 A解析 变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 正确．7． 在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案 D解析 ∵AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →， AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 即AB →·CB →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， ∴CA →·CB →＝0，∴∠C ＝90°，即△ABC 是直角三角形．8． 当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是 ( )A ．奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 答案 C解析 由题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1， ∴φ可取－3π4.∴f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－x －3π4＝－A sin x ，∴选C.9． 已知函数f (x )＝(cos 2x cos x ＋sin 2x sin x )sin x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数答案 A解析 f (x )＝12sin 2x cos 2x ＋sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－cos 2x 2 ＝12sin 2x cos 2x －12sin 2x cos 2x ＋12sin 2x ＝12sin 2x ， 故f (x )的最小正周期为π，又是奇函数．10．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于 ( )A.π6 B.7π12 C.76πD.73π 答案 C解析 由题中图象知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.又知M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫712π，－A ， 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，∴A ＝712π，∴A ·ω＝76π.故选C.11．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,1]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[－1,1]答案 A解析 令f (x )＝sin 2x ＋2sin x ，则f (x )的值域是[－1,3]，因为方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，所以－1≤－a ≤3，∴－3≤a ≤1.12．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12]答案 D解析 ∵T ＝12，∴ω＝π6，又∵t ＝0时，y ＝32，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3， 令2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2，即12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z 时，y 递增． ∵0≤t ≤12，∴函数y 的单调递增区间是[0,1]和[7,12]． 二、填空题13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －12，x >2 000，则f [f (2 012)]＝________.答案 －1解析 ∵2 012>2 000，∴f [f (2 012)]＝f (2 000)． ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 2π3＝－1.14．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.答案 －14解析 设BC →＝a ，AB →＝b ，则AD →＝AB →＋BD →＝b ＋12a ，BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋13CA →＝23a －13b ，且a·b ＝cos 120°＝－12，所以AD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫23a －13b ＝13a 2－13b 2＋12a·b ＝－14. 15．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C的值为______．答案66解析 设AB ＝a ，则AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝2BD ＝4a 3， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223.由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66.16．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题： ①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数． 其中正确的命题是________． 答案 ①②④解析 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；由①易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝π4不对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确．。

题型6 特征描述型1．读下列材料和地图，回答(1)～(4)题。

材料一图甲为2011年9月上旬我国部分地区强降雨量图，图乙为汾河流域示意图材料二汉江流域示意图(1)图甲所反映的强降水最有可能是________(锋面)引起，降雨区位于锋线的____________(地图方向)。

(2)读图丙，该区域城市分布特点是____________________，图中A、B两地形成的流水地貌类型分别是______________________和______________________。

(3)根据图乙、图丙和所学知识，试比较汉江和汾河水文特征的异同。

(4)答案(1)冷锋北或西北(2)沿河或河谷地带分布甲：河流侵蚀地貌(V型河谷)乙：河流堆积地貌(冲积平原)(3)相同点：水位的季节变化大；夏季为汛期不同点：汉江：流量大，含沙量小，汛期长，无结冰期。

汾河：流量小，含沙量大，汛期短，有结冰期。

(4)自然条件：水热丰富，雨热同期；地形平坦；土壤肥沃；水源充足。

社会经济条件：交通便利；种植历史悠久；单位面积产量高，商品率高；增产潜力大；劳动力丰富等。

解析第(1)题，根据我国的锋面雨带的推移规律可知，9月华北地区的降水只可能是冷锋天气系统所致，不可能是暖锋所为。

冷锋的降水一般都在锋后(冷气团一侧，即锋线的西北或北侧)。

第(2)题，从图丙中可以看出图中的城市分布具有沿河设城的特点。

这是一般南方城市分布的基本特征。

对于图中A、B两处的河流地貌可以从它们所处的河流的不同地段做出判断。

A位于汉江的上游地区，B位于汉江的下游河段。

根据所学的地貌基本常识可知：在河流的上游河段一般是以侵蚀地貌为主，形成V形谷；在河流的下游河段多为堆积地貌，形成冲积平原或河口三角洲。

第(3)题，河流的水文特征的比较主要是从位(水位高低)、流(流量的大小)、沙(含沙量)、冰(有无结冰期)、汛(汛期)等方面进行比较，一定抓住汉江位于秦岭以南，从气候上来说属于亚热带季风气候区；而汾河地处黄土高原，从气候上来看是温带季风气候。

