人教版数学选修4-4课件 2.3 直线的参数方程

•考点二 直线与圆的位置关系
• 直线与圆锥曲线相交，求直线上的定点与两 交点的距离问题，可利用直线参数方程标准 形式中t的几何意义来求解．
【 例 题 2 】 (2016·湖 北 八 校 第 二 次 联 考 ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
x＝－1＋tcos α， y＝3＋tsin α
曲线 C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上． (1)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|FA|·|FB|的值；
(2)求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值．
解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程为1x22＋y42＝1，将左焦点 F(－2 2，0)代入直线
• 【例题4】 过椭圆x2＋2y2＝2的一个焦点F(－ 1，0)作一直线交椭圆于A，B两点．
• (1)求|AB|的最大值和最小值； • (2)求△AOB面积的最大值(O为椭圆中心)．
• 思维导引：写出直线的参数方程，利用t的几 何意义来解决使运算更简便．
解析：(1)设经过点 F(－1,0)的直线的参数方程为xy＝＝－tsin1＋θ tcos θ， (t 为参数，θ ∈[0，π))，代入椭圆方程整理得(cos2θ＋2sin2θ)t2－2cos θ·t－1＝0，两实根 t1，t2 即为 A， B 两点对应的参数，且 t1＋t2＝cos22θc＋os2θsin2θ，t1·t2＝－cos2θ＋12sin2θ，∴|AB|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2＝1＋2si2n2θ.∵0≤sin2θ≤1，∴ 2≤|AB|≤2 2，
课末随堂演练
课后限时作业
制作者：状元桥
适用对象：高二学生
制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3
运行环境：WindowsXP以上 操作系统
【学习力-学习方法】
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x＋322＋y－12，t的几何意义是点 M0(－3,1)到直线上任意一点 M(x，y)的距离M―0→M
的一半．
【 变 式 1 】 (2016·东 北 三 省 联 合 高 三 模 拟 ) 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为
x＝m＋ 22t， y＝ 22t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
• 思维导引：不用求出B，D的坐标，根据直线 的标准参数方程中t的几何意义及根与系数的 关系即可求出PB与PD.
解析：
2，π4对应的直角坐标是(1,1)，曲线 C1 的方程为 x＋y－2＝0，曲线 C2 的
方程为 x2＋y2－2x－2y＝0，
由xx2＋＋yy－2－2＝2x0－2y＝0， 得交点坐标是(2,0)，(0,2)．
当 θ＝π2时，|AB|min＝ 2，当 θ＝0 时，|AB|max＝2 2.
(2)∵t1t2＝－cos2θ＋12sin2θ＜0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＝t1sin θ，y2＝t2sin θ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sin θ＝1＋2ssiinn2θθ＝
【例题 1】 (1)化直线 l1：x＋ 3y－1＝0 的方程为标准形式的参数方程(参数为 t)，
并说明 t 和t的几何意义；
(2)化直线 l2的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．
• 思维导引：求直线的参数方程首先确定定点， 再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键 在于消参．
向线段―M0→M的数量，t表示直线 l1 上定点 M0(1,0)到直线上任意一点 M(x，y)的有向线 段―M0→M的长度．
(2)原方程变形为yx－＋13＝＝t，3t， 消去参数 t 得 y－1＝ 3(x＋3)，即 3x－y＋3 3＋
1
＝
0.
将
x＋3＝t， y－1＝ 3t
两 方 程 平 方 相 加 ， 得 (x ＋ 3)2 ＋ (y － 1)2 ＝ 4t2 ， 所 以 t ＝
• 思维导引：联立直线的参数方程与曲线的直 角坐标方程，由Δ＝0即可求得．
解析：(1)当 α＝π2时，l：x＝－1，当 α≠π2时， l：y＝(x＋1)·tan α，曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝2x. (2)将xy＝＝t－sin1＋α tcos α， 代入 x2＋y2＝2x 中整理 得 t2－4tcos α＋3＝0，由 Δ＝16cos2α－12＝0 得 cos2α＝34， ∴cos α＝ 23或 cos α＝－ 23，∴直线 l 的倾斜角为π6或56π.
(t 为参数，0≤α≤π)，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2 2sinθ＋π4.
