徐州市2013届高三考前模拟数学试题含答案

2013届江苏省徐州市高三考前模拟数学试题参考答案一、填空题：1．{1} 2．3 3．2 4．0.2 5．22221x y -= 6．(,0){1}-∞ 7．7981-8．23 9．20x y +-= 10．52 11．[22,1]- 12．6 13．9 14．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题：15．（1）由12CA CB =，得1cos 2ab C =．………………………………………………2分 因为1a =，2b =，所以1cos 4C =，…………………………………………………4分所以2222cos 1414c a b ab C =-=-=++，所以2c =．…………………………………………………………………………… 7分（2）因为1cos 4C =，(0,)C π∈， 所以215sin 1cos C C =-=，…………………………………9分所以15sin 154sin 28a C A c ===，……………………………………………………11分 因为a c <，所以A C <，故A 为锐角，所以27cos 1sin 8A A =-=，所以71151511cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C -==⨯⨯=++．…………14分16．（1）取PA 的中点E ，连结ME ，BE ，因为M 是PD 的中点，所以MEAD ，12ME AD =，又因为Q 是BC 中点，所以12BQ BC =， 因为四边形ABCD 是平行四边形；所以BC AD∥，所以BQ ME ∥, 所以四边形MQBE 是平行四边形，…………4分 所以BE MQ //．因为BE ⊂平面PAB ，MQ ⊄平面PAB ，所以PAB MQ 平面//．……………………6分 （2）因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以PA CD ⊥，又因为AC CD ⊥,PAAC A =,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，又AN ⊂平面PAC ， 所以AN CD ⊥．……………………………9分 又AN PC ⊥，PCCD C =，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AN ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以AN PD ⊥，……………………12分 又PA AD =，M 是PD 中点，所以AM PD ⊥，……………………………………13分 又AMAN A =，AM ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以PD ⊥平面AMN ，又MN ⊂平面AMN ，所以MN PD ⊥．……………………………………………………14分 17．（1）设每月应还贷x 元，共付款1210120⨯=次，则有2119120[1(10.005)(10.005)(10.005)]700000(10.005)x =++++++++，…………4分所以1201207000000.005(10.005)7875(10.005)1x ⨯⨯==-++（元）．………………………………6分 答：每月应还贷7875元．………………………………………………………………7分 （2）卖房人共付给银行7875120945000⨯=元，利息945000700000245000-=（元），………………………………………………10分 缴纳差额税(15000001000000)0.2100000-⨯=（元），………………………………12分 500000(245000100000)155000-=+（元）． 答：卖房人将获利约155000元．………………………………………………………14分18．（1）由已知，12c a =，且2a c -=，所以4a =，2c =，所以22212b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2211612x y =+．………………………………………………………3分（2）（ⅰ）由（1），(4,0)A -，(2,0)F ，设(8,)N t ．设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点,,A F N 的坐标代入，得21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++解得2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩……………………………………………6分 所以圆的方程为22722()80x y x t y t--=+++， 即222172172(1)[()]9()24x y t t t t-=+++++，因为2272()t t +≥，当且仅当72t t=±+时，圆的半径最小，故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．………………………………………9分 （ⅱ）由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+．由22(4),1,1612y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222121624(,)3434k k M k k -++，……………………………………………11分 所以222424(,)3434kMA k k --=++，2223224(,)3434k k MB k k -=++，所以cos 6524MA MB AMB MA MB∠===-， 化简，得42164090k k --=，…………………………………………………………14分解得214k =，或294k =，即12k =，或32k =， 此时总有3M y =，所以ABM △的面积为183122⨯⨯=．…………………………16分19．（1）因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列，所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （，……………………………………………2分 所以1352121,,,,,n n a a a a a -+是公差为4的等差数列，且 2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++， ……………………………4分又因为11a =，所以()21352128n n S a a a a n-=+++++2(1)2[4]8462(23)2n n n n n n n n -=⨯==++++， 所以22320132nS n n==+，所以1005n =．……………………………………………6分 （2）因为1(1)n nnS a a q a -+=+，所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-， ① 所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-， ②②－①，得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+， ③ ……………………………8分 （ⅰ）充分性：因为11q a=+，所以0,1,1a q a aq ≠≠+=，代入③式，得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-，因为1q ≠-，又1q ≠，所以11n n a a q+=，*n ∈N ，所以{}n a 为等比数列，……………………………………12分 （ⅱ）必要性：设{}n a 的公比为0q ，则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+，整理得()()00111()n a q a a q q q+-=+-，……………………………………………14分此式为关于n 的恒等式，若1q =，则左边0=，右边1=-，矛盾；1q ≠±若，当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩））时成立，所以11q a =+．由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a．…………………16分20．（1）因为221()a x af x x x x-'=-+=，①若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为增函数，…………………………2分 ②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>． 所以(0,)a 为单调减区间，(,)a +∞为单调增区间． 综上可得，当0a ≤时，(0,)+∞为单调增区间，当0a >时，(0,)a 为单调减区间， (,)a +∞为单调增区间．……………4分（2）0a =时，21()()()22ln 2h x f x g x bx x x =+=-++，2121()2bx x h x bx x x-+'=-+=， ……………………………………………………5分 ()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，即()0h x '=在(0,1)上有且只有一个根且不为重根，由()0h x '=得2210bx x -+=， ………………………………………………………6分 （i ）0b =，12x =，满足题意；…………………………………………………………7分 （ii ）0b >时，212110b ⋅-⋅+<，即01b <<；………………………………………8分 （iii ）0b <时，212110b ⋅-⋅+<，得1b <，故0b <；综上得：()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点时，1b <．……………………………9分 注：本题也可分离变量求得． （3）证明：由（1）可知：（i ）若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以直线l 与()y F x =的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分 （ⅱ）若0a >，()f x 在x a =处取得极值()1ln f a a =+．若1ln 0a +≥，1ea ≥时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分故10ea <<，设()f x 图象与x 轴的两个交点的横坐标为,s t （不妨设s t <）， 则直线l 与()y F x =的图象有两个切点即为直线l 与1ln ,(,)ay x x s t x=--∈和2ln ,(,)ay x x t x=+∈+∞的切点．1221a a x y x x x -'=-=，2221a x a y x x x-'=-+=， 设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则120x x <<，且111122111ln a x y x a x x x x -==--，222222222ln x a y x a x x x x -==+，122212a x x a x x --=， 即1121ln ax x =-， ①2221ln ax x =-， ② 12122212()x x x x a x x +=+，③①-②得：11212222ln ln ln x a ax x x x x -=-+=-， 由③中的a 代入上式可得：121212212122()22()ln x x x x x x x x x x +-=-+， 即22121221222()ln x x x x x x -=+，……………………………………………………………14分 令12(01)x k k x =<<，则22(1)ln 22k k k +=-，令22()(1)ln 22(01)G k k k k k =+-+<<，因为213()10e e G =->，2414()0e eG =-<，故存在0(0,1)k ∈，使得()00G k =，即存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．……………………16分（附加题）21．A ．（1）连结ON ．因为PN 切⊙O 于N ，所以90ONP ︒∠=，所以90ONB BNP ︒∠+∠=．因为OB ON =，所以OBN ONB ∠=∠．因为BO AC ⊥于O ，所以90OBN BMO ︒∠+∠=， 所以BNP BMO PMN ∠=∠=∠，所以PM PN =． 所以22PM PN PA PC ==⋅．……………………5分（2）2OM =，BO =，4BM =．因为2)8BM MN CM MA ⋅=⋅==，所以 2MN =．…………………………………………………………………………10分B ．11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MN ，…………………………………………………4分 设(),x y 是曲线sin y x =上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(),x y ''．则10202x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1,22,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩即2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩……………………………………8分 代入sin y x =，得1sin 22y x ''=，即2sin 2y x ''=． 即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的曲线方程为2sin 2y x =．……………………10分 C ．圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=，……………………… 2分 直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=，…………………………… 4分设点1)P αα-，则点P 到直线70x y +-=的距离d =，…………………………………………………………………………………………8分所以min d ==max d ==………………………………………………10分D ．由柯西不等式，得22θθ+11222222))](cos sin )θθθθ++≤1222(cos sin )a b θθ=+<…………………………………………………………10分22．（1）设过A 作抛物线2y x =的切线的斜率为k ，则切线的方程为1()y k x a +=-，与方程2y x =联立，消去y ，得012=++-ak kx x ．因为直线与抛物线相切，所以0)1(42=+-=∆ak k ，即0442=--ak k ．由题意知，此方程两根为21,k k ，所以124k k =-（定值）．