2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅱ卷)(含答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（三）（全国H卷）12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.则 Q M B ( )C .4. （ 5分）如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形的长为（ ）为，且f （x ）, | f （ ）|对x R 恒成立，则函数f （x ）在区间 61 A .卫342 2C . 4D . 426. ( 5分)已知函数 f(x) Asin( x)(A 0, 0 , 0）的图象经过（0,-），周期2 8 、选择题：本大题共 1. （ 5分）已知集合M {X N|x, 6} , A { 2 , 1 , 0, 1, 2} , B{y|y x 2,x A},A . {2 , 5,6}{2 , 3, 6} C . {2 , 3, 5, 6} D . {0 , 2, 3, 5,6} 2. （ 5分）已知i 是虚数单位, z(2 i) 5(1 i ），则 zA . 1 3i 1 3iC .3i D . 1 3i2 2O 为坐标原点椭圆C : x 2■y2a bCA BAOB3. （5分）已1(a b则椭圆0), 过右焦点 F 的直线lx 轴,C 的离心率为则此点取自阴影部分T 的概率是（C .5. （5 分）在 ABC 中，AB 2 3, AC D 为BC 上一点,uur BC lum3BD , AD 2，贝U BC [0 ,-]上的取值范围为（1 C .[- 8在长方形内随机取一点, ▲7. （5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )D. [2 , 1]8. （5分）函数f （x ） （x 2 2|x|）e |x|的图象大致为（）1r f的rr -49.（ 5分）已知大于 1的实数x , y 满足log x 2x log y 3y ，则下列结论正确的是 1 1A . x 2 1 y 21 C . tanx tany B . ln(x2 1) In (y 2 1) D .3 x 3 y 1 1 1 10. （5分）如图给出的是计算 丄丄丄 24 6填入的是（ ）1 4038 1 4040 的值的程序框图，其中判断框内应7. （ 5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A . i, 4034 ?B . i, 4036 ?C . i, 4038?D . i, 4042 ?11（ 5分）已知三棱柱 ABC ABG ，四边形AACG 与B^CG 均为边长为2的正方形，M , uur muiN 分别是, CG 的中点，CAgCB 0，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）D .卫5围为（）13. （5分）已知向量a73 214. （5 分）若 sin （ ） cos，则 cos （ 2 ） _______.63315 . （ 5分）已知曲线f （x ） ln （a x ）（a R ）在（0,0）处的切线方程为y x ,则满足 0剟f （x 2）1的x 的取值范围为 ________________ .16. （5分）某饮料厂生产 A 、B 两种饮料.生产1桶A 饮料，需该特产原料 100公斤，需 时间3小时；生产1桶B 饮料需该特产原料 100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量 不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多 750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶 A 饮料的利润是每桶 B 饮料利润的1.5C . 12. （5分）已知函数 f(x)e 2x 1,xx 22x0 2,x0，若 | f （x ） | -mx 恒成立，则实数m 的取值范A . [22 2 , 2][2 2 2 ,1]C . [2 2 2 , e]D . [2 2 e , e]二、填空题：本大题共 4小题，每小题。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国卷·文综(三)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分300分，测试时间150分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第I卷本卷共35个小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

“连体楼”是指在城市中楼房与楼房之间通过一些简单的设施连接在一起的建筑群体，常见于发展中国家的老旧城区。

图1为墨西哥城东部城市曲；达德内扎的“连体楼”景观图。

据此完成1～3题。

1.推测曲达德内扎“连体楼”之间增加简单设施的直接目的是A.增加居住面积B.方便居民交往C.加固稳定楼体D.加强行政管理2.“连体楼”现象直接反映出该城区A.中心环境恶化B.居民收入较低C.城市交通拥堵D.居住条件较差3.曲达德内扎出现“连体楼”的根本原因是A.城市用地紧张B.外来人口过多C.居民收入较低D.城市环境恶化秘鲁水资源地区分布极不均衡，与人口分布和经济发展不相适应。

