苏教版必修第一册 《5.2.2 分段函数》练习卷

第五章函数概念与性质1函数的概念(一) ............................................................................................................ - 1 - 2函数的概念(二) ............................................................................................................ - 5 - 3函数的图象 ................................................................................................................ - 10 - 4函数的表示方法......................................................................................................... - 15 - 5分段函数 .................................................................................................................... - 20 -6.函数的单调性............................................................................................................. - 26 -7函数的最大值、最小值............................................................................................. - 35 - 8函数奇偶性的概念..................................................................................................... - 46 - 9函数奇偶性的应用..................................................................................................... - 50 -1函数的概念(一)基础练习1.已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是( )A.f:x→y=xB.f:x→y=xC.f:x→y=xD.f:x→y=x【解析】选D.对于A中的任意一个元素,在对应关系f:x→y=x;f:x→y=x;f:x→y=x下,在B中都有唯一的元素与之对应,故能构成函数关系.对于A中的元素8,在对应关系f:x→y=x下,在B中没有元素与之对应,故不能构成函数关系.2.(2020·朝阳高一检测)函数f(x)=的定义域为( )A.{x|x≤2或x≥3}B.{x|x≤-3或x≥-2}C.{x|2≤x≤3}D.{x|-3≤x≤-2}【解析】选A.由x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3,所以函数f(x)=的定义域为{x|x≤2或x≥3}.3.函数f(x)=的定义域为 ( )A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.[2,3)∪(3,+∞)【解析】选C.函数f(x)=中,解得x>2且x≠3;所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).4.已知集合M={x,y,z},N={-1,1},则从M到N的函数中,满足f(x)=1的有______个.【解析】由题意满足f(x)=1的有共4个.答案:45.求下列函数的值域.(1)f(x)=.(2)y=2x2+4x-3.【解析】(1)函数的定义域为R,f(x)==≤=2,且f(x)>0,所以其值域为(0,2].(2)因为y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5≥-5,故函数y=2x2+4x-3的值域为{y|y≥-5}.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为同族函数.那么与函数y=x2,x∈{-1,0,1,2}为同族函数的有( )A.5个B.6个C.7个D.8个【解析】选D.由题意知同族函数是只有定义域不同的函数,函数解析式为y=x2,值域为{0,1,4}时,定义域中,0是肯定有的,正负1,至少含一个,正负2,至少含一个.它的定义域可以是{0,1,2},{0,1,-2},{0,-1,2},{0,-1,-2},{0,1,-2,2},{0,-1,-2,2},{0,1,-1,-2},{0,1,-1,2,-2},共有8种不同的情况.2.(2020·启东高一检测)函数f(x)=的定义域为( )A.B.C.(-∞,-2)∪D.(-∞,-2)∪【解析】选C.由解得x≤且x≠-2.所以函数f(x)=的定义域为(-∞,-2)∪.3.已知f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,那么f(72)= ( )A.p+qB.3p+2qC.2p+3qD.p3+q2【解析】选B.因为f(ab)=f(a)+f(b),所以f(9)=f(3)+f(3)=2q,f(8)=f(2)+f(2)+f(2)=3p,所以f(72)=f(8×9)=f(8)+f(9)=3p+2q.4.(多选题)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应关系,请由函数定义判断,其中能构成从M到N的函数的是 ( )A.y=B.y=x+1C.y=2|x|D.y=x2【解析】选CD.在A中,当x=-1时,y=-1∉N,故A错误;在B中,当x=-1时,y=-1+1=0∉N,故B错误;在C中,任取x∈M,总有y=2|x|∈N,故C正确;在D中,任取x∈M,总有y=x2∈N,故D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.设函数f(x)=x0+,则其定义域为________.【解析】函数f(x)=x0+,则解得-3≤x≤3且x≠0.所以函数f(x)的定义域是[-3,0)∪(0,3].答案:[-3,0)∪(0,3]6.函数y=的定义域为R,则a∈________.【解析】因为任意x∈R,根式恒有意义,所以ax2+ax+1≥0的解集为R,①a=0时,1≥0恒成立;②a≠0时,解得0<a≤4,综上得,a∈{a|0≤a≤4}.答案:{a|0≤a≤4}三、解答题7.(10分)已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N*,k∈N*,x∈A,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a,k,A,B.【解析】根据对应关系f,有1→4;2→7;3→10;k→3k+1.若a4=10,则a∉N*,不符合题意,舍去;若a2+3a=10,则a=2(a=-5不符合题意,舍去).故3k+1=a4=16,得k=5.综上a=2,k=5,集合A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.2函数的概念(二)基础练习1.与函数y=2x2+1不是同一个函数的是( )A.y=|x2|+|x2+1|B.y=C.y=|2x2+1|D.y=【解析】选 D.函数y=2x2+1的定义域为R,值域为[1,+∞),选项A中的函数y=|x2|+|x2+1|=x2+x2+1=2x2+1,它的定义域为R,值域为[1,+∞),和已知函数为同一个函数;选项B中的函数即y==2x2+1,它的定义域为R,值域为[1,+∞),和已知函数为同一个函数;选项C中的函数y=|2x2+1|=2x2+1,它的定义域为R,值域为[1,+∞),和已知函数为同一个函数;选项D中的函数的定义域为{x|x≠-1},故它和已知函数不是同一个函数.2.(2020·哈尔滨高一检测)下列函数中,表示同一个函数的是( )A.y=x2与y=()4B.y=x2与y=t2C.y=与y=D.y=·与y=【解析】选B.A.y=x2的定义域为R,y=()4的定义域为[0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;B.y=x2与y=t2显然是同一个函数;C.y=的定义域为{x|x≠0},y=的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;D.y=·的定义域为[1,+∞),y=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不同,不是同一个函数.3.(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f+f(x-2)的定义域为( )A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(-1,1)【解析】选B.函数f(x)的定义域为(-1,1),则对于函数g(x)=f+f(x-2),应有解得1<x<2,故g(x)的定义域为(1,2).4.(2020·宜春高一检测)已知函数f(x)的定义域为A={1,2,3,4},值域为B={7,8,9},且对任意的x<y,恒有f(x)≤f(y),则满足条件的不同函数共有________个.【解析】如图,满足条件的函数共有3个.答案:35.(2020·同仁高一检测)已知f(x)=(x∈R,x≠-2),g(x)=x2+1(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值.(2)求f(g(3))的值.(3)作出f(x),g(x)的图象,并求函数的值域.【解析】(1)f(2)==,g(2)=22+1=5.(2)f(g(3))=f(32+1)=f(10)==.(3)作出图象如图,则f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的值域为[1,+∞). 【补偿训练】已知f(x)=(x∈R,x≠2),g(x)=x+4(x∈R).(1)求f(1),g(1)的值.(2)求f(g(x)).【解析】(1)f(1)==1,g(1)=1+4=5.(2)f(g(x))=f(x+4)===-(x∈R,且x≠-2).提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.若f(x)=2x-1,则f(f(x))= ( )A.2x-1B.4x-2C.4x-3D.2x-3【解析】选C.因为f(x)=2x-1,所以f(f(x))=2f(x)-1=2(2x-1)-1=4x-3.2.若函数y=f(x)的定义域为{x|0<x<1},则函数y=f(|2x-3|)的定义域为( )A.(0,1)B.(1,2)C.∪D.(1,3)【解析】选C.函数y=f(x)的定义域为{x|0<x<1},则对于函数y=f(|2x-3|),应有0<|2x-3|<1,即-1<2x-3<1,且2x-3≠0,解得1<x<2,且x≠.3.函数f(x)对于任意实数x均满足f(x+2)=-f(x),若f(1)=-5,则f(f(9))=( ) A.2 B.5C.-5D.-【解析】选B.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),所以f(f(9))=f(f(1))=f(-5),因为f(x)=-f(x+2),所以f(-5)=-f(-3)=f(-1)=-f(1)=5.4.(多选题)(2020·济南高一检测)下列各组函数是同一个函数的是( )A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1B.f(x)=与g(x)=xC.f(x)=与g(x)=D.f(x)=x与g(x)=【解析】选AC.对于A,f(x)=x2-2x-1的定义域为R,g(s)=s2-2s-1的定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数;对于B,f(x)==-x的定义域为{x|x≤0},g(x)=x的定义域为{x|x≤0},对应关系不同,不是同一个函数;对于C,f(x)==1的定义域为{x|x≠0},g(x)==1的定义域为{x|x≠0},定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数;对于D,f(x)=x的定义域为R,g(x)==|x|的定义域为R,对应关系不同,不是同一个函数.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则函数y=f(x)的定义域为________,y=f(2x)+的定义域为________.【解析】因为y=f(x+1)的定义域是[-2,3],所以-2≤x≤3,则-1≤x+1≤4,即函数f(x)的定义域为[-1,4].由得得-<x≤2,即函数y=f(2x)+的定义域为.答案:[-1,4]6.一个变量y随另一变量x变化.对应关系是“2倍加1”:(1)填表.x … 1 2 3 4 …y ……(2)根据表格填空:x=2α时,y=________.(3)写出解析式:y=________.【解析】因为变量y随另一变量x变化,对应关系是“2倍加1”:(1)完整的表格如表所示:x … 1 2 3 4 …y … 3 5 7 9 …(2)根据表格填空:x=2α时,y=2×2α+1=4α+1.(3)函数的解析式:y=2x+1.答案:(1)3 5 7 9 (2)4α+1 (3)2x+1三、解答题7.(10分)已知函数f(x)=+的定义域为集合A,B={x|x<a}.(1)求集合A;(2)若A⊆B,求a的取值范围;(3)若全集U={x|x≤4},a=-1,求U A及A∩(UB).【解析】(1)使有意义的实数x的集合是{x|x≤3},使有意义的实数x的集合是{x|x>-2}.所以,这个函数的定义域是{x|x≤3}∩{x|x>-2}={x|-2<x≤3}.即A={x|-2<x≤3}.(2)因为A={x|-2<x≤3},B={x|x<a}且A⊆B,所以a>3.即a的取值范围为(3,+∞).(3)因为U={x|x≤4},A={x|-2<x≤3},所以UA=(-∞,-2]∪(3,4].因为a=-1,所以B={x|x<-1},所以UB=[-1,4],所以A∩(UB)=[-1,3].3函数的图象基础练习1.(2020·朝阳高一检测)图中,能表示函数y=f(x)的图象的是( )【解析】选D.根据题意,对于A,B两图,可以找到一个x与两个y对应的情形;对于C图,当x=0时,有两个y值对应;对于D图,每个x都有唯一的y值对应.因此,D图可以表示函数y=f(x).2.已知函数f(x)=x-,且此函数图象过点(5,4),则实数m的值为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.将点(5,4)代入f(x)=x-,得m=5.3.将反比例函数y=(k为非零常数)的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得的图象过点(-3,1),则k=________.【解析】将反比例函数y=(k为非零常数)的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,平移后的函数为y=-2,根据所得的图象过点(-3,1),则-2=1,所以k=-6.答案:-64.若函数y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤8且x≠5},值域为{y|-1≤y≤2且y≠0},则y=f(x)的图象可能是________(填序号).【解析】①中函数的值域为{y|-1≤y<2},不满足条件,③中图象出现了一个x对多个y的情况,不满足函数的定义.只有②符合条件.答案:②5.作出下列函数的图象.(1)y=(-2≤x≤2,且x≠0);(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).【解析】(1)描点作出图象,如图所示.(2)因为x∈[0,3),所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x在0≤x<3之间的一段弧,描点作出图象,如图所示.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知函数y=ax2+b的图象如图所示,则a和b的值分别为( )A.0,-1B.1,-1C.1,0D.-1,1【解析】选B.由图象可知,当x=1时,y=0;当x=0时,y=-1,即解得2.如图所示,函数y=x+的图象是 ( )【解析】选C.