……………………………………………………………………4分 （2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由2y x =，得x y 2'=．所以在P 点处的切线斜率为：1'2|1x y x x ==，因此，切线方程为：)(2111x x x y y -=-．由211y x =，化简可得，1120x x y y --=．同理，得在点Q 处的切线方程为2220x x y y --=．因为两切线的交点为(,1)A a -，故11210x a y -+=,22210x a y -+=．所以Q P ,两点在直线210ax y -+=上，即直线PQ 的方程为：210ax y -+=． 当0=x 时,1y =，所以直线PQ 经过定点(0,1)．……………………………………10分 23．（1）令1x =，则02na =，令2x =，则03nni i a ==∑，所以132nn n n i i S a ===-∑．……2分（2）要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，只要比较3n 与2(1)22n n n -+的大小． 当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2n =或3时，23(1)22n n n n <-+， 当4n =或5时，23(1)22n n n n >-+，猜想：当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+．下面用数学归纳法证明：…………………4分 ①由上述过程可知，当4n =时，结论成立．…………………………………………5分 ②假设当*(4,)n k k k =∈N ≥时结论成立，即23(1)22k k k k >-+，两边同乘以3，得1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k >-=---+++++++， 而22(3)2442(3)24(2)6k k k k k k k k ---=---+++(3)24(2)(1)60k k k k =-->+++，所以1123[(1)1]22(1)k k k k >-+++++， 即1n k =+时结论也成立．由①②可知，当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+成立．……………………………………9分 综上所述，当1n =时，23(1)22n n n n >-+；当2n =或3时，23(1)22n n n n <-+； 当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+．………………………………………………………10分。

江苏省宿迁市2013届高三年级第三次模拟测试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则AB = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ． 6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一（第3题图）个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ABC -的体积为 ▲ ． 10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡．．．指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． BF CE .求证：平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．（第15题图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．（第18题图）20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．宿迁市高三年级第三次模拟测试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值． 22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值；⑵求二面角1M AN A --的正弦值.（第22题图）ABCA 1B 1C 1MNEA B C D （第21—A 题图）23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x ------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．宿迁市高三年级第三次模拟测试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1；8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12. 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分 因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分 代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△………………………………………………………………………4分2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △2． ………………………………………………………13分22916r >，（第17题甲图）（第17题乙图）2．…………14分 18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e =c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a aPQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15=，当且仅当1k=时等号成立，所以12S S⋅的最大值为45a．………………………………16分19．⑴若0a=时，12a=，1na+=212n na a+=，且0na>．两边取对数，得1lg22lg lgnna a+=+，……………………………………………………2分化为11lg lg2(lg lg2)2nna a+=++，因为1lg lg22lg2a=+，所以数列{lg lg2}na+是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分所以11lg lg22()lg22nna-=+，所以2212nna--=．………………………………………6分⑵由1na+=212n na a a+=+，①当2n≥时，212n na a a-=+，②①-②，得1112()()n n nn n na a a a a a++--=-+，…………………………………………8分由已知0na>，所以1nna a+-与1n na a--同号．…………………………………………10分因为2a=0a>，所以222212(2)(1)330a a a a a a-=-=>++++恒成立，所以21a a-<，所以1nna a+-<．………………………………………………………12分因为1n nnb a a+=-，所以1()n nnb a a+=--，所以21321[()()()]n nnS a a a a a a+=----+++11111()n na a a a a++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax xf x ax xx x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x+-≤，即22111112()24ax x x-=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分 ⑵因为1()21f x ax x'=--． 所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=， 当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，FA BC DAC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒，所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)==0a >，所以2a =. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，B ，1(1,6,0)C -.所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-. 所以111111cos ,2AM A C AM A C AM A C <>==所以异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值为10⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(AM =-，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,-<>===m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '++-+()f x无极极极值 大值 小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表： 所以时，0x =0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分 （2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2nn n n n n a a n +++++=⋅，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x(,0)-∞1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1(1,)+∞()f x '+-++()f x极大值极小值无极值。

2013年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州三模）已知i是虚数单位，若，则ab的值为﹣3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．所以b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（2013•徐州三模）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．3．（5分）（2013•徐州三模）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到结果为s=，i=1，此时不满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为s==，i=2，此时不满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为s=，i=3，此时不满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为s=，i=4，此时满足判断框的条件，执行输出s，即输出．故答案为：．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时；常采用写出前几次循环的结果，找规律．4．（5分）（2013•徐州三模）若集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cos（πx），x∈A}，则A∩B={﹣1，1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过A={﹣1，0，1}，求解B={y|y=cos（πx），x∈A}，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={﹣1，0，1}，因为cos（﹣π）=﹣1，cosπ=﹣1，cos0=1，所以B={y|y=cos（πx），x∈A}={﹣1，1}，则A∩B={﹣1，0，1}∩{﹣1，1}={﹣1，1}故答案为：{﹣1，1}．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，基本知识的应用．5．（5分）（2013•徐州三模）方程表示双曲线的充要条件是k∈（﹣1，5）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的充要条件得到不等式，求解不等式即可得到k的范围．解答：解：方程表示双曲线的充要条件：（k+1）（k﹣5）＜0，解得﹣1＜k＜5．故答案为：（﹣1，5）．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的充要条件的判断，考查计算能力．6．（5分）（2013•徐州三模）在△ABC中，已知，，则tanC的值是．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，可得tanA=，再由求得tanB，再根据tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B），利用两角和差的正切公式求得结果．解答：解：在△ABC中，已知，∴sinA=，tanA=．∵==，tanB=2．则tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）===，故答案为．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式、诱导公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2013•徐州三模）已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：计算题．。