高考大题纵横练(二)内容：高中全部内容1． 已知函数f (x )＝m ·n ，其中m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx ,2sin ωx )，其中ω>0，若f (x )相邻两对称轴的距离大于等于π2.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝3，b ＋c ＝3，当ω最大时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m ·n ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋3sin 2ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. T 2＝12·2π2ω＝π2ω≥π2⇒0<ω≤1. (2)ωmax ＝1，f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1⇒sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12， 0<A <π，故π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6⇒A ＝π3.a 2＝3＝b 2＋c 2－2bc ·12＝(b ＋c )2－3bc ＝9－3bc ⇒bc ＝2，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×32＝32.2． 某工厂生产甲、乙两种电子产品，甲产品的正品率为80%，次品率为20%；乙产品的正品率为90%，次品率为10%.生产1件甲产品，若是正品则可盈利4万元，若是次品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是正品则可盈利6万元，若是次品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列与数学期望；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 解 (1)由题设知，X 的可能取值为10,5,2，－3，且 P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02. ∴X 的分布列为∴E (X )＝－3×0.02＋2×0.08＋5×0.18＋10×0.72＝8.2. (2)设生产的4件甲产品中正品有n 件，则次品有4－n 件．由题意知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145.又n ∈N *，得n ＝3，或n ＝4.所以P ＝C 34·0.83·0.2＋C 44·0.84＝0.819 2. 故所求概率为0.819 2.3． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥AD ，AD ＝12BC ＝3，PC ＝5，AD ∥BC ，AB ＝AC ，∠BAD ＝150°，∠PDA ＝30°.(1)证明：P A ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于14？若存在，指出F 点位置；若不存在，请说明理由． (1)证明 取线段BC 中点E ，连接AE . 因为AD ＝3，∠PDA ＝30°，所以P A ＝1. 因为AD ∥BC ，∠BAD ＝150°，所以∠B ＝30°， 又因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC ，而BC ＝23，所以AC ＝AB ＝BEcos 30°＝2.因为PC ＝5，所以PC 2＝P A 2＋AC 2，即P A ⊥AC . 因为P A ⊥AD ，且AD ∩AC ＝A ， 所以P A ⊥平面ABCD .(2)解 以A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则P ，B ，C ，D 四点坐标分别为P (0,0,1)，B (1，－3，0)，C (1，3，0)，D (0，3，0)．设F (x 1，y 1，z 1)，平面PBC 的法向量u ＝(x ，y ，z )．因为点F 在线段PD 上，所以假设PF →＝λPD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝3λ(0<λ≤1)z 1＝1－λ，即F (0，3λ，1－λ)，所以FC →＝(1，3－3λ，λ－1)． 又因为平面PBC 的法向量u ＝(x ，y ，z )，所以u ·PB →＝0，u ·BC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －z ＝0，23y ＝0所以u ＝(1,0,1)．因为直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于14，所以|FC →·u ||FC →|·|u |＝14.所以|λ|2×1＋4(λ－1)2＝14，即λ＝12.所以点F 是线段PD 的中点．4． 已知各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝na n(2n ＋1)·2n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．(3)设c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)a n ＋2，记数列{c n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，证明：516≤S n <12.解 (1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以有2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 从而，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(2)解 b n ＝na n (2n ＋1)·2n ＝n2n ＋1，若b 1，b m ，b n 为等比数列，则(m 2m ＋1)2＝13(n 2n ＋1)，即m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3.由m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2.所以－2m 2＋4m ＋1>0，解得1－62<m <1＋62. 又m ∈N *，且m >1，所以m ＝2，此时n ＝12.故当且仅当m ＝2，n ＝12，使得b 1，b m ，b n 成等比数列．(3)证明 c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)2n ＋2＝12·n 2＋2n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2＋nn (n ＋1)2n ＋1＋n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋1＋1n ·2n －1(n ＋1)2n ＋1∴S n ＝12(122＋…＋12n ＋1)＋12[(11·2－12·22)＋(12·22－13·23)＋…＋(1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1)]＝12122(1－12n )1－12＋12[12－1(n ＋1)·2n ＋1] ＝12[1－(12)n ＋1·n ＋2n ＋1]． 易知(12)n ＋1·n ＋2n ＋1＝(12)n ＋1(1＋1n ＋1)递减，∴0<(12)n ＋1·n ＋2n ＋1≤(12)1＋1·1＋21＋1＝38.∴516≤12[1－(12)n ＋1·n ＋2n ＋1]<12，即516≤S n <12. 5． 已知定点A (p 2，0)(p 为常数，p >0)，B 为x 轴负半轴上的一个动点，动点M 使得|AM |＝|AB |，且线段BM 的中点在y 轴上． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设EF 为曲线C 的一条动弦(EF 不垂直于x 轴)，其垂直平分线与x 轴交于点T (4,0)，当p ＝2时，求|EF |的最大值．解 (1)设M (x ，y )，则BM 的中点G 的坐标为(0，y2)，B (－x,0)．又A (p 2，0)，故GA →＝(p 2，－y 2)，GM →＝(x ，y 2)．由题意知GA ⊥GM ，所以GA →·GM →＝0， 即px 2－y 24＝0，所以y 2＝2px . 因为M 点不能在x 轴上，故曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0，x ≠0)． (2)设弦EF 所在直线方程为y ＝kx ＋b ，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y 2＝4x得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0①则x 1＋x 2＝4－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k2.则线段EF 的中点为(2－kb k 2，2－kb k ＋b )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2－kb k 2，2k .线段EF 的垂直平分线的方程为y －2k ＝－1k (x －2－kb k 2)．令y ＝0，x ＝4，得－2k ＝－1k (4－2－kb k 2)．得bk ＝2－2k 2.所以|EF |2＝(1＋k 2)·(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[(4－2kb k 2)2－4b 2k 2]＝16(1＋k 2)·1－kb k4＝16(1＋k 2)·2k 2－1k 4＝16(－1k 4＋1k 2＋2)＝－16(1k 2－12)2＋36.由①，Δ＝(2kb －4)2－4k 2b 2＝4k 2b 2－16kb ＋16－4k 2b 2＝16－16kb ＝16－16(2－2k 2)＝32k 2－16>0.得k 2>12，得0<1k2<2.所以，当1k 2＝12，即k ＝±2时，|EF |2取得最大值，最大值等于36，即|EF |的最大值为6.6． 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x .(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －mx有解，求实数m 的取值范围；(3)定义：对于函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的任意实数x 0，称|f (x 0)－g (x 0)|的值为两函数在x 0处的差值．证明：当a ＝0时，函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的所有差值都大于2.(1)解 f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x (x >0)，①当a ＝0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈(0，－1a )时，f ′(x )>0，∴f (x )单调递增，当x ∈(－1a ，＋∞)时，f ′(x )<0，∴f (x )单调递减．综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在(0，－1a)上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减．(2)解 由题意：e x <x －mx 有解，即e x x <x －m 有解，因此只需m <x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可． 设h (x )＝x －e x x ， h ′(x )＝1－e xx －e x2x＝1－e x (x ＋12x )，因为x ＋12x≥2 12＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x >1，所以1－e x (x ＋12x )<0，即h ′(x )<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴h (x )<h (0)＝0，故m <0.(3)证明 当a ＝0时，f (x )＝ln x ，f (x )与g (x )的公共定义域为(0，＋∞)，|f (x )－g (x )|＝|ln x －e x |＝e x －ln x ＝e x －x －(ln x －x )， 设m (x )＝e x －x ，x ∈(0，＋∞)．因为m ′(x )＝e x －1>0，m (x )在(0，＋∞)上单调递增，m (x )>m (0)＝1， 又设n (x )＝ln x －x ，x ∈(0，＋∞)，n ′(x )＝1x －1，当x ∈(0,1)时，n ′(x )>0，n (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，n ′(x )<0，n (x )单调递减， 所以x ＝1为n (x )的极大值点，即n (x )≤n (1)＝－1， 故|f (x )－g (x )|＝m (x )－n (x )>1－(－1)＝2. 即公共定义域内任一点差值都大于2.。