太平洋沿岸地带人口密集，经济发达，但干旱缺水。

为此，秘鲁政府实施多个东水西调工程，以解决首都利马及其他一些地区的严重缺水问题。

其中，最为著名的是马赫斯调水工程，它由上游水库、输水河道、调水隧洞和下游河流组成。

图2为马赫斯调水工程路线示意图。

据此完成4～6题。

4.秘鲁西部缺水的自然原因主要是A.无河流分布B.冰雪融水量不足C.地下水位高D.降水量长年偏少5.马赫斯调水工程实施的有利条件是A.河流两侧海拔低B.东部山区峡谷较多C.东部河流径流量大D.经济、技术水平高6.推测马赫斯调水工程的主要作用是A.满足畜牧业用水需求B.绿化沙漠，改善环境C.调水调沙，发展航运D.发展干旱区灌溉农业台特玛湖是塔里木河的尾闾湖(即河流末端的湖泊)，有水道与罗布泊相连，早期是一个咸水湖。

2020届全国百校联考新高考押题模拟考试（三）数学试题（文史类）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|24},{|lg(2)}A x x B x y x =-<<==-，则A B =I （ ） A. (2,2]- B. (2,2)-C. (2,4)-D. (2,4)【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，求得{|2}B x x =>，再利用集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|24},{|lg(2)}{|2}A x x B x y x x x =-<<==-=>， 所以{|24}(2,4)A B x x =<<=I . 故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据对数函数的性质，正确求得集合B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.【详解】由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 28y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】依题意将函数2y sin x =的图象向左平移8π个单位长度得到： sin 2sin 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A4.已知等比数列{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，则7a 的值为（ ） A. 9 B. 32C. 64D. 128【答案】C【解析】 【分析】根据两个等式列出方程组求解出首项和公差得到通项公式，然后求解7a 的值. 【详解】因为12233,6a a a a +=+=，所以1121136a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，解得：112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=，则67264a ==， 故选：C.【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，难度较易.5.若2sin cos 12x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ） A. 89-B. 79-C.79D. 725-【答案】C 【解析】2sin cos 2312x x sinx sinx sinx π⎛⎫+-=+== ⎪⎝⎭13sinx ∴=217cos21239x ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭故选C6.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A. 28B. 56C. 84D. 120【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得：0,0,0i n S === 执行循环体，1,1,1i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，2,3,4i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，3,6,10i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，4,10,20i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，5,15,35i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，6,21,56i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，7,28,84i n S ===； 满足判断条件7i ≥，退出循环，输出S 的值为84. 故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7.设,m n u r r为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅<u r r”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】,m n v v 为非零向量,“存在负数λ,使得m n λ=v v ”,则向量,m n v v 共线且方向相反,可得0m n ⋅<v v ，即充分性成立；反之不成立,非零向量的夹角为钝角时,满足0m n ⋅<v v ,而m n λ≠v v”，即必要性不成立； 综上可得“存在负数λ,使得m n λ=v v ”是“0m n ⋅<v v”的”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.8.已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(1)0f x f ---<的解集为（ ）A. (0,2)B. (1,2)-C. (0,1)(1,2)UD. (1,1)(1,3)-U【答案】A 【解析】 【分析】由函数22()log f x x x =+，得到函数()f x 为偶函数，且当0x >时，函数()f x 为单调递增函数，把不等式转化为11x -<-，即可求解.【详解】由题意，函数22()log f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，且关于原点对称， 又由2222()()log log ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，函数22()log f x x x =+为单调递增函数，因为不等式(1)(1)0f x f ---<，即(1)(1)f x f -<-，则满足11x -<-，即11x -<，即111x -<-<，解得02x <<， 所以不等式(1)(1)0f x f ---<的解集为(0,2). 故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质应用，其中解答中根据函数的解析式，利用函数的奇偶性的定义和初等函数的单调性，得到函数()f x 的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知动点(,)P x y 满足3,(0,0)24x y O x y +≥⎧⎨+≥⎩，则||OP 的最小值为（ ）A.5B. 54C. 3D.322【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，分别计算,A B 的坐标，求得,OA OB 的长，即可求解. 【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由方程组324x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得(1,2)A ，此时22125OA =+=，过原点(0,0)O 与直线3x y +=垂直的直线方程为0x y -=，联立方程组30x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得33(,)22B ，此时223332()()222OB =+=，过过原点(0,0)O 与直线24x y +=垂直的直线方程为20x y -=，联立方程组2420x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得84(,)55C ，此时点C 不在不等式组所表示的平面区域内，又由325>，所以当点P 为B 点重合时，此时||OP 取得最小值，最小值为32. 故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 10.