江苏省徐州市2013届高三质量抽测试卷(2012年9月)数 学 I参考公式：棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1． 已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2,m }，若A ⊆B ，则实数m ＝ ▲ ．2． 若(1－2i)i ＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则ab ＝ ▲ ．3． 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品有16件，那么此样本的容量n ＝ ▲ ． 4． 在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个 红球的概率是 ▲ ．5． 已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ▲ ．6． 已知π2cos()23α-=，则cos α＝ ▲ ．7． 已知一个正六棱锥的高为10cm ，底面边长为6cm ，则这个正六棱锥的体积为 ▲ cm 3．8． 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝ ▲ ．9． 已知实数x ，y 满足2,2,03,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤≤则2z x y =-的最大值是 ▲ ．10．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ▲ ． 11．已知直线y ＝a 与函数()2x f x =及函数()32x g x =⋅的图象分别相交于A ,B 两点，(第5题图)则A ,B 两点之间的距离为 ▲ ．12．已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是 ▲ ． 13．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB ＝π3．若点C 是圆O 上任意一点， 则→OA ▪→BC 的取值范围为 ▲ ． 14．已知a ，b ，c 是正实数，且abc ＋a ＋c ＝b ，设222223111p a b c =-++++，则p 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知cos cos cos cos a C b C c B c A -=-， 且C ＝120°． （1）求角A ；（2）若a ＝2，求c ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证：（1）PB ∥平面AEC ；（2）平面PCD ⊥平面PAD ．17．（本小题满分14分）在一个矩形体育馆的一角MAN 内（如图所示），用长为a 的围栏设置一个运动器材储 存区域，已知B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点． （1）若BC ＝a ＝10，求储存区域三角形ABC 面积的最大值；C(第13题图)PA BC D E(第16题图)（2）若AB ＝AC ＝10，在折线MBCN 内选一点D ，使DB ＋DC ＝a ＝20，求储存区域四边形DBAC 面积的最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，且圆C ：22360x y y +--=过A ，F 2两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P 在一定圆上．19．（本小题满分16分）已知函数22()ln ()a f x x a x a x=+-∈R ．（1）讨论函数()y f x =的单调区间；（2）设2()24ln2g x x bx =-+-，当a ＝1时，若对任意的x 1，x 2∈[1,e]（e 是自然对数的底数），12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．B(第17题图)20．（本小题满分16分）设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++⋅⋅⋅+∈N ，其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数， 数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，对于任意的正整数n ，a n ＋S n ＝()k f n ． （1）若k ＝0，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．附加题21．（选做题）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试2013.05.02 数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则AB = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为▲ ．（第3题图）9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ． 11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．． CE .求证：BCEF ⊥平面ACE DF 平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方ADADE（第15题图）案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；（第18题图）⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值；⑵求二面角1M AN A --的正弦值.（第22题图）AB CA 1B 1C 1MNEA BC D （第21—A 题图）23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x ------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1；8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12. 12； 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ，所以平面BDF 平面ACE ， 因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分 代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分 代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△ (4)分 2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，（第17题甲图）（第17题乙图）所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △2． ………………………………………………………13分因为229816r r >，2．…………14分18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e，即c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a aPQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15=，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，1n a +=212n n a a +=，且0n a >． 两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分 化为11lg lg2(lg lg2)2n n a a +=++， 因为1lg lg22lg2a =+，所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分 所以11lg lg22()lg22n n a -=+，所以2212n n a --=．………………………………………6分⑵由1n a +=212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为2a =，且0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立， 所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--，所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=， 当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒，所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)FEA BC D （第21—A 题图）=，因为0a >，所以2a . ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(C -1(1,6,0)A ，1(1,6,0)C -.所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-. 所以1111112cos ,2AM A C AM A C AM A C <>===所以异面直线AM 与11A C ⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(AM =-，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩+++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,5-<>===m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n nn n n n n f x x x x xx ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n x x --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞ 01(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n -- 1 (1,)+∞ ()f x '++ 0-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分（2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2n nn n n n a a n +++++=⋅，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x (,0)-∞ 0 1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1(1,)+∞ ()f x '+-++()f x极大值极小值无极值。

江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州模拟）集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B={1} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合B={x|x≥1}，结合交集的定义，计算可得A∩B，即可得答案．解答：解：根据题意，集合B={x|x=m2+1，m∈R}={x|x≥1}，又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B．2．（5分）（2013•徐州模拟）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为 3 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数===为纯虚数，∴，解得a=3．故答案为3．点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．3．（5分）（2013•徐州模拟）已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，且xy=60，则此样本的标准差是．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据xy=60和平均数，列出方程解出x、y的值，最后再计算此样本的标准差即可．注意运算正确．解答：解：∵平均数是8，∴（7+8+9+x+y）÷5=8 ①xy=60 ②由两式可得：x=6，y=10，或x=10，y=6．则此样本的标准差ρ==，故答案为：．点评：本题考查的是平均数和标准差的概念，属于基础题．4．（5分）（2013•徐州模拟）在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．解答：解：∵集合中共有10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的基本事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P==故答案为：点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．5．（5分）（2013•徐州模拟）设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1 ．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．解答：解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．6．（5分）（2013•徐州模拟）已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1}．考点：伪代码．专题：图表型；函数的性质及应用．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则由图可得m＜0或m=1，故答案为：（﹣∞，0）∪{1}．点评：本题考查程序框图以及函数的零点，通过对程序框图的理解，转化为函数图象，然后把函数零点转化为交点个数问题，属于基础题．7．（5分）（2013•徐州模拟）已知，则co s2α=．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：首先由诱导公式得出sin=﹣，然后根据二倍角公式求得cosα、cos2α的值．解答：解：∵cos（）=cos[2π﹣（﹣）]=cos（）=sin=﹣∴cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（﹣）2=cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角公式和诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于中档题．8．（5分）（2013•徐州模拟）有一个正四面体，它的棱长为a，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为．考点：球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积．专题：操作型．分析：本题转化为四面体的侧面展开问题．在解答时，首先要将四面体的三个侧面沿底面展开，观察展开的图形易知包装纸的对角线处在什么位置时，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．解答：解：由题意可知：当正四面体沿底面将侧面都展开时如图所示：分析易知当以SO为圆的半径时，所需包装纸的半径最小，SO==，故答案为：．点评：本题考查的是棱锥的结构特征、四面体的侧面展开问题．