高考物理15题专题一选择题第1题匀变速运动的规律及图象问题(限时：45分钟)1．(多选)(2013·成都高新区摸底)某人在t＝0时刻，观察一个正在做匀加速直线运动的质点，现只测出了该质点在第3 s内及第7 s内的位移，则下列说法正确的是() A．不能求出任一时刻的瞬时速度B．能求出任一时刻的瞬时速度C．不能求出第3 s末到第7 s初这段时间内的位移D．能求出该质点的加速度答案BD解析测出了该质点在第3 s内及第7 s内的位移，可以得到运动的加速度a，可以得到2.5 s末和6.5 s末的瞬时速度．应用速度公式可以求出初速度，故可以求出任一时刻的瞬时速度，选项A错误，B、D正确；应用位移公式可以得到任意时间内的位移，选项C错误．2．(单选)一辆汽车在平直的公路上从静止运动，先后经历匀加速、匀速、匀减速直线运动最后停止．从汽车启动开始计时，下表记录了汽车某些时刻的瞬时速度，根据数据可判断出汽车运动的v－t图象是()答案 C解析 由a ＝ΔvΔt ，求出匀加速末时刻为t 1＝4 s 时刻；开始减速的时刻为t 2，加速度a 2＝9－129.5－t 2＝3－91，得t 2＝9 s ，故选C 项．3． (单选)(2013·泰安市模拟)设物体运动的加速度为a ，速度为v ，位移为x ，现有四个不同物体的运动图象如图所示，t ＝0时刻物体的速度均为零，则其中物体做单向直线运动的图象是( )答案 C解析由位移－时间图象可知，位移随时间先增大后减小，2 s后反向运动，不是单向直线运动，故A错误；由速度－时间图象可知，物体在0～2 s内沿正方向运动，2 s～4 s内沿负方向运动，方向改变，故B错误；由图象C可知：物体在0～2 s内做匀加速运动，2 s～4 s内做匀减速运动，4 s末速度减为0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，故C正确；由图象D可知：物体在第1 s内做匀加速运动，1 s～2 s内做匀减速运动，2 s末速度减为0，第3 s内沿反方向运动，不是单向直线运动，故D错误，故选C.4．(单选)如图1所示，一个小球从地面竖直上抛．已知小球两次经过一个较低点A的时间间隔为T A，两次经过较高点B的时间间隔为T B，重力加速度为g，则A、B两点间的距离为 ( )图1A.(T A －T B )g 2B.(T 2A －T 2B )g 2C.(T 2A －T 2B )g 4D.(T 2A －T 2B )g 8答案 D解析 设小球上抛的最高点距A 点的距离为h A ，距B 点的距离为h B ，根据竖直上抛运动规律，h A ＝12g (T A 2)2，h B ＝12g (T B 2)2，A 、B 两点间的距离为h A －h B ＝(T 2A －T 2B )g 8，选项D正确．5． (多选)如图2所示，物体以初速度v 0冲上足够长的粗糙斜面，下图中关于物体位移x 与时间t 关系的图象可能正确的是( )图2答案AB解析物体在斜面的运动有两种可能：一种是冲上斜面速度减为0时，保持静止，A项正确；另一种是向上匀减速为0后，又向下做匀加速运动，由x－t图象斜率表示速度，分析得B项正确．6．(单选)一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公交车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则() A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 mB．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 mC．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 mD．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远答案 B解析在人跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近．汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为62×6 m＝18 m，二者最近距离为18 m＋25 m －36 m＝7 m，人不能追上公共汽车，选项A、C错误，B正确．车开动后，人车距离先减小后越来越远，选项D错误．7．(单选)质量为1 kg的物块在水平拉力的作用下，以一定的初速度沿水平面滑行，利用速度传感器在计算机屏幕上得到其速度随时间的变化关系如图3所示，则物块()图3A．0～1 s内的平均速度为2 m/sB ．0～1 s 内加速度的数值是1 s ～3 s 内加速度数值的6倍C ．0～3 s 内的位移为4 mD ．所受合力在0～3 s 做的功为32 J 答案 B解析 由匀变速直线运动平均速度公式v ＝v 0＋v t2可知，物块在0～1 s 内的平均速度为3 m /s ，A 错误；由图象的斜率可知，物块在0～1 s 内的加速度为a 1＝－6 m/s 2，在1 s ～3 s 内的加速度为a 2＝－1.0 m/s 2，则a 1＝6a 2，B 正确；由图象的面积可知，物块在0～3 s 内的位移为x ＝(12×1×6－12×2×2)m ＝1 m ，C 错误；由动能定理可知，合力在0～3 s 内做的功为W ＝12×1×(22－62) J ＝－16 J ，D 错误．8． (单选)质点做直线运动时的加速度随时间变化的关系如图4所示，该图线的斜率为k ，图中斜线部分面积为S ，下列说法正确的是( )图4A ．斜率k 表示速度变化的快慢B ．斜率k 表示速度变化的大小C ．面积S 表示t 1～t 2的过程中质点速度的变化量D ．面积S 表示t 1～t 2的过程中质点的位移 答案 C解析 斜率k 表示加速度变化的快慢，选项A 、B 错误；面积S 表示t 1～t 2的过程中质点速度的变化量，选项C 正确，D 错误．9． (单选)如图5所示，A 、B 分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v －t 图象，根据图象可以判断()图5A．两球在t＝2 s时速率相等B．两球在t＝8 s时相距最远C．两球运动过程中不会相遇D．甲、乙两球做初速度方向相反的匀减速直线运动，加速度大小相同方向相反答案 A解析根据题图，在t＝2 s时，甲球速度为20 m/s，乙球速度为－20 m/s，所以它们速率相等，选项A正确；结合图象，利用“面积”求位移，可知甲、乙两球在t＝8 s时同时回到出发点相遇，所以选项B、C错误；根据图象，在整个运动过程中，两条图象的斜率保持不变，这表示它们做的是匀变速直线运动，甲、乙两球刚开始做初速度方向相反的匀减速直线运动，当它们速度减为零后，又反向折回做初速度为零的匀加速直线运动，因为两条图象的斜率一正一负，绝对值不同，这说明它们的加速度方向相反，大小不同，选项D错误，故本题正确选项为A.10．(多选)甲、乙两物体在同一地点同时开始做直线运动的v－t图象如图6所示．根据图象提供的信息可知()图6A．6 s末乙追上甲B．在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10 mC．8 s末甲、乙两物体相遇，且离出发点有32 mD．在0～4 s内与4 s～6 s内甲的平均速度相等答案BC解析 6 s末甲停止，8 s末乙追上甲，甲、乙两物体相遇，且离出发点有32 m，选项A 错误，C正确．在乙追上甲之前，5 s末甲、乙相距最远，最远为10 m，选项B正确．在0～4 s内甲的平均速度大于4 s～6 s内甲的平均速度，选项D错误．11．(多选)在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图7所示a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图象，以下说法正确的是()图7A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾B．在t＝5 s时追尾C．在t＝3 s时追尾D．若刹车不失灵不会追尾答案CD解析根据速度—时间图象与横轴所围面积等于位移可知，两车速度相等时(t＝5 s)小汽车相对于大卡车位移为35 m，所以会追尾，选项A错误．在t＝3 s时小汽车相对于大卡车位移等于30 m，发生追尾，选项C正确，B错误．若刹车不失灵，在t＝2 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车位移等于20 m，小于开始时的30 m距离，所以刹车不失灵不会追尾，选项D正确．12. (多选)某汽车在启用ABS刹车系统和不启用该刹车系统紧急刹车时，其车速与时间的变化关系分别如图8中的①、②图线所示．由图可知，启用ABS后()图8A．t1时刻车速更小B．0～t1的时间内加速度更小C．加速度总是比不启用ABS时大D．刹车后前行的距离比不启用ABS短答案BD解析由题图可知，启用ABS后，t1时刻车速较大，选项A错误.0～t1的时间内加速度更小，选项B正确．启用ABS后t1～t2的时间内加速度较大，而0～t1的时间内加速度较小，选项C错误．启用ABS后，刹车后前行的距离比不启用ABS短，选项D正确．13．(单选)伽利略曾利用对接斜面研究“力与运动”的关系．如图9，固定在水平地面上的倾角均为θ的两斜面，以光滑小圆弧相连接，左侧顶端有一小球，与两斜面的动摩擦因数均为μ.小球从左侧顶端滑到最低点的时间为t1，滑到右侧最高点的时间为t2.规定斜面连接处为参考平面，则小球在这个运动过程中速度的大小v、加速度的大小a、动能E k 及机械能E随时间t变化的关系图线正确的是()图9答案 B解析由牛顿第二定律可知，小球在两斜面的运动都是匀变速直线运动，两阶段的加速度都恒定不变，小球在左侧斜面下滑时的加速度较小，因此，选项A错误，B正确；小球的动能与速率的二次方成正比，因此，动能与时间关系图象是曲线，C错误；由于小球在两斜面运动时的加速度大小不相等，因此，小球机械能与时间的关系图象不是连续曲线，D错误．。