对于y=x+,当x>0时,y=x+1,当x<0时,y=x-1,即y=故图象为C.3.函数y=-x2+2x与函数y=1(x∈R)的图象的公共点个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.在同一坐标系里画出两函数的图象(图略)可知有一个交点.4.(多选题)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论,其中正确的是( )A.b2>4acB.2a-b=1C.a-b+c=0D.5a<b【解析】选AD.因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确.对称轴为x=-1,-=-1,2a-b=0,B错误.结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误.由对称轴为x=-=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数y=-3x2+bx+c的图象是由函数y=-3x2+6x+1的图象向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度得到的,则b=________,c=________.【解析】y=-3x2+6x+1=-3(x-1)2+4向上平移3个单位,得y=-3(x-1)2+7,再向左平移2个单位,得y=-3(x-1+2)2+7=-3x2-6x+4=-3x2+bx+c,比较系数得b=-6,c=4.答案:-6 4【补偿训练】如图所示某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图象,根据图象回答下列问题:(1)在这个月中,日最低营业额是在4月________日,达到________万元.(2)这个月中最高营业额是在4月________日,达到________万元.【解析】(1)由图象可知当日期在9日时,日营业额最小,此时为2万元.(2)由图象可知当日期在21日时,日营业额最大,此时为6万元.答案:(1)9 2 (2)21 66.已知二次函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m+1)与0的大小关系是________.【解析】因为二次函数f(x)=x2+x+a(a>0)的对称轴是x=-,且图象与y轴正半轴相交,所以由图象可知f(x)<0的解集的区间长度小于1,故若f(m)<0,则必有f(m+1)>0.答案:f(m+1)>0三、解答题7.(10分)函数y=f(x)的图象如图所示.(1)比较f,f,f的大小;(2)若-1<x1<x2<2,试比较f与f的大小.【解析】(1)根据函数的图象,容易发现,f<f<f.(2)根据函数的图象,容易发现若-1<x1<x2<2,则f>f.4函数的表示方法基础练习1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则此一次函数的解析式为( )A.f(x)=-xB.f(x)=x-1C.f(x)=x+1D.f(x)=-x+1【解析】选D.设f(x)=ax+b(a≠0),则有所以a=-1,b=1,所以f(x)=-x+1.2.已知g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),则f= ( )A.15B.1C.3D.30【解析】选A.令g(x)=,得1-2x=,解得x=.所以f=f===15.3.一次函数g(x)满足g(g(x))=9x+8,则g(x)的解析式是( )A.g(x)=9x+8B.g(x)=3x-2C.g(x)=-3x-4或g(x)=3x+2D.g(x)=3x+8【解析】选C.因为g(x)是一次函数,所以设g(x)=kx+b(k≠0),所以g(g(x))=k(kx+b)+b,又因为g(g(x))=9x+8,所以解得:或所以g(x)=3x+2或g(x)=-3x-4.【光速解题】逐一代入验证是否满足g[g(x)]=9x+8.4.(2020·南京高一检测)已知f(x)=2x+1,g(x+1)=f(x),则g(x)=__________. 【解析】依题意,g(x+1)=2x+1=2(x+1)-1,所以g(x)=2x-1.答案:2x-1【补偿训练】已知f(x+1)=x2,则f(x)=________.【解析】由f(x+1)=x2,得到f(x+1)=(x+1-1)2,故f(x)=(x-1)2.答案:(x-1)25.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)求y=f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x,即解得a=1,b=-1,又由f(0)=1,得c=1,所以f(x)=x2-x+1.(2)由(1)知,函数f(x)=x2-x+1的图象开口方向朝上,以x=为对称轴的抛物线,故在区间[-1,1]上,当x=-1时,函数取最大值f(-1)=3.【补偿训练】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,求f(x)的解析式.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(x-2)=f(-x-2)得4a-b=0,①又因为|x1-x2|==2,所以b2-4ac=8a2,②又由已知得c=1.③由①②③解得b=2,a=,c=1,所以f(x)=x2+2x+1.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知f=2x+3,则f(6)的值为( )A.15B.7C.31D.17【解析】选C.令-1=6,则x=14,则f(6)=2×14+3=31.2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)= ( )A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3【解析】选A.因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.3.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20y 2 3 4 5A.[2,5]B.{2,3,4,5}C.(0,20]D.N*【解析】选B.由表格可知,y的值为2,3,4,5.故函数的值域为{2,3,4,5}.4.(多选题)(2020 ·宿迁高一检测)已知f(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是( )A.f(3)=9B.f(-3)=4C.f(x)=x2D.f(x)=(x+1)2【解析】选BD.f(2x-1)=(2x-1)2+2(2x-1)+1,故f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,故选项C错误,选项D正确;f(3)=16,f(-3)=4,故选项A错误,选项B正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·淮安高一检测)已知f(+2)=x+4,则f(x)的解析式为____,f=______.【解析】令t=+2,则x=(t-2)2且t≥2,因为f(+2)=x+4,所以f(t)=t2-4,则f(x)=x2-4(x≥2),f=-.答案:f(x)=x2-4(x≥2) -6.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次试验的数据.根据该函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为________分钟.【解析】由题意知,函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数)经过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),所以解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以得到最佳加工时间为3.75分钟.答案:3.75三、解答题7.(10分)在未实行大规模绿化造林之前,我国是世界上受荒漠化危害最严重的国家之一,如图1表示我国土地沙化总面积在1950-2000年的变化情况,由图1中的相关信息,试将上述有关年份中,我国从1950-1970、1970-1990、1990-2000年的平均土地沙化面积在图2中表示出来.【解析】由题图1可知:1950-1970:土地沙化面积增加了3.2(万平方千米), 年平均沙化面积为:0.16(万平方千米)=16(百平方千米)1970-1990:年平均沙化面积为:0.21(万平方千米)=21(百平方千米)1990-2000:年平均沙化面积为:0.25(万平方千米)=25(百平方千米)如图:5分段函数基础练习1.已知函数f(x)=若f(x)=5,则x的值是 ( )A.-2B.2或-C.2或-2D.2或-2或-【解析】选A.由题意知,当x≤0时,f(x)=x2+1=5,得x=-2(x=2舍去);当x>0时,f(x)=-2x=5,得x=-,舍去.【误区警示】本题容易出现忽视各段自变量的取值对x值的限制,出现错解.2.函数f(x)=x2-2|x|的图象是( )【解析】选C.f(x)=分段画出.3.已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是( )A.{x|x≤1}B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤1}D.{x|x<0}【解析】选A.当x≥0时,f(x)=1,xf(x)+x≤2⇔x≤1,所以0≤x≤1;当x<0时,f(x)=0,xf(x)+x≤2⇔x≤2,所以x<0.综上,x≤1.4.(2020·西城高一检测)因市场战略储备的需要,某公司1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位:万元)的可能变化情况的是________(写出所有正确的图标序号).【解析】图①③所反映的是公司会挣钱,而图②公司会亏本;所以反映了这种物资每份价格(单位:万元)的可能变化情况的是①③.答案:①③5.已知函数f(x)=(1)画出函数f(x)的简图(不必列表).(2)求f(f(3))的值.(3)当-4≤x<3时,求f(x)取值的集合.【解析】(1)由分段函数可知,函数f(x)的简图为:(2)因为f(3)=4-32=4-9=-5,所以f(f(3))=f(-5)=1-2×(-5)=1+10=11.(3)当-4≤x<0时,1<f(x)≤9;当x=0时,f(0)=2;当0<x<3时,-5<f(x)<4,综上f(x)取值的集合为(-5,9].提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020·武汉高一检测)AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示3月1日的AQI指数值为201.则下列叙述不正确的是( )A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是3月9日C.这12天的AQI指数值的中位数是90.5D.从3月4日到9日,空气质量越来越好【解析】选C.根据图象:有6天AQI指数小于100,所以这12天中有6天空气质量为“优良”,所以A叙述正确;这12天中,AQI指数的最小值是3月9日的67,所以12天中空气质量最好的是3月9日,所以B叙述正确;由图象知,AQI指数值的中位数是=99.5,所以C叙述错误;通过图象可以看出,从3月4日到9日,AQI 的值逐渐减小,即空气质量越来越好,所以D叙述正确.2.已知f(x)=g(x)=3-2x,则f(g(2))= ( )A.-3B.-2C.3D.-1【解析】选 C.因为g(x)=3-2x,所以g(2)=3-2×2=-1<0,所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.3.已知f(x)=则f(x)的图象大致为( )【解析】选A.由f(2)=-<0,排除选项B;f=-2+<0,排除选项D;函数在x=1处是连续的,排除C.4.(多选题)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙(如图所示).那么对于图中给定的t和t1,下列判断中一定正确的是( )A.在t1时刻,甲车的速度大于乙车的速度B.t时刻后,甲车的速度小于乙车的速度C.在t时刻,两车的位置相同D.在t时刻,甲车在乙车前面【解析】BD.由图可知,当时间为t1时,甲车的速度小于乙车的速度;t时刻之前,甲车的速度一直大于乙车,时间相同的情况下,甲车行驶路程大于乙车行驶路程,故t时刻甲车在乙车前面;t时刻后,甲车的速度小于乙车的速度.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·徐州高一检测)若函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是__________.【解析】当x≤1时,f(x)≤2+a;当x>1时,f(x)=(x-a)2+1-a2,所以①a>1时,f(x)≥1-a2,由于f(x)的值域为R,所以2+a≥1-a2,解得a∈R,所以a>1;②a≤1时,f(x)>(1-a)2+1-a2=2-2a,由于f(x)的值域为R,所以2+a≥2-2a,解得a≥0,所以0≤a≤1,综上,实数a的取值范围是[0,+∞).答案:[0,+∞)【补偿训练】若函数f(x)=则f(-3)=__________________.【解析】f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.答案:66.已知函数f(x)=则f(1)=________,若f(f(0))=a,则实数a=________.【解析】依题意知f(1)=3+2=5;f(0)=3×0+2=2,则f(f(0))=f(2)=22-2a=a,求得a=.答案:5三、解答题7.(10分)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|,g(x)=|x-3|.(1)在平面直角坐标系里作出f(x),g(x)的图象.(2)∀x∈R,用min(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记作min(x)={f(x),g(x)},请用图象法和解析法表示min(x).(3)求满足f(x)>g(x)的x的取值范围.【解析】(1)f(x)=g(x)=则对应的图象如图:(2)min(x)图象如图:解析式为min(x)=(3)若f(x)>g(x),则由图象知在A点左侧,B点右侧满足条件.此时对应的x满足x>0或x<-2,即不等式f(x)>g(x)的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).6.函数的单调性基础练习1.函数f(x)=在R上( )A.是减函数B.是增函数C.先减后增D.先增后减【解析】选B.画出该分段函数的图象,由图象知,该函数在R上是增函数.【补偿训练】函数f(x)=在( )A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数【解析】选C.f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1,因为函数y=-在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数,由平移关系得,f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数.2.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上( )A.是增函数B.是减函数C.先减后增D.先增后减【解析】选C.函数y=x2-6x+10图象的对称轴为直线x=3,此函数在区间(2,3)上是减函数,在区间(3,4)上是增函数.3.函数y=的减区间是( )A.(-∞,1),(1,+∞)B.(-∞,1)∪(1,+∞)C.{x∈R|x≠1}D.R【解析】选A.单调区间不能写成单调集合,也不能超出定义域,故C,D不对,B表达不当.4.(2020·海淀高一检测)下列函数中,在区间(1,+∞)上是增函数的是( )A.y=-3x-1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=|x-1|+2【解析】选D.由一次函数的性质可知,y=-3x-1在区间(1,+∞)上是减函数,故A错误;由反比例函数的性质可知,y=在区间(1,+∞)上是减函数,故B错误,由二次函数的性质可知,y=x2-4x+5在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,故C错误;由一次函数的性质及图象的变换可知,y=|x-1|+2在(1,+∞)上是增函数.5.