在解答的过程当中充分体现了侧面展开的处理问题方法、图形的观察和分析能力以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．9．（5分）（2013•徐州模拟）过点P（1，1）的直线将圆x2+y2=4分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为x+y﹣2=0 ．考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：如图所示，当过点P的直线与直径OP垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得到斜率．解答：解：如图所示，当过点P的直线与直径OP垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大，∵，∴要求的直线的斜率k=﹣1．故所求的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），化为x+y﹣2=0．故答案为x+y﹣2=0．点评：正确得出“当过点P的直线与直径OP垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大”是解题的关键．10．（5分）（2013•徐州模拟）已知数列{a n}的前n项和，且S n的最大值为8，则a2= 2.5 ．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由是关于n的二次函数，可得n=k时取得最大值，从而可求k，然后代入a2=s2﹣s1可求解答：解：∵是关于n的二次函数当n=k时取得最大值=8∴k=4，即∴a2=s2﹣s1=6﹣3.5=2.5故答案为：2.5点评：本题主要考查了数列的和取得最值条件的应用及由数列的和求解项，属于基础试题11．（5分）（2013•徐州模拟）已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为线段BC，CD上的两个不同点，且||=1，则的取值范围是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设M（2，b），N（a，2）．由，可得，即（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．如图所示，建立平面直角坐标系．又=（1，b﹣1）•（a﹣1，1）=a+b﹣2．作出可行域，即可得出答案．解答：解：如图所示，建立平面直角坐标系．设M（2，b），N（a，2）．∵，∴，即（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．又O（1，1），∴=（1，b﹣1）•（a﹣1，1）=a+b﹣2．令a+b﹣2=t，则目标函数b=﹣a+2+t，作出可行域，如图2，其可行域是圆弧．①当目标函数与圆弧相切与点P时，，解得t=2﹣取得最小值；②当目标函数经过点EF时，t=2+1﹣2=1取得最大值．∴．即为的取值范围．故答案为．点评：本题综合考查了向量的模的计算公式、线性规划等基础知识，及数形结合思想方法．熟练掌握是解题的关键．12．（5分）（2013•徐州模拟）在数列{a n}中，已知a1=2，a2=3，当n≥2时，a n+1是a n•a n﹣1的个位数，则a2010= 4 ．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：由题意得，a3=a1•a2=6，a4=8，a5=8，a6=4，a7=2，a8=8，a9=6，a10=8，到此为止，看出一个周期，a9=a3，a10=a4，周期为6，利用这个周期能求出a2010．解答：解：由题意得，a3=a1•a2=6，定义f（x）=x的个位数则a4=f（a3•a2）=8，依此类推，a5=8，a6=4，a7=2，a8=8，a9=6，a10=8，到此为止，看出一个周期，a9=a3，a10=a4，周期为6，因为前2项不符合周期，所以2010﹣2=2008，2008=6×334+4，所以a2010=a6=4．故答案为：4．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列递推式的合理运用和周期性的灵活运用．13．（5分）（2013•徐州模拟）已知f（x）=log2（x﹣1），若实数m，n满足f（m）+f（n）=2，则mn的最小值是9 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题目给出的函数解析式可以得到m和n均大于1，然后由f（m）+f（n）=2，得到mn﹣（m+n）=3．利用基本不等式转化为含mn的不等式，通过解不等式可以求得mn的最小值．解答：解：由f（x）=log2（x﹣1），且实数m，n满足f（m）+f（n）=2，所以log2（m﹣1）+log2（n﹣1）=2．则，由①得（m﹣1）（n﹣1）=4，即mn﹣（m+n）=3．所以3=mn﹣（m+n）．即．解得，或．因为m＞1，n＞1．所以，mn≥9．故答案为9．点评：本题考查了基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，考查了对数函数的性质，利用了数学转化思想方法，是中档题．14．（5分）（2013•徐州模拟）设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x 在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．解答：解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=﹣1从而有∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，又，另导数大于0得1＜x0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1．∴故答案为：点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．15．（14分）（2013•徐州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=1，b=2，．（1）求边c的长；（2）求cos（A﹣C）的值．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由，结合已知条件及向量的数量积的定义可求cosC，然后利用c2=a2+b2﹣2abcosC 可求c（2）由（1）中所求cosC，利用同角平方关系可求sinC，然后结合正弦定理及三角形的大边对大角可判断A为锐角，进而可求cosA=，最后代入cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC可求解答：解：（1）由，得abcosC=．…（2分）因为a=1，b=2，所以，…（4分）所以c2=a2+b2﹣2abcosC=4，所以c=2．…（7分）（2）因为，C∈（0，π），所以sinC==，…（9分）所以=，…（11分）因为a＜c，所以A＜C，故A为锐角，所以cosA==所以cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=…（14分）点评：本题主要考查了同角平方关系、正弦定理及余弦定理、和差角公式的综合应用，解题的关键是公式的熟练掌握16．（14分）（2013•徐州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，根据三角形的中位线定理证出ME∥AD且ME=AD，平行四边形中Q是BC的中点，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，再结合线面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，结合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，从而有AN⊥CD．又因为AN⊥PC，结合PC、CD是平面PCD内的相交直线，可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三线合一”，证出AM⊥PD，结合AM、AN是平面AMN内的相交直线，得到PD⊥平面AMN，从而得到MN⊥PD．解答：解：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=AD，又∵Q是BC中点，∴BQ=BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，…（4分）∵BE⊂平面PAB，MQ⊄平面PAB，∴MQ∥平面PAB；…（6分）（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC，结合AN⊂平面PAC，得AN⊥CD．…（9分）又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，∴AN⊥平面PCD，结合PD⊂平面PCD，可得AN⊥PD，…（12分）∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，…（13分）又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，∵MN⊂平面AMN，∴MN⊥PD．…（14分）点评：本题在四棱锥中证明线面平行、线线垂直．着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．17．（14分）（2013•徐州模拟）某人2002年底花100万元买了一套住房，其中首付30万元，70万元采用商业贷款．贷款的月利率为5‰，按复利计算，每月等额还贷一次，10年还清，并从贷款后的次月开始还贷．（1）这个人每月应还贷多少元？（2）为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房150万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？（参考数据：（1+0.005）120≈1.8）考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题．分析：（1）设出每月应还钱数x元，算出贷款人120次支付给银行的钱数（含利息），算出70万元经过10年本利和，有两数相等即可得到x的值；（2）由每月还的贷款数乘以120得到卖房人支付给银行的总钱数，求出共支付的利息及差额税，获利等于差额减去利息再减去差额税．解答：解：（1）设每月应还贷x元，共付款12×10=120次，则有x[1+（1+0.005）+（1+0.005）2+…+（1+0.005）119]=700000（1+0.005）120，所以则（元）．答：每月应还贷7875元．（2）卖房人共付给银行7875×120=945000元，利息945000﹣700000=245000（元），缴纳差额税（1500000﹣1000000）×0.2=100000（元），获利500000﹣（245000+100000）=155000（元）．答：卖房人将获利约155000元．点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，解答的关键是读懂题目意思，明确贷款人还的钱等同于存钱，也有利息，此题属中档题．18．（16分）（2013•徐州模拟）已知椭圆E：的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．（ⅰ）当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；（ⅱ）若，求△ABM的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由离心率为，椭圆E上的点到点F距离的最小值为2，即a﹣c=2联立方程组求a，c的值，然后利用b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆方程可求；（2）（ⅰ）设出圆的一般方程，设N（8，t），把三点A（﹣4，0），F（2，0），N（8，t）代入圆的方程整理成标准式后利用基本不等式求出半径的最小值，同时求得半径最小时的圆的方程；（ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M点的坐标，由，借助于向量数量积求出直线的斜率，进一步得到M点的纵坐标，则△ABM的面积可求．解答：解：（1）由已知，，且a﹣c=2，所以a=4，c=2，所以b2=a2﹣c2=12，所以椭圆E的方程为．（2）（ⅰ）由（1），A（﹣4，0），F（2，0），设N（8，t）．设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，将点A，F，N的坐标代入，得，解得．所以圆的方程为，即，因为，当且仅当时，圆的半径最小，故所求圆的方程为．（ⅱ）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．由，得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣48=0由﹣4+x M=，得，所以，所以，，所以==，化简，得16k4﹣40k2﹣9=0，解得，或，即，或，此时总有y M=3，所以△ABM的面积为．点评：本题考查了圆与椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题、面积问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．19．（16分）（2013•徐州模拟）已知数列{a n}，其前n项和为S n．（1）若对任意的n∈N，a2n﹣1，a2n+1，a2n组成公差为4的等差数列，且，求n的值；（2）若数列{}是公比为q（q≠﹣1）的等比数列，a为常数，求证：数列{a n}为等比数列的充要条件为．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）依题意，可求得a2n+1﹣a2n﹣1=4，a2n=a2n﹣1+8（n∈N*），从而得a1，a3，a5，…a2n﹣1，a2n+1是公差为4的等差数列，且a2+a4+a6+…+a2n=a1+a3+…+a2n﹣1+8n，于是可求S n=2n（2n+3），由=2013即可求得n的值；（2）由+a=（a+1）q n﹣1，可求得S n=（a+1）q n﹣1a n﹣aa n，S n+1=（a+1）q n a n+1﹣aa n+1，两式相减得（a+1）（1﹣q n）a n+1=[a﹣（a+1）q n﹣1]a n，若q=1+，可证得数列{a n}为等比数列，（充分性）；若数列{a n}为等比数列，可证得q=1+，（必要性）．解答：解：（1）因为a2n﹣1，a2n+1，a2n组成公差为4的等差数列，所以a2n+1﹣a2n﹣1=4，a2n=a2n﹣1+8（n∈N*），…（2分）所以a1，a3，a5，…a2n﹣1，a2n+1是公差为4的等差数列，且a2+a4+a6+…+a2n=a1+a3+…+a2n﹣1+8n，…（4分）又因为a1=1，所以S2n=2（a1+a3+…+a2n﹣1）+8n=2[n+×4]+8n=4n2+6n=2n（2n+3），所以=2n+3=2013，所以n=1005．