(1)若极坐标为
2，π4的点 A 在曲线 C1 上，求曲线 C1 与曲线 C2 的交点坐标；
(2)若点 P 坐标为(－1,3)，且曲线 C1 与曲线 C2 交于 B，D 两点，求|PB|·|PD|.
求直线 l 的斜率．
• 思维导引：可设出直线l的参数方程代入曲线 C中，结合直线参数方程中参数的几何意义 即得．
解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程为1x62＋y92＝1.
(2)设直线 l 的参数方程为：
x＝2＋tcos α， y＝2＋tsin α
(t 为参数)代入曲线 C 的方程中有
(7sin2α＋9)t2＋(36cos α＋64sin α)t－44＝0
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
•考点三 直线与圆锥曲线的位置关系
【例题 3】 (2016·鄂东南教改联盟模拟)直角坐标系中曲线 C 的参数方程为
x＝4cos θ， y＝3sin θ
(θ 为参数)．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)经过点 M(2,2)作直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若 M 恰好为线段 AB 的中点，
AB 的参数方程，得 m＝－2
x＝－2 2.直线 AB 的参数方程是
2＋ 22t，
y＝－2＝0，∴|FA|·|FB|＝2.
(2)设椭圆 C 的内接矩形的顶点分别为(2 3cos α，2sin α)，(－2 3cos α，2sin α)， (2 3cos α，－2sin α)，(－2 3cos α，－2sin α)0＜α＜π2，所以椭圆 C 的内接矩形的周 长为 8 3cos α＋8sin α＝16sinα＋π3，当 α＋π3＝π2，即 α＝π6时椭圆 C 的内接矩形的周长 取最大值 16.
简得 t2＋t－a－2＝0. ∵曲线 C 与直线 l 仅有唯一公共点，
∴Δ＝1－4(－a－2)＝0，解得 a＝－94.
•考点四 直线参数方程的综合应用
• 用直线参数方程解决弦长问题的方法 • 涉及直线与圆锥曲线的交点问题，一般是把
直线的参数方程代入曲线方程去解决．利用 参数t的几何意义去解决弦长的计算．
课堂深度拓展
•考点一 直线参数方程的标准形式
对直线参数方程的标准形式的认识
(1)过定点
M0(x0，y0)，倾斜角为
α(0≤α＜π)，则yx＝＝yx00＋＋ttscions
α， α
(t 为参数)是直线
参数方程的标准形式．
(2)直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点 M0(x0，y0)，斜率 为ba的直线的参数方程是yx＝＝yx00＋＋batt， (a，b 为常数，t 为参数)．当 a2＋b2＝1 时，参 数方程为标准形式，t表示有向线段―M0→M的距离―M0→M.当 a2＋b2≠1 时，t表示有向线 段―M0→M的距离的 a21＋b2，即M―0→M＝ a2＋b2t.
(2)若曲线 C 与直线 l 有唯一公共点，求 a 的值．
解析：(1)由 ρ2－2 3ρsin θ＝a 知其直角坐标方程为 x2＋y2－2 3y＝a， 即 x2＋(y－ 3)2＝a＋3(a＞－3)．
x＝1＋12t，
(2)将 l： y＝
3＋
3 2t
代入曲线 C 的直角坐标方程得1＋12t2＋ 23t2＝a＋3，化
(2)∵P 在 C1 上，将xy＝＝－3＋1＋tsintcαo.s α， 代入方程 x2＋y2－2x－2y＝0 得 t2－4(cos α
－sin α)t＋6＝0， 设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t2. 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又 t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.
1 sin
2 θ＋sin
≤ θ2
2＝ 1
22，当且仅当
sin
θ＝1
时等号成立．∴△AOB
面积最大值为
22.
【变式 4】 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
x＝ y＝
5cos θ， 5sin θ
θ为参数，0≤θ≤π2和yx＝＝－1－222t2t，
(t 为参数)，则曲线 C1 与 C2 的交
解析：(1)令
y＝0，得
x＝1，所以直线
l1
过定点(1,0)，斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，设倾
斜角为 α，tan α＝－ 33，α＝56π，∴cos α＝－ 23，sin α＝12.所以 l1 的参数方程为
x＝1－ 23t， y＝12t