(2020·淮安高一检测)已知函数f(x)=x|x-4|,则不等式f(2x)≤f(2)的解集为________.【解析】因为f(x)=x|x-4|,所以由f(2x)≤f(2)得,2x|2x-4|≤4,所以x|x-2|≤1,所以或,解得x≤+1,所以f(2x)≤f(2)的解集为{x|x≤+1}.答案:{x|x≤+1}6.已知函数f(x)=,证明函数在(-2,+∞)上是增函数.【证明】设x1,x2是(-2,+∞)上的任意两个值,且x1>x2>-2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1>x2>-2,所以x1-x2>0,x1+2>0,x2+2>0,所以>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上是增函数.提升训练一、单选题(每小题5分,共20分)1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则必有 ( )A.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)先增后减D.函数f(x)先减后增【解析】选A.由>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数.2.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)【解析】选D.对A,B,C三个选项,令a=0就都排除了,对D项,由a2+1-a= +>0,得a2+1>a,从而f(a2+1)<f(a),故D正确.3.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( )【解析】选B.已知函数的图象判断其在定义域内的单调性,应从它的图象是上升的还是下降的来考虑.根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数.【补偿训练】下列函数y=f(x)的图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是( )【解析】选D.因为f>f(3)>f(2),所以函数y=f(x)有增有减,排除A,B.在C中,f<f(0),f(3)>f(0),即f<f(3),排除C.在D中,由图象知,D正确.4.(2020·常州高一检测)若f(x)=是R上的单调函数,则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选D.函数f(x)=-x+3a在(-∞,1)上是减函数,又f(x)=是R上的单调函数,所以f(x)=在[1,+∞)上是减函数,即a>0,并且≤-1+3a,即a≥.综上所述,a的取值范围为.【误区警示】解答本题时易只考虑两段上的单调性,忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系,但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列四个函数中,在(-∞,0]上是减函数的是( )A.f(x)=x2-2xB.f(x)=2x2C.f(x)=x+1D.f(x)=【解析】选AB.在A中,f(x)=x2-2x的减区间为(-∞,1],故A正确;在B中,f(x)=2x2的减区间为(-∞,0],故B正确;在C中,f(x)=x+1在R上是增函数,故C错误;在D中,f(x)=中,x≠0,故D错误.6.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论不一定正确的是 ( )A.y=在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:对于A,若f(x)=x,则y==,在R上不是减函数,A错误;对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;对于C,若f(x)=x,则y=-=-,在R上不是增函数,C错误;对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2∈R,设x1<x2,必有f(x1)<f(x2),对于y=-f(x),则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0,则y=-f(x)在R上为减函数,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020·南京高一检测)定义区间[a,b]的长度为b-a,已知f(x)=2x+m,x∈[0,m],值域为[a,b],若区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大3,则m=__________. 【解析】因为f(x)=2x+m在[0,m]上是增函数,所以m≤f(x)≤3m,由题意可得,a=m,b=3m,区间长度b-a=2m,所以2m=m+3,所以m=3.答案:38.(2020·南通高一检测)设函数f(x)=|x2-1|的定义域和值域都是[a,b](a<b),则a+b=______.【解析】作出f(x)的图象如图:则函数f(x)的值域为[0,+∞),则必有0≤a<b,①若b≤1,则f(x)在[a,b]上是减函数,则即两式作差得b2-a2=b-a,即b+a=1,由1-a2=b=1-a,得1+a=1,得a=0,b=1,此时满足条件,②若0≤a≤1<b,此时函数的最小值为f(1)=0,即值域为[0,b],此时a=0,f(b)=b2-1=b,得b2-b-1=0,解得b=(负值舍去),此时a+b=,③若1≤a<b,此时函数f(x)=x2-1为增函数,则满足即a,b是方程f(x)=x的两个根,即x2-x-1=0, 则a+b=1,与a+b>1矛盾.综上a+b=1或.答案:1或四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=(1)在图中画出函数f(x)的大致图象.(2)写出函数f(x)的递减区间.【解析】(1)函数f(x)的大致图象如图所示.(2)由函数f(x)的图象得出,函数的减区间为[2,4].10.(2020·辽阳高一检测)已知函数f(x)=mx+,点A(1,5),B(2,4)是f(x)图象上的两点.(1)求m,n 的值.(2)用定义法证明:f(x)在[2,+∞)上是增函数. 【解析】(1)由题意可得,解得(2)由(1)可得,f(x)=x+,设x 1,x 2是[2,+∞)上任意两个值,且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1-x 2+-=x 1-x 2+=,因为2≤x 1<x 2, 所以<0,即f(x 1)<f(x 2),所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.创新练习1.已知f(x)是定义在(-∞,0]上的增函数,且f(-2)=3,则满足f(2x-3)<3的x 的取值范围是________.【解析】由题意知,f(2x-3)<f(-2),因为f(x)在(-∞,0]上是增函数,则2x-3<-2,解得x<.答案:x<2.已知函数f(x)=.(1)判断并证明函数f(x)在(-2,+∞)上的单调性.(2)若函数f(x)的定义域为(-2,2),且满足f(-2m+3)>f(m2),求m的取值范围. 【解析】(1)f(x)==3+,f(x)在(-2,+∞)上是减函数,证明如下:设x1,x2是(-2,+∞)上的任意两个值,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1>x2>-2,所以x1+2>0,x2+2>0,x2-x1<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上是减函数.(2)由(1)可知,当x∈(-2,2)时,函数f(x)是减函数,所以由f(-2m+3)>f(m2)得,解得1<m<,所以m的取值范围为(1,).【补偿训练】已知函数f(x)=-x+,其定义域为(0,+∞).(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明.(2)若f(x+1)<f(2x),求x的取值范围.【解析】(1)是减函数,证明如下:设0<x1<x2,则f(x 1)-f(x 2)=x 2-x 1+-=x 2-x 1+=(x 2-x 1),因为0<x 1<x 2, 所以(x 2-x 1)>0,所以f(x 1)>f(x 2),函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.(2)因为f(x+1)<f(2x), f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以x+1>2x>0,解得,0<x<1.7函数的最大值、最小值基础练习1.函数y=x 2+2x-1在[0,3]上的最小值为 ( ) A.0B.-4C.-1D.-2【解析】选C.因为y=x 2+2x-1=(x+1)2-2,其图象的对称轴为直线x=-1, 所以函数y=x 2+2x-1在[0,3]上是增函数, 所以当x=0时,此函数取得最小值,最小值为-1. 2.函数f(x)=的最大值是 ( )A. B. C. D.【解析】选D.令t=1-x(1-x)=+≥,所以0<f(x)≤,即f(x)的最大值为.3.(2020·海淀高一检测)设函数f(x)=4x+-1(x<0),则f(x) ( )A.有最大值3B.有最小值3C.有最小值-5D.有最大值-5【解析】选D.当x<0时,f(x)=4x+-1=-(-4x)+-1≤-2-1=-5.当且仅当-4x=-,即x=-时,上式取等号.所以f(x)有最大值为-5.4.(2020·成都高一检测)函数f(x)=2x-的最小值为________.【解析】因为f(x)=2-2=2-,所以f(x)min=f=-.答案:-5.对于函数f(x),在使f(x)≥M恒成立的所有实数M中,我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界,则对于a∈R,f(a)=a2-4a+6的下确界为________.【解析】f(a)=a2-4a+6,f(a)≥M,即f(a)min≥M.而f(a)=(a-2)2+2,所以f(a)min=f(2)=2.所以M≤2.所以Mmax=2.答案:26.(2020·温州高一检测)已知函数f(x)=x2+.求函数f(x)在区间[-3,-1]上的最值.【解析】设x1,x2是[-3,-1]上的任意两个值,且x1<x2,f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)(x1+x2)-,又由-3≤x1<x2≤-1,得x1-x2<0,-6<x1+x2<-2,4<(x1-1)(x2-1)<16,则有(x1+x2)-<0,则有f(x1)-f(x2)>0,故函数f(x)在区间[-3,-1]上是减函数,故f(x)max=f(-3)=4,f(x)min=f(-1)=-.提升训练一、单选题(每小题5分,共20分)1.函数y=x+的最值的情况为( )A.最小值为,无最大值B.最大值为,无最小值C.最小值为,最大值为2D.最大值为2,无最小值【解析】选A.因为y=x+在定义域,+∞上是增函数,所以函数最小值为,无最大值.2.(2020·连云港高一检测)已知a>,则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是( )A.a2+1B.a+C.a-D.a-【解析】选D.函数f(x)=x2+|x-a|=当x≥a>时,函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-,函数在[a,+∞)上是增函数,其最小值为a2;当x<a时,f(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=,当x=时函数求得最小值为a-.因为a2-=a2-a+=>0.所以a2>a-.所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.3.对任意x∈R,函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的最大者,则f(x)的最小值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选A.分别作出y=-x+3,y=x+,y=x2-4x+3的图象如图(阴影部分边界对应的曲线为ABCDE),则由图象可知函数f(x)在C处取得最小值,由得即f(x)的最小值为2.4.(2020·无锡高一检测)若关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1,3]上有解,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,5)B.(-∞,5]C.(-∞,4)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)【解析】选A.关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1,3]上有解,即m<x+在x∈[1,3]上能成立.设f(x)=x+,则f(x)在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,故当x=2时,f(x)取得最小值4,又f(1)=5,f(3)=,故当x=1时,函数f(x)取得最大值.则实数m<5.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法正确的是( )A.当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1B.当a<0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1C.当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1D.当a>0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1【解析】选AD.当a<0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上是减函数,当x=0时,函数取得最大值为1;当x=2时,函数取得最小值为2a+1.当a>0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上是增函数,当x=0时,函数取得最小值为1,当x=2时,函数取得最大值为2a+1.6.函数y=(x≠1)的定义域为[2,5),下列说法正确的是( )A.最小值为B.最大值为4C.无最大值D.无最小值【解析】选BD.函数y==1+在[2,5)上是减函数,即在x=2处取得最大值4,由于x=5取不到,则最小值取不到.三、填空题(每小题5分,共10分)7.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=________.【解析】根据题意,二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则解得a=-1. 答案:-18.(2020·杭州高一检测)对于任意的实数x1,x2,min{x1,x2}表示x1,x2中较小的那个数,若f(x)=2-x2,g(x)=x,则集合{x|f(x)=g(x)}=________;min{f(x),g(x)}的最大值是________.【解析】由题作出函数f(x),g(x)的图象,令f(x)=g(x),即2-x2=x,解得x=-2或x=1,则集合{x|f(x)=g(x)}={-2,1},由题意及图象得min{f(x),g(x)}=由图象知,当x=1时,min{f(x),g(x)}最大,最大值是1.答案:{-2,1} 1四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·常州高一检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),对称轴为直线x=2,且f(0)=1.(1)若函数f(x)的最小值为-1,求f(x)的解析式;(2)函数f(x)的最小值记为g(a),求函数H(a)=a·g(a)的最大值.【解析】(1)因为f(x)的对称轴为直线x=2,所以-=2,则b=-4a.又f(0)=1,所以c=1.所以f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a,因为a>0,所以当x=2时f(x)有最小值1-4a=-1,所以a=,所以f(x)=x2-2x+1.(2)由(1)知f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a.所以g(a)=f(2)=1-4a.所以H(a)=a(1-4a)=-4+,a∈(0,+∞),所以H(a)的最大值为.10.(2020·太原高一检测)已知函数f(x)=,g(x)=x-1.(1)求解不等式f(x)≥g(x).(2)若x>,求y=3f(x)+2g(x)的最小值.【解析】(1)当x>时,由f(x)≥g(x),得(2x-1)(x-1)≤3,解得<x≤2.当x<时,由f(x)≥g(x),得(2x-1)(x-1)≥3,解得x≤-.所以不等式f(x)≥g(x)的解集为x<x≤2或x≤-.。