…（6分）（2）因为+a=（a+1）q n﹣1，所以S n=（a+1）q n﹣1a n﹣aa n，①所以S n+1=（a+1）q n a n+1﹣aa n+1，②②﹣①，得（a+1）（1﹣q n）a n+1=[a﹣（a+1）q n﹣1]a n，③…（8分）（ⅰ）充分性：因为q=1+，所以a≠0，q≠1，a+1≠aq，代入③式，得q（1﹣q n）a n+1=（1﹣q n）a n，因为q≠﹣1，q≠1，所以=，n∈N*，所以{a n}为等比数列，…（12分）（ⅱ）必要性：设{a n}的公比为q0，则由③得（a+1）（1﹣q n）q0=a﹣（a+1）q n﹣1，整理得（a+1）q0﹣a=（a+1）（q0﹣）q n，…（14分）此式为关于n的恒等式，若q=1，则左边=0，右边=﹣1，矛盾；若q≠±1，当且仅当时成立，所以q=1+．由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列{a n}为等比数列的充要条件为q=1+．…（16分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的求和与等比数列的分析确定，考查充分必要条件的推理论证，属于难题．20．（16分）（2013•徐州模拟）已知函数，g（x）=，a，b∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记函数h（x）=f（x）+g（x），当a=0时，h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围；（3）记函数F（x）=|f（x）|，证明：存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；综合题；导数的综合应用．分析：（1）根据导数运算公式，得f'（x）=，然后根据实数a的正负进行讨论，即可得到当a≤0时和当a＞0时两种情况下函数f（x）的单调区间；（2）当a=0时h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根．因此求出h'（x）的表达式，再分b=0、b＞0和b＜0三种情况加以讨论，即可算出实数b的取值范围；（3）首先根据（1）的结论，讨论可得只有0＜a＜时直线l与y=F（x）的图象有两个切点．设切点的横坐标分别为s、t且s＜t，可得l与y=F（x）的图象有两个切点分别为直线l与曲线在x∈（s，t）的切点和曲线在x∈（t，+∞）的切点．由此结合直线的斜率公式和导数的几何意义列出关于a、x1、y1、x2、y2的关系式，化简整理可得，再令=k（0＜k＜1），转化为（k2+1）lnk=2k2﹣2．令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），由根的存在性定理证出：存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0．由此即可得到原命题成立．解答：解：（1）因为f'（x）=﹣+=，①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（2分）②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，当0＜x＜a时，f'（x）＜0；当x＞a时，f'（x）＞0．所以（0，a）为单调减区间，（a，+∞）为单调增区间．综上可得，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调增区间为（a，+∞）．…（4分）（2）a=0时，h（x）=f（x）+g（x）=，∴h'（x）=bx﹣2+=，…（5分）h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根，由h'（x）=0得bx2﹣2x+1=0，…（6分）（ i）b=0，x=，满足题意；…（7分）（ ii）b＞0时，b•12﹣2•1+1＜0，即0＜b＜1；…（8分）（ iii）b＜0时，b•12﹣2•1+1＜0，得b＜1，故b＜0；综上所述，得：h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b＜1．…（9分）（3）证明：由（1）可知：（ i）若a≤0，则f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以直线l与y=F（x）的图象不可能有两个切点，不合题意．…（10分）（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a处取得极值f（a）=1+lna．若1+lna≥0，a≥时，由图象知不可能有两个切点．…（11分）故0＜a＜，设f（x）图象与x轴的两个切点的横坐标为s，t（不妨设s＜t），则直线l与y=F（x）的图象有两个切点即为直线l与和的切点．y1'=﹣=，y2'=﹣+=，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜x2，且==﹣﹣，==+，=，即=1﹣lnx1…①；=1﹣lnx2…②；a=，③①﹣②得：﹣=﹣lnx1+lnx2=﹣ln，由③中的a代入上式可得：（﹣）•，即，…（14分）令=k（0＜k＜1），则（k2+1）lnk=2k2﹣2，令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），因为=1﹣＞0，=﹣＜0，故存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0，即存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数的基本初等函数，求函数f（x）的单调区间、讨论函数f（x）+g（x）的极值点并证明了函数|f（x）|图象与过原点的直线相切的问题．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和用导数求函数图象的切线等知识，属于难题．必答题：第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•徐州模拟）过直线y=﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y=x2的两切线AP，AQ，P，Q 为切点．（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．（2）求证：直线PQ过定点．考点：直线的斜率；恒过定点的直线．专题：证明题；压轴题．分析：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1•k2为定值（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2ax﹣y+1=0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax﹣y+1=0，该线过定点（0，1）故证得．解答：解：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，则切线的方程为y+1=k（x﹣a），与方程y=x2联立，消去y，得x2﹣kx+ak+1=0．因为直线与抛物线相切，所以△=k2﹣4（ak+1）=0，即k2﹣4ak﹣4=0．由题意知，此方程两根为k1，k2，∴k1k2=﹣4（定值）．（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=x2，得y′=2x．所以在P点处的切线斜率为：，因此，切线方程为：y﹣y1=2x1（x﹣x1）．由y1=x12，化简可得，2x1x﹣y﹣y1=0．同理，得在点Q处的切线方程为2x2x﹣y﹣y2=0．因为两切线的交点为A（a，﹣1），故2x1a﹣y1+1=0，2x2a﹣y2+1=0．∴P，Q两点在直线2ax﹣y+1=0上，即直线PQ的方程为：2ax﹣y+1=0．当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点（0，1）．（10分）点评：本题考查转化的技巧，（I）将两斜率之积为定值的问题转化成了两根之积来求，（II）中将求两动点的连线过定点的问题转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性．26．（10分）（2013•徐州模拟）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．考点：用数学归纳法证明不等式；数列的求和；二项式定理的应用．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题．分析：（1）通过x=1直接求出a0，通过x=2即可求出的表达式；（2）通过比较n=1，2，3，4，5时S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，猜想出二者的大小，利用数学归纳法假设n=k时成立，证明n=k+1时猜想也成立即可．解答：解：（1）令x=1，则a0=2n，令x=2，则，∴S n=3n﹣2n；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）猜想：当n≥4时n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3n＞（n﹣1）2n+2n2，两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣2）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．综上得，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n﹣1）2n+2n2﹣﹣（10分）点评：本题是中档题，考查与n有关的命题，通过赋值法解答固定项，前n项和，以及数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，常考题型．选修题：本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•徐州模拟）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（1）求证：PM2=PA•PC；（2）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（1）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（2）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．解答：（1）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（2）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（（2）=8，∴MN=2点评：本题要求证明一个PM2=PA•PC结论，实际上这是一个名叫切割线定理的结论，可以根据三角形相似对应边成比例来证明，这是一个基础题．22．（10分）（2013•徐州模拟）（选修4﹣2：矩阵与变换）设 M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．考点：二阶矩阵；矩阵的应用．专题：计算题．分析：根据矩阵的乘法法则求出MN，设p（x，y）是所求曲线上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0（x0，y0）在矩阵MN变换下的对应点，然后根据变换的性质求出曲线方程．解答：解：∵M=，N=，MN==，（2分）设p（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0（x0，y0）在矩阵MN变换下的对应点，则=，∴，即，（4分）又点p0（x0，y0）在曲线y=sinx 上，故 y0=sinx0，从而y=sin2x，所求曲线的方程为y=2sin2x．…（7分）点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查学生掌握二阶矩阵的乘法法则，以及求出直线方程利用矩阵的变换所对应的方程．23．（10分）（2013•徐州模拟）[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点P为圆ρ2+2ρsinθ﹣7=0上任一点．求点P到直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0的距离的最小值与最大值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意圆的普通方程为 x2+y2+2y﹣7=0，参数方程为（α为参数），直线的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣7=0．将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值即可．解答：解：圆ρ2+2ρsinθ﹣7=0的普通方程为 x2+y2+2y﹣7=0，…（2分）直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0的普通方程为x+y﹣7=0，…（4分）设点P（2cosα，2sinα﹣1），则点P到直线x+y﹣7=0的距离d==…（8分）所以d min=，d max=．…（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．24．（10分）（2013•徐州模拟）[选修4﹣5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足acos2θ+bsin2θ＜c，求证：．考点：柯西不等式在函数极值中的应用；柯西不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：由柯西不等式定理构造不等式≤[（cosθ）2+（sinθ）2]（cos2θ+sin2θ）直接证明即可．解答：证明：由柯西不等式，得≤[（cosθ）2+（sinθ）2]（cos2θ+sin2θ）=（acos2θ+bsin2θ）＜．…（10分）点评：本题考查了柯西不等式证明不等式的方法，属于基础题．。

