常微方程复习

高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。

dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(xy g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(mb a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=19．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程． 答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是 区间．答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）13．方程y x xy sin d d 2=的所有常数解是 ． 答： ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x x y )(d d ϕ=的任一非零解 与x 轴相交． 答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切．答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是 ．答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要22．方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答： xoy 平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是 ．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y=的任一解的存在区间（D ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定3．方程y x x y+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y-=过点)1,2(π共有（ B ）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程2d d +-=y x xy （ B ）奇解． （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维8．方程323d d y xy =过点（ A ）． （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解0=y （D ）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．（A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（ D ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y12．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+13．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（ D ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程1d d +=y x y （ C ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23另外 0=y 也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ []81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x+++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1 所以 方程的通解为 cx y +-=1 故 过1)1(=y 的解为 21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２，所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解 解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂ , 所以方程是恰当方程.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy yu ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 c y yx x =++ln sin 6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 cx x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 c y xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解 8．21d d x xy x y += 解 当0≠y 时，分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 51 10. 5d d xy y xy += 解 方程两端同乘以5-y ，得x y xy y +=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z x z =--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy解 因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-3231 12． y y xy ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y +=⎰⎰d ln d 通积分为 x C y e ln = 13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ） 通积分为： Cx xy ln arcsin= 15． xy x y x y tan d d += 解 令u xy =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u xu x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx x y =sin16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解 积分因子为21)(x x =μ原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x=+-⎰⎰即 1e ,e C C C x yx +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y即1C y y ='分离变量得x C y y d d 1=积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y解 令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1由基本关系式 y x y'=d d ，有p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p)d 11(-= 积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰ 即 C y y x x =++42242四、计算题1．求方程x y y e 21=-''的通解． 解 对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为x Ax x y e )(1=代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+， 可解出 41=A ． 故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=- 2．求下列方程组的通解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x t x 43d d 2d d ． 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。

1. 如果微分方程 0),,,,()(='n y y y x F Λ左端为未知函数及其各阶导数的（ 一 ）次有理整式，则它称为线性微分方程。

2. 形如（)()(y x f dxdyϕ= ）的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x , 的连续函数。

3. 方程()dy P x y dx=的通解为（ ()P x dxy ce ⎰= ）这里c 是任意的常数。

4. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的充要条件是（M Ny x∂∂=∂∂ ），其中(,),(,)M x y N x y 在区域G 内连续可微。

5. 函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式（ 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- ）对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。

其中L 称为利普希兹常数。

6. 初值问题（3.1），若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则任一非饱和解均可延拓为（ 饱和解 ）。

7. 设初值问题（3.1）满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式（ 00(,,)y x x y ϕ= ）。

8. 如果),(y x f 以及（yy x f ∂∂),( ）在G 内连续，则(3.1)的解),,(00y x x y ϕ=作为 00,,x x y 的函数，在它定义范围内连续可微。

9. 0)()()(1111=++++---x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n Λ称为（ n 阶线性齐次微分方程 ）。

常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。

本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。

《常微分方程》试题一.填空题1．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是n 阶线性齐次方程的一个基本解组，x(t)为非齐性齐次方程方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为2．若ϕ（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 的 基解矩阵，则ϕ（t ）与ψ（t ）具有关系：3．若ϕ（t ）是常系数线性方程组x Ax '=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=的解()t ψ=_____________________4．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间.6. 向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0.7.若X 1(t), X 2(t) , X n (t)为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是8.若)()(t t ψφ和都是'X =A(t)X 的基解矩阵，则 )()(t t ψφ和具有关系：二.单选题1.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。

（式中C C 12,为任意常数）（ ）（A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin2.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( )（A ）b ae x +； （B ）bx axe x +； （C ）bx ae x +； （D ） b axe x +3.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( )（A ）A x sin （B ）A x cos（C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+4.微分方程''+=y y x x cos2的一个特解应具有形式（ ） （A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+（C ）A x B x cos sin 22+ （D ）()cos Ax B x +25.微分方程012'''=++y y 的通解是（ ）（A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21；（C ）x e C C y x 21221-+=-； （C ）x x C x C y 21sin cos 21-+=。

1.求下列方程的通解。

1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。

1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。

0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。

t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

第六章常微分方程一、学习指导1、知识网络常微分方程微分方程偏微分方程微分方程相关概念微分方程的阶通解微分方程的解特解可分离变量微分方程一阶线性齐次微分方程常见微分方程形式一阶线性微分方程及其通解公式一阶线性非齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程二阶线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程2、知识重点与学习要求2.1 了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念。

2.2 掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的求解，会用微分方程解决一些简单的实际问题。

2.3 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

2.4 理解二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构定理，并会求某些特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，进而求其通解。

3、概念理解与方法掌握3.1基本概念（1）微分方程的定义含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程。