§2.6函数模型及其应用课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．1．几种常见的函数模型(1)一次函数:y＝kx＋b(k≠0)(2)二次函数:y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(3)指数函数:y＝a x(a>0且a≠1)(4)对数函数:y＝log a x(a>0且a≠1)(5)幂函数:y＝xα(α∈R)(6)指数型函数:y＝pq x＋r(7)分段函数2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤:(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题．一、填空题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示:x(h)012 3细菌数300600 1 200 2 4002．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．4．某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝a log2(x ＋1)给出，则2021年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位:小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．二、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)t 50110250Q 150108150(1)Q与上市时间t的变化关系:Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a log b t；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表: 月份 1 2 3产量(千件) 50 52 53.9 y ＝ax ＋b 或y ＝a x ＋b (a ，b 为常数，且a >0)来模拟这种电脑元件的月产量y 千件与月份的关系．请问:用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面:(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．函数拟合与预测的一般步骤:(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．§2.6 函数模型及其应用作业设计1．75解析 由表中数据观察可得细菌数y 与时间x 的关系式为y ＝300·2x (x ∈Z )．当x ＝－2时，y ＝300×2－2＝3004＝75. 2．300解析 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.3．减少7.84%解析 设某商品价格为a ，依题意得:a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，即减少7.84%.4．①解析 由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画．5．2 3 cm 2解析 设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm.∴S ＝34(x 3)2＋34(4－x 3)2＝318(x －6)2＋23≥23(当且仅当x ＝6时，取“＝”)． 6．15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180. ∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.7．2 250解析 设每台彩电的原价为x 元，则x (1＋40%)×0.8－x ＝270，解得x ＝2 250(元)．8．400解析 由题意，x ＝1时y ＝100，代入求得a ＝100,2021年年底时，x ＝15，代入得y ＝400.9．2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2， ∴2＝12k e ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.10．解 设每床每夜租金为10＋2n (n ∈N )，则租出的床位为100－10n (n ∈N 且n <10)租金f (n )＝(10＋2n )(100－10n )＝20[－(n －52)2＋2254]， 其中n ∈N 且n <10.所以，当n ＝2或n ＝3时，租金最多，若n ＝2，则租出床位100－20＝80(张)；若n ＝3，则租出床位100－30＝70(张)；综合考虑，n 应当取3，即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得:⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为 Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)． 12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得: ⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)． ∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48.当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56.由于56与53.9的误差较大，∴选y ＝ax ＋b 较好．13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12， 解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即1012m⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫ ⎪⎝⎭，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。

苏教版必修1《5.3 函数的单调性》同步练习卷（1）一、选择题1. 已知函数y =f(x)的图象如图所示，则函数y =f(|x|)的图象为( )A. B.C.D.2. 下列函数中，在[1, +∞)上为增函数的是（ ）A.y ＝(x −2)2B.y ＝|x −1|C.y =1x+1D.y ＝−(x +1)23. 定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等实数a ，b ，总有f(a)−f(b)a−b >0成立，则必有( )A.函数f(x)是先增加后减少B.函数f(x)是先减少后增加C.f(x)在R 上是增函数D.f(x)在R 上是减函数4. 已知f(x)在区间(0, +∞)上是减函数，那么f(a 2−a +1)与f(34)的大小关系是（ ） A.f(a 2−a +1)>f(34)B.f(a 2−a +1)≤f(34)C.f(a 2−a +1)≥f(34)D.f(a 2−a +1)<f(34)5. 已知函数y ＝ax 2+bx −1在(−∞, 0]是单调函数，则y ＝2ax +b 的图象不可能是（ ）A. B.C. D.二、填空题设函数f(x)={1,x>0 0,x=0−1,x<0，g(x)＝x2f(x−1)(x∈R)，则函数g(x)的单调递减区间是________．已知f(x)是定义在区间[−1, 1]上的增函数，且f(x−3)<f(2−x)，则x的取值范围是________|2≤________<52} ．已知函数f(x)=ax+1x+2在区间(−2, +∞)上为增函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题已知函数f(x)=2x−1x+1．（1）求f(x)的定义域；（2）证明函数f(x)=2x−1x+1在[1, +∞)上是增函数．作出函数f(x)=√x2−6x+9+√x2+6x+9的图象，并指出f(x)的单调区间．四、选择题已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|1x|)<f(1)的实数x的取值范围是（）A.(−1, 1)B.(0, 1)C.(−1, 0)∪(0, 1)D.(−∞, −1)∪(1, +∞)已知函数f(x)在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f[f(x)−3x ]＝4，则f(2)的值是（ ）A.4B.8C.10D.12设函数f(x)={(3a −1)x +4a,(x <1)−ax,(x ≥1)是定义在(−∞, +∞)上是减函数，则a 的取值范围是________．讨论函数f(x)=ax+1x+2(a ≠12)在(−2, +∞)上的单调性．参考答案与试题解析苏教版必修1《5.3 函数的单调性》同步练习卷（1）一、选择题1.【答案】B【考点】奇偶函数图象的对称性函数图象的作法【解析】根据函数图象的对称变换，可以将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分保持不变，并将其关于y轴对称，即可得到函数y=f(|x|)的图象．【解答】解：函数y=f(|x|)={f(x),x≥0,f(−x),x<0,是偶函数，因此将函数的图象在y轴右侧的部分保持不变，利用函数y=f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，即可得到函数y=f(|x|)的图象.故选B．2.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断【解析】结合A、B、C、D选项中四个函数的图象与性质进行判断，即可得出正确的答案．【解答】对于A，函数y＝(x−2)2的图象是抛物线，对称轴是x＝2，当x<2时是减函数，x> 2时是增函数，∴不满足题意；对于B，函数y＝|x−1|={x−1,x≥1−x+1,x<1，∴当x≥1时，是增函数，x<1时，是减函数，∴满足题意；对于C，函数y=1x+1，当x<−1，x>−1时，函数是减函数，∴不满足题意；对于D，函数y＝−(x+1)2的图象是抛物线，对称轴是x＝−1，当x>−1时是减函数，x<−1时是增函数，∴不满足题意；3.【答案】C【考点】函数单调性的判断与证明【解析】比值大于零，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由增函数的定义可得结论．解：任意两个不相等实数a ，b ，总有f(a)−f(b)a−b >0成立，即有a >b 时，f(a)>f(b)；a <b 时，f(a)<f(b)，由增函数的定义知：函数f(x)在R 上是增函数．故选C .4.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断【解析】判断a 2−a +1与34的大小关系，然后利用函数的单调性进行判断大小关系． 【解答】∵ a 2−a +1＝(a −12)2+34≥34，f(x)在(0, +∞)上为减函数，∴ f(a 2−a +1)≤f(34)．5.【答案】B【考点】二次函数的图象一次函数的性质与图象二次函数的性质【解析】先由函数y ＝ax 2+bx −1在(−∞, 0]是单调函数求出a 和b 所能出现的情况，再对每一中情况求出对应的图象即可．（注意对二次项系数的讨论）．【解答】因为函数y ＝ax 2+bx −1在(−∞, 0]是单调函数，所以：①当a ＝0，y ＝2ax +b 的图象可能是A ；②当a >0时，−b 2a ≥0⇔b ≤0，y ＝2ax +b 的图象可能是C ；③当a <0时，−b 2a ≤0⇔b ≤0，y ＝2ax +b 的图象可能是D ．故y ＝2ax +b 的图象不可能是B ．二、填空题【答案】[0, 1)【考点】分段函数的应用【解析】先利用条件求出g(x)的表达式，再画出其图象，有图象即可直接求出函数g(x)的单调递减区间．由题得，g(x)={x 2x >10x =1−x 2x <1，其对应图象如图：由图得函数g(x)的单调递减区间是[0, 1)．【答案】{x ,x【考点】函数单调性的性质与判断【解析】由定义域及单调性即可列出不等式组，解不等式组可得结论．【解答】由题意，得{−1≤x −3≤1,−1≤2−x ≤1,x −3<2−x,解得2≤x <52，故满足条件的x 的取值范围是{x|2≤x <52}．【答案】{a|a >12} 【考点】函数的单调性及单调区间【解析】把函数f(x)解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g(x)的和的形式，由函数g(x)在 (−2, +∞)为增函数得出1−2a <0，从而得到实数a 的取值范围．【解答】解：∵ 函数f(x)=ax+1x+2=a +1−2a x+2， 令g(x)=1−2a x+2,结合复合函数的增减性，再根据f(x)在 (−2, +∞)为增函数，可得g(x)=1−2a x+2在 (−2, +∞)为增函数，∴ 1−2a <0，解得a >12.故答案为：{a|a >12}．三、解答题【答案】由x +1≠0，得x ≠−1．故函数的定义域是{x|x ≠−1}．f(x)=2x−1x+1=2−3x+1，在(1, +∞)上任取x 1，x 2，使得1<x 1<x 2，则， f(x 1)−f(x 2)=3x 1−3x 2(x 1+1)(x 2+1)，∵1<x1<x2，∴0<x1+1<x2+1，且x1−x2<0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在区间(1, +∞)上是增函数．【考点】函数单调性的性质与判断函数的定义域及其求法【解析】（1）由x+1≠0，得x≠−1．故函数的定义域是{x|x≠−1}．（2）f(x)=2x−1x+1=2−3x+1，在(1, +∞)上任取x1，x2，使得1<x1<x2，则可证f(x1)<f(x2)，即得f(x)在区间(1, +∞)上是增函数．【解答】由x+1≠0，得x≠−1．故函数的定义域是{x|x≠−1}．f(x)=2x−1x+1=2−3x+1，在(1, +∞)上任取x1，x2，使得1<x1<x2，则，f(x1)−f(x2)=3x1−3x2(x1+1)(x2+1)，∵1<x1<x2，∴0<x1+1<x2+1，且x1−x2<0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在区间(1, +∞)上是增函数．【答案】由图象可知，f(x)在(−∞, −3)上单调递减，在(3, +∞)上单调递增【考点】函数的图象与图象的变换【解析】原函数化为f(x)＝|x−3|+|x+3|={2x,x>36,−3≤x≤3−2x,x<−3，画图即可．【解答】f(x)=√x2−6x+9+√x2+6x+9=|x−3|+|x+3|={2x,x>36,−3≤x≤3−2x,x<−3，其图象四、选择题【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断【解析】由函数的单调性可得|1x|与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．【解答】由已知得1|x|>1解得−1<x<0或0<x<1，【答案】C【考点】抽象函数及其应用【解析】由已知可得f(x)−3x为一常数，进而可得函数的解析式，将x＝2代入可得答案．【解答】∵对任意x∈R，都有f[f(x)−3x]＝4，且函数f(x)在R上是单调函数，故f(x)−3x＝k，即f(x)＝3x+k，∴f(k)＝3k+k＝4，解得：k＝1，故f(x)＝3x+1，∴f(2)＝10，【答案】[18, 13)【考点】函数单调性的性质与判断【解析】由题意根据函数的单调性可得{3a−1<0−a<0(3a−1)×1+4a≥−a×1，由此求得a的范围．【解答】由题意可得{3a−1<0−a<0(3a−1)×1+4a≥−a×1，求得18≤a<13，【答案】函数的解析式：f(x)=ax+1x+2=a+1−2ax+2，设x1，x2∈(−2, +∞)，且x1<x2，则：f(x1)−f(x2)=1−2ax1+2−1−2ax2+2=(1−2a)(x2−x1)(x1+2)(x2+2)，x1，x2∈(−2, +∞)，且x1<x2，则x2−x1(x1+2)(x2+2)>0，当1−2a<0,a>12时，f(x1)<f(x2)，函数f(x)单调递增；当1−2a>0,a<12时，f(x1)>f(x2)，函数f(x)单调递减．【考点】函数单调性的性质与判断【解析】首先将函数的解析式整理变形，然后结合函数单调性的定义整理计算即可求得最终结果．【解答】函数的解析式：f(x)=ax+1x+2=a+1−2ax+2，设x1，x2∈(−2, +∞)，且x1<x2，则：f(x1)−f(x2)=1−2ax1+2−1−2ax2+2=(1−2a)(x2−x1)(x1+2)(x2+2)，x1，x2∈(−2, +∞)，且x1<x2，则x2−x1(x1+2)(x2+2)>0，当1−2a<0,a>12时，f(x1)<f(x2)，函数f(x)单调递增；当1−2a>0,a<12时，f(x1)>f(x2)，函数f(x)单调递减．。