2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上.1 •已知全集 U ・ 1,2,3,4,5,6 A 」1,3,5?, B 」1,2,3,51，则 g (A“ B)二 ▲2亠ai2•若实数a 满足2i ，其中i 是虚数单位，则▲•1 -i3.已知 m 为实数，直线 h : mx y 3 = 0 , l 2 ：(3m -2)x my 2 = 0 ,则“ m =1”是“ h 〃 l 2 ”的▲ 条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空)4•根据右图的伪代码，输出的结果T 为 ▲①若丨二，，且「_ 1 ,贝U l _ ：「②若l _ 一：，且〉/ ［，贝U l _「； ③若 l _ ［，且 31 】，则 l // ：•；④若:-n 二 m ，且 l // m ，则 l // ：• • 则所有正确命题的序号是▲•6•正四面体的四个面上分别写有数字 0, 1, 2, 3,把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2, 0, 1, 3, 0, 3的概率为 ▲.17•已知 cos(750 •:) ，则 cos(3C ° -2>)的值为 ▲•3片片 0 呻呻呻」— 勺 &已知向量 a , b 的夹角为45 ,且a =1 , 2a —b = 710，贝U b =▲S 2n +12013.3「 1k 3While I :: 20 「TI k I 2End While Print T5.已知l , m 是两条不同的直线, :-,:是两个不同的平面，有下列四个命题:9•设S n, T n分别是等差数列「a」,IbJ的前n项和，已知n, N*T n 4n - 2则a10. a11= ▲4+08 b6+bi510•已知F1, F2是双曲线的两个焦点，以线段F j F2为边作正.■:MRF2，若边MR的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为▲X11.在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，函数y=e的图像与y轴的交点为B，P为函数y二e x图像上的任意一点，则OpAB的最小值k12•若对于给定的正实数k,函数f(x) 的图像上总存在点C，使得以C为圆心，1为x半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2,则k的取值范围是▲.13 .已知函数f (x) x x 2 - 3,则f(-5 f (-5㊁)=x+1 x + 2 x + 3 x + 4 2 2▲.14•设函数f (x) =ln x的定义域为M , •：：，且M • 0 ,对于任意a , b , c (M「：), 若a , b , c是直角三角形的三条边长，且f(a), f (b), f (c)也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为▲.、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明, 请把答案写在答题纸的指定区域内.证明过程或演算步骤,15.(本小题满分14分)在ABC中，角A , B , C的对边分别是a ,(1 )若BA.BC =3 , b = -、3，求a c的值；2c,且A , B , C成等差数列.(2)求2sin A「sinC的取值范围.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ARG - ABC中，已知E ,F , G分别为棱AB , AC , AO的中点,ACB =900, AF _ 平面ABC CH _ BG , H为垂足.求证：(1) AE〃平面GBC ；C1 G(2) BG _ 平面ACH i叶VC H* ”4 一 V Y17. （本小题满分14分）已知实数a , b , c • R，函数f （x）=ax3- bx2ex满足f （1）= 0 ,设f （x）的导函数为f （x），满足f （0） f （1） .0 .c（1）求一的取值范围；a（2）设a为常数，且a . 0，已知函数f （x）的两个极值点为x1，x2，A（x1, f （x1）），2 a aB（X2, f（X2）），求证：直线AB的斜率k ，-.9 618. （本小题满分16分）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R （米）的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA, EB , EC , ED所在圆的圆心都是O、半径都是R （米）、圆弧的圆心角都是二（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h （米）,且h R ;灯脚FA , FB1, FG , FD1是正四棱锥F — ABGU的四条侧棱，正方形AB1C1D1的外接圆半径为R （米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为二（弧度）.已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米a（元）,3其中R, h , a都为常数.设该灯架的总造价为y（元）.（1 ）求y关于二的函数关系式；（2 ）当二取何值时，y取得最小值？A B119. （本小题满分16分）2已知椭圆E : — y^1的左、右顶点分别为A , B，圆x2y^4上有一动点P , P 4在x轴的上方，C(1,0)，直线PA交椭圆E于点D，连结DC , PB .(1) 若.ADC =90°，求ADC 的面积S ；(2) 设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1 = k2，求•的取值范围. 20. (本小题满分16分)设数列订鳥的各项均为正数，其前n项的和为S n，对于任意正整数m , n ,Sm n _ 2a2m(1 S2n) -1 恒成立.(1)若a1 =1，求还,a3, a4及数列的通项公式;(2)若a^a2(a1 a21)，求证：数列ia n?成等比数列.2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学II （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题 ，并在相应的 答题区域 内作答，若多做，则按作答的前两题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A •（选修4 — 1 几何证明选讲）（本小题满分10分）如图，已知CB 是O O 的一条弦，A 是O O 上任意一点，过点A 作O O 的切线交直线CB 于点P , D 为O O 上一点，且 ABD =/ABP . 求证：AB 2 =BP BD .B .（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分）C .（选修4 — 4:坐标系与参数方程）（本小题满分10分）I x = 2 _t 、, —已知直线I 的参数方程！ 、一 （t 为参数），圆C 的极坐标方程：“ ■ 2sin v - 0 .j y =1 +J 3t（1） 将直线I 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线I 的距离最小.D.（选修4—5:不等式选讲）（本小题满分10分）已知a , b , c 都是正数，且a 2b 3^ 6，求•. a V . 2b V . 3c 1的最大值.［必做题］第22、23题海小题10分，计20分•请把答案写在答题纸的指定区域内 22. （本小题满分10分）已知矩阵A =『a |tc 0 的一个特征值为 r =-1，其对应的一个特征向量为P（第21-A 题）如图，圆锥的高P0 =4 ,底面半径0B = 2 , D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点,F 为底面圆周上一点，满足 EF _ DE .23. (本小题满分10分)(1) 山水城市镇江有“三山”一一金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的 概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用 '表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求的分布列和数学期望；(2)某城市有n ( n 为奇数，n _3)个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5 ,且该游客是否游览这 n 个景点相互独立，用•表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点 数差的绝对值，求的分布列和数学期望.答案:(1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 0 — DF -E 的正弦值.P右：村^一 •舛耳C| - ABC 中■ G.F 分别为4GMC 中点，・4G = FC 且4G 〃FC …・・四边形AFCG 为平行四边形■ ••・AF 〃 CG ・分 •丄平面的c,・•・CG 丄平面MC.[ACu 平面"PC, .•. CG 丄/C. •“•••1° 分• CD 丄"C\CG,C8u 平面GC8, CGf]CB = C ,・・・NC 丄平血ECG ,11分.又・•• BG u 平面BCG ,・•・ AC1BG. ••••••12分 •••CZZ 丄 CG ・且 ACcCH = C, AC,CH u 平面 ACH 、奴 BG 丄平面/1CH ・ •••14 分17•解：⑴・・・/(l) = a + 6 + c = 0,・・・b = -(a + c)・...... 】分••• f \x) = 3ax 2 + 2bx + c /X0) = c , /f (l) = 3a + 2Z> + c. Ac (3a + 2Z> + c) = c(a-c) = ac-c 2 >0 • ••・OH 0,CH 0 ・ .•.£-(£)2 >o, a a /•0< —<1.a(2)令/\x) = 3ax 2 +2/>x + c = 0>2b. _ c•T+X2"寿，"厂矿s a(x ： + “I + x ：) + b(x 2 + X|) + c刊[Q+讦-"J + bE+xJ + cf(x 2) - /(%,) _ (唱‘ + bx ； + cx<) - (ax, - bx ； + crjk=% f =士-旺•；豐篇严是平行四边形，••・・••5分 ■ 面GBC. GMu 面GBC. ：•人E 〃面GBC ・ ..... 7 分3分 ・4分••5分 ••6分・・・7分岛二数学符案第2页（共10贝）网亦厂詡+"-务*"诰煜£-务七]浑（耳+知令2^'则=» 虫（0，1）. 则 k = ¥〔-（】+ O 2 + 3/]=^-（ -r 1 +/-1）, ……14分 D 18・解：（1）延长EF 与地面交于0「由题意：勺FO 严“且F°产孟• …f 、、从而吩-磊，代爲， f \畤"侖+篇）_ O 1 （注：每写对一个部件造价得2分） 、40 4-cosO —“⑵2（亍飞矿）+以40 4-cos0 设/如亍盂厂 4sin 2 9 + 3-12cos£ 令广⑹二3^0 Q-2cos0）（7 + 2cos&） 一 °12分 13分 11分3 sin 2 0•••“亍当处（O 申时,/<0：吨昴时,小••••••''分 设处佩冷），其中tan 恥*1' •••%<「” ••”"分 ,玉（0冷，"气时，曲小*3 2」12分15分16分答：当0峙时，灯架造价取得械小低心学桃笫3呱（共〔°贝）19.解：⑴设 D^y). V ZADC = 9(T , A A D 2 + DC 2 = AC 2 ・即 F + 4y 2 -4 = 0 t 得,+4x ——(x + 2)2 -4 = 0. (勺+2)/ x 02 + y 02 = 4 , ••• x 2 +4x-_ (x+ 2『-4 = 0 •+ 2將理得(10-3x 0)x 2 + (32 -16x 0)x + 24 - 20心=0 ・(注：消去X.可得方程(x 02 + 4x 0 + 4 + 4y 02)y 2 -4(x 0 + 2)y^Q 9 也得 8 分) 此方程有-根为-2,设*,川则护幣芦 代M 线审方程，得心冷4必ky 则(X + 2)2+F+(X ・1)2*2=9・ 即 x 2+y 2• ••点D 在椭圆E 上，・••令+ b ；联立①，②，消去y,得 3x 2 + 4x-4 = 0,2*•* -2 < x < 2 > x = — •3代入椭圆方程.得丁二年一 • (4)分A A ADC 的面积 S = |x3x^ = >/2 .•••••• 6(2)设P(x 0,y 0),直线M(x + 2),代入椭10分则何沽,他诒■直I 丁圧気10-3x 012分 D• • E —Jb- • j k 、X Q ^21 1— 221 4 禺—4儿 4 X Q _24 Xo-2 八13x 0-22 22V -2<x 0<2, x o*—• A 久的取值范西为(Y ),0)U (0,3)• •20.尿（I ）由条件，得1+S+如（7）.①在①中，令/M = l,得1 + S*]=血2（1 + $2』•②则数列｛1 + SJ （心2/wN*）是公比为g 的等比数列.•••l + Sgl + S?)严(心2, nsN*).④心3时，1 + 5^=(1 + 52)/'3.⑤④-⑤，得勺=(l + S2)g"J(g-l) (/i^3 • zieN*). (*) 在①中，令加="=1,得 1 + S 2 = y/2a 2(l + S 2).• • (1+ S 2)2 =2a 2(l + S 2).贝ij 1 + S 2 = 2a 2 ••: a 2-\ + a }：• q = 1 ・•：伽=2 • ...... 6 分 在①中，令心,”2,得l + SjuQ^O + SJ.则(4 + 勺尸=4(4 + 6+©).⑥在①中•令^ = 2^ = 1,御 1 + Sj=72q(l + S2)• 则（4 +勺）2=险・⑦岛三数学猝案第5 U [（共10页）).=j••• 14分16分剣厂2,山陽=(1 + $2)严(—[)(“N・)・做朴2“(2T)才(心十NJ “亠•心2也适合上式，g计庆“ 井@中，令心,”2,得1 + S「酝隔.即抵=加4・••1 + ®=%10分12分在①中•令^ = 1,« = 2,得1 + S严宓(1 + sj.W1 + S厂血2(1 + $3+兔)，•:爲二風X 2為U (♦),得4=(1 + $2)2"(心3,处2). (*) 14分由条件fl4=a2(a1+a2+l),得+a2 +1 = 4.•fl2 = l + fll> .\fll=l,A02=2 •则％=4x2" = 2 小(诊3, “wNJ5 J •••坷“也适合上式…••陽=2门(weN*).16分•谶列他｝是等比数列.朋神枠第汰陳师-1 + 4 = 1,Ja = 2,c = 1» |c = 1.4的特征多项式为/(2) = (A-l)A-2 = A 2-A-2=0.则入》以=2・]■ *2* ■.•.才0 =才(-2 [ +3 ] ) = (-2)x(-l)5 ；21C •解：（1）宜线/的晋通方程为尸-5 + 1 + 2的・……:圆C 的肾通方程为：? + / + 2^ = 0..・・..・.⑵在圆C 上任取-点p （8如+sin 砒（0打0,2＜））,卩到直教的距助:d = ©cos® tsin 0 ■ 2 - 2 巧 | 12 sin （0 + 彳）■ 2 - 2巧 |■ 2高二数学楸第7贾（共io 臾）数学II （附加题）2IA.证明："打8相切丁•点八肋为3的弦，则例〃=厶"'在00中・ ZACB = "DB, ・・"DB = mAB. 乂在ZiDB/l 和5ABP 中・ ZDBA = "BP・：・厶 DBAs'ABP 、岂二型，即 AB 2^BPBD.BP AB・2分•5分 •8分 10分21B.解：由題意的{当入=2,特征方稈二:鳥 属于特征值石=2的一个轩征向掀为冬彳］3分•7分2,0*：心♦如.心心耐“吋“心丫W (】• ▼】■*•】• w (\A7TT\,亠,Ai.匕■寺且仅当故所求式没平(fl! DEF 法向ft 为”；=(岭.......... .......... 9分10分22. M ：(1)以<sin” =斗二・Of23.解：(2)设平面OM PE =2*+1)=ci…(|)° * a-护 “+琛;(护“ x (i-l )->=2x (护・u , A ^=(2Ar +T0X G“ + 1X C ；“+2X C ；“+...+心J}命•散学舀案=2 x{[(2k + l)xC：：：； + 2k x C ；：t,十(2— 1)x C：：；： + …+ (11)x」.......7・••• ^ = 2x(l)w*«{(2A + l)x[C；：+C；f,+- + C；J-(2A + l)x[C；4+Cj A+- + Ci i，D-8 分= 2x(》”“x(2jt + i)x[(c；；+c；： '+・・+U)-(U+G+…+c「)) = 2x(l)M*'x(2Jt4.1)xCi.10分答：§的数学期望砖为為占.乙岛三数学答案第10页（共10页）。