注意：① 在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现。

② 在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则为常微分方程；如果未知函数是多元函数，则为偏微分方程。

本章只讨论常微分方程。

（2）微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。

（3）微分方程的解如果把一个函数代入微分方程中，能使方程变为恒等式，那么这个函数就称为微分方程的解；如果微分方程的解中含有任意常数，并且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解则称为微分方程的通解，不含任意常数的解叫做微分方程的特解。

（4）初始条件初始条件是用来确定通解中任意常数的条件，通常是由系统（微分方程）在初始时刻所处的状态给出。

3.2 几种常见类型微分方程的解法注意：微分方程特定类型有其特定的解法，故在解微分方程之前，一定要准确判断出它的类型。

1、可分离变量的微分方程 （1）方程形式 形如()()dyf xg y dx= 的微分方程叫做可分离变量的微分方程。

其中(),()f x g y 在其定义的某个范围内为连续函数，且()0g y ≠。

常微分方程知识点总结一、基本概念。

1. 常微分方程。

- 定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。

例如：y' + 2y = 0，其中y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y 对x的一阶导数。

- 阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。

如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。

2. 解与通解、特解。

- 解：如果函数y = φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。

- 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。

例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解（C_1,C_2为任意常数）。

- 特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。

比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中，当C_1 = 1,C_2 = 0时，y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。

二、一阶常微分方程。

1. 可分离变量方程。

- 形式：g(y)dy = f(x)dx。

- 解法：对等式两边分别积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。

例如对于方程y'=(x)/(y)，可化为ydy = xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1 = 2C）。

2. 齐次方程。

- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。

- 解法：令u=(y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。

例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u = (y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tan u，再分离变量求解。

《常微分方程》知识点整理常微分方程是微分方程的一种，是研究一个独立变量和一个或多个其导数（常见的是一阶或二阶导数）之间关系的方程。

常微分方程在物理、工程、生物学等领域起着重要作用，广泛应用于实际问题的建模和求解过程中。

1.常微分方程的基本定义常微分方程是指未知函数及其导数之间的一个或多个方程。

它可以是一个方程或一组方程，通常描述了函数值与其导数之间的关系，而不涉及到偏导数。

常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程等多种类型。

2.常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。

常见的常微分方程有一阶常微分方程和二阶常微分方程。

一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x, y)，二阶常微分方程形式为d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)。

3.常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定一定条件下求解微分方程的解的过程。

它通常通过确定未知函数在其中一点的值以及其导数在该点的值来确定微分方程的解。

求解初值问题需要借助于初值条件和积分常数等概念。

4.常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、特征方程法、变量代换法等。

这些方法能够将微分方程转化为容易求解的形式，从而得到微分方程的解析解。

5.常微分方程的数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的微分方程，可以采用数值解法进行求解。

常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，通过数值逼近的方式得到微分方程的近似解。

6.常微分方程的应用常微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和分析过程中。

例如，牛顿第二定律、振动系统、生物种群动力学等问题都可以用常微分方程来描述和求解。

7.常见的常微分方程问题常见的常微分方程问题包括一阶线性微分方程、二阶线性微分方程、常系数微分方程、非齐次微分方程等。

这些问题在实际应用中经常遇到，求解这些问题需要掌握基本的微分方程理论和方法。

总的来说，常微分方程是微分方程理论中的一个重要分支，它研究了函数与导数之间的关系，并在实际问题的建模和求解中发挥着关键作用。

常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。

一般形式为dy/dx = f(x, y)。

2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。

3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。

4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。

二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。

- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。

- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。

- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。

2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。

- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。

- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。

三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。

2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。

3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。

4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。

5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。

常微分方程阶段(2)复习题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《常微分方程》第二阶段试题一. 单选题1. 函数 )cos(C x y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程是（ ） )sin()(C x y A +-='； 1)(22=+'y y B ；)sin()(C x y C +='； 22)(22=+'y y D 。

2.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是（ ）（A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式为零 （C ）12()=()x C x ϕϕ（常数） （D ）线性相关 3.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=不是基本解组的充要条件是（ ）（A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式不为零 （C ）12()()x C x ϕϕ≠（常数） （ ）线性相关 4.线性齐次微分方程组()dx A t x dt=的一个基本解组的个数不能多于（ ） （A ） -1n （B ） n （C ）+1n （D ）+2n5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（ ）个．（A ） n （B ）-1n （C ）+1n （D ）+2n6. 设常系数线性齐次方程特征方程根i r r ±=-=4,32,1,1，则此方程通解为（ ）（A ）x C x C e x C C y x sin cos )(4321+++=-； （B ）x C x C e C y x sin cos 321++=-；（C ）x x C x C e C y x sin cos 321++=-； （D ）x C x x C e C y x sin cos )(321+++=-7.方程x xe y y 2'2"=-的特解具有形式（ ）。