第2、3章 章末检测(A)(时间:120分钟 满分:160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若a<12，则化简4(2a －1)2的结果是________． 2．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是________．3．函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为__________________________________．4．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________________________________． 5．已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是________．6．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 (x>10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f(5)的值是________． 7．函数y ＝1＋1x 的零点是________． 8．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为________时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)．9．某企业2021年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2021年度产值的月平均增长率为________．10．已知函数y ＝f(x)是R 上的增函数，且f (m ＋3)≤f (5)，则实数m 的取值范围是________．11．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．12．若函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a x为奇函数，则实数a ＝________. 13．函数f (x )＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________．14．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上具有单调性，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值；(2)计算:log 49－log 212＋5lg 210-.16．(14分)函数f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x－1. (1)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数；(2)求当x <0时，函数的解析式．17．(14分)已知函数f(x)＝log a x＋1x－1(a>0且a≠1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．18．(16分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.(1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在R上的单调性；(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．19．(16分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)．(注:利润与投资量单位:万元)(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式．(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问:怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？20．(16分)已知常数a 、b 满足a >1>b >0，若f (x )＝lg(a x －b x )．(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)证明y ＝f (x )在定义域内是增函数；(3)若f (x )恰在(1，＋∞)内取正值，且f (2)＝lg 2，求a 、b 的值．第2章 章末检测(A ) 1.1－2a解析 ∵a <12，∴2a －1<0. 于是，原式＝4(1－2a )2＝1－2a .2．[1，53) 解析 由函数的解析式得:⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x >0，x <53.所以1≤x <53. 3．[4，＋∞)解析 ∵x ≥1，∴x 2＋3≥4，∴log 2(x 2＋3)≥2，则有y ≥4.4．7 2解析 由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ， 则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2， A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.5．[－3，0)解析 由题意知a <0，－a 3－a 2a ≥－1，－a 22＋12≥－1，即a 2≤3. ∴－3≤a <0.6．24解析 f (5)＝f (f (10))＝f (f (f (15)))＝f (f (18))＝f (21)＝24.7．－1解析 由1＋1x ＝0，得1x＝－1，∴x ＝－1. 8．2解析 设窗框的宽为x ，高为h ，则2h ＋4x ＝6，即h ＋2x ＝3，∴h ＝3－2x ，∴矩形窗框围成的面积S ＝x (3－2x )＝－2x 2＋3x (0<x <32)， 当x ＝－32×(－2)＝34＝0.75时，S 有最大值． ∴h ＝3－2x ＝1.5，∴高与宽之比为2. 9.11P －1解析 设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11，∴x ＝11P －1.10．m ≤2解析 由函数单调性可知，由f (m ＋3)≤f (5)有m ＋3≤5，故m ≤2.11．－1解析 f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]，∴f (x )max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f (x )图象的对称性可知，f (－2)的值为f (x )在[－2,3]上的最小值，即f (x )min ＝f (－2)＝－5，∴－5＋4＝－1.12．－1解析 由题意知，f (－x )＝－f (x )，即x 2－(a ＋1)x ＋a －x＝－x 2＋(a ＋1)x ＋a x ， ∴(a ＋1)x ＝0对x ≠0恒成立，∴a ＋1＝0，a ＝－1.13．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1. 14．f (b －2)<f (a ＋1)解析 ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |.当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)；当0<a <1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)．综上可知f (b －2)<f (a ＋1)．15．解 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.(2)原式＝log 23－(log 23＋log 24)＋2lg 510＝log 23－log 23－2＋25＝－85. 16．(1)证明 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－1)－(2x 2－1)＝2(x 2－x 1)x 1x 2， ∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－2x－1， 又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝－2x －1，即f (x )＝－2x－1(x <0)． 17．解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0， 解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)， 函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减． 所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减； 当0<a <1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增． 18．解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＝f (0)＋f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在R 上是减函数．(3)∵f (x )在[－12,12]上是减函数，∴f (12)最小，f (－12)最大．又f (12)＝f (6＋6)＝f (6)＋f (6)＝2f (6)＝2[f (3)＋f (3)]＝4f (3)＝－8，∴f (－12)＝－f (12)＝8.∴f (x )在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.19．解 (1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元． 由题意，得f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由题图可知f (1)＝15，∴k 1＝15. 又g (4)＝1.6，∴k 2＝45. 从而f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)． (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，该企业利润为y 万元．y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 5＋4510－x (0≤x ≤10)， 令10－x ＝t ，则x ＝10－t 2，于是y ＝10－t 25＋45t ＝－15(t －2)2＋145(0≤t ≤10)．当t ＝2时，y max ＝145＝2.8， 此时x ＝10－4＝6，即当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为2.8万元．20．(1)解 ∵a x －b x >0，∴a x >b x ，∴(a b)x >1. ∵a >1>b >0，∴a b>1. ∴y ＝(a b)x 在R 上递增． ∵(a b )x >(a b)0，∴x >0. ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)证明 设x 1>x 2>0，∵a >1>b >0，∴ax 1>ax 2>1,0<bx 1<bx 2<1.∴－bx 1>－bx 2>－1.∴ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0.又∵y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，∴lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在定义域内是增函数．(3)解 由(2)得，f (x )在定义域内为增函数，又恰在(1，＋∞)内取正值，∴f (1)＝0.又f (2)＝lg 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lg (a －b )＝0，lg (a 2－b 2)＝lg 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，a 2－b 2＝2.解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.。

分段函数练习题精选1、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.32、(2009山东卷)定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ， 则)3(f 的值为（ ）A ．1- B. 2- C. 1 D. 23、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （ ） A.823- B. 111 C. 191 D. 241 4、函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为（ ） A.1B.2- C.1，2- D.1,2 5、（2009天津卷）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞6、设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞YD ．),1()1,(+∞--∞Y7、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)78、（2010天津卷）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()(log )0(log )(212x x x x x f ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,0()0,1(Y -B ．),1()1,(+∞--∞YC ．),1()0,1(+∞-YD ．)1,0()1,(Y --∞9、（2010全国卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,621)100(,lg )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则实数abc 的取值范围是（ ）A ．)10,1(B ．)6,5(C ．)12,10(D ．)24,20(10、（2010天津卷）设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）A ．),1(]0,49[+∞-YB ．),0[+∞C ．),49[+∞-D ．),2(]0,49[+∞-Y 11、设⎩⎨⎧>-≤-=-)0)(1()0(3)(x x f x a x f x ，若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]2,1[ B ．()2,∞- C ．[)+∞,1 D ．(]1,∞-12、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．313.函数2441()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．114、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝ 。