函数cos y x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-， 故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 故选B ． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除11.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =u u u v u u u v ，则AD AP u u u v u u u v⋅=（ ）3 B. 13D. 3【答案】D 【解析】 【分析】设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则2,2a b v v==，且a r 与b r 的夹角为060，由向量的运算法则可得112(),233AD a b AP a b =+=+u u u v u u u v v vv v ，利用数量积的公式，即可求解.【详解】由题意，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则2,2a b v v==，且a r 与b r 的夹角为060， 又由向量的运算法则可得112(),233AD a b AP a b =+=+u u u v u u u v v vv v所以221112111()()2233623AD AP a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+u u u v u u u v v v v v v v v v20211121142cos6022236233223a b =⨯+⋅+⨯=+⨯⨯⨯+=v v ，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的运算法则和向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的三角形法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.已知函数32()ln 3,()a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ） A. [4,)+∞ B. [3,)+∞C. [2,)+∞D. [1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】把对于()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，转化为函数()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值不小于()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，分别利用导数求得函数()(),f x g x 单调性与最值，即可求解. 【详解】由题意，对于()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值不小于()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，由()32g x x x =-，则()22323()3g x x x x x '=-=-，可得当12[,)33时，()0g x '<，()g x 单调递减，当2(,2]3时，()0g x '>，()g x 单调递减，又由12(),(2)4327g g =-=，即()g x 在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4， 所以()ln 34a f x x x x =++≥在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即2ln a x x x ≥-在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()21ln ,,23h x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()12ln h x x x x '=--，令()12ln p x x x x =--，则()32ln p x x '=--，当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0p x '<，函数()p x 单调递减，即()h x '在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，又由()10h '=，所以()h x '在1[,1)3为正，在(1,2]上为负， 所以()h x 在1[,1)3为单调递增，在(1,2]上单调递减， 所以()h x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()11h =，所以1a ≥．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，其中利用导数研究不等式恒成立问题时，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,a b r r 满足(1,2),(2,)a b m =-=r r .若//a b r r ，则||b =r ______.【答案】【解析】 【分析】由//a b r r ，根据向量的共线条件，求得4m =-，得到(2,4)b =-r ，再利用向量模的计算公式，即可求解.详解】由题意，向量,a b r r 满足(1,2),(2,)a b m =-=r r，因//a br r ，所以122m -⨯=⨯，解得4m =-，即(2,4)b =-r ，所以b ==r故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的共线条件和向量的模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 14.已知0,0a b >>，若461log log 2a b ==，则ab=______．【解析】 【分析】由指数式与对数式的互化公式，得到2,a b ==ab的值，得到答案. 【详解】由对数式与指数式的互化，因为461log log 2a b ==，可得112242,6a b ====所以a b ==. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4,cos 5b B ==-，则sin A =______.【答案】5【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式，求得3sin 5B =，再由正弦定理，即可求解sin A 得值，得到答案.【详解】由题意，在ABC ∆中，因为4cos 5B =-，所以3sin 5B ==，又由正弦定理可得sin sin a b A B =，则3sin sina B Ab ====故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式求得sin B 的值，再利用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.函数()()g x x R ∈的图象如图所示，关于x 的方程()()2230g x m g x m ⎡⎤+⋅++=⎣⎦有三个不同的实数解，则m 的取值范围是__________【答案】34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】设()g x t =，结合函数图象可得2230t mt m +++=有两个根，且一个在()0,1上，一个在[)1,+∞上，设()223h t t mt m =+++，①当有一个根为1时，由()10h =，求得m 的值，检验符合题；②当没有根为1时，由()()0230112+30h m h m m ⎧=+>⎪⎨=++<⎪⎩，求得m 的范围，综合可得结论.【详解】根据函数()()g x x R ∈的图象，设()g x t =，Q 关于x 的方程()()2230g x m g x m ⎡⎤+⋅++=⎣⎦有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根，且一个在()0,1上，一个在[)1,+∞上， 设()223h t t mt m =+++，①当有一个根为1时，()411230,3h m m m =+++==-，此时另一个根为13，符合题意；②当没有根为1时，则()()0230112+30h m h m m ⎧=+>⎪⎨=++<⎪⎩，解得3423m -<<-，综上可得，m 的取值范围是34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故答案为34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．三、解答题：共70分。