专题二　集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲　集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x ∈M ，p (x )的否定是∃x ∈M ，綈p (x )；∃x ∈M ，p (x )的否定是∀x ∈M ，綈p (x )．3．充要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有从逻辑观点看从集合观点看p 是q 的充分不必要条件(p ⇒q ，q ⇒p )A B p 是q 的必要不充分条件(q ⇒p ，p ⇒q )B A p 是q 的充要条件(p ⇔q )A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件(p ⇒q ，q ⇒p )A 与B 互不包含1． (2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B 等于( )A ．(0,1) B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案　D 解析　A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．2． (2013·北京)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )通过管线敷设技术不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 答案　D 解析　命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D.4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；1218②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝相切．12其中真命题的序号是( )A ．①②③ B ．①②C ．①③ D ．②③答案　C 解析　对于命题①，设球的半径为R ，则π3＝·πR 3，故体积缩小到原来的，命题正43(R 2)184318确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝的圆心(0,0)到12直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．12225． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案　①④，要加与过度安全，解析　∵|CA |＋|CB |≥|AB |，当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，即三个点A ，B ，C ，∴点C 在线段AB 上，∴点C 是A ，B ，C 的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 的中点，CH ⊥AB ，点P ，H 不重合，则|PC |>|HC |.又|HA |＋|HB |＝|PA |＋|PB |＝|AB |，∴|HA |＋|HB |＋|HC |<|PA |＋|PB |＋|PC |，∴点P 不是点A ，B ，C 的中位点，故②是假命题．如图(2)，A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，若P 点在线段BC 上，则|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AD |＋|BC |，由中位点的定义及①可知，点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．　如图(3)，由①可知，若点P 是点A ，C 的中位点，则点P 在线段AC 上，若点P 是点B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，∴若点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一　集合的概念与运算问题例1　(1)(2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M 等于( )A ．M B ．N C ．{1,4,5} D ．{6}审题破题　(1)先对集合A 、B 进行化简，注意B 中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C 即可．(2)透彻理解A －B 的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案　(1)D (2)D解析　(1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }．∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ；3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ；6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M .∴故N －M ＝{6}．反思归纳　(1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1　(2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝，则{x |2－x 2＋x <0}S ∩T 等于( )A ．(－1,2) B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案　D 解析　S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}，T ＝{x |x >2或x <－2}．∴S ∩T ＝{x |x >2}．题型二　命题的真假与否定问题例2　下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x －x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；20③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝”的充要条件；12④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题　判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词．答案　B 解析　对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2.反思归纳　(1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；设技艺高中资料试②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词．变式训练2　给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则>”的逆否命题；c a c b ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③ B ．①②④C ．①③④ D ．②③④答案　A解析　①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋≥2，1log2x 得x >1；③中由a >b >0，得<，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④1a 1b 中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝2－，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故(x －12)54綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题．题型三　充要条件的判断问题例3　(1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. B.[0，12](0，12)C ．(－∞，0)∪ D ．(－∞，0)∪[12，＋∞)(12，＋∞)审题破题　(1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决．答案　(1)B (2)A解析　(1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <；綈q ：x >a ＋1或x <a .12若綈p ⇐綈q ，则Error!或Error!，即0≤a ≤.12反思归纳　(1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3　(1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．(2)设A ＝{x |<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值x x －1范围是( )A ．m <1 B ．m ≤1C ．m ≥1 D ．m >1答案　D 解析　<0⇔0<x <1.x x －1由已知得，0<x <m⇒0<x <1，但0<x <1⇒0<x <m 成立．∴m >1.典例　设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－，则≤l ≤1；1214③若l ＝，则－≤m ≤0.1222其中正确命题的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析　①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1，∴l ＝1，故①正确．②m ＝－时，m 2＝，故l ≥.121414又l ≤1，∴②正确．③l ＝时，m 2≤且m ≤0，则－≤m ≤0，121222∴③正确．答案　D 得分技巧　创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论．阅卷老师提醒　在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－或1 B ．2或－112C ．－2或1或0 D ．－或1或012答案　D 解析　依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A .因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－；12当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝”的( )π2A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　B 解析　φ＝⇒f (x )＝A cos ＝－A sin ωx 为奇函数，π2(ωx ＋π2)∴“f (x )是奇函数”是“φ＝”的必要条件．π2又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝＋k π(k ∈Z )⇒φ＝.π2π2∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．π23． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0答案　C 解析　根据全称命题的否定是特称命题知．綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案　C 解析　由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}．由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1.5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤2中等号成立”的充要条件(x ＋y 2)C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0答案　C 解析　易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝的定义域为M ，则∁R M 为( )1－x 2A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案　D 解析　由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )π4A ．若α≠，则tan α≠1 B ．若α＝，则tan α ≠1π4π4C ．若tan α≠1，则α≠ D ．若tan α≠1，则α＝π4π4答案　C 解析　由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠.π44． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x ∈Q ”的否定是( )30A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x ∈Q 30B ．∃x 0∈∁R Q ，x D ∈Q 30C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案　D 解析　“∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x ∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．305． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案　C 解析　A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题答案　D解析　对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取2x x －1值范围是( )A ．(－∞，1) B ．[1,3]C ．[1，＋∞) D ．[3，＋∞)答案　C 解析　－1<0⇒<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当2x x －1x ＋1x －1a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒p ，从而可推出a 的取值范围是a ≥1.8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin B D ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数答案　D解析　对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝2＋≥>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC (lg x ＋12)3434中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项π2D 是假命题．综上所述，选D.二、填空题9．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案　3解析　A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案　(－1，＋∞)解析　M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是12________．答案　(－∞，12]解析　命题p ：a ≤x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝x 2－ln x ，f ′(x )＝x －＝12121x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝，∴a ≤.(x －1)(x ＋1)x 121212．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝，则3“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案　①④解析　对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列{a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得＝＝，当B ＝60°时，有sin A ＝，注意到b >a ，故b a sin B sin A 312A ＝30°；但当A ＝30°时，有sinB ＝，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．32三、解答题13．已知函数f (x )＝ 的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集6x ＋1－1合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解　A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的取值范围．解　由命题p ：1∈A ，得Error!解得a >1.由命题q ：2∈A ，得Error!解得a >2.又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，Error!即1<a ≤2，当p 假q 真时，Error!无解．故所求a 的取值范围为(1,2]．。