高三数学分段函数练习题 知识点：1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；2、分段函数定义域，值域； 分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的 并 集 (填“并”或“交”)3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象； 练习：1、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.32、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||111||,2|1|2x ，xx x ，则f[f(21)]=( ) A. 21 B.134 C. －59 D.4125 3、(2009山东卷)定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则)3(f 的值为（ ）A ．1- B. 2- C. 1 D. 24、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （ ） A.823- B. 111 C. 191 D. 241 5、函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为（ ） A.1B.2-C.1， D.16、（2009天津卷）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞7、设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞8、设函数⎩⎨⎧<≤++=)0(2)0()(2x x c bx x x f ，若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则关于x 的方程x x f =)( 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49、（2010天津卷）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()(log )0(log )(212x x x x x f ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,0()0,1( - B ．),1()1,(+∞--∞ C ．),1()0,1(+∞- D ．)1,0()1,( --∞10、（2010全国卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,621)100(,lg )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则实数abc 的取值范围是（ ）A ．)10,1(B ．)6,5(C ．)12,10(D ．)24,20(11、（2010天津卷）设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）A ．),1(]0,49[+∞-B ．),0[+∞C ．),49[+∞-D ．),2(]0,49[+∞- 12、设⎩⎨⎧>-≤-=-)0)(1()0(3)(x x f x a x f x ，若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]2,1[B ．()2,∞-C ．[)+∞,1D ．(]1,∞- 13、设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________ 14、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=,0,3,0,21log )(2x x x x f x ，则))2((f f 的值为 。

苏教版必修1《5.2 函数的表示方法》同步练习卷一、选择题1. 设f(x)={1−√x，x≥02x，x<0，则f（f(−2)）=()A.−1B.14C.12D.322. 已知函数f(x)的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f(13)]＝（）A.−13B.13C.−23D.233. 设f(x)={1,x>0，0,x=0，−1,x<0，g(x)={1，x为有理数0，x为无理数，则f（g(π)）的值为（）A.1B.0C.−1D.π4. 函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<05. 设函数f(x)={3x −b,x <12x ，x ≥1，若f [f (56)]=4，则b =（ ） A.1 B.78C.34D.12二、填空题已知f(1−x1+x )＝x ，则f(x)＝________．函数y ={x 2+1(x ≤0)−2x(x >0) ，使函数值为5的x 的值是________．若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ，则f(2)的值为________． 三、解答题二次函数f(x)满足且f(0)＝0，且对任意x ∈R 总有f(x +1)＝f(x)+x +1，求f(x)的解析式．设f(x)={x +2(x ≤−1)，x 2(−1<x <2)，2x(x ≥2).(1)在直角坐标系中画出f(x)的图象；(2)若f(t)=3，求t 值． 四、选择题如图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，则f{f[f(2)]}= ( )A.0B.2C.4D.6已知f(x)={x−5(x≥6)f(x+2)(x<6)，则f(3)的值为________．已知f(x)满足f(x)+3f(−x)＝x2−3x，则f(x)＝________x24+32x．某公司规定，职工入职工资为2000元每月，以后三年中，每年的月工资是上一月的2倍，3年以后按月薪144000元计算，试用列表，图象，解析式3种不同的形式表示该公司某职工前5年中，月工资y（元）（年薪按12个月平均计算）和年份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域和值域．参考答案与试题解析苏教版必修1《5.2 函数的表示方法》同步练习卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】 函数的求值 【解析】利用分段函数的性质求解． 【解答】解：∵ {1−√x ，x ≥0，2x ，x <0∴ f(−2)=2−2=14，f （f(−2)）=f(14)=1−√14=12．故选C . 2. 【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数单调性的性质与判断【解析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值． 【解答】由图象知f(x)={x +1(−1<x <0)x −1(0<x <1)∴ f(13)=13−1=−23，∴ f(f(13))=f(−23)=−23+1=13． 3.【答案】 B【考点】 函数的求值 【解析】根据π是无理数可求出g(π)的值，然后根据分段函数f(x)的解析式可求出f （g(π)）的值． 【解答】解：∵ π是无理数， ∴ g(π)=0，则f （g(π)）=f(0)=0 故选B ． 4.【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 函数的零点【解析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值进行判断即可． 【解答】解：函数在P 处无意义，由图象看P 在y 轴右边， 所以−c >0，得c <0， 由图象可知，f(0)=bc 2>0， ∴ b >0，由f(x)=0得ax +b =0，即x =−ba ，即函数的零点x =−ba >0， ∴ a <0，综上a <0，b >0，c <0. 故选C . 5. 【答案】 D【考点】 函数的零点 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意，f (56)=3×56−b =52−b ．由f [f (56)]=4，得{52−b <1，3(52−b)−b =4或{52−b ≥1，252−b−b =4.解得b =12． 故选D ． 二、填空题 【答案】1−x 1+x，(x ≠−1)【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】 换元法：令t =1−x 1+x，解出x 关于t 的式子，得到f(t)关于t 的表达式，从而得出f(x)的解析式． 【解答】 ∵1−x 1+x=−1+21+x，∴1−x 1+x≠−1令t =1−x 1+x ，(t ≠−1)，则t +tx ＝1−x ，可得x =1−t 1+t∵ f(1−x1+x )=x ∴ f(t)=1−t1+t ．即函数解析式为：f(x)=1−x1+x ，(x ≠−1) 【答案】 −2【考点】 函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法 求函数的值【解析】根据分段函数的分段标准进行分类讨论，分别建立方程，求出满足条件的x 即可． 【解答】①当x ≤0时，x 2+1＝5解得x ＝−2 ②当x >0时，−2x ＝5解得x =−52（舍去） 综上所述，x ＝−2， 【答案】 −1【考点】 函数的求值 【解析】由函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1x)=3x ，分别令x =2和x =12，利用加减消元法，可得答案． 【解答】解：∵ f(x)+2f(1x )=3x ， ∴ f(2)+2f(12)=6，①, f(12)+2f(2)=32，②,②×2−①得：3f(2)=−3， 故f(2)=−1. 故答案为：−1. 三、解答题【答案】由题意：f(x)是二次函数，设f(x)＝ax 2+bx +c ， ∵ f(0)＝0， ∴ c ＝0，则f(x)＝ax 2+bx ，∵ f(x +1)＝f(x)+x +1，即a(x +1)2+b(x +1)＝ax 2+x(b +1)+1 由：{2a +b =b +1a +b =1 ，解得{a =12b =12 ． 故得f(x)的解析式为：f(x)=12x 2+12x ，【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】f(x)是二次函数，设出解析式，利用待定系数法求解． 【解答】由题意：f(x)是二次函数，设f(x)＝ax 2+bx +c ， ∵ f(0)＝0， ∴ c ＝0，则f(x)＝ax 2+bx ，∵ f(x +1)＝f(x)+x +1，即a(x +1)2+b(x +1)＝ax 2+x(b +1)+1 由：{2a +b =b +1a +b =1 ，解得{a =12b =12 ． 故得f(x)的解析式为：f(x)=12x 2+12x ， 【答案】 解：(1)如图(2)由函数的图象可得：f(t)=3, 即t 2=3且−1<t <2． ∴ t =√3.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数的求值 【解析】由分段函数，按照基本函数作图，第一段一次函数，第二次二次函数，第三次为一次函数，要注意每段的定义域．【解答】解：(1)如图(2)由函数的图象可得：f(t)=3,即t2=3且−1<t<2．∴t=√3.四、选择题【答案】B【考点】函数的求值【解析】结合函数的性质和图象求解．【解答】解：∵函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，∴f(2)=0，f[f(2)]=f(0)=4，f{f[f(2)]}=f(4)=2．故选B．【答案】2【考点】函数的求值求函数的值【解析】由题意得f(3)＝f(5)＝f(7)，故f(7)为所求．【解答】∵f(x)={x−5(x≥6)f(x+2)(x<6)，则f(3)＝f(5)＝f(7)＝7−5＝2，【答案】x2 4+3 2x【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】由f(x)+3f(−x)＝x2−3x，可得f(−x)+3f(x)＝x2+3x．联立解得f(x)即可．【解答】用−x替换原式中的x得，f(−x)+3f(x)＝x2+3x，联立f(x)+3f(−x)＝x2−3x，消去f(−x)，得f(x)=x 24+32x．【答案】由题意，可得解析式：y={2000,x=1 4000,x=2 8000,x=3 144000,x=4,5，函数的定义域{1, 2, 3, 4, 5}，值域{2000, 4000, 8000, 14400}．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据题意，可得函数解析式、列表，图象的表示，可得该函数的定义域和值域．【解答】由题意，可得解析式：y={2000,x=1 4000,x=2 8000,x=3 144000,x=4,5，函数的定义域{1, 2, 3, 4, 5}，值域{2000, 4000, 8000, 14400}．。

第9课 分段函数分层训练：1、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||111||,2|1|2x ，x x x ，则f[f(21)]=( ) A. 21 B.134C. －59 D.4125 2、若f(x)=⎩⎨⎧≥)0()0(2 x x x x ⎩⎨⎧<-≥=)0()0()(2x x x x x ϕ，则当x<0时，f[ϕ(x)]=( ) A. －x B. －x 2C.xD.x 2 3、已知，若f(x)=.______)2(2)21()1(22的取值范围是则x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+4、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)0()0(x x x x②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x g(x)=0 x ∈{－1，1}A.①③B.①C.②④D.①④5、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x －0.1x 2，x ∈(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为( )A.100台B.120台C.150台D.180台6、f(x)=⎩⎨⎧∉-∈]10[,3]10[1，x x ，，x ，使等式f[f(x)]=1成立的x 值的范围是_________.7、若方程2|x －1|－kx=0有且只有一个正根，则实数k 的取值范围是__________.拓展延伸 8、某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式为P=⎩⎨⎧∈≤≤+-∈<<+*),3025(100*),250(20N t t t N t t t ，该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q=－t+40，(0<t ≤30，t ∈N*).求这种商品的日销售金额的最大值，并指出取得该最大值的一天是30天中的哪一天？第9课分段函数1、（B ）2、（B ）3、R4、（D ）5、（C ）6、[0，1]∪[3，4]∪{7}7、（－∞，－2）∪{0}∪[2，＋∞]8、解：设日销售额为y 元，则y=P ·Q 当y=⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<<++-),3025(4000140),250(80020*2*2N t t t t N t t t t当0<t<25 时，y m ax =900（元），此时t=10; 当2530≤≤t 时，y m ax =1125（元），此时t=25;所以1125>900,所以y m ax =1125（元） 故所求日销售额的最大值为1125元，是在最近30天中的第25天实现的。