2020届百校联考高考百日冲刺全国II卷文科数学试题一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）设复数，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）唐老师要在甲、乙、丙、丁、戊5个同学中随机抽取3人参加诗歌朗诵，则乙、丙两人同时被选中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∃x∈（0，），tan x≤sin x，命题q：直线l1：2x﹣my+3＝0与直线l2：x+my﹣1＝0相互垂直的充要条件为m＝．则下列命题是真命题的为（）A．￢q B．p∨（￢q）C．￢p∧q D．p∧q6．（5分）cos240°+2sin35°sin55°sin10°＝（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x∈[﹣3，16]的，则输出的y属于（）A．[3，8]B．[4，8]C．[﹣1，3]D．[﹣1，8]8．（5分）图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．（5分）设函数f（x）＝e|x|﹣5cos x﹣x2，则函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知a＝sin，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知向量，若，则实数λ的值为．14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝3x﹣y的最小值为．15．（5分）《九章算术（卷第五）商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”．译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为．（注：1丈＝10尺，墓坑相对的侧面坡度相同）16．（5分）已知函数，则函数f（x）在上的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a n＝（2a n+1）a n+1，其中．（1）求数列的前n项和S n；（2）若b n＝a n+1a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，求证：．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC⊥PD，AB＝2BC ＝2CD＝2．（1）在线段AB上作出一点E，使得BC∥平面PDE，并说明理由；（2）若P A＝AD，∠PDA＝60°，求点B到平面P AD的距离．19．（12分）为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性8001000女性600总计1200相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：时间t（分钟）（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]频数150********根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计费．（1）是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；（2）根据表（2）中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；（3）若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828 20．（12分）已知离心率为的椭圆过点，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1，x2≠±a．（1）求椭圆C的方程；（2）若A（﹣a，0），且AM⊥AN，探究：直线l是否过定点；若是，请求出定点的坐标，若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（2）已知函数g（x）＝f（x）+ax（1﹣lnx）存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M，N，若M＝g（1），N＝h（a），求h（a）的最大值．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝6cosα．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1，C2交于M，N两点，求直线MN的极坐标方程以及M，N的极坐标（要求写出的极径非负，极角在[0，2π）上）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+|2x﹣4|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+m＞|x+3|﹣x2的解集为R，求实数m的取值范围．。