高三教学调研测试试题数学I （正题）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在相应位置上。

1.设集合(]1,1-=A ，()2,0=B ，则=B A .2.若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位），则=z .3.已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为x y 23=，则m 的值为 . 4.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差=2s .5.如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为 .6.已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为 .7.等比数列{}n a 中，若33=a ，246=a ，则8a 的值为 .8.已知钝角α满足53cos -=α，则)42tan(πα+的值为 . 9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x 则)2(log 3f 的值为 . 10.已知点P 在ABC ∆所在平面内，若3432=++，则PA B ∆与PBC ∆的面积的比值为 .11.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //；（2）若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥；（3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //；（4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥.上面命题中，所有真命题的序号为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在曲线)0(1>=x xy 上，点P 在x 轴上的射影为M .若点P 在直线0=-y x 的下方，当MPOM OP -2取得最小值时，点P 的坐标为 .13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点为M ，若022≥+∙BF MF MA ，则该椭圆离心率的取值范围为 . 14.设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则n m n m 344-的最小值为 .二．解答题：本大题共六小题，共计90分。

江苏省徐州市2013届高三数学考前训练试题（含解析）苏教版第Ⅰ卷一、填空题：1.【题文】若集合{}1,0,1A =-，BO AC ⊥，则90OBN BMO ︒∠+∠=＝ ．【结束】2.【题文】设i 是虚数单位，复数BNP BMO PMN ∠=∠=∠为纯虚数，则实数a 的值为 ．【结束】3.【题文】已知样本PM PN =的平均数是22PM PN PA PC ==⋅，且2OM =，则此样本的标准差是 ．【结束】4.【题文】已知双曲线与椭圆MN 有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 ．【结束】5.【题文】已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数()()g x f x m =-在(),x y ''上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．6.【题文】已知10 22x x y y⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则1,22,x xy y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩．【结束】7.【题文】有一个正四面体的棱长为2,1,2x xy y'=⎧⎪⎨'=⎪⎩，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为．8.【题文】过点sin y x =的直线将圆1sin 22y x ''=分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 ．【结束】9.【题文】已知数列2sin 2y x ''=的前sin y x =项和MN ，且2sin 2y x =的最大值为8，则P ．【答案】22PM PN PA PC ==⋅【结束】10.【题文】已知中心为A 的正方形B 的边长为2，点D 分别为线段C 上的两个不同点，且M ，则N 的取值范围是 ．【结束】11.【题文】在数列Q 中，已知E ，max 622d ==，当22cos sin a b θθ+时，11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ++≤是1222(cos sin )a b c θθ=+<的个位数，则A ．【结束】12.【题文】已知2y x =，若实数k 满足1()y k x a +=-，则2y x =的最小值是 ．【结束】13.【题文】设曲线y 在点210x kx ak -++=处的切线为24(1)0k ak ∆=-+=，曲线2440k ak --=在点12,k k 处的切线为124k k =-．若存在1122(,),(,)P x y Q x y ，使得2y x =，则实数'2y x =的取值范围是 ．以a=0200x -3x x 2-- ，又a ′=00200(x 1)(x 5)(x x 2)----- ，另导数大于0得1＜x 0＜5，故0200x -3x x 2--在（0，1）是【结束】第Ⅱ卷二、解答题14.【题文】设P 的内角1'1|2x x y x ==所对的边分别为1112()y y x x x -=-．已知211y x =，1120x x y y --=，Q ．⑴求边2220x x y y --=的长；⑵求()C A -cos 的值．所以2sin 2y x =. 14分考点：向量的数量积，两角和的三角公式【结束】15.【题文】如图，在四棱锥(,1)A a -中，11210x a y -+=平面22210x a y -+=，四边形,P Q 是平行四边形，且210ax y -+=，PQ ，210ax y -+=，0x =分别是1y =，PQ 的中点．所以B ． 9分又4n ≥，23(1)22n n n n >-+平面4n =，*(4,)n k k k =∈N ≥平面23(1)22k k k k >-+，所以3平面【结束】16.【题文】某人3年底花23(1)22n n n n <-+万元买了一套住房，其中首付4n =万元，5万元采用商业贷款．贷款的月利率为23(1)22n n n n >-+‰，按复利计算，每月等额还贷一次，4n ≥年还清，并从贷款后的次月开始还贷．⑴这个人每月应还贷多少元？⑵为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房23(1)22n n n n >-+万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？ （参考数据：4n =）考点：等比数列【结束】17.【题文】已知椭圆*(4,)n k k k =∈N ≥：23(1)22k k k k >-+的离心率为3，右焦点为1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k >-=---+++++++，且椭圆22(3)2442(3)24(2)6k k k k k k k k ---=---+++上的点到点(3)24(2)(1)60k k k k =-->+++距离的最小值为2． ⑴求椭圆1123[(1)1]22(1)k k k k >-+++++的方程；⑵设椭圆1n k =+的左、右顶点分别为4n ≥，过点23(1)22nnn n >-+的直线1n =与椭圆23(1)22n n n n >-+及直线2n =分别相交于点3．（ⅰ）当过23(1)22nnn n <-+三点的圆半径最小时，求这个圆的方程； （ⅱ）若4n ≥，求23(1)22nnn n >-+的面积．【结束】18.【题文】已知数列12c a =，其前2a c -=项和为4a =． ⑴若对任意的2c =，22212b a c =-=组成公差为E 的等差数列，且2211612x y =+，(4,0)A -，求(2,0)F 的值；⑵若数列(8,)N t 是公比为220x y dx ey f =++++的等比数列，,,A F N 为常数，求证：数列21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++为等比数列的充要条件为2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩． 【答案】（1）1005n =（2）证明充要条件命题，要证明充分性和必要性同时成立即可。

江苏省徐州市2013届高三考前模拟试题数学Ⅰ卷样本数据12,,,n x x x 的标准差s =11n i i x x n ==∑． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．若集合{}1,0,1A =-，{}21,B x x m m ==+∈R ，则B A ＝ ． 2．设i 是虚数单位，复数1i3ia +-为纯虚数，则实数a 的值为 ． 3．已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，且60xy =，则此样本的标准差是 ． 4．在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素，所取元素恰好满足方程1cos 2x = 的概率是 ． 5．已知双曲线与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且它们的 离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 ． 6．已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．7．已知32cos()23απ+=-，则cos 2α= ．8．有一个正四面体的棱长为3，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ．9．过点(1,1)P 的直线将圆224x y +=分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线Read x If x ≤1- Then f (x )←x +2Else If 1-<x ≤1 Then f (x )←x 2 Elsef (x )←x -+2 End If End If Print f (x )(第6题图)注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

2013届徐州市高三数学一模试卷（附答案）徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅰ参考公式：球的表面积为，其中表示球的半径。

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1.已知全集集合则▲.2.已知是虚数单位，实数满足则▲.3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在（元）内应抽出▲人.4.如图是一个算法的流程图，若输入的值是10，则输出的值是▲.5.若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积是▲.6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是▲.7.已知等比数列的前项和为，若，则的值是▲.8.已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为▲.9.由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是▲.10.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是▲.11.已知函数，当时，，则实数的取值范围是▲.12.已知角的终边经过点，点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，则的值是▲.13.若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是▲.14.如图，在等腰三角形中，已知分别是边上的点，且其中若的中点分别为且则的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在△，已知（1）求角值；（2）求的最大值.16.（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，已知平面平面且,.（1）求证：（2）若为棱的中点，求证：平面.17.（本小题满分14分）如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.(1)求的长度；(2)在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点（ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；（ⅱ）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.19.（本小题满分16分）已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数单调区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.20.（本小题满分16分）已知且令且对任意正整数，当时，当时，（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的正整数，恒成立，问是否存在使得为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数且求数列的通项公式.徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，是⊙的一条切线，切点为直线,都是⊙的割线，已知求证：B.选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆求矩阵的逆矩阵.C.