第9课 分段函数分层训练：1、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||111||,2|1|2x ，x x x ，则f[f(21)]=( ) A. 21 B.134C. －59 D.4125 2、若f(x)=⎩⎨⎧≥)0()0(2πx x x x ⎩⎨⎧<-≥=)0()0()(2x x x x x ϕ，则当x<0时，f[ϕ(x)]=( ) A. －x B. －x 2C.xD.x 2 3、已知，若f(x)=.______)2(2)21()1(22的取值范围是则x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+4、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)0()0(x x x x②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x g(x)=0 x ∈{－1，1}A.①③B.①C.②④D.①④5、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x －0.1x 2，x ∈(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台6、f(x)=⎩⎨⎧∉-∈]10[,3]10[1，x x ，，x ，使等式f[f(x)]=1成立的x 值的范围是_________.7、若方程2|x －1|－kx=0有且只有一个正根，则实数k 的取值范围是__________.拓展延伸 8、某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式为P=⎩⎨⎧∈≤≤+-∈<<+*),3025(100*),250(20N t t t N t t t ，该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q=－t+40，(0<t ≤30，t ∈N*).求这种商品的日销售金额的最大值，并指出取得该最大值的一天是30天中的哪一天？。

x y o 高一数学第一章 函数测验题 苏教版 必修一（9月30日）时间：40分钟 满分：100分一、判断题：每小题5分，共20分．下列结论中，正确的在后面的括号中打“∨”，错误的在后面的括号中打“╳” ．1． 已知A={}Z k k x x ∈-=,23|，则5∈Ａ． （ ╳ ）2． 函数)(x f y =的图象有可能是如图所示的曲线． (╳ )3．对于定义域为R 的奇函数)(x f ，一定有0)2()2(=+-f f 成立． (∨ )4．函数xx f 1)(=在),0()0,(+∞-∞ 上为减函数． ( ╳ ) 二、选择题．每小题5分．每题都有且只有一个正确选项．5．已知集合A ≠Φ，且A {2,3,4}，则这样的集合A 共有（ ）个 （ B ） Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．86．函数03()()22f x x x =-+的定义域是 （ D ）A ． 3(2,)2-B ． (2,)-+∞C ．3(,)2+∞D ． 33(2,)(,)22-⋃+∞7．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是 ( C ) Ａ．0,2,3 Ｂ．30≤≤y Ｃ．}3,2,0{ Ｄ．]3,0[8．由函数])5,0[(4)(2∈-=x x x x f 的最大值与最小值可以得其值域为 （ C ）A ．),4[+∞-B ． ]5,0[C ．]5,4[-D ．]0,4[-9．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0<x 时，()f x 的表达式为 （B ）A ．1+-xB ．1--xC ．1+xD ． 1-x10．定义在R 上的偶函数()f x ，在(0,)+∞上是增函数，则 （ C ）A ． (3)(4)()f f f π<-<-B ．()(4)(3)f f f π-<-<C ．(3)()(4)f f f π<-<-D ．(4)()(3)f f f π-<-<三、 填空题．每小题5分．11．已知函数=)(x f 21,02,0x x x x +≤->，若17)(=x f ，则x = - 412．设},3|{2R x x y y M ∈-==，{}R x x y y N ∈+==,3|2，则=N M {3}13．函数)0(1)(≠-=x xax x f 是奇函数，则实数a 的值为 0 ． 四、 解答题．写出必要的文字说明．14．（10分）已知全集U={x |-5≤x ≤3}，A={x |-5≤x <-1}，B={x |-1≤x <1},求C U A ，C U B ， (C U A)∩(C U B)，C U (A ∪B)，并指出其中相等的集合.14． 解： C U A={x |-1≤x ≤3}；C U B={x |-5≤x <-1或1≤x ≤3}；(C U A)∩(C U B)= {x |1≤x ≤3}；C U (A ∪B)= {x |1≤x ≤3}.相等集合有(C U A)∩(C U B)= C U (A ∪B)15．（12分）用单调性定义证明：函数2)1(1)(-=x x f 在)1,(-∞上为增函数． 证明：在)1,(-∞上任取1x 、2x ，且1x <2x ， 而22212122222121)1()1()1()1()1(1)1(1)()(-----=---=-x x x x x x x f x f 22211212)1()1())(2(----+=x x x x x x因为121<<x x ，可知0221<-+x x ，012>-x x ，0)1(21>-x ， 0)1(22>-x ，则0)()(21<-x f x f所以)()(21x f x f <所以函数在)1,(-∞上为增函数．普通班16．已知函数)(11)(R x x x x f ∈-++=．（13分） （1）证明)(x f 函数是偶函数； （2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；（3）写出函数的值域．（1）)(1111)(x f x x x x x f =++-=--++-=-所以)(x f 是偶函数；（2）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=)1(2)11(2)1(2)(x x x x x x f(3)函数的值域为：),2[+∞实验班：16．当x 在实数集R 上任取值时，函数)(x f 相应的值等于x 2、2 、x 2-三个之中最大的那个值．（1）求)0(f 与)3(f ；（2分） （2）画出)(x f 的图象，写出)(x f 的解析式；（6分） （3） 证明)(x f 是偶函数；（3分）（4）写出)(x f 的值域．（2分）(1)2)0(=f ,6)3(=f ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=)1(2)11(2)1(2)(x x x x x x f(3)当1>x 时，1-<-x ，所以x x f x x x f 2)(,2)(2)(==--=-，有)()(x f x f =-； 当1-<x 时，1>-x ，所以x x f x x x f 2)(,2)(2)(-=-=-=-，有)()(x f x f =-； 当11≤≤-x 时，)(2)(x f x f ==-．综上所述，对定义域中任意一个自变量x 都有)()(x f x f =-成立． 所以)(x f 是偶函数．(4)函数的值域为：),2[+∞。

课时跟踪检测〔二十〕分段函数[A 级 根底稳固]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈〔0，1]，那么函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1，2)，B 错．选A.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0＜x ≤3，假设f (x )＝3，那么x 的值是( )A.3 B ．9 C ．－1或1D ．－3或 3解析：选A 依题意，假设x ≤0，那么x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．假设0＜x ≤3，那么x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.应选A.3．著名的Dirichlet 函数D(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，那么D[D(x )]＝( )A ．0B ．1C.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为无理数0，x 为有理数 D ．⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数0，x 为无理数解析：选B ∵D(x )∈{0，1}，∴D(x )为有理数， ∴D[D(x )]＝1.4．(2021·无锡市第一中学月考)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2，设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕，f 〔x 〕≤g 〔x 〕，g 〔x 〕，f 〔x 〕>g 〔x 〕，那么函数h (x )大致图象是( )解析：选D 数形结合，在同一直角坐标系中分别画出函数f (x )＝|x |和g (x )＝x 2的图象，然后把两个函数每一段较小局部找出来即可，选D.5．函数f (x )的图象是两条线段(如下图，不含端点)，那么f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13＝( ) A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝－23＋1＝13. 6．(2021·姜堰中学月考)为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价〞．计费方法如表所示，假设某户居民某月交纳水费60元，那么该月用水量________ m 3.解析：大致先判断出用水量在12到18之间，(60－12×3)÷6＋12＝16. 答案：167．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x ＜A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c和A 的值分别是________，________．解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15.① 由题意知4＜A ，且c 4＝c2＝30.② 由①②解得c ＝60，A ＝16. 答案：60 168．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[－1，1]，x ，x ∉[－1，1]，假设f (f (x ))＝2，那么x 的取值范围是________．解析：设f (x )＝t ，∴f (t )＝2，当t ∈[－1，1]时，满足f (t )＝2，此时－1≤f (x )≤1，无解；当t ＝2时，满足f (t )＝2，此时f (x )＝2，即－1≤x ≤1或x ＝2.答案：{2}∪[－1，1]9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)假设f (x 0)＝8，求x 0的值． 解：(1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4. (2)当0≤x 0≤2时， 由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.10．函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x )； (2)求函数φ(x )的定义域，值域．解：(1)在同一个坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x )的定义，可得函数φ(x )的图象如图②. 令－x 2＋2＝x 得x ＝－2或x ＝1. 结合图②，得出φ(x )的解析式为φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2，x ≤－2，x ，－2＜x ＜1，－x 2＋2，x ≥1.(2)由图②知，φ(x )的定义域为R ，φ(1)＝1， ∴φ(x )的值域为(－∞，1]．[B 级 综合运用]11．(多项选择)(2021·常州中学月考)设定义在R 上的函数f (x )，对于给定的正数p ，函数f p (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕，f 〔x 〕≤p ，p ，f 〔x 〕>p ，那么称函数f p (x )为f (x )的“p 界函数〞．关于函数f (x )＝x 2－2x －1的“2界函数〞，以下等式成立的是( )A ．f 2(f (0))＝f (f 2(0))B ．f 2(f (1))＝f (f 2(1))C ．f 2(f (2))＝f (f 2(2))D ．f 2(f (3))＝f (f 2(3))解析：选ACD 令x 2－2x －1＝2，解得x ＝－1或x ＝3，根据“p 界函数〞的定义，有f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，－1≤x ≤3，2，x <－1或x >3.所以f 2(f (0))＝f 2(－1)＝2，f (f 2(0))＝f (－1)＝2，故A 选项中的等式成立；f 2(f (1))＝f 2(－2)＝2, f (f 2(1))＝f (－2)＝7，故B 选项中的等式不成立；f 2(f (2))＝f 2(－1)＝2，f (f 2(2))＝f (－1)＝2，故C 选项中的等式成立；f 2(f (3))＝f 2(2)＝－1，f (f 2(3))＝f (2)＝－1，故D 选项中的等式成立．应选A 、C 、D.12．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x ＜0，那么不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x ＜0}解析：选A 当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1， 所以0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2， 所以x ＜0，综上，x ≤1.13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，假设f (a )＜－3，那么a 的取值范围是________．解析：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3；②当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3⇒a ＜－4，不成立； ③当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3⇒a ＜－1，不成立． 综上，a ∈(－∞，－3)． 答案：(－∞，－3)14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞0，x ，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞0，－x ，x ≤0.(1)当x ＜0时，求函数f (g (x ))的解析式； (2)当x ≤0时，求函数g (f (x ))的解析式． 解：(1)由题意，得当x ＜0时，g (x )＝－x ＞0，所以f (g (x ))＝f (－x )＝1－x＝－1x ，即函数f (g (x ))的解析式为f (g (x ))＝－1x (x ＜0)．(2)由题意，得当x ≤0时，f (x )＝x ≤0， 所以g (f (x ))＝g (x )＝－x ，即函数g (f (x ))的解析式为g (f (x ))＝－x (x ≤0)．[C 级 拓展探究]15．(2021·东台中学月考)函数f (x )＝|x －2|(x ＋1)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)判断直线y ＝a 与y ＝|x －2|(x ＋1)的交点的个数． 解：(1)函数f (x )＝|x －2|(x ＋1)，去绝对值符号得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥2，－x 2＋x ＋2，x <2.可得f (x )的图象如下图．(2)直线y ＝a 与y ＝|x －2|(x ＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图， 由图象可知：当a <0时，有一个交点；当a ＝0时，有两个交点； 当0<a <94时，有三个交点；当a ＝94时，有两个交点；当a >94时，有一个交点．综上，当a <0或a >94时，有一个交点；当a ＝0或a ＝94时，有两个交点；当0<a <94时，有三个交点．。