穿插滚动练(一)内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数一、选择题1．(2013年浙江省高考测试题)已知集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，则∁R A等于() A．∅B．(－∞，0]C．(0，＋∞) D．R答案 B解析y＝2x>0，A＝{y|y>0}，∁R A＝{y|y≤0}＝(－∞，0]．2．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为() A．1或－1或0 B．－1C．1或－1 D．0答案 A解析因为A∪B＝A，∴B⊆A，即m＝0，或1m＝－1，或1m＝1，得到m的值为1或－1或0，选A.3．已知a>1，f(x)＝ax ＋2x，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是() A．－1<x<0 B．－2<x<1C．－2<x<0 D．0<x<1答案 A解析由x2＋2x<0，得－2<x<0，可知A成立．4．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则() A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c答案 D解析因为log45>1,0<log54<1,0<log53<1，所以(log53)2<log53<log54，所以b<a<c，选D. 5．命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p 且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中正确的个数为() A．2 B．3 C．4 D．5答案 C解析p假，q真，而非p，非q的结论与之相反．6．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过(－1,3)和(1,1)两点，若0<c<1，则a的取值范围是() A．(1,3) B．(1,2)C．[2,3) D．[1,3]答案 B2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝3a ＋b ＋c ＝1，a ＋c ＝2，∵0<c <1，∴0<2－a <1，∴1<a <2，故选B.7． 已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)，且f (2 011)·g (－2 011)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是 ( )答案 B解析 当x >0时两函数单调性一致，排除A ，D ，又恒有f (x )>0，所以g (－2 011)<0，∴log a 2 011<0，∴0<a <1，即函数为减函数，故选B. 8． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (a )＝12，则a 等于( )A ．－1或 2B ． 2C ．－1D ．1或－ 2答案 A解析 若a >0，则f (a )＝log 2a ＝12，得a ＝2，若a ≤0，则f (a )＝2a ＝12，得a ＝－1.9． 设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝(12)x －1，则f (23)，f (32)，f (13)的大小关系是 ( ) A ．f (23)>f (32)>f (13)B ．f (23)>f (13)>f (32)C ．f (32)>f (23)>f (13)D ．f (13)>f (32)>f (23)答案 A解析 函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f (23)＝f (43)，f (13)＝f (53)，当x ≥1时，f (x )＝(12)x －1单调递减，所以由43<32<53，得f (43)>f (32)>f (53)，即f (23)>f (32)>f (13)，选A.10．先作函数y ＝lg 11－x的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移一个单位得图象C 1，函数y ＝f (x )的图象C 2与C 1关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝10xB ．y ＝10x －2C ．y ＝lg xD ．y ＝lg(x －2) 答案 A解析 熟悉常见图象变换．y ＝lg 11－x →y ＝－lg 11＋x＝lg(x ＋1)→y ＝lg x →y ＝10x .11．若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是 ( )A ．af (b )>bf (a )B ．af (a )>bf (b )C ．af (a )<bf (b )D ．af (b )<bf (a )答案 B解析 令F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，由xf ′(x )>－f (x )， 得xf ′(x )＋f (x )>0， 即F ′(x )>0，所以F (x )在R 上为递增函数．因为a >b ，所以af (a )>bf (b )．12．(2013·辽宁)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值 答案 D解析 由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e xx，得f ′(x )＝e x －2x 2f (x )x3，令g (x )＝e x －2x 2f (x )，x ＞0， 则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x－2·e x x ＝(x －2)e xx.令g ′(x )＝0，得x ＝2.当x ＞2时，g ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0， ∴g (x )在x ＝2时有最小值g (2)＝e 2－8f (2)＝0， 从而当x ＞0时，f ′(x )≥0， 则f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以函数f (x )无极大值，也无极小值． 二、填空题13．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ，若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________．答案 (－19，＋∞)解析 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，得当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19.所以a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．14．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为________．答案 43解析 用待定系数法求出二次函数解析式． 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)． 因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝⎪⎪2⎝⎛⎭⎫x －13x 310＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43. 15．函数y ＝f (x )为定义在R 上的减函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，x ，y 满足不等式f (x 2－2x )＋f (2y －y 2)≤0，M (1,2)，N (x ，y )，O 为坐标原点，则当1≤x ≤4时，OM →·ON→的取值范围为________． 答案 [0,12]解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称，即函数y ＝f (x )为奇函数， 由f (x 2－2x )＋f (2y －y 2)≤0得f (x 2－2x )≤－f (2y －y 2)＝f (y 2－2y )， 所以x 2－2x ≥y 2－2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ≥y 2－2y 1≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －y )(x ＋y －2)≥01≤x ≤4， 画出可行域如图，可得OM →·ON →＝x ＋2y ∈[0,12]．16．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④. 三、解答题17．设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{x |1<4x ＋3}． (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值． 解 A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝{x |1<4x ＋3}＝{x |x －1x ＋3<0}＝{x |－3<x <1}，(1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}， 所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系， 得⎩⎨⎧－a2＝－3＋1，b 2＝－3×1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.18．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )·x ＋ax ，且g (x )在区间[0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )的图象与h (x )的图象关于点A (0,1)对称，设f (x )图象上任意一点坐标为B (x ，y )，其关于A (0,1)的对称点B ′(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧x ′＋x 2＝0，y ＋y ′2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y . ∵B ′(x ′，y ′)在h (x )上，∴y ′＝x ′＋1x ′＋2.∴2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)∵g (x )＝x 2＋ax ＋1，且g (x )在[0,2]上为减函数，∴－a2≥2，即a ≤－4.∴a 的取值范围为(－∞，－4]．19．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解 (1)由题设得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，解之得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x <－2时，g ′(x )<0；当－2<x <1时， g ′(x )>0，故－2是g (x )的极值点． 当－2<x <1或x >1时，g ′(x )>0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.20．已知函数f (x )＝x k ＋b (其中k ，b ∈R 且k ，b 为常数)的图象经过A (4,2)、B (16,4)两点．(1)求f (x )的解析式；(2)如果函数g (x )与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，解关于x 的不等式：g (x )＋g (x －2)>2a (x －2)＋4.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k＋b 4＝16k ＋b ⇒b ＝0，k ＝12⇒f (x )＝x . (2)设M (x ，y )是曲线y ＝g (x )上任意一点，由于函数g (x )与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以M (x ，y )关于直线y ＝x 的对称点M ′(y ，x )必在曲线y ＝f (x )上，所以x ＝y ，即y ＝x 2，所以g (x )＝x 2(x ≥0)，于是 g (x )＋g (x －2)>2a (x －2)＋4 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0x 2＋(x －2)2>2a (x －2)＋4 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2(x －a )(x －2)>0①若a ≤2，则不等式的解集为{x |x >2}； ②若a >2，则不等式的解集为{x |x >a }．21．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2 x ·100x ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x (x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴1018≤x ≤16，设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)，g (x )在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数， ∴当x ＝1018时⎝⎛⎭⎫此时162x ＝16， g (x )有最小值，即f (x )有最小值， 即为1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882元． ∴当长为16米，宽为1018米时总造价最低，总造价最低为38 882元．22．设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．x(2)由于a ＝1时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于 k <x ＋1e x －1＋x (x >0)． ①令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2)(e x －1)2.由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增， 又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－4>0. 所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点． 故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点． 设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，得e α＝α＋2, 所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α)， 故整数k 的最大值为2.。