选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数,,以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若圆上的点到直线的最大距离为，求的值.D.选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数满足求的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,已知抛物线的焦点为过的直线与抛物线交于两点,为抛物线的准线与轴的交点.(1)若求直线的斜率；(2)求的最大值.23.（本小题满分10分）已知数列满足且（1）计算的值，由此猜想数列的通项公式，并给出证明；（2）求证：当时，徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅰ试题参考答案与评分标准一、填空题1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．二、解答题15．⑴因为，由正弦定理，得，…………………………………………2分所以，所以，………………………………4分因为，所以．…………………………………………………………6分⑵由，得，所以，……………………………………10分因为，所以，……………………………………………12分当，即时，的最大值为．……………………14分16．⑴在四边形中，因为，，所以，……………2分又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，………………………………………4分又因为平面，所以．………………………………………7分⑵在三角形中，因为，且为中点，所以，………9分又因为在四边形中，，，所以，，所以，所以，…………12分因为平面，平面，所以平面．…14分17．⑴作，垂足为，则，，设，则…………………2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为．………………………………………………………………6分⑵设，则，．………………………8分设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值，………12分因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．答：当为时，取得最小值．……………………………14分18．⑴由题意得，所以，又，…………………………………2分消去可得，，解得或（舍去），则，所以椭圆的方程为．……………………………………………………4分⑵（ⅰ）设，，则，，因为三点共线，所以，所以，，8分因为在椭圆上，所以，故为定值．10分（ⅱ）直线的斜率为，直线的斜率为,则直线的方程为，…………………………………………12分==，所以直线过定点．………………………………………………………16分19．⑴因为函数，所以，，…………………………………………2分又因为，所以函数在点处的切线方程为．…………4分⑵由⑴，．因为当时，总有在上是增函数，………………………………8分又，所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为．………………………………………………10分⑶因为存在，使得成立，而当时，，所以只要即可．……………………………………………12分又因为，，的变化情况如下表所示：减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．因为，令，因为，所以在上是增函数．而，故当时，，即；当时，，即．………………………………………14分所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．综上可知，所求的取值范围为．………………………………16分20．⑴当时，且，所以，……………………………………2分又当时，且，，…………………………………………4分因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，．………………………………………………………5分⑵因为，所以，所以，，…………………………………8分假设存在，，使得能构成等比数列，则，，，故，化简得，与题中矛盾，故不存在，使得为等比数列．……………………………………………10分⑶因为且，所以所以所以，……………………………………………12分由⑴知，，所以，…………………………………13分，………………………………………………14分所以，…………………………………16分徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ试题参考答案与评分标准21．A．因为为切线，为割线，所以，又因为，所以．……………………………………………4分所以，又因为，所以∽，所以，又因为，所以，所以．………………………………………………………………………10分B．设点为圆C：上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为，则，所以…………………………………………2分因为点在椭圆：上，所以，………………4分又圆方程为，故，即，又，，所以，．所以，……………………………………………………………………6分所以．…………………………………………………………………10分C．因为圆的参数方程为（为参数，），消去参数得，，所以圆心，半径为，……3分因为直线的极坐标方程为，化为普通方程为，………6分圆心到直线的距离为，……………………8分又因为圆上的点到直线的最大距离为3，即，所以．…10分D．由柯西不等式，，……5分因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．…………………………………………………10分22．⑴因为抛物线焦点为，．当轴时，，，此时，与矛盾，……………2分所以设直线的方程为，代入，得，则，，①所以，所以，②…4分因为，所以，将①②代入并整理得，，所以.………………………………………………………………………………6分⑵因为，所以，当且仅当，即时，取等，所以，所以的最大值为.……………………10分23．⑴，，，猜想：．……………………………2分①当时，，结论成立；②假设当时，结论成立，即，则当时，，即当时，结论也成立，由①②得，数列的通项公式为．5分⑵原不等式等价于．证明：显然，当时，等号成立；当时，，综上所述，当时，．…………………………………………………10分。

江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州模拟）集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合B={x|x≥1}，结合交集的定义，计算可得A∩B，即可得答案．解答：解：根据题意，集合B={x|x=m2+1，m∈R}={x|x≥1}，又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B．2．（5分）（2013•徐州模拟）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为3．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数===为纯虚数，∴，解得a=3．故答案为3．点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．3．（5分）（2013•徐州模拟）已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，且xy=60，则此样本的标准差是．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据xy=60和平均数，列出方程解出x、y的值，最后再计算此样本的标准差即可．注意运算正确．解答：解：∵平均数是8，∴（7+8+9+x+y）÷5=8 ①xy=60 ②由两式可得：x=6，y=10，或x=10，y=6．则此样本的标准差ρ==，故答案为：．点评：本题考查的是平均数和标准差的概念，属于基础题．4．（5分）（2013•徐州模拟）在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．解答：解：∵集合中共有10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的基本事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P==故答案为：点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．5．（5分）（2013•徐州模拟）设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．解答：解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．6．（5分）（2013•徐州模拟）已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1}．考点：伪代码．专题：图表型；函数的性质及应用．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则由图可得m＜0或m=1，故答案为：（﹣∞，0）∪{1}．。

第Ⅰ卷一、填空题：1.【题文】若集合{}1,0,1A =-，BO AC ⊥，则90OBN BMO ︒∠+∠=＝ ．【结束】2.【题文】设i 是虚数单位，复数BNP BMO PMN ∠=∠=∠为纯虚数，则实数a 的值为 ．【结束】3.【题文】已知样本PM PN =的平均数是22PM PN PA PC ==⋅，且2OM =，则此样本的标准差是 ．【结束】4.【题文】已知双曲线与椭圆MN 有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 ．【结束】5.【题文】已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数()()g x f x m =-在(),x y ''上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．【结束】6.【题文】已知1202x xy y⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则1,22,x xy y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩．【结束】7.【题文】有一个正四面体的棱长为2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ．【结束】8.【题文】过点sin y x =的直线将圆1sin 22y x ''=分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 ．【结束】9.【题文】已知数列2sin 2y x ''=的前sin y x =项和MN ，且2sin 2y x =的最大值为8，则P ．【答案】22PM PN PA PC ==⋅【结束】10.【题文】已知中心为A 的正方形B 的边长为2，点D 分别为线段C 上的两个不同点，且M ，则N 的取值范围是 ．【结束】11.【题文】在数列Q 中，已知E ，max d ==，当22θθ时，11222222))](cos sin )θθθθ++≤是1222(cos sin )a b θθ=+<的个位数，则A ．【结束】12.【题文】已知2y x =，若实数k 满足1()y k x a +=-，则2y x =的最小值是 ．【结束】13.【题文】设曲线y 在点210x kx ak -++=处的切线为24(1)0k ak ∆=-+=，曲线2440k ak --=在点12,k k 处的切线为124k k =-．若存在1122(,),(,)P x y Q x y ，使得2y x =，则实数'2y x =的取值范围是 ．以a=0200x -3x x 2-- ，又a ′=00200(x 1)(x 5)(x x 2)----- ，另导数大于0得1＜x 0＜5，故0200x -3x x 2--在（，1）是【结束】第Ⅱ卷二、解答题14.【题文】设P 的内角1'1|2x x y x ==所对的边分别为1112()y y x x x -=-．已知211y x =，1120x x y y --=，Q ．⑴求边2220x x y y --=的长； ⑵求()C A -cos 的值．所以2sin 2y x =. 14分考点：向量的数量积，两角和的三角公式 【结束】15.【题文】如图，在四棱锥(,1)A a -中，11210x a y -+=平面22210x a y -+=，四边形,P Q 是平行四边形，且210ax y -+=，PQ ，210ax y -+=，0x =分别是1y =，PQ的中点．所以B． 9分又4n ≥，23(1)22n n n n >-+平面4n =，*(4,)n k k k =∈N ≥平面23(1)22k k k k >-+，所以3平面【结束】16.【题文】某人3年底花23(1)22n n n n <-+万元买了一套住房，其中首付4n =万元，5万元采用商业贷款．贷款的月利率为23(1)22n n n n >-+‰，按复利计算，每月等额还贷一次，4n ≥年还清，并从贷款后的次月开始还贷． ⑴这个人每月应还贷多少元？⑵为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房23(1)22n n n n >-+万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？ （参考数据：4n =）考点：等比数列 【结束】17.【题文】已知椭圆*(4,)n k k k =∈N ≥：23(1)22kkk k >-+的离心率为3，右焦点为1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k >-=---+++++++，且椭圆22(3)2442(3)24(2)6k k k k k k k k ---=---+++上的点到点(3)24(2)(1)60k k k k =-->+++距离的最小值为2．⑴求椭圆1123[(1)1]22(1)k k k k >-+++++的方程；⑵设椭圆1n k =+的左、右顶点分别为4n ≥，过点23(1)22nnn n >-+的直线1n =与椭圆23(1)22nnn n >-+及直线2n =分别相交于点3．（ⅰ）当过23(1)22nnn n <-+三点的圆半径最小时，求这个圆的方程； （ⅱ）若4n ≥，求23(1)22nnn n >-+的面积．【结束】18.【题文】已知数列12c a =，其前2a c -=项和为4a =． ⑴若对任意的2c =，22212b a c =-=组成公差为E 的等差数列，且2211612x y =+，(4,0)A -，求(2,0)F 的值；⑵若数列(8,)N t 是公比为220x y dx ey f =++++的等比数列，,,A F N 为常数，求证：数列21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++为等比数列的充要条件为2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩．【答案】（1）1005n =（2）证明充要条件命题，要证明充分性和必要性同时成立即可。