2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．复数32iz i+=的虚部为（ ） A ．2B ．-2C ．-3D ．3i -3．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2321f x x x =+-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2321x x -+-B ．2321x x ---C ．1232-+x xD ．2321x x --4．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33135．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为1216．甲，乙，丙三名学生，仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国英语六级等级考试时，甲说：“丙通过了”；乙说：“我通过了”；丙说：“甲和乙都没有通过”.假设这三名学生中有且只有一人说的是对的，那么通过了全国英语六级等级考试的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．仅靠以上条件还不能推出是谁7．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则其中恰有1人被封“伯”的概率为（ ） A ．825B ．25C ．1225D ．172510．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．已知函数()()1cos f x x x =+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4Cπ，3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则c =______.16．已知()1,0F c -，()2,0F c 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，且2OPF ∆2（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B PCD -的体积.18．已知公差不为0的等差数列{}n b 中，47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，且满足221a b =+，3385a b =，求数列{}n a 的通项公式及前8项的和.19．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()221ln f x a x ax x =+--，a R ∈.（l ）设()()()21g x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象在()1,+∞上恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4sin 10ρθρθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OMPN 面积的最大值. 23．已知函数()224f x x x =---. （1）解不等式()4f x >；（2）若不等式()222f x x -->-的解集为(),m n ，正实数a ，b 满足3a b n m +=-，求113a b+的最小值.参考答案1．A 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】先给分子和分母同乘以i ，化简后可得其虚部. 【详解】 因为()2323223231i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的虚部为-3. 【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 3．D 【分析】若令0x >，则0x -<，再将x -代入()2321f x x x =+-中化简，再结合偶函数的定义可得0x >时的函数关系式. 【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()22321321f x f x x x x x =-=-+--=--.【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 4．C 【分析】先由已知求出a b +的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可. 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a aa b a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题. 5．B 【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【分析】由于甲，乙，丙三名学生中有且只有一人说的是对的，所以分别假设三名学生的说法是对，进行逻辑推理可判断出结果. 【详解】由题意，仅有一人通过了全国英语六级等级考试，则甲说与乙说的只有一个是正确的.假设甲说的是正确的，则丙通过了全国英语六级等级考试.此时乙说是错误的，丙说是正确的，不符合“只有一人说的是对的”的前提条件；假设乙说的是正确的，则甲说的错误，丙说的也错误，符合“只有一人说的是对的”的前提条件；故通过了全国英语六级等级考试的学生是乙. 【点睛】此题考查的是逻辑推理，属于基础题. 7．D 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【分析】每1个人都有5种封爵方法，所以2人共有5525⨯=种情况，而恰有一人被封“伯”的有8种情况，然后概率可求得 【详解】由题意知，基本事件的总数有5525⨯=种情形；而其中有1人被封“伯”的情况有：第1人被封“伯”有4种情形，第2人被封“伯”也有4种情形，则其中有1人被封“伯”的共有8种情形；根据古典概型及其概率的计算公式，可得其中有1人被封“伯”的概率为825. 【点睛】此题考查了是古典概率，属于基础题 10．D 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =.而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．B 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则42SD CD ==⨯=，则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又14233OE DF OE OF ====⨯=，由勾股定理得3OD ==所以外接球半径为R ===所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．20x y -= 【分析】根据()()1cos f x x x =+，求导()1cos sin 'x x x x f =+-，再求得()'0f ，()0f ，写出切线方程. 【详解】因为()()1cos f x x x =+所以()()sin 1cos si 1cos n 'x x x x x f x x -=+-=++， 所以()'02f =.又()00f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-， 即20x y -=. 故答案为：20x y -= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．79-【分析】观察前后式子，配凑22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，通过诱导公式展开即可． 【详解】27sin 2sin 2cos 212sin 632339πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目．15【分析】利用正弦定理将()cos 2cos a B c b A =-统一化为角，然后化简求出角3A π=，再利用正弦定理可求出c . 【详解】由()cos 2cos a B c b A =-及正弦定理，得()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，得()sin 2sin cos A B C A +=，得sin 2sin cos C C A =，显然sin 0C ≠，得12cos A =，解得1cos 2A =.又0A π<<，所以3A π=.再由正弦定理，得sin sin a c A C =，即3sin sin 34cππ=，解得c 【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变形公式，属于基础题. 16．2【分析】不妨设渐近线方程为b y x a=，根据点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，可得到OP c =，再根据2OPF ∆2，由正弦定理2221sin 2OPF S OP OF POF ∆=∠2=，求得2POF ∠，根据其与渐近线的倾斜角的关系求得ba，再求离心率. 【详解】不妨设渐近线方程为by x a=， 由题意，12OF OF c OP ===， 所以222211sin sin 22OPF S OP OF POF c c POF ∆=∠=⋅⋅∠24=，解得2sin POF ∠=. 所以260POF ∠=︒或2120POF ∠=︒. 当260POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为60︒，则tan 60b a =︒=2c a ==. 即双曲线C 的离心率为2； 当2120POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为30，则tan 303b a =︒=c a ==.即双曲线C 的离心率为3综上，双曲线C 的离心率为2故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）取PD 的中点F ，先证明四边形ABEF 是平行四边形，可得//BE AF ，只需证AF ⊥平面PCD 即可，而由已知易证CD ⊥平面PAD ，从而可证得CD AF ⊥，而由等腰三角形的性质可证得AF PD ⊥，由此可证得AF ⊥平面PCD ；（2）先在,Rt PAD Rt PAB ∆∆中利用勾股定理求出,PD PB 的长，再在Rt ADC ∆中，求出AC ，从而可得PC 的长，而E 为PC 的中点，所以12PE CE PC ==，在Rt PBE ∆中，再利用勾股定理求出BE ，而由（1）可知BE ⊥平面PCD ，所以13CD B P PCD V S BE -∆=⋅三棱锥，代值可得答案. 