页眉内容专题三 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tanα＝y x .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 23． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x 值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4. 3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且 f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)． 审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝⎛⎭⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －3π4 答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.又f ⎝⎛⎭⎫－π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4，选B. 题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3 ＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3.∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx＋φ)(cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sin t ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图， 由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y ＝－k在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调区间． 解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π3，π2.变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x ≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分] 又∵f (x )过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3. [5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.[7分] 将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14. [12分]评分细则 (1)将点⎝⎛⎭⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43答案 D解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x ) ( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数，选B. 5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A.3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4时的值域为( )A ．[－1,0] B.⎣⎡⎦⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为 ( )A.π8B.38πC.34πD.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ( )A.13 B ．3 C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ) 得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0. 从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

等值模拟三(时间：60分钟满分：110分)一、选择题(本题共8小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～8题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)1．如图1所示，两相同物块分别放置在对接的两固定斜面上，物块处在同一水平面内，之间用细绳连接，在绳的中点加一竖直向上的拉力F，使两物块处于静止状态，此时绳与斜面间的夹角小于90°，当增大拉力F后，系统仍处于静止状态，下列说法不正确的是()图1A．绳受到的拉力变大B．物块与斜面间的摩擦力变小C．物块对斜面的压力变小D．物块受到的合力不变答案 B解析F增大，由于绳的夹角不变，故绳上的拉力增大，A正确；对物块受力分析，沿斜面方向，绳的拉力的分量与重力的分量之和等于静摩擦力，垂直斜面方向，重力的分量等于支持力与绳的拉力的分量之和，由于绳上的拉力增大，故静摩擦力变大，支持力变小，由牛顿第三定律知物块对斜面的压力变小，B错误，C正确；物块仍处于平衡状态，所受合力仍为0，故D正确．2．如图2所示，一块绝缘薄圆盘可绕其中心的光滑轴自由转动，圆盘的四周固定着一圈带电的金属小球，在圆盘的中部有一个圆形线圈．实验时圆盘沿顺时针方向绕中心转动时，发现线圈中产生逆时针方向(由上向下看)的电流，则下列关于可能出现的现象的描述正确的是()图2A．圆盘上金属小球带负电，且转速减小B．圆盘上金属小球带负电，且转速增加C．圆盘上金属小球带正电，且转速不变D．圆盘上金属小球带正电，且转速减小答案 A解析线圈中产生逆时针方向(由上向下看)的感应电流，由右手定则可知感应电流的磁场方向向上，由楞次定律可知可能是线圈中向上的磁场减弱或向下的磁场增强的结果，若圆盘上金属小球带负电，顺时针旋转产生逆时针方向的电流，磁场方向向上，转速减小时，向上的磁场减弱，A正确，B错误；同理可知若圆盘上金属小球带正电，产生顺时针方向的电流，磁场方向向下，转速增加时，向下的磁场增强，C、D错误．3．如图3所示，在空间直角坐标系O－xyz中，有一四面体C－AOB，C、A、O、B为四面体的四个顶点，且O(0,0,0)、A(L,0,0)、B(0，L,0)、C(0,0，L)．而D(2L,0,0)是x轴上一点，在坐标原点O处固定着＋Q的点电荷，下列说法正确的是()图3A．A、B、C三点的电场强度相同B．电势差U OA＝U ADC．将一电子由C点分别移动到A、B两点，电场力做功相同D．电子在A点的电势能大于在D点的电势能答案 C解析A、B、C三点电场强度大小相等，方向不同，选项A错误．在点电荷电场中，离点电荷越远，电场强度越小，U OA>U AD，选项B错误．将电子从C点分别移到A、B点，电场力做功均为零，选项C正确．由A到D，电场力对电子做负功，电势能增大，故选项D错误．4．据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器，假设其发射过程为：先让运载火箭将其送入太空，以第一宇宙速度环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道．最后再一次调整速度以线速度v在火星表面附近环绕飞行，若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知地球和火星的半径之比为2∶1，密度之比为7∶5，则v大约为() A．6.9 km/s B．3.3 km/sC．4.7 km/s D．