章末综合测评(五) 函数概念与性质(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，与函数y ＝－2x 3相同的是( ) A ．y ＝x －2x B ．y ＝－2x 3C ．y ＝x2－2xD ．y ＝－x －2xD [函数相同的两个条件：①定义域相同；②对应关系相同．∵原函数y ＝－2x 3的定义域为{x |x ≤0}，∴y ＝－2x 3＝－2x ·x 2＝－2x ·|x |＝－x －2x ．]2．下列曲线能表示函数图象的是( )D [在选项A ，B ，C 中，存在同一个x 值与两个y 值对应的情况，不符合函数的定义，因此A ，B ，C 都不对；D 中定义域上的任意一个x ，都有唯一的y 与它对应，因此选项D 正确．]3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，0，x ＝0，x －1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值是( ) A ．－13B ．13C ．23D ．－23C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23－1＝－13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－13＋1＝23．]4．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1，且f (1)＝－2，则实数m 的值为( )A ．－4B ．0C ．4D ．2B [因为函数y ＝f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，由当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1，f (1)＝－2，所以2－m ＝2，从而m ＝0，应选B ．]5．函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D [∵y ＝f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数， ∴y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 由f (a )≤f (2)，得f (|a |)≤f (2)． ∴|a |≥2，得a ≤－2或a ≥2．]6．已知函数y ＝f (x )的定义域为()－∞，1∪()1，＋∞，且f (x ＋1)为奇函数，当x <1时，f (x )＝－x 2－2x ，则函数y ＝f (x )－12的所有零点之和等于( )A ．4B ．5C ．6D ．12 A [因为f (x ＋1)为奇函数，所以图象关于()0，0对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于()1，0对称，即f ()x ＋f ()2－x ＝0． 当x <1时，f (x )＝－x 2－2x ， 所以当x >1时，f (x )＝x 2－6x ＋8． 当－x 2－2x ＝12时，可得x 1＋x 2＝－2，当x 2－6x ＋8＝12时，可得x 3＋x 4＝6，所以函数y ＝f (x )－12的所有零点之和为6－2＝4，故选A ．]7．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34B [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1．由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B ．]8．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c (a ≠0)在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)C [二次函数的对称轴为x ＝1．由二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，可知a >0，故该函数图象的开口向上，且f (0)＝f (2)．当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对于定义在R 上的函数f (x )，下列判断错误的有( ) A ．若f (－2)>f (2)，则函数f (x )是R 的单调增函数 B ．若f (－2)≠f (2)，则函数f (x )不是偶函数 C ．若f (0)＝0，则函数f (x )是奇函数D ．函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调增函数，则f (x )是R 上的单调增函数ACD [对于A ，列举反例f (x )＝(x －2)2，A 错误；对于B ，若f (x )是偶函数，则f (－2)＝f (2)，即原命题的逆否命题为真，所以B 正确；对于C ，列举反例f (x )＝|x |，C 错误；对于D ，列举反例f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x x <00x ＝0x x >0，所以D 错误；故选ACD ．]10．下列命题为真命题的是( )A ．函数y ＝|x －1|既是偶函数又在区间[1，＋∞)上是增函数B ．函数f (x )＝x 2＋9＋1x 2＋9的最小值为2C ．“x ＝2”是“x －2＝2－x ”的充要条件D ．∃x ∈R ，1x<x ＋1CD [y ＝|x －1|当x ＝1时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝2，所以y ＝|x －1|不是偶函数，选项A 错误；令t ＝x 2＋9∈[3，＋∞)，g (x )＝t ＋1t．根据对勾函数的单调性可得，g (t )在[3，＋∞)是增函数，g (t )的最小值为103，即f (x )的最小值为103，选项B 错误；x －2＝2－x≥0,2－x ≥0，∴x ＝2，选项C 正确；当x ＝1时，1x<x ＋1成立，选项D 正确．故选CD ．]11．已知定义在R 上函数f (x )的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )；②∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1≠x 2时，都有f x 2－f x 1x 2－x 1>0；③f (－1)＝0．则下列选项成立的是( )A ．f (3)>f (－4)B ．若f (m －1)<f (2)，则m ∈(－∞，3)C ．若f xx>0，x ∈(－1,0)∪(1，＋∞) D ．∀x ∈R ，∃M ∈R ，使得f (x )≥MCD [由条件①得f (x )是偶函数，条件②得f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (3)<f (4)＝f (－4)，故A 错；若f (m －1)<f (2)，则|m －1|<2，得－1<m <3，故B 错；若f xx >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x <0，因为f (－1)＝f (1)＝0， 所以x >1或0<x <1，故C 正确；因为定义在R 上函数f (x )的图象是连续不断的，且在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )min ＝f (0)，所以对∀x ∈R ，只需M ≤f (0)即可，故D 正确；故选CD ．] 12．已知定义在[0,1]上的函数f (x )同时满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |．若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．12 B ．14 C ．12πD ．18AB [取y ＝0，则|f (x )－f (0)|＜12|x －0|，即|f (x )|＜12x ，取y ＝1，则|f (x )－f (1)|＜12|x －1|，即|f (x )|＜12(1－x )．∴|f (x )|＋|f (x )|＜12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|＜14．不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )＜14，0≤f (y )＜14，∴|f (x )－f (y )|＜14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|＜k 恒成立，只需k ≥14．故选AB ．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是 ． (2,3)∪(3，＋∞) [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4>0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x－4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)． 14．函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则实数a 的取值范围为 ．[1,2] [函数f (x )＝x 2－2x ＋3在x ＝1处取得最小值为2，在x ＝0处取得最大值3，结合函数图象(略)可知实数a 的取值范围为[1,2]．]15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1x 2，x <1，那么f (f (3))＝ ；若存在实数a ，使得f (a )＝f (f (a ))，则a 的个数是 ．(本题第一空2分，第二空3分)1 4 [f (f (3))＝f (－1)＝1；令f (a )＝t ，即满足f (t )＝t ，①t ＝1，即a ＝±1时，经检验，均满足题意；②t <1，即－1<a <1或a >1时，f (t )＝t 2，由t ＝t 2，解得t ＝0或1(舍去)；再由t ＝f (a )＝0解得a ＝0或2；③t >1，即a <－1时，f (t )＝2－t ，由t ＝2－t ，解得t ＝1(舍去)；综上所述：共有4个a ．]16．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32与f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52的大小关系是 ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52[因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32， 又因为f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32．] 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)求函数f (x )＝x －2，x ∈{0,2,5，－1}的最大值与最小值； (2)已知函数y ＝f (x )(－1≤x ≤4)的图象如图所示．根据函数图象回答：当y 取得最大值时，对应的自变量是多少？函数的最小值是多少？[解] (1)∵f (0)＝－2，f (2)＝0，f (5)＝3，f (－1)＝－3， ∴f (－1)<f (0)<f (2)<f (5)，∴f (x )＝x －2的最大值为f (5)＝3，最小值为f (－1)＝－3．(2)由图象可知函数的最高点的横坐标为4，此时对应的自变量为4；最小值是图象的最低点，其纵坐标为－2，即最小值为－2．18．(本小题满分12分)(1)求函数f (x )＝ln(4－2x )＋(x －1)0＋1x ＋1的定义域(要求用区间表示)；(2)若函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，求f (3)的值和f (x )的解析式． [解] (1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0，x －1≠0，x ＋1≠0，解得x <2且x ≠1且x ≠－1．所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2)．(2)因为f (x ＋1)＝x 2－2x ，所以令x ＝2，得f (3)＝22－2×2＝0． 用配凑法求函数解析式：∵f (x ＋1)＝x 2－2x ， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 故f (x )＝x 2－4x ＋3，(x ∈R )．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)确定f (x )的单调性； (2)求f (x )的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝2x －1x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1＝2－3x ＋1．设3≤x 1<x 2≤5， 则f (x 1)－f (x 2)＝2－3x 1＋1－2＋3x 2＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[3,5]上单调递增． (2)∵f (x )在[3,5]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (5)＝32，f (x )min ＝f (3)＝54．20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2． (1)若函数的图象经过原点，且满足f (2)＝0，求实数m 的值； (2)若函数在区间[2，＋∞)上为增函数，求m 的取值范围． [解] (1)∵f (0)＝0，f (2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －m 2＝0，4＋4m －2＋m －m 2＝0，∴m ＝1．(2)∵y ＝f (x )在[2，＋∞)上为增函数， ∴对称轴x ＝－2m －22≤2，∴m ≥0，∴实数m 的取值范围是[0，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知二次函数y ＝f (x )满足f (－2)＝f (4)＝－16，且f (x )的最大值为2．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )在[t ，t ＋1](t ＞0)上的最大值．[解] (1)因为二次函数y ＝f (x )满足f (－2)＝f (4)＝－16，且f (x )的最大值为2， 故函数图象的对称轴为x ＝1， 设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，a ＜0． 根据f (－2)＝9a ＋2＝－16， 求得a ＝－2，故f (x )＝－2(x －1)2＋2＝－2x 2＋4x ．(2)当t ≥1时，函数f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，故最大值为f (t )＝－2t 2＋4t ；当0＜t ＜1时，函数f (x )在[t,1]上是增函数，在[1，t ＋1]上是减函数， 故函数的最大值为f (1)＝2．综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0＜t ＜1，－2t 2＋4t ，t ≥1.22．(本小题满分12分)函数y ＝f (x )的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使得|f (x )|≥M |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“圆锥托底型”函数．(1)判断函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． (2)若f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．[解] (1)函数f (x )＝2x ．∵|2x |＝2|x |≥2|x |，即对于一切实数x 使得|f (x )|≥2|x |成立，∴函数f (x )＝2x 是“圆锥托底型”函数． 对于g (x )＝x 3，如果存在M ＞0满足|x 3|≥M |x |， 而当x ＝M2时，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪M 23≥M ⎪⎪⎪⎪⎪⎪M 2，∴M2≥M ，得M ≤0，矛盾，∴g (x )＝x 3不是“圆锥托底型”函数．(2)∵f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M ＞0，使得|f (x )|＝|x 2＋1|≥M |x |对于任意实数恒成立．∴x ≠0时，M ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |，此时当x ＝±1时，|x |＋1|x |取得最小值2， ∴M ≤2．而当x ＝0时，也成立． ∴M 的最大值等于2．。