【详解】（1）证明：如下图，取PD 的中点F ，连接AF ，EF . 又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线. 所以//EF CD 且12EF CD =.又//AB CD 且12AB CD =， 所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点， 所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 又//BE AF ，所以BE⊥平面PCD .（2）因为122AB AD AP CD ====，所以由勾股定理得PD PB BC =====AC PC ===所以12PE CE PC ===所以BE ==由（1）得，CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.所以11422PCD S CD PD ∆=⋅=⨯⨯=由（1）得，BE ⊥平面PCD ，所以118333PC B PCD D V S BE ∆-=⋅=⨯=三棱锥. 【点睛】此题考查线面垂直的判定和棱锥的体积的求法，属于中档题.18．（1）21n b n =-；（2）2nn a =；8510S =【分析】（1）由1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，再结合47b =可得()()()272737d d d -=-+，解方程可求出公差，从而可求出通项公式； （2）由221a b =+，3385a b = 和21n b n =-，求出23,a a ，从而可求出公比，进而求出通项公式和前n 项和公式. 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d .由已知47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，得()()()244423b d b d b d -=-+， 即()()()272737d d d -=-+， 化简得()720d d -=， 解得0d =（舍去）或2d =.所以()()4474221n b b n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知21n b n =-， 所以2214a b =+=，33885855a b ==⨯=. 所以数列{}n a 的公比322a q a ==. 所以222422n n n n a a q--=⋅=⨯=.设数列{}n a 前8项的和为8S ， 则()8821251012S ⨯-==-.【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量计算，属于基础题 19．（1）4.4小时；（2）0.4. 【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率. 【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=. 由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题. 20．（1）216y x =；（2）4. 【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y xx my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）详见解析；（2）[]1,0- 【分析】（1）先求导函数()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->，然后通过对0a ≥和0a <讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立，即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立，然后构造函数()()2ln 21x ax h x x a =+-+，只需()h x 在1,上最大值小于零即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()221ln g x f x a x ax x =-+=--，a R ∈，()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->.①若0a ≥，2210ax +>，()'0g x <，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；②若0a <，令()'0g x <，得0x <<令()'0g x >，得x >所以函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. 综上所述，若0a ≥，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；若0a <，函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立， 即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立. 令()()()2ln 211x ax h x a x x =+-+>， 则()()()222111221'ax a x ax a x h xx -++=+-+=()()211ax x x --=. ①若0a ≤，则()'0h x <，()h x 在1,上单调递减，所以()()11h x h a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤；②若102a <<，则112a >，当112x a<<时，()'0h x <，当12x a >时，()'0h x >， ()h x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()1,2x h h a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()'0h x >，()h x 在1,上单调递增， 所以()()()1,h x h ∈+∞，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.22．（1）2214x y +=；2410x y +-=；（2）4【分析】（1）根据2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，利用平方关系消去参数α，即可得到普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2cos 4sin 10ρθρθ+-=，即可得到直角坐标方程.（2）易得直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为M ，N 的坐标，设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，利用S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+求解.【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得2222cos sin 12x y αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由2cos 4sin 10ρθρθ+-=将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式， 得2410x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为2410x y +-=.（2）易知直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，因为P 在第一象限，所以02πα<<.连接OP ，则S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+，11sin 2cos 22OM ON αα=⋅+⋅11sin cos 444πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当4πα=时，四边形OMPN 面积的最大值为4. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）由()222f x x -->-，易得26x <<，再根据其解集为(),m n ，得到6n =，2m =.则34a b +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）不等式()4f x >等价于 ()()12244x x x <⎧⎨--->⎩，或()()142244x x x ≤≤⎧⎨--->⎩，或()()42244x x x >⎧⎨-+->⎩， 解得6x <-或1043x <≤或4x >. 故不等式()4f x >的解集是()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()222f x x -->-，得42x -->-，得42x -<，得242x -<-<，解得26x <<，所以6n =，2m =.因为正实数a ，b 满足34a b n m +=-=，所以()1314a b +=. 又a ，b 是正实数， 由基本不等式得()111113334a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1311121434b a a b ⎛⎛=⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当33b a a b=，即当2a =，23b =时取等号， 故113a b+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式与解集的关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。