18.9 km/s答案 B解析 探测器绕地球表面运行和绕火星表面运行都是由万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律有：GMm R 2＝m v2R ，v ＝GMR①，M 为中心天体质量，R 为中心天体半径，M ＝ρ·43πR 3②，由①②得：v ＝ 4GρπR 23，已知地球和火星的半径之比为2∶1，密度之比为7∶5，所以探测器绕地球表面运行和绕水星表面运行线速度大小之比为：v 地v 火＝285，第一宇宙速度大小是环绕星球表面飞行的线速度大小，地球第一宇宙速度为7.9 km/s ，所以探测器绕火星表面运行的线速度大小是3.3 km/s ，故选B.5． 如图4，一理想变压器原线圈接入一交流电源，副线圈电路中R 1、R 2、R 3和R 4均为固定电阻．开关S 是闭合的，和为理想电压表，读数分别为U 1和U 2；、和为理想电流表，读数分别为I 1、I 2和I 3.U 1数值不变，现断开S ，下列推断中正确的是( )图4A ．U 2变小、I 3变大B ．U 2不变、I 3变小C ．I 1变小、I 2变小D ．I 1变大、I 2变大 答案 C解析 理想变压器的电压与匝数成正比，由于理想变压器原线圈电压不变，则副线圈电压不变，所以V 2的示数U 2不变，当S 断开之后，并联电路的电阻变大，副线圈的电阻也就变大，由于副线圈电压不变，所以副线圈的总电流变小，即I 2变小，由于电流与匝数成反比，当副线圈的电流变小时，原线圈的电流也要变小，所以I 1变小，由于副线圈的总电流变小，R 1的电压变小，并联电路的电压就会变大，所以R 3的电流I 3就会变大，所以C 正确，故选C.6． 如图5所示，一质量为m 的小方块(可视为质点)，系在一伸直的轻绳一端，绳的另一端固定在粗糙水平面上，绳长为r .给小方块一沿垂直轻绳的初速度v 0，小方块将在该水平面上以绳长为半径做圆周运动，运动一周后，其速率变为v 02，则以下说法正确的是( )图5A ．如果初速度v 0较小，绳的拉力可能为0B ．绳拉力的大小随小方块转过的角度均匀减小C ．小方块运动一周的时间为8πr 3v 0D ．小方块运动一周克服摩擦力做的功为38m v 2答案 BCD解析 小方块做圆周运动绳子的拉力提供向心力，选项A 错误；利用“化曲为直”的思想，小方块在运动一周的过程中，可以看做小方块做加速度为a ＝μg 的匀减速直线运动，则绳的拉力F ＝m v 2r ，v 2－v 20＝－2μgx ，x ＝rθ，化简得F ＝m v 20r －2μmgθ，即绳拉力的大小随小方块转过的角度均匀减小，选项B 正确；根据平均速度公式得：2πr ＝v 0＋v 022t ，解得t ＝8πr3v 0，选项C 正确；对小方块运用动能定理，小方块运动一周克服摩擦力做的功W f ＝12m v 20－12m (v 02)2＝38m v 20，选项D 正确．7． 如图6所示，在风洞实验室内的竖直粗糙墙面上放置一钢板，风垂直吹向钢板，在钢板由静止开始下落的过程中，作用在钢板上的风力恒定，用E k 、E 、v 、P 分别表示钢板下落过程中的动能、机械能、速度和重力的功率，关于它们随下落高度或下落时间的变化规律，下列四个图象中正确的是( )图6答案 AC解析 由题意可知钢板做初速度为0的匀加速直线运动，加速度a 小于重力加速度g ，动能E k ＝12m v 2＝12m ×2ah ＝mah ，故A 正确；机械能E ＝E 0－F f h ＝E 0－F f (12at 2)，E －t 图线不是直线，故B错误；速度v＝at，C正确；重力的功率P＝mg v＝mg2ah，P－h图线不是直线，故D错误．8．图7为某节能运输系统的简化示意图．其工作原理为：货箱在轨道顶端A时，自动将货物装入货箱，然后货箱载着货物沿粗糙程度各处相同的轨道无初速度下滑，接着压缩弹簧，当弹簧被压缩至最短时，立即锁定并自动将货物卸下，卸完货物后随即解锁，货箱恰好被弹回到A，此后重复上述过程．若弹簧为自由长度时其右端对应的斜面位置是B，货箱可看作质点，则下列说法正确的是()图7A．锁定前瞬间货箱所受合外力等于解锁后瞬间货箱所受合外力B．货箱由A至B和由B至A的过程中，在同一位置(除A点外)的速度大小不相等C．货箱上滑与下滑过程中克服摩擦力做的功相等D．货箱每次运载货物的质量必须相等答案BD解析锁定前瞬间货箱和货物受斜面的摩擦力方向沿斜面向上，加速度沿斜面向上，解锁后瞬间货箱受斜面的摩擦力方向沿斜面向下，加速度沿斜面向上，加速度大小不相等，货箱所受合外力不相等．选项A错误．由于加速度不相等，运动不具有对称性，在往返过程中同一位置的速度大小不相等，选项B正确．根据动能定理，从A到弹簧被压缩至最短时：(M＋m)gL sin θ－μ(M＋m)g cos θ·L－W弹＝0从解锁瞬间到A：－MgL sin θ－μMg cos θ·L＋W弹＝0联立解得m＝2μM cos θsin θ－μcos θ.选项C错误，D正确．二、非选择题(包括必考题和选考题两部分．第9题～第12题为必考题，每个试题考生都必须作答．第13题～第15题为选考题，考生根据要求做答．)(一)必考题(共47分)9．(6分)“物体所受的合力减小，物体的运动速度就一定减小吗？”某同学设计了如图8甲所示的实验装置探究这一问题：先调节长木板倾角，使小车不受拉力时可近似做匀速运动，然后将一条橡皮筋一端固定在长木板一端，另一端系在小车上，将小车拉到靠近打点计时器的位置．启动打点计时器并从静止起释放小车，得到如图乙所示的纸带．打点计时器的打点周期为T，纸带上各点为连续打出的点，纸带上某点P与其相邻点间距离分别为x1、x2.图8图9(1)该同学用x 1＋x 22T来计算打点P 时小车速度的大小，可以这样计算的理由是：________________________________________，这样计算得到的结果与真实值相比________(选填“偏大”或“偏小”)．(2)从纸带上选取若干点进行测量和计算，得出这些点对应的速度v 和时刻t ，根据实验数据作出小车的v －t 图象如图9所示．通过分析所作出的v －t 图象，可以得到的实验结论是____________________________________________．答案 (1)很短时间内的平均速度近似等于中间时刻的瞬时速度(2分) 偏小(2分) (2)物体所受的合力减小，物体的速度不一定减小(2分)解析 打点计时器的打点时间间隔较小，可以用两点间的平均速度表示中间时刻的瞬时速度．由于小车做加速度减小的加速运动，故此值比真实值偏小．结论：物体所受的合力减小，物体的速度不一定减小．10．(9分)为了较准确地测量一只微安表的内阻，采用图10所示实验电路图进行测量，实验室可供选择的器材如下：图10A．待测微安表(量程500 μA，内阻约300 Ω)B．电阻箱(最大阻值999.9 Ω)C．滑动变阻器R1(最大阻值为10 Ω)D．滑动变阻器R2(最大阻值为1 kΩ)E．电源(电动势为2 V，内阻不计)F．保护电阻R0(阻值为120 Ω)(1)实验中滑动变阻器应选用____(填“C”或“D”)；(2)按照实验电路在图11所示的方框中完成实物图连接．图11(3)实验步骤：第一，先将滑动变阻器的滑片移到最右端，调节电阻箱的阻值为零；第二，闭合开关S，将滑片缓慢左移，使微安表满偏；第三，保持滑片不动，调节R的电阻值使微安表的示数正好是满刻度的2/3时，此时接入电路的电阻箱的示数如图12所示，阻值R为________Ω.图12第四，根据以上实验可知微安表内阻的测量值R A为________Ω.(4)若调节电阻箱的阻值为R′时，微安表的示数正好是满刻度的1/2，认为此时微安表内阻就等于R′，则此时微安表内阻的测量值R′与微安表的示数正好是满刻度的2/3时微安表内阻的测量值R A相比，更接近微安表真实值的是________．(填“R′”或“R A”)答案(1)C(2分)(2)如图所示(2分)(3)145.5(1分) 291(2分) (4)R A (2分)解析 (1)滑动变阻器采用分压式接法，应选小量程的，便于调节．(3)各挡位电阻之和即为电阻箱的读数．由欧姆定律可知I g R g ＝23I g (R ＋R g )，代入已知数据可求得R g ＝291 Ω，则R A ＝R g ＝291 Ω.(4)电阻箱和微安表串联的总电阻增大，它们与滑动变阻器滑片右侧电阻并联后阻值略增大，那么电路总电阻略增大，总电流略减小，变阻器滑片右侧电阻分到的电压略增大，通过微安表电流为23I g 时，电阻箱和微安表串联的总电阻略大于32R g ，所以测量值比真实值偏大，同理可知，用半偏法测得的值R ′比真实值差得更多． 