（A ） x Axe y 2*=; （B ） x e B Ax y 2)(*+=;（C ） x e B Ax x y 2)(*+= ; （D ）x e B Ax x y 22)(*+=。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件．4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

第九讲常微分方程知识点常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是用来描述系统变化的数学模型，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

常微分方程的基本形式为：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。

常微分方程可以分为一阶和二阶微分方程，下面将对一阶和二阶微分方程进行介绍。

一阶微分方程：一阶微分方程是指未知函数的导数仅包含一阶导数的微分方程。

一般形式如下：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中f(x,y)为已知函数。

解一阶微分方程的方法有几种，如可分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。

可分离变量法是最常见的解一阶微分方程的方法。

首先，将方程中的dy和dx分开，并移项得到：\[dy=f(x,y)dx\]然后，将dy与dx移到等号两侧，并将x和y分别提取到一侧得：\[\int\frac{{dy}}{{f(x,y)}}=\int dx+C\]其中C为常数。

然后，对两边分别求不定积分，并将等式两边的常数合并得到最终的解。

齐次方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]的方程的方法。

其基本思路是将方程转化为\[\frac{{dy}}{{dx}}=\phi(\frac{{y}}{{x}})\]的形式，其中\(\phi(u)=f(1,u)\)。

解这个齐次方程后，再通过变量替换将解转化为原方程的解。

线性方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)\]的方程的方法。

线性方程法的基本思路是将方程中的非线性部分转化为线性的部分，然后利用已知的线性微分方程的解的性质得到方程的解。

一般情况下，可以利用积分因子法将方程转化为线性方程。

二阶微分方程：二阶微分方程是指未知函数的导数包含了一阶和二阶导数的微分方程。

一般形式如下：\[\frac{{d^2 y}}{{dx^2}}=f(x,y,\frac{{dy}}{{dx}})\]其中f(x,y,y')为已知函数。

常微分方程复习总结初等积分法一、主要概念常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数（或微分）构成的等式。

方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。

微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。

通解：n 阶方程，其解中含有n 个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。

由隐式表出的通解称为通积分。

特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。

初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。

变量可分离方程： 形如 )()(d d y g x f xy=或 y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211= 的方程称为变量可分离方程。

齐次微分方程：形如)(d d xyx y ϕ=的方程，称为齐次微分方程。

线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。

一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是 )()(d d x f y x p x y =+ 如果0)(≡x f ,即0)(d d =+y x p xy称为一阶线性齐次方程。

如果)(x f 不恒为零，则称)()(d d x f y x p x y=+为一阶线性非齐次方程。

伯努利（Bernoulli ）方程：形如 n y x f y x p xy)()(d d =+ (1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程。

全微分方程：如果微分形式的一阶方程0d ),(d ),(=+y y x N x y x M (1.1)的左端恰好是一个二元函数),(y x U 的全微分，即y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d += (1.2)则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程，而函数),(y x U 称为微分式(1.2)的原函数。

积分因子：假如存在这样的连续可微函数0),(≠y x μ，使方程0d ),(),(d ),(),(=+y y x N y x x y x M y x μμ成为全微分方程，我们就把),(y x μ称为方程(1.1)的一个积分因子。

常微分方程辅导〔填空题、选择题和解答题----比例是2：3：5。

〕第一章 初等积分法一．根本类型：曲线的切线。

例1． 曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m 倍，且通过点),2(n p 。

分析： 〔1〕这是一个具有根本应用型的一阶方程，它通过斜率与坐标之间的相关概念求解一阶方程。

〔2〕它考核的知识点是一阶微分方程的概念、解的几何形式，它的求解，这又是重点。

解：〔1〕设所求曲线的任意点坐标是),(y x ，依题意，,mx dx dy =积分有C x my +=22， 〔2〕该曲线过点),2(n p ，有C mn +=4*2从而有，,2m n C -=故，所求曲线方程是22x my =+),2(m n -二．根本类型的求解（一）可别离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程。

〔一阶线性方程是重点〕1．〔1〕可别离变量方程)()(x g x f dx dy= 别离变量有 ,)()()()(00C dx x f x g dyor dx x f x g dy y y x x ⎰⎰⎰⎰+==〔2〕求解对称式,0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M由0)()(≠x P y N ，得,0)()()()(=+dy y N y Q dx x P x M 从而.)()()()(C dy y N y Q dx x P x M =+⎰⎰例2。

求解方程2211x y dx dy ++=。

分析：1）这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解； 2） 它考核的是求解一阶可别离变量方程这一知识点。

解：方程的通积分为,11122C x dxy dy ++=+⎰⎰即：如arctany=arctanx+C 1.解出y 得到通解y=tan(arctanx+C 1)。

例3． 求方程y xy dxdyx-=的通解. 分析：1〕这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解。