11．(15分)某品牌汽车在某次测试过程中数据如下表所示，请根据表中数据回答问题.f mg 的乘积成正比，即F f ＝kmg v ，其中k ＝2.0×10－3s/m.取重力加速度g ＝10 m/s 2.(1)若汽车加速过程和制动过程都做匀变速直线运动，求这次测试中加速过程的加速度a 1的大小和制动过程的加速度a 2的大小； (2)求汽车在水平公路上行驶的最大速度v m ；(3)把该汽车改装成同等功率的纯电动汽车，其他参数不变．若电源功率转化为汽车前进的机械功率的效率η＝90%.假设1 kW·h 电能的售价为0.50元(人民币)，求电动汽车在平直公路上以最大速度行驶距离s ＝100 km 时所消耗电能的费用．结合此题目，谈谈你对电动汽车的看法． 答案 见解析解析 (1)加速过程的加速度大小a 1＝Δv Δt ＝3010＝3 m/s 2(2分) 制动过程满足：－2a 2x ＝0－v 20(2分) 解得加速度大小a 2＝10 m/s 2(1分)(2)当汽车的速度达到最大时，汽车受到牵引力与阻力相等．满足： P 额＝F f v m ，即P 额＝kmg v 2m(2分)解得：v m ＝50 m/s(2分)(3)以最大速度行驶过程中，克服阻力所做的功 W f ＝F f s ＝kmg v m s(2分) 代入数据，解得：W f ＝1.5×108 J(1分) 消耗电能E ＝W fη＝1.67×108 J ＝46.4 kW·h(1分)所以，以最大速度行驶100 km 的费用 Y ＝46.4×0.5＝23.2元(1分) 可以从行驶费用、环保和减排等角度说明．(1分)12．(17分)如图13所示，ab 、cd 为间距L ＝1 m 的竖直光滑金属导轨，导轨电阻不计，ac间连接有一个R ＝1 Ω的电阻，空间中存在着方向垂直于导轨平面，磁感应强度B 0＝1 T 的匀强磁场．将一根质量m ＝0.5 kg 的金属棒紧靠ac 放置在导轨上，金属棒的电阻r ＝0.6 Ω.现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与ac 平行且与导轨接触良好．当金属棒滑行到MN 处时恰好达到稳定速度，已知MN 与ac 距离h ＝8 m ，金属导轨足够长、g ＝10 m/s 2.则：图13(1)请定性说明金属棒在达到稳定速度前的加速度和速度各如何变化？ (2)金属棒的稳定速度多大？(3)金属棒从释放至达到稳定速度的过程中，电阻R 产生的焦耳热是多大？(4)若将金属棒滑行至MN 处的时刻记作t ＝0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐变小，可使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B 应怎样随时间t 变化(写出B 与t 的关系式)? 答案 见解析解析 (1)在达到稳定速度前，金属棒的加速度逐渐减小，速度逐渐增大． (1分)(2)达到稳定速度时，有 F ＝B 0LI (1分) I ＝B 0L v mR ＋r(1分) mg ＝F(1分) 得：v m ＝8 m/s(1分)(3)由功能关系可知： mgh －Q ＝12m v 2m(2分) Q R ＝R R ＋r Q(2分) 得：Q R ＝15 J(2分)(4)当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时金属棒将沿导轨做加速度为g 的匀加速运动 (2分) B 0Lh ＝BL (v m t ＋12gt 2＋h )(2分) 得：B ＝85t 2＋8t ＋8(2分)(二)选考题：共15分，请考生从给出的3道物理题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．13．(15分)(1)(5分)以下说法正确的是( )A ．无论什么物质，只要它们的摩尔数相同就含有相同的分子数B ．分子引力不等于分子斥力时，违背了牛顿第三定律C ．1 g 氢气和1 g 氧气含有的分子数相同，都是6.02×1023个D ．阳光从缝隙射入教室，从阳光中看到的尘埃的运动就是布朗运动(2)(10分)如图14所示，汽缸长为L ＝1 m(汽缸的厚度可忽略不计)，固定在水平面上，汽缸中有横截面积为S ＝100 cm 2的光滑活塞，活塞封闭了一定质量的理想气体，当温度为t ＝27 ℃，大气压为p 0＝1×105Pa 时，气柱长度为L 1＝0.4 m ．现缓慢拉动活塞，拉力最大值为F ＝500 N ，求：图14①如果温度保持不变，能否将活塞从汽缸中拉出？②保持拉力最大值不变，汽缸中气体温度至少为多少摄氏度时，才能将活塞从汽缸中拉出？答案 (1)A (2)①不能 ②102 ℃解析 (2)①设F 达到最大值时活塞仍在汽缸中，设此时气柱长L 2，气体压强为p 2. 根据活塞受力平衡，有：p 2＝p 0－F /S ＝5×104 Pa T 1＝T 2，根据理想气体状态方程有p 1SL 1＝P 2SL 2，p 1＝p 0 解得：L 2＝0.8 mL 2<L ，所以不能将活塞拉出．②保持F 最大值不变，温度升高，活塞刚到汽缸口时，L 3＝1 m ，此时的压强为p 2＝p 3，根据理想气体状态方程有：p 1L 1S T 1＝p 3L 3S T 3得：T 3＝375 K所以t 3＝102 ℃14．(15分)(1)(6分)以下说法中正确的是________．(填选项前字母)A ．水面上的油膜在阳光照射下会呈现彩色，这是光的干涉现象B ．麦克斯韦首先预言了电磁波的存在，并通过实验加以证实C ．两列波在同一空间相遇，相互叠加一定会形成稳定的干涉图样D ．运动物体速度可以大于真空中的光速(2)(9分)如图15所示，一直角三棱镜面ABC ，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝90°，斜边长为L ，其折射率为n ＝3，一束光从斜边距A 点L 3处的O 点平行于BC 边射入该棱镜．若不考虑光的反射，求光射出棱镜时的折射角．图15答案 (1)A (2)60°解析 (1)麦克斯韦预言了电磁波的存在，赫兹通过实验证实了电磁波的存在，B 错误．C 成立的前提条件是两列波的频率相同，C 错误．据爱因斯坦相对论可知运动物体速度不可以大于真空中的光速，D 错误．(2)光路图如图所示．设光在AB 面和AC 面两次折射的入射角分别为i 、i ′，折射角分别为r 、r ′，由光的折射定律得：n ＝sin i sin r，i ＝60° 可得：r ＝30°由几何关系知：i ′＝30°又n ＝sin r ′sin i ′可得：r ′＝60°所以光射出棱镜时光的折射角为60°.15．(15分)(1)(6分)如图16所示，是一列简谐横波在t ＝0时刻的波形图象．已知这列波的频率为5 Hz，此时，x＝1.5 m处的质点向y轴正方向振动，可以推知：这列波正在沿x轴____(填“正”或“负”)方向传播，波速大小为________m/s.写出x＝1.5 m处质点做简谐运动的表达式____________________．图16(2)(9分)如图17所示，质量为m A＝2 kg的木块A静止在光滑水平面上．一质量为m B＝1 kg的木块B以某一初速度v0＝5 m/s沿水平方向向右运动，与A碰撞后都向右运动．木块A与挡板碰撞后立即反弹(设木块A与挡板碰撞过程无机械能损失)．后来木块A与B 发生二次碰撞，碰后A、B同向运动，速度大小分别为0.9 m/s、1.2 m/s.求：图17①第一次A、B碰撞后，木块A的速度；②第二次碰撞过程中，A对B做的功．答案(1)负10y＝0.5sin (10πt) m(2)①2 m/s②0.22 J解析(2)①设A、B第一次碰撞后的速度大小分别为v A1、v B1，取向右为正方向，则由动量守恒定律得m B v0＝m A v A1＋m B v B1 (1分)A与挡板碰撞反弹，则第二次A、B碰撞前瞬间的速度大小分别为v A1、v B1，设碰撞后的速度大小分别为v A2、v B2，取向左为正方向，由动量守恒定律可得m A v A1－m B v B1＝m A v A2＋m B v B2 (2分)联立解得v A1＝2 m/s，v B1＝1 m/s (3分)②设第二次碰撞过程中，A对B做的功为W，根据动能定理，W＝12m Bv2B2－12m Bv2